3-1中值定理与洛必达法则

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柯西中值定理与洛必达法则

实际应用
随着科技的进步，这些定理的应用领域也在不断扩大。例如，在数据分析、机器学习等领域，这些定理可以帮助我们更好地理解和处理数据。
03
教育价值
作为微分学中的核心内容，柯西中值定理和洛必达法则是数学教育的重
点。随着教育方法的改进，如何更有效地教授这些内容，让学生更好地
理解和掌握它们，也是值得探讨的问题。
04
实例分析
柯西中值定理实例
总结词
通过一个连续函数在闭区间上改变符号的性质，证明柯西中值定理的正确性。
详细描述
考虑一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上，若$f(a) cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c in (a, b)$，使得$f(c) = 0$。这个结论可以用来证明柯西中值定理。ຫໍສະໝຸດ 洛必达法则实例总结词
通过求极限的方法，验证洛必达法则的正确性。
详细描述
考虑函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$的左右极限，以及它们的导数$f'(x)$和$g'(x)$。如果$f'(x_0) = g'(x_0)$且$g'(x) neq 0$，则
$lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。
02
洛必达法则
定义与性质
定义
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于研究函数在某点的极限。如果函数在某点的极限存在，则该点的导数存在。
性质
洛必达法则是求极限的常用方法之一，特别是处理分式函数的极限问题。当分母的极限为零时，如果分子和分母的导数之商的极限存在，则洛必达法则成立。
法则的应用

(整理)第六节洛必达法则

第一节洛必达法则在上一章中我们研究了导数的概念以及它们的计算方法,本章将利用导数来研究函数在区间上的某些特性,并利用这些特性解决一些实际问题一. 微分学中值定理[拉格朗日中值定理]如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那末在(a,b)内至少有一点c，使即成立。

这个定理的特殊情形，即：的情形，称为罗尔定理。

[ 罗尔定理]若在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且，那末在(a,b)内至少有一点c，使成立。

下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理[柯西中值定理]如果函数，在闭区间[a ，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且≠0，那末在(a ，b)内至少有一点c ，使成立。

在求函数的极限时，常会遇到两个函数)(x f 、)(x F 都是无穷小或都是无穷大时，求它们比值的极限，此时极限)()(limx F x f 可能存在，也可能不存在．通常把这种极限叫做未定式，并分别简称为00型或∞∞型。

例如，xx x sin lim 0→就是00型的未定式；而极限x x x ln lim +∞→就是∞∞型的未定式．我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用"商的极限等于极限的商"这个法则来求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求极限的方法统称为洛必达法则.一、00型未定式定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)(lim 0x F x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.例1计算极限0e 1lim x x x →-.解该极限属于“00”型不定式，于是由洛必达法则，得0e 1limx x x→-0e lim 11xx →==. 例2计算极限0sin lim sin x axbx →．解该极限属于“0”型不定式，于是由洛必达法则，得00sin cos lim lim sin cos x x ax a ax a bx b bx b→→==．注若(),()f x g x ''仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即()()()lim lim lim ()()()x a x a x a f x f x f x g x g x g x →→→'''==='''．例3 计算极限33221216lim 248x x x x x x →-+--+．解由洛必达法则，得33221216lim 248x x x x x x →-+--+222312lim 344x x x x →-=--263lim 642x x x →==-．例4 计算极限arctan 2lim 1x xxπ→+∞-．解 arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2211lim 1x x x →+∞-+=-22lim 11x x x →+∞==+．二、∞∞型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞∞∞型同样适用．例5 计算极限ln lim(0)x xx αα→+∞>．解此极限满足洛必达法则，于是得11ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x ααααα-→+∞→+∞→+∞===．例6 计算极限lim (0)nx x x n e →+∞>．解所求问题是∞∞型未定式，连续n 次施行洛必达法则，有lim e n x x x →+∞1lim e n x x nx -→+∞=2(1)lim e n xx n n x -→+∞-= !lim 0e x x n →+∞===．例7 计算极限20tan lim sin x x xx x →-．解 20tan lim sin x x x x x →-30tan limx x xx →-=（利用等价无穷小量代换sin x x ） 22222000sec 1tan 1tan 1lim lim lim(3333x x x x x x x x x →→→-====．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．习题4-61.用洛必达法则求下列极限：（1）πππ--→x x x )sin(lim；（2）x xx 2tan 3tan lim 0→；（3）)0(ln lim >+∞→n xxn x ；（4）为常数）、n m x x n n m m x ,0(lim ≠--→αααα；（5）20)1ln(lim xx x +→；（6）x arc x x cot )11ln(lim ++∞→；（7）xx xe e x x x sin 2lim 0----→；（8）x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→．4. 洛必达法则在使用洛必塔法则时应注意以下几点：①洛必塔法则只适用于00型或∞∞型的极限. ②如果(x )g )( lim ''x f 仍是00型或∞∞型,则可继续使用洛必塔法则.③如果(x )g )( lim ''x f 不存在且不是∞,并不表明g(x ))( lim x f 不存在,只表明洛必塔法则失效,这时应用其他方法求解.第二节函数的极值一、函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增(或减)，则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性. 判定方法[定理] 设函数()y f x =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.（１）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调增加；（２）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数()y f x =在],[b a 上单调减少. 证明（1）由于函数)(x f 满足拉格朗日中值定理条件，故在],[b a 上任取两点21,x x （不妨设21x x <），必有),,(21x x ∈ξ使))(()()(12a b f x f x f -'=-ξ如果0)(>'x f ，必有0)(>'ξf ，于是0)()(12>-x f x f ，即 ).()(21x f x f < 这表明函数()y f x =在],[b a 上单调增加.同理可证，如果0)(<'x f ，函数()y f x =在],[b a 上单调减少.注：（1）在上面定理的证明过程中易于看到，闭区间],[b a 若改为开区间),(b a 或无限区间，该定理结论同样成立．（2）有的可导函数在某区间内的个别点处，导数等于零，但函数在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少.例如，幂函数3x y =的导数23x y ='，当0=x 时，.0='y 但它在),(+∞-∞内是单调增加的，如图所示．(图4-2)图4-2[例1]讨论函数ln y x =的单调性. 解 ln y x =的定义域为(0,)+∞. 因为10[(0,)]y x x'=>∈+∞，所以ln y x =在其定义域(0,)+∞内单调增加. [ 例2]：确定函数的增减区间.解：此函数的定义域为(－∞,＋∞) 因为：，所以可以判出：当x ＞0时，＞0，故它的单调增区间为(0,＋∞)；当x ＜0时，＜0，故它的单调减区间为(-∞,0)；注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。

中值定理与洛必达

（2）证：
作辅助函数：
f b f a x f x f a x a b a ∵ f (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导， ∴φ (x) 在 [a, b] 连续，在（a, b）可导， , 则由罗尔定理， b 且 a 0 0 , a , b ,使至少存在一点 f b f a x f x , b a f b f a 即 f 0 , b a

f ( x ) f ( ) 当 x 0 , 0 , x
要使 f ( ) 存在，只能 f ( ) 0 .
可见在函数取到最大值与最小值的点处，其导数等于 0 。

f ( x ) f ( ) lim 0 ; x 0 x
( 1 ,0 ) 由Rolle定理，至少存在使 ( ) 0 ， 2 n f ( x ) 0 即 ( x ) ( 2 n 1 ) x 4 x 1
在 [ 1 , 0 ] 中至少有一个 , 得证

