第4章 振动系统的运动微分方程
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
汽车振动基础第4章-多自由度(定稿)
k11 k1 x1 k2 x1 k1 k2
k21 k12 k2 x1 k2
k22 k2 x2 k3 x2 k2 k3
j2
k31 k13 0
k32 k23 k3 x2 k3
0 k1 k 2 k 2 K k 2 k 2 k3 k3 0 k3 k3
– 拉格朗日法
• 方程的形式
广义坐标
qi (i 1, 2,3,, n)
T：系统的总动能
d T T ( ) Qi 0 dt qi qi
i 1, 2,3, , n
对应于第i个广义 坐标的广义力
– 保守系统
» 系统作用的主动力仅为势力 Qi
d T T U ( ) 0 dt qi qi qi
m2 m22 m3 4
④柔度矩阵的影响系数法
F ij
柔度影响系数 ij 的意义是在第j个坐标上施加单位力作用时，在第i个坐 标上引起的位移。 例题4-8 用影响系数法求图示系统的柔度矩阵
11 F 21 31
12 22 32
13 23 33
也可写成 其中
或
或
MX KX 0
力方程 位移方程
K 1MX X 0
m x 0 或 x
称为柔度，而
FMX X 0
1 称为柔度矩阵
1 k
FK
②刚度矩阵的影响系数法
K kij
刚度影响系数 k 的意义是使系统的第j个坐标产生单位位移，而其它的 ij 坐标位移为零时，在第i个坐标上所施加的作用力的大小。
仅代表外部激励 广义力
04-1zf_两自由度系统的振动
整理得系统运动微分方程：
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
引入符号：
m1x1 m2 x2
(K1 K2
x1
K2 (
安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动，
在上述假设条件下，系统可简化成图两
自由度横向振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
x20 )2
(1x10 x20 )2 2
n2
1
arctan
n1 (2 x10 2 x10
x20 x20
)
2
arctan
n
2 (1x10 1x10
x20 x20
)
例1 图示两自由度系统。已知，ml=m2=m=0.05kg， K1=K2=K3=K=20N／m。
(1)第1个方程既含有 x1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。
(2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。
显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。
与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动
微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
4.1.2 固有频率与主振型
机械振动基础
第4章 机械振动基础4-1 图示两个弹簧的刚性系数分别为k 1 = 5 kN/m ，k 2 = 3 kN/m 。
物块重量m = 4 kg 。
求物体自由振动的周期。
解：根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 mk =n ω 解出周期 nπ2ω=T图（a ）为两弹簧串联，其等效刚度 2121eq k k k k k +=所以 )(2121n k k m k k +=ω2121n)(π2π2k k k k m T +==ω代入数据得s 290.0300050003000)4(5000π2=⨯+=T图（b ）为两弹簧串联（情况同a ） 所以 T = 0.290 s图（c ）为两弹簧并联。
等效刚度 k eq = k 1 + k 2 所以 mk k 21n +=ω21nπ2π2k k mT +==ω代入数据得 T = 0.140 s图（d ）为两弹簧并联（情况实质上同（c ））。
所以 T = 0.140 s4-3 如图所示，质量m = 200 kg 的重物在吊索上以等速度v = 5 m/s 下降。
当下降时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数k = 400 kN/m 。
如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。
解：依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为A ，刚夹住时，吊索处于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度v = 0。
根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等。
即 T max = V max 其中 2max 2v m T = ， 2max 21kA V =v km A =吊索中的最大张力 mk v mg kA mg F +=+=max 代入数据得 kN 7.461040020058.92003max =⋅⋅+⋅=F4-5 质量为m 的小车在斜面上自高度h 处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。
缓冲弹簧的刚性系数为k ，斜面倾角为θ。
振动系统的运动微分方程题解
习 题3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为C ρ，质心距转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角ϕ为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。
