中考数学二次函数专题

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中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案

中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案

中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A -,与x 轴交于点()4,0B ,连接AB .(1)求抛物线的解析式.(2)P 是AB 下方抛物线上的一动点,过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ,过点P 作PD x ⊥轴于点D .①求PC PD +的最大值.①连接PA ,PB ,是否存在点P ,使得线段PC 把PAB 的面积分成3:5两部分?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.2.综合与探究如图1,抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C ,与x 轴的另一个交点为A ,连接AC ,BC .(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标;(2)如图1,点D 是线段AC 的中点,连接BD .点E 是抛物线上一点,若ABE BCD S S =△△,设点E 的横坐标为x ,请求出x 的值;(3)试探究在抛物线上是否存在一点P ,使得45PBO OBC ∠+∠=︒?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -,点()0,3C ,且OB OC =.(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)点D 、E 是直线1x =上的两个动点,且1DE =,点D 在点E 的上方,求四边形ACDE 的周长的最小值.(3)点P 为抛物线上一点,连接CP ,直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分,求点P 的坐标.4.已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ,与x 轴交于另一点B ,抛物线的顶点为D .(1)求此二次函数解析式;(2)连接DC 、BC 和DB ,判断BCD △的形状并说明理由;(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ,使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形,求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积.5.如图,抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点,A B 两点(点A 在点B 的右侧),点()()8,02,0A B -、,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式; (2)点D 为抛物线的顶点,过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ,点P 为抛物线上点,D E 之间的一动点,连接,,,,AC AE AP CE CP ,线段,AP CE 交于点G ,记CPG △的面积为1,S AEG △的面积为2S ,且12S S S =-,求S 的最大值及此时点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,将拋物线沿射线AC 方向平移5个单位长度后得到新抛物线,点Q 是新拋物线对称轴上一动点,在平面内确定一点R ,使得以点P Q B R 、、、为顶点的四边形是矩形.直接写出所有符合条件的点R 的坐标.6.如图,有一个长为30米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度18a =米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为x 米,面积为y 平方米.(1)求y 与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围;(2)如何设计才能使长方形花圃面积最大;并求其最大面积.7.如图,过原点的抛物线212y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A ,且抛物线的对称轴为直线2x =,点B 为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图(1),点C 为直线OB 上方抛物线上一动点,连接AB,BC 和AC ,线段AC 交直线OB 于点E ,若CBE △的面积为1S ,ABE 的面积为2S ,求12S S 的最大值 (3)如图(2),设直线()20y kx k k =-≠与抛物线交于D ,F 两点,点D 关于直线2x =的对称点为D ,直线D F '与直线2x =交于点P ,求证:BP 的长是定值.8.抛物线2y x bx c =-++经过点A ,B ,C ,已知()1,0A -和()0,3C .(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标;(2)点D 在BC 上方的抛物线上.①如图1,若CAB ABD ∠=∠,求点D 的坐标;①如图2,直线BD 交y 轴于点N ,过点B 作AD 的平行线交y 轴于点M ,当点D 运动时,求CBD AMNS S △△的最大值及此时点D 的坐标. 9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,抛物线244y ax ax =-+交x 轴于点A 、B (A 左B右),交y 轴于点C ,直线123y x =-+,经过B 点,交y 轴于点D .(1)如图1,求a 的值;(2)如图2,点P 在第一象限内的抛物线上,过点A 、B 作x 轴的垂线,分别交直线PD 于点E 和F ,若PF DE =,求点P 的坐标;(3)如图3,在(2)的条件下,点Q 在第一象限内的抛物线上,过点Q 作QH DP ⊥于点H ,交直线BD 于点R ,连接EQ 和ER ,当QE ER =时,求ERQ △的面积.10.已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 的左侧),与y 轴交于点A .(1)判断ABC 的形状,并说明理由.(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点,过点P 作PH x ⊥轴于H ,交AC 于点Q ,设四边形OAPC 的面积为S ,求S 关于m 的函数关系式,并求使S 最大时点P 的坐标和QHC △的面积;(3)在(2)的条件下,点N 是坐标平面内一点,抛物线的对称轴上是否存在点M ,使得以P 、C 和M 、N 为顶点的四边形是菱形,若存在,写出点M 的坐标,并选择一个点写出过程,若不存在,请说明理由.11.已知,如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线6y x =+与x 轴相交于点B ,与y 轴交于点C ,点A 是x 轴正半轴上一点,且满足2tan 3ACO ∠=.(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 和C 三点,求抛物线的解析式;(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点,过点M 作MP y ∥轴,交BC 于点P ,连接OP ,在第一象限内找一点Q ,过点Q 作⊥OQ OP 且OQ OP =,连接PQ ,MQ ,设MPQ 的面积为S ,点P 的横坐标为t ,求S 与t 的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;(3)在(2)的条件下,设PQ 与y 轴相交于点R ,若53=PR PC 时,求点P 的坐标. 12.已知抛物线22y ax ax c =-+过点()10A -,和()03C ,,与x 轴交于另一点B .(1)求抛物线的解析式;(2)若抛物线的顶点为D ,在直线BC 上方抛物线上有一点P (与D 不重合),BCP 面积与BCD △面积相等,求点P 的坐标;(3)若点E 为抛物线对称轴上一点,在平面内是否存在点F ,使得以E 、F 和B 、C 为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出F 点的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图,抛物线过点()08D ,,与x 轴交于()20A -,,()40B ,两点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点C 为二次函数的顶点,求BCD S △.14.如图,O 为平面直角坐标系坐标原点,抛物线22y ax ax c =-+经过点()6,0B ,点()0,6C 与x 轴交于另一点A .(1)求抛物线的解析式;(2)D 点为第一象限抛物线上一点,连接AD 和BD ,设点D 的横坐标为t ,ABD △的面积为S ,求S 关于t 的函数解析式(不要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,P 为第四象限抛物线上一点,连接PA 交y 轴于点E ,点F 在线段BC 上,点G 在直线AD 上,若1tan 2DAO ∠=,四边形BEFG 为菱形,求点P 的坐标. 15.已知抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ,与直线3y x =-+交于点B 和点C ,M 为抛物线的顶点,直线ME 是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标;(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一点,连接PB ,PC ,当PBC 的面积取最大值时,求点P 的坐标.参考答案:1.(1)2142y x x =-- (2)① PC PD +取得最大值254 ① 53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或 316,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭2.(1)213222y x x =-++ (1,0)-; (2)3172+或3172-或3332+或3332- (3)存在,517(,)39--或113(,)39-3.(1)故抛物线的表达式为:223y x x =-++,函数的对称轴为:1x =;(2)10113++(3)()4,5-或()8,45-4.(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3,四边形PBCD 的面积为45.(1)213442y x x =-++ (2)S 的最大值为1,()4,6P(3)()7,3或()5,3-6.(1)2330S x x =-+ 410x ≤<;(2)当宽AB 为5米,长15BC =米时,长方形花圃的最大面积为75平方米.7.(1)2122y x x =-+ (2)188.(1)()1,4(2)①()2,3D ;①CBD AMN S S △△的最大值为916,此时315,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭9.(1)13a =- (2)()4,4P(3)1010.(1)直角三角形(2)244S m m =-++ (2,3)P 1QHC S =(3)存在,点M 坐标为3651(,)22+或3651(,)22-或333(,)22或333(,)22-或31(,)22,理由见解析11.(1)211642=--+y x x (2)()2396042S t t t =---<< (3)()()124,2,2,4P P --12.(1)223y x x =-++(2)()23P ,(3)存在,点F 的坐标为()417,或()417-,或()2314-+,或()2314--,13.(1)228y x x =-++(2)614.(1)211642y x x =-++ (2)2553042S t t =-++ (3)()8,6P -15.(1)抛物线的解析式为223y x x =-++,点M 的坐标为(1,4)(2)315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1.下列函数中,是二次函数的是()A.y=x2+1x B.y=12x(x-1) C.y=-2x-1 D.y=x(x2+1).2.抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是()A.(2,−3)B.(−2,3)C.(2,3)D.(−2,−3)3.把抛物线y=5x2向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线是()A.y=5(x−2)2+3B.y=5(x+2)2−3C.y=5(x+2)2+3D.y=5(x−2)2−34.函数y=ax2与y=﹣ax+b的图象可能是()A. B. C. D.5.函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3且k≠0 D.k≤36.若A(−5,y1),B(1,y2),C(2,y3)为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y2<y1<y3D.y3<y1<y27.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=1.下列结论:①b>0;②当x>0,y随着x 的增大而增大;③(a+c)2﹣b2<0;④a+b≥m(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个8.某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,为使该服装店平均每天的销售利润最大,则每件的定价为()A.21元B.22元C.23元D.24元二、填空题9.将二次函数y=x2-2x化为y=(x-h)2+k的形式,结果为10.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是(-1,0),(3,0),则此抛物线的对称轴是直线.11.将二次函数y=x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是.12.飞机着陆后滑行的距离y (单位:m)关于滑行时间t (单位:s)的函数解析式是y=60t-65t2,从飞机着陆至停下来共滑行米.13.已知如图:抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52,74)、B(0,3)两点,则关于x的不等式ax2+bx+c<kx+n的解集是三、解答题14.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1,−5)、B(3,t)两点.(1)求y1与y2的函数关系式;(2)直接写出当y1<y2时,x的取值范围;(3)点C为一次函数y1图象上一点,点C的横坐标为n,若将点C向右平移2个单位,再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上,求n的值.15.某品牌服装公司新设计了一款服装,其成本价为60(元/件).在大规模上市前,为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y(件)与销售价格x(元/件)之间的关系,进行了市场调查,部分信息如表:销售价格x(元/件)80 90 100 110日销售量y(件)240 220 200 180(1)若y与x之间满足一次函数关系,请直接写出函数的解析式(不用写自变量x的取值范围);(2)若该公司想每天获利8000元,并尽可能让利给顾客,则应如何定价?(3)为了帮助贫困山区的小朋友,公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元,该公司应该如何定价,才能使每天获利最大?(利润用w表示)16.如图,抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点N,过A点的直线:l:y=−x−1与y轴交于点C,与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5,−6),已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动.点(不与A、D重合).(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在直线l上方的抛物线上时,过P点作PE∥x轴交直线l于点E,作PF∥y轴交直线l于点F,求PE+PF的最大值;(3)设M为直线l上的动点,以NC为一边且顶点为N,C,M,P的四边形是平行四边形,直接写出所有符合条件的M点坐标.17.如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x轴,过跳台终点作水平线的垂线为y轴,建立平面直角坐标系,图中的抛物线C1:y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出,滑出后沿一段抛物线C2:y=−14x2+bx+c 运动.(1)当小张滑到离A处的水平距离为8米时,其滑行高度为10米,求出b,c的值;(2)在(1)的条件下,当小张滑出后离的水平距离为多少米时,他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米?2(3)若小张滑行到坡顶正上方,且与坡顶距离不低于4米,求b的取值范围.18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4,0)、B(−3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.(2)如图①,点D是x轴下方抛物线上的动点,且不与点C重合.设点D的横坐标为m,以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S,求S与m之间的函数关系式.(3)如图②,连结BC,点M为线段AB上一点,点N为线段BC上一点,且BM=CN=n,直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形.参考答案 1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.B 7.B 8.B9.y =(x −1)2−1 10.x =1 11.a <5 12.75013.x <−52或x >014.(1)解:把点A(1,−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7;把点B(3,t)代入y 1=2x −7中,得t =−1 ∴A(1,−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中,得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1; (2)x <1或x >3(3)解:∵点C 为一次函数y 1图象上一点,∴C(n ,2n −7)将点C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2,2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1,得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15.(1)y=-2x+400(2)解:由题意,得:(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100,x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元(3)解:由题意,得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时,w 有最大值,最大值为8450. 答:当一件衣服定为135元时,才能使每天获利最大. 16.(1)解:∵直线l :y =−x −1过点A∴A(−1,0)又∵D(5,−6)将点A ,D 的坐标代入抛物线表达式可得:{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4.∴抛物线的解析式为:y =−x 2+3x +4. (2)解:如图设点P(x ,−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴,PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5,−x 2+3x +4),F(x ,−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5,PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18. ∴当x =2时,PE +PF 取得最大值,最大值为18.(3)符合条件的M 点有三个:M 1(4,−5),M 2(2+√14,−3−√14), M 3(2−√14,−3+√14). 17.(1)解:由题意可知抛物线C 2:y=−14x 2+bx+c 过点(0, 4)和(8, 10) 将其代入得:{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114,c=4(2)解:由(1)可得抛物线Cq 解析式为: y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时,运动员与小山坡的竖直距离为52米,依题意得: −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得: m 1=10,m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时,运动员与小山坡的竖直距离为为52米. (3)解:∵抛物线C 2经过点(0, 4) ∴c=4抛物线C 1: y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时,运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6. ∴b ≥15618.(1)解:把A(4,0)、B(−3,0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4. (2)解:当x =0时y =−4∴C(0,−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8. (3)解:n =52,n =2511,n =3011.。

2023年九年级数学中考专题训练二次函数与角度问题含答案解析

2023年九年级数学中考专题训练二次函数与角度问题含答案解析

中考专题训练——二次函数与角度问题1.已知二次函数232y ax bx =+-(0a ≠)的图象经过A (1,0)、B (−3,0)两点,顶点为点C .(1)求二次函数的解析式; (2)如二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点G ,抛物线上是否存在点Q ,使得∠QAB=∠ABG ,若存在求出Q 点坐标,若不存在请说明理由;(3)经过点B 并且与直线AC 平行的直线BD 与二次函数232y ax bx =+-图象的另一交点为D ,DE ∠AC ,垂足为E ,DF y 轴交直线AC 于点F ,点M 是线段BC 之间一动点,FN ∠FM 交直线BD 于点N ,延长MF 与线段DE 的延长线交于点H ,点P 为△NFH 的外心,求点M 从点B 运动到点C 的过程中,P 点经过的路线长. 2.在平面直角坐标系中,抛物线l :()2220y x mx m m =--->与x 轴分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴相交于点C ,设抛物线l 的对称轴与x 轴相交于点N ,且3OC ON = (1)求m 的值;(2)设点G 是抛物线在第三象限内的动点,若GBC ACO ∠=∠,求点G 的坐标;(3)将抛物线222y x mx m =---向上平移3个单位,得到抛物线l ',设点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点,射线PO 、QO 分别交直线=2y -于点P '、Q ',设P '、Q '的横坐标分别为P x '、Q x ',且4P Q x x ''⋅=,求证:直线PQ 经过定点.3.已知二次函数y =x 2十(k ﹣2)x ﹣2k .(1)当此二次函数的图像与x 轴只有一个交点时,求该二次函数的解析式;(2)当k >0时,直线y =kx +2交抛物线于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),点P 在线段AB 上,过点P 做PM 垂直x 轴于点M ,交抛物线于点N . ∠求PN 的最大值(用含k 的代数式表示);∠若抛物线与x 轴交于E ,F 两点,点E 在点F 的左侧.在直线y =kx +2上是否存在唯一一点Q ,使得∠EQO =90°?若存在,请求出此时k 的值;若不存在,请说明理由.4.如图,直线l :33y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点B .(1)求该抛物线的函数表达式;(2)已知点M 是抛物线上的一个动点,并且点M 在第一象限内,连接AM 、BM ,设点M 的横坐标为m ,ABM 的面积为S ,求S 与m 的函数表达式,并求出S 的最大值;(3)在(2)的条件下,当S 取得最大值时,动点M 相应的位置记为点M ',将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ',当直线l '与直线AM '重合时停止旋转,在旋转过程中,直线'l 与线段BM '交于点C ,设点B 、M '到直线l '的距离分别为1d 、2d ,当12d d +最大时,求直线l '旋转的角度(即BAC ∠的度数). 5.如图,在平面直角坐标系中,直线y =12x +2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,抛物线y =−12x 2+bx +c 经过A 、C 两点,与x 轴的另一交点为点B .(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点, ∠连接BC 、CD ,设直线BD 交线段AC 于点E ,求DEEB的最大值; ∠过点D 作DF ∠AC ,垂足为点F ,连接CD ,是否存在点D ,使得△CDF 中的∠DCF =2∠BAC ,若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.6.已知抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ,B (点A 在点B 左侧),顶点为D ,且过C (-4,m ). (1)求点A ,B ,C ,D 的坐标;(2)点P 在该抛物线上(与点B ,C 不重合),设点P 的横坐标为t .∠当点P 在直线BC 的下方运动时,求∠PBC 的面积的最大值, ∠连接BD ,当∠PCB =∠CBD 时,求点P 的坐标.7.如图所示,抛物线y =−x 2+bx +3经过点B (3,0),与x 轴交于另一点A ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线所对应的函数表达式;(2)如图,设点D 是x 轴正半轴上一个动点,过点D 作直线l ∠x 轴,交直线BC 于点E ,交抛物线于点F ,连接AC 、FC .∠若点F 在第一象限内,当∠BCF =∠BCA 时,求点F 的坐标; ∠若∠ACO +∠FCB =45°,则点F 的横坐标为______.8.已知抛物线2y ax c =+过点()2,0A -和()1,3D -两点,交x 轴于另一点B .(1)求抛物线解析式;(2)如图1,点P 是BD 上方抛物线上一点,连接AD ,BD ,PD ,当BD 平分ADP 时,求P 点坐标; (3)将抛物线图象绕原点O 顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案,其中点M ,N 分别是旋转前后抛物线的顶点,点E 、F 是旋转前后抛物线的交点. ∠直线EF 的解析式是______;∠点G 、H 是“心形”图案上两点且关于EF 对称,则线段GH 的最大值是______.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -,连接AB ,过点A 作AD x ⊥轴于点D ,点P 在直线AB 上方的抛物线上,过点P 作PE AD ∥交x 轴于点E ,交线段AB 于点G ,连接PD 交线段AB 于点Q .(1)求抛物线的表达式;(2)当GQ AQ =时,设点P 的横坐标为m ,求m 的值;(3)在(2)的条件下,线段BE 上有一点F ,直线AD 上有一点K ,连接KF 、GF ,当2FKD FGB ∠=∠,且8KF =时,直接写出....点K 的纵坐标.... 10.如图,已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A ,B (点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,OA =OC =3.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P 为直线AC 下方抛物线上一点,连接BP 并交AC 于点Q ,若AC 分ABP 的面积为1:2两部分,请求出点P 的坐标;(3)在y 轴上是否存在一点N ,使得45BCO BNO ∠+∠=︒,若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图,抛物线y =ax 2+2x −3与x 轴交于A 、B 两点,且B (1,0).(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标;(2)如图1,点P 是直线y =x 上在x 轴上方的动点,当直线y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标;(3)如图2,已知直线y =23x −49分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点,点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点,过点Q 作y 轴的平行线,交直线CF 于点D ,点E 在线段CD 的延长线上,连接QE .问:以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 12.如图,顶点坐标为(3,4)的抛物线2y ax bx c =++交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点()0,5C -.(1)求a ,b 的值;(2)已知点M 在射线CB 上,直线AM 与抛物线2y ax bx c =++的另一公共点是点P .∠抛物线上是否存在点P ,满足:2:1=AM MP ,如果存在,求出点P 的横坐标;如果不存在,请说明理由; ∠连接AC ,当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时,请直接写出点M 的坐标.13.如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,若()1,0A -且3OC OA =.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)如图1,点D 是该抛物线的顶点,点(),P m n 是第二象限内抛物线上的一个点,分别连接BD 、BC 、BP ,当2PBA CBD ∠=∠时,求m 的值;(3)如图2,BAC ∠的角平分线交y 轴于点M ,过M 点的直线l 与射线AB ,AC 分别交于E ,F ,已知当直线l 绕点M 旋转时,11AE AF+为定值,请直接写出该定值. 14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线1L :2y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -,B 两点,且经过点(1,3)-,点C 是抛物线1L 的顶点,将抛物线1L 向右平移得到抛物线2L ,且点B 在抛物线2L 上.(1)求抛物线1L 的表达式;(2)在抛物线2L 上是否存在一点P ,使得90PAC ∠=︒,若存在,请求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.15.如图,抛物线22y ax bx =++与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,已知B 点的坐标为()4,0,抛物线的对称轴为直线32x =,点D 是BC 上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当BCD △的面积为74时,求点D 的坐标;(3)过点D 作DE BC ⊥,垂足为点E ,是否存在点D ,使得CDE 中的某个角等于ABC ∠的2倍?若存在,请直接写出点D 的横坐标...;若不存在,请说明理由. 16.抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,4),与x 轴交于点,(3,0)A B 两点,与y 轴交于点C ,点M 是抛物线上的动点.(1)求这条抛物线的函数表达式;(2)如图1,若点M 在直线BC 上方抛物线上,连接AM 交BC 于点E ,求MEAE的最大值及此时点M 的坐标;(3)如图2,已知点(0,1)Q ,是否存在点M ,使得1tan 2MBQ ∠=?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点C ,与x 轴交于A 、B 两点,直线4y x =+恰好经过B 、C 两点.(1)求二次函数的表达式;(2)点D 为第三象限抛物线上一点,连接BD ,过点O 作OE BD ⊥,垂足为E ,若2OE BE =,求点D 的坐标;(3)设F 是抛物线上的一个动点,连结AC 、AF ,若2BAF ACB ∠=∠,求点F 的坐标.18.抛物线y 1=x 2+(3-m )x +c 与直线l :y 2=kx +b 分别交于点A (-2,0)和点B (m ,n ),当-2≤x ≤4时,y 1≤y 2.(1)求c 和n 的值(用含m 的式子表示);(2)过点P (1,0)作x 轴的垂线,分别交抛物线和直线l 于M ,N 两点,则∠BMN 的面积是否存在最大值或者最小值,若存在,请求出这个值;若不存在,请说明理由;(3)直线x =m +1交抛物线于点C ,过点C 作x 轴的平行线交直线l 于点D ,交抛物线另一点于E ,连接BE ,求∠DBE 的度数.19.如图,抛物线2323y x x -=-+与x 轴交于点A 和点B ,直线:l y kx b =+与抛物线2323y x x -=-+交于点D和点12F n ⎛⎫⎪⎝⎭,,且与y 轴交与点()02E ,.(1)求直线l 的函数表达式;(2)若P 为抛物线上一点,当POE OED =∠∠时,求点P 的坐标. 20.如图,在平面直角坐标系中,直线122y x =-+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,抛物线212y x bx c =-++经过A 、B 两点,且与x 轴的负半轴交于点C .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点D 为直线AB 上方抛物线上的一点,2ABD BAC ∠=∠,直接写出点D 的坐标.参考答案1.(1)21322y x x =+- (2)542⎛⎫- ⎪⎝⎭,或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭,(3)1【分析】(1)将A (1,0)、B (-3,0)代入232y ax bx =+-,即可求解; (2)先求出BG 的解析式为13y x 22=--,然后再进行分类讨论,分别求得点Q 的坐标即可;(3)可知△DNH 与△FNH 是直角三角形,外心P 在斜边NH 的中点,分别求出直线AC 及直线BD 的函数关系式,再分为当M 运动到C 点时及当点M 运动到B 点时两种情况进行讨论,求解即可.【解析】(1)∠二次函数232y ax bx =+-的图像经过A (1,0)、B (-3,0), ∠30239302a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩,解得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∠二次函数的解析式为213y x x 22=+-; (2)由题可知G 点坐标30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭,设直线BG 的解析式为y px q =+,得: 30302k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩,解得:1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∠BG 的解析式为13y x 22=--,∠AQ ∥BG ,直线AQ 的解析式11y x 22=-+,联立直线AQ 与二次函数解析式2112213x 22y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩,解得1110x y =⎧⎨=⎩或22452x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩此时Q 的坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭,,∠直线11y x 22=-+与y 轴的交点为K 102⎛⎫⎪⎝⎭,,其关于x 轴的对称点为11K 02⎛⎫- ⎪⎝⎭, 直线1AK 的解析式为:11y x 22=- 与二次函数解析式联立得 2112213x 22y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩, 解得1110x y =⎧⎨=⎩或22232x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,此时Q 的坐标为322⎛⎫-- ⎪⎝⎭,, 综上,抛物线上存在点Q 使得∠QAB =∠BAG ,Q 点坐标为542⎛⎫- ⎪⎝⎭,或322⎛⎫-- ⎪⎝⎭,(3)如图,易知△DNH 与△FNH 是直角三角形,外心P 在斜边NH 的中点,∠PD =PF =12NH ,所以点P 是线段DF 的垂直平分线上的动点, ∠直线AC 的解析式为y =x -1,BD ∥AC , ∠直线BD 的解析式为y =x +3, ∠D (3,6),∠当M 运动到C 点时1H 与点E 重合,1FN AC ⊥,则1FN BD ⊥,又因为∠DEF =90°,DE =EF , ∠四边形1DN FE 为正方形, ∠1P 是线段DF 的中点(3,4);∠当点M 运动到B 点时,22FN FH ⊥,∠四边形DN 1FE 是正方形∠122190N FN BFC N N F BCF ∠=∠∠=∠=︒,,∠21N N F BCF ∽, ∠121CF BC N F N N =, ∠四边形DN 1FE 是正方形,∠11,4N (),∠2112BC CF N N N F ==,∠12N N =∠22,5N (), 同理26,3H (), 所以22N H 的中点2P (4,4),∠134P (,), ∠121PP =【点评】本题考查二次函数的图象及性质,熟练掌握二次函数的图象及性质,会用待定系数法求函数的解析式,会求函数的交点坐标,根据点M 的运动情况确定P 点的轨迹是线段是解题的关键.2.(1)1m =(2)点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】(1)由顶点式求得对称轴,由x =0处函数值求得C 点坐标,根据3OC ON =列方程求解即可;(2)连接AC 、BC ,过点C 作CT CB ⊥,设BG 交CT 于点T ,作TH y ⊥轴于点H ,由抛物线解析式求得A 、B 、C 坐标,可得∠OBC 、∠CHT 是等腰直角三角形,由BC 和tan tan GBC ACO ∠=∠可得TC ,进而可得T 点坐标,再由B 点坐标可得直线BC 解析式,然后与二次函数解析式联合求得交点坐标即可解答;(3)设点()2111,2P x x x -,()2222,2Q x x x -,由原点可得直线PO 、QO 的解析式,再由y =-2可得点Q '、P '横坐标,由4P Q x x ''⋅=可得()1212230x x x x -++=;设直线PQ 的解析式为y mx n =+,与l '联立可得()220x m x n -+-=,利用根与系数的关系可得122x x m +=+,12x x n =-,代入()1212230x x x x -++=求得21n m =--,于是直线PQ 为()21y m x =--经过定点2,1;(1)解:依题意得:()222y x m m m =----,∠抛物线的对称轴为直线x m =, ∠ON m m ==,在222y x mx m =---中,令0x =,则2y m =--,∠()0,2C m --, ∠22OC m m =--=+,∠3OC ON =,∠23m m +=,解得1m =;(2)解:如图,连接AC 、BC ,过点C 作CT CB ⊥,设BG 交CT 于点T ,作TH y ⊥轴于点H ,由(1)得1m =,∠抛物线的解析式为2=23y x x --,()0,3C -,3OC =,令0y =,则2230x x --=,解得11x =-,23x =,∠点A 在点B 的左侧,∠()1,0A -,()3,0B ,3OB =,在Rt AOC 中,1tan 3OA ACO OC ∠==, 3OB OC ==,则OBC △是等腰直角三角形,BC =∠OCB =45°,∠TCB =90°,则∠TCH =45°,∠CHT △是等腰直角三角形,∠GBC ACO ∠=∠,∠1tan tan 3GBC ACO ∠=∠=, ∠13CT BC =,1133CT BC ==⨯=∠sin451TH CH ==︒=,∠()1,2T --,由点()1,2T --与点()3,0B ,可求得1322TB y x =-, 联立得2132223y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩, 解得:1130x y =⎧⎨=⎩,221274x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∠点G 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭;(3)解:如图,将抛物线l 向上平移3个单位后得到抛物线l ':22y x x =-,∠点P 、Q 是抛物线l '上在第一象限内不同的两点,∠设点()2111,2P x x x -,()2222,2Q x x x -,由()2111,2P x x x -,()2222,2Q x x x -分别可求得:()12OP y x x =-,()22OQ y x x =- ∠点P '、Q '在直线=2y -上,∠点12,22P x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭,22,22Q x ⎛⎫--' ⎪-⎝⎭, ∠4P Q x x ''⋅= ∠1222422x x --⋅=--,即()()12221x x --=,整理得()1212230x x x x -++=, 设直线PQ 的解析式为y mx n =+,与l '联立得:22,y x x y mx n⎧=-⎨=+⎩,22x x mx n -=+, 整理得()220x m x n -+-=,由根与系数的关系可得:122x x m +=+,12x x n =-,∠()1212230x x x x -++=,∠()2230n m --++=,∠21n m =--,∠直线PQ 的解析式为21y mx m =--,()21y m x =--,∠当2x =时,1y =-,∠直线PQ 经过定点2,1;【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合,解直角三角形,等腰直角三角形的性质,一元二次方程根与系数的关系;此题综合性较强,正确作出辅助线并掌握函数图象交点坐标的意义是解题关键. 3.(1)244y x x =-+(2)∠32k +,∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ,使得90EQO ∠=︒【分析】(1)根据函数图像与x 轴只有一个交点,结合Δ0=求出k 值即可;(2)∠根据题意,求出()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--,利用两点之间距离公式求出PQ ,得出11m ≤∠二次函数综合中的直角三角形分两种情况:当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时;当圆与直线相交且一个交点为A 时;分情况求解即可.(1)解:二次函数的图像与x 轴只有一个交点,∠22(2)8(2)0k k k ∆=-+=+=,解得2k =-,∠所求抛物线的解析式为244y x x =-+;(2)解:如图所示:∠∠点P 在线段AB 上,且直线AB 解析式为2y kx =+,∠设点M 的横坐标为m ,则()2(,2),,(2)2P m mk N m m k m k ++--,∠22(2)2PN mk m k m k ⎡⎤=+-+--⎣⎦2222m m k =-+++2(1)32m k =--++,把2y kx =+代入2(2)2y x k x k =+--得:2(2)22x k x k kx +--=+,∠222220,(1)2(1)x x k x k ---=-=+,∠0k >,∠2(1)0k +>,∠1x =∠x 的值可以取到1,即11m ≤≤∠m 的值可以取到1,∠当1m =时PN 的最大值为32k +;∠设直线2y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点G 、H ,则()22,0,0,2,,2G H OG OH k k ⎛⎫-== ⎪⎝⎭.在Rt GOH 中,由勾股定理得:GH = 令2(2)20y x k x k =+--=,即()(2)0x k x +-=,解得:x k =-或2x =.∠(),0E k -,OE k =.(∠)当直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切时,如图∠所示:设直线2y kx =+与以O 、E 为直径的圆相切的切点为Q ,此时90,90GQM EQO ∠∠=︒=︒.设OE 中点为点M ,连接MQ ,如图∠所示,则,0.5MQ GH MQ ME OM k ⊥===.∠22k GM OG OM k =-=-, ∠,90∠=∠∠=∠=︒MGQ HGO MQG HOG , ∠∽MOG HOG , ∠=MQ GM OH GH ,即22222k k k -=, ∠2221618k k k +=-+ ∠2169k =,解得:43k =±, ∠0k >, ∠43k =. (∠)当圆与直线相交且一个交点为A 时,如图∠所示,设另一个交点为Q ,∠OE 是圆的直径,∠90EQO ∠=︒,此时可得:OG OE =, ∠2k k=,解得:k = ∠0k >,∠k =∠存在实数43k =或k =2y kx =+上存在唯一一点Q ,使得90EQO ∠=︒. 【点评】本题考查二次函数综合,涉及到利用判别式求二次函数解析式、二次函数综合中的线段最值问题、二次函数综合中的直角三角形问题,熟练掌握二次函数的图像与性质,并掌握解决相关二次函数综合问题题型的方法技巧是解决问题的关键.4.(1)223y x x =-++ (2)21525()228S m =--+,最大值为258(3)45°【分析】(1)利用直线l 的解析式求出B 点坐标,再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出a 的值;(2)设M 的坐标为(m ,-m 2+2m +3),然后根据面积关系将∠ABM 的面积进行转化;(3)由(2)可知m =52,代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值;可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值.(1)解:令x =0代入y =-3x +3,∠y =3,∠B (0,3),把B (0,3)代入223y ax ax a =--,∠3=-3a ,∠a =-1,∠二次函数解析式为:y =-x 2+2x +3;(2)令y =0代入y =-x 2+2x +3,∠0=-x 2+2x +3,∠x =-1或3,∠抛物线与x 轴的交点横坐标为-1和3,∠M 在抛物线上,且在第一象限内,∠0<m <3,令y =0代入y =-3x +3,∠x =1,∠A的坐标为(1,0),由题意知:M的坐标为(m,-m2+2m+3),S=S四边形OAMB-S△AOB=S△OBM+S△OAM-S△AOB=1 2×m×3+12×1×(-m2+2m+3)-12×1×3=-12(m-52)2+258∠当m=52时,S取得最大值258.(3)由(2)可知:M′的坐标为(52,74);过点M′作直线l1∠l′,过点B作BF∠l1于点F,根据题意知:d1+d2=BF,此时只要求出BF的最大值即可,∠∠BFM′=90°,∠点F在以BM′为直径的圆上,设直线AM′与该圆相交于点H,∠点C在线段BM′上,∠F在优弧BM H'上,∠当F与M′重合时,BF可取得最大值,此时BM′∠l1,∠A(1,0),B(0,3),M′(52,74),∠由勾股定理可求得:AB M B M A''===过点M′作M′G∠AB于点G,设BG =x ,∠由勾股定理可得:M ′B 2-BG 2=M ′A 2-AG 2,∠2285125)1616x x -=-,∠,x =cos BG M BG M B ''∠==, ∠l 1∠l ′,∠∠BCA =90°,∠BAC =45°.【点评】本题考查二次函数的综合问题,涉及待定系数求二次函数解析式,求三角形面积,圆的相关性质等知识,内容较为综合,学生需要认真分析题目,化动为静去解决问题.5.(1)213222y x x =--+ (2)∠45;∠存在,D (-2,3)【分析】(1)根据题意得到A (-4,0),C (0,2)代入y =-12x 2+bx +c ,于是得到结论; (2)∠如图1,令y =0,解方程得到x 1=-4,x 2=1,求得B (1,0),过D 作DM ∠x 轴于M ,过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ,根据相似三角形的性质即可得到结论;∠根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形,取AB 的中点P ,求得P (-32,0),得到P A =PC =PB =52,过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ,交AC 的延线于G ,解直角三角形即可得到结论.(1)解:对于函数:y =12x +2, 令x =0,则y =2,令y =0,则x =-4,∠A (-4,0),C (0,2),∠抛物线y =-12x 2+bx +c 经过A .C 两点, ∠1016422b c c ⎧=-⨯-+⎪⎨⎪=⎩,∠b =-32,c =2, ∠y =-12x 2-32x +2; (2)解:∠如图,令y =0, ∠213x x 2022--+=, ∠14x =-,21x =,∠B (1,0),过D 作DM ∠x 轴交AC 于点M ,过B 作BN ∠x 轴交于AC 于N ,∠DM BN ∥,∠DME BNE ∽△△, ∠DE DM BE BN=, 设()213,222D a a a --+, ∠1,22M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ∠B (1,0), ∠51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∠()221214225552a a DE DM a BE BN --===-++, ∠-15<0, ∠当a =-2时,DE BE 的最大值是45; ∠∠A (-4,0),B (1,0),C (0,2),∠AC =BC =AB =5,∠222AC BC AB +=,∠∠ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形,取AB 的中点P , ∠3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,∠52PA PC PB ===, ∠∠CPO =2∠BAC ,∠()4tan tan 23CPO BAC ∠=∠=, 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ,交AC 的延长线于G ,如图,∠∠DCF =2∠BAC =∠DGC +∠CDG ,∠∠CDG =∠BAC , ∠1tan tan 2CDG BAC ∠=∠=,即12RC DR =, 令213,222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭, ∠DR =-a ,21322RC a a =--, ∠2131222a a a --=-,∠10a =(舍去),22a =-,∠2D x =-,3D y =.∠D (-2,3).【点评】本题考查了二次函数综合题,涉及待定系数法求函数的解析式,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,直角三角形的性质等知识点,正确的作出辅助线是解题的关键.6.(1)A (-5,0),B (-1,0);C (-4,-3);D (-3,-4) (2)∠278;∠(0,5)或(32-,74-)【分析】(1)把抛物线解析式化为顶点式即可求出点D 的坐标,令y =0,求出x 的值即可得到A 、B 的坐标,把x =-4代入抛物线解析式求出y 即可求出点C 的坐标;(2)∠先求出直线BC 的解析式为1y x =+,过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ,则点P 的坐标为(t ,265t t ++),点F 的坐标为(t ,t +1),254PF t t =---,再根据=PBC PFC PFB S S S +△△△23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,进行求解即可;∠分如图1所示,当点P 在直线BC 上方时,如图2所示,当点P 在直线BC 下方时,两种情况讨论求解即可.(1)解:∠抛物线解析式为()226534y x x x =++=+-,∠抛物线顶点D 的坐标为(-3,-4);令y =0,则2650x x ++=,解得=1x -或5x =-,∠抛物线265y x x =++与x 轴交于点A ,B (点A 在点B 左侧),∠点A 的坐标为(-5,0),点B 的坐标为(-1,0);令4x =-,则()()246453y =-+⨯-+=-,∠点C 的坐标为(-4,-3);(2)解:∠设直线BC 的解析式为y kx b =+, ∠043k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩, ∠11k b =⎧⎨=⎩, ∠直线BC 的解析式为1y x =+,过点P 作PE ∠x 轴于E 交BC 于F ,∠点P 的横坐标为t ,∠点P 的坐标为(t ,265t t ++),点F 的坐标为(t ,t +1),∠2216554PF t t t t t =+---=---,∠=PBC PFC PFB S S S +△△△()()11=22P C B P PF x x PF x x ⋅-+⋅- ()12B C PF x x =⋅- ()23542t t =-++ 23527228t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭, ∠当52t =-时,∠PBC 的面积最大,最大为278;∠如图1所示,当点P 在直线BC 上方时,∠∠PCB =∠CBD ,∠PC BD ∥,设直线BD 的解析式为11y k x b =+,∠1111034k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩, ∠1122k b =⎧⎨=⎩, ∠直线BD 的解析式为22y x =+,∠可设直线PC 的解析式为22y x b =+,∠()2243b ⨯-+=-,∠25b =,∠直线PC 的解析式为25y x =+,联立22565y x y x x =+⎧⎨=++⎩得240x x +=, 解得0x =或4x =-(舍去),∠5y =,∠点P 的坐标为(0,5);如图2所示,当点P 在直线BC 下方时,设BD 与PC 交于点M ,∠点C 坐标为(-4,-3),点B 坐标为(-1,0),点D 坐标为(-3,-4),∠()()22241318BC =---+-=⎡⎤⎣⎦,()()22231420BD =---+-=⎡⎤⎣⎦,()()22243342CD =---+---=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, ∠222BC CD BD +=,∠∠BCD =90°,∠∠BCM +∠DCM =90°,∠CBD +∠CDB =90°,∠∠CBD =∠PCB ,∠MC =MB ,∠MCD =∠MDC ,∠MC =MD ,∠MD =MB ,∠M 为BD 的中点,∠点M 的坐标为(-2,-2),设直线CP 的解析式为23y k x b =+,∠23234322k b k b -+=-⎧⎨-+=-⎩, ∠23121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∠直线CP 的解析式为112y x =-, 联立211265y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=++⎩得2211120x x ++=, 解得32x =-或4x =-(舍去), ∠74y =-, ∠点P 的坐标为(32-,74-); 综上所述,当∠PCB =∠CBD 时,点P 的坐标为(0,5)或(32-,74-);【点评】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,二次函数的性质,待定系数法求函数解析式,勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质与判定等等,正确作出辅助线,利用分类讨论的思想求解是解题的关键.7.(1)y =−x 2+2x +3(2)∠532,39⎛⎫⎪⎝⎭;∠73或5【分析】(1)利用待定系数法即可求解;(2)∠作点A关于直线BC的对称点G,连接CG交抛物线于点F,此时,∠BCF=∠BCA,求得G(3,4),利用待定系数法求得直线CF的解析式为:y=13x+3,联立方程组,即可求解;∠分两种情况讨论,由相似三角形的性质和等腰三角形的性质,可求CF的解析式,联立方程可求解.(1)解:∠B(3,0)在抛物线y=−x2+bx+3上,∠y=−32+3b+3,解得b=2,∠所求函数关系式为y=−x2+2x+3;(2)解:∠作点A关于直线BC的对称点G,AG交BC于点H,过点H作HI∠x轴于点I,连接CG交抛物线于点F,此时,∠BCF=∠BCA,如图:令x=0,y=3;令y=0,−x2+2x+3=0,解得:x=3或x=-1,∠A(-1,0),B(3,0),C(0,3),∠OB=OC,AB=4,∠△OCB是等腰直角三角形,则∠OCB=∠OBC=45°,∠∠HAB=∠OBC=∠AHI=∠BHI=45°,∠HI= AI=BI=12AB=2,∠H(1,2),∠G(3,4),设直线CG的解析式为:y=kx+3,把G(3,4)代入得:4=3k+3,解得:k=13,∠直线CF的解析式为:y=13x+3,∠223133y x xy x⎧=-++⎪⎨=+⎪⎩,解得:53329xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以F点的坐标为(53,329);∠当点F在x轴上方时,如图,延长CF交x轴于N,∠点B(3,0),点C(0,3),∠OB=OC=3,∠∠CBO=∠BCO=45°,∠点A(-1,0),∠OA=1,∠∠FCE+∠ACO=45°,∠CBO=∠FCE+∠CNO=45°,∠∠ACO=∠CNO,又∠∠COA=∠CON=90°,∠∠CAO∠∠NCO,∠CO NO AO CO=,∠313NO =,∠ON=9,∠点N(9,0),同理可得直线CF解析式为:y=-13x+3,∠-13x+3=-x2+2x+3,∠x1=0(舍去),x2=73,∠点F的横坐标为73;当点F在x轴下方时,如图,设CF与x轴交于点M,∠∠FCE+∠ACO=45°,∠OCM+∠FCE=45°,∠∠ACO=∠OCM,又∠OC=OC,∠AOC=∠COM,∠∠COM∠∠COA(ASA),∠OA=OM=1,∠点M(1,0),同理直线CF解析式为:y=-3x+3,∠-3x+3=-x2+2x+3,∠x1=0(舍去),x2=5,∠点F的横坐标为5,综上所述:点F的横坐标为5或73.【点评】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法求解析式,相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,两点距离公式,勾股定理等知识,灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.8.(1)24y x=-+(2)232,39 P⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)∠y x =;∠4【分析】(1)待定系数法求解析式;(2)过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ,过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F .证明DAB DEB ≌△△,求得点E 的坐标,进而求得直线DE 的解析式为11033y x =+,联立抛物线解析式即可求解; (3)∠根据顺时针旋转90°后点的坐标特征可知对称轴为y x =;∠连接GH ,交EF 于点M ,则2GH GM =,过点G 作x 轴的垂线,交EF 于点N ,当GM 最大时,∠GFE面积最大,设()2,4G m m -+,则(),N m m ,根据()12GFE E F S GN x x =⋅-△以及二次函数的性质求得当12m =-时,∠GFE 面积最大,115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,根据∠的方法求得H 的坐标,根据中点公式求得M 的坐标,根据勾股定理求得GH ,由2GH GM =即可求解.(1)∠2y ax c =+过()2,0A -,()1,3D -∠403a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解之得14a c =-⎧⎨=⎩∠抛物线解析式为24y x =-+(2)过点B 作BE x ⊥轴交DP 延长线与点E ,过D 作DF x ⊥轴交x 轴于点F .由24y x =-+,令0y =,得122,2x x =-=,则()2,0BD B D y x x =-,即DF BF =,∠45DBF ∠=︒,∠45DBE ∠=︒又∠DB DB =,BD 平分ADP ,∠DAB DEB ≌△△,∠BA BE =,()2,0B∠()2,4E设直线DE 的解析式为y kx b =+,324k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得13103k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∠直线DE 的解析式为11033y x =+ 联立2411033y x y x ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩解得213,3329x x y y ⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩则232,39P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)∠直线EF 解析式为y x =.抛物线关于y 轴对称,所以旋转后图形关于x 轴对称, ∠对于抛物线上任意一点(),P a b 关于原点旋转90°后对应点为()1,P b a -在旋转后图形上,()1,P b a -关于x 轴对称的点()2,P b a 在旋转后图形上,∠(),P a b 与()2,P b a 关于y x =对称, ∠图形2关于y x =对称,∠直线EF 解析式为y x =故答案为:y x =∠GH如图,连接GH ,交EF 于点M ,则2GH GM =,过点G 作x 轴的垂线,交EF 于点N ,∠当GM 最大时,∠GFE 面积最大,又∠()12GFE E F S GN x x =⋅-△ 设()2,4G m m -+,则(),N m m ∠22117424G N GN y y m m m ⎛⎫=-=-+-=-++ ⎪⎝⎭ ∠当12m =-时,∠GFE 面积最大,115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭由∠可知115,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y x =的对称点H 15142⎛⎫ ⎪⎝⎭,- ∴1313,88M ⎛⎫ ⎪⎝⎭8GM ∴=∠GH 的最大值为:2GH GM ==【点评】本题考查了二次函数的性质,旋转的性质,全等三角形的性质与判定,一次函数与二次函数交点问题,掌握以上知识是解题的关键.9.(1)234y x x =-++(2)1m = (3)227或227【分析】(1)直接利用待定系数法求解即可;(2)先求出直线AB 的解析式为1y x =+,然后证明∠PGQ ∠∠DAQ 得到PG =AD =4,再由点P 的坐标为()234m m m ++,-,点G 的坐标为(m ,m +1),得到23414PG m m m =-++--=,由此求解即可;(3)如图所示,过点F 作FH ∠AB 于H ,过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ,过点Q 作QM ∠KF 于M ,连接FG ,设2BF t QD s KD k ===,,,则42DF t =-,先证明∠HBF =∠HFB =45°,得到HB HF ==,再由(2)得1m =,求得BG =HG =,tan =2HF t FGH HG t=-∠;根据角平分线的定义和性质得到QM QD s ==,∠FGH =∠QKD ,再由111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△,推出()428k t s k -=+,则tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠,可以推出()222282168t t t t k t t---+==, 在Rt ∠FKD 中,22264DF DK KF +==,得到()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭,由此即可求出t 的值即可得到答案.(1) 解:∠抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()3,4A 和点()1,0B -,∠934440a b a b ++=⎧⎨-+=⎩, ∠13a b =-⎧⎨=⎩, ∠抛物线解析式为234y x x =-++;(2)解:设直线AB 的解析式为1y kx b =+,∠11034k b k b -+=⎧⎨+=⎩, ∠11k b =⎧⎨=⎩, ∠直线AB 的解析式为1y x =+,∠PE AD ∥,∠∠PGQ =∠DAQ ,∠GPQ =∠ADQ ,又∠AQ =GQ ,∠∠PGQ ∠∠DAQ (AAS ),∠PG =AD =4,∠点P 的横坐标为m ,∠点P 的坐标为()234m m m ++,-,点G 的坐标为(m ,m +1),∠23414PG m m m =-++--=,∠2210m m -+=,解得1m =;(3)解:如图所示,过点F 作FH ∠AB 于H ,过点K 作KQ 平分∠FKD 交x 轴于Q ,过点Q 作QM ∠KF 于M ,连接FG ,设2BF t QD s KD k ===,,,则42DF t =-,∠点B 的坐标为(-1,0),点A 的坐标为(3,4),∠BD =AD =4,∠∠ABD =45°,∠FH ∠AB ,∠∠HBF =∠HFB =45°, ∠HB HF ==,由(2)得1m =,∠点G 的坐标为(1,2),∠BE =GE =2,∠BG = ∠HG BG HB =-=, ∠tan =2HF t FGH HG t=-∠; ∠KQ 平分∠FKD ,QM ∠FK ,QD ∠DK ,∠FKD =2∠FGB ,∠QM QD s ==,∠FGH =∠QKD , ∠111==222FKD FQK DQK S S S DF DK KF QM DQ DK +⋅=⋅+⋅△△△, ∠()111428222k t s sk -=⨯+, ∠()428k t s k-=+, ∠tan tan 2s t QKQ FGH k t ===-∠∠, ∠4282t t k t-=+-, ∠()222282168t t t t k t t---+==, 在Rt ∠FKD 中,22264DF DK KF +==,∠()22221684264t t t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭, ∠43222464288256641616464t t t t t t t -+-+-++=, ∠2344322161644642882566464t t t t t t t t -++-+-+=,∠432880240256640t t t t -+-+=,∠43210243280t t t t -+-+=,∠()()2221016143280t t t t t -++-+=,∠()()()()22827220t t t t t --+--=,∠()()32814420t t t t -+--=,∠()()()28122220t t t t t ⎡⎤-++--=⎣⎦,∠()()()()262220t t t t t --+--=⎡⎤⎣⎦,∠()()226220t t t -+-=, ∠点F 在BE 上,∠22BF t BE =≤=,∠1t ≤,∠2620t t -+=,解得3t =-3t =,∠()22262442168442t t t t t t k t t t -+-+-+-=====,∠2DK =,∠点K 的纵坐标为227或227.【点评】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,勾股定理,解直角三角形,角平分线的性质,等腰直角三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定等等,熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键.10.(1)223y x x =+-(2)(-2,-3)或(-1,-4)(3)(0,2)或(0,-2)【分析】(1)先求出A 、C 的坐标,然后用待定系数法求解即可;(2)先求出直线AC 的解析为3y x =--,根据AC 把△ABP 的面积分成1:2两部分,得到=12APQ ABQ S S △△::,如图所示,过点P 作PD ∠x 轴于D ,过点Q 作DE ∠x 轴于E , 先求出23EQ PD =,设点P 的坐标为(m ,223m m +-),则点D 的纵坐标为224233m m +-,点D 的坐标为(224133m m ---,224233m m +-),然后求出点B 的坐标,从而求出∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭,,证明∠BEQ ∠∠BDP ,得到224223313m m m ++=-,据此求解即可; (3)分两种情况当点N 在x 轴上方时,过点N 作NH ∠直线BC 于H ,过点H 作HE ∠y 轴于E ,HF ∠x 轴于F ,求出直线BC 的解析式为33y x =-,证明HN =HF ,四边形EOFH 是矩形,得到∠EHF =90°,OE =HF ,证明∠NEH ∠∠BFH 得到NE =BF ,设H 坐标为(m ,3m -3),则NE =BF =m -1,OE =3m -3ON =EN +OE =4m -4,CE =3m -3+3=3m ,点N 的坐标为(0,4m -4),NC =4m -1在Rt ∠NCH 中,由222NH CH CN +=,得到()()222221941m m m m m +-++=-,由此求解即可;当点N 在x 轴下方时,利用等腰三角形的性质求解即可.(1)解:∠OA =OC =3,∠点A 的坐标为(-3,0),点C 的坐标为(0,-3), ∠9303b c c -+=⎧⎨=-⎩, ∠23b c =⎧⎨=-⎩, ∠抛物线解析式为223y x x =+-;(2)解:设直线AC 的解析式为1y kx b =+,∠11303k b b -+=⎧⎨=-⎩, ∠113k b =-⎧⎨=-⎩, ∠直线AC 的解析为3y x =--,∠AC 把∠ABP 的面积分成1:2两部分,∠=12APQ ABQ S S △△::或=2APQ ABQ S S △△::1(此种情况不符合题意,舍去),如图所示,过点P 作PD ∠x 轴于D ,过点Q 作QE ∠x 轴于E ,∠=32APB ABQ S S △△::,∠132122AB PD AB EQ ⋅=⋅, ∠23EQ PD =, 设点P 的坐标为(m ,223m m +-),则点Q 的纵坐标为224233m m +-, ∠点Q 的坐标为(224133m m ---,224233m m +-), 令y =0,则2230x x +-=,解得1x =或3x =-,∠点B 的坐标为(1,0), ∠22242411123333BD m BE m m m m ⎛⎫=-=----=++ ⎪⎝⎭,, ∠PD ∠x 轴,QE ∠x 轴,∠DP QE ∥,∠∠BEQ ∠∠BDP , ∠23BE QE BD PD ==, ∠224223313m m m ++=-, 解得2m =-或1m =-,∠点P 的坐标为(-2,-3)或(-1,-4);(3)解:如图1所示,当N 在x 轴上方时,过点N 作NH ∠直线BC 于H ,过点H 作HE ∠y 轴于E ,HF ∠x 轴于F , 设直线BC 的解析式为12y k x b =+,∠12203k b b +=⎧⎨=-⎩, ∠1233k b =⎧⎨=-⎩, ∠直线BC 的解析式为33y x =-,∠∠BNO +∠BCO =45°,∠∠NBH =45°,∠∠HNB =45°=∠HBN ,∠HN =HF ,∠EH ∠OE ,FH ∠OF ,OE ∠OF ,∠四边形EOFH 是矩形,∠∠EHF =90°,OE =HF ,∠∠NHE +∠BHE =90°=∠BHF +∠BHE ,∠∠NHE =∠BHF ,又∠∠HEN =∠HFB =90°,∠∠NEH ∠∠BFH (AAS ),∠NE =BF ,设H 坐标为(m ,3m -3),∠NE =BF =m -1,OE =3m -3∠ON =EN +OE =4m -4,CE =3m -3+3=3m ,∠点N 的坐标为(0,4m -4),NC =4m -1在Rt ∠NCH 中,222NH CH CN +=,∠()()222221941m m m m m +-++=-,∠222222191681m m m m m m m +-+++=-+,∠2460m m -=, 解得32m =或0m =(舍去), ∠点N 的坐标为(0,2);如图2所示,当点N 在x 轴下方的1N 点时,由等腰三角形的性质可知当1N B BN =(N 点为图1中的N )时,1BN O BNO =∠∠,∠1OB NN ⊥,∠12ON ON ==,∠点1N 的坐标为(0,-2),综上所述,在y 轴上是否存在一点N (0,2)或(0,-2),使得45BCO BNO ∠+∠=︒.【点评】本题主要考查了二次函数综合,一次函数与几何综合,等腰三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,三角形外角的性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理等等,正确作出辅助线是解题的关键.11.(1)抛物线解析式为y =x 2+2x -3,A 点坐标为(-3,0);(2)P 点坐标为(32,32);(3)以QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为5413. 【分析】(1)把B 点坐标代入抛物线解析式可求得a 的值,可求得抛物线解析式,再令y =0,可解得相应方程的根,可求得A 点坐标;(2)当点P 在x 轴上方时,连接AP 交y 轴于点B ′,可证△OBP ∠∠OB ′P ,可求得B ′坐标,利用待定系数法可求得直线AP 的解析式,联立直线y =x ,可求得P 点坐标;(3)过Q 作QH ∠DE 于点H ,由直线CF 的解析式可求得点C 、F 的坐标,结合条件可求得tan∠QDH ,可分别用DQ 表示出QH 和DH 的长,分DQ =DE 和DQ =QE 两种情况,分别用DQ 的长表示出∠QDE 的面积,再设出点Q 的坐标,利用二次函数的性质可求得∠QDE 的面积的最大值.(1)解:把B (1,0)代入y =ax 2+2x -3,可得a +2-3=0,解得a =1,∠抛物线解析式为y =x 2+2x -3,令y =0,可得x 2+2x -3=0,解得x =1或x =-3,∠A 点坐标为(-3,0);(2)解:若y =x 平分∠APB ,则∠APO =∠BPO ,如图1,若P 点在x 轴上方,P A 与y 轴交于点B ′,由于点P 在直线y =x 上,可知∠POB =∠POB ′=45°,在∠BPO 和∠B ′PO 中POB POB OP OP BPO B PO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠'=∠⎩', ∠∠BPO ∠∠B ′PO (ASA ),∠BO =B ′O =1,设直线AP 解析式为y =kx +b ,把A 、B ′两点坐标代入可得301k b b -+=⎧⎨=⎩,解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∠直线AP 解析式为y =13x +1, 联立113y x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩,解得3232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∠P 点坐标为(32,32); (3)解:如图2,作QH ∠CF ,交CF 于点H ,设抛物线交y 轴于点M .∠CF 为y =23x −49, ∠可求得C (23,0),F (0,-49), ∠tan∠OFC =OC OF =32, ∠DQ ∠y 轴,∠∠QDH =∠MFD =∠OFC ,∠tan∠HDQ =32, 不妨设DQ =t ,DH,HQ, ∠∠QDE 是以DQ 为腰的等腰三角形,∠若DQ =DE ,则S △DEQ =12DE •HQ =12×t2,。