例 4：设 f ( x)在[0， 1]上可微，对[0,1]上的每个 x，有0 f ( x) 1，且 f ( x) 1，证明方程 f ( x) x 在（0，1）内有且只有一个根。
( 3 ) f ( a ) f ( b ) , 那么在 ( a ,b ) 内至少存在一 ( a b ) ，
使 f ( ) 0 .
几何意义： AB 为 [a , b] 上连续曲线，且除 a, b 两点外都有切线存在，两端点纵标相等，则在 (a , b) 中至少能找到一点，使这点对应曲线上的点处的切线平行于 x 轴。

高等数学李伟版课后习题答案第三章

⾼等数学李伟版课后习题答案第三章习题3—1（A ）1．判断下列叙述是否正确，并说明理由：（1）函数的极值与最值是不同的，最值⼀定是极值，但极值未必是最值；（2）函数的图形在极值点处⼀定存在着⽔平的切线；（3）连续函数的零点定理与罗尔定理都可以⽤来判断函数是否存在零点，⼆者没有差别；（4）虽然拉格朗⽇中值公式是⼀个等式，但将()f ξ'进⾏放⼤或缩⼩就可以⽤拉格朗⽇中值公式证明不等式，不过这类不等式中⼀定要含（或隐含）有某函数的两个值的差．答：（1）不正确．最值可以在区间端点取得，但是由于在区间端点处不定义极值，因此最值不⼀定是极值；⽽极值未必是最值这是显然的．（2）不正确．例如32x y =在0=x 点处取极值，但是曲线在点)00(，却没有⽔平切线．（3）不正确．前者是判断)(x f 是否有零点的，后者是判断)(x f '是否有零点的．（4）正确．⼀类是明显含有)()(a f b f -的；另⼀类是暗含着)()(0x f x f -的． 2．验证函数2)1(e x y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理，并求出定理中的ξ．解：显然2)1(e x y -=在闭区间]20[，上连续，在开区间)20(，内可导，且e )2()0(==y y ，于是函数2)1(ex y -=在区间]20[，上满⾜罗尔定理的条件，2)1(e )1(2)(x x x y ---='，由0)(='ξy ，有0e )1(22)1(=---ξξ，得1=ξ，∈ξ)20(，，所以定理的结论也成⽴．3．验证函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理，并求出公式中的ξ．解：显然1232-+=x x y 在闭区间]11[，-连续，在开区间)11(，-内可导，于是函数1232-+=x x y 在区间]11[，-上满⾜拉格朗⽇中值定理的条件，26)(+='x x y ，2)1(1)1()1(=----y y ，由)()1(1)1()1(ξy y y '=----，有226=+ξ，得0=ξ，∈ξ)11(，-，所以定理的结论也成⽴．4．对函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上验证柯西中值定理的正确性，并求出定理中的ξ．解：显然函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在闭区间]20[π，上连续，在开区间)20(π，内可导，且x x f sin 1)(-='，x x g sin )(-='，在区间)20(π，内0)(≠'x g ，于是函数x x x f cos )(+=、x x g cos )(=在区间]20[π，上满⾜柯西定理的条件，⼜21)0()2/()0()2/(πππ-=--g g f f ，由)()()0()2/()0()2/(ξξππg f g g f f ''=--，有ξξπsin sin 121--=-，即πξ2sin =，由于∈ξ)20(π，，得πξ2arcsin=，所以定理的结论也成⽴．5．在)(∞+-∞，内证明x x cot arc arctan +恒为常数，并验证2cot arc arctan π≡+x x ．证明：设x x x f cot arc arctan )(+=，显然)(x f 在)(∞+-∞，内可导，且-+='211)(x x f 0112≡+x，由拉格朗⽇定理的推论，得在)(∞+-∞，内x x cot arc arctan +恒为常数，设C x f ≡)(，⽤0=x 代⼊，得2π=C ，所以2cot arc arctan π≡+x x ．6．不求出函数2()(4)f x x x =-的导数，说明0)(='x f 有⼏个实根，并指出所在区间．解：显然2()(4)f x x x =-有三个零点20±==x x ，，⽤这三点作两个区间]20[]02[，、，-，在闭区间]02[，-上)(x f 连续，在开区间)02(，-内)(x f 可导，⼜0)0()2(==-f f 于是)(x f 在]02[，-满⾜罗尔定理，所以⾄少有∈1ξ)02(，-，使得0)(1='ξf ，同理⾄少有∈2ξ)20(，，使得0)(2='ξf ，所以0)(='x f ⾄少有两个实根．⼜因为)(x f 是三次多项式，有)(x f '时⼆次多项式，于是0)(='x f 是⼆次代数⽅程，由代数基本定理，得0)(='x f ⾄多有两个实根．综上，0)(='x f 恰有两个实根，且分别位于区间)02(，-与)20(，内．7．证明下列不等式：（1）对任何实数b a ，，证明cos cos a b a b -≤-；（2）当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1．证明：（1）当b a =时，cos cos a b a b -≤-显然成⽴．当b a <时，取函数x x f cos )(=，显然)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开间)(b a ，内可导，由拉格朗⽇定理，有∈ξ)(b a ，，使得))(()()(b a f b f a f -'=-ξ，即)(sin cos cos b a b a -?-=-ξ，所以)()(sin cos cos b a b a b a -≤-?-=-ξ．当b a >时，只要将上⾯的区间][b a ，换为][a b ，，不等式依然成⽴．所以，对任何实数b a ，，都有cos cos a b a b -≤-．（2）取函数)1ln()(t t f +=，当0>x 时，函数)1ln()(t t f +=在闭区间]0[x ，上连续，在开区间)0(x ，内可导，根据拉格朗⽇定理，有∈ξ)0(x ，，使得ξξ+='1)(xf ．因为x <<ξ0，则x xx x x =+<+<+0111ξ，所以x x x x <+<+)1ln(1． 8．若函数)(x f 在区间),(b a 具有⼆阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中21x x a <<b x <<3，证明在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：根据已知，函数)(x f 在区间][21x x ，及][32x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈1ξ)(21x x ，，∈2ξ)(32x x ，（其中21ξξ<），所得0)(1='ξf ，0)(2='ξf ．再根据已知及)()(21ξξf f '='，函数)(x f '在区间][21ξξ，上满⾜罗尔定理，所以有∈ξ)(21ξξ，?)(3,1x x ，所得0)(=''ξf ，即在区间)(3,1x x 内⾄少有⼀点ξ，使得0)(=''ξf ．习题3—1（B ）1．在2004年北京国际马拉松⽐赛中，我国运动员以2⼩时19分26秒的成绩夺得了⼥⼦组冠军．试⽤微分中值定理说明她在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h （马拉松⽐赛距离全长为42.195km ）．解：设该运动员在时刻t 时跑了)(t s s =（km ），此刻才速度为)()(t s t v v '==（km/h ），为解决问题的需要，假定)(t s 有连续导数．设起跑时0=t ，到达终点时0t t =，则3238888889.20≈t ，对函数)(t s 在区间]0[0t ，上⽤拉格朗⽇定理，有00t <<ξ，所得)()(0)0()(00ξξv s t s t s ='=--，⽽15706.183238888889.2195.420)0()(00≈=--t s t s km/h ，所以157.1815706.18)(>≈ξv ．对)(t v 在区间]0[ξ，及][0t ，ξ上分别使⽤连续函数的介值定理（注意，0)0(=v0)(0=t v ，则数值18. 157分别介于两个区间端点处函数值之间），于是有)0(1ξξ，∈，)0(2，ξξ∈，使得157.18)(1=ξv ，157.18)(2=ξv，这表明该运动员在⽐赛中⾄少有两个时刻的速度恰好为18. 157km/h ．2．若函数)(x f 在闭区间][b a ，上连续，在开区间），（b a 内可导，且0)(>'x f ，证明⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．证明：采⽤反证法，若⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 有两个（或两个以上）不同的实根21x x <，即0)()(21==x f x f ，根据已知函数)(x f 在][21x x ，上满⾜罗尔定理，于是有∈ξ)()(21b a x x ，，?，使得0)(='ξf ，与在开区间），（b a 内0)(>'x f ⽭盾，所以⽅程0)(=x f 在开区间），（b a 内⾄多有⼀个实根．（注：本题结论也适⽤于⽆穷区间） 3．证明⽅程015=-+x x 只有⼀个正根．证明：设1)(4-+=x x x f （)(∞+-∞∈，x ），则014)(4>+='x x f ，根据上题结果，⽅程015=-+x x 在)(∞+-∞，内⾄多有⼀个实根．取闭区间]10[，，函数1)(4-+=x x x f 在]10[，上连续，且01)0(<-=f ，01)1(>=f ，由零点定理，有)10(，∈ξ，使得0)(=ξf ，从⽽⽅程015=-+x x 在)0(∞+，内⾄少有⼀个实根．综上，⽅程015=-+x x 只有⼀个正根，且位于区间)10(，内． 4．若在),(+∞-∞内恒有k x f =')(，证明b kx x f +=)(．