复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程 O O M J =ϕ其中)(22a gP J C O +=ρ 得到复摆运动微分方程为 ϕϕρcos )(22Pa a gP C =+ 或0cos )(22=-+ϕϕρga a C3-2均质半圆柱体，质心为C ，与圆心O 1的距离为e ，柱体半径为R ，质量为m ，对质心的回转半径为C ρ，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选θ为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为：222121ωC C J mv T +=用瞬心法求C v ： 2222*2)cos 2()(θθθ Re R e CC v C -+== θω =2C C m J ρ=故2222221)cos 2(21θρθθ Cm Re R e m T +-+=系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图θθδd mge W sin -= 应用动能定理的微分形式W dT δ=θθθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ θθθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++ 等式两边同除dt ，θθθθθθθθθθρ sin sin cos 2)(2222mge mRe mRe R e m C -=+-++ 0≠θ ，等式两边同除θ故微分方程为0sin sin )cos 2(2222=+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C ①若为小摆动θθ≈sin ，1cos ≈θ，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22=++-θθρge r R C要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
普通物理A(1) 课程指导 第4章《振动》
N
2
cost
N 1
2
2
14
7. 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱 的拍音．若测得在20 s内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300 Hz， 则待测音叉的频率为______________．
拍频: 单位时间内强弱变化的次数 2 1 ( 2 1)
设1 300 Hz 则有： 2 1 9，或者1 2 9 2 309 Hz，或者 2 291Hz
0.08
O
-0.04
1
x1 t (s)
2 x2
x1
0.08 c os (t
2
),
x2
0.04 c os (t
) 2
A2
0
x
A
A1
10
6. N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为0, , 2, ..., 依次差一个恒量 ，求合振动的振幅。
x1 Acost x2 Acos(t ) x3 Acos(t 2)
4
1. 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运 动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时 间为
(A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．
旋转矢量法
[C ]
首先画出二分之一最大位移处旋转矢量图，
然后，再画最大位移处旋转矢量图。
设所求的时间为t，则有
(1) 质点的振动方程； (2) 质点在A点处的速率．
AB
x
解： 3
4
4
t = 0时， x 5cm Acos
A 5 5 2 cm
cos(3 / 4)
∴ 振动方程
x 5 2 102 cos(t 3) (SI) 44
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
1 2 U k ( a ) 系统的势能 2
2
1 22 2 T = J J ( c o st ) = J c o sn t 0 0 0 n 0 0 n 2 2 2
2 n
1 21 21 2 2 2 U =( k a ) k ( a s i n) t = k a s i n t 0 n n 0 2 2 2
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受 力图如图(b)。根据动量矩定理 J MF () o 0
J k a c l o
2 2
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受 力图如图(b)。根据动量矩定理 J MF () o 0
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
振动系统固有频率：
k a2 k a2 3 k a2 n 3 1 Jo m l 3 m l 3
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统
二．能量法 原理： 对于单自由度无阻尼自由振动系统，其响应为简谐振 d (T U ) 0 。在静平衡 动，系统 T Uc o n s t或 dt U 0 ,T T 位置，势能为0，动能达到最大，即： m a x。 在最大位移处，动能为0，势能达到最大， U U ,T 0 即： 。所以有： m a x
1 2 2 最大动能 Tmax = J00 n 2
得：最大势能：1 来自max = ka202 2由
Tmax =Umax
1 2 2 1 2 2 J0 = k a 0 2 0 n 2
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
代入式4-2-7进行试算
若取
1 u 若取 2 1
2 k k 1 { 1 2 } T k k 2 2 { u } K { u } k k 2 1 1 = 0 . 2 2 2 n 1 T m 0 1 9 { u } M { u } m m 1 1 { 12 } 2 0 2 m
U 带入公式 T m a x m a x 得：
T { u } K{ui } 2 i ni {ui }T M {ui }
4-2-7
利用4-2-7精确计算多自由度振动系统的固有频率，前 提条件是需要已知系统的振型，这是无法做到的。但 振动系统的一阶振型的近似值一般可以预测，大都数 情况下与其静载荷作用下产生的静变形十分接近。 例如例4-2-1所给出的振动问题，若取 u 1 1 1 代入式4-2-7进行试算：
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-1求特征值法 例4-2-1：2个自由度振动系统，其运动微分方程为：
x x m0 2 k k 0 1 1 x x 02 m k k 0 2 2
即Dunkenley法计算自由度的振动系统一阶固有频 率的计算公式。 用Dunkenley法求解上例