专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题二 二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破(含答案)

专题二二次函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 二次函数与线段最值问题1.在平面直角坐标系中, 点B 的坐标为, 将抛物线向左平移 2 个单位长度后的顶点记为A. 若点P是x 轴上一动点, 则的最小值是( )A. 8B.C. 9D.2.如图, 抛物线与x轴正半轴交于点A, 与y 轴交于点B.(1)求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标;(2)点P为第四象限内且在对称轴右侧抛物线上一动点, 过点 P作轴, 垂足为C,PC交AB于点D, 求的最大值, 并求出此时点P的坐标;(3)将抛物线向左平移n个单位长度得到抛物线, 若抛物线与直线AB 只有一个交点, 求n的值.3.已知:如图,二次函数与x轴交于点A,B,点A在点B左侧,交y 轴于点C,.(1)求抛物线的解析式;(2)在第一象限的抛物线上有一点D,连接AD,若,求点D坐标;(3)点P在第一象限的抛物线上,于点Q,求PQ的最大值?题型2 二次函数与图形面积问题4.如图,抛物线与x轴的两个交点坐标为、.(1)求抛物线的函数表达式;(2)矩形的顶点P,Q在x轴上(P,Q不与A,B重合),另两个顶点M,N在抛物线上(如图).①当点P在什么位置时,矩形周长最大?求这个最大值并写出点P的坐标;②判断命题“当矩形周长最大时,其面积最大”的真假,并说明理由.5.在平面直角坐标系xOy 中, 已知抛物线经过,两点. P是抛物线上一点, 且在直线AB的上方.(1)请直接写出抛物线的解析式.(2)若面积是面积的 2 倍, 求点P的坐标.(3)如图, OP交AB于点C,交AB于点D. 记,,的面积分别为,,. 判断是否存在最大值. 若存在, 求出最大值; 若不存在, 请说明理由.6.已知抛物线与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C点,且,.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上位于直线BC上方的一点,连结PB、PC.①如图1,过点P作轴交BC于点D,交x轴于点E,连结OD.设的面积为,的面积为,若,求S的最大值;②如图2,已知,Q为平面内一点,若以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以CP为边的平行四边形,求点Q的坐标.题型3 二次函数与图形判定问题7.如图,已知二次函数(b,c为常数)的图象经过点,点,顶点为点M,过点A作轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连接BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移m()个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在的内部(不包括的边界),求m的取值范围;(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).8.如图, 已知点, 以点D为顶点的抛物线经过点A, 且与直线交于点B,.(1)求抛物线的表达式和点D的坐标.(2)在对称轴上存在一点M, 使得, 求出点M 的坐标.(3)已知点P 为抛物线对称轴上一点, 点Q 为平面内一点, 是否存在以P,B,C,Q为顶点的四边形是菱形的情形? 若存在, 直接写出点P 的坐标; 若不存在, 请说明理由.9.如图,已知抛物线与x轴交于点,,与y轴交于点,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为,过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在线段OB上运动时,直线l交直线BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形;(3)点P在线段AB上运动过程中,是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.答案以及解析1.答案:D解析:,平移后抛物线的解析式为,点A的坐标为.如图, 作点A关于 x轴对称的点连接交x轴于点P则此时有最小值,最小值为的长,易知,,的最小值是.2.答案: (1)(2)(3)解析: (1)对于,令, 则, 解得,,.令, 则,.设直线AB的解析式为,则解得直线AB的解析式为.抛物线顶点坐标为.(2)如图, 过点D作轴于点E, 则.,,.设点P的坐标为,则点D的坐标为,.,又,当时, 的值最大, 最大值为,此时,此时点P 的坐标为.(3)设抛物线的解析式为. 令,整理, 得,3.答案:(1)(2)(3)解析:(1)当时,,解得,,,.,,,抛物线的解析式为;(2)如图,作于E,,,设,则,,,解得,,,;(3)如图,作轴,交BC于F,则,,,,,由,可知,直线BC的解析式为,设,则,,,时,PF的最大值为,的最大值为.4.答案:(1)(2)①Р在时,矩形的周长最大,最大值为10;②命题是假命题解析:(1)解:将、代入中得,解得,抛物线的函数表达式为,(2)解:抛物线的对称轴为,设点,则,①P,Q关于对称,,则,矩形的周长为,当时,l的值最大,最大值为10,即Р在时,矩形的周长最大,最大值为10.②假命题.由①可知,当矩形周长最大时,长为3,宽为2,面积为6,当为正方形时,,解得,点Р的坐标为,点Q的坐标为,,正方形的面积;故命题是假命题.5.答案: (1)(2) 或(3) 存在,解析:(1)将,分别代入, 得解得所以抛物线的解析式为.(2)设直线AB的解析式为,将,分别代入, 得解得所以直线AB的解析式为.如图 (1), 过点P 作轴, 垂足为M,PM交AB于点N, 过点B 作, 垂足为E,所以因为,,所以.因为的面积是面积的 2 倍,所以, 所以.设,则,所以, 即,解得,,所以点P的坐标为或.(3) 存在.因为, 所以,, 所以,所以.因为,,所以.设直线AB交y轴于点F, 则.如图 (2), 过点P作轴, 垂足为H,PH交 AB于点G.因为, 所以.因为, 所以,所以,所以.设.由 (2) 可得,所以.又,所以当时, 的值最大, 最大值为.6.答案:(1)(2)见解析①6②或解析:(1)由题意,得,,此抛物线的解析式为:.(2)①由可得:设直线BC的解析式为:,则,,直线BC的解析式为:,设,则,,,当时,S的最大值为6.②在OB上截取,则,,又,,,,,运用待定系数法法可求:直线CF的解析式为:,直线BP的解析式为:,,解得或4,,,轴,ACPQ是以CP为边构成平行四边形,,点Q在x轴上,或.7.答案:(1)二次函数解析式为;点M的坐标为(2)(3),,,解析:(1)把点,点代入二次函数得,,解得,二次函数解析式为,配方得,点M的坐标为;(2)设直线AC解析式为,把点,代入得,,解得,直线AC的解析式为,如图所示,对称轴直线与两边分别交于点E、点F.把代入直线AC解析式解得,则点E坐标为,点F坐标为,,解得;(3)连接MC,作轴并延长交AC于点N,则点G坐标为,,,,把代入解得,则点N坐标为,,,,,由此可知,若点P在AC上,则,则点D与点C必为相似三角形对应点①若有,则有,,,,,,若点P在y轴右侧,作轴,,,,把代入,解得,;同理可得,若点P在y轴左侧,则把代入,解得,;②若有,则有,,,若点P在y轴右侧,把代入,解得;若点P在y轴左侧,把代入,解得;;.所有符合题意得点P坐标有4个,分别为,,,.8.答案: (1)(2)(3)存在, 点P的坐标为,, ,或解析: (1) 将代入, 得,将,分别代入, 得解得故抛物线的表达式为.抛物线的顶点D的坐标为.(2)易知抛物线的对称轴为直线, 且点A,C 关于对称轴对称.作直线AB, 交直线于点M, 则点M即为所求.令,解得,,故.设直线AB 的表达式为,将,分别代入, 得解得故直线AB 的表达式为,当时, , 故.(3)设,易得,①当时,该四边形是以BC为对角线的菱形, 则, 即, 解得,点P 的坐标为.②当时,该四边形是以PC 为对角线的菱形, 则, 即,解得, 故点P的坐标为或.③当时,该四边形是以PB为对角线的菱形, 则, 即, 解得,故点P 的坐标为或.综上可知, 点P的坐标为,,,或9.答案:(1)(2)当时,四边形CQMD是平行四边形(3)点Q的坐标为或解析:(1)设抛物线的解析式为,把点的坐标代入,得,解得抛物线的解析式为,即.(2)点D与点C关于x轴对称,点,,设直线BD的表达式为,把,代入得,,解得,直线BD的关系表达式为,设,,,,当时,四边形CQMD为平行四边形,,解得,(不合舍去),故当时,四边形CQMD是平行四边形;(3)在中,,,,当以点B、M为顶点的三角形与相似时,分三种情况:①若时,,如图1所示,当时,,即,,,,,,解得,,(不合舍去),,,,,点Q的坐标为;②若时,如图2所示,此时点P、Q与点A重合,,③由于点M在直线BD上,因此,这种情况不存在,综上所述,点Q的坐标为或.。

中考数学《二次函数》专项练习题及答案

中考数学《二次函数》专项练习题及答案

中考数学《二次函数》专项练习题及答案一、单选题1.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列结论:①abc>0;②b+2a=0;③抛物线与x轴的另一个交点为(4,0);④a+c>b;⑤3a+c<0.其中正确的结论有()A.5个B.4个C.3个D.2个2.对于抛物线y=−13(x−5)2+3,下列说法正确的是()A.开口向下,顶点坐标(5,3)B.开口向上,顶点坐标(5,3)C.开口向下,顶点坐标(-5,3)D.开口向上,顶点坐标(-5,3)3.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的?()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒4.已知二次函数y=x2−4x+2,当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时,下列说法正确的是()A.有最大值14,最小值-2B.有最大值14,最小值7C.有最大值7,最小值-2D.有最大值14,最小值25.如图,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1,则下列说法正确的有()①abc<0,②2a+b=0,③a−b+c>0,④若4a+2b+c>0.A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④6.在平面直角坐标系中,对于点 P(x ,y) 和 Q(x ,y′) ,给出如下定义:若 y′={y +1 (x ≥0)−y (x <0),则称点 Q 为点 P 的“亲密点”.例如:点 (1,2) 的“亲密点”为点 (1,3) ,点 (−1,3) 的“亲密点”为点 (−1,−3) .若点 P 在函数 y =x 2−2x −3 的图象上.则其“亲密点” Q 的纵坐标 y′ 关于 x 的函数图象大致正确的是( )A .B .C .D .7.对于二次函数 y =2(x −1)2−3 ,下列说法正确的是( )A .图象开口向下B .图象和y 轴交点的纵坐标为-3C .x <1 时,y 随x 的增大而减小D .图象的对称轴是直线 x =−18.抛物线 y =−3x 2+12x −3 的顶点坐标是( )A .(2,9)B .(2,-9)C .(-2,9)D .(-2,-9)9.如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点(0,﹣2),与x 轴交点的横坐标分别为x 1,x 2,且﹣1<x 1<0,1<x 2<2,下列结论正确的是( )A .a <0B .a ﹣b+c <0C .−b 2a>1D .4ac ﹣b 2<﹣8a10.已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)交x 轴于点A(1,0),B(3,0).P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是抛物线上两个点.若|x 1−2|>|x 2−2|>1,则下列结论一定正确的是( ) A .y 1<y 2B .y 1>y 2C .|y 1|<|y 2|D .|y 1|>|y 2|11.二次函数y=x2-1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位,向下平移2个单位得到()A.y=(x−2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x−2)2−3D.y=(x+2)2+312.如图所示,已知△ABC中,BC=12,BC边上的高h=6,D为BC上一点,EF△BC,交AB于点E,交AC于点F,设点E到边BC的距离为x.则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为()A.B.C.D.二、填空题13.二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2 √3个单位长度,以AB为边作等边△ABC,使点C落在该函数y轴左侧的图象上,则点C的坐标为.14.将y=x2的向右平移3个单位,再向上平移5个单位后,所得的解析式是.15.为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由100元降为81元,则平均每次降价的百分率是.16.如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于.17.不等式x2+ax+b≥0(a≠0)的解集为全体实数,假设f(x)=x2+ax+b,若关于x的不等式f(x)<c的解集为m<x<m+6,则实数c的值为.18.用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,设围成长方形的生物园的长为x m,则围成长方形的生物的面积S(单位:m2)与x的函数表达式是.(不要求写自变量x的取值范围)三、综合题19.鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个,根据市场调研发现售价是80元/个时,每周可卖出160个,若销售单价每个降低2元,则每周可多卖出20个.设销售价格每个降低x元(x为偶数),每周销售为y个.(1)直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式;(2)设商户每周获得的利润为W元,当销售单价定为多少元时,每周销售利润最大,最大利润是多少元?(3)若商户计划下周利润不低于5200元的情况下,他至少要准备多少元进货成本?20.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x(天)1≤x<5050≤x≤90售价(元/件)x+4090每天销量(件)200﹣2x(1)求出y与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.21.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴,抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点,点D为抛物线的顶点,连接AC、BD、CD.(1)求此抛物线的解析式.(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.22.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A,B.(点A在点B的左侧)(1)求m的取值范围;(2)当m取最大整数时,求点A、点B的坐标.23.我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台,经过市场销售后发现,在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低1元,就可多售出5台,若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.(1)若某月空气净化器售价降低30元,则该月可售出多少台?(2)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式,并求出售价x的范围.(3)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获的利润w(元)最大,最大利润是多少?24.一家超市,经销一种地方特色产品,每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y(kg)与单价x(元/kg)的对应值.单价x(元/kg)55606570销量y(kg)70605040(2)平均每天获得600元销售利润的季节,顾客利益也较大,销售单价是多少?(3)当销售单价为多少时,一天的销售利润最大?最大利润是多少?参考答案1.【答案】B 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】D 10.【答案】D 11.【答案】B 12.【答案】D13.【答案】(1﹣ √7 ,﹣3) 14.【答案】y=(x ﹣3)2+5 15.【答案】10% 16.【答案】c=6或12 17.【答案】918.【答案】S =−x 2+8x19.【答案】(1)解:依题意有:y=10x+160;(2)解:依题意有:W=(80﹣50﹣x )(10x+160)=﹣10(x ﹣7)2+5290,∵-10<0且x 为偶数,故当x=6或x=8时,即故当销售单价定为74或72元时,每周销售利润最大,最大利润是5280元; (3)解:依题意有:﹣10(x ﹣7)2+5290≥5200,解得4≤x≤10,则200≤y≤260,200×50=10000(元).答:他至少要准备10000元进货成本.20.【答案】(1)解:当1≤x <50时,y=(200-2x )(x+40-30)=-2x 2+180x+2000当50≤x≤90时y=(200-2x )(90-30)=-120x+12000综上所述:y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)(2)解:当1≤x <50时,二次函数开口向下,二次函数对称轴为x=45 当x=45时,y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x≤90时,y 随x 的增大而减小当x=50时,y最大=6000综上所述,该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元(3)解:当1≤x<50时,y=-2x2+180x+2000≥4800,解得20≤x≤50,因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50,共30天;当50≤x≤90时,y=-120x+12000≥4800,解得x≤60因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60,共11天所以该商品在销售过程中,共41天每天销售利润不低于4800元;21.【答案】(1)解:由已知得:C(0, 4),B(4, 4)把B与C坐标代入y=−12x2+bx+c得:{4b+c=12c=4解得:b=2则解析式为y=−12x2+2x+4;(2)解:∵y=−12x2+2x+4=−12(x−2)2+6∴抛物线顶点坐标为(2, 6)则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12. 22.【答案】(1)解:根据题意得△=(-4)2-4(2m-1)>0解得m<5 2;(2)解:m的最大整数为2抛物线解析式为y=x2-4x+3当y=0时,x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3所以A(1,0),B(3,0).23.【答案】(1)解:由题意得:200+30×5=350(台)答:该月可售出350台(2)解:由题意得:y=200+5(400−x)=−5x+2200由供货商对售价和销售量的规定得:{x≥330y≥450,即{x≥330−5x+2200≥450解得:330≤x≤350答:所求的函数关系式为y=−5x+2200,售价x的范围为330≤x≤350(3)解:由题意和(2)可得:w=(x−200)(−5x+2200)整理得:w=−5(x−320)2+72000由二次函数的性质可知:当330≤x≤350时,w随x的增大而减小则当x=330时,w取得最大值,最大值为w=−5×(330−320)2+72000=71500(元)答:当售价定为330元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大,最大利润是71500元24.【答案】(1)解:设y=kx+b,由题意得:{55k+b=70 60k+b=60解得{k=−2 b=180∴y(kg)与x(元/kg)之间的函数关系式为y=﹣2x+180.(2)解:由题意得:(x﹣50)(﹣2x+180)=600整理,得x2﹣140x+4800=0解得x1=60,x2=80∵顾客利益也较大∴x=60∴平均每天获得600元销售利润的季节,顾客利益也较大,销售单价是60元/千克.(3)解:一天的销售利润为:w=(x﹣50)(﹣2x+180)=﹣2x2+280x﹣9000=﹣2(x﹣70)2+800∴当x=70时,w最大=800.∴当销售单价为70元/kg时,一天的销售利润最大,最大利润是800元。