证明：（⽅法1）设函数kx x f x F -=)()(，则0)()(≡-'='k x f x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C kx x f x F ≡-=)()(，⽤0=x 代⼊，得)0(f C =，记b f =)0(，则b C kx x f x F ==-=)()(，所以b kx x f +=)(．（⽅法2）记b f =)0(，∈?x ),(+∞-∞，若0=x ，则满⾜b kx x f +=)(；若0≠x ，对函数)(t f 以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即kx b x f =-)(，所以b kx x f +=)(．5．若函数)(x f 在区间)0(∞+，可导，且满⾜0)()(2≡-'x f x f x ，1)1(=f ，证明x x f =)(.证明：设函数xx f x F )()(=（∈x )0(∞+，），则xx x f x f x x x x f x x f x F 2)()(22/)()()(-'=-'='，由0)()(2≡-'x f x f x ，得0)(≡'x F ，根据拉格朗⽇定理的推论)(x F 恒为常数，设C xx f x F ==)()(，⽤1=x 代⼊，且由1)1(=f ，得1=C ，所以1)()(==xx f x F ，即x x f =)(．6．证明下列不等式（1）当0>x 时，证明x x+>1e ；（2）对任何实数x ，证明x x arctan ≥．证明：（1）取函数t t f e )(=（]0[x t ，∈）显然函数)(t f 在区间]0[x ，上满⾜拉格朗⽇定理，则有∈ξ)0(x ，，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即x xξe 1e =-，所以 x x x+>+=1e 1e ξ．（2）当0=x 时，显然x x arctan ≥．当0≠x 时，取函数t t f arctan )(=，对)(t f 在以x t t ==，0为端点的闭区间上⽤拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即21arct an ξ+=xx ，所以x x x <+=21arctan ξ．综上，对任何实数x ，都有x x arctan ≥．7．若函数)(x f 在闭区间[1-，1]上连续，在开区间（1-，1）内可导，M f =)0(（其中0>M ），且M x f <')(．在闭区间[1-，1]上证明M x f 2)(<．证明：对∈?x [1-，1]，当0=x 时，M M f 2)0(<=，．不等式成⽴．当0≠x 时，根据已知，函数)(t f 在以x t t ==，0为端点的区间上满⾜拉格朗⽇定理，则有ξ介于0与x 之间，使得)0)(()0()(-'=-x f fx f ξ，即x f M x f )()(ξ'=-，所以，M x f x f +'=)()(ξ，从⽽M M f M x f M x f x f 2)()()()(<+'≤+'≤+'=ξξξ．综上，在闭区间[1-，1]上恒有M x f 2)(<．8．若函数)(x f 在闭区间]0[a ，上连续，在开区间)0(a ，内可导，且0)(=a f ，证明在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．证明：设函数)()(x xf x F =（∈x ]0[a ，），则0)(0)0(==a F F ，，再根据已知，函数)(x F 在区间],0[a 满⾜罗尔定理，则有∈ξ)0(a ，，使得0)(='ξf ．⽽)()()(ξξξξf f f '+='，于是0)()(='+ξξξf f ．所以，在开区间)0(a ，内⾄少存在⼀点ξ，使得0)()(='+ξξξf f ．习题3—2（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由（1）洛必达法则是利⽤函数的柯西中值定理得到的，因此不能利⽤洛必达法则直接求数列极限；（2）凡属“00”，“∞∞”型不定式，都可以⽤洛必达法则来求其的极限值；（3）型如””，“”，“”，“”，““0100∞∞-∞∞?∞型的不定式，要想⽤洛必达法则，需先通过变形．⽐如“0?∞”型要变型成为“00”，“∞∞”型，”，”，““00∞-∞””，““01∞∞型要先通过变型，转化为“0?∞”型的不定式，然后再化为基本类型.答：（1）正确．因为数列是离散型变量，对它是不能求导的，要想对数列的“不定式”极限使⽤洛必达法则，⾸先要根据“海涅定理”将数列极限转换为普通函数极限，然后再使⽤洛必达法则．（2）不正确．如0sin 1sinlim 20=→xx x x （00型）、1cos sin lim -=-+∞→x x x x x （∞∞型）、11lim 2=++∞→x x x （∞∞型）都不能⽤洛⽐达法则求得极限值．（3）正确．可参见本节3.其他类型的不定式极限的求法，但是“∞-∞”型通常是直接化为“00”，“∞∞”型． 2．⽤洛必达法则求下列极限：（1）x x x --→e 1ln lim e ；（2）11lim 1--→n m x x x （0≠mn ）；（3）x x x 5tan 3sin limπ→；（4）2e e cos 1lim 0-+--→x x x x；（5）1sec tan 2lim0-→x x x x ；（6）xxx 3tan tan lim 2/π→；（7）x x x 2cot lim 0→；（8）x x x cot arc lim +∞→；（9）)sin 11(lim 0x x x -→；（10）111lim()ln 1x x x →--；（11）xx x tan 0lim +→；（12）)1ln(1)(lim x x x ++∞→；（13）21)(cos lim x x x →；（14）nn n ln lim∞→；解：（1）e11/1lim e 1ln lime e -=-=--→→x x x x x ．（2）==----→→1111lim 11lim n m x nm x nx mx x x nm．（3）=-?-==→→22)1(535sec 53cos 3lim 5tan 3sin limx x x x x x ππ53-．（4）=+=-=-+--→-→-→x x x x x x x x x x x x e e cos lim e e sin lim 2e e cos 1lim00021．（5）===-=-→→→→xxx x x x x x x x x x x x tan 4lim tan sec 4lim 1sec 2lim 1sec tan 2lim002004． (6) =---=-=?=→→→→x xx x xx x x x x x x x x sin 3sin 3lim cos 3cos lim )cos 3cos 3sin sin (lim 3tan tan lim2/2/2/2/ππππ3．（7）===→→→x x x x x x x x 2sec 21lim 2tan lim 2cot lim 200021．（8）=+=-+-==+∞→+∞→+∞→+∞→22221lim /1)1/(1lim 1/cot arc lim cot arc lim xx x x x x x x x x x x 1．（9）=-=-=-=-=-→→→→→2sin lim 21cos lim sin lim sin sin lim )sin 11( lim 002000xx x x x x x x x x x x x x x x x 0．（10）xx x x x x x x x x x x x /)1(ln /11lim ln )1(ln 1lim )11ln 1(lim 111-+-=---=--→→→=+=-+-=→→2ln 1lim 1ln 1lim11x x x x x x x 21．（11）设xxy tan =，则x x y ln tan ln =，因为0lim /1/1lim /1ln lim ln lim ln tan lim ln lim 0200=-=-====++++++→→→→→→x xxx x x x x x y x x x x x x ，所以， ==+→0tan 0e lim xx x 1．（12）设)1ln(1)(x x y +=，则)1ln(ln 21)1ln(ln ln x xx x y +=+=，因为 21)11(lim 21)1/(1/1lim 21)1ln(ln lim 21ln lim =+=+=+= +∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x y x x x x ，所以 ==++∞→21)1ln(1e )(lim x x x e ．（13）设21)(cos x x y =，则2cos ln ln x xy =，因为 21cos 2sin lim cos ln lim ln lim 0200-=-==→→→x x x x x y x x x ，所以==-→2 110e )(cos lim 2x x x e1．（14）根据海涅定理，====+∞→+∞→+∞→∞→xxx xx nn x x x n 2lim2/1/1limln limln lim0．3．验证极限xx xx x cos 2sin 2lim -+∞→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=-+=-+=-+∞→∞→0102/)cos 2(1/)(sin 2lim cos 2sin 2limx x x x x x x x x x 2．因为极限xxx x x x x x sin 21cos 2lim )cos 2()sin 2(lim++='-'+∞→∞→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．4．验证极限x x x x sin )/1sin(lim 20→存在，并说明不能⽤洛必达法则求得．解：=?=?=→→→011sin lim sin lim sin )/1sin(lim0020xx x x x x x x x x 0．因为极限xx x x x x x x x cos )/1sin()/1sin(2lim)(sin ])/1sin([lim 020-=''→→不存在，因为此极限不能⽤洛必达法则求得．习题3—2（B ）1．⽤洛必达法则求下列极限：（1）311lnarctan 2limx x xx x -+-→；（2）xx x x 30sin arcsin lim -→（3）)tan 11(lim 220xx x -→；（4）]e )11[(lim -+∞→xx x x ； (5) 260)sin (lim x x xx →；（6）n n nn b a )2(lim +∞→（00>>b a ，）．