2 k k 11 1 K k k k 12
1
1
1 1 2 5 m m m =m 2 m 1 1 1 2 2 2 k k k 1
2 2 J k a c l o
k a c l 0 即 J o
2 2
第四章多自由度系统
kq 2 q1 M 1 (t ) q M (t ) kq 2 kq 3 2 2
角振动与直线振动在数学描述上相同，在多自由度系统中也 将质量、刚度、位移、加速度以及力都理解为广义的。
例4-3 汽车振动的力学模型。 以D点的垂直位移 xD 及杆AB绕 点D的角位移为坐标，列出车体 作微小振动的运动微分方程。
1、多自由度的微分方程： 例4-1 试建立系统的运动微分方程。
两自由度系统； 解：
m1 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P (t ) x 1 m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x
m11 (k1 k2 ) x1 k2 x2 P (t ) x 1 m2 2 k2 x1 (k 2 k3 ) x2 P2 (t ) x
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、[M]，[C]，[K]分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和 刚度矩阵。 2、{x}为n维位移向量，它的分量是各个自由度的广义位 移，而{x}和{ }分别为速度向量和加速度向量，它们的 x 分量分别为各个自由度的广义速度和广义加速度。{f}是 广义外力向量，它的分量是各个自由度所受到的广义外 力。
x [ M ]{} [C ]{x} [ K ]{x} { f } {x(0)} {x0}, {x(0)} {x0}
1、运动微分方程建立的关键：求得[M]， [C]，[K]中的各个元素。 2、可使用定义法。 3、求解微分方程的过程就是使[M]，[C]， [K]对角化的过程，可求得固有频率及其 振型。
静力加载 K x P(t )
机械系统动力学第四章 固有频率的实用计算方法
第4章 固有频率的实用计算方法
4-1 单自由度系统 一． 列方程法
例4-1-1：建立图4-1-1(a)所示的均质杆绕O点作微幅转 动振动系统的运动微分方程。
解：单自由度系统，取均质杆为研究对象，画其受
力图如图(b)。根据动量矩定理 Jo M0(F)
Joka2cl2
令其特征方程的系数行列式等于0得
2k2m k
=0
k k22m
即： (2 k 2 m )(k2 2 m )k2= 0
可得固有频率
1
2
=
0
.
2
1
9
2
k m
2 2
=
2
.2 8
0
8
k m
第4章 固有频率的实用计算方法
4-2 多自由度系统 4-2-2计算固有频率的近似法 一、瑞利法（Rayleigh法）
U = 1 2 k (a)2 1 2 k (a0 s inn t)2 = 1 2 k a 20 2 s in 2n t
最大动能
Tmax
=
1 2
J 2 2 00 n
最大势能：
Umax
=
1 2
ka22 0
由 Tmax=Um
系统的固有频率
= ka2
n
J0
若取
u1
1
2
代入式4-2-7进行试算
k1 k 0.333k
01 3m
m
2m1 瑞利法的计算精度决定
于对振型的假设。计算
一阶固有频率精度较高
2k k1
但数值偏大
若取 n2u12{{uu11}}TT1M 1K{{uu11}} =n2{{211{ 2{ 2u }u }22}} m 0T TkM K{2{0 uu m k22}} =1 22{{ 11 9 21 m 1 k}} 2m 00kk.222 20m kkm k 1111 35m k1.667m k
第四章-机械振动
x（m）
t
A
曲线2曲线1
-A
t
t
t2
t1
1
2
当：t t2 t1 0, 2 1 0
振动2比振动1超前
t（s）
§4.1 简谐振动
例1.如图的谐振动x-t 曲线，试求其谐振方程
解：由图知
x(m)
A 2m T 2s 2
可得： 2 T O
振动表达式为
1
2t (s)
x Acos( t )
dt 2 l
谐振方程为：
设 2 2T
ml
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（5）U形管中液体无粘滞振荡
x x
l
为管内液体密度，
l为液体在管内的长度。
动力学方程为：
l
d2 dt
x
2
2gx
0
谐振方程为：
2 2g
l
x Acos（t ）
§4.2 简谐振动的实例分析
（6）LC谐振电路
P sin m dv
dt
v l
P
sin 1 3 （小角度时）
6
g 0
l
令 2 g
l
2 0
结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
周期和角频率为：T 2 l
g
g
l
§4.2 简谐振动的实例分析
（2） 复摆（物理摆）
以物体为研究对象
设 角沿逆时针方向为正
mghsin JZ
10
即： Asin( ) 0 sin( ) 0
6
2
x
1
cos(
t 2 )(m)
10 6 3
§4.1 简谐振动
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统1。
1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。
大学 机械振动 课后习题和答案(1~4章 总汇)
1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?1.3 设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —1.3所示，试证明：1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq +=2)它们串联时的总刚度eq k 满足：21111k k k eq +=解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为：1122P k xP k x=⎧⎨=⎩由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+故等效刚度为：12eq Pk k k x ==+2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 1122Px k Px k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，弹簧的总变形为：121211()x x x P k k =+=+故等效刚度为：122112111eq k k P k x k k k k ===++1.4 求图所示扭转系统的总刚度。