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(面积问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(面积问题)1.如图,二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8),且与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点(1,0)A -,M 为抛物线的顶点.(1)求二次函数的解析式; (2)求MCB △的面积;(3)在坐标轴上是否存在点N ,使得BCN △为直角三角形?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图,抛物线212y x bx c =-++(b 、c 为常数)经过()4,0A 和()0,4B 两点,其顶点为C .(1)求该抛物线的表达式及其顶点坐标;(2)若点M 是拋物线上第一象限的一个动点.设ABM 的面积为S ,试求S 的最大值; (3)若抛物线222y mx mx m =-++与线段AB 有两个交点,直接写出m 的取值范围. 3.如图,抛物线22(0)y ax ax c a =-+>与y 轴交于点C ,与x 轴交于A ,B 两点,点A 在点B 左侧.点A 的坐标为(1,0),3OC OA -=.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线BC 下方的抛物线上是否存在一点P ,使得PBC 的面积等于ABC 面积的三分之二?若存在,求出此时OP 的长;若不存在,请说明理由.(3)将直线AC 绕着点C 旋转45︒得到直线l ,直线l 与抛物线的交点为M (异于点C ),求M 点坐标.4.如图1,抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -,,()04C ,两点,与x 轴交于另一点B .(1)求抛物线和直线BC 的解析式;(2)如图2,点P 为第一象限抛物线上一点,是否存在使四边形PBOC 面积最大的点P ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图3,若抛物线的对称轴EF (E 为抛物线顶点)与直线BC 相交于点F ,M 为直线BC 上的任意一点,过点M 作MN EF ∥交抛物线于点N ,以E ,F ,M ,N 为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,请求出点N 的坐标;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于点()2,0A -,()4,0B ,与y 轴交于点C ,顶点为D .(1)求抛物线的解析式和顶点D 的坐标;(2)动点P ,Q 以相同的速度从点O 同时出发,分别在线段,OB OC 上向点B ,C 方向运动,过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点E . ①当四边形OQEP 为矩形时,求点E 的坐标;①过点E 作EM BC ⊥于点M ,连接,PM QM ,设BPM △的面积为1S ,CQM 的面积为2S ,当PE 将BCE 的面积分成1:3两部分时,请直接写出12S S 的值. 6.如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴相交于A ,B 两点,抛物线的对称轴为直线=1x -,其中点A 的坐标为(3,0)-.(1)求点B 的坐标;(2)已知1a =,C 为抛物线与y 轴的交点,求抛物线的解析式; (3)若点P 在抛物线上,且4POCBOCSS=,求点P 的坐标;(4)设点Q 是线段AC 上的动点,过点Q 作QD y 轴交抛物线于点D ,求线段QD 长度的最大值.7.如图,在平面直角坐标系中,二次函数22y ax bx =++的图象与x 轴交于()30A -,,()10B ,两点,与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式;(2)点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点,当ACP △的面积最大时,求点P 的坐标;(3)Q 是x 轴上一动点,M 是第二象限内抛物线上一点,若以A ,C ,M ,Q 为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点Q 的坐标.8.如图,直线132y x =-+交y 轴于点A ,交x 轴于点C ,抛物线214y x bx c =-++经过点A ,点C ,且交x 轴于另一点B .(1)直接写出点A ,点B ,点C 的坐标及抛物线的解析式;(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ,求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标;(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A '',若线段O A ''与抛物线只有一个公共点,请结合函数图象,求m 的取值范围.9.如图,已知抛物线与x 轴交于()1,0A - 、()4,0B 两点,与y 轴交于点()0,3C .(1)求抛物线的解析式; (2)求直线BC 的函数解析式;(3)在抛物线上,是否存在一点P ,使PAB 的面积等于ABC 的面积?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ,()2,0C -,与y 轴交于点A ,点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 运动到什么位置时,PAB 的面积最大?(3)过点P 作x 轴的垂线,交线段AB 于点D ,再过点P 作PE x ∥轴交抛物线于点E ,连接DE .是否存在点P ,使PDE △为等腰直角三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图,直线l :112y x =-+与x 轴,y 轴分别交于点B ,C ,经过B ,C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A .(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P 在直线l 下方的抛物线上,过点P 作PD ①x 轴交l 于点D ,PE ①y 轴交l 于点E ,求PD PE +的最大值;(3)若点P 在直线l 下方的抛物线上,F 为直线l 上的点,以A ,B ,P ,F 为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能,直接写出点F 的坐标;若不能,请说明理由. 12.已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B ,(1)求抛物线的解析式;(2)设C ,D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点.①当四边形ABCD 的周长最小时,在图1中作直线CD ,保留作图痕迹并直接写出直线CD 的解析式;①点()(),>0P m n m 是直线y x =上的一个动点,Q 是OP 的中点,以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR △.在①的条件下,记PQR 与COD △的公共部分的面积为S ,求S 关于m 的函数关系式,并求S 的最大值.13.抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B , 与x 轴交于另一点A , 顶点为D .(1)填空: 点B 的坐标为___________, 点D 的坐标为___________.(2)如图1 , 连结OD P ,为x 轴上的动点, 当以O D P ,,为顶点的三角形是等腰三角形时, 请直接写出点P 的坐标;(3)如图2, M 是点B 关于拋物线对称轴的对称点, Q 是拋物线上的动点, 它的横坐标为 (05)m m <<, 连结MQ BQ MQ ,,与直线OB 交于点E . 设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S , 设12S t s =, 试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值. 14.如图,二次函数的图象经过点()10A -,,()30B ,,()03C -,,直线22y x =-与x 轴、y 轴交于点D ,E .(1)求该二次函数的解析式(2)点M 为该二次函数图象上一动点.①若点M 在图象上的B ,C 两点之间,求DME 的面积的最大值. ①若MED EDB ∠∠=,求点M 的坐标.15.如图,在平面直角坐标系中,抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -,B 两点,其对称轴直线2x =与x 轴交于点D .(1)求该抛物线的函数表达式为______;(2)如图1,点P 为抛物线上第四象限内的一动点,连接CD ,PB ,PC ,求四边形BDCP 面积最大值和点P 此时的坐标;(3)如图2,将该抛物线向左平移得到抛物线y ',当抛物线y '经过原点时,与原抛物线的对称轴相交于点E ,点F 为抛物线y '对称轴上的一点,点M 是平面内一点,若以点A ,E ,F ,M 为顶点的四边形是以AE 为边的菱形,请直接写出满足条件的点M 的坐标______.16.如图,已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点()21,0A m -和点()2,0B m +,与y 轴交于点C ,对称轴轴为直线=1x -.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AC 上一动点,过点P 作PQ y ∥轴,交抛物线于点Q ,以P 为圆心,PQ 为半径作P ,当P 与坐标轴相切时,求P 的半径;(3)直线()340y kx k k =++≠与抛物线交于M ,N 两点,求AMN 面积的最小值.17.如图,在平面直角坐标系中,抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于两点()1,0A -和()3,0B ,与y 轴交于点C ,抛物线上有一动点P ,抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连接EC ,作直线BC .(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点时,连接,PB PC ,当23EBC PBC S S =△△时,求点P 坐标;(3)如果抛物线的对称轴上有一动点Q ,x 轴上有一动点N ,是否存在四边形PQCN 是矩形?若存在,在横线上直接写出点N 的坐标,若不存在,请说明理由. 18.如图,直线122y x =-+交y 轴于点A ,交x 轴于点C ,抛物线214y x bx c=-++经过点A ,点C ,且交x 轴于另一点B .(1)直接写出点A ,点B ,点C 的坐标及抛物线的解析式;(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ,求三角形ACM 面积的最大值及此时点M 的坐标;(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90︒得到线段O A '',若线段O A ''与抛物线只有一个公共点,请结合函数图象,求m 的取值范围(直接写出结果即可).参考答案:1.(1)245y x x =-++; (2)15(3)存在,点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0).2.(1)2142y x x =-++,91,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)S 的最大值为4 (3)2m ≥或1249m -<≤-3.(1)抛物线的解析式为2=23y x x -- (2)不存在这样的点P , (3)M 点坐标是(45),或315()24-,4.(1)抛物线的解析式:234y x x =-++;直线BC 的解析式为4y x =-+;(2)当()26P ,时,四边形PBOC 面积最大; (3)能,点N 的坐标为52124⎛⎫ ⎪⎝⎭,或724⎛- ⎝或724⎛- ⎝.5.(1)2142y x x =--,91,2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)①(-;①1215S S =或1279S S =6.(1)(1,0) (2)223y x x =+- (3)(4,21)或()4,5- (4)947.(1)224233y x x =--+(2)3(2P -,5)2(3)(5,0)-或(1,0)-8.(1)03A (,),20B -(,),60C (,),抛物线解析式为:2134y x x =-++; (2)3a =时,四边形ABCM 面积最大,其最大值为754,此时M 的坐标为153,4⎛⎫⎪⎝⎭;(3)当3m -≤≤-33m ≤≤时,线段O A ''与抛物线只有一个公共点.9.(1)239344y x x =-++(2)334y x =-+(3)存在,点P 的坐标为:()13,3P ,23P ⎫-⎪⎪⎝⎭,33P ⎫-⎪⎪⎝⎭10.(1)21262y x x =-++(2)153,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 坐标为()46,或()55.11.(1)2512y x x =-+ (2)3(3)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或1(1,)212.(1)21119424y x x =-++(2)①4y x =-+;①当02m <≤时,218PQRSm =;当823m <≤时,27448S m m =-+-;当843m ≤≤时,21244S m m =-+;S 的最大值为:47答案第3页,共3页 13.(1)()5,5;()2,4-;(2)点P的坐标为()或()-或()4,0或()5,0; (3)()2150566t m m m =-+<<,当52m =时,t 的最大值为2524.14.(1)该二次函数的解析式是()()21323y x x x x =+-=--;(2)①DME 的面积的最大值为52;①点M的坐标为⎝⎭或()12--.15.(1)214433y x x =-- (2)PBDC S 四边形的最大值为17,此时点P 的坐标为()3,5-(3)⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或⎛- ⎝⎭或8,⎛- ⎝⎭16.(1)223y x x =+-(2)2或4(3)817.(1)2=23y x x --(2)⎝⎭或⎝⎭ (3)存在,⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭18.(1)()0,2A ,()2,0B -,()4,0C ,211242y x x =-++ (2)2,()2,2(3)34m -≤≤-或32m -+≤。

中考数学专题训练:关于二次函数的新定义(附参考答案)

中考数学专题训练:关于二次函数的新定义(附参考答案)

1 / 2中考数学专题训练:关于二次函数的新定义(附参考答案)1.若将抛物线平移,有一个点既在平移前的抛物线上,又在平移后的抛物线上,则称这个点为“平衡点”.现将抛物线C1:y =(x -2)2-4向右平移m(m >0)个单位长度后得到新的抛物线C2,若(4,n)为“平衡点”,则m 的值为( )A .2B .1C .4D .32.新定义:[a ,b ,c]为二次函数y =ax2+bx +c(a ≠0,a ,b ,c 为实数)的“图象数”,如:y =x2-2x +3的“图象数”为[1,-2,3].若“图象数”是[m ,2m +4,2m +4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点,则m 的值为( )A .-2B .14C .-2或2D .23.定义:在平面直角坐标系中,过一点P 分别作坐标轴的垂线,这两条垂线与坐标轴围成一个矩形,若矩形的周长值与面积值相等,则点P 叫做“和谐点”,所围成的矩形叫做“和谐矩形”.已知点P 是抛物线y =x2+k 上的“和谐点”,所围成的“和谐矩形”的面积为16,则k 的值可以是( )A .16B .4C .-12D .-184.定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形OABC 中,点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数y =(x -m)2-m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A .4,-1B .5−√172,-1 C .4,0 D .5+√172,-15.定义:[a ,b ,c]为二次函数y =ax2+bx +c(a ≠0)的特征数,下面给出特征数为[m ,1-m ,2-m]的二次函数的一些结论:①当m =1时,函数图象的对称轴是y 轴;②当m =2时,函数图象过原点;③当m >0时,函数有最小值;④如果m <0,当x >12时,y 随x 的增大而减小.其中所有正确结论的序号是__________.6.定义:在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设点P 的坐标为(x ,y),当x <0时,点P 的变换点P ′的坐标为(-x ,y);当x ≥0时,点P 的变换点P ′的坐标为(-y ,x).抛物线y =(x -2)2+n 与x 轴交于点C ,D(点C 在点D 的左侧),顶点为E ,点P 在该抛物线上.若点P 的变换点P ′在抛物线的对称轴上,且四边形ECP ′D 是菱形,则满足该条件的所有n 值的和为________.7.对某一个函数给出如下定义:若存在实数m >0,对于任意的函数值y ,都满足-m ≤y ≤m ,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的m 中,其最小值称为这个函数的边界值.例如,2 / 2 如图中的函数是有界函数,其边界值是1.将函数y =-x2+1(-2≤x ≤t ,t ≥0)的图象向上平移t 个单位长度,得到的函数的边界值n 满足94≤n ≤52时,则t 的取值范围是________________________.参考答案1.C 2.C3.C 4.D 5.①②③ 6.-13 7.≤t ≤34或54≤t ≤32。

中考数学真题二次函数专项练习(带答案)

中考数学真题二次函数专项练习(带答案)

中考数学真题二次函数一、选择题1.已知点M(−4,a−2) N(−2,a) P(2,a)在同一个函数图象上.则这个函数图象可能是()A.B.C.D.2.抛物线y=ax2−a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1).B(x2,y2)两点.若x1+x2<0.则直线y= ax+k一定经过().A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限3.设二次函数y=a(x−m)(x−m−k)(a>0,m,k是实数).则()A.当k=2时.函数y的最小值为−a B.当k=2时.函数y的最小值为−2aC.当k=4时.函数y的最小值为−a D.当k=4时.函数y的最小值为−2a4.已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0).下列说法正确的是()A.点(1,2)在该函数的图象上B.当a=1且−1≤x≤3时.0≤y≤8C.该函数的图象与x轴一定有交点D.当a>0时.该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧5.一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒.经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2.那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是()A.5B.10C.1D.2二、填空题6.在平面直角坐标系xOy中.一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部(包括边界).这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如:如图.函数y=(x−2)2(0⩽x⩽3)的图象(抛物线中的实线部分).它的关联矩形为矩形OABC.若二次函数y=14x2+bx+c(0⩽x⩽3)图象的关联矩形恰好也是矩形OABC.则b=.三、解答题7.设二次函数y=ax2+bx+1.(a≠0.b是实数).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示:(1)若m=4.求二次函数的表达式;(2)写出一个符合条件的x的取值范围.使得y随x的增大而减小.(3)若在m、n、p这三个实数中.只有一个是正数.求a的取值范围.8.如图.已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5).(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标.(2)当y≤−2时.请根据图象直接写出x的取值范围.9.已知二次函数y=−x2+bx+c.(1)当b=4,c=3时.①求该函数图象的顶点坐标.②当−1⩽x⩽3时.求y的取值范围.(2)当x⩽0时.y的最大值为2;当x>0时.y的最大值为3.求二次函数的表达式.10.在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中.(1)若它的图象过点(2,1).则t的值为多少?(2)当0≤x≤3时.y的最小值为−2.求出t的值:(3)如果A(m−2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上.且a<b<3.求m的取值范围。

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题 二次函数解答压轴题 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题二次函数解答压轴题一、解答题1.(2023·浙江绍兴·统考中考真题)已知二次函数2y x bx c =-++.(1)当4,3b c ==时,①求该函数图象的顶点坐标.②当13x -≤≤时,求y 的取值范围.(2)当0x ≤时,y 的最大值为2;当0x >时,y 的最大值为3,求二次函数的表达式.2.(2023·浙江·统考中考真题)已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数,0)a ≠的图像上.(1)当1m =-时,求a 和b 的值;(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上,当21m -<<-时,求n 的取值范围;(3)求证:240b a +=.5(1)求二次函数的表达式;(2)求四边形ACDB 的面积;(3)P 是抛物线上的一点,且在第一象限内,若ACO PBC ∠=∠6.(2023·山东烟台·统考中考真题)如图,抛物线2y ax =+(1)求直线AD 及抛物线的表达式;(2)在抛物线上是否存在点M ,使得ADM △是以若不存在,请说明理由;(3)以点B 为圆心,画半径为2的圆,点P 为7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图,二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B (点A 在点B 的左侧),直线l 是对称轴.点P 在函数图像上,其横坐标大于4,连接,PA PB ,过点P 作PM l ⊥,垂足为M ,以点M 为圆心,作半径为r 的圆,PT 与M 相切,切点为T .(1)求点,A B 的坐标;(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等,且M 不经过点()3,2,求PM 长的取值范围.8.(2023·山东东营·统考中考真题)如图,抛物线过点()0,0O ,()10,0E ,矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧),点C ,D 在抛物线上,设(),0B t ,当2t =时,4BC =.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t 为何值时,矩形ABCD 的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ,H ,且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时,求抛物线平移的距离.(1)求这条抛物线的函数解析式;(2)P 是抛物线上一动点(不与点A ,B ,C 重合),作①如图,若点P 在第三象限,且tan 2CPD ∠=,求点②直线PD 交直线BC 于点E ,当点E 关于直线PC 周长.10.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图,抛物线(1)求抛物线解析式及B ,(2)以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,求点(3)该抛物线对称轴上是否存在点11.(2023·四川达州·统考中考真题)如图,抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -.(1)求抛物线的解析式;(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点,求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标;(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点,点N 为坐标平面内一点,是否存在以BC 为边,点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.12.(2023·四川泸州·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ,B ,()0,6C 三点,其对称轴为2x =.(1)求该抛物线的解析式;(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点,直线AF 分别与y 轴,直线BC 交于点D ,E .①当CD CE =时,求CD 的长;②若CAD ,CDE ,CEF △的面积分别为1S ,2S ,3S ,且满足1322S S S +=,求点F 的坐标.(1)求此抛物线的解析式.(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时,求m的值.∠的边与x轴平行时,求点P与点Q的纵坐标的差.(3)当PAQ(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐标的差为(1)求该抛物线的表达式;(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点,过点P作PD(3)在(2)的条件下,将该抛物线向右平移5个单位,Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以Q15.(2023·四川凉山·统考中考真题)如图,已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点,与y 轴交于点C .直线33y x =-+过抛物线的顶点P .(1)求抛物线的函数解析式;(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ,与直线BC 交于点F .①当EF 取得最大值时,求m 的值和EF 的最大值;②当EFC 是等腰三角形时,求点E 的坐标.16.(2023·四川成都·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -,与y 轴交于点(0,1)A ,直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ,C 两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形,求点B 的坐标;(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线,交直线AB 于点D ,交直线AC 于点E .试探究:是否存在常数m ,使得OD OE ⊥始终成立?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.(1)如图2,若抛物线经过原点O .①求该抛物线的函数表达式;②求BE EC的值.(2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等?若能,求符合条件的点P 的横坐标;若不能,试说明理由.(1)求这个二次函数的表达式;(2)在二次函数图象上是否存在点P ,使得由;(3)点Q 是对称轴l 上一点,且点Q 的纵坐标为(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当:3:5BM MQ =时,求点N 的坐标;(3)如图2,当点Q 恰好在y 轴上时,P 为直线1l 下方的抛物线上一动点,连接设OQE 的面积为1S ,PQE 的面积为2S .求21S S 的最大值.(1)求抛物线的表达式;(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时,连接BP交AC标及PDDB的最大值;(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M,连接PC,将好落在y轴上时,请直接写出此时点M的坐标.33(1)求点,,D E C 的坐标;(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <,连接①求证:DFC △是直角三角形;②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点K 坐标.28.(2023·江苏扬州·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中,已知点A 在y 轴正半轴上.(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =(a 为常数,且0a ≠)的图象上.①=a ________;②如图1,已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上,且AD y ⊥轴,求菱形的边长;③如图2,已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上,点B 、D 在y 轴的同侧,且点B 在点D 的左侧,设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ,试探究n m -是否为定值.如果是,求出这个值;如果不是,请说明理由.(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =(a 为常数,且0a >)的图象上,点B 在点D 的左侧,设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ,直接写出m 、n 满足的等量关系式.(1)请求出抛物线1Q 的表达式.(2)如图1,在y 轴上有一点()0,1D -,点E 在抛物线1Q 上,点F 为坐标平面内一点,是否存在点边形DAEF 为正方形?若存在,请求出点,E F 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图2,将抛物线1Q 向右平移2个单位,得到抛物线2Q ,抛物线2Q 的顶点为(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,直线11:y OP y x x =交BF 于点G ,求BPG BOGS S △△的最大值;(3)如图2,四边形OBMF 为正方形,PA 交y 轴于点E ,BC 交FM 的延长线于求点P 的横坐标.31.(2023·山东枣庄·统考中考真题)如图,抛物线2y x bx c =-++经过(1,0),(0,3)A C -两点,并交x 轴于另一点B ,点M 是抛物线的顶点,直线AM 与轴交于点D .(1)求该抛物线的表达式;(2)若点H 是x 轴上一动点,分别连接MH ,DH ,求MH DH +的最小值;(3)若点P 是抛物线上一动点,问在对称轴上是否存在点Q ,使得以D ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接..写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.32.(2023·湖北随州·统考中考真题)如图1,平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -,(2,0)B 和(0,2)C ,连接BC ,点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点,过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ,交x 轴于点N .(1)直接写出....抛物线和直线BC 的解析式;(2)如图2,连接OM ,当OCM 为等腰三角形时,求m 的值;(3)当P 点在运动过程中,在y 轴上是否存在点Q ,使得以O ,P ,Q 为顶点的三角形与以B ,C ,N 为顶点的三角形相似(其中点P 与点C 相对应),若存在,直接写出....点P 和点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点交x轴于点D,求与12PK PD+的最大值及此时点2①求证:23DO EO =.②当点E 在线段OB 上,且BE =35.(2023·山西·统考中考真题)如图,二次函数直线与该函数图象交于点()1,3B (1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标;(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点,过点P 作直线PE 设点P 的横坐标为m .①当12PD OC =时,求m 的值;②当点P 在直线AB 上方时,连接OP ,过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ,36.(2023·湖北武汉·统考中考真题)抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点(A 在B 的左边),交y 轴于点C .(1)直接写出,,A B C 三点的坐标;(2)如图(1),作直线()04=<<x t t ,分别交x 轴,线段BC ,抛物线1C 于,,D E F 三点,连接CF .若BDE 与CEF △相似,求t 的值;(3)如图(2),将抛物线1C 平移得到抛物线2C ,其顶点为原点.直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点,过OG 的中点H 作直线MN (异于直线OG )交抛物线2C 于,M N 两点,直线MO 与直线GN 交于点P .问点P 是否在一条定直线上?若是,求该直线的解析式;若不是,请说明理由.(1)直接判断AOB 的形状:AOB 是_________三角形;(2)求证:AOE BOD △≌△;(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >.将经过B ,C 两点的抛物线21y ax =物线2y .①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点,求t 的值;(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点,当PAC △(3)如图2,取线段OC 的中点D ,在抛物线上是否存在点若不存在,请说明理由.(1)直接写出结果;b =_____,c =_____,点A 的坐标为_____,tan ABC ∠=______;(2)如图1,当2PCB OCA ∠=∠时,求点P 的坐标;(3)如图2,点D 在y 轴负半轴上,OD OB =,点Q 为抛物线上一点,90QBD ∠=︒,点E ,F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点,QE DF =,记BE Q F +的最小值为m .①求m 的值;②设PCB 的面积为S ,若214S m k =-,请直接写出k 的取值范围.(1)求抛物线的解析式.(2)过点M 作x 轴的垂线,与拋物线交于点N .若04t <<,求NED 面积的最大值.(3)抛物线与y 轴交于点C ,点R 为平面直角坐标系上一点,若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形,请求出所有满足条件的点R 的坐标.41.(2023·四川·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,已知二次函数2y ax bx =++交于点()2,0A -,()4,0B ,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)已知E 为抛物线上一点,F 为抛物线对称轴且90BFE ∠=︒,求出点F 的坐标;(3)如图2,P 为第一象限内抛物线上一点,连接运动过程中,12OM ON +是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.42.(2023·山东聊城·统考中考真题)如图①,抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,,()6,0B ,与y 轴交于点C ,连接AC ,BC .点P 是x 轴上任意一点.(1)求抛物线的表达式;(2)点Q 在抛物线上,若以点A ,C ,P ,Q 为顶点,AC 为一边的四边形为平行四边形时,求点Q 的坐标;(3)如图②,当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时(点P 与点A ,B 不重合),自点P 分别作∥PE BC ,交AC 于点E ,作PD BC ⊥,垂足为点D .当m 为何值时,PED V 面积最大,并求出最大值.43.(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知:y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++.(1)若函数的图象与坐标轴...有两个公共点,且4a b =,则a 的值是___________;(2)如图,若函数的图象为抛物线,与x 轴有两个公共点()2,0A -,()4,0B ,并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ,连接PA ,PB ,PC ,BC ,其中PA 交y 轴于点D ,交BC 于点E .设PBE △的面积为1S ,CDE 的面积为2S .①当点P 为抛物线顶点时,求PBC 的面积;②探究直线l 在运动过程中,12S S -是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.(1)求抛物线的解析式;(2)若32m<<,当m为何值时,四边形CDNP是平行四边形?(3)若32m<,设直线MN交直线BC于点E,是否存在这样的m值,使值;若不存在,请说明理由.(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,点D 是线段OC 上的一动点,连接AD 好落在抛物线的对称轴上时,求点D 的坐标;(3)如图2,动点P 在直线AC 上方的抛物线上,过点F ,过点F 作FG x ⊥轴,垂足为G ,求2FG +(1)求二次函数的表达式;(2)如图1,求AOD △周长的最小值;(3)如图2,过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ,连接,PA PB ,记PAD 与△为S ,当S 取得最大值时,求点P 的坐标,并求出此时S 的最大值.(1)求抛物线和一次函数的解析式.(2)点E ,F 为平面内两点,若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形,且点E 在点F 的左侧.F 两点是否存在?如果存在,请直接写出所有满足条件的点E 的坐标:如果不存在,请说明理由.(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ,此抛物线的图象与两点(M 点在N 点左侧).点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方.已知点P 的横坐标为P 作PD NC ⊥于点D .求m 为何值时,12CD PD +有最大值,最大值是多少?50.(2023·四川南充·统考中考真题)如图1,抛物线23y ax bx =++(0a ≠)与x 轴交于()1,0A -,()3,0B 两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)点P 在抛物线上,点Q 在x 轴上,以B ,C ,P ,Q 为顶点的四边形为平行四边形,求点P 的坐标;(3)如图2,抛物线顶点为D ,对称轴与x 轴交于点E ,过点()1,3K 的直线(直线KD 除外)与抛物线交于G ,H 两点,直线DG ,DH 分别交x 轴于点M ,N .试探究EM EN ⋅是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由.51.(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ,且经过点()2,6C -.(1)求抛物线的表达式;(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ,射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ,点Q 关于x 轴的对称点为Q ',求APQ '△的面积;(3)点M 是y 轴上一动点,当AMC ∠最大时,求M 的坐标.52.(2023·四川广安·统考中考真题)如图,二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ,,交y 轴于点C ,点B 的坐标为()1,0,对称轴是直线=1x -,点P 是x 轴上一动点,PM x ⊥轴,交直线AC 于点M ,交抛物线于点N .(1)求这个二次函数的解析式.(2)若点P 在线段AO 上运动(点P 与点A 、点O 不重合),求四边形ABCN 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.(3)若点P 在x 轴上运动,则在y 轴上是否存在点Q ,使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.53.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21:23L y x x =--的顶点为P .直线l 过点()()0,3M m m ≥-,且平行于x 轴,与抛物线1L 交于A B 、两点(B 在A 的右侧).将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ,抛物线2L 交y 轴于点C ,顶点为D .(1)当1m =时,求点D 的坐标;(2)连接BC CD DB 、、,若BCD △为直角三角形,求此时2L 所对应的函数表达式;(3)在(2)的条件下,若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动,且EF CD =,以EF 为一边作正方形EFGH ,连接CG ,写出CG 长度的最小值,并简要说明理由.54.(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面,数(代数)侧重研究物体数量方(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标;(2)点P为第三象限内抛物线上一点,作直线AC,连接PA 标;(3)设直线135 :4l y kx k=+-交抛物线于点M、N,求证:无论存在一点E,使得MEN∠为直角.(1)求a 的值.(2)将直线BC 向下平移()0m m >个单位长度,交抛物线于在定点D ,无论m 取何值时,都是点D 到直线B C ''的距离最大,若存在,请求出点请说明理由.(3)抛物线上是否存在点P ,使45PBC ACO ∠+∠=︒,若存在,请求出直线58.(2023·湖北十堰·统考中考真题)已知抛物线28y ax bx =++过点()4,8B 和点()8,4C ,与y 轴交于点A .(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接,AB BC ,点D 在线段AB 上(与点,A B 不重合),点F 是OA 的中点,连接FD ,过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ,连接EF ,当DEF 面积是ADF △面积的3倍时,求点D 的坐标;(3)如图2,点P 是抛物线上对称轴右侧的点,(),0H m 是x 轴正半轴上的动点,若线段OB 上存在点G (与点,O B 不重合),使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠,求m 的取值范围.59.(2023·吉林长春·统考中考真题)在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线22y x bx =-++(b 是常数)经过点(2,2).点A 的坐标为(,0)m ,点B 在该抛物线上,横坐标为1m -.其中0m <.(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标;(2)当点B 在x 轴上时,求点A 的坐标;(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ,当抛物线在点P 和点B 之间的部分(包括P 、B 两点)的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时,求m 的值.(4)当点B 在x 轴上方时,过点B 作BC y ⊥轴于点C ,连结AC 、BO .若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点(不包括四边形AOBC 的顶点),设这两个交点分别为点E 、点F ,线段BO 的中点为D .当以点C 、E 、O 、D (或以点C 、F 、O 、D )为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时,直接写出所有满足条件的m 的值.60.(2023·湖北·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -,与y 轴交于点C ,顶点为D ,连接BC .(1)抛物线的解析式为__________________;(直接写出结果)(2)在图1中,连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ,求CEB ∠的度数;(3)如图2,若动直线l 与抛物线交于,M N 两点(直线l 与BC 不重合),连接,CN BM ,直线CN 与BM 交于点P .当MN BC ∥时,点P 的横坐标是否为定值,请说明理由.61.(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与探究如图,抛物线2y x bx c =-++上的点A ,C 坐标分别为()0,2,()4,0,抛物线与x 轴负半轴交于点B ,点M 为y 轴负半轴上一点,且2OM =,连接AC ,CM .(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式;【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程:___________,___________【技能训练】(2)如图2,已知抛物线21y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的参考答案一、解答题222(3)如图,P是抛物线上的一点,且在第一象限,当⊥交BP于连接PB,过C作CE BC∵5OC OB ==,则OCB 为等腰直角三角形,由勾股定理得:52CB =,∵ACO PBC ∠=∠,∴tan tan ACO PBC ∠=∠,即1552CE CE CB ==,∴2CE =由CH BC ⊥,得90BCE ∠=︒,【点拨】此题是一次函数,二次函数及圆的综合题,掌握待定系数法求函数解析式,直角三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,求两图象的交点坐标,正确掌握各知识点是解题的关键.A7.【答案】(1)()2,0,y=【分析】(1)令0(2)由题意可得抛物线的对称轴为假设M 过点()3,2N ,则有以下两种情况:①如图1:当点M 在点N 的上方,即∴2683m m -+=,解得:m =∵4m >∴5m =;②如图2:当点M 在点N 的上方,即∴2681m m -+=,解得:m =∵4m >∴32m =±;综上,32PM m =-=或2.∴当M 不经过点()3,2时,1【点拨】本题主要考查了二次函数的性质、切线的性质、勾股定理等知识点,掌握分类讨论思想是解答本题的关键.∵直线GH平分矩形ABCD的面积,∴直线GH过点P..由平移的性质可知,四边形OCHG是平行四边形,=.∴PQ CH∵四边形ABCD是矩形,∴P是AC的中点.33⎝∴90,PEC CED ∠=∠=︒。

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)