解：（1）原式30)1ln()1ln(arctan 2limx x x x x -++-=→=--=--+-+=→→)1(34lim 3111112lim 40220x x x x x x x 34-．（2）原式2220220301311lim 31/11lim arcsin lim xx x x x x x x x x x ---=--=-=→→→=-=--=→→22022032/lim 311lim xx x x x x 61-．（3）原式30022220tan lim tan lim tan tan lim xxx x x x x x x x x x x -?+=-=→→→ ==-=-=→→→22022030tan lim 3231sec lim 2tan lim 2x x xx x x x x x x 32．（4）令t x 1=，则原式21010)1ln()1()1(lim e )1(lim tt t t t t t t t tt ++-+=-+→→ =+-=-+-=++-=→→→t t t t t t t t t t t )1ln(lim 2e 21)1ln(1lim e )1ln()1(lim e 002 02 e -．（5）令6)sin (x x x y =，则2sin ln 6ln x x xy =，因为 30200sin cos lim 3)sin cos 2sin /6(lim ln lim xxx x x x x x x x x y x x x -=-?=→→→ 13sin lim 320-=-=→x x x x ，所以==-→160e )sin (lim x x xx e 1．（6）令=n x nn nb a )2(+，则]2ln )[ln(ln -+=n n n b a n x ，再令x t 1=，因为 tb a b a x x t t t xx x n n 2ln )ln(lim ]2ln )[ln(lim ln lim 011-+=-+=→+∞→∞→ ab b a ba b b a a t t t t t ln 2ln ln ln ln lim 0=+=++=→，所以==+∞→abnn nn b a ln e )2(lim ab ．2．当0→x 时，若)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩，求常数c b a 、、．解：根据已知，有0)(e lim220=++-→x c bx ax x x ，由分母极限为零，则有分⼦极限也为零，于是01)]([e lim 2x =-=++-→c c bx ax x ，得1=c ，此时02)2(e lim )(e lim 0220=+-=++-→→x b ax x c bx ax x x x x ，再由分⼦极限为零，同样得1=b ，进⽽022122e lim 2)12(e lim )(e lim 00220=-=-=+-=++-→→→a a x ax x c bx ax x x x x x x ，得21=a ，所以1121===c b a ，，时，当0→x 时，)(e )(2c bx ax x f x ++-=是⽐2x ⾼阶的⽆穷⼩．3.若函数)(x f 有⼆阶导数，且2)0(,1)0(,0)0(=''='=f f f ，求极限2)(limxxx f x -→．解：1)0(210)0()(lim 2121)(lim )(lim002=''=-'-'=-'=-→→→f x f x f x x f x x x f x x x ．（注：根据题⽬所给条件，不能保证)(x f ''连续，所以只能⽤⼀次洛⽐达法则，再⽤⼆阶导数的分析定义）习题3—3（A ）1．判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）只要函数在点0x 有n 阶导数，就⼀定能写出该函数的泰勒多项式．⼀个函数的泰勒多项式永远都不会与这个函数恒等，⼆者相差⼀个不恒为零的余项；（2）⼀个函数在某点附近展开带有拉格朗⽇余项的n 阶泰勒公式是它的n 次泰勒多项式加上与该函数的n 阶导数有关的所谓拉格朗⽇型的余项；（3）在应⽤泰勒公式时，⼀般⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式⽐较⽅便．答：（1）前者正确，其根据是泰勒多项式的定义；后者不正确．当)(x f 本⾝是⼀个n 次多项式时，有0)(≡x R n ，这时函数的泰勒多项式恒等于这个函数．（2）不正确．拉格朗⽇型的余项与函数)(x f 的1+n 阶导数有关．（3）不正确．利⽤泰勒公式求极限时就要⽤带有⽪亚诺余项的泰勒公式，⼀般在对余项进⾏定量分析时使⽤带拉格朗⽇型余项的泰勒公式，在对余项进⾏定性分析时使⽤带⽪亚诺型余项的泰勒公式．2．写出函数x x f arctan )(=的带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式．解：因为211)(x x f +='，)1(2)(2x x x f +-=''，322)1(62)(x x x f ++-='''，于是 2)0(0)0(1)0(0)0(-='''=''='=f f f f ，，，，代⼊到)(!3)0(!2)0()0()0()(332x o x f x f x f f x f +'''+'+'+=中，得 )(3arctan 33x o x x x +-=． 3．按1-x 的乘幂形式改写多项式1)(234++++=x x x x x f ．解：因为1234)(23+++='x x x x f ，2612)(2++=''x x x f ，624)(+='''x x f ，24)()4(=x f ，更⾼阶导数都为零，于是，，，20)1(10)1(5)1(=''='=f f f 30)1(='''f ，24)0()4(=f ，将其带⼊到)()1(!4)1()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(44)4(32x R x f x f x f x f f x f +-+-'''+-'+-'+=中，得 432)1()1(5)1(10)1(105)(-+-+-+-+=x x x x x f（其中5)5(4)1(!5)()(-=x f x R ξ恒为零）． 4．将函数1)(+=x xx f 在1x =点展开为带有佩亚诺型余项的三阶泰勒公式．解：因为111)(+-=x x f ，则2)1(1)(+='x x f ，3)1(2)(+-=''x x f ，4)1(6)(+='''x x f ，于是83)1(41)0(41)1(21)1(='''-=''='=f f f f ，，，，将其带⼊到 ))1(()1(!3)1()1(!2)1()1)(1()1()(332-+-'''+-'+-'+=x o x f x f x f f x f 中，得))1((16)1(8)1(41211332-+-+---+=+x o x x x x x ． 5．写出函数xx x f e )(=的带有拉格朗⽇型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(e )()(k x x f x k +=（1321+=n n k ，，，，，）（参见习题2.5（B ）3），于是，k fk =)0()(（n k ，，，，210=），=+=++1)1()!1()()(n n n x n x f x R θ1)!1(e )1(++++n x x n x n θθ，将其带⼊到)(!)0(!2)0()0()0()()(2x R x n f x f x f f x f n nn +++'+'+= ，得 132)!1(e )1()!1(!2e +++++-++++=n x n xx n x n n x x x x x θθ )10(<<θ．6．将函数xx f 1)(=按(1)x +的乘幂展开为带有拉格朗⽇型余项的n 阶泰勒公式．解：因为1)(!)1()(+-=k k k xk x f，于是!)1()(k f k -=-（13210+=n n k ，，，，，，）， 1211211)1()1()1()1()!1()!1()1()1()!1()()(+++++++++-=+++-=++=n n n n n n n n n x x n n x n f x R ξξξ，将其代⼊到中)()1(!)1()1(!2)1()1)(1()1()()(2x R x n f x f x f f x f n n n ++-+++-'++-'+-= ，得2112)1()1()1()1()1(11++++-++--+-+--=n n n nx x x x x ξ（ξ介于1-与x 之间）．习题3—3（B ）1．为了修建跨越沙漠的⾼速公路，测量员测量海拔⾼度差时，必须考虑地球是⼀个球体⽽表⾯不是⽔平，从⽽对测量的结果加以修正．（1）如果R 表⽰地球的半径，L 是⾼速公路的长度．证明修正量为R RLR C -=sec ． (2)利⽤泰勒公式证明3422452R L R L C +≈．（3）当⾼速公路长100公⾥时，⽐较（1）和（2）中两个修正量（地球半径取6370公⾥）．证明：（1）由αR L =，有R L =α，⼜在直⾓三⾓形ODB 中，CR R+=αcos ，于是R C R L+==1s e cs e c α，由此得R RLR C -=sec ．（2）先将x x f sec )(=展开为4阶麦克劳林公式，为此求得x x x f tan sec )(='，x x x x f 32s e c t a n s e c )(+=''，x x x x x f tan sec 5tan sec )(33+='''，x x x x x x f5234)4(s e c 5t a n s e c 18tan sec )(++=，，，，，，5)0(0)0(1)0(0)0(1)0()4(=='''=''='=f f f f f 于是 )(245211sec 442x R x x x +++=；当1<2245211sec x x x ++≈，取R L x =，得442224521sec RL R L R L ++≈，于是≈-=R R L R C sec 3422452R L R L +．（3）按公式R RLR C -=sec计算，得修正量为785010135.0)1(≈C ，按公式3422452RL R L C +≈计算，得修正量为785009957.0)2(≈C ，它们相差⼤约为000000178.0)2()1(≈-C C ．2．写出函数212e)(x x f -=的带佩亚诺型余项的n 2阶麦克劳林公式．