两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 1122t t Tk T k θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩系统的总转角为：121211()t t T k k θθθ=+=+，12111()eq t t k T k k θ==+故等效刚度为：12111eq t t k k k =+1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c1)在两只减振器并联时，2)在两只减振器串联时。
解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x ，受力分别为：1122P c x P c x =⎧⎨=⎩ 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+故等效刚度为：12eq P c c c x ==+ 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为：1122P x c Px c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，系统的总速度为：121211()x x x P c c =+=+ 故等效刚度为：1211eq P c x c c ==+1.6 一简谐运动，振幅为0.5cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。
大学物理4-1 简谐振动的动力学特征
a x
积分常数，根据初始条件确定
x A cos(t )
T 2π
A A
x
x t 图
T
取 0
o
t
t
v A sin(t )
A
v
v t 图
T
π A cos( t ) 2
a A 2 cos(t )
0
an
π t 0 2
A
vm A
v a
an A
2
x
x A cos(t 0 )
π v A cos( t 0 ) 2
a A cos(t 0 )
2
第4章 机械振动
第4章 机械振动
用旋转矢量图画简谐运动的
x
A
0
P
2
三 简谐振动的旋转矢量表示法
2π T
当
t t+ 0时 0
0
A
t=t
A
x0
以 o为 原点旋转矢
量 A的端点
在
o
x
x 轴上的
投影点的运 动为简谐运 动.
x0 A cos 0
第4章 机械振动
x A cos( t t t
即
2
① ② ③ ④ ⑤ J d x (m 2 ) 2 kx 0 R dt
2
d x k x0 2 2 dt m I / R
所以，此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动
(2) 振动系统的圆频率
k m J / R2
T 2 2 m J / R2 k
第四章(第1节)两自由度系统的振动介绍
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
◆同步化现象虽然是耦合振动体最简单的运动形态，
但这并不意味着耦合振动体只能做同步运动。耦合振动 体的运动形态是多种多样的。 让我们来看看奔跑在澳洲平原上的袋鼠以及追逐在 袋鼠后面的土著人吧。袋鼠跳跃的时候，两只脚做的是 位移相同的移动。但土著人在走路时，左脚与右脚所做 的却是位移相反的移动。如果将袋鼠的跳跃看成同步化 的结果的话，那么土著人的走路则是反同步化的结果。
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
由系数矩阵组成的常数矩阵 M和K分别称为质量矩阵和 刚度矩阵，向量x称为位移向量。
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 设
k1 k2 k11 , k2 k12 k21 , k2 k3 k22 (4.1-3)
则方程(4.1-1)可以写成
m1 x 1 k11x1 k12 x2 0 m2 x 2 k21x1 k22 x2 0
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
四只脚的动物： 兔子在奔跑的时候，两只前脚 移动的位移相同，但两只后脚移动 的位移却和前脚的相反。 长颈鹿，是同侧的前后两只脚 一起移动。左前脚和左后脚一起动， 右前脚和右后脚一起动。 马的走路方式有些特别，做位 移相同移动的是对角线上的两只脚， 即左前脚和右后脚一起动，而右前 脚则和左后脚一起动。
第4章 受迫振动
第 4 章 受迫振动
62
E (t ) = K cos ΩT0
我们采用多尺度方法求近似解。设解形式为
u (t , ε ) = u 0 (T0 , T1 ) + εu1 (T0 , T1 ) + L
并代入受迫振动方程，计算方程两段ε0 和ε的系数，得到方程组：
2 D02 u 0 + ω 0 u 0 = K cos ΩT0 2 3 D02 u1 + ω 0 u1 = −2 D0 D1u 0 − 2µD0 u 0 − αu 0
2 3αa 0 − a0 − σ 8ω 0
−µ −λ 1 a0
2 9αa 0 − σ 8ω 0
=0
−µ −λ
将特征行列式展开，得到
2 2 3αa 0 9αa 0 σ − =0 − λ2 + 2µλ + µ 2 + σ 8ω 0 8ω 0
图 4-1 频率响应曲线
第 4 章 受迫振动
59
无论是响应振幅曲线还是相位曲线， 非线性都使得振幅和相位产生多值， 这种多值导致 了响应发生跳跃现象，图中箭头指示了跳跃点。 图 4-2 显示了非线性对频率响应曲线的弯曲程度，硬弹簧（ α > 0 ）将曲线向右弯曲， 而软弹簧（ α < 0 ）则将曲线向左弯曲。图 4-3 显示了硬弹簧系统频率响应曲线关于激励幅 值 k 的变化情况，随着激励幅值的增大，频率响应曲线偏离 σ = 0 轴而弯曲，响应幅值的峰 值轨迹为抛物线
第 4 章 受迫振动
55
4. 受迫振动
前面几章我们讨论的问题是所谓的自由振动问题， 即系统仅受初始扰动所产生的振动响 应问题，不考虑外界对系统的激励或能量输入。本章讨论外界对系统存在激励的情况，此时 的振动系统称为受迫振动系统。 外界对系统的激励通常有 2 种形式， 一种是激励在运动方程 中以非齐次项的形式出现， 这种激励称为外激励； 另一种则是在方程中以变系数的形式出现， 称为参数激励。本章中讨论的激励是外激励。 考虑系统由下列方程所控制：