中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)一、综合题1.如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面的最大距离是5m.(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如图),你选择的方案是()(填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是(),求出你所选方案中的抛物线的表达式;(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.2.如图,抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点,正半轴相交于B点,与 y 轴相交于C 点.(1)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线 BC 对称的点的坐标;(2)在(1)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.3.如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;②是否存在一点P,使△PCD的面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.4.已知抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b(a≠0,b>0)的顶点为M,经过原点O且与x轴另一交点为A.(1)求点A的坐标;(2)若△AMO为等腰直角三角形,求抛物线C1的解析式;(3)现将抛物线C1绕着点P(m,0)旋转180°后得到抛物线C2,若抛物线C2的顶点为N,当b=1,且顶点N在抛物线C1上时,求m的值.5.如图,抛物线G:y=−x2+2mx−m2+m+3的顶点为P(x P,y P),抛物线G与直线l:x=3交于点Q.(1)x P=,y P=(分别用含m的式子表示);y P与x P的函数关系式为;(2)求点Q的纵坐标y Q(用含m的式子表示),并求y Q的最大值;(3)随m的变化,抛物线G会在直角坐标系中移动,求顶点P在y轴与l之间移动(含y轴与l)的路径的长.6.如图,抛物线的顶点D的坐标为(﹣1,4),抛物线与x轴相交于A.B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,已知点E(0,﹣3),在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得△CEF的周长最小,如果存在,求出点F的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)如图2,连接AD,若点P是线段OC上的一动点,过点P作线段AD的垂线,在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N,当MN最大时,求△POM的面积.7.已知:如图,抛物线y=ax2﹣2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的坐标;(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点A(4,0),点B(0,4),ΔABO的中线AC与y轴交于点C,且⊙M经过O,A,C三点.(1)求圆心M的坐标;(2)若直线AD与⊙M相切于点A,交y轴于点D,求直线AD的函数表达式;(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P,过点P作PE∥y轴,交直线AD于点E.若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F.当EF=4√5时,求点P的坐标.9.如图1所示,已知抛物线y=−x2+4x+5的顶点为D,与x轴交于A、B两点(A左B右),与y轴交于C点,E为抛物线上一点,且C、E关于抛物线的对称轴对称,作直线AE.(1)求直线AE的解析式;(2)在图2中,若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F,则点F的坐标为(直接填空);(3)点P为抛物线上一动点,过点P作直线PG与y轴平行,交直线AE于点G,设点P的横坐标为m,当S△PGE∶S△BGE=2∶3时,直接写出所有符合条件的m值,不必说明理由.10.综合与探究如图,直线y=−23x+4与x轴,y轴分别交于B,C两点,抛物线y=ax2+43x+c经过B,C两点,与x轴的另一个交点为A(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为点D.抛物线的对称轴与x轴交于点E.(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)点M是线段BC上一动点,连接DM并延长交x轴交于点F,当FM:FD=1:4时,求点M的坐标;(3)点P是该抛物线上的一动点,设点P的横坐标为m,试判断是否存在这样的点P,使∠PAB+∠BCO=90°,若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.11.如图,点A,B在函数y=14x2的图像上.已知A,B的横坐标分别为-2、4,直线AB与y轴交于点C,连接OA,OB.(1)求直线AB的函数表达式;(2)求ΔAOB的面积;(3)若函数y=14x2的图像上存在点P,使得ΔPAB的面积等于ΔAOB的面积的一半,则这样的点P共有个.12.如图,已知二次函数y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象与x轴负半轴交于点A(﹣1,0),与y 轴正半轴交于点B,顶点为P,且OB=3OA,一次函数y=kx+b的图象经过A、B.(1)求一次函数解析式;(2)求顶点P的坐标;,求点M (3)平移直线AB使其过点P,如果点M在平移后的直线上,且tan∠OAM=32坐标;(4)设抛物线的对称轴交x轴于点E,连接AP交y轴于点D,若点Q、N分别为两线段PE、PD上的动点,连接QD、QN,请直接写出QD+QN的最小值.13.如图,抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,点D是拋物线在x轴上方,对称轴右侧上的一个动点,设点D的横坐标为m.连接AC,BC,DB,DC.(1)求抛物线的解析式;(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为7时,求m的值;2(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上一动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(x+m)(x−3m)图象的顶点为M,图象交x轴于A、14.如图,y关于x的二次函数y=−√33mB两点,交y轴正半轴于D点.以AB为直径作圆,圆心为C.定点E的坐标为(−3,0),连接ED.(m>0)(1)写出A、B、D三点的坐标;(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线与圆的位置关系;(3)当m变化时,用m表示△AED的面积S,并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图.15.在图1中,抛物线y=ax2+2ax﹣8(a≠0)与x轴交于点A、B(点A在B左侧),与y轴负半轴交于点C,OC=4OB,连接AC,抛物线的对称轴交x轴于点E,交AC于点F.(1)AB的长为,a的值为;(2)图2中,直线ON分别交EF、抛物线于点M、N,OM=√17,连接NC.①求直线ON的解析式;②证明:NC∥AB;③第四象限存在点P使△BFP与△AOC相似,且BF为△BFP的直角边,请直接写出点P坐标.16.如图,直线AB的解析式为y=−43x+4,抛物线y=−13x2+bx+c与y轴交于点A,与x轴交于点C(6,0),点P是抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),当点P在第一象限内的抛物线上时,求△ABP面积的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点A作直线l//x轴,过点P作PH⊥l于点H,将△APH绕点A顺时针旋转,使点H的对应点恰好落在直线AB上,同时恰好落在坐标轴上,请直接写出点P的坐标.参考答案与解析1.【答案】(1)解:方案一:点B的坐标为(5,0),设抛物线的解析式为:y=a(x+5)(x−5).由题意可以得到抛物线的顶点为(0,5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15(x+5)(x−5)方案2:点B的坐标为(10,0).设抛物线的解析式为:y=ax(x−10).由题意可以得到抛物线的顶点为(5,5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15x(x−10);方案3:点B的坐标为(5,−5),由题意可以得到抛物线的顶点为(0,0).设抛物线的解析式为:y=ax2,把点B的坐标(5,−5),代入解析式可得:a=−15,∴抛物线的解析式为:y=−15x2;(2)解:方案一:由题意:把x=3代入y=−15(x+5)(x−5),解得:y=165=3.2,∴水面上涨的高度为3.2m方案二:由题意:把x=2代入y=−15x(x−10)解得:y=165=3.2,∴水面上涨的高度为3.2m.方案三:由题意:把x=3代入y=−15x2解得:y=−95= −1.8,∴水面上涨的高度为5−1.8= 3.2m.2.【答案】(1)解: 将点D( m,m+1 )代入y=−x2+3x+4中,得:m+1=−m2+3m+4,解得:m=−1或3,∵点D在第一象限,∴m=3,∴点D的坐标为(3,4);令y=0,则−x2+3x+4=0,解得:x1=−1,x2=4,令x=0,则y=4,由题意得A(-1,0),B(4,0),C(0,4),∴OC=OB=4,BC= 4√2,CD=3,∵点C、点D的纵坐标相等,∴CD∥AB,∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°,∴点D关于直线BC的对称点E在y轴上.根据对称的性质知:CD=CE=3 ,∴OE=OC−CE=4−3=1,∴点D关于直线BC对称的点E的坐标为(0,1);(2)解: 作PF⊥AB于F,DG⊥BC于G,由(1)知OB=OC=4,∠OBC=45°.∵∠DBP=45°,∴∠CBD=∠PBF.∵CD=3,∠DCB=45°,∴CG=DG= 3√22,∵BC= 4√2,∴BG= 4√2−3√22=5√22∴tan∠PBF=tan∠CBD=DGBG =35.设PF=3t,则BF=5t,OF=5t−4.∴P(−5t+4,3t),∵P点在抛物线上,∴3t=−(−5t+4)2+3(−5t+4)+4解得:t=2225或t=0(舍去).∴点P的坐标为( −25,6625).3.【答案】(1)解:在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO= OBOA=3,∴OB=3OA=3.∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC≌△AOB,∴OC=OB=3,OD=OA=1,∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0).代入解析式为{a+b+c=09a−3b+c=0c=3,解得: {a =−1b =−2c =3.∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3(2)解:①∵抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3,∴对称轴l=﹣ b2a =﹣1,∴E 点的坐标为(﹣1,0).如图, 当∠CEF=90°时,△CEF ∽△COD .此时点P 在对称轴上,即点P 为抛物线的顶点,P (﹣1,4);当∠CFE=90°时,△CFE ∽△COD ,过点P 作PM ⊥x 轴于点M ,则△EFC ∽△EMP . ∴EMMP =EFFC =DO OC=13 ,∴MP=3EM .∵P 的横坐标为t ,∴P (t ,﹣t 2﹣2t+3).∵P 在第二象限,∴PM=﹣t 2﹣2t+3,EM=﹣1﹣t ,∴﹣t 2﹣2t+3=﹣(t ﹣1)(t+3),解得:t 1=﹣2,t 2=﹣3(因为P 与C 重合,所以舍去),∴t=﹣2时,y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3.∴P (﹣2,3).∴当△CEF 与△COD 相似时,P 点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3); ②设直线CD 的解析式为y=kx+b ,由题意,得{−3k +b =0b =1 ,解得: {k =13b =1,∴直线CD 的解析式为:y= 13 x+1.设PM 与CD 的交点为N ,则点N 的坐标为(t , 13 t+1),∴NM= 13 t+1.∴PN=PM ﹣NM=﹣t 2﹣2t+3﹣( 13 t+1)=﹣t 2﹣ 73t +2. ∵S △PCD =S △PCN +S △PDN ,∴S △PCD = 12 PN •CM+ 12 PN •OM= 12 PN (CM+OM )= 12 PN •OC= 12 ×3(﹣t 2﹣ 73t +2)=﹣ 32 (t+76)2+ 12124 ,∴当t=﹣ 76 时,S △PCD 的最大值为 12124 . 4.【答案】(1)解:∵抛物线C 1:y=ax 2+4ax+4a+b (a ≠0,b >0)经过原点O , ∴0=4a+b ,∴当ax 2+4ax+4a+b=0时,则ax 2+4ax=0, 解得:x=0或﹣4,∴抛物线与x 轴另一交点A 坐标是(﹣4,0)(2)解:∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b(a≠0,b>0),(如图1)∴顶点M坐标为(﹣2,b),∵△AMO为等腰直角三角形,∴b=2,∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点,∴a(0+2)2+2=0,解得:a=﹣12,∴抛物线C1:y=﹣12x2﹣2x(3)解:∵b=1,抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点,(如图2)∴a=﹣14,∴y=﹣14(x+2)2+1=﹣14x2﹣x,设N(n,﹣1),又因为点P(m,0),∴n﹣m=m+2,∴n=2m+2即点N的坐标是(2m+2,﹣1),∵顶点N在抛物线C1上,∴﹣1=﹣14(2m+2+2)2+1,解得:m=﹣2+ √2或﹣2﹣√2 5.【答案】(1)m;m+3;y P=x P+3(2)解:∵抛物线 G :y =−x 2+2mx −m 2+m +3 与直线 l :x =3 交于点 Q , ∴把 x =3 代入 y =−x 2+2mx −m 2+m +3 , 得 y Q =−m 2+7m −6 .∵y Q =−m 2+7m −6=−(m −72)2+254,∴当 m =72 时, y Q 的最大值为 254 .(3)解:∵点 P 在 y 轴与 l 之间沿直线 l 1:y =x +3 运动, 如图,设直线 l 1:y =x +3 与 y 轴和直线 l 分别交于点 B 和点 P 1 ,线段 BP 1 的长即为点 P 路径长.把 x B =0 , x P 1=3 代入 y =x +3 得点 B(0,3) ,点 P 1(3,6) , 过点 P 1 作 P 1M ⊥y 轴,垂足为M , 则 P 1M =3,BM =3 , 在 Rt △BMP 1 中, BP 1=√BM 2+MP 12=√32+32=3√2 ,∴点 P 路径长为 3√2 .6.【答案】(1)解:设抛物线的表达式为:y =a (x+1)2+4, 把x =0,y =3代入得:3=a (0+1)2+4,解得:a =﹣1 ∴抛物线的表达式为y =﹣(x+1)2+4=﹣x 2﹣2x+3(2)解:存在.如图1,作C 关于对称轴的对称点C ′,连接EC ′交对称轴于F ,此时CF+EF的值最小,则△CEF的周长最小.∵C(0,3),∴C′(﹣2,3),易得C′E的解析式为:y=﹣3x﹣3,当x=﹣1时,y=﹣3×(﹣1)﹣3=0,∴F(﹣1,0)(3)解:如图2,∵A(﹣3,0),D(﹣1,4),易得AD的解析式为:y=2x+6,过点D作DH⊥x轴于H,过点M作MG⊥x轴交AD于G,AH=﹣1﹣(﹣3)=2,DH=4,∴AD=√AH2+DH2=√22+42=2√5,设M(m,﹣m2﹣2m+3),则G(m,2m+6),(﹣3≤m≤﹣1),∴MG=(﹣m2﹣2m+3)﹣(2m+6)=﹣m2﹣4m﹣3,由题易知△MNG∽△AHD,∴MGMN =ADAH即MN=AH×MGAD =22√5=−√55(m+2)2+√55∵√55<0∴当m =﹣2时,MN 有最大值;此时M (﹣2,3),又∵C (0,3),连接MC ∴MC ⊥y 轴∵∠CPM =∠HAD ,∠MCP =∠DHA =90°, ∴△MCP ∽△DHA , ∴PCAH =MCDH 即 PC2=24 ∴PC =1∴OP =OC ﹣PG =3﹣1=2, ∴S △POM = 12×2×2 =2,7.【答案】(1)解:由题意,得 {0=16a −8a +c 4=c解得 {a =−12c =4∴所求抛物线的解析式为:y=﹣ 12 x 2+x+4(2)解:设点Q 的坐标为(m ,0),过点E 作EG ⊥x 轴于点G .由﹣ 12 x 2+x+4=0, 得x 1=﹣2,x 2=4∴点B 的坐标为(﹣2,0) ∴AB=6,BQ=m+2 ∵QE ∥AC ∴△BQE ∽△BAC∴EG CO =BQBA 即 EG4=m+26 ∴EG =2m+43∴S △CQE =S △CBQ ﹣S △EBQ = 12 BQ •CO ﹣ 12 BQ •EG = 12 (m+2)(4﹣2m+43)= −13m 2+23m +83 =﹣ 13 (m ﹣1)2+3 又∵﹣2≤m ≤4∴当m=1时,S △CQE 有最大值3,此时Q (1,0) (3)解:存在.在△ODF 中. (ⅰ)若DO=DF ∵A (4,0),D (2,0) ∴AD=OD=DF=2又在Rt △AOC 中,OA=OC=4 ∴∠OAC=45度 ∴∠DFA=∠OAC=45度∴∠ADF=90度.此时,点F 的坐标为(2,2) 由﹣ 12 x 2+x+4=2, 得x 1=1+ √5 ,x 2=1﹣ √5此时,点P 的坐标为:P (1+ √5 ,2)或P (1﹣ √5 ,2). (ⅱ)若FO=FD ,过点F 作FM ⊥x 轴于点M由等腰三角形的性质得:OM= 12OD=1∴AM=3∴在等腰直角△AMF中,MF=AM=3∴F(1,3)由﹣12x2+x+4=3,得x1=1+ √3,x2=1﹣√3此时,点P的坐标为:P(1+ √3,3)或P(1﹣√3,3).(ⅲ)若OD=OF∵OA=OC=4,且∠AOC=90°∴AC= 4√2∴点O到AC的距离为2√2,而OF=OD=2 <2√2,与OF≥2 √2矛盾,所以AC上不存在点使得OF=OD=2,此时,不存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形综上所述,存在这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形所求点P的坐标为:P(1+ √5,2)或P(1﹣√5,2)或P(1+ √3,3)或P(1﹣√3,3)8.【答案】(1)解:∵C为OB的中点,点B(0,4),∴点C(0,2),又∵M为AC中点,点A(4,0),0+4 2=2,2+02=1,∴点M(2,1)(2)解:∵⊙P与直线AD,则∠CAD=90°,设:∠CAO=α,则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α,tan∠CAO=OCOA =12=tanα,则sinα=√5,cosα=√5,AC=√10,则CD=ACsin∠CDA =√10sinα=10,则点D(0,−8),设直线AD的解析式为:y=mx+n,将点A、D的坐标分别代入得:{0=4m+n−8=n,解得:{m=2n=−8,所以直线AD的表达式为:y=2x−8(3)解:设抛物线的表达式为:y=a(x−2)2+1,将点B坐标代入得:4=a(0-2)2+1,解得:a=34,故抛物线的表达式为:y=34x2−3x+4,过点P作PH⊥EF,则EH=12EF=2√5,cos∠PEH=EHPE =2√5PE=cosα=√5,解得:PE=5,设点P(x,34x2−3x+4),则点E(x,2x−8),则PE=34x2−3x+4−2x+8=5,解得x=143或2(舍去2),则点P(143,193) .9.【答案】(1)解:∵抛物线的解析式为y=−x2+4x+5,∴该抛物线的对称轴为:x=−42×(−1)=2,令y=−x2+4x+5中x=0,则y=5,∴点C的坐标为(0,5),∵C、E关于抛物线的对称轴对称,∴点E的坐标为(2×2−0,5),即(4,5),令y =−x 2+4x +5中y =0,则−x 2+4x +5=0, 解得:x 1=−1,x 2=5,∴点A 的坐标为(−1,0)、点B 的坐标为(5,0), 设直线AE 的解析式为y =kx +b ,将点A(−1,0)、E(4,5)代入y =kx +b 中, 得:{0=−k +b 5=4k +b ,解得:{k =1b =1,∴直线AE 的解析式为y =x +1; (2)(6,-7)(3)解:符合条件的m 值为0、3、3−√412和3+√412.10.【答案】(1)解:当x =0时,得y =4, ∴点C 的坐标为(0,4),当y =0时,得−23x +4=0,解得:x =6, ∴点B 的坐标为(6,0), 将B ,C 两点坐标代入,得{36a +43×6+c =0,c =4. 解,得{a =−13,c =4.∴抛物线线的表达式为y =−13x 2+43x +4.∵y =−13x 2+43x +4=−13(x 2−4x +4−4)+4=−13(x −2)2+163.∴顶点D 坐标为(2,163). (2)解:作MG ⊥x 轴于点G ,∵∠MFG =∠DFE ,∠MGF =∠DEF =90°, ∴ΔMGF ∽ΔDEF .∴FM FD =MG DE.∴14=MG163.∴MG =43当y =43时,43=−23x +4 ∴x =4.∴点M 的坐标为(4,43).(3)解:∵∠PAB +∠BCO =90°,∠CBO +∠BCO =90°, ∴∠PAB =∠CBO ,∵点B 的坐标为(6,0),点C 的坐标为(0,4), ∴tan ∠CBO =46=23, ∴tan ∠PAB =23, 过点P 作PQ ⊥AB , 当点P 在x 轴上方时,−13m 2+4m +12m +2=23解得m=4符合题意, 当点P 在x 轴下方时,13m 2−4m −12m +2=23解得m=8符合题意, ∴存在,m 的值为4或8.11.【答案】(1)解:∵A ,B 是抛物线 y =14x 2 上的两点,∴当 x =−2 时, y =14×(−2)2=1 ;当 x =4 时, y =14×42=4 ∴点A 的坐标为(-2,1),点B 的坐标为(4,4) 设直线AB 的解析式为 y =kx +b , 把A ,B 点坐标代入得 {−2k +b =14k +b =4解得, {k =12b =2所以,直线AB 的解析式为: y =12x +2 ; (2)解:对于直线AB : y =12x +2 当 x =0 时, y =2 ∴OC =2∴S ΔAOB =S ΔAOC +S ΔBOC = 12×2×2+12×2×4 =6 (3)412.【答案】(1)解:∵A (﹣1,0), ∴OA=1 ∵OB=3OA , ∴B (0,3)∴图象过A 、B 两点的一次函数的解析式为:y=3x+3(2)解:∵二次函数y=ax 2﹣2ax+c (a <0)的图象与x 轴负半轴交于点A (﹣1,0),与y 轴正半轴交于点B (0,3), ∴c=3,a=﹣1,∴二次函数的解析式为:y=﹣x 2+2x+3 ∴抛物线y=﹣x 2+2x+3的顶点P (1,4) (3)解:设平移后的直线的解析式为:y=3x+m ∵直线y=3x+m 过P (1,4), ∴m=1,∴平移后的直线为y=3x+1 ∵M 在直线y=3x+1,且 设M (x ,3x+1)①当点M 在x 轴上方时,有 3x+1x+1=32 ,∴x =13 , ∴M 1(13,2)②当点M 在x 轴下方时,有 −3x+1x+1=32 ,∴x =−59 , ∴M 2(−59 , −23)(4)解:作点D 关于直线x=1的对称点D ′,过点D ′作D ′N ⊥PD 于点N , 当﹣x 2+2x+3=0时,解得,x=﹣1或x=3, ∴A (﹣1,0), P 点坐标为(1,4),则可得PD 解析式为:y=2x+2, 根据ND ′⊥PD ,设ND ′解析式为y=kx+b , 则k=﹣ 12 ,将D ′(2,2)代入即可求出b 的值, 可得函数解析式为y=﹣ 12 x+3,将两函数解析式组成方程组得: {y =−12x +3y =2x +2 ,解得 {x =25y =145 ,故N ( 25 , 145 ),由两点间的距离公式:d= √(2−25)2+(2−145)2 = 4√55, ∴所求最小值为4√5513.【答案】(1)解:把A (-1,0),B (2,0)代入抛物线解析式得: {a −b +4=04a +2b +4=0,解得: {a =−2b =2∴抛物线的解析式为: y =−2x 2+2x +4 (2)解:如图,连接OD ,由 y =−2x 2+2x +4 可得: 对称轴为 x =−22×(−2)=12 ,C (0,4)∵D(m,−2m 2+2m +4)(12<m <2) ,A (-1,0),B (2,0) ∴∴S △BCD =S △OCD +S △BCD −S △OBC=12×4m +12×2·(−2m 2+4m +2)−12×2×4=−2m 2+4m S △AOC =12×1×4=2又∵S △BCD +S △AOC =72 ∴−2m 2+4m +2=72 ,∴4m 2−8m +3=0解得: m 1=12 , m 2=32 ,当 m 1=12 时,点在对称轴上,不合题意,舍去,所以取 m 2=32 , 综上, m =32(3)解: M 1(0,0) , M 2(4,0) , M 3(√142,0) , M 4(−√142,0)14.【答案】(1)解:令y =0,则−√33m (x +m)(x −3m)=0,解得x 1=−m ,x 2=3m ;令x =0,则y =−√33m (0+m)(0−3m)=√3m .故A(−m ,0),B(3m ,0),D(0,√3m).(2)解:设直线ED 的解析式为y =kx +b ,将E(−3,0),D(0,√3m)代入得:{−3k +b =0b =√3m解得,k =√33m ,b =√3m .∴直线ED 的解析式为y =√33mx +√3m .将y =−√33m (x +m)(x −3m)化为顶点式:y =−√33m (x −m)2+4√33m . ∴顶点M 的坐标为(m ,4√33m).代入y =√33mx +√3m 得:m 2=m∵m >0,∴m =1.所以,当m =1时,M 点在直线DE 上. 连接CD ,C 为AB 中点,C 点坐标为C(m ,0). ∵OD =√3,OC =1, ∴CD =2,D 点在圆上又∵OE =3,DE 2=OD 2+OE 2=12, EC 2=16,CD 2=4, ∴CD 2+DE 2=EC 2.∴∠EDC =90°∴直线ED 与⊙C 相切.(3)解:当0<m <3时,S △AED =12AE ⋅OD =√32m(3−m)S =−√32m 2+3√32m . 当m >3时,S ΔAED =12AE ⋅OD =√32m(m −3).即S =√32m 2_3√32m . S 关于m 的函数图象的示意图如右:15.【答案】(1)6;1(2)解:①由抛物线的表达式知,抛物线的对称轴为x=﹣1,故设点M的坐标为(﹣1,m),则OM=12+m2=(√17)2,解得m=4(舍去)或﹣4,故点M的坐标为(﹣1,﹣4),由点O、M的坐标得,直线OM(即ON)的表达式为y=4x②,故答案为y=4x;②联立①②并解得{x=−2y=−8,故点N(﹣2,﹣8),∵点C、N的纵坐标相同,故NC∥x轴,即NC∥AB;③当∠BFP为直角时,由A(﹣4,0),C(0,-8)可求AC解析式为y=-2x﹣8,把x=-1,代入y=-2x﹣8得,y=-6,点F的坐标为:(-1,-6),由点F、B的坐标得,直线BF的表达式为y=2x﹣4,当x=﹣2时,y=2x﹣4=﹣8,故点N在直线BF上,连接FN,过点F作FP⊥BF交NC的延长线于点K,由直线BF 的表达式知,tan ∠BNK =2,则tan ∠FKN = 12 , 故设直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x+t , 将点F 的坐标代入上式并解得t =﹣ 132 ,则直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x ﹣ 132 ,故设点P 的坐标为(m ,﹣ 12 m ﹣ 132 ), 在Rt △AOC 中,tan ∠ACO = AOCO = 12 ,则tan ∠OCA =2, ∵△BFP 与△AOC 相似, 故∠FBP =∠ACO 或∠OAC ,则tan ∠FBP =tan ∠ACO 或tan ∠OAC ,即tan ∠FBP = 12 或2, 由点B 、F 的坐标得:BF = √32+62=3√5 , 则PF =BFtan ∠FBP =3√52或6 √5 ,由点P 、F 的坐标得:PF 2=(m+1)2+(﹣ 12 m ﹣ 132 +6)2=( 3√52)2或(6 √5 )2, 解得m =2或﹣4(舍去)或11或﹣13(舍去), 故点P 的坐标为(11,﹣12)或(2,﹣ 152 ); 当∠PBF 为直角时,过点B 作BP ⊥BF ,同理可求直线PF 的表达式为y =﹣ 12 x+1,故设点P 的坐标为(m ,﹣ 12 m ﹣1),同理可得,PB =BFtan ∠FBP =3√52或6 √5 ,由点P 、B 的坐标得:PB 2=(m-2)2+(﹣ 12 m+1)2=(3√52)2或(6 √5 )2,解得m=-1(舍去)或5或14或﹣10(舍去),点P的坐标为(5,﹣32)或(14,-6);综上,点P的坐标为(11,﹣12)或(2,﹣152)或(5,﹣32)或(14,-6);16.【答案】(1)解:当x=0时,y=−43x+4=4,则A(0,4),把A(0,4),C(6,0)代入y=−13x2+bx+c得{−12+6b+c=0c=4,解得{b=43c=4,∴抛物线解析式为y=−13x2+43x+4;(2)连接OP,设P(m,−13m2+43m+4),当y=0时,−43x+4=0,解得x=3,则B(3,0),S△ABP=S△AOP+S△POB−S△AOB=12⋅4⋅m+12⋅3⋅(−13m2+43m+4)−12⋅3⋅4=−12m2+4m,=−12(m−4)2+8,当m=4时,△ABP面积有最大值,最大值为8,此时P点坐标为(4,4);(3)在Rt△OAB中,AB=√32+42=5,当点P′落在x轴上,如图2,∵△APH绕点A顺时针旋转,使点H的对应点恰好落在直线AB上,同时恰好落在x 轴上∴P′H′=PH=4−(−13m2+43m+4)=13m2−43m,AH′=AH=m,∠P′H′A=∠PHA=90∘,∵∠P′BH′=∠ABO,∴△BP ′H ′ ∽ △BAO ,∴P ′H ′ : OA =BH ′ :OB ,即 (13m 2−43m) : 4=BH ′ :3, ∴BH ′=14m 2−m , ∵AH ′+BH ′=AB ,∴m +14m 2−m =5 ,解得 m 1=2√5 , m 2=−2√5( 舍去 ) ,此时P 点坐标为 (2√5,−8+8√53) ; 当点 P ′ 落在y 轴上,如图3,同理可得 P ′H ′=PH =13m 2−43m , AH ′=AH =m , ∠P ′H ′A =∠PHA =90∘ , ∵∠P ′AH ′=∠BAO , ∴△AH ′P ′′ ∽ △AOB ,∴P ′H ′ : OB =AH ′ :AO ,即 (13m 2−43m) : 3=m :4, 整理得 4m 2−25m =0 ,解得 m 1=254, m 2=0( 舍去 ) ,此时P 点坐标为 (254,−4348) ; 综上所述,P 点坐标为 (2√5,−8+8√53) 或 (254,−4348) ;。

中考数学总复习之二次函数专题复习

中考数学总复习之二次函数专题复习

中考数学总复习之二次函数专题复习一.选择题(共8小题)1.二次函数y=2x2+8x+5的图象的顶点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.把二次函数y=x2+2x﹣6配方成顶点式为()A.y=(x﹣1)2﹣7B.y=(x+1)2﹣7C.y=(x+2)2﹣10D.y=(x﹣3)2+33.已知二次函数y=(a﹣2)x2,当x>0时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是()A.a>0B.a>2C.a≠2D.a<24.关于抛物线y=(x﹣1)2﹣2,以下说法正确的是()A.抛物线在直线x=﹣1右侧的部分是上升的B.抛物线在直线x=﹣1右侧的部分是下降的C.抛物线在直线x=1右侧的部分是上升的D.抛物线在直线x=1右侧的部分是下降的5.2019年在武汉市举行了军运会,在军运会比赛中,某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=x2+x+的一部分(如图),其中出球点B离地面O点的距离是米,球落点的距离是()A.1米B.3米C.5米D.米6.二次函数y=x2﹣3x+1的图象大致是()A.B.C.D.7.无论k为何值,直线y=kx﹣2k+2与抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a总有公共点,则a的取值范围是()A.a>0B.C.或a>0D.8.如图,已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(﹣1,0),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③若关于x的方程ax2+bx+c+1=0一定有两个不相等的实数根;④a>.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题(共8小题)9.如图,某学校拟建一块矩形花圃,打算一边利用学校现有的墙(墙足够长),其余三边除门外用栅栏围成,栅栏总长度为38m,门宽为2m.这个矩形花圃的最大面积是.10.如图,同学们在操场上玩跳大绳游戏,绳甩到最高处时的形状是抛物线型,摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米,到地面的距离AO与BD均为0.9米,绳子甩到最高点C处时,最高点距地面的垂直距离为1.8米.身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处,若他能够正常跳大绳(绳子甩到最高时超过他的头顶),则m的取值范围是.11.二次函数y=2x2的图象如图所示,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上,点B、C 在函数图象上,四边形OBAC为菱形,且∠AOB=30°,则点C的坐标为.12.二次函数的图象如图所示,点A0位于坐标原点,点A1,A2,A3,…,A2023在y轴的正半轴上,点B1,B2,B3,…,B2023在二次函数位于第一象限的图象上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2022B2023A2023都为等边三角形,则△A2022B2023A2023的边长为.13.已知二次函数y=(x﹣3)2+3,当x=时,y取得最小值.14.已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是.15.如图,二次函数y=﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和(6,0),若关于x的方程x2﹣mx+t=0(t为实数)在1≤x<5的范围内有解,则t的取值范围是.16.二次函数y=ax2+bx﹣3(a≠0)的图象经过点(1,4),则代数式a+b的值为.三.解答题(共4小题)17.如图,已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C(0,3),与x轴分别交于点A(﹣1,0)和点B,点P是直线BC上方的抛物线上一动点.(1)求二次函数的表达式;(2)求BC所在直线的函数解析式;(3)过点P作PM∥y轴交直线BC于点M,求线段PM长度的最大值.18.如图,直线y=x+2与x轴交于点B,与y轴交于点D.抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于点A(4,0)和点B,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)如图,点P为抛物线在直线AC下方的一动点,作PH∥y轴,PF⊥AC,分别交AC 于点H、F,求PH+PF的最大值和此时点P的坐标;(3)在(2)的条件下,将抛物线y=ax2+bx﹣4沿射线AC平移个单位长度,得到新抛物线,点R在新抛物线的对称轴上,点S在抛物线y=ax2+bx﹣4上.当以点D、P、R、S为顶点的四边形是平行四边形时,写出所有符合条件的点R的坐标,并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程.19.如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标;(2)求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积;(3)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当P A+PC的值最小时,求点P的坐标.。

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题:二次函数综合压轴题(相似三角形问题)1.如图,二次函数216y x bx c =++的图象交坐标轴于点()4,0A ,()0,2B -,点P 为x 轴上一动点.(1)求二次函数216y x bx c =++的表达式; (2)将线段PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PD ,若D 恰好在抛物线上,求点D 的坐标; (3)过点P 作PQ x ⊥轴分别交直线AB ,抛物线于点Q ,C ,连接AC .若以点B 、Q 、C 为顶点的三角形与APQ △相似,直接写出点P 的坐标. 2.抛物线25y ax bx =++经过点1,0A 和点()5,0B .(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)该抛物线与直线25y x =+相交于C 、D 两点,点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方,直线PM y ∥轴,分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N .①连结PC PD 、,如图1,在点P 运动过程中,PCD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由;①连结PB ,过点C 作CQ PM ⊥,垂足为点Q ,如图2,是否存在点P ,使得CNQ 与PBM 相似?若存在,直接写出满足条件的点P 的坐标;若不存在,说明理由.3.已知抛物线24y ax ax b =-+与x 轴交于A ,B 两点,(A 在B 的左侧),与y 轴交于C ,若OB OC =,且03C (,).(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为D ,点P 在抛物线的对称轴上,且APD ACB ∠=∠,求点P 的坐标; (3)在抛物线上是否存在一点M ,过M 作MN x ⊥轴于N ,以A 、M 、N 为顶点的三角形与AOC ∆相似,若存在,求出所有符合条件的M 点坐标,若不存在,请说明理由. 4.如图.在平面直角坐标系中.抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .点A 的坐标为()1,0-,点C 的坐标为()0,2-.已知点(),0E m 是线段AB 上的动点(点E 不与点A ,B 重合).过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ,交BC 于点F .(1)求该抛物线的表达式;(2)若:1:2EF PF =,请求出m 的值;(3)是否存在这样的m ,使得BEP △与ABC 相似?若存在,求出此时m 的值;若不存在,请说明理由;(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时,点M 是x 轴上一动点,点N 是抛物线上的动点,在运动过程中,是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形?若不存在,请说明理由;若存在,请直接写出点M 的坐标.5.如图,二次函数212y x bx c =-++图像交x 轴于点A ,B (A 在B 的左侧),与y 轴交于点(0,3)C ,CD y ⊥轴,交抛物线于另一点D ,且5CD =,P 为抛物线上一点,PE y轴,与x 轴交于E ,与BC ,CD 分别交于点F ,G .(1)求二次函数解析式;(2)当P 在CD 上方时,是否存在点P ,使得以C ,P ,G 为顶点的三角形与FBE 相似,若存在,求出CPG △与FBE 的相似比,若不存在,说明理由.(3)点D 关于直线PC 的对称点为D ,当点D 落在抛物线的对称轴上时,此时点P 的坐标为________.6.如图,抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,已知A ,B 两点坐标分别是(1,0)A ,(4,0)B -,连接,AC BC .(1)求抛物线的表达式;(2)将ABC ∆沿BC 所在直线折叠,得到DBC ∆,点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上?若点D 在对称轴上,请求出点D 的坐标;若点D 不在对称轴上,请说明理由;(3)若点P 是抛物线位于第二象限图象上的一动点,连接AP 交BC 于点Q ,连接BP ,BPQ ∆的面积记为1S ,ABQ ∆的面积记为2S ,求12S S 的值最大时点P 的坐标. 7.已知,二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于C 点,点A 的坐标为()1,0-,且OB OC =.(1)求二次函数的解析式;(2)当04x ≤≤时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少?(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称.在y 轴上是否存在点P ,使PCC '△与POB 相似,且PC 与PO 是对应边?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.8.已知菱形OABC 的边长为5,且点(34)A ,,点E 是线段BC 的中点,过点A ,E 的抛物线2y ax bx c =++与边AB 交于点D ,(1)求点E 的坐标;(2)连接DE ,将BDE △沿着DE 翻折痕.①当B 点的对应点B '恰好落在线段AC 上时,求点D 的坐标;①连接OB ,BB ',若BB D '△与BOC 相似,请直接写出此时抛物线二次项系数=a ______. 9.如图,抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、()3,0B 两点,与y 轴交于点()0,3C -,抛物线的顶点为D .(1)求抛物线的解析式;(2)已知点M 是x 轴上的动点,过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ,是否存在这样的点M ,使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD △相似,若存在,请求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在直线BC 下方抛物线上一点P ,作PQ 垂直BC 于点Q ,连接CP ,当CPQ 中有一个角等于ACO ∠时,求点P 的坐标.10.如图,抛物线顶点D 在x 轴上,且经过(0,3)-和(4,3)-两点,抛物线与直线l 交于A 、B 两点.(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标;(2)如图1,若()03A ,-,且 94ABDS =,求直线l 解析式; (3)如图2,若90ADB ∠=︒,求证:直线l 经过定点,并求出定点坐标.11.如图1,已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接BC ,点P 是线段BC 下方抛物线上一动点,过点P 作∥PE BC ,交x 轴于点E ,连接OP 交BC 于点F .(1)直接写出点A ,B ,C 的坐标以及抛物线的对称轴; (2)当点P 在线段BC 下方抛物线上运动时,求BFPE取到最小值时点P 的坐标; (3)当点P 在y 轴右边抛物线上运动时,过点P 作PE 的垂线交抛物线对称轴于点G ,是否存在点P ,使以P 、E 、G 为顶点的三角形与①AOC 相似?若存在,来出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.12.如图,抛物线212ax ax b =-+y 经过()1,0A -,32,2C ⎛⎫⎪⎝⎭两点,与x 轴交于另一点B .(1)求此抛物线的解析式;(2)若抛物线的顶点为M ,点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合),点Q 在线段MB 上移动,且2PM MQ MB =⋅,设线段OP x =,2MQ y =,求2y 与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围;并直接写出PM APPQ BQ-的值;(3)在同一平面直角坐标系中,两条直线x m =,x n =分别与抛物线交于点E ,G ,与(2)中的函数图象交于点F ,.H 问四边形EFHG 能否为平行四边形?若能,求m ,n 之间的数量关系;若不能,请说明理由.13.已知抛物线213222y x x =-++交x 轴于A 、B 两点,A 在B 的左边,交y 轴于点C .(1)求抛物线顶点的坐标;(2)如图1,若10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭,P 在抛物线上且在直线AE 上方,PQ AE ⊥于O ,求PQ 的最大值;(3)如图2,点(),3D a (32a <)在抛物线上,过A 作直线交抛物线于第四象限另一点F ,点M 在x 轴上,以M 、B 、D 为顶角的三角形与AFB △相似,求点M 的坐标. 14.如图,抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ,与y 轴交于点C ,联结AC 、BC .(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标;(2)如果点P 在抛物线上,CB 平分ACP ∠,求点P 的坐标:(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上,DBQ 与ABC 相似.求点Q 的坐标.15.如图,抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -,B 两点,与y 轴交于点(0,4)C ,点D 为x 轴上方抛物线上的动点,射线OD 交直线AC 于点E ,将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ,OP 交直线AC 于点F ,连接DF .(1)求抛物线的解析式; (2)当点D 在第二象限且34DE EO =时,求点D 的坐标; (3)当ODF △为直角三角形时,请直接写出点D 的坐标.16.如图①,抛物线与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C (0,3),顶点为D (4,-1),对称轴与直线BC 交于点E ,与x 轴交于点F .(1)求二次函数的解析式;(2)点M 在第一象限抛物线的对称轴上,若点C 在BM 的垂直平分线上,求点M 的坐标; (3)如图①,过点E 作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H ,x 轴上方的对称轴上是否存在一点P ,使以E ,H ,P 为顶点的三角形与EFB △相似,若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.17.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -,()0,4B 两点,直线3x =与x 轴交于点C .(1)求a ,c 的值;(2)经过点O 的直线分别与线段AB ,直线3x =交于点D ,E ,且BDO △与OCE △的面积相等,求直线DE 的解析式;(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点,在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ,G ,使B ,F ,G ,P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.18.如图1,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ,B (点A 在点B 左侧),与y 轴负半轴交于C ,且满足2OA OB OC ===.(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,D 为y 轴负半轴上一点,过D 作直线l 垂直于直线BC ,直线l 交抛物线于E ,F 两点(点E 在点F 右侧),若3DF DE =,求D 点坐标; (3)如图3,点M 为抛物线第二象限部分上一点,点M ,N 关于y 轴对称,连接MB ,P 为线段MB 上一点(不与M 、B 重合),过P 点作直线x t =(t 为常数)交x 轴于S ,交直线NB 于Q ,求QS PS -的值(用含t 的代数式表示).参考答案:1.(1)211266y x x =-- (2)()3,1D -或()8,10D -(3)点P 的坐标为()011-,或()10,.2.(1)265y x x =-+ (2)37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,4-3.(1)243y x x =-+ (2)()2,2P 或()2,2-(3)存在符合条件的M 点,且坐标为:110(3M ,7)9-,()26,15M ,38(3M ,5)9-4.(1)213222y x x =--; (2)2m =;(3)存在,m 的值为0或3;(4)存在,M 点的坐标为()7,0或()1,0M 或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭.5.(1)215322y x x =-++;(2)存在点P ,使得以C ,P ,G 为顶点的三角形与FBE 相似,CPG △与FBE 的相似比为2或25;(3)P 点横坐标55.6.(1)213222y x x =--+(2)点D 不在抛物线的对称轴上, (3)(2,3)-7.(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5,最小值为4- (3)存在,(0,9)P -或9(0,)5P -8.(1)13(2)2E , (2)①11(4)2D ,或23(4)6D ,;①47-9.(1)2=23y x x --(2)()0,0,()6,0,8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,03⎛⎫⎪⎝⎭(3)57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或者315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10.(1)()2324y x =--,()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析,定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭,11.(1)A (﹣1,0),B (3,0),C (0,﹣3),对称轴为直线x =1(2)当t =32时,BF PE 最小,最小值为47,此时P (32,﹣154).(3)存在,点P 的坐标为(2,﹣3)12.(1)211322y x x =-++(2)22150322y x x x =-+≤<(),PM AP PQ BQ -的值为0 (3)m 、n 之间的数量关系是2(1)m n m +=≠13.(1)(32,258)答案第3页,共3页(3)(2,0)或(-5,0)或13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或2205⎛⎫- ⎪⎝⎭,14.(1)2=+43y x x --,(21)D , (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭,- (3)(2,−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15.(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)(3,4)-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭16.(1)21234y x x =-+(2)(4,3(3)存在P 1)或(4,1),使以E ,H ,P 为顶点的三角形与EFB △相似,17.(1)12a =-,4c = (2)23y x =- (3)存在这样的点F ,点F 的坐标为(2,0)或18.(1)2122y x =- (2)()0,1D -或190,8D ⎛⎫- ⎪⎝⎭, (3)24QS PS t -=-+。