解：由)(!!3!21e 32nn tt o n t t t t ++++++= ，令22x t -=，得 )]2(!2)1(!62!42!221[e eee223624222122n n n nn x x x o n x x x x +?-++?-?+?-==--)(]!)!2()1(!!6!!4!!21[e 22642n n n x o n x x x x +-++-+-= ，按规律，由于nx2项的后⼀项为22+n x，所以余项也可以⽤)(12+n xo ．3．写出函数x x f 2sin )(=的带⽪亚诺型余项的m 2阶麦克劳林公式．解：x x 2cos 2121sin 2-=)2()!2()2()1(!6)2(!4)2(!2)2(1[2121222642m m mn x o m x x x x +-++-+--=)()!2(2)1(4523122121642m m m m x o x m x x x +-+-+-=-- ，同上⼀题，余项也可以⽤)(12+m x o ．（注意：像2、3题⽤变量代换写泰勒公式的⽅法只使⽤于带有佩亚诺型余项的泰勒公式，不适⽤带有拉格朗⽇型余项的泰勒公式，否则得到的余项不再是拉格朗⽇型余项） 4．应⽤三阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：（1）330；（2）18sin ．解：（1）取函数31)(x x f +=，展开为三阶麦克劳林公式，有31154323)1(3108159311)(x xx x x x x f θ+?-+-+=+=，3339/11332730+?=+=，现取9/1=x ，)59049572912711(3303+-+≈，误差为54431089.19310-?R ， 10725.3)000085.0001372.0037037.01(3)59049572912711(3303=+-+≈+-+≈；（2）⽤x sin 的麦克劳林公式，取1018π==x ，得53)10(!5)cos()10(!311018sin πθππx +-=，则3)10(!311018sin ππ-≈，误差为5531055.2)10(!51-?≈<≤πR3090.030899.000517.031416.018sin ≈=-≈．5．利⽤泰勒公式求下列极限：（1）642/012/e cos lim 2x x x x x +--→；（2）x x x x x x x sin )1(sin e lim 20+-→．解：（1）原式64636426 642012/)](!32821[)](!62421[lim xx x o x x x x o x x x x ++?-+--+-+-=→ 3607)(360/7lim 6660=+=→x x o x x ．（2）原式3233220)](6/)][(2/1[lim x x x x o x x x o x x x --+-+++=→ 31)(3/lim3330=+=→x x o x x ．6．设函数)(x f 在区间][b a ，上有⼆阶连续导数，证明：有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+．证明：将函数)(x f y =在20ba x +=点展开为⼀阶泰勒公式，有 20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=η.（η介于x 与0x 之间）分别⽤b x a x ==、代⼊上式，得 201000)(!2)())(()()(x a f x a x f x f a f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(21b a f b a b a f b a f -''+-+'++=η（21b a a +<<η），202000)(!2)())(()()(x b f x b x f x f b f -''+-'+=η 4)(!2)(2)2()2(22a b f a b b a f b a f -''+-+'++=η（b b a <<+22η），上两式相加，得]2)()([4)()2(2)()(212ηηf f a b b a f b f a f ''+''-++=+，由)(x f ''连续，根据习题1-7（B ）4，得)(2)()(21ξηηf f f ''=''+''（)(b a ，∈ξ），于是，)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-++=+，所以，有)(b a ，∈ξ使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f b f a f ''-=+-+． 7．若函数)(x f 有⼆阶导数，0)(>''x f ，且1)(lim=→xx f x ，⽤泰勒公式证明x x f ≥)(. 证明：由函数)(x f 可导，及1)(lim=→xx f x ，得1)0(0)0(='=f f ，，将)(x f 展开为⼀阶麦克劳林公式，有22)()(x f x x f ξ''+=（ξ介于0与x 之间），由0)(>''x f ，得x x f x x f ≥''+=22)()(ξ．8．设函数)(x f 在区间]20[，上⼆次可微，)2()0(f f =，且M x f ≤'')(，对任何]20[，∈x ，证明M x f ≤')(．证明：对任何∈x ]20[，，将函数)(t f y =在x t =点展开为⼀阶泰勒公式，有 2)(!2)())(()()(x t f x t x f x f t f -''+-'+=ξ.（ξ介于x 与t 之间）分别⽤20==t t 、代⼊上式，得 21!2)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=，（x <<10ξ）（1） 22)2(!2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，（22<<ξx ）（2）（2）-（1），并由条件)2()0(f f =，有 ])()2)(([21)(202122x f x f x f ξξ''--''+'=，即])()2)(([41)(2122x f x f x f ξξ''--''-='，所以M x x M x x M x f =+-?≤+-≤'222])2[(4])2[(4)(．习题3—4（A ）1．下列叙述是否正确？并按照你的判断说明理由：（1）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，那么()f x 在区间[,]a b 上单调增加（减少）的充分必要条件是对任意的(,)x a b ∈，0)(>'x f （0)(<'x f ）；（2）函数的极⼤值点与极⼩值点都可能不是唯⼀的，并且在其驻点与不可导点处均取得极值；（3）判定极值存在的第⼀充分条件是根据驻点两侧导数的符号来确定该驻点是否为极值点，第⼆充分条件是根据函数在其驻点处⼆阶导数的符号来判定该驻点是否为极值点；（4）在区间I 上连续的函数，其最⼤值点或最⼩值点⼀定是它的极值点.答：（1）不正确．如3x y =在]11[，-上单调增加，⽽032≥='x y ．（2）前者正确，后者不正确．驻点与不可导点是取得极值必要条件不是充分条件，如函数3x y =有驻点0=x ，⽽3x y =在0=x 点不取极值；⼜如函数3x y =有不可导点0=x ，⽽3x y =在0=x 点也不取极值．（3）前者不正确，后者正确．第⼀充分条件对连续函数的不可导点也适⽤．（4）不正确．函数的最⼤（⼩）值点可以是闭区间端点，这时的最值点就不是极值点． 2．证明函数x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少．解：在开区间)11(，-内，0111)(2≤--='xx f ，且等号只在0=x 点成⽴，所以)(x f 在开区间)11(，-内单调减少，⼜因为函数x x x f arcsin )(-=在区间]11[，-的左、右端点处分别右连续、左连续，所以x x x f arcsin )(-=在]11[，-上单调减少． 3．求下列函数的单调区间和极值：（1）323y x x =-；（2）xx y 12+=；（3）3232x x y +?=；（4）2exy x =；（5）x x y -+=)1ln(；（6）)1ln(2-=x y ．解：（1）定义域为)(∞+-∞，，)2(3632-=-='x x x x y ，由0='y ，得驻点0=x ，2=x ，函数没有不可导点．单增区间为：)2[]0(∞+-∞，、，，单减区间为：]20[，，极⼤值为：0)0(=y ，极⼩值为：4)2(-=y ．（2）定义域为)0()0(∞+-∞，，，221xx y -='，由0='y ，得驻点1±=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：)1[]1(∞+--∞，、，，单减区间为：]10()01[，、，-，极⼤值为：2)1(-=-y ，极⼩值为：2)1(=y ．（3）定义域为)(∞+-∞，，2233)1(2xx y ?+='，由0='y ，得驻点1-=x ，不可导点0=x ．单增区间为：)1[∞+-，，单减区间为：]1(--∞，，⽆极⼤值，极⼩值为：1)1(-=-y ．（4）定义域为)0()0(∞+-∞，，，3)2(e xx y x -='，由0='y ，得驻点2=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：、，)0(-∞)2[∞+，，单减区间为：]20(，，⽆极⼤值，极⼩值为：4/e )2(2=y ．（5）定义域为)1(∞+-，，xxy +-='1，由0='y ，得驻点0=x ，在定义域内函数没有不可导点．单增区间为：]01(，-，单减区间为：)0[∞+，，极⼤值为：0)0(=y ，⽆极⼩值．（6）定义域为)1()1(∞+--∞，，，122-='x xy ，在定义域内0≠'y ，且没有不可导点．单增区间为：)1(∞+，，单减区间为：)1(--∞，，既⽆极⼤值，也⽆极⼩值．4．求下列函数在指定区间的最⼤值M 和最⼩值m ：（1）163)(24+-=x x x f ，]20[，∈x ；（2）11)(+-=x x x f ，]40[，∈x ．解：（1）)1(121212)(23-=-='x x x x x f ，由0)(='x f ，得1=x （10-==x x ，都不在)20(，内），⽐较数值25)2(2)1(1)0(=-==f f f ，，，得163)(24+-=x x x f 在。