3.天津大学机械振动课件-振动系统的运动微分方程
22 表示在m
l ( )3 l3 2 3EI 24 EI
2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有
22
Mechanical and Structural Vibration
l3 3EI
3.4 柔度影响系数 位移方程
12 21 表示在m2 处施加单位力在
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
写成矩阵形式
x1 11 12 x 2 21 22 x 3 31 32
13 m1 0 23 0 m2 33 0 0
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
F1
首先施加单位力 F1 1 F2 F3 0 ， 这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 k ，第二和第三个 1
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
例 试写出图所示刚体AB的 刚度矩阵并建立系统的运动 微分方程。
解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水 平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C转角 确定。
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是k，则
1 k
就是物
块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。 n自由度系统的柔度矩阵 Δ 为n阶方阵，其元素 ij 称为柔度影 响系数，表示单位力产生的位移。 具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相 应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 ij 。
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[
]
两边对时间求导数
3 &x & & mx&& = mgx − 2k (2 x + λ s ) x 2
注意到在静平衡位置满足 所以微分方程为
mg = 2kλ s
3 m&& + 4kx = 0 x 2
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4.1 牛顿定律和普遍定理
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-5 图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总 刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系 统的运动方程。 解： （1）选择x及θ 为广义坐标。 （2）动能及势能
4.1.4 普遍定理的综合应用
在有限路程中主动力的功为
∑ Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
1 2 k (2 x0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
由动能定理的积分形式
T − T0 = ∑Wx0 − x
1 3 2 1 2 2 & ⋅ mx − T0 = − mg ( x 0 − x ) + k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2 2
∑ (F
n i =1
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x i δ xi
+ F y i δ y i + Fz i δ z i = 0
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)
4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.2 达朗贝尔（D’Alembert）原理 达朗贝尔（ ）
& ϕ 其中， 为圆盘的角速度，IA = mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。
圆盘作不滑动的滚动时，存在有 ϕ r = θ& ( R − r ) &
T=
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& ϕ=
R−r & θ r
3 R − r &2 mr 2 θ 4 r
d T = Σ δWF
其中
δWiF 表示作用在质点系上主动力的元功
dT
表示质点系动能的微分
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.3 刚体平面运动微分方程
刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面 内的运动。 内的运动。 应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
无重量不可伸长的细绳绕过质量为m、 例4-2无重量不可伸长的细绳绕过质量为 、半径 无重量不可伸长的细绳绕过质量为 R为的均质圆盘。弹簧刚度为 ，与细绳相连，如 为的均质圆盘。弹簧刚度为k，与细绳相连， 为的均质圆盘 图所示，列写该系统的运动微分方程。 图所示，列写该系统的运动微分方程。
图4-5摆振系统
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.4 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
例4-6 图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被 限制在图示平面内运动。图示位置为平衡位 置。且质量为m，转动惯量IO。试导出微幅运 动微分方程。 解：取刚体质心O点偏离平衡位置的x、y和 刚体绕质心的转角θ为广义坐标，即
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