中考数学《二次函数》复习练习题及答案

中考数学《二次函数》复习练习题及答案

年级数学中考专题复习二次函数一、选择题:1、将抛物线y=(x﹣1)2+3向左平移1个单位,再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为()A.y=(x﹣2)2 B.y=(x﹣2)2+6 C.y=x2+6 D.y=x22、已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示,若y<0,则x的取值范围是()A.﹣1<x<4 B.﹣1<x<3 C.x<﹣1或x>4 D.x<﹣1或x>33、已知二次函数y=x2﹣3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是()A.x1=1,x2=﹣1 B.x1=1,x2=2 C.x1=1,x2=0 D.x1=1,x2=34、函数y=(x﹣1)2﹣k与y=(k≠0)在同一坐标系中的图象大致为()A. B. C. D.5、如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(﹣1,0).下列结论:①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<1,⑤当x>﹣1时,y>0,其中正确结论的个数是()A.5个 B.4个 C.3个 D.2个6、在同一平面直角坐标系中,函数y=mx+m和函数y=-mx2+2x+2(m是常数,且m≠0)图象可能是( )7、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4m时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m,当水面下降1m时,水面的宽度为()A.3 B.2C.3D.28、生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5月B.6月C.7月D.8月9、已知a<﹣1,点(a﹣1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函数y=x2﹣2的图象上,则()A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y310、在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象顶点为A,与y轴交于点B.若在该二次函数图形上取一点C,在x轴上取一点D,使得四边形ABCD为平行四边形,则D点的坐标为()A.(﹣9,0) B.(﹣6,0) C.(6,0) D.(9,0)11、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴x=﹣1,下列五个代数式ab、ac、a﹣b+c、b2﹣4ac、2a+b 中,值大于0的个数为()A.5 B.4 C.3 D.212、根据下列表格的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)一个解的范围是()A.3<x<3.23 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.2613、如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是菱形,点C的坐标为(4,0),∠AOC=60°,垂直于轴的直线从轴出发,沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移,设直线与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N 的上方),若△OMN的面积S,直线的运动时间为秒(),则能大致反映S与的函数关系的图像是( )14、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤;④4ac-b2>8a.其中正确的结论是()A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④15、已知二次函数y=x2-2x-3,点P在该函数的图象上,点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2.设d=d1+d2,下列结论中:①d没有最大值;②d没有最小值;③;-1<x<3时, d随x的增大而增大;④满足d=5的点P有四个.其中正确结论的个数有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题:16、如图,点E是抛物线y=a(x﹣2)2+k的顶点,抛物线与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴,与抛物线交于点B,与对称轴交于点D.点A是对称轴上一点,连结AC、AB.若△ABC是等边三角形,则图中阴影部分图形的面积之和是.17、如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在CD边上留一个1m宽的门,若设AB为y(m),BC为x(m),则y与x之间的函数关系式为.18、有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的表达式:.(答案不惟一)19、二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示,若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1,则另一个解x2= ___________.20、如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为________.21、若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且过点A(m,n),B(m+6,n),则n=______.22、小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分,如图所示,若球命中篮圈中心,则他与篮底的距离L是m.23、如图,一抛物线型拱桥,当拱顶到水面的距离为2米时,水面宽度为4米;那么当水位下降1米后,水面的宽度为米.24、已知抛物线y=﹣与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,若D为AB中点,则CD长为.25、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+3与y轴交于点A,过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C,则BC的长为.26、如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为.27、如图,在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球,网球飞行路线是一条抛物线,在地面上落点为B,有人在直线AB上点C(靠点B一侧)竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶.试图让网球落入桶内,已知AB=4米,AC=3米,网球飞行最大高度OM=5米,圆柱形桶的直径为0.5米,高为0.3米(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计).当竖直摆放圆柱形桶至少个时,网球可以落入桶内.28、如图,抛物线与交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:①无论x取何值,的值总是正数;②;③当x=0时,;④AB+AC=10;⑤,其中正确结论的个数是:.29、如图,平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2(x≥0)与y2=(x≥0)的图象于B、C两点,过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D,直线DE∥AC,交y2的图象于点E,则= .30、如图,抛物线的对称轴是.且过点(,0),有下列结论:①abc>0;②a﹣2b+4c=0;③25a﹣10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a﹣b≥m(am﹣b);其中所有正确的结论是.(填写正确结论的序号)三、简答题:31、如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,交y轴于点C.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;(2)请判断以B、C、D为顶点的三角形的形状;(3)若点Q是y轴上的动点,在抛物线上是否存在点P使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点P坐标;若不存在,请说明理由.32、如图,抛物线的顶点D的坐标为(1,﹣4),与y轴交于点C(0,﹣3),与x轴交于A、B两点.(1)求该抛物线的函数关系式;(2)在抛物线上存在点P(不与点D重合),使得S△PAB=S△ABD,请求出P点的坐标.33、某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看做一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)(1)每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为;(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?34、某水果店出售某种水果,已知该水果的进价为6元/千克,若以9元/千克的价格销售,则每天可售出200千克;若以11元/千克的价格销售,则每天可售出120千克.通过调查验证,我发现每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系.(1)求y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式;(2)当销售单价为何值时,该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元?(利润=销售量×(销售单价﹣进价))(3)该水果店在进货成本不超过720元时,销售单价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?35、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式;(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.36、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),其表达式是y=ax2+c的形式.请根据所给的数据求出a,c的值.(2)求支柱MN的长度.(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.37、某公司销售一种进价为20元/个的计算器,其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表:同时,销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式.(2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式,销售价格定为多少元时净得利润最大,最大值是多少?(3)该公司要求净得利润不能低于40万元,请写出销售价格x(元/个)的取值范围,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为多少元?38、九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销售量的相关信息如下表:已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元(1)求出y与x的函数关系式;(2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.39、已知:抛物线y=x2+bx+c经过点(2,﹣3)和(4,5).(1)求抛物线的表达式及顶点坐标;(2)将抛物线沿x轴翻折,得到图象G,求图象G的表达式;(3)在(2)的条件下,当﹣2<x<2时,直线y=m与该图象有一个公共点,求m的值或取值范围.40、如图,已知抛物线y=ax2﹣5ax+2(a≠0)与y轴交于点C,与x轴交于点A(1,0)和点B.(1)求抛物线的解析式;(2)求直线BC的解析式;(3)若点N是抛物线上的动点,过点N作NH⊥x轴,垂足为H,以B,N,H为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似?若能,请求出所有符合条件的点N的坐标;若不能,请说明理由.参考答案1、D.2、B.3、B.4、C.5、B.6、D.7、B.8、C.9、C.10、D.11、C.12、C.13、C.14、D.15、B.16、答案为:2.17、答案为:y=13﹣x.18、答案为:y=x2﹣x+3.19、答案为:520、答案为:(,2) 21、答案是:9.22、答案为:4.5.23、答案为:2米.24、答案为:.25、答案为:6.26、答案为:_1 27、答案为:8. 28、答案为:4.29、答案为:3﹣.30、答案为:①③⑤.31【解答】解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)两点代入y=x2+bx+c得:,解得:b=﹣2,c=﹣3,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴顶点D的坐标为(1,4);(2)如图1,连接BC、CD、BD,DM⊥x轴,DN⊥y轴,垂足分别为M、N,∵y=x2﹣2x﹣3与y轴的交点C(O,﹣3),A(﹣1,0)、B(3,0),D(1,4),∴BC==3,CD==,BD==2,∵(3)2+()2=(2)2∴BC2+CD2=BD2∴△BCD是直角三角形;(3)如图2,①当AB为边时,只要PQ∥AB,且PQ=AB=4即可,又知点Q在y轴上,所以点P的横坐标为﹣4或4,当x=﹣4时,y=21;当x=4时,y=5;所以此时点P1的坐标为(﹣4,21),P2的坐标为(4,5);②当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可,线段AB中点为G,PQ必过G点且与y轴交于Q 点,过点P3作x轴的垂线交于点H,可证得△P3HB≌△Q3OA,∴AO=BH,∴GO=GH,∵线段AB的中点G的横坐标为1,∴此时点P横坐标为2,由此当x=2时,y=﹣3,∴这是有符合条件的点P3(2,﹣3),∴所以符合条件的点为:P1的坐标为(﹣4,21),P2的坐标为(4,5);P3(2,﹣3).32、【解答】解:(1)∵抛物线的顶点D的坐标为(1,﹣4),∴设抛物线的函数关系式为y=a(x﹣1)2﹣4,又∵抛物线过点C(0,﹣3),∴﹣3=a(0﹣1)2﹣4,解得a=1,∴抛物线的函数关系式为y=(x﹣1)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣3;(2)∵S△PAB=S△ABD,且点P在抛物线上,∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离,∴点P的纵坐标一定为4.令y=4,则x2﹣2x﹣3=4,解得x1=1+2,x2=1﹣2.∴点P的坐标为(1+2,4)或(1﹣2,4).33、【解答】解:(1)由题意得,z=y(x﹣18)=(﹣2x+100)(x﹣18)=﹣2x2+136x﹣1800.故答案是:z=﹣2x2+136x﹣1800;(2)设月销售利润为w,则w=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2(x﹣35)2+450,当x=35时,w取得最大,最大利润为450万元.答:当销售单价为35元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是450万元;(3)结合(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象(如图所示)可知,当25≤x≤43时z≥350,又由限价32元,得25≤x≤32,根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,故当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元),因此,所求每月最低制造成本为648万元.34、【解答】解:(1)设y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式为:y=kx+b,根据题意可得:,解得:.故y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式为:y=﹣40x+560;(2)∵W=280元,∴280=(﹣40x+560)×(x﹣6)解得:x1=7,x2=13.答:当销售单价为7元或13元时,每天可获得的利润达到W=280元;(3)∵利润=销售量×(销售单价﹣进价)∴W=(﹣40x+560)(x﹣6)=﹣40x2+800x﹣3360=﹣40(x﹣10)2+640,当售价为10元,则y=560﹣400=160,160×6=960(元)>720元,则当(﹣40x+560)×6=720,解得:x=11.即当销售单价为11元时,每天可获得的利润最大,最大利润是600元.35、【解答】方法一:解:(1)将A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,得:,解得:∴抛物线的解析式:y=﹣x2+2x+3.(2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P;∵点A、B关于直线l对称,∴PA=PB,∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(3,0),C(0,3)代入上式,得:,解得:∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3;当x=1时,y=2,即P的坐标(1,2).(3)抛物线的对称轴为:x=﹣=1,设M(1,m),已知A(﹣1,0)、C(0,3),则:MA2=m2+4,MC2=(3﹣m)2+1=m2﹣6m+10,AC2=10;①若MA=MC,则MA2=MC2,得:m2+4=m2﹣6m+10,得:m=1;②若MA=AC,则MA2=AC2,得:m2+4=10,得:m=±;③若MC=AC,则MC2=AC2,得:m2﹣6m+10=10,得:m1=0,m2=6;当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;综上可知,符合条件的M点,且坐标为 M(1,)(1,﹣)(1,1)(1,0).(2)连接BC,∵l为对称轴,∴PB=PA,∴C,B,P三点共线时,△PAC周长最小,把x=1代入l BC:y=﹣x+3,得P(1,2).(3)设M(1,t),A(﹣1,0),C(0,3),∵△MAC为等腰三角形,∴MA=MC,MA=AC,MC=AC,(1+1)2+(t﹣0)2=(1﹣0)2+(t﹣3)2,∴t=1,(1+1)2+(t﹣0)2=(﹣1﹣0)2+(0﹣3)2,∴t=±,(1﹣0)2+(t﹣3)2=(﹣1﹣0)2+(0﹣3)2,∴t1=6,t2=0,经检验,t=6时,M、A、C三点共线,故舍去,综上可知,符合条件的点有4个,M1(1,),M2(1,﹣),M3(1,1),M4(1,0).(4)作点O关于直线AC的对称点O交AC于H,作HG⊥AO,垂足为G,∴∠AHG+∠GHO=90°,∠AHG+∠GAH=90°,∴∠GHO=∠GAH,∴△GHO∽△GAH,∴HG2=GO•GA,∵A(﹣1,0),C(0,3),∴l AC:y=3x+3,H(﹣,),∵H为OO′的中点,∴O′(﹣,),∵D(1,4),∴l O′D:y=x+,l AC:y=3x+3,∴x=﹣,y=,∴Q(﹣,).36【解答】解:(1)根据题目条件,A、B、C的坐标分别是(﹣10,0)、(10,0)、(0,6).将B、C的坐标代入y=ax2+c,得解得.所以抛物线的表达式是;(2)可设N(5,y N),于是.从而支柱MN的长度是10﹣4.5=5.5米;(3)设DE是隔离带的宽,EG是三辆车的宽度和,则G点坐标是(7,0),(7=2÷2+2×3).过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则yH=﹣×72+6=3+>3.根据抛物线的特点,可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.37、【解答】解:(1)根据表格中数据可得出:y与x是一次函数关系,设解析式为:y=ax+b,则,解得:,故函数解析式为:y=﹣x+8;(2)根据题意得出:z=(x﹣20)y﹣40=(x﹣20)(﹣x+8)﹣40=﹣x2+10x﹣200,=﹣(x2﹣100x)﹣200=﹣[(x﹣50)2﹣2500]﹣200=﹣(x﹣50)2+50,故销售价格定为50元/个时净得利润最大,最大值是50万元.(3)当公司要求净得利润为40万元时,即﹣(x﹣50)2+50=40,解得:x1=40,x2=60.如上图,通过观察函数y=﹣(x﹣50)2+50的图象,可知按照公司要求使净得利润不低于40万元,则销售价格的取值范围为:40≤x≤60.而y与x的函数关系式为:y=﹣x+8,y随x的增大而减少,因此,若还需考虑销售量尽可能大,销售价格应定为40元/个.38、【解答】解:(1)当1≤x<50时,y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000,当50≤x≤90时,y=(90﹣30)=﹣120x+12000,综上所述:y=;(2)当1≤x<50时,y=﹣2x2+180x+2000,y=﹣2(x﹣45)2+6050.∴a=﹣2<0,∴二次函数开口下,二次函数对称轴为x=45,当x=45时,y最大=6050,当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,当x=50时,y最大=6000,综上所述,该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元;(3)①当1≤x<50时,y=﹣2x2+180x+2000≥4800,解得:20≤x<70,因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50,共30天;②当50≤x≤90时,y=﹣120x+12000≥4800,解得:x≤60,因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60,共11天,所以该商品在整个销售过程中,共41天每天销售利润不低于4800元.39、【解答】解:(1)根据题意得,解得,所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的顶点坐标为(1,﹣4).(2)根据题意,﹣y=x2﹣2x﹣3,所以y=﹣x2+2x+3.(3)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为(1,﹣4),当x=﹣2时,y=5,抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点(1,4),当x=﹣2时,y=﹣5.∴当﹣2<x<2时,直线y=m与该图象有一个公共点,则4<m<5或﹣5<m<﹣4.40、解:(1)∵点A(1,0)在抛物线y=ax2﹣5ax+2(a≠0)上,∴a﹣5a+2=0,∴a=,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2;(2)抛物线的对称轴为直线x=,∴点B(4,0),C(0,2),设直线BC的解析式为y=kx+b,∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b,得,解得k=﹣,b=2,∴直线BC的解析式y=﹣x+2;(3)设N(x,x2﹣x+2),分两种情况讨论:①当△OBC∽△HNB时,如图1,=,即=,解得x1=5,x2=4(不合题意,舍去),∴点N坐标(5,2);②当△OBC∽△HBN时,如图2,=,即=﹣,解得x1=2,x2=4(不合题意舍去),∴点N坐标(2,﹣1);综上所述点N坐标(5,2)或(2,﹣1).。

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值 (附答案))

2023年九年级数学中考专题训练——二次函数的最值 (附答案))

2023年中考专题训练——二次函数的最值1.已知,二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于C 点,点A 的坐标为()1,0-,且OB OC =. (1)求二次函数的解析式;(2)当04x ≤≤时,求二次函数的最大值和最小值分别为多少? (3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称.在y 轴上是否存在点P ,使PCC '△与POB 相似,且PC 与PO 是对应边?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.2.如图1,抛物线2323333y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,过点B 作直线BD ∥直线AC ,交抛物线y 于另一点D ,点P 为直线AC 上方抛物线上一动点.(1)求线段AB 的长.(2)过点P 作PF y ∥轴交AC 于点Q ,交直线BD 于点F ,过点P 作PE AC ⊥于点E ,求233PE PF +的最大值及此时点P 的坐标. (3)如图2,将抛物线2323333y x x =--+向右平移3个单位得到新抛物线y ',点M 为新抛物线上一点,点N 为原抛物线对称轴一点,直接写出所有使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时点N 的坐标,并写出其中一个点N 的坐标的求解过程. 3.已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0),且对称轴为直线1x =.(1)求b c +的值;(2)当43x -≤≤时,求y 的最大值;(3)平移抛物线2y x bx c =+-,使其顶点始终在二次函数221y x x =--上,求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值.4.已知关于x 的一元二次方程()()121x x m --=+(m 为常数).(1)若它的一个实数根是方程()2140x --=的根,则m =_____,方程的另一个根为_____; (2)若它的一个实数根是关于x 的方程()240x m --=的根,求m 的值; (3)若它的一个实数根是关于x 的方程()240x n --=的根,求m n +的最小值.5.如图,抛物线23y ax bx =++交x 轴于()3,0A ,()1,0B -两点,交y 轴于点C ,动点P 在抛物线的对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)当以P ,B ,C 为顶点的三角形周长最小时,求点P 的坐标及PBC 的周长;(3)若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点,是否存在点Q ,使得以A ,C ,P ,Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.6.平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点为(32,﹣254),它的图象与x 轴交于点A ,B (点A 在点B 左侧).(1)若AB =5,交y 轴于点C ,点C 在y 轴负半轴上. ①求二次函数的解析式;②若自变量x 的值增加4时,对应的函数值y 增大,求满足题意的自变量x 的取值范围. (2)当-1≤x ≤1时,函数值y 有最小值为﹣a 2,求a 的值(其中a 为二次函数的二次项系数).7.已知直线1y kx =+经过点()2,3,与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求k ,b 的值;(2)抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()12,0,0x x 且2139x x ≤-<,若22123p x x =-,求p 的最大值;(3)当12x -<<时,抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点,直接写出c 的取值范围.8.如图,直线:l y m =-与y 轴交于点A ,直线:a y x m =+与y 轴交于点B ,抛物线2y x mx =+的顶点为C ,且与x 轴左交点为D (其中0m >).(1)当12AB =时,在抛物线的对称轴上求一点P 使得BOP △的周长最小;(2)当点C 在直线l 上方时,求点C 到直线l 距离的最大值; (3)若把横坐标、纵坐标都是整数的点称为“整点”.当2021m =时,求出在抛物线和直线a 所围成的封闭图形的边界上的“整点”的个数.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线2y x bx c =++经过A (0,﹣1),B (4,1).直线AB 交x 轴于点C ,P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点.过点P 作PD ⊥AB ,垂足为D ,PE ∥x 轴,交AB 于点E .(1)求抛物线的函数表达式;(2)当△PDE 的周长取得最大值时,求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值;(3)把抛物线2y x bx c =++平移,使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点P .M 是新抛物线上一点,N 是新抛物线对称轴上一点,直接写出所有使得以点A ,B ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标,并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来.10.如图,抛物线2y x bx c =-++过点()3,2A ,且与直线72y x =-+交于B 、C 两点,点B 的坐标为()4,m .(1)求抛物线的解析式;(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点,过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ,点P 为对称轴上一动点,当线段DE 的长度最大时,求PD PA +的最小值;(3)设点M 为抛物线的顶点,在y 轴上是否存在点Q ,使45AQM ∠=︒?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.11.如图,抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点,与y 轴交于点C ,连接,AC BC .M 为线段OB 上的一个动点,过点M 作PM x ⊥轴,交抛物线于点P ,交BC 于点Q . (1)求抛物线的表达式;(2)过点P 作PN BC ⊥,垂足为点N .求线段PN 的最大值.(3)试探究点M 在运动过程中,是否存在这样的点Q ,使得以,,A C Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出此时点Q 的坐标:若不存在,请说明理由.12.如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且抛物线经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 轴交于点B . (1)求抛物线的解析式(2)若直线y =mx +n 经过B 、C 两点,求直线BC 的解析式; (3)在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标及此时距离之和的最小值13.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y =ax 2-2ax -1(a <0). (1)抛物线的对称轴为,抛物线与y 轴的交点坐标为;(2)试说明直线y =x -2与抛物线y =ax 2-2ax -1(a <0)一定存在两个交点; (3)若当-2≤x ≤2时,y 的最大值是1,求当-2≤x ≤2时,y 的最小值是多少?14.如图,抛物线2y ax bx =+经过点()3,33A -、()12,0B . (1)求抛物线的解析式; (2)试判断OAB 的形状;(3)曲线AB 为抛物线上点A 到点B 的曲线,在曲线AB 上是否存在点P 使得四边形OAPB 的面积最大,若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.15.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y =ax 2+bx ﹣6的图象交坐标轴于A (﹣2,0),B (3,0)两点,抛物线与y 轴相交于点C ,抛物线上有一动点P 在直线BC 下方. (1)求这个二次函数的解析式;(2)是否存在点P ,使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出P 点坐标; (3)动点P 运动到什么位置时,△PBC 面积最大.求出此时P 点坐标和△PBC 的最大面积.16.已知抛物线y =x 2﹣bx +c (b ,c 为常数)的顶点坐标为(2,﹣1). (1)求该抛物线的解析式;(2)点M (t ﹣1,y 1),N (t ,y 2)在该抛物线上,当t <1时,比较y 1与y 2的大小; (3)若点P (m ,n )在该抛物线上,求m ﹣n 的最大值. 17.如图1,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B .(1)求抛物线的函数关系式.(2)如图1,点C 是抛物线在第四象限内图像上的一点,过点C 作CP y ⊥轴,P 为垂足,求CP OP +的最大值;(3)如图2,设抛物线的顶点为点D ,点N 的坐标为()2,16--,问在抛物线的对称轴上是否存在点M ,使线段MN 绕点M 顺时针旋转90︒得到线段MN ',且点N '恰好落在抛物线上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.18.如图,已知抛物线2y ax bx c =++()0a ≠与x 轴交于点1,0A 和点()3,0B -,与y 轴交于点C ,且OC OB =.(1)求点C 的坐标和此抛物线的解析式;(2)若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE ,CE ,BC ,求BCE 面积的最大值; (3)点P 在抛物线的对称轴上,若线段PA 绕点P 逆时针旋转90°后,点A 的对应点A '.恰好也落在此抛物线上,求点P 的坐标.19.如图,在平面直角坐标系中,二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ()0,3-,A 点的坐标为(-1,0). (1)求二次函数的解析式;(2)若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点,当四边形ABPC 的面积最大时,求点P 的坐标,并求出四边形ABPC 的最大面积; (3)若Q 为抛物线对称轴上一动点,当Q 在什么位置时QA+QC 最小,求出Q 点的坐标,并求出此时△QAC 的周长.20.函数学习中,自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一,请解决下面的问题.(1)分别求出当24x ≤≤时,两个函数:()221,211y x y x =+=-+的最大值和最小值; (2)若2y x=的值不大于2,求符合条件的x 的范围;(3)若(0)ky k x=≠,当()20t x x ≤≤≠时既无最大值,又无最小值,求a 的取值范围.参考答案:1.(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5,最小值为4- (3)存在,(0,9)P -或9(0,)5P -【分析】(1)先求出点C 的坐标,得到点B 的坐标,再将点A 、B 的坐标代入解析式计算即可;(2)将函数解析式化为顶点式,根据函数的性质解答即可; (3)存在点P ,设()0,P m ,根据相似三角形对应边成比例列得PC CC PO OB'=,代入数值求出m 即可.【解析】(1)二次函数23y ax bx =+-的图象与y 轴交于C 点,()0,3C ∴-.OB OC =,点A 在点B 的左边,()3,0B ∴.又点A 的坐标为()1,0-,由题意可得:093303a b a b =+-⎧⎨=--⎩,解得:12a b =⎧⎨=-⎩.∴二次函数的解析式为2=23y x x --.(2)()22=2314y x x x ---=-,二次函数顶点坐标为()1,4-,∴当1x =时,4y =-最小值,当01x ≤≤时,y 随着x 的增大而减小, ∴当0x =时,3y =-最大值,当14x <≤时,y 随着x 的增大而增大, ∴当4x =时,5y =最大值.∴当04x ≤≤时,函数的最大值为5,最小值为4-.(3)存在点P ,如图,设()0,P m ,CC OB '∥,且PC 与PO 是相似三角形的对应边,PC CC PO OB ∴'=,即:()323m m --=, 解得:9m =-或95m =-,()0,9P ∴-或90,5P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点评】此题考查了二次函数与图形问题,待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的对称性,相似三角形的性质,二次函数的最值,正确掌握二次函数的综合知识是解题的关键. 2.(1)4(2)当32t =-时,233PE PF +1733232P ⎛- ⎝⎭; (3)(1,3N --,113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭【分析】(1)令232330,求解即可; (2)求直线,AC BD 的解析式,设点232,33P t ⎛ ⎝,则33Q t ⎛ ⎝,33F t ⎛ ⎝⎭,利用30QFC ∠=︒,将所求转化为23333PE PF PQ PF +=+,再求解即可; (3)推出平移后的解析式,设234383,M m ⎛ ⎝⎭,()2,N n -,分三种情况讨论;再利用平行四边形的性质结合中点坐标求解即可. 【解析】(1)令232330, 解得1x =或3x =-, ∴()()3,0,1,0A B -,4AB ∴=;(2)232333y x x =-(3C ∴,设直线AC 的解析式为y kx b =+,303k b b -+=⎧⎪∴⎨=⎪⎩,解得33k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴直线AC 的解析式为y x =(),1,0AC BD B ∥,∴直线BD 的解析式为y x =设点2,P t ⎛ ⎝+,则Q t ⎛+ ⎝,F t ⎛ ⎝⎭, ∵点P 为直线AC 上方抛物线上一动点,22PQ ∴==,22P F ==∵3,OA OC ==30CAO ∴∠=︒,,PE AC PF OA ⊥⊥, 30QFC ∴∠=︒,PE ∴=,∴222333332PF PQ PF t ⎛⎫+=+==-+ ⎪⎭⎝⎭∴当32t =-时,3PF +32P ⎛- ⎝⎭;(3))22313y x =-+ ∴抛物线对称轴为直线=1x -,∵抛物线2y =3个单位得到新抛物线y ',∴新抛物线y '的解析式为)22y x =-+',∴2,M m ⎛ ⎝⎭,()1,N n -,①当AB 为平行四边形的对角线时,2311,0m n -=-+=,∴1,m n =-=∴((1,N M --,;②当AM 为平行四边形的对角线时,234383311,m n -=+-= ∴1133,m n ==∴113113N M ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭,; ③当AN 为平行四边形的对角线时,24311,3383n m -+-=+=, ∴3735,m n =-= ∴3733735,1,M N ⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭,; 综上,N 点坐标分别为(1,3N -,113⎛- ⎝⎭和3731,⎛- ⎝⎭. 【点评】本题考查了为此函数的图象和性质,直角三角形的性质,平行四边形的性质,熟练掌握知识并能够运用分类讨论的思想是解题的关键. 3.(1)1 (2)21 (3)1312-【分析】(1)根据对称轴公式求出b ,再有二次函数2y x bx c =+-的图象经过点(3,0),代入求出c ,计算即可;(2)根据二次函数的增减性可知,当x =-4时,y 值最大,代入求解即可;(3)因为平移抛物线2=23y x x --,其顶点始终在二次函数221y x x =--上,故设顶点坐标为()2,21h h h --,可得平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--,可求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标为231=--w h h ,根据二次函数求最值的方法求解即可. (1)解:由题意可知12bx =-=,∴2b =-. 将(3,0)代入22y x x c =--,得3c =, ∴1b c +=. (2)解:由(1)得2223(1)4y x x x =--=--,∴当1x <时,y 随x 增大而减小,当1x >时,y 随x 增大而增大.∵1(4)31-->-,∴当4x =-时,y 取最大值21. (3)解:∵平移抛物线2=23y x x --,其顶点始终在二次函数221y x x =--上,∴设顶点坐标为()2,21h h h --,故平移后的解析式为22()21y x h h h =-+--,∴22222221231y x hx h h h x hx h h =-++--=-+--. 设平移后所得抛物线与y 轴交点的纵坐标为w , 则22113313612w h h h ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭,∴当16h =时,平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最小值为1312-. 【点评】本题考查了二次函数的性质,和最值,平移规律,熟练掌握二次函数的性质和平移规律是解题的关键.4.(1)1,0x =;(2)11m =,21m =-;(3)当1n =-时,m n +有最小值为-2. 【分析】(1)求方程2(x -1)-4=0的根,代入(x -1)(x -2)=m +1中,确定m 的值;解(x -1)(x -2)=m +1,得到另一个根;(2)求方程2(x -m )-4=0的根,代入(x -1)(x -2)=m +1中,确定m 的值;(3)求方程()240x n --=的根,代入(x -1)(x -2)=m +1中,用含n 的代数式表示m ,构造m +n 与n 的二次函数,利用二次函数的性质确定最值. 【解析】(1)∵2(x -1)-4=0, ∴x =3,∴(3-1)(3-2)=m +1, 解得m =1, ∴(x -1)(x -2)=2, ∴2x -3x =0, ∴123,0x x ==, 故答案为:1,0x =. (2)由()240x m --=,得 2x m =+.则()()21221m m m +-+-=+ ∴21m m m +=+, ∴21m =,∴11m =,21m =-. (3)由()240x n --=,得2x n =+.则()()21221n n m +-+-=+. 即21m n n =+-.∴()222112m n n n n +=+-=+-; ∴当1n =-时,m n +有最小值-2.【点评】本题考查了一元一次方程,一元二次方程,二次函数的最值,熟练掌握方程的解法,二次函数的最值是解题的关键.5.(1) 223y x x =-++;(2) P 点坐标为(1,2),BCP ∆1032(3) Q 点坐标存在,为(2,2)或(417或(4,17-或(2-,314或(2-,314【分析】(1)将()3,0A ,()1,0B -代入即可求解;(2)连接BP 、CP 、AP ,由二次函数对称性可知,BP=AP ,得到BP +CP =AP +CP ,当C 、P 、A 三点共线时,△PBC 的周长最小,由此求出AC 解析式,将P 点横坐标代入解析式中即可求解;(3)设P 点坐标为(1,t ),Q 点坐标为(m ,n ),按AC 为对角线,AP 为对角线,AQ 为对角线分三种情况讨论即可求解.【解析】解:(1)将()3,0A ,()1,0B -代入二次函数表达式中,∴093303a b a b =++⎧⎨=-+⎩ ,解得12a b =-⎧⎨=⎩,∴二次函数的表达式为:223y x x =-++; (2)连接BP 、CP 、AP ,如下图所示:由二次函数对称性可知,BP=AP , ∴BP +CP =AP +CP , BCPC BP CP BCPA CP BCBC 为定直线,当C 、P 、A 三点共线时,PA CP 有最小值为AC ,此时BCP ∆的周长也最小,设直线AC 的解析式为:y kx m =+,代入()3,0,(0,3)A C ,∴0=330k m m +⎧⎨=+⎩,解得13k m =-⎧⎨=⎩,∴直线AC 的解析式为:3y x =-+, 二次函数的对称轴为12bx a=-=,代入3y x =-+,得到2y =, ∴P 点坐标为(1,2),此时BCP ∆的周长最小值=222213331032BC AC;(3)()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1,t ),Q 点坐标为(m ,n ), 分类讨论:情况一:AC 为菱形对角线时,另一对角线为PQ ,此时由菱形对角互相平分知:AC 的中点也必定是PQ 的中点, 由菱形对角线互相垂直知:1AC PQk k ,∴30103111m t n n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪-⎪-⋅=--⎩,解得221m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴P 点坐标为(1,1),对应的Q 点坐标为(2,2); 情况二:AP 为菱形对角线时,另一对角线为CQ ,同理有:310030312m t n t n m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩,解得43m n t=⎧⎪⎨⎪=⎩或43m n t =⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴P 点坐标为(1,3)或(1,3,对应的Q 点坐标为(4或(4,); 情况三:AQ 为菱形对角线时,另一对角线为CP ,()3,0,(0,3)A C 设P 点坐标为(1,t ),Q 点坐标为(m ,n ),同理有:3010303131m n t n t m ⎧⎪+=+⎪+=+⎨⎪--⎪⋅=--⎩,解得23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩23m n t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴P 点坐标为(1或(1,,对应的Q 点坐标为(-2,3或(-2,3; 纵上所示,Q 点坐标存在,为(2,2)或(4或(4,或(2-,3或(2-,3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题,本题第三问难度大一些,熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键. 6.(1)①234y x x =--;②自变量x 的取值范围为12x >-;(2)a 1401-+25541-- 【分析】(1)①二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点为(32,﹣254),可确定二次函数的对称轴为32x =,利用对称轴求出抛物线与x 轴的交点A (-1,0),B (4,0),利用待定系数法可求抛物线解析式;②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1,求出新增函数21=5y x x +,利用1y y >两函数作差840x +>解不等式即可;(2)设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,由-1≤x ≤132<,0a >或a<0分两种情况利用函数的增减性构造关于a 的一元二次方程,求出a 的值即可. 【解析】解:(1)①二次函数y =ax 2+bx +c 的顶点为(32,﹣254),∴二次函数的对称轴为32x =, ∵与x 轴交于点A ,B ,AB =5, ∴A 、B 两点关于对称轴为32x =对称,35122-=-,35+422=, ∴A (-1,0),B (4,0), 设解析式为()()14y a x x =+-,∵()()14y a x x =+-过顶点(32,﹣254),∴253314422a ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 解得=1a ,∴二次函数解析式为:2=34y x x --, ②设自变量x 的值增加4时,的函数为y 1, ∴()()221=+43+44=5y x x x x --+, ∵1y y >,∴()22534840x x x x x +---=+>,解得12x >-;(2)设二次函数的解析式为232524y a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,当-1≤x ≤132<, 当0a >,二次函数开口向上,在二次函数对称轴的左侧,y 随x 的增大而减小, ∴当x =1时函数取最小值﹣a 2,∴22325124a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭,整理得24+250a a -=,解得a =0a =<(舍去), 当a<0,二次函数开口向下,在二次函数对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大, ∴当x =-1时函数取最小值﹣a 2,∴22325124a a ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭, 整理得24+25250a a -=,解得a =或0a =>(舍去). 【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式,利用自变量增大函数值增大构造不等式,利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程,掌握待定系数法求抛物线解析式,会列不等式与解不等式,利用函数的增减性取最小值构造关于a 的一元二次方程和解方程是解题关键.7.(1)1k =,1b =;(2)p 最大值为1;(3)30c -<≤或1c =【分析】(1)将(2,3)和1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭分别代入直线表达式中可求得k 和n 值,再根据抛物线的对称轴公式求解b 值即可;(2)抛物线的对称轴为直线x =﹣12和2139x x ≤-<得出211x x =--及152x -<≤-,则()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,根据二次函数的最值方法求解即可;(3)联立方程组可得x 2=1﹣c ,对c 讨论,结合方程根取值范围进行求解即可. 【解析】解:(1)把()2,3代入1y kx =+得:213k +=,则1k =,∴点1,2n ⎛⎫⎪⎝⎭在直线1y x =+上,∴12n =-,∴抛物线的对称轴122b x =-=-,∴1b =;(2)由(1)知1b =,则2y x x c =++,∵抛物线2y x x c =++与x 轴交点的横坐标为1x ,2x 且213x x -≥ ∴2112x x >-> ∴211122x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即121x x +=-. ∴211x x =--.∴()22221211331p x x x x =-=---2133222x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵2139x x ≤-<,∴()11319x x ≤---< ∴152x -<≤-∵20-<且对称轴为直线32x =-∴当152x -<≤-时,p 随1x 的增大而增大, ∴当12x =-时,p 取最大值且最大值为1;(3)由(1)知,直线的表达式为1y x =+,抛物线表达式为2y x x c =++,联立方程组21y x y x x c =+⎧⎨=++⎩得:x 2=1﹣c , 当c >1时,该方程无解,不满足题意; 当c =1时,方程的解为x =0满足题意; 当c <1时,方程的解为x =±1c -当1c -2即30c -<≤时,满足12x -<<时,抛物线2y x bx c =++与直线1y kx =+有且只有一个公共点,综上,满足题意的c 的取值范围为30c -<≤或1c =.【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合,涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识,解答的关键是认真分析题意,找寻知识之间的关联点,利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算. 8.(1)()3,3-;(2)1;(3)4044个【分析】(1)先求出点B 坐标,B 的纵坐标减去A 的纵坐标等于12求出m 值,再求出抛物线的对称轴,根据抛物线的对称性和两点之间线段最短知,当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短,此时点P 为直线a 与对称轴的交点,进而求解即可;(2)先求出抛物线的顶点C 坐标2,24m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,由C 与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤即可求出最大值;(3)先求出抛物线与直线a 的交点的横坐标,根据每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值,结合边界由线段和抛物线组成求解即可. 【解析】解:(1)当0x =时,y x m m =+=, (0,)B m ∴,12AB =,而(0,)A m -,()12m m ∴--=,6m ∴=,∴抛物线L 的解析式为:26y x x =+,L ∴的对称轴3x =-,又知O 、D 两点关于对称轴对称,则OP DP =OB OP PB OB DP PB ∴++=++∴当B 、P 、D 三点共线时OBP 周长最短,此时点P 为直线a 与对称轴的交点,当3x =-时,63y x =+=, (3,3)P ∴-;(2)2224m m y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,L ∴的顶点2,24m m C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,点C 在l 上方,C ∴与l 的距离221()(2)1144m m m =---=--+≤,∴点C 与l 距离的最大值为1;(3)当2021m =时,抛物线解析式2:2021L y x x =+ 直线解析式:2021a y x =+联立上述两个解析式220212021y x xy x ⎧=+⎨=+⎩可得:12021x =-,21x =∴可知每一个整数x 的值都对应的一个整数y 值,且-2021和1之间(包括-2021和1)共有2023个整数;∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分:线段和抛物线, ∴线段和抛物线上各有2023个整数点, ∴总计4046个点∵这两段图象交点有2个点重复, ∴“整点”的个数:404624044-=(个); 故2021m =时“整点”的个数为4044个.【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、图形与坐标、最短路径问题、二次函数的最值、两函数图象的交点问题、解二元一次方程组等问题,综合性强,难度适中,解答的关键是读懂题意,找寻相关知识的关联点,利用数形结合思想解决问题. 9.(1)2712y x x =--;(2)t =2时,△PDE 2458, 点P的坐标为(2,﹣4);(3)满足条件的点M 的坐标有(2,﹣4),(6,12),(﹣2,12),过程见解析【分析】(1)利用待定系数法求函数表达式即可;(2)先求出直线AB 的函数表达式和点C 坐标,设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,其中0<t <4,则E22727,12t t t t ⎛⎫---⎪⎝⎭,证明△PDE ∽△AOC ,根据周长之比等于相似比可得())22355651024522828l t t ++⎡⎤=--+=-⎣⎦,根据二次函数求最值的方法求解即可;(3)分以下情况①若AB 是平行四边形的对角线;②若AB 是平行四边形的边,1)当 MN ∥AB 时;2)当 NM ∥AB 时,利用平行四边形的性质分别进行求解即可. 【解析】解(1)∵抛物线2y x bx c =++经过点A (0,﹣1),点B (4,1),∴11641c b c =-⎧⎨++=⎩, 解得721b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩, ∴该抛物线的函数表达式为2712y x x =--;(2)∵A (0,-1),B (4,1), ∴直线AB 的函数表达式为112y x =-, ∴C (2,0),设P 27,12t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,其中0<t <4,∵点E 在直线112y x =-上,PE ∥x 轴, ∴E 22727,12t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭,∠OCA =∠DEP ,∴PE =()2228228t t t -+=--+, ∵PD ⊥AB , ∴∠EDP =∠COA , ∴△PDE ∽△AOC , ∵AO =1,OC =2, ∴AC∴△AOC 的周长为令△PDE 的周长为lACPE=,∴())2222828l t t ⎡⎤=--+=-⎣⎦, ∴当t =2时,△PDE8, 此时点P 的坐标为(2,﹣4),(3)如图所示,满足条件的点M 的坐标有(2,﹣4),(6,12),(﹣2,12). 由题意可知,平移后抛物线的函数表达式为24y x x =-,对称轴为直线2x =. ①若AB 是平行四边形的对角线,当MN 与AB 互相平分时,四边形ANBM 是平行四边形, 即MN 经过AB 的中点C (2,0),∵点N 的横坐标为2,∴点M 的横坐标为2,∴点M 的坐标为(2,-4);②若AB 是平行四边形的边,1)MN ∥AB 时,四边形ABNM 是平行四边形,∵A (0,-1),B (4,1),点N 的横坐标为2,∴点M 的横坐标为2﹣4=﹣2,∴点M 的坐标为(﹣2,12);2)当 NM ∥AB 时,四边形ABMN 是平行四边形,∵A (0,-1),B (4,1),点N 的横坐标为2,∴点M 的横坐标为2+4=6,∴点M 的坐标为(6,12),综上,满足条件的点M 的坐标有(2,﹣4),(6,12),(﹣2,12).【点评】本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行四边形的性质等知识,解答的关键是熟练掌握二次函数的性质,运用平行四边形的性质,结合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算.10.(1)21722y x x =-++;(2)352(3)存在,点Q 的坐标为(10,23Q 、(20,23Q 【分析】(1)先将点B 的坐标为(4,)m 代入代入直线解析式中,求得点B 的坐标,再利用,A B 坐标,待定系数法求二次函数解析式;(2)设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,()21222DE m =--+,当2m =时,DE 有最大值为2,此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,作点A 关于对称轴的对称点A ',连接A D ',与对称轴交于点P ,PD PA PD PA A D ''+=+=此时PD PA +最小,勾股定理即可求得;(3)作AH y ⊥轴于点H ,连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ,由45AQM ∠=︒可知12AQM AHM ∠=∠,继而可得:2QH HA HM ===,设(0,)Q t ,勾股定理即可求得点Q 的坐标【解析】解:(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+, 71422m =-+=-, ∴B 的坐标为14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭, 将(3,2)A ,14,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入 212y x bx c =-++, 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得1b =,72c =, ∴抛物线的解析式21722y x x =-++; (2)设217,22D m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭, 则7,2E m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 222177112(2)222222DE m m m m m π⎛⎫⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴当2m =时,DE 有最大值为2 此时72,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 作点A 关于对称轴的对称点A ',连接A D ',与对称轴交于点P .PD PA PD PA A D ''+=+=,此时PD PA +最小,∵(3,2)A ,∴(1,2)A '-,2273(12)2522A D ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭ 即PD PA +352(3)作AH y ⊥轴于点H ,连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ,∵抛物线的解析式21722y x x =-++, ∴(1,4)M ,∵(3,2)A ,∴2AH MH ==,(1,2)H∵45AQM ∠=︒,90AHM ∠=︒, ∴12AQM AHM ∠=∠, 可知AQM 外接圆的圆心为H ,∴2QH HA HM ===设(0,)Q t2,2t =2∴符合题意的点Q的坐标:(10,2Q、(20,2Q .【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图像与性质,勾股定理,将军饮马求线段和的最小值,三角形的外心,圆周角定理,正确作出图形是解题的关键.11.(1)211433y x x =-++;(2)3;(3)存在,点Q 的坐标为(1,3)或⎝⎭ 【分析】(1)将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可;(2)由抛物线的表达式211433y x x =-++求出y 轴交点C 的坐标,利用待定系数法求得直线BC 的解析式,然后用m 表示出PQ ,利用三角函数求出PN =PQ cos45°,再利用二次函数的性质即可求解;(3)分三种情况:①当AC CQ =时,过点Q 作QE y ⊥轴于点E .则222CQ CE EQ =+,即[]224(4)25m m +--+=;②当AC AQ =时,连结AQ ,则5AQ AC ==,在Rt AMQ △中,由勾股定理得:AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2,即22[(3)](4)25m m --+-+=;③当CQ AQ =时,则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣,分别求解即可. 【解析】解:(1)∵抛物线24y ax bx =++交x 轴于3,0,()(,0)4A B -两点,∴将点A B 、的坐标代入抛物线表达934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩, 解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴抛物线的表达式为:211433y x x =-++;(2)∵抛物线的表达式211433y x x =-++,当x=0时,y=4,∴点(0,4)C ,设直线BC 的表达式为:y kx b =+;把点B C 、的坐标代入解析式得:404k b b +=⎧⎨=⎩, 解得:14k b =-⎧⎨=⎩, 直线BC 的表达式为:4y x =-+;设点(,0)M m ,则点211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,点4(),Q m m -+, 221114443333PQ m m m m m ∴=-+++-=-+, OB OC =,∴45ABC OCB ∠=∠=︒,∵PM ⊥x 轴,∴∠MQB =90°-∠CBO =90°-45°=45°,∴∠PQN =∠MQB =45°,∵PN ⊥BC ,∴45NPQ NQP ∠=∠=︒,22214222sin 452)33PN PQ m m m ⎫∴=︒=-+=-⎪⎝⎭, 206-<,开口向下,PN 有最大值, 当2m =时,PN 22 (3)存在,理由: 点A C 、的坐标分别为(3,0),(0,4)-,在△OAC 中由勾股定理有()2222-34AC OA OC +=+①当AC CQ =时,过点Q 作QE y ⊥轴于点E .则222CQ CE EQ =+,∴222=CE EQ AC +即()224425m m ⎡⎤⎣-⎦+-+=, 解得:52m =(舍去负值),∴点Q ⎝⎭;②当AC AQ =时,连结AQ ,则5AQ AC ==,在Rt AMQ △中,由勾股定理得:AQ 2=AM 2+QM 2=AC 2即[]22(3)(4)25m m --+-+=,解得:1m =或0(舍去0),∴点()1,3Q ;③当CQ AQ =时,则EC 2+EQ 2=AM 2+QM 2,即()[]2222(3)(+44)4m m m m =--+--+⎡⎤+⎦-⎣, 解得:2542m =>(舍去);综上,点Q 的坐标为(1,3)或822⎛- ⎝⎭..【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式和直线解析式,两点距离公式,锐角三角函数,分类探究等腰三角形.勾股定理,掌握待定系数法求抛物线解析式和直线解析式,两点距离公式,锐角三角函数,分类探究等腰三角形.勾股定理,利用勾股定理构造方程是解题关键.12.(1)223y x x =--+;(2)y =x +3;(3)M (-1,2),【分析】(1)根据抛物线的对称轴可得12b a-=-,然后代入A (1,0),C (0,3)代入抛物线解析式03a b c c ++=⎧⎨=⎩解方程组即可; (2)利用(1)的函数解析式令y =0,解方程即可求出点B 坐标,再根据B 、C 坐标利用待定系数法求直线BC 的解析式即可;(3)由点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点,直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D (-1,2),由点M 在对称轴上,可得AM =BM ,由点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,点B ,点M ,点C 三点共线时最短,即点M 与点D 重合时,距离之和的最小值就是可得CM +AM =BC 的长,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC =32【解析】解:(1)依题意得:1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩,解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,∴223y x x =--+;(2)当y=0时2x 2x 30--+=解得123,1x x =-=∴点B (-3,0)由直线BC 的解析式为:y =mx+n ,代入B (﹣3,0),C (0,3)得:303m n n -+=⎧⎨=⎩, 解得:13m n =⎧⎨=⎩, ∴直线BC 的解析式为:y =x +3;(3)∵点A 与点B 是关于对称轴直线=1x -的对称点,∴直线BC 与对称轴直线=1x -的交点就是D 点,∴当=1x -时3y x =-1+3=2,∴D (-1,2),∵点M 在对称轴上,∴AM =BM ,点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,∴点B ,点M ,点C 三点共线时最短,即点M 与点D 重合时,点M (-1,2),∴距离之和的最小值就是CM +AM =CM+BM = BC 的长,在Rt △BOC 中,由勾股定理得BC∴距离之和的最小值就是【点评】本题考查的是二次函数的综合运用,待定系数法求函数解析式,一次函数解析式,利用轴对称求最短路径以及M 坐标是解题关键.13.(1)直线x =1,(0,-1);(2)见解析;(3)17-.【分析】(1)将抛物线解析式转化为顶点式解析式,得到对称轴,当0x =时,可解得抛物线与y 轴的交点坐标;(2)将y =x -2代入二次函数解析式,得到关于x 的一元二次方程,根据一元二次方程根的判别式解题即可;(3)将抛物线解析式转化为顶点式,得到对称轴为直线x =1,根据抛物线的图象与性质解题即可.【解析】解:(1)抛物线y =ax 2-2ax -12(1)1a x a =--- ,∴抛物线的对称轴为直线1x =,抛物线y =ax 2-2ax -1中,当0x =时,1y =-,∴抛物线与y 轴的交点坐标为:(0,1)-故答案为:直线x =1,(0,1)-;(2)将y =x -2代入二次函数解析式,得x -2 = ax 2-2ax -1,则原方程可化为 ax 2-(2a +1)x +1=0,由根的判别式可得2-4b ac =()222214441441a a a a a a ⎡⎤-+-=++-=+⎣⎦2410a +>0∴∆>∴直线y =x -2与抛物线y =ax 2-2ax -1(a < 0)一定存在两个交点;(3)∵抛物线的开口向下,对称轴直线为x =1,顶点坐标为(1,1)a --,∴当-2≤x ≤2时,∵y 的最大值是1,∴顶点坐标为(1, 1),11a ∴--=2a ∴=-∴当x < 1时,y 随x 的增大而增大,当x >1时,y 随x 的增大而减小,∵2x =-比2x =离对称轴1x =更远一些,即x =-2时,y 有最小值,∴最小值是22(2)2(2)(2)117y =-⨯--⨯-⨯--=-,即y 的最小值是 17-.【点评】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题,涉及二次函数的最值等知识,是重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键.14.(1)2343y x =;(2)直角三角形;(3)存在,点P 坐标为:151353,2⎛ ⎝⎭. 【分析】(1)把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+,利用待定系数法解题;(2)利用勾股定理的逆定理解题;(3)连接AB ,利用待定系数法解得直线AB 的解析式为:33y =-2343P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,过点P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,交AB 于点343N x x ⎛- ⎝,由三角形面积公式,结合二次函数的最值问题解题即可.【解析】解:(1)把(3,33A -、(12,0)B 代入2y ax bx =+,得9333144120a b a b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩①②, ①4⨯-②得,1083a -=-3a ∴= 把3a =①得 43b =343a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴抛物线的解析式为:2343y x =;(2)(0,0)O,(3,A -、(12,0)B(222336OA ∴=+=∣(222(123)108AB =-+=2212144OB ==22236108144OA AB OB +=+==OAB ∴△为直角三角形;(3)存在,连接AB ,OAB APB OAPB S S S =+△△四边形而OAB S 已确定,要使四边形OAPB S 面积最大,只需要APB S 最大即可,设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠,把点(3,A -、(12,0)B代入,得:3120k b k b ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩解得:k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴直线AB的解析式为:y x =-设2P x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,过点P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,交AB 于点N ,于是N x ⎛- ⎝,则2119922APB APB S PN S x x ⎡⎤⎫=⋅⋅==--⨯⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎝⎭⎣⎦△△2x =-当152x ==⎝⎭时,APB S 最大.2x x = ∴符合条件的点P坐标为:15,2⎛ ⎝⎭.【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合题,涉及勾股定理逆定理、待定系数法求一次。