经典洛必达法则

罗尔（Rolle）定理如果函数 f ( x()1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2在) 开区间(a, b)内可导(,3且) 在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b),那末在(a,b)内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
即 f ( ) 0
例设0 a b,证明b a ln b b a .
b
aa
证明：设f ( x) ln x,
f ( x)在［a,b］上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以， (a,b),使 f (b) f (a) f ( )(b a),
因为f ( x) 1 ,上式即为
拉格朗日（Lagrange）中值定理(1)如果函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续(,2)在开区间(a, b)内可导,那末在 (a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
推论如果函数 f ( x) 在区间 I 上的导数恒为零, 那末 f ( x) 在区间 I 上是一个常数.

lim sin x sin
x 1
2
2
1.
2
例
求
lim
x0
cos
x
x3
1
x
.
(
0 0
)
sin x 1
解原式 lim x0
2 3x2
1 x
.
例
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.
(0) 0
解：
×
正解：

洛必达法则

求
lim
x0
(1
3x cos
sin 3x x)ln(1
2
x
)
.
解
当 x 0 时,
1
cos
x
~
1 2
x2,
ln(1
2x)
~
2
x,
故
lim
x0
(1
3x cos
x
sin 3x )ln(1
2
x
)
lim
x0
3
x
sin x3
3
x
lim
x0
3
3cos 3x2
3
x
lim
x0
3
sin 3 2x
x
9. 2
完
1
ln cot x
解 lim (cot x)ln x lim e ln x
x0
x0
e lim x0
ln cot ln x
x
e lim x0
tan
xcsc2 1
x
x
e lim x0
cos1xsinx
x
e1.
完
例22 求 lim (e3x 5 x)1x.(0 ) x
解
lim (e3x
1
5x) x
洛必达法则
取何值无关,故可补充定义 f (a) g(a) 0.
根据定理的条件,知函数 f ( x)与 g( x)在以 a与 x
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件, 于是
f (x) g( x)
f (x) g(x)
f (a) g(a)
f '( ) g'( )
( 在
x 与 a

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用

内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。

（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。

令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。

解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。

又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：(01),ξ=，∴(01),ξ∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。