动量定理、动量矩定理、 动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立 了质点系的运动变化与其受力之间的关系， 了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的 普遍定理。 普遍定理。 各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程 的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。 的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。
两边对时间求导数
系统微幅振动时的运动方程
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第4章 振动系统的运动微分方程
4.2
拉格朗日运动方程
Theory of Vibration with Applice）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
4.2.3 完整的保守系统的拉格朗日运动方程
拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一 个普遍的简单而又统一的方法。 个普遍的简单而又统一的方法。 在t1与t2区间的虚位移δqi是任意的，而且δqi彼此独立的。 因此，得到著名的拉格朗日方程 拉格朗日方程
∫ ∑ (Q δq )dt − ∫ ∑
t2 t2 t1 i =1 i i t1 i =1
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第4章 振动系统的运动微分方程
4.1
牛顿定律和普遍定理
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.1 质点的运动微分方程 4.1.2 质点系动能定理的微分形式 4.1.3 刚体平面运动微分方程 4.1.4 普遍定理的综合应用
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.1 质点的运动微分方程
牛顿第二定律， 牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有 以下几种形式
m
d2r dt dt
2
= ΣF
d2x d2 y d2z m 2 = ΣFx , m 2 = ΣFy , m 2 = ΣFz dt dt dt
这就是摆的运动方程。 当微幅振动时，取cosθ ≈1，sinθ = 0，并可略去高阶项， 则可简化为
& m&& + mlθ& + kx = 0 x & m&& + mlθ& + mgθ = 0 x
两式相减得到 mgθ = kx 得到运动方程
mg & + l θ& + gθ = 0 k
设初始条件为 t = 0
x = x0
& & x = x0
在有限路程中主动力的功为
∑Wx0 − x = −mg ( x0 − x) +
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1 2 k (2 x 0 + λ s ) − (2 x + λ s ) 2 2
[
]
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4.1 牛顿定律和普遍定理
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2
4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
系统的势能 W = mg ( R − r )(1 − cosθ ) ≈ mg ( R − r )θ 2
T − T0 = ∑Wx0 − x
3 & m( R − r ) 2 θ& + mg ( R − r )θ = 0 2
1 2
由动能定理的积分形式
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.2 质点系动能定理的微分形式
设质点系由n个质点组成 ， 在理想约束的条件下， 设质点系由 个质点组成， 其 在理想约束的条件下 ， 质点 个质点组成 系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。 系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有
4.1.4 普遍定理的综合应用
例4-4 图示系统中，半径为 r 的均匀圆盘 在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为 m ， 槽的半径为R。建立系统的运动方程。
图4-4圆盘微幅振动
解：若选择θ 为广义坐标，则系统微幅振动时的动能为
1 &] 2 + 1 I ϕ 2 T = m[( R − r )θ A & 2 2
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4.1 牛顿定律和普遍定理
4.1.4 普遍定理的综合应用
x取任意值时，系统的动能为
&2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 x & T = mvC + J C ω = mx + ⋅ mR 2 2 2 2 2 2 R
1 3 2 & T = ⋅ mx 2 2
根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式： 在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上 的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于 零。这就是动力学普遍方程，即
δW + δWin = 0
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4.2 拉格朗日（Lagrange）运动方程 拉格朗日（Lagrange）
解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于 系统具有一个自由度，建立广义坐标 ， 弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置， 弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如 图中所示。 图中所示。 x取任意值时，系统的动能为 取任意值时， 取任意值时