2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题(含答案)

2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题(含答案)

2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题一.定点问题(共3小题)1.已知抛物线y=x2﹣2mx﹣3(m为常数).(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示);(2)当m≥1时,求抛物线顶点到x轴的最小距离;(3)当m=0时,点A,B为该抛物线上的两点,顶点为D,直线AD的解析式为y1=k1x+b1,直线BD的解析式为y2=k2x+b2,若k1k2=﹣,求证:直线AB过定点.2.已知抛物线y=x2+bx+c关于直线x=1对称,且过点(2,1).(1)求抛物线的解析式;(2)过D(m,﹣1)的直线DE:y=k1x+b1(k>0)和直线DF:y=k2x+b2(k2<0)均与抛物线有且只有一个交点.①求k1k2的值;②平移直线DE,DF,使平移后的两条直线都经过点R(1,0),且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点,若M、N分别为GH,PQ的中点,求证:直线MN必过某一定点.3.在平面直角坐标系中,抛物线l:y=x2﹣2mx﹣2﹣m(m>0)与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N,且OC=3ON(1)求m的值;(2)设点G是抛物线在第三象限内的动点,若∠GBC=∠ACO,求点G的坐标;(3)将抛物线y=x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位,得到抛物线l′,设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点,射线PO、QO分别交直线y=﹣2于点P′、Q′,设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′,且x P′⋅x Q′=4,求证:直线PQ经过定点.二.定值问题(共2小题)4.过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A,且抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),点E是直线AB上方抛物线上一点,连接AB,BE,AE,若△ABE的面积为4,求点E的坐标;(3)如图(2),设直线y=kx﹣2k(k≠0)与抛物线交于C,D两点,点D关于直线x=2的对称点为D',直线CD'与直线x=2交于点P,求证:BP的长为定值.5.已知抛物线C1:y=mx2+n与x轴于A,B两点,与y轴交于点C,△ABC为等腰直角三角形,且n=﹣1.(1)求抛物线C1的解析式;(2)将C1向上平移一个单位得到C2,点M、N为抛物线C2上的两个动点,O为坐标原点,且∠MON=90°,连接点M、N,过点O作OE⊥MN于点E.求点E到y轴距离的最大值;(3)如图,若点F的坐标为(0,﹣2),直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,设点G的横坐标为b,点H的横坐标为a,则a﹣b是定值吗?若是,请求出其定值,若不是,请说明理由.三.线段之积(共2小题)6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c,交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧,其中A点坐标(﹣1,0);交y轴负半轴于点C,C点坐标(0,﹣3).(1)求出抛物线的解析式;(2)如图1,若抛物线上有一点D,∠ACD=45°,求点D的坐标.(3)如图2,点P是第一象限抛物线上一点,过点P的直线y=mx+n(n<0)与抛物线交于另外一点Q,连接AP、AQ,分别交y轴于M、N两点.若OM•ON=2,试探究m、n之间的数量关系,并说明理由.7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(2,0),C(0,﹣1).(1)求抛物线的解析式;(2)D为抛物线y=ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A,B重合的动点.①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F,与直线BD交于点G,点F关于x轴的对称点为F′,求证:GF′的长度为定值;②当∠BAD=45°时,过线段AD上的点H(不含端点A,D)作AD的垂线,交抛物线于P,Q两点,求PH•QH的最大值.四.线段数量关系(共5小题)8.抛物线C:y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.(1)直接写出点A,B的坐标;(2)如图1,直线y=x+1经过点A,交抛物线于另一点N,点D在抛物线上,满足△DAN的面积与△CAN的面积相等,求点D的横坐标;(3)如图2,将抛物线C向上平移,使其顶点M在x轴上,得到抛物线C1,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C1上两点(P点在Q点左侧),直线PQ交抛物线C1对称轴于点E,过点Q作y轴的平行线分别交x轴,直线PM于F,H两点,EH交x轴于点G,求证:EG=GH.9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若抛物线经过点(﹣1,1)且对称轴为直线x=1,求a,c所满足的数量关系;(2)抛物线与y轴交于点,顶点为Q(2,0),过点的直线与抛物线交于E,F两点(点E在点F的左侧).①求△EQF面积的最小值;②过点E作x轴的垂线,垂足为M,直线EM与直线FQ交于点N,连接PM,求证:PM∥QN.10.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(4,0),C(﹣1,0)两点,与y轴交于点B,点P为抛物线上的一个动点,连接AB,BC,PA,PC,PC与AB相交于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点.设△APQ的面积为S1,△BCQ的面积为S2.求S1﹣S2的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点P作PD垂直于x轴于点D,与线段AB交于点N.设点D的横坐标为m,且2<m<4,PD中点为点M,AB中点为点E,若,求m的值.11.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,0),与y轴交于点B,对称轴为,点P是x轴上一点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.(1)求二次函数的表达式;(2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)时,求点P的坐标;(3)分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点M、N,矩形EMNF与此抛物线相交,抛物线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为m,最低点纵坐标为n,当m﹣n=2OP时,求点P的坐标.12.已知抛物线y=﹣﹣2x+3n(n>0)与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧);与y轴交于点C,顶点为D.(1)如图1,若n=1.①则D的坐标为;②当m≤x≤0时,抛物线的最小值为3,最大值为4,则m的取值范围为.(2)如图2,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2nd.①求证:AC∥PB.②连接AP、OD、OQ、DQ,若AP=QB,PQ=4n,试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化?并说明理由.五.面积问题(共5小题)13.已知抛物线C1:y=﹣x2﹣2x﹣1,抛物线C2经过点A(﹣1,0),B(m+1,0)(m>0),E为抛物线C2的顶点,M(x M,0)是x轴正半轴上的点.(1)若E在抛物线C1上,求点E的坐标;(用含m的式子表示)(2)若抛物线C2:y=x2﹣mx+n,与y轴交于点C.①点D(m,y D)在抛物线C2上,当AM=AD,x M=5时,求m的值;②若m=2,F是线段OB上的动点,过F作GF⊥CF交线段BC于点G,连接CE,GE,求△CGE面积的最小值.14.如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A的坐标为(﹣2,0)和原点O,将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求抛物线解析式,判断点B是否在抛物线上;(2)连接AB,作点O关于AB的对称点O′,求四边形AOBO′的面积;(3)点P(n,0)是x轴上一个动点,过P点作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点N,将△ANB的面积记为S,若≤S≤,求n的取值范围.15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)连接AC,BC,点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点(不与B,C重合),①求△BCD面积的最大值;②若∠ACO+∠BCD=∠ABC,求点D的坐标.16.在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点B(4,0),与y轴交于点C,点P 抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上的点,过点P作PH⊥AB,垂足为H,作PE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F,设△PHF的面积为S1,△BEF的面积为S2,当时,求点P的坐标;(3)点N为抛物线对称轴上的动点,是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?若存在,请直接写出点N 坐标,若不存在,请说明理由.17.抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,当OP=OA时,D是点C关于抛物线对称轴的对称点,M是抛物线上的动点,它的横坐标为m(﹣1<m<4),连接DM,CM,DM与直线AC交于点N.设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2,求的最大值.(3)如图2,直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为n.求的值.2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题(答案)一.定点问题(共3小题)1.已知抛物线y=x2﹣2mx﹣3(m为常数).(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示);(2)当m≥1时,求抛物线顶点到x轴的最小距离;(3)当m=0时,点A,B为该抛物线上的两点,顶点为D,直线AD的解析式为y1=k1x+b1,直线BD的解析式为y2=k2x+b2,若k1k2=﹣,求证:直线AB过定点.【答案】(1)(m,﹣m2﹣3);(2)抛物线顶点到x轴的最小距离为4;(3)直线AB过定点(0,﹣).2.已知抛物线y=x2+bx+c关于直线x=1对称,且过点(2,1).(1)求抛物线的解析式;(2)过D(m,﹣1)的直线DE:y=k1x+b1(k>0)和直线DF:y=k2x+b2(k2<0)均与抛物线有且只有一个交点.①求k1k2的值;②平移直线DE,DF,使平移后的两条直线都经过点R(1,0),且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点,若M、N分别为GH,PQ的中点,求证:直线MN必过某一定点.【答案】(1)y=x2﹣2x+1;(2)①k1k2=﹣4;②证明见解答过程.3.在平面直角坐标系中,抛物线l:y=x2﹣2mx﹣2﹣m(m>0)与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N,且OC=3ON(1)求m的值;(2)设点G是抛物线在第三象限内的动点,若∠GBC=∠ACO,求点G的坐标;(3)将抛物线y=x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位,得到抛物线l′,设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点,射线PO、QO分别交直线y=﹣2于点P′、Q′,设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′,且x P′⋅x Q′=4,求证:直线PQ经过定点.【答案】(1)m=1;(2)点G的坐标为;(3)见解析.二.定值问题(共2小题)4.过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A,且抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),点E是直线AB上方抛物线上一点,连接AB,BE,AE,若△ABE的面积为4,求点E的坐标;(3)如图(2),设直线y=kx﹣2k(k≠0)与抛物线交于C,D两点,点D关于直线x=2的对称点为D',直线CD'与直线x=2交于点P,求证:BP的长为定值.【答案】(1)解析式为:y=x2﹣2x;(2)E1(0,0),E2(6,6);(3)证明见解答过程.5.已知抛物线C1:y=mx2+n与x轴于A,B两点,与y轴交于点C,△ABC为等腰直角三角形,且n=﹣1.(1)求抛物线C1的解析式;(2)将C1向上平移一个单位得到C2,点M、N为抛物线C2上的两个动点,O为坐标原点,且∠MON=90°,连接点M、N,过点O作OE⊥MN于点E.求点E到y轴距离的最大值;(3)如图,若点F的坐标为(0,﹣2),直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,设点G的横坐标为b,点H的横坐标为a,则a﹣b是定值吗?若是,请求出其定值,若不是,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣1;(2);(3)定值1.三.线段之积(共2小题)6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c,交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧,其中A点坐标(﹣1,0);交y轴负半轴于点C,C点坐标(0,﹣3).(1)求出抛物线的解析式;(2)如图1,若抛物线上有一点D,∠ACD=45°,求点D的坐标.(3)如图2,点P是第一象限抛物线上一点,过点P的直线y=mx+n(n<0)与抛物线交于另外一点Q,连接AP、AQ,分别交y轴于M、N两点.若OM•ON=2,试探究m、n之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)D(4,5);(3)m、n之间的数量关系为n+3m=2.理由间接性.7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(2,0),C(0,﹣1).(1)求抛物线的解析式;(2)D为抛物线y=ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A,B重合的动点.①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F,与直线BD交于点G,点F关于x轴的对称点为F′,求证:GF′的长度为定值;②当∠BAD=45°时,过线段AD上的点H(不含端点A,D)作AD的垂线,交抛物线于P,Q两点,求PH•QH的最大值.【答案】(1)y=x2﹣x﹣1;(2)①F′G=为定值;②PH•QH的最大值为:.四.线段数量关系(共5小题)8.抛物线C:y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.(1)直接写出点A,B的坐标;(2)如图1,直线y=x+1经过点A,交抛物线于另一点N,点D在抛物线上,满足△DAN的面积与△CAN的面积相等,求点D的横坐标;(3)如图2,将抛物线C向上平移,使其顶点M在x轴上,得到抛物线C1,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C1上两点(P点在Q点左侧),直线PQ交抛物线C1对称轴于点E,过点Q作y轴的平行线分别交x轴,直线PM于F,H两点,EH交x轴于点G,求证:EG=GH.【答案】(1)A(﹣1,0),B(3,0);(2)3或;(3)见解析.9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若抛物线经过点(﹣1,1)且对称轴为直线x=1,求a,c所满足的数量关系;(2)抛物线与y轴交于点,顶点为Q(2,0),过点的直线与抛物线交于E,F两点(点E在点F的左侧).①求△EQF面积的最小值;②过点E作x轴的垂线,垂足为M,直线EM与直线FQ交于点N,连接PM,求证:PM∥QN.【答案】(1)3a+c=1;(2)①4;②见解答.10.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(4,0),C(﹣1,0)两点,与y轴交于点B,点P为抛物线上的一个动点,连接AB,BC,PA,PC,PC与AB相交于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点.设△APQ的面积为S1,△BCQ的面积为S2.求S1﹣S2的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点P作PD垂直于x轴于点D,与线段AB交于点N.设点D的横坐标为m,且2<m<4,PD中点为点M,AB中点为点E,若,求m的值.【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)S1﹣S2的最大值为,点P的坐标为:(,);(3)m=.11.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,0),与y轴交于点B,对称轴为,点P是x轴上一点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.(1)求二次函数的表达式;(2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)时,求点P的坐标;(3)分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点M、N,矩形EMNF与此抛物线相交,抛物线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为m,最低点纵坐标为n,当m﹣n=2OP时,求点P的坐标.【答案】(1);(2)(﹣1,0),,;(3)P(6,0).12.已知抛物线y=﹣﹣2x+3n(n>0)与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧);与y轴交于点C,顶点为D.(1)如图1,若n=1.①则D的坐标为(﹣1,4);②当m≤x≤0时,抛物线的最小值为3,最大值为4,则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 .(2)如图2,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2nd.①求证:AC∥PB.②连接AP、OD、OQ、DQ,若AP=QB,PQ=4n,试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化?并说明理由.【答案】(1)①(﹣1,4);②﹣2≤m≤﹣1;(2)①证明见解析过程;②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化,理由见解析过程.五.面积问题(共5小题)13.已知抛物线C1:y=﹣x2﹣2x﹣1,抛物线C2经过点A(﹣1,0),B(m+1,0)(m>0),E为抛物线C2的顶点,M(x M,0)是x轴正半轴上的点.(1)若E在抛物线C1上,求点E的坐标;(用含m的式子表示)(2)若抛物线C2:y=x2﹣mx+n,与y轴交于点C.①点D(m,y D)在抛物线C2上,当AM=AD,x M=5时,求m的值;②若m=2,F是线段OB上的动点,过F作GF⊥CF交线段BC于点G,连接CE,GE,求△CGE面积的最小值.【答案】(1)E(m,﹣m2﹣m﹣1);(2)①m=3﹣1;②6﹣6.14.如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A的坐标为(﹣2,0)和原点O,将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求抛物线解析式,判断点B是否在抛物线上;(2)连接AB,作点O关于AB的对称点O′,求四边形AOBO′的面积;(3)点P(n,0)是x轴上一个动点,过P点作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点N,将△ANB的面积记为S,若≤S≤,求n的取值范围.【答案】(1)y=x2+x;点B在抛物线上,理由见解答过程;(2)2;(3)≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤.15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)连接AC,BC,点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点(不与B,C重合),①求△BCD面积的最大值;②若∠ACO+∠BCD=∠ABC,求点D的坐标.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①△BCD面积的最大值为;②D(,﹣).16.在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点B(4,0),与y轴交于点C,点P抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上的点,过点P作PH⊥AB,垂足为H,作PE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F,设△PHF的面积为S1,△BEF的面积为S2,当时,求点P的坐标;(3)点N为抛物线对称轴上的动点,是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?若存在,请直接写出点N 坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2);(3)存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN;N的坐标是或.17.抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,当OP=OA时,D是点C关于抛物线对称轴的对称点,M是抛物线上的动点,它的横坐标为m(﹣1<m<4),连接DM,CM,DM与直线AC交于点N.设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2,求的最大值.(3)如图2,直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为n.求的值.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2);(3).。

中考数学二次函数专题训练50题(含参考答案)

中考数学二次函数专题训练50题(含参考答案)