★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

洛必达法则

分享∙我的分享∙∙当前分享返回分享首页»分享洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。

设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。

当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。

比如利用泰勒公式求解。

②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。

③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

拉格朗日中值定理洛必达法则

在( a , b ) 内至少存在一点
应用说明：（1）证明方程 f (x)=0 根的唯一性。（2）证明方程 f ( x ) 0 有根。
讨论分析
有且仅有一个小于1 的例5. 证明方程正实根 . 证: 1) 根的存在性 . 设 f ( x ) x 5 5 x 1, 则 f ( x ) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且由零点定理知存在 x0 (0,1),
2
上连续，在开区间(0, 2)内可导，所以函数在[0, 2]上满
f (b ) f (a ) f ( ) 足拉格朗日中值定理的条件． L-中值定理： ba
又 f ( x ) 2 x 2, 令 f (2) f (0) f ( ) 2 2
20
即
80 2 2, 20
二、讨论分析
1、拉格朗日中值定理 2、洛必达法则
案例引入
在两个高度相同的点间的一段连续曲线上，除端点外如果各点都有不垂直于x轴的切线，那么至少有一点处的切线水平的.
y P
A
B
x
O a

b
讨论分析
一、拉格朗日（Lagrange）中值定理 1、定理3-6（拉格朗日（Lagrange）中值定理）如果函数 f (x)满足下列条件：（1）在闭区间[a, b]上连续;
则
f ( x) f ( x ) lim lim . x x0 g ( x ) x x0 g ( x )
讨论分析
ln sin x lim . 例10 求 x 0 ln x
解
这是

型未定式，由洛必达法则，得

cos x ln sin x lim lim sin x 1 x 0 x0 ln x x

中值定理与洛必达法则教案

中值定理与洛必达法则教案中值定理和洛必达法则是微积分中重要的概念和工具，它们在解决函数的极限、连续性和导数等方面起到关键的作用。

本教案将介绍中值定理和洛必达法则的概念、原理以及应用，并讲解相应的解题方法和技巧。

一、中值定理的概念和原理1.1 中值定理的引出和意义中值定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

它在数学和物理等领域中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和解决实际问题。

1.2 齐次连续函数的中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于函数在区间[a,b]上的平均变化率。

1.3 一般函数的中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于函数在区间[a,b]上的瞬时变化率。

二、中值定理的应用2.1 判定函数在某一区间内的极值利用中值定理，我们可以判断函数在某一区间内的极值。

根据中值定理，当函数在某一点的导数为零时，该点是函数的极值点。

2.2 寻找函数在某一区间内满足特定条件的点通过应用中值定理，我们可以寻找函数在某一区间内满足特定条件的点。

例如，我们可以利用中值定理证明方程f(x)=0在某一区间内有根。

三、洛必达法则的概念和原理3.1 洛必达法则的引出和意义洛必达法则是解决函数极限问题的一种重要方法，它能够帮助我们求解一些不确定型的极限，特别是当分子与分母都趋于零或无穷大时。

3.2 洛必达法则的基本公式如果函数f(x)和g(x)在某一点a处连续，并且满足在该点的邻域内g'(x)不为零，那么当x趋于a时，如果f(x)和g(x)的极限存在或为无穷大，那么f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)或无穷大。

四、洛必达法则的应用4.1 解决不定型的极限洛必达法则可以帮助我们解决一些不定型的极限，例如0/0、∞/∞、0·∞等形式的极限。

中值定理与洛必达

05 中值定理与洛必达的扩展
CHAPTER
中值定理的推广形式
广义中值定理
在更广泛的函数空间中，如连续函数、可微函数等，中值定理的适用范围得到了扩展。
边界中值定理
在函数的边界上，存在某些中值定理的形式，这些定理描述了函数在边界上的性质。
高阶中值定理
对于高阶可导函数，存在高阶中值定理，这些定理揭示了函数的高阶导数与零点的关系。
柯西中值定理的证明
总结词
详细描述
通过构造辅助函数和运用拉格朗日中值定理，证明柯西中值定理。
首先，我们构造一个辅助函数$F(x)$和 $G(x)$，满足在开区间$(a, b)$上可导，并且满足一定的连续性条件。然后，我们利用拉格朗日中值定理，知道存在至少一个点 $c$满足$frac{F'(c)}{G'(c)}=frac{F(b)F(a)}{G(b)-G(a)}$。这就证明了柯西中值定理。
04
洛必达法则的求导方法
洛必达法则的求导方法包括
2. 使用链式法则进行求导；
4. 使用商式法则进行求导；
1. 使用导数的定义和性质进行求导；
3. 使用乘积法则进行求导；
5. 使用复合函数求导法则进行求导。
03 中值定理与洛必达的应用
CHAPTER
在求解极限问ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的应用
01 02
极限的定义
柯西中值定理
总结词
柯西中值定理是微分学中的一个重要定理，它说明了如果两个函数在闭区间上连续，开区间上可导，且在该区间内函数$f(x)$的导数不等于零，则至少存在一点，使得两个函数在该点的导数之比等于它们在该区间两端点处的函数值之比。
VS
详细描述

3-1中值定理(08)

f ( ) f ( ) 证构造函数 F ( x) f ( x)e x
则F(x)在[a , b]上连续, 在(a , b)内可导, 且F(a) = F(b) = 0 即函数 F(x) 满足罗尔定理的条件. 则在(a , b)内至少存在一点ξ, 使得
F( ) [ f ( ) f ( )]e 0 ( (a, b))
4 37
3
（ 4 37 舍去）
3
利用罗尔定理可以证明一些方程根的存在性.
例5 已知
c0

c1 2

cn 0, 求证：在开区间(0,1) n1
内,方程 c0 c1 x cn xn 0 至少有一个实根.
证
设
f
( x)

c0 x

c1 2
x2

cn xn1 0, x [0,1] n1
且
f (0) f (1) f (2) f (3)
故方程 f ( x) 0有三个不相等的根 1, 2 , 3;
且
1 (0,1), 2 (1, 2), 3 (2, 3)
利用罗尔定理证明问题, 通常要构造辅助函数, 使之满足罗尔定理的条件.
例5 设ƒ(x)在[a , b]上连续,在(a , b)内可导, 且 ƒ(a) = ƒ(b) = 0. 试证: 在(a , b)内至少存在一点ξ , 使得
一、罗尔(Rolle)定理
定理1 (罗尔定理)设函数 ƒ(x) 满足下列条件:
(1) 在闭区间 [a , b]上连续;
(2) 在开区间 (a, b)上可导;
(3) ƒ(a) = ƒ(b);
则在(a, b)内至少存在一点ξ , 使得 f ( ) 0.