中考数学二次函数专题训练50题含答案一、单选题1.二次函数y =﹣2x 2﹣1图象的顶点坐标为( ) A .(0,0)B .(0,﹣1)C .(﹣2,﹣1)D .(﹣2,1)2.下列函数图象不属于中心对称图形的是( ) A .20222023yxB .220222023yx x C .2023y =- D .2022xy =-3.下列关系式中,属于二次函数的是( )A .22y x =-B .y =C .31y x =-D .1y x=4.若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上,则a 的取值范围是( ) A .2a <B .2a >C .a<0D .0a >5.已知点1(4)y -,、2(1)y -,、353y ⎛⎫⎪⎝⎭,都在函数245y x x =--+的图象上,则123y y y 、、的大小关系为( )A .123y y y >>B .321y y y >>C .213y y y >>D .312y y y >> 6.在平面直角坐标系中,将抛物线221y x x =+-,绕原点旋转180°,所得到的抛物线的函数关系式是( ) A .221y x x =-+ B .221y x x =--- C .221y x x =-+-D .221y x x =-++7.已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限,则( ) A .0,0,0a b c >>> B .0,0,0a b c <<= C .0,0,0a b c <D .0,0,0a b c >>=8.二次函数241y mx x =-+有最小值3-,则m 等于( ) A .1B .1-C .1±D .12±9.已知点 A (−1,a ),B (1,b ),C (2,c )是抛物线 y = -2x + 2x 上的三点,则 a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a>c>bB .b>a>cC .b>c>aD .c>a>b10.如图1,在矩形ABCD 中,动点E 从A 出发,沿AB →BC 方向运动,当点E 到达点C时停止运动,过点E作FE⊥AE,交CD于F点,设点E运动路程为x,FC=y,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是25,则矩形ABCD的面积是()A.235B.5C.6D.25411.如图,已知直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,则①abc、①a﹣b+c、①a+b+c、①2a﹣b、①3a﹣b,其中是负数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个12.用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a(x﹣h)2+k的形式为()A.y=(x﹣4)2+7B.y=(x+4)2+7C.y=(x﹣4)2﹣25D.y=(x+4)2﹣2513.若二次函数y=(x﹣k)2+m,当x≤2时,y随x的增大而减小,则k的取值范围是()A.k=2B.k>2C.k≥2D.k≤214.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如下表所示:则方程ax2+bx+3=0的根是()A.0或4B.1或3C.-1或1D.无实根15.二次函数图像如图所示,下列结论:①0abc >,①20a b +=,①,①方程20ax bx c ++=的解是-2和4,①不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ,其中正确的结论有( )A .2个B .3个C .4个D .5个16.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示,有下列5个结论:①abc <0,①3a ﹣b =0,①a +b +c =0,①9a ﹣3b +c <0,①b 2﹣4ac >0.其中正确的有( )A .①①①B .①①①C .①①①D .①①17.将抛物线y=2x2向右平移1个单位后,得到的抛物线的表达式是( ) A .y=2(x+1)2B .y=2(x ﹣1)2C .y=2x2﹣1D .y=2x2+118.如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象,在下列说法中:①ac <0;①2a ﹣b=0;①当x >1时,y 随x 的增大而增大;①方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1,x 2=3;①30a c +=;①对于任意实数m ,2am bm a b +≥+总是成立的.正确的说法有( )A .2B .3C .4D .519.如图是二次函数21y ax bx c =++,反比例函数2my x=在同一直角坐标系的图象,若y 1与y 2交于点A (4,yA ),则下列命题中,假命题是( )A .当x >4时,12y y >B .当1x <-时,12y y >C .当12y y <时,0<x <4D .当12y y >时,x <020.如图是二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分,对称轴为x =12, 且经过点(2,0),下列结论正确的是( )A .abc >0B .2-4ac<0bC .a+b=1D .当x >2或x <-1时,y <0二、填空题21.写出一个函数的表达式,使它满足:①图象经过点(1,1);①在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少,则这个函数的表达式为__________. 22.抛物线()269y x =-++的顶点坐标是______. 23.抛物线244y x x =+-的对称轴是直线______. 24.抛物线y =-(x -1)2-2的顶点坐标是________.25.二次函数210y ax bx a =+≠-()的图象经过点(1,1),则代数式1a b --的值为______. 26.将抛物线2yx 向左平移2个单位后,得到的抛物线的解析式是______;27.若抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是(1,4),(5,4),则这条抛物线的对称轴是直线____________.28.抛物线 245y x x =-+,当34x -≤≤时,y 的取值范围是___________ 29.已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点,则m 的取值范围是______.30.如图,抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,过点B ,C 作一条直线l . (1)ABC ∠的度数是______;(2)点P 在线段OB 上,且点P 的坐标为()2,0,过点P 作PM x ⊥轴,交直线l 于点N ,交抛物线于点M ,则线段MN 的长为______.31.如图,一段抛物线:y =﹣x (x ﹣3)(0≤x≤3),记为C 1,它与x 轴交于点O ,A 1;将C 1绕点A 1旋转180°得C 2,交x 轴于点A 2;如此进行下去,直至得C 13.若P (37,m )在第13段抛物线C 13上,则m =_____.32.二次函数y =2x 2的图象向左平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____.33.如图,直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点,边OA ,OC 分别在x 轴,y 轴的正半轴上.OA ①BC ,D 是BC 上一点,BD =14OA AB =3,①OAB =45°,E ,F 分别是线段OA ,AB 上的两个动点,且始终保持①DEF =45°.设OE =x ,AF =y ,则y 与x 的函数关系式为_____.34.已知某抛物线上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:那么该抛物线的顶点坐标是_____.35.已知点A(-3,m)在抛物线y =x 2+4x +10上,则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________.36.若二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称,则m 的值为:________.此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所确定的三角形的面积为:________.37.二次函数y=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,且a≠0)中的x 与y 的部分对应值如表下列结论:①ac <0; ①当x >1时,y 的值随x 值的增大而减小; ①当2x =时,5y =; ①3是方程ax 2+(b ﹣1)x+c=0的一个根. 其中正确的结论是_________(填正确结论的序号).38.如图所示,已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象,下列结论中:0abc >①; 40a c +>②;③若t 为任意实数,则有2a bt at b -≥+; ④若函数图象经过点()2,1,则311222a b c ++=;⑤当函数图象经过()2,1时,方程210ax bx c ++-=的两根为1x ,212()x x x <,则1228x x -=-.其中正确的结论有______.39.如图,正方形ABCD 的边长为4,E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的动点,且AE =BF =CG =DH .则四边形EFGH 面积的最小值为___.40.如图,已知二次函数2y x 2x 3=-++的图象与y 轴交于点A ,MN 是该抛物线的对称轴,点P 在射线MN 上,连结PA ,过点A 作AB AP ⊥交x 轴于点B ,过A 作AC MN ⊥于点C ,连结PB ,在点P 的运动过程中,抛物线上存在点Q ,使QAC PBA ∠∠=,则点Q 的横坐标为______.三、解答题41.已知抛物线y =x 2+(b -2)x +c 经过点M (-1,-2b ). (1)求b +c 的值.(2)若b =4,求这条抛物线的顶点坐标.42.某水果店在两周内,将标价为10元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率;(2)从第一次降价的第1天算起,第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该水果第x (天)的利润为y (元),求y 与x (1≤x ≤14)之间的函数关系式,并求出第几天时销售利润最大?43.我们不妨约定:若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称,则把该函数称之为“D 函数”,其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D 点”根据该约定,完成下列各题.(1)在下列关于x 的函数中,是“D 函数”的,请在相应题目后面的括号中打“√”,不是“D 函数”的打“×”,my x=(0m ≠)(_______);31y x =-(_______);2y x =(_______).(2)若点A (1,m )与点B (n ,4-)是关于x 的“D 函数”2y ax bx c =++(0a ≠)的一对“D 点”,且该函数的对称轴始终位于直线1x =的右侧,求a ,b ,c 的值或取值范围;(3)若关于x 的“D 函数”223y ax bx c =++(a ,b ,c 是常数)同时满足下列两个条件:①0a b c ++=;①()()2230c b a c b a +-++<;求该“D 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围.44.(1)近年来,我市大力发展城市快速交通,小王开车从家到单位有两条路线可选择,路线A 为全程25km 的普通道路,路线B 包含快速通道,全程30km ,走路线B 比走路线A 平均速度提高50%,时间节省6min ,求走路线B 的平均速度;(2)如图,在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡,山坡CD 的坡度(或坡比)i =1:0.75,山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD =50m ,在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°,居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内,求居民楼AB 的高度.(参考数据:sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)(3)已知飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t﹣32t2,求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离.45.已知二次函数222y x x k=-+++与x轴的公共点有两个.求:()1求k的取值范围;()2当1k=时,求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标;()3观察图象,当x取何值时0y>?46.如图,抛物线245y x x=-++与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C.(1)求出A、B、C三点的坐标;(2)将抛物线245y x x=-++图像x轴上方部分沿x轴向下翻折,保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像,得到的新图像记作M,图像M与直线y t=恒有四个交点,从左到右四个交点依次记为D,E,F,G.若以EF为直径作圆,该圆记作图像N.①在图像M上找一点P,使得PAB的面积为3,求出点P的坐标;①当图像N与x轴相离时,直接写出t的取值范围.47.如图,在△ABC 中,AB=4,D 是AB 上的一点(不与点A、B 重合),DE①BC,交AC 于点E.设△ABC 的面积为S,△DEC 的面积为S'.(1)当D是AB中点时,求SS'的值;(2)设AD=x,SS'=y,求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;(3)根据y的范围,求S-4S′的最小值.48.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B,A在B的左侧,与y轴交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点.(1)求直线BC的解析式;(2)过P作PM①x轴,交BC于M,当PM﹣CM的值最大时,求P的坐标和PM﹣CM的最大值;(3)如图2,将该抛物线向右平移1个单位,得到新的抛物线y1,过点P作直线BC 的垂线,垂足为E,作y1对称轴的垂线,垂足为F,连接EF,请直接写出当PEF是以PF为腰的等腰三角形时,点P的横坐标.49.如图,直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线y=a(x﹣2)2+k经过点A、B.求:(1)点A 、B 的坐标;(2)抛物线的函数表达式;(3)若点M 是该抛物线对称轴上的一点,求AM+BM 的最小值及点M 的坐标; (4)在抛物线对称轴上是否存在点P ,使得以A 、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.50.如图所示,抛物线2y ax bx c =++的图象过(03)A ,,()10B -,,0(3)C ,三点,顶点为P .(1)求抛物线的解析式;(2)设点G 在y 轴上,且OGB OAB ACB ∠+∠=∠,求AG 的长;(3)若//AD x 轴且D 在抛物线上,过D 作DE BC ⊥于E ,M 在直线DE 上运动,点N 在x 轴上运动,是否存在这样的点M 、N 使以A 、M 、N 为顶点的三角形与APD △相似若存在,请求出点M 、N 的坐标.参考答案:1.B【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称,可得出其顶点坐标.【详解】解:①221y x =-- ,①其图象关于y 轴对称,①其顶点在y 轴上,当0x =时,1y =-,所以顶点坐标为(0,﹣1),故选择:B.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标,掌握二次函数y=ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键.2.B【分析】分别根据一次函数图象,二次函数图象,常数函数的图象的对称性分析判断即可得解.【详解】解:A .直线20222023y x 是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项不符合题意;B .抛物线220222023y x x 是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项符合题意;C .直线2023y =-是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项不符合题意;D .直线2022x y =-是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项不符合题意. 故选:B .【点睛】本题考查了二次函数图象,一次函数图象,常数函数的图象,熟记各图形以及其对称性是解题的关键.3.A【分析】根据二次函数的定义进行解答即可.【详解】22y x =-符合二次函数的定义,故A 符合题意;y B 不符合题意; 31y x =-是一次函数,故C 不符合题意;1y x=中含自变量的代数式不是整式,不符合二次函数的定义,故D 不符合题意;故选A【点睛】本题考查了二次函数的定义,掌握二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++≠是解题的关键.4.B【分析】根据抛物线的开口向上,可得20a ->,进而即可求得a 的取值范围.【详解】解:①抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上,①20a ->即2a >故选B【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质,掌握0a >时,抛物线的开口向上是解题的关键.5.C【分析】根据函数解析式求出对称轴,在根据函数的性质求解即可;【详解】解:①245y x x =--+,①函数图像的对称轴是直线422x -=-=--,图象的开口向下, ①当<2x -时,y 随x 的增大而增大, 点353y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,关于对称轴的对称点是⎛⎫- ⎪⎝⎭317,3y , ①17413-<-<-, ①213y y y >>;故选:C .【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征,掌握二次函数图象的性质是解题的关键.6.D【分析】先求出抛物线的顶点坐标,再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标,然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可.【详解】解:①()222112y x x x =+-=+-,①抛物线的顶点坐标为()1,2--,①将抛物线221y x x =+-,绕原点旋转180︒后顶点坐标变为()1,2,1a =-,①旋转后的函数关系式为()221221y x x x =--+=-++.故选:D .【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式,关于原点对称的两个点的坐标特点,解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a 的值.7.D【详解】试题分析:由题意得,二次函数经过原点可知,,又只经过第一,二,三象限,画图可知抛物线开口向上,对称轴在轴的负半轴,综合可知,故选D.考点:二次函数的对称轴及开口方向综合问题.8.A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解.【详解】①二次函数241y mx x =-+有最小值3-, ①41634m m-=-, 解得1m =.故选A .9.C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-x 2+2x 的开口向下,对称轴为直线x =1,然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.【详解】解:①抛物线y =-x 2+2x =-(x -1)2+1,①抛物线y =-x 2+2x 的开口向下,对称轴为直线x =1,而A (-1,a )离直线x =1的距离最远,B (1,b )在直线x =1上,①b >c >a ,故选:C .【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的性质.10.B【分析】易证△CFE ∽△BEA ,可得CF CE BE AB=,根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时,CF 有最大值,列出方程式即可解题.【详解】若点E 在BC 上时,如图∵∠EFC +∠AEB =90°,∠FEC +∠EFC =90°,∴∠CFE =∠AEB ,∵在△CFE 和△BEA 中,90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩, ∴△CFE ∽△BEA ,由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时,CF 有最大值,此时CF CE BE AB=,BE =CE =x ﹣52,即525522x y x -=-, ∴225()52y x =-, 当y =25时,代入方程式解得:x 1=32(舍去),x 2=72, ∴BE =CE =1,∴BC =2,AB =52, ∴矩形ABCD 的面积为2×52=5; 故选B . 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题,考查了相似三角形的判定和性质,考查了矩形面积的计算,本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键.11.B【分析】根据抛物线的开口方向,对称轴,与y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.【详解】由抛物线的开口向下可得:a <0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得:a ,b 同号,所以b <0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c > 0,直线x =-1是抛物线y = ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴,所以-b 2a=-1,可得b =2a ,由图知,当x =-3时y <0,即9a -3b +c < 0,所以9a -6a +c =3a +c <0,因此①abc >0;①a -b +c =a -2a +c =c -a > 0;①a +b +c = a +2a +c =3a +c < 0;①2a -b =2a - 2a = 0;①3a -b =3a - 2a = a <0所以①①小于0,故负数有2个,故答案选B.【点睛】本题主要考查了结合图形判断抛物线方程的系数,解本题的要点在于熟知抛物线的基本性质.12.C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案.【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=(x -4)2-25.故选C .【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式,正确配方是解题关键.13.C【详解】试题分析:根据二次函数的增减性可得:当x≤k 时,y 随x 的增大而减小,则k≥2.考点:二次函数的性质14.B【分析】将(0,2)(3,-1)(4,2)代入到二次函数y =ax 2+bx +c 中,分别求出a 、b 的值,即可求出方程的解.【详解】由题意得:29311642c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得:142a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩①方程230ax bx ++=为2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得:121,3x x ==故选B【点睛】本题考查二次函数抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法函数解析式和一元二次方程求解,熟练掌握相关知识点是解题关键.15.C【详解】试题分析: ①抛物线开口向上,①0a >,①抛物线对称轴为直线2b x a =-=1,①0b <,①抛物线与y 轴交点在x 轴下方,①0c <,①0abc >,所以①正确; ①2b x a=-=1,即2b a =-,①20a b +=,所以①正确; ①抛物线与x 轴的一个交点为(﹣2,0),而抛物线对称轴为直线x=1,①抛物线与x 轴的另一个交点为(4,0),①当3x =时,0y <,①,所以①错误. ①抛物线与x 轴的两个交点为(﹣2,0),(4,0),①方程20ax bx c ++=的解是-2和4,①①正确;由图像可知:不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ,①①正确.①正确的答案为:①①①①.故选C .考点:二次函数图象与系数的关系.16.B【分析】根据二次函数的图像和性质逐一进行判断即可【详解】解:①抛物线开口朝下,①a <0,①对称轴x =3-22b a=- ①b =3a <0,①3a ﹣b =0,故①正确;①抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方,①c >0,①abc >0,故①错误;①抛物线的对称轴x =3-2,与x 轴的一个交点为(-4,0), ①抛物线与x 轴的一个交点为(1,0),①a +b +c =0,故①正确;根据图象知道当x =-3时,y =9a -3b +c >0,故①错误;根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点,①b 2-4ac >0,故①正确.①正确答案为:①①①.故选:B【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.17.B【分析】可根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行解答.【详解】二次函数y=2x 2的图象向右平移1个单位,得:y=2(x-1)2,故选B .【点睛】本题考查了函数图象的平移,用平移规律“左加右减,上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.18.D【分析】根据二次函数系数与图像性质,二次函数与方程,二次函数与不等式之间的关系判断每一个结论,从而得出答案.【详解】①由图像可知,抛物线的开口向上,①a >0,①抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上,①c <0,①ac <0,故此选项正确;①由图像可知,对称轴为x=1, ①12b x a=-=, ①-b=2a ,①2a+b=0,故此选项错误;①当x >1时,y 随x 的增大而增大,故此选项正确;①由图像可知,方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1,且对称轴为x=1, ①1212x x +=, ①2122(1)3x x =-=--=,故此选项正确;①由①可知,12133c x x a==-⨯=-, 3c a ∴=-,30a c ∴+=,故此选项正确;①由图像可知,抛物线的顶点坐标为(1,)a b c ++,∴当x=1时,二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值a+b+c ,∴2ax bx c a b c ++≥++,当x=m 时,则有2am bm c a b c ++≥++,∴2am bm a b +≥+,故此选项正确;①正确的说法有①①①①①共5个.故选:D .【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、方程、不等式之间的知识点,要掌握如何利用图像上的信息确定字母系数的范围,并记住特殊值的特殊用法,如x=1,x=-1时对应的y 值是解题的关键.19.D【分析】结合图形、利用数形结合思想解答.【详解】由函数图象可知,当x >4时,y 1>y 2,A 是真命题;当x <-1时,y 1>y 2,C 是真命题;当y 1<y 2时,0<x <4,C 是真命题;y 1>y 2时,x <0或x >4,D 是假命题;故选D .【点睛】本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.20.D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号;根据对称轴求出b=-a ;把x=2代入函数关系式,结合图象判断函数值与0的大小关. .【详解】:①二次函数的图象开口向下,①a<0,①二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点,①c>0,①对称轴是直线x=12,①−2b a =12, ①b=−a>0,①abc<0.故A 错误;①抛物线与x 轴有两个交点,①b 2-4ac>0, 故B 错误①b=−a ,①a+b=0,故C 错误;故答案选D【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系,解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.21.1y x= 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答. 【详解】解:该题答案不唯一,可以为1y x=等. 故答案为:1y x =. 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质,熟知函数的增减性是解答此题的关键.22.()6,9-【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.【详解】解:()269y x =-++的顶点为()6,9-, 故答案为:()6,9-.【点睛】本题考查了抛物线顶点式解析式的顶点坐标,解题关键是理解抛物线()()20y a x h k a =-+≠的顶点坐标为()h k ,. 23.2x =-【分析】将题目的解析式化为顶点式,即可得到该抛物线的对称轴,本题得以解决.【详解】解:①抛物线2244(2)8y x x x =+-=+-,①该抛物线的对称轴是直线2x =-,故答案为:2x =-.【点睛】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.24.(1,-2)【分析】对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ,. 【详解】由y =-(x -1)2-2,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为()12-,故答案为:()12-,. 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标;对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ,,掌握顶点式是解题的关键.25.-1【详解】①二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1,1),①a+b−1=1,①a+b=2,①1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1.故答案为-1.26.()22y x =+或244y x x =++【分析】根据函数的平移规律:左加右减;上加下减即可求解.【详解】解:①抛物线2y x 向左平移2个单位,①平移后抛物线的解析式为()22y x =+故答案为:()22y x =+【点睛】本题考查了抛物线的平移变换,熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键. 27.x =3【分析】因为点(1,4),(5,4)的纵坐标都为4,所以可判定是一对对称点,把两点的横坐标代入公式x =122x x +求解即可.【详解】解:抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是(1,4),(5,4), ①两交点关于抛物线的对称轴对称,则此抛物线的对称轴是直线x =1532+=,即x =3. 故答案为:3.【点睛】本题考查抛物线与x 轴的平行线交点问题.掌握抛物线的性质,会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键.28.126y ≤≤【分析】先化为顶点式,然后根据二次函数的性质求解即可.【详解】解:①2245(2)1y x x x =-+=-+,①抛物线开口向上,对称轴为直线=2x ,函数有最小值1,当3x =-时,26y =,当=4x 时, 5.y =,①当34x -≤≤时,y 的取值范围是126y ≤≤;故答案为:126y ≤≤.【点睛】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,熟知二次函数的性质是解题的关键.29.14m >-且0m ≠ 【分析】根据题意可得0m ≠,且判别式0∆>,求解不等式即可.【详解】解:①二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点①0m ≠,且判别式240b ac ∆=->①14(1)0m ∆=-⨯⨯->,0m ≠ 解得14m >-且0m ≠ 故答案为:14m >-且0m ≠ 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题,掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键.30. 45°; 2【分析】(1)分别求出A,B,C 的坐标,得到OB OC =,故可求解;(2)先求出直线l 的解析式,再得到M,N 的坐标即可求解.【详解】(1)当0y =时,2230x x --=,解得11x =-,23x =,①点A 在点B 的左侧, ①点A 坐标为()1,0-,点B 坐标为()3,0.当0x =时,=3y -,①点C 坐标为()0,3-,①OB OC =,①=45ABC ∠︒.(2)设直线l 的函数表达式为y kx b =+,根据题意得303k b b +=⎧⎨=-⎩,解得13k b =⎧⎨=-⎩, ①直线l 的函数表达式为3y x =-;当2x =时,31=-=-y x ,①点N 的坐标为2,1;当2x =时,22232433=--=--=-y x x ,①点M 的坐标为()2,3-;①()132=---=MN .故答案为:45°;2.【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合,解题的关键是求出各点坐标. 31.m=2【分析】根据图像的旋转变化规律及二次函数的平移规律得出平移后的解析式,进而即可求值.【详解】①一段抛物线:y =﹣x (x ﹣3)(0≤x≤3),①点O (0,0),A 1(3,0)①将C 1绕点A 1旋转180°得C 2,交x 轴于点A 2;如此进行下去,直至得C 13.①C 13的解析式与x 轴的坐标为(36,0)、(39,0)①C 13的解析式为:y =﹣(x -36)(x -39)当x =37时,m=y =﹣1×(﹣2)=2故答案为:2【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律,解题的关键是得出二次函数平移后的解析式.32.y =2(x+2)2﹣5【分析】直接根据“上加下减,左加右减”的原则进行解答.【详解】由“左加右减”的原则可知,将二次函数y =2x 2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为:y =2(x+2)2,即y =2(x+1)2;由“上加下减”的原则可知,将抛物线y =2(x+2)2向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式为:y =2(x+2)2﹣5,即y =2(x+2)2﹣5.故答案为:y =2(x+2)2﹣5.【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.33.213y x x =【分析】首先过B 作x 轴的垂线,设垂足为M ,由已知易求得OA Rt①ABM 中,已知①OAB 的度数及AB 的长,即可求出AM 、BM 的长,进而可得到BC 、CD 的长,再连接OD ,证①ODE ①①AEF ,通过得到的比例线段,即可得出y 与x 的函数关系式.【详解】解:过B 作BM ①x 轴于M .在Rt①ABM 中,①AB =3,①BAM =45°,①AM =BM =2, ①BD =14OA ,OA ∴=,①BC =OA﹣AM =,CD =BC ﹣BD ,①D ,3OD ∴== . 连接OD ,则点D 在①COA 的平分线上,所以①DOE =①COD =45°.又①在梯形DOAB 中,①BAO =45°,①由三角形外角定理得:①ODE =①DEA ﹣45°,又①AEF =①DEA ﹣45°,①①ODE=①AEF ,①①ODE ①①AEF ,OE OD AF AE∴= 即x y =①y 与x 的解析式为:213y x =-.故答案为:213y x =-.【点睛】本题主要考查二次函数的应用,掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键.34.(1,﹣4)【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴,进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标.【详解】①抛物线过点(0,﹣3)和(2,﹣3),①抛物线的对称轴方程为直线x=022+=1,①当x=1时,y=﹣4,①抛物线的顶点坐标为(1,﹣4);故答案为(1,﹣4).【点睛】本题考查了二次函数的性质,掌握二次函数的对称性是解题的关键.35.(-1,7)【详解】先根据抛物线上点的特点求出点A的坐标,再利用抛物线的对称性即可得出答案.解:把点A(-3,m)代y=x2+4x+10得,m=(-3)2+4×(-3)+10=7,①点A(-3,7),①对称轴42 22ba-=-=-,①点A(-3,7)关于对称轴x=2的对称点坐标为(-1,7).故答案为(-1,7).36.11【分析】由图象关于y轴对称可知对称轴为x=0,由此可求解m的值;代入m值后,分别求解抛物线与x 轴的两个交点以及与y 轴的交点,利用三角形面积公式计算三角形面积.【详解】①图象关于y 轴对称,①对称轴为x=0, ①()211022m b m a --=-=-=- 解得m=1,代入原方程得:21y x =-+当y=0时,210x -+=,x=±1,当x=0时,y=1,则S △=2112⨯=. 【点睛】本题考查了二次函数对称轴及其与x 、y 轴的交点.37.①①①.【详解】试题解析:①x =-1时y =-1,x =0时,y =3,x =1时,y =5,①1{35a b c c a b c -+-++===,解得1{33a b c -===,①y =-x 2+3x +3,①ac =-1×3=-3<0,故①正确;对称轴为直线x =-33212=⨯-(), 所以,当x >32时,y 的值随x 值的增大而减小,故①错误; 当x =2时,y =-4+4+3=3;故①正确.方程为-x 2+2x +3=0,整理得,x 2-2x -3=0,解得x 1=-1,x 2=3,所以,3是方程ax 2+(b -1)x +c =0的一个根,正确,故①正确.综上所述,结论正确的是①①①.【点睛】本题考查了二次函数的性质,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的增减性,二次函数与不等式,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.38.①①①【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可.【详解】解:由抛物线开口向上,因此0a >, 对称轴是直线12b x a=-=-,因此a 、b 同号,所以0b >, 抛物线与y 轴的交点在负半轴,因此0c <. ,所以0abc <,故①不正确; 由对称轴12b x a=-=-可得2b a =, 由图象可知,当1x =时,0y a b c =++>,即20a a c ++>,30a c ∴+>,又0a >,40a c ∴+>,因此①正确;当=1x -时,y a b c =-+最小值,∴当()1x t t =≠-时,2a b c at bt c -+<++,即2a bt at b -<+,x t ∴=(t 为任意实数)时,有2a bt at b -≤+,因此①不正确;函数图象经过点()2,1,即421a b c ++=,而2b a =,231a b c ∴++=,311222a b c ∴++=, 因此①正确;当函数图象经过()2,1时,方程21ax bx c ++=的两根为1x ,212()x x x <,而对称轴为=1x -, 14x ∴=-,22x =,122448x x ∴-=--=-,因此①正确;综上所述,正确的结论有:①①①,故答案为:①①①.【点睛】本查二次函数的图象和性质,掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a 、b 、c 的关系以及二次函数与一元二次方程的根的关系是正确判断的前提. 39.8【分析】由已知可证明①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH (SAS ),再证明四边形EFGH 是正方形,设AE =x ,则AH =DG =BE =CF =4﹣x ,在Rt①EAH 中,由勾股定理得EH 2=x 2+(4﹣x )2,所以S 四边形EFGH =EH 2=2(x ﹣2)2+8,可知当x =2时,S 四边形EFGH 有最小值8,【详解】解:设AE =x ,则AE =BF =CG =DH =x ,①正方形ABCD ,边长为4,①AH =DG =BE =CF =4﹣x ,①A =①B =①C =①D =90°①①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH (SAS ),①①AEH +①BEF =90°,①EFB +①GFC =90°,①FGC +①HGD =90°,①①HEF =①EFG =①FGH =90°,①EF =EH =HG =FG ,①四边形EFGH 是正方形,在Rt ①EAH 中,EH 2=AE 2+AH 2,即EH 2=x 2+(4﹣x )2,①S 四边形EFGH =EH 2=2x 2﹣8x +16=2(x ﹣2)2+8,当x =2时,S 四边形EFGH 有最小值8,故答案为:8.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定,正方形的性质和二次函数的实际应用,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40.53【分析】通过作辅助线,连接CO ,过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ,先证明AOB 与ACP 相似,得到ABP AOC ∠∠=,再证QDA 与CAO 相似,设出点Q 的坐标,通过相似比即可求出点Q 坐标.【详解】如图,连接CO ,过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ,。

2024年九年级中考数学专题复习:二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)

2024年九年级中考数学专题复习:二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)

2024年九年级中考数学专题复习:二次函数实际应用(抛物线型问题)一、单选题 1.飞机着陆后滑行的距离s (单位:m )关于滑行的时间t (单位:s )的函数解析式是21.560s t t =-+.飞机着陆后到停下来滑行的距离是( )mA .300B .400C .500D .6002.如图,将一个小球从斜坡的点O 处抛出,小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画,斜坡可以用一次函数12y x =刻画.下列结论错误的是( )A .小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B .当小球水平运动2米时,小球距离坡面的高度为6米C .小球落地点距O 点水平距离为7米D .当小球拋出高度达到8m 时,小球距O 点水平距离为4m3.小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形,若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+,其中y 是实心球飞行的高度,x 是实心球飞行的水平距离,则小康此次掷球的成绩(即OA 的长度)是( )A .8mB .7mC .6mD .5m4.如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心O 点竖直安装一根水管,在水管的顶端A 处安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高,高度为3m ,水柱落地处离池中心O 点3m ,则水管OA 的高是( )A.2m B.2.25m C.2.5m D.2.8m5.学校组织学生去同安进行研学实践活动,小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液(如图①).于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时,洗手液从喷口B 流出,路线近似呈抛物线状,且喷口B为该抛物线的顶点.洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD.小王同学测得:洗手液瓶子的底面直径12cmGH=,喷嘴位置点B距台面的距离为16cm,且B、D、H三点共线.小王在距离台面15.5cm处接洗于液时,手心Q到直线DH的水平距离为3cm,若小王不去接,则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是()A.122cm B.123cm C.62cm D.6cm6.某公园有一个圆形喷水池,喷出的水流呈抛物线形,一条水流的高度h(单位:m)与水流运动时间t(单位:s)之间的函数解析式为2305h t t=-,那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是()A.6s B.4s C.3s D.2s7.如图所示,某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8m,两侧距地面3m高处各有一壁灯,两壁灯间的水平距离为6m,则厂门的高度约为()A.307B.387C.487D.5078.如图,一座拱桥的轮廓是抛物线型,桥高10米,拱高8米,跨度24米,相邻两支柱间的距离均为6米,则支柱MN的长度为()A.6米B.5米C.4.5米D.4米二、填空题9.如图,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB长10米,一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处,其头顶刚好顶在抛物线形门上C处.则该大门的最高处离地面高h为米.10.如图所示,抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,测得拱桥内水面宽为12m.当水面升高1m后,拱桥内水面的宽度减少m.11.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(米)与小球的运动时间(秒)之间的关系式是()2h t t t=-≤≤,若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球.则第二个小球抛出秒时,两个30506小球在空中相撞.12.从地面竖直向上跑出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是()2=-≤≤,小球运动到s时,达到最大高度.h t t t3020613.如图,以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系2=-+,小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m.14.如图,在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB,水管的顶端B处有一个喷水孔,喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C,高度为3m,水柱落地点D离池中心A处3m,则水管AB的长为m.15.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5m时,水柱落点距O点2.5m;喷头高4m时,水柱落点距O点3m.那么喷头高8m时,水柱落点距O点为m.16.某次踢球,足球的飞行高度h(米)与水平距离x(米)之间满足2=-+,则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米.三、解答题AA的17.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系,求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后,高为7m ,宽为4m ,如果该隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过?18.掷实心球是中考体育考试的项目.如图是一男生所掷实心球的行进路线(抛物线的一部分)的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象,且掷出时起点处高度为2m ,当到起点的水平距离为4m 时,实心球行进至最高点,此时实心球与地面的距离为3m .(1)求抛物线的函数解析式;(2)在该市的评分标准中,实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时,即可得满分,试判断该男生在此项考试中能否得满分,并说明理由(参考数据:3 1.73≈).19.南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目,历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地.其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状,喷水头P 距水面7.5m ,水柱喷射水平距离为5m 时,达到最大高度,此时距水面10m ,水柱落在水面A 点处.将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系,水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+.(1)求抛物线的表达式.(2)现调整P 的出水角度,其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++,落点恰好在A 点右边的B 点处,求AB 的长.(结果精确到0.1m ,参考数据:11110.54=)20.图①是古代的一种远程投石机,其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分.据《范蠡兵法》记载:“飞石重十二斤,为机发,行二百步”,其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”.在如图②所示的平面直角坐标系中,将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处,石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出,已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25,5OC =.(1)求抛物线的表达式;(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ,且75OD =,12AD =,9AB =,点D ,A ,B 在一条直线上.通过计算说明石块能否飞越城墙AB .参考答案:1.D2.B3.B4.B。

中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)

中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)

当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1: 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
(1)求抛物线开口方向,对称轴和顶点M的坐标。
(2)设抛物线与y轴交于C点,与x轴交于A、B两
点,求C,A,B的坐标。
(3)x为何值时,y随的增大而减少,x为何值时,
y有最大(小)值,这个最大(小)值是多少?
(4)x为何值时,y<0?x为何值时,y>0?
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点:
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a,b,c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义: y=ax² + bx + c ( a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0)
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴

中考数学常考考点专题之二次函数测试卷

中考数学常考考点专题之二次函数测试卷

中考数学常考考点专题之二次函数测试卷一.选择题(共5小题)1.设A(﹣2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=3(x+1)2+4m(m为常数)上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为()A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y3<y2<y1 2.若一个二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过五个点A(﹣1,n)、B(3,n)、C(0,y1)、D(﹣2,y2)和E(2.5,y3),则下列关系正确的是()A.y1>y2>y3B.y2>y3>y1C.y1<y2<y3D.y3>y1>y2 3.下列关于二次函数y=(x﹣2)2﹣3的说法正确的是()A.图象是一条开口向下的抛物线B.图象与x轴没有交点C.当x<2时,y随x增大而增大D.图象的顶点坐标是(2,﹣3)4.若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是()A.(m,n+1)B.(m+1,n)C.(m,n﹣1)D.(m﹣1,n)5.抛物线y=﹣5x2可由y=﹣5(x+2)2﹣6如何平移得到()A.先向右平移2个单位,再向下平移6个单位B.先向左平移2个单位,再向上平移6个单位C.先向左平移2个单位,再向下平移6个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移6个单位二.填空题(共15小题)6.如图,一位篮球运动员投篮时,球从A点出手后沿抛物线行进,篮球出手后距离地面的高度y(m)与篮球距离出手点的水平距离m)之间的函数关系式是y=−15(x−32)2+72.下列说法正确的是(填序号).①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5m;②篮球出手点距离地面的高度为2.25m.7.如图,正方形ABCD、CEFG的顶点D、F都在抛物线y=−12x2上,点B、C、E均在y轴上.若点O是BC边的中点,则正方形CEFG的边长为.8.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=x2﹣3上,且0<x1<x2,则y1y2.(填“<”或“>”或“=”)9.请任意写出一个图象开口向上,且顶点坐标为(1,﹣2)的二次函数解析式.10.(2023•宁波模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的图象如图所示,下列4个结论.①abc<0;②b<a+c;③c<4b;④a+b<k(ka+b)(k为常数,且k≠1).其中正确的结论有(填写序号).11.将二次函数y=x2+2x的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位,平移后的二次函数的图象的顶点坐标是.12.如图,抛物线y=−12x2+2x的顶点为A,抛物线y=12x2+2x的顶点为B,过点A作AG⊥x轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,则阴影部分的面积为.13.飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的函数解析式是s =60t﹣1.5t2,飞机着陆后滑行米才能停下来.14.已知二次函数y=﹣ax2+2ax+3(a>0),若点P(m,3)在该函数的图象上,且m≠0,则m的值为.15.如图所示的是卡塔尔世界杯足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面(图1)和截面示意图(图2),足球的飞行轨迹可看成抛物线,足球离地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系的部分数据如表:则该运动员踢出的足球在第s落地.t/s0123…h/m07832158…16.如图,抛物线y=14x2﹣4与x轴交于A、B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段P A的中点,连接OQ.则线段OQ的最大值是.17.要建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3米,水柱落地处离池中心3米,水管长应为米.18.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y=ax2﹣3x+1上的两点,其对称轴是直线x=x0,若|x1﹣x0|>|x2﹣x0|时,总有y1>y2,同一坐标系中有M(﹣1,﹣2),N(3,2),且抛物线y=ax2﹣3x+1与线段MN有两个不相同的交点,则a的取值范围是.19.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(1,0)、点B(3,0),与y轴相交于点C,点D在抛物线上,当CD∥x轴时,CD=.20.已知二次函数y=﹣x2+(m﹣1)x+m(m为常数且m≥1),该函数恒过定点A,且与直线y=x﹣m交于点B、C.(1)定点A的坐标为;(2)△ABC面积的最小值为.三.解答题(共5小题)21.定义:若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点,并且都在坐标轴上,则称二次函数为一次函数的轴点函数.【初步理解】(1)现有以下两个函数:①y=x2﹣1;②y=x2﹣x,其中,为函数y=x﹣1的轴点函数.(填序号)【尝试应用】(2)函数y=x+c(c为常数,c>0)的图象与x轴交于点A,其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B.若OB=14OA,求b的值.【拓展延伸】(3)如图,函数y=12x+t(t为常数,t>0)的图象与x轴、y轴分别交于M,C两点,在x轴的正半轴上取一点N,使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽,在x轴的上方作矩形MNDE.若函数y=12x+t(t为常数,t>0)的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上,求n的值.22.某企业接到一批电子产品的生产任务,按要求在30天内完成,约定这批电子产品的出厂价为每件70元.该企业第x天生产的电子产品数量为y件,y与x满足如下关系式:y={20x(0≤x≤10)10x+200(10<x≤30).(1)求该企业第几天生产的电子产品数量为400件;(2)设第x天每件电子产品的成本是P元,P与x之间的关系可用图中的函数图象来表示.若该企业第x天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大?最大值是多少元?23.某超市销售一种商品,成本价为30元/千克,经市场调查,每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示,规定每千克售价不能低于30元,且不高于80元.(1)直接写出y与x之间的函数关系式:(2)如果该超市销售这种商品每天获得3600元的利润,那么该商品的销售单价为多少元?(3)设每天的总利润为w元,当销售单价定为多少元时,该超市每天的利润最大?最大利润是多少元?24.定义:若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点,则称该点为这个函数图象的“倍值点”,例如:点(2,1)是函数y=x﹣1的图象的“倍值点”.(1)分别判断函数y=12x+1,y=x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”?如果存在,求出“倍值点”的坐标;如果不存在,说明理由;(2)设函数y=2x(x>0),y=﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A,B,过点B作BC⊥x轴,垂足为C.当△ABC的面积为2时,求b的值;(3)若函数y=x2﹣3(x≥m)的图象记为W1,将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2,当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时,直接写出m的取值范围.25.“道路千万条,安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全重要保障,某学习小组研究了刹车距离的影响因素材料一反应距离:驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内,机动车所行驶的距离.制动距离:驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内,机动车所行驶的距离.材料二汽车急刹车的停车距y(m)为反应距离y1(m)与制动距离y2(m)之和,即y=y1+y2,而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度x(m/s)有关,如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据.速度x(m/s)反应距离y1(m)制动距离y2(m)107.581510.516.22015322517.5523022.978.13527.1108.54029.2123…材料三经学习小组信息收集得知,汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数k有关,且满足y=y1+k•y2,其中y、y1、y2意义同材料二,并且不同类型汽车的刹车系数k满足0.8≤k≤1.5.[任务一]①利用材料二判断最适合描述y1、y2分别与x的函数关系的是;A.y1=ax、y2=bxB.y1=ax、y2=bx2C.y1=ax2、y2=bx2②请你利用当x=10m/s,x=20m/s时的两组数据,计算y1、y2分别与x的函数关系式.[任务二]在某条限速为60km/h的道路上,一辆轿车为避险采取急刹车,通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为34m,请你利用任务一中的函数关系式,判断该车是否超速?[任务三]某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至少15m,试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少m/s?(精确到1m/s)。

2023年中考数学专题《二次函数综合问题》必刷真题考点分类专练含答案解析

2023年中考数学专题《二次函数综合问题》必刷真题考点分类专练含答案解析

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)专题13二次函数综合问题一.解答题(共40小题)1.(2022•孝感)抛物线y=x2﹣4x与直线y=x交于原点O和点B,与x轴交于另一点A,顶点为D.(1)直接写出点B和点D的坐标;(2)如图1,连接OD,P为x轴上的动点,当tan∠PDO=时,求点P的坐标;(3)如图2,M是点B关于抛物线对称轴的对称点,Q是抛物线上的动点,它的横坐标为m(0<m<5),连接MQ,BQ,MQ与直线OB交于点E.设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2,求的最大值.【分析】(1)令y=x2﹣4x=x,求出x的值即可得出点B的坐标,将函数y=x2﹣4x化作顶点式可得出点D的坐标;(2)过点D作DE⊥y轴于点E,易得tan∠ODE=,作∠ODG=∠ODE,则点P为直线DG与x轴的交点;过点O作OG⊥DP于点G,过点G作x轴的垂线,交DE所在直线于点F,交x轴于点H,易证△ODE≌△ODG,△GDF∽△OGH,则DG=DE=2,OG =OE=4,DG:OG=DF:HG=GF:OH,设DF=t,则HG=2t,FG=4﹣2t,OH=8﹣4t,又OH=EF,则8﹣4t=2+t,解得t的值可得出点G的坐标,进而可得直线DG的解析式,令y=0即可得出点P的坐标;(3)分别过点M,Q作y轴的平行线,交直线OB于点N,K,则S1=QK(x B﹣x E),S2=MN(x B﹣x E),由点Q的横坐标为m,可表达,再利用二次函数的性质可得出结论.【解析】(1)令y=x2﹣4x=x,解得x=0或x=5,∴B(5,5);∵y=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4,∴顶点D(2,﹣4).(2)如图,过点D作DE⊥y轴于点E,∴DE=2,OE=4,∴tan∠ODE=,作∠ODG=∠ODE,则点P为直线DG与x轴的交点;过点O作OG⊥DP于点G,过点G作x轴的垂线,交DE所在直线于点F,交x轴于点H,∴△ODE≌△ODG(AAS),∴DG=DE=2,OG=OE=4,∵∠OHG=∠F=90°,∠OGH+∠DGF=90°,∠OGH+∠GOH=90°,∴∠DGF=∠GOH,∴△GDF∽△OGH,∴DG:OG=DF:HG=GF:OH=1:2,设DF=t,则HG=2t,FG=4﹣2t,OH=8﹣4t,∵∠DEO=∠F=∠OHG=90°,∴四边形OEFH是矩形,∴OH=EF,∴8﹣4t=2+t,解得t=,∴GH=,OH=2+t=,∴G(,﹣).∴直线DG的解析式为y=x﹣,令y=0,解得x=5,∴P(5,0).(3)∵点B(5,5)与点M关于对称轴x=2对称,∴M(﹣1,5).如图,分别过点M,Q作y轴的平行线,交直线OB于点N,K,∴N(﹣1,﹣1),MN=6,∵点Q横坐标为m,∴Q(m,m2﹣4m),K(m,m),∴KQ=m﹣(m2﹣4m)=﹣m2+5m.∵S1=QK(x B﹣x E),S2=MN(x B﹣x E),∴==﹣(m2﹣5m)=﹣(m﹣)2+,∵﹣<0,∴当m=时,的最大值为.【点评】本题属于二次函数综合题,主要考查二次函数的性质,二次函数上的坐标特征,三角形的面积和三角形相似的判定及性质,解题的关键正确表达两个三角形面积的比.2.(2022•武汉)抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(A在B的左边),C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.(1)直接写出A,B两点的坐标;(2)如图(1),当OP=OA时,在抛物线上存在点D(异于点B),使B,D两点到AC 的距离相等,求出所有满足条件的点D的横坐标;(3)如图(2),直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为m.求的值(用含m的式子表示).【分析】(1)令y=0,解方程可得结论;(2)分两种情形:①若点D在AC的下方时,过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1.②若点D在AC的上方时,点D1关于点P的对称点G((0,5),过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2,D3,D2,D3符合条件.构建方程组分别求解即可;(3)设E点的横坐标为n,过点P的直线的解析式为y=kx+b,由,可得x2﹣(2+k)x﹣3﹣b=0,设x1,x2是方程x2﹣(2+k)x﹣3﹣b=0的两根,则x1x2=﹣3﹣b,推出x A•x C=x B•x E=﹣3﹣b可得n=﹣1﹣,设直线CE的解析式为y=px+q,同法可得mn=﹣3﹣q推出q=﹣mn﹣3,推出q=﹣(3+b)(﹣1﹣)﹣3=b2+2b,推出OF=b2+b,可得结论.【解析】(1)令y=0,得x2﹣2x﹣3=0,解得x=3或﹣1,∴A(﹣1,0),B(3,0);(2)∵OP=OA=1,∴P(0,1),∴直线AC的解析式为y=x+1.①若点D在AC的下方时,过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1.∵B(3,0),BD1∥AC,∴直线BD1的解析式为y=x﹣3,由,解得或,∴D1(0,﹣3),∴D1的横坐标为0.②若点D在AC的上方时,点D1关于点P的对称点G((0,5),过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2,D3,D2,D3符合条件.直线l的解析式为y=x+5,由,可得x2﹣3x﹣8=0,解得x=或,∴D2,D3的横坐标为,,综上所述,满足条件的点D的横坐标为0,,.(3)设E点的横坐标为n,过点P的直线的解析式为y=kx+b,由,可得x2﹣(2+k)x﹣3﹣b=0,设x1,x2是方程x2﹣(2+k)x﹣3﹣b=0的两根,则x1x2=﹣3﹣b,∴x A•x C=x B•x E=﹣3﹣b∵x A=﹣1,∴x C=3+b,∴m=3+b,∵x B=3,∴x E=﹣1﹣,∴n=﹣1﹣,设直线CE的解析式为y=px+q,同法可得mn=﹣3﹣q∴q=﹣mn﹣3,∴q=﹣(3+b)(﹣1﹣)﹣3=b2+2b,∴OF=b2+b,∴=b+1=(m﹣3)+1=m.【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质,一元二次方程的根与系数的格线等知识,解题的关键是学会构建一次函数,构建方程组确定交点坐标,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.3.(2022•娄底)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B,与y轴相交于点C.(1)请直接写出点A,B,C的坐标;(2)点P(m,n)(0<m<6)在抛物线上,当m取何值时,△PBC的面积最大?并求出△PBC面积的最大值.(3)点F是抛物线上的动点,作FE∥AC交x轴于点E,是否存在点F,使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)将x=0及y=0代入抛物线y=x2﹣2x﹣6的解析式,进而求得结果;(2)连接OP,设点P(m,﹣2m﹣6),分别表示出S△POC,S△BOP,计算出S△BOC,根据S△PBC=S四边形PBOC﹣S△BOC,从而得出△PBC的函数关系式,进一步求得结果;(3)可分为▱ACFE和▱ACEF的情形.当▱ACFE时,点F和点C关于抛物线对称轴对称,从而得出F点坐标;当▱ACED时,可推出点F的纵坐标为6,进一步求得结果.【解析】(1)当x=0时,y=﹣6,∴C(0,﹣6),当y=0时,x2﹣2x﹣6=0,∴x1=6,x2=﹣2,∴A(﹣2,0),B(6,0);(2)方法一:如图1,连接OP,设点P(m,﹣2m﹣6),∴S△POC=x P==3m,S△BOP=|y P|=+2m+6),∵S△BOC==18,∴S△PBC=S四边形PBOC﹣S△BOC=(S△POC+S△POB)﹣S△BOC=3m+3(﹣+2m+6)﹣18=﹣(m﹣3)2+,∴当m=3时,S△PBC最大=;方法二:如图2,作PQ⊥AB于Q,交BC于点D,∵B(6,0),C(0,﹣6),∴直线BC的解析式为:y=x﹣6,∴D(m,m﹣6),∴PD=(m﹣6)﹣(﹣2m﹣6)=﹣+3m,∴S△PBC===﹣(m﹣3)2+,∴当m=3时,S△PBC最大=;(3)如图3,当▱ACFE时,AE∥CF,∵抛物线对称轴为直线:x==2,∴F1点的坐标:(4,﹣6),如图4,当▱ACEF时,作FG⊥AE于G,∴FG=OC=6,当y=6时,x2﹣2x﹣6=6,∴x1=2+2,x2=2﹣2,∴F2(2+2,6),F3(2﹣2,6),综上所述:F(4,﹣6)或(2+2,6)或(2﹣2,6).【点评】本题考查了二次函数及其图象性质,平行四边形的分类等知识,解决问题的关键是正确分类,画出图形,转化条件.4.(2022•广元)在平面直角坐标系中,直线y=﹣x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A,B两点,并与x轴的正半轴交于点C.(1)求a,b满足的关系式及c的值;(2)当a=时,若点P是抛物线对称轴上的一个动点,求△ABP周长的最小值;(3)当a=1时,若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点,过点Q作QD⊥AB于点D,当QD的值最大时,求此时点Q的坐标及QD的最大值.【分析】(1)在直线y=﹣x﹣2中,令x=0和y=0可得点A和B的坐标,代入抛物线y =ax2+bx+c(a>0)中可解答;(2)连接BC交直线x=1于点P,利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小,从而可以解答;(3)根据a=1时,可得抛物线的解析式y=x2+x﹣2,如图2,过点Q作QF⊥x轴于F,交AB于E,则△EQD是等腰直角三角形,设Q(m,m2+m﹣2),则E(m,﹣m﹣2),表示QE的长,配方后可解答.【解析】(1)直线y=﹣x﹣2中,当x=0时,y=﹣2,∴B(0,﹣2),当y=0时,﹣x﹣2=0,∴x=﹣2,∴A(﹣2,0),将A(﹣2,0),B(0,﹣2)代入抛物线y=ax2+bx+c(a>0)中,得,,∴2a﹣b=1,c=﹣2;(2)如图1,当a=时,2×﹣b=1,∴b=﹣,∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2=(x﹣1)2﹣,∴抛物线的对称轴是:x=1,由对称性可得C(4,0),要使△ABP的周长最小,只需AP+BP最小即可,如图1,连接BC交直线x=1于点P,因为点A与点B关于直线x=1对称,由对称性可知:AP+BP=PC+BP=BC,此时△ABP的周长最小,所以△ABP的周长为AB+BC,Rt△AOB中,AB===2,Rt△BOC中,BC===2,∴△ABP周长的最小值为2+2;(3)当a=1时,2×1﹣b=1,∴b=1,∴y=x2+x﹣2,∴A(﹣2,0),B(0,﹣2),C(1,0),∴OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠OAB=45°,如图2,过点Q作QF⊥x轴于F,交AB于E,则△EQD是等腰直角三角形,设Q(m,m2+m﹣2),则E(m,﹣m﹣2),∴QE=(﹣m﹣2)﹣(m2+m﹣2)=﹣m2﹣2m=﹣(m+1)2+1,∴QD=QE=﹣(m+1)2+,当m=﹣1时,QD有最大值是,当m=﹣1时,y=1﹣1﹣1=﹣2,综上,点Q的坐标为(﹣1,﹣2)时,QD有最大值是.【点评】本题是二次函数综合题,考查了利用待定系数法求抛物线的解析式,二次函数的性质,等腰直角三角形的性质,轴对称﹣最短路线问题等知识,综合性较强,难度适中,利用方程思想,数形结合是解题的关键.5.(2022•宿迁)如图,二次函数y=x2+bx+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,顶点为C,连接OC、AC,若点B是线段OA上一动点,连接BC,将△ABC沿BC折叠后,点A落在点A′的位置,线段A′C与x轴交于点D,且点D与O、A点不重合.(1)求二次函数的表达式;(2)①求证:△OCD∽△A′BD;②求的最小值;(3)当S△OCD=8S△A'BD时,求直线A′B与二次函数的交点横坐标.【分析】(1)利用交点式可得二次函数的解析式;(2)①根据两角相等可证明两三角形相似;②根据△OCD∽△A′BD,得=,则=,即的最小值就是的最小值,OC为定值,所以当CD最小为2时,有最小值是;(3)根据面积的关系可得:△OCD∽△A′BD时,相似比为2:1,可得A'B=AB=1,作辅助线,构建直角三角形,根据等角的正切可得A'G和BG的长,最后再证明△A'GB ∽△QOB,可得OQ的长,利用待定系数法可得A'B的解析式,最后联立方程可得结论.【解析】(1)解:∵二次函数y=x2+bx+c与x轴交于O(0,0),A(4,0)两点,∴二次函数的解析式为:y=(x﹣0)(x﹣4)=x2﹣2x;(2)①证明:如图1,由翻折得:∠OAC=∠A',由对称得:OC=AC,∴∠AOC=∠OAC,∴∠COA=∠A',∵∠A'DB=∠ODC,∴△OCD∽△A′BD;②解:∵△OCD∽△A′BD,∴=,∵AB=A'B,∴=,∴的最小值就是的最小值,y=x2﹣2x=(x﹣2)2﹣2,∴C(2,﹣2),∴OC=2,∴当CD⊥OA时,CD最小,的值最小,当CD=2时,的最小值为=;(3)解:∵S△OCD=8S△A'BD,∴S△OCD:S△A'BD=8,∵△OCD∽△A′BD,∴=()2=8,∴=2,∵OC=2,∴A'B=AB=1,∴BD=2﹣1=1,如图2,连接AA',过点A'作A'G⊥OA于G,延长CB交AA'于H,由翻折得:AA'⊥CH,∵∠AHB=∠BDC=90°,∠ABH=∠CBD,∴∠BCD=∠BAH,tan∠BCD=tan∠GAA',∴==,设A'G=a,则AG=2a,BG=2a﹣1,在RtA'GB中,由勾股定理得:BG2+A'G2=A'B2,∴a2+(2a﹣1)2=12,∴a1=0(舍),a2=,∴BG=2a﹣1=﹣1=,∵A'G∥OQ,∴△A'GB∽△QOB,∴=,即=,∴OQ=4,∴Q(0,4),设直线A'B的解析式为:y=kx+m,∴,解得:,∴直线A'B的解析式为:y=﹣x+4,∴﹣x+4=x2﹣2x,3x2﹣4x﹣24=0,解得:x=,∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是.【点评】本题是二次函数的综合,考查了待定系数法求解析式,对称的性质,三角形相似的性质和判定,配方法的应用,勾股定理的应用,熟练掌握二次函数的图象及性质,数形结合是解本题的关键.6.(2022•湘潭)已知抛物线y=x2+bx+c.(1)如图①,若抛物线图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交点B(0,﹣3),连接AB.(Ⅰ)求该抛物线所表示的二次函数表达式;(Ⅱ)若点P是抛物线上一动点(与点A不重合),过点P作PH⊥x轴于点H,与线段AB 交于点M,是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(2)如图②,直线y=x+n与y轴交于点C,同时与抛物线y=x2+bx+c交于点D(﹣3,0),以线段CD为边作菱形CDFE,使点F落在x轴的正半轴上,若该抛物线与线段CE没有交点,求b的取值范围.(Ⅱ)求出AB的解析式,设出点P坐标,表示出M点坐标,从而表示出PH和HM的长,分别列出PH=3HM和PH=时的方程,从而求得m的值,进而求得P点坐标;(2)分为b>0和b<0两种情形.当b<0时,抛物线对称轴在y轴左侧,此时求得抛物线与y轴交点,只需交点在点C的上方,就满足抛物线与线段CE没有交点,进一步求得结果,当b<0时,类似的方法求得这种情形b的范围.【解析】(1)解:(Ⅰ)由题意得,,∴,∴y=x2﹣2x﹣3;(Ⅱ)存在点P,使得点M是线段PH的三等分点,理由如下:∵B(0,﹣3),A(3,0),∴直线AB的解析式为:y=x﹣3,设点P(m,m2﹣2m﹣3),M(m,m﹣3),∴PH=﹣m2+2m+3,HM=3﹣m,当PH=3HM时,﹣m2+2m+3=3(3﹣m),化简得,m2﹣5m+6=0,∴m1=2,m2=3,当m=2时,y=22﹣2×2﹣3=﹣3,∴P(2,﹣3),当m=3时,y=32﹣2×3﹣3=0,此时P(3,0)(舍去),当PH=HM时,﹣m2+2m+3=(3﹣m),化简得,2m2﹣7m+3=0,∴m3=3(舍去),m2=,当m=时,y=()2﹣2×﹣3=﹣,∴P(,﹣),综上所述:P(2,﹣3)或(,﹣);(2)如图1,∵抛物线y=x2+bx+c过点D(﹣3,0),∴(﹣3)2﹣3b+c=0,∴c=3b﹣9,∴y=x2+bx+(3b﹣9),把x=﹣3,y=0代入y=+n得,0=+n,∴n=4,∴OC=4,∵∠COD=90°,OD=3,OC=4,∴CD=5,∵四边形CDFE是菱形,∴CE=CD=5,∴E(5,4),当﹣<0时,即b>0时,当x=0时,y=3b﹣9,∴G(0,3b﹣9),∵该抛物线与线段CE没有交点,∴3b﹣9>4,∴b>,当b<0时,当x=5时,y=25+5b+3b﹣9=8b+16,∴H(5,8b+16),∵抛物线与CE没有交点,∴8b+16<4,∴b<﹣,综上所述:b>或b<﹣.【点评】本题考查了求二次函数的解析式,一次函数解析式,菱形的性质,勾股定理等知识,解决问题的关键一是正确分类,二是数形结合.7.(2022•邵阳)如图,已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点,点A 在x轴上,点B在y轴上,点C(3,0)在抛物线上.(1)求该抛物线的表达式.(2)正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点,顶点P在线段OC上,顶点E在y轴正半轴上,若△AOB与△DPC全等,求点P的坐标.(3)在条件(2)下,点Q是线段CD上的动点(点Q不与点D重合),将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD',连接CD',求线段CD'长度的最小值.【分析】(1)先分别求得点A,点B的坐标,从而利用待定系数法求函数解析式;(2)分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况,结合全等三角形的性质分析求解;(3)根据点D′的运动轨迹,求得当点P,D′,C三点共线时求得CD′的最小值.【解析】在直线y=2x+2中,当x=2时,y=2,当y=0时,x=﹣1,∴点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(0,2),把点A(﹣1,0),点B(0,2),点C(3,0)代入y=ax2+bx+c,,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2;(2)①当△AOB≌△DPC时,AO=DP,又∵四边形OPDE为正方形,∴DP=OP=AO=1,此时点P的坐标为(1,0),②当△AOB≌△CPD时,OB=DP,又∵四边形OPDE为正方形,∴DP=OP=OB=2,此时点P的坐标为(2,0),综上,点P的坐标为(1,0)或(2,0);(3)如图,点D′在以点P为圆心,DP为半径的圆上运动,∴当点D′′,点P,点C三点共线时,CD′′有最小值,由(2)可得点P的坐标为(1,0)或(2,0),且C点坐标为(3,0),∴CD′′的最小值为1.【点评】本题考查二次函数的应用,全等三角形的判定和性质,折叠的性质,掌握待定系数法求函数解析式,注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键.8.(2022•台州)如图1,灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶,为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位:m).如图2,可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象;把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=3m,竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到,上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.5m,灌溉车到l的距离OD为d(单位:m).(1)若h=1.5,EF=0.5m.①求上边缘抛物线的函数解析式,并求喷出水的最大射程OC;②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标;③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,求d的取值范围.(2)若EF=1m.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,请直接写出h的最小值.【分析】(1)①由顶点A(2,2)得,设y=a(x﹣2)2+2,再根据抛物线过点(0,1.5),可得a的值,从而解决问题;②由对称轴知点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的,可得点B的坐标;③根据EF=0.5,求出点F的坐标,利用增减性可得d的最大值为最小值,从而得出答案;(2)当喷水口高度最低,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D、F恰好分别在两条抛物线上,故设点D(m,﹣(m+2)2+h+0.5),F(m+3,﹣(m+3﹣2)2+h+0.5),则有﹣[(m+3﹣2)2+h+0.5]﹣[﹣(m+2)2+h+0.5]=1,从而得出答案.【解析】(1)①如图1,由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点,设y=a(x﹣2)2+2,又∵抛物线过点(0,1.5),∴1.5=4a+2,∴a=﹣,∴上边缘抛物线的函数解析式为y=﹣(x﹣2)2+2,当y=0时,0=﹣(x﹣2)2+2,解得x1=6,x2=﹣2(舍去),∴喷出水的最大射程OC为6cm;②∵对称轴为直线x=2,∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的,∴点B的坐标为(2,0);③∵EF=0.5,∴点F的纵坐标为0.5,∴0.5=﹣(x﹣2)2+2,解得x=2±2,∵x>0,∴x=2+2,当x>2时,y随x的增大而减小,∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5,则x≤2+2,∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x≤2+2,∵DE=3,灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带,∴d的最大值为2+2﹣3=2﹣1,再看下边缘抛物线,喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d,∴d的最小值为2,综上所述,d的取值范围是2≤d≤2﹣1;(2)当喷水口高度最低,且恰好能浇灌到整个绿化带时,点D、F恰好分别在两条抛物线上,故设点D(m,﹣(m+2)2+h+0.5),F(m+3,﹣[(m+3﹣2)2+h+0.5]),则有﹣(m+3﹣2)2+h+0.5﹣[﹣(m+2)2+h+0.5]=1,解得m=2.5,∴点D的纵坐标为h﹣,∴h﹣=0,∴h的最小值为.【点评】本题是二次函数的实际应用,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,二次函数与方程的关系等知识,读懂题意,建立二次函数模型是解题的关键.9.(2022•眉山)在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣5,0).(1)求点C的坐标;(2)如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值;(3)如图2,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1)把点A的坐标代入y=﹣x2﹣4x+c,求出c的值即可;(2)过P作PE⊥AC于点E,过点P作PF⊥x轴交AC于点H,证明△PHE是等腰直角三角形,得,当PH最大时,PE最大,运用待定系数法求直线AC解析式为y=x+5,设P(m,﹣m2﹣4m+5),(﹣5<m<0),则H(m,m+5),求得PH,再根据二次函数的性质求解即可;(3)分三种情况讨论:①当AC为平行四边形的对角线时,②当AM为平行四边形的对角线时,③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可.【解析】(1)∵点A(﹣5,0)在抛物线y=﹣x2﹣4x+c的图象上,∴0=﹣52﹣4×5+c∴c=5,∴点C的坐标为(0,5);(2)过P作PE⊥AC于点E,过点P作PF⊥x轴交AC于点H,如图1:∵A(﹣5,0),C(0,5)∴OA=OC,∴△AOC是等腰直角三角形,∴∠CAO=45°,∵PF⊥x轴,∴∠AHF=45°=∠PHE,∴△PHE是等腰直角三角形,∴,∴当PH最大时,PE最大,设直线AC解析式为y=kx+5,将A(﹣5,0)代入得0=5k+5,∴k=1,∴直线AC解析式为y=x+5,设P(m,﹣m2﹣4m+5),(﹣5<m<0),则H(m,m+5),∴,∵a=﹣1<0,∴当时,PH最大为,∴此时PE最大为,即点P到直线AC的距离值最大;(3)存在,理由如下:∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣(x+2)2+9,∴抛物线的对称轴为直线x=﹣2,设点N的坐标为(﹣2,m),点M的坐标为(x,﹣x2﹣4x+5),分三种情况:①当AC为平行四边形对角线时,,解得,∴点M的坐标为(﹣3,8);②当AM为平行四边形对角线时,,解得,∴点M的坐标为(3,﹣16);③当AN为平行四边形对角线时,,解得,∴点M的坐标为(﹣7,﹣16);综上,点M的坐标为:(﹣3,8)或(3,﹣16)或(﹣7,﹣16).【点评】本题是二次函数综合题,其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,二次函数的性质,平行四边形的判定与性质.熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键.10.(2022•天津)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a>0)的顶点为P,与x轴相交于点A(﹣1,0)和点B.(Ⅰ)若b=﹣2,c=﹣3,①求点P的坐标;②直线x=m(m是常数,1<m<3)与抛物线相交于点M,与BP相交于点G,当MG取得最大值时,求点M,G的坐标;(Ⅱ)若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点,F是y 轴的负半轴上的动点,当PF+FE+EN的最小值为5时,求点E,F的坐标.【分析】(Ⅰ)①利用待定系数法求出抛物线的解析式,即可得顶点P的坐标;②求出直线BP的解析式,设点M(m,m2﹣2m﹣3),则G(m,2m﹣6),表示出MG的长,可得关于m的二次函数,根据二次函数的最值即可求解;(Ⅱ)由3b=2c得b=﹣2a,c=﹣3a,抛物线的解析式为y=ax2﹣2a﹣3a.可得顶点P 的坐标为(1,﹣4a),点N的坐标为(2,﹣3a),作点P关于y轴的对称点P',作点N 关于x轴的对称点N',得点P′的坐标为(﹣1,﹣4a),点N'的坐标为(2,3a),当满足条件的点E,F落在直线P'N'上时,PF+FE+EN取得最小值,此时,PF+FE+EN=P'N'=5延长P'P与直线x=2相交于点H,则P'H⊥N'H.在Rt△P'HN'中,P'H=3,HN'=3a﹣(﹣4a)=7a.由勾股定理可得P'N′2=P'H2+HN2=9+49a2=25.解得a1=,a2=﹣(舍).可得点P'的坐标为(﹣1,﹣),点N′的坐标为(2,).利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y=x﹣.即可得点E,F的坐标.【解析】(Ⅰ)①若b=﹣2,c=﹣3,则抛物线y=ax2+bx+c=ax2﹣2x﹣3,∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣1,0),∴a+2﹣3=0,解得a=1,∴抛物线为y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴顶点P的坐标为(1,﹣4);②当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,∴B(3,0),设直线BP的解析式为y=kx+n,∴,解得,∴直线BP的解析式为y=2x﹣6,∵直线x=m(m是常数,1<m<3)与抛物线相交于点M,与BP相交于点G,设点M(m,m2﹣2m﹣3),则G(m,2m﹣6),∴MG=2m﹣6﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+4m﹣3=﹣(m﹣2)2+1,∴当m=2时,MG取得最大值1,此时,点M(2,﹣3),则G(2,﹣2);(Ⅱ)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,又3b=2c,b=﹣2a,c=﹣3a(a>0),∴抛物线的解析式为y=ax2﹣2a﹣3a.∴y=ax2﹣2a﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,∴顶点P的坐标为(1,﹣4a),∵直线x=2与抛物线相交于点N,∴点N的坐标为(2,﹣3a),作点P关于y轴的对称点P',作点N关于x轴的对称点N',得点P′的坐标为(﹣1,﹣4a),点N'的坐标为(2,3a),当满足条件的点E,F落在直线P'N'上时,PF+FE+EN取得最小值,此时,PF+FE+EN=P'N'=5.延长P'P与直线x=2相交于点H,则P'H⊥N'H.在Rt△P'HN'中,P'H=3,HN'=3a﹣(﹣4a)=7a.∴P'N′2=P'H2+HN2=9+49a2=25.解得a1=,a2=﹣(舍).∴点P'的坐标为(﹣1,﹣),点N′的坐标为(2,).∴直线P'N′的解析式为y=x﹣.∴点E(,0),点F(0,﹣).【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,两点间的距离公式,轴对称求最小值问题,勾股定理等,利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键.。

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二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 基础知识1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>ab(即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0<a b(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式.(2)顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分 典型习题1.抛物线y =x 2+2x -2的顶点坐标是 ( D )A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3) 2.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( C )A.ab >0,c >0 B.ab >0,c <0 C.ab <0,c >0 D.ab <0,c <0第2,3题图 第4题图3.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列结论正确的是( D ) A .a >0,b <0,c >0 B .a <0,b <0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b >0,c >0 4.如图,已知中,BC=8,BC 上的高,D 为BC 上一点,,交AB 于点E ,交AC 于点F (EF 不过A 、B ),设E 到BC 的距离为,则的面积关于的函数的图象大致为( D )2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ 5.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点,则AB 的长为 4 .6.已知二次函数11)(2k 2--+=x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x (21x x <),则对于下列结论:①当x =-2时,y =1;②当2x x >时,y >0;③方程011)(22=-+-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ;④11-<x ,12>-x ;⑤22114k x x +-,其中所有正确的结论是 ①③④ (只需填写序号).7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;一抛物线的解析式为第9题()c x b x y ++-=102.(1)若该抛物线过点B ,且它的顶点P 在直线b x y +-=2上,试确定这条抛物线的解析式;(2)过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ,若抛物线的对称轴恰好过C 点,试确定直线b x y +-=2的解析式.解:(1)102-=x y 或642--=x x y将0)b (,代入,得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-,由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-,解得1210,6b b =-=-.(2)22--=x y8.有一个运算装置,当输入值为x 时,其输出值为y ,且y 是x 的二次函数,已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-.(1)求此二次函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解:(1)设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . (2)函数图象如图所示.由图象可得,当输出值y 为正数时, 输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x .9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现:骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回答: ⑴第一天中,在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现,图中10时到 22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解 析式.解:⑴第一天中,从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .是否存在实数a ,使得 △ABC 为直角三角形.若存在,请求出a 的值;若不 存在,请说明理由.解:依题意,得点C 的坐标为(0,4).设点A 、B 的坐标分别为(1x ,0),(2x ,0),由04)334(2=+++x a ax ,解得 31-=x ,ax 342-=. ∴ 点A 、B 的坐标分别为(-3,0),(a34-,0). ∴ |334|+-=aAB ,522=+=OC AO AC , =+=22OC BO BC 224|34|+-a. ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB , 252=AC ,1691622+=a BC . 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时,∠ACB =90°. 由222BC AC AB +=,得)16916(259891622++=+-a a a . 解得 41-=a .∴ 当41-=a 时,点B 的坐标为(316,0),96252=AB ,252=AC ,94002=BC . 于是222BC AC AB +=. ∴ 当41-=a 时,△ABC 为直角三角形. 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时,∠ABC =90°. 由222BC AB AC +=,得)16916()98916(2522+++-=aa a . 解得 94=a . 当94=a 时,3943434-=⨯=-a ,点B (-3,0)与点A 重合,不合题意.〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时,∠BAC =90°. 由222AB AC BC +=,得)98916(251691622+-+=+aa a . 解得 94=a .不合题意. 综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉,当41-=a 时,△ABC 为直角三角形. 11.已知抛物线y =-x 2+mx -m +2.(1)若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且ABm 的值; (2)设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值.解: (1)A(x 1,0),B(x 2,0) . 则x 1 ,x 2是方程 x 2-mx +m -2=0的两根. ∵x 1 + x 2 =m , x 1·x 2 =m -2 <0 即m <2 ;又AB =∣x 1 — x 2∴m 2-4m +3=0 .解得:m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . (2)M(a ,b),则N(-a ,-b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①+②得:-2a 2-2m +4=0 . ∴a 2=-m +2 . ∴当m <2时,才存在满足条件中的两点M 、N.∴2a m =- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为(0,2-m ),而S △M N C = 27 , ∴2×12×(2-m 2m -∴解得m=-7 .12.已知:抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A (-1,0). (1)求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标;(2)D 是抛物线与y 轴的交点,C 是抛物线上的一点,且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9,求此抛物线的解析式;(3)E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点,如果点E 在(2)中的抛物线上,且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧,问:在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△APE 的周长最小?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解法一:(1)依题意,抛物线的对称轴为x =-2. ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A (-1,0),∴ 由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0).(2)∵ 抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A (-1, 0),∴ 0)1(4)1(2=+-+-t a a .∴ t =3a .∴ a ax ax y 342++=. ∴ D (0,3a ).∴ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线a ax ax y 342++= 上, ∵ C (-4,3a ).∴ AB =2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ 9)(21=OD CD AB ⋅+.∴ 93)42(21=+a .∴ a ±1.∴ 所求抛物线的解析式为342++=x x y 或342---ax x y =. (3)设点E 坐标为(0x ,0y ).依题意,00<x ,00<y , 且2500=x y .∴ 0025x y =-.①设点E 在抛物线342++=x x y 上,∴340200++=x x y .解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000++==-x x y x y 得⎩⎨⎧-;=,=15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'.=,=452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x =-2的同侧,∴ 点E 坐标为(21-,45). 设在抛物线的对称轴x =-2上存在一点P ,使△APE 的周长最小. ∵ AE 长为定值,∴ 要使△APE 的周长最小,只须PA +PE 最小. ∴ 点A 关于对称轴x =-2的对称点是B (-3,0), ∴ 由几何知识可知,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. 设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y +=,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521=+-=+n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21==n m ∴ 直线BE 的解析式为2321+=x y .∴ 把x =-2代入上式,得21=y . ∴ 点P 坐标为(-2,21). ②设点E 在抛物线342---x x y =上,∴ 340200---x x y =.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ==- 消去0y ,得03x 23x 020=++. ∴ △<0 . ∴ 此方程无实数根. 综上,在抛物线的对称轴上存在点P (-2,21),使△APE 的周长最小. 解法二:(1)∵ 抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A (-1,0),∴ 0)1(4)1(2=+-+-t a a .∴ t =3a .∴ a ax ax y 342++=.令 y =0,即0342=++a ax ax .解得 11=-x ,32=-x . ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为(-3,0).(2)由a ax ax y 342++=,得D (0,3a ). ∵ 梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且点C 在抛物线a ax ax y 342++=上,∴ C (-4,3a ).∴ AB =2,CD =4. ∵ 梯形ABCD 的面积为9,∴ 9)(21=+OD CD AB ⋅.解得OD =3. ∴ 33=a .∴ a ±1.∴ 所求抛物线的解析式为342++=x x y 或342--=-x x y .(3)同解法一得,P 是直线BE 与对称轴x =-2的交点. ∴ 如图,过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q .设对称轴与x 轴的交点为F .由PF ∥EQ ,可得EQ PF BQ BF =.∴ 45251PF =.∴ 21=PF .∴ 点P 坐标为(-2,21).以下同解法一.13.已知二次函数的图象如图所示.(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标.(2)若点N 为线段BM 上的一点,过点N 作x 轴的垂线,垂足为点Q .当点N 在线段BM 上运动时(点N 不与点B ,点M 重合),设NQ 的长为l ,四边形NQAC 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围;(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ,使△PAC 为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)将△OAC 补成矩形,使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).解:(1)设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ,∴ )2(12-⨯⨯=-a .∴ 1=a .∴ 22--=x x y .其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921,.(2)设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=,点N 的坐标为N (t ,h ),∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ,.解得23=k ,3-=b . ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y . ∴ 323-=t h ,其中221<<t .∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t . ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ,自变量t 的取值范围是221<<t . (3)存在符合条件的点P ,且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232,P . 设点P 的坐标为P )(n m ,,则22--=m m n . 222)1(n m PA ++=,5)2(2222=++=AC n m PC ,.分以下几种情况讨论:i )若∠PAC =90°,则222AC PA PC +=.∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n , 解得:251=m ,12-=m (舍去). ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251,P . ii )若∠PCA =90°,则222AC PC PA +=.∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n , 解得:02343==m m ,(舍去).∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232,-P . iii )由图象观察得,当点P 在对称轴右侧时,AC PA >,所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角.(4)以点O ,点A (或点O ,点C )为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边OA (或边OC )的对边上,如图a ,此时未知顶点坐标是点D (-1,-2),以点A ,点C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上,如图b ,此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫⎝⎛-5251,,F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854,.图a 图b14.已知二次函数22-=ax y 的图象经过点(1,-1).求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x 轴的交点的个数.解:根据题意,得a -2=-1.∴ a =1. ∴ 这个二次函数解析式是22-x y =.因为这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是(0,-2),所以该函数图象与x 轴有两个交点.15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB =5 cm ,拱高OC =0.9 cm ,线段DE 表示大桥拱内桥长,DE ∥AB ,如图(1).在比例图上,以直线AB 为x 轴,抛物线的对称轴为y 轴,以1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图(2).(1)求出图(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域; (2)如果DE 与AB 的距离OM =0.45 cm ,求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据:4.12≈,计算结果精确到1米).解:(1)由于顶点C 在y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092+=ax y . 因为点A (25-,0)(或B (25,0))在抛物线上, 所以109)25(02+=-⋅a ,得12518=-a . 因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y +=-. (2)因为点D 、E 的纵坐标为209, 所以109125182092+-x =,得245±=x .所以点D 的坐标为(245-,209),点E 的坐标为(245,209). 所以225)245(245=-=-DE . 因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯=(米). 16.已知在平面直角坐标系内,O 为坐标原点,A 、B 是x 轴正半轴上的两点,点A 在点B 的左侧,如图.二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象经过点A 、B ,与y 轴相交于点C .(1)a 、c 的符号之间有何关系?(2)如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项,试证a 、c 互为倒数;(3)在(2)的条件下,如果b =-4,34=AB ,求a 、c 的值.解:(1)a 、c 同号. 或当a >0时,c >0;当a <0时,c <0.(2)证明:设点A 的坐标为(1x ,0),点B 的坐标为(2x ,0),则210x x <<. ∴ 1x OA =,2x OB =,c OC =.据题意,1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ++的两个根. ∴ a c x x =⋅21. 由题意,得2OC OB OA =⋅,即22c c a c==. 所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时,a 、c 互为倒数.(3)当4-=b 时,由(2)知,0421>==-+a a b x x ,∴ a >0.解法一:AB =OB -OA =21221124)(x x x x x x -+=-,∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==-. ∵ 34=AB , ∴ 3432=a .得21=a .∴ c =2. 解法二:由求根公式,a a a ac x 322416424164±-±-±===,∴ a x 321-=,a x 322+=. ∴ a a a x x OA OB AB 32323212=--=-=-=+. ∵ 34=AB ,∴ 3432=a ,得21=a .∴ c =2. 17.如图,直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,⊙E 经过原点O 及A 、B 两点. (1)C 是⊙E 上一点,连结BC 交OA 于点D ,若∠COD =∠CBO ,求点A 、B 、C 的坐标;(2)求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式:(3)若延长BC 到P ,使DP =2,连结AP ,试判断直线PA 与⊙E 的位置关系,并说明理由.解:(1)连结EC 交x 轴于点N (如图).∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点.∴ A (3,0),B )3,0(. 又∠COD =∠CBO . ∴ ∠CBO =∠ABC .∴ C 是的中点. ∴ EC ⊥OA .∴ 232,2321====OB EN OA ON . 连结OE .∴ 3==OE EC . ∴ 23=-=EN EC NC .∴ C 点的坐标为(23,23-). (2)设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y .∵ C (23,23-). ∴)323(2323-⋅=-a .∴ 392=a . ∴ x x y 8329322-=为所求. (3)∵ 33tan =∠BAO , ∴ ∠BAO =30°,∠ABO =50°. 由(1)知∠OBD =∠ABD .∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD . ∴ OD =OB ·tan30°-1.∴ DA =2.∵ ∠ADC =∠BDO =60°,PD =AD =2.∴ △ADP 是等边三角形.∴ ∠DAP =60°.∴ ∠BAP =∠BAO +∠DAP =30°+60°=90°.即 PA ⊥AB .即直线PA是⊙E的切线.。

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