考研：洛必达法则

§3-1 微分中值定理定理3.1 如果函数)(x f 满足下列条件：（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导.那么在区间),(b a 内至少存在一点ξ )(b a <<ξ，使等式))(()()(a b f a f b f -'=-ξ （1）成立.这定理称为拉格郎日（Lagrange ）中值定理. （定理证明从略）下面来看一下定理的几何意义.现把（1）式改写为 )()()(ξf ab a f b f '=--从图3-1中可以看到，)(ξf ' 就是点))(,(ξξf C处的切线斜率，而ab a f b f --)()(表示过曲线)(x f y =上两端点))(,(a f a A 、))(,(b f b B 的直线的斜率，因此（1）式表示点C 处的切线平行于弦AB.由此可知，拉格郎日中值定理的几何意义是：如果连续曲线)(x f y =的弧 ACB 上除端点外每一点都有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧段ACB 的内部至少能找到一点))(,(ξξf C ，使得该点处的切线与弦AB 所在直线平行.（1）式也叫拉格郎日中值公式，若令a x =，a b x -=∆，则（1）式可写成x f x f x x f ∆'=-∆+)()()(ξ （2）它提示了函数的增量与导数及自变量增量之间的直接联系，从而为我们开辟了用导数来研究函数的某些特性的途径.例1 求函数3)(x x f =在]2,1[-内满足拉格郎日中值定理条件的ξ值.解因为23)(x x f ='，1)1(-=-f ，8)2(=f ，故满足拉格郎日中值定理的ξ值为)]1(2[3)1()2(2--=--ξf f即 9=92ξ，得ξ1±= 因为 )2,1(1-∈， )2,1(1-∉-所以 ξ=1在拉格郎日中值定理中，如果加上条件)()(b f a f =，则可得到以下罗尔（Rolle ）中值定理. 定理3.2如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立.罗尔定理的几何意义是很明显的，读者可以自己分析. 利用拉格郎日中值定理，还可得到下面的推论.推论1 如果函数)(x f 在区间),(b a 内满足0)(≡'x f ，那么在),(b a 内C x f =)(（C 为常数）. 证在),(b a 内任取两点21,x x ，且21x x <，由拉格郎日中值定理，可得))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ )(21x x <<ξ由于0)(='ξf ，所以0)()(12=-x f x f ，即)()(21x f x f =因为21,x x 是),(b a 内的任意两点，于是上式表明)(x f 在),(b a 内任意两点的值总是相等的，即)(x f 在),(b a 内是一个常数.推论 2 如果两个函数)(x f 、)(x g 在),(b a 内有)()(x g x f '≡'，那么在),(b a 内，)(x f )(x g =+C （C 为常数）.证令)()()(x g x f x F -=，则0)()()(≡'-'='x g x f x F ，由推论1知)(x F 在),(b a 内为一常数C ，即)(x f C x g +=)(.例2 求证2arccos arcsin π=+x x )11(≤≤-x .证设)(x f x x arccos arcsin +=，当11<<-x 时有01111)(22≡--+-='xxx f由推论1，)(x f 在区间)1,1(-内为一常数C ，即C x x =+arccos arcsin 下面确定常数C 的值，不妨取0=x ，得200arccos 0arcsin )0(π+=+==f C所以当11<<-x 时， 2arccos arcsin π=+x x对于1±=x 时，等式显然成立，故命题得证.习题3-11、下列函数在指定的区间上是否满足拉格郎日中值定理的条件，若满足，求出定理结论中的ξ值.1）21)(xx f = ]2,1[-； 2）2)2()(+=x x f ]5,1[； 3）x x f =)( ]4,1[； 4）x x f arctan )(= ]1,0[.2、曲线44313+-=x x y 上哪一点的切线与连接曲线上点)4,0(和点)1,3(的割线平行？ 3、函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f 的导数有几个零点（即满足0)(0='x f 的点0x ），各位于哪个区间？4、验证函数r qx px y ++=2在区间],[b a 上应用拉格郎日中值定理时所求的点ξ位于],[b a 的中点.5、证明 2cot arctan π=+x arc x .§3-2 洛必达法则如果当0x x →或∞→x 时，两个函数)(x f 、)(x g 都趋向于零或趋向于无穷大，这时极限)()(limx g x f 可能存在也可能不存在，通常把上述极限叫做未定式，并分别记为00型或∞∞型.例如30sin lim x x x x -→，xx e x arc -+∞→cot lim 都是00型.x x x )1ln(lim 2+∞→，x x x ln csc lim 0+→都是∞∞型.显然，用第一章所学的方法很难求出极限值来.下面介绍求这类极限的一种简便而有效的方法——洛必达（L 'Hospital ）法则.一、型未定式 00型未定式极限的自变量变化状态可分为：0x x →，+→0x x ，-→0x x ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x .下面只讨论0x x →的情形，其它类似.定理3.3 如果函数)(x f 、)(x g 在),ˆ(0δxN 内可导，且满足下列条件：（1）0)(lim )(lim 0==→→x g x f x x x x ；（2）0)(≠'x g ；（3）A x g x f x x =''→)()(lim（或∞）. 那么，=→)()(limx g x f x x A x g x f x x =''→)()(lim 0（或∞）.（证明从略）这个定理说明了当0x x →时，0型未定式的极限在符合定理条件时下，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定.例1 求xe e xx x sin lim 0-→-.解这是型，所以 2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x 例2 求21)1(ln lim-→x x x .解 ∞=-=-=-→→→)1(21lim )1(21lim )1(ln lim110021x x x x x x x x x 如果)()(limx g x f x x ''→仍属于0型，且)(),(x g x f ''仍满足洛必达法则中的条件，那么可以继续使用该法则进行计算，并可依次类推.但应注意，如果所求的极限已不是未定式，则不能再用洛必达法则，否则会产生错误的结果.此外在用洛必达法则时，最好能结合求极限的其它方法，如恒等变形、重要极限等，那样效果会更好.例3求3sin limx xx x -→. 解 30sin limxx x x -→616sin lim 3cos 1lim 0002000==-=→→x x x x x x 例4 求xx x 1arctan 2lim -+∞→π.解 xx x 1arctan 2lim -+∞→π11lim 111lim222200=+=-+-=+∞→+∞→x x xx x x二、∞∞型的未定式 ∞∞型的未定式极限仍有类似于00型未定式极限的洛必达法则，除00与∞∞的差别外，条件与结果极为相似，下面只举例说明它的应用.例5 求xxx ln cot ln lim 0+→. 解 xxx ln cot ln lim 0+→x x x xx x x x cos sin lim 1)sin 1(cot 1lim 020-=-=++→→∞∞ 1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=→→+xx x x x 例6 求nx x xln lim+∞→.解 n x x x ln lim +∞→01lim 1lim 1===+∞→-+∞→∞∞nx n x nx nx x三、其它类型极限求法除00型与∞∞型的未定式之外，还有,0∞⋅ ∞-∞，00，∞1，0∞等未定式，对这类未定式求极限，通常是利用代数恒等变形转化为00或∞∞型，然后用洛必达法则进行计算.例7 求x x x ln lim 0+→.解这是∞⋅0型，因此0lim 11lim 1ln lim ln lim 202000=-=-==++++→→∞∞→→xx xx x x x x x x x x . 例8 求).1sin 1(lim 0xx x -→ 解这是∞-∞型，因此0s i n c o s 2s i n lim cos sin cos 1lim sin sin lim )1sin 1(lim 00000000=-=+-=-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x x x x x x例9 求xx x 2tan 4)(tan lim +→π.解这是∞1型，因此ee eeex xx xxx xx x xx x x 1lim )(tan lim 1)cos sin 22sin (lim 2cot tan ln lim tan ln 2tan 42tan 444=====--⋅→→+→+→++ππππ. 但洛必达法则不是万能的.有时我们还会碰到某些特殊情形.例10 求xxx x sin lim+∞→.解这极限属于∞∞型，但因为xxx x sin lim+∞→1cos 1lim x x +=∞→∞∞不存在，所以不能用洛必达法则求这极限，事实上 x x x x sin lim +∞→101)sin 11(lim =+=+=∞→x xx例11 求xx x 21lim++∞→. 解 xx x 21lim++∞→221lim1122lim xx x xx x +=+=+∞→+∞→∞∞xx x x x x 221lim1221lim+=+=+∞→+∞→∞∞ 两次运用洛必达法则后，又还原为原来的问题，因此洛必达法则失效.事实上xx x 21lim++∞→111lim 2=+=+∞→xx 所以在使用洛必达法则时，应注意以下几点：（1）每次使用法则前，必须检验是否属于00型或∞∞型未定式.若不是，就不能使用该法则. 否则会导致错误的结果.并在计算的过程中，注意不断化简其中间过程，使之求极限顺利进行.（2）当)()(l i mx g x f ''不存在时，并不能断定所求的极限)()(lim x g x f 不存在，此时应该使用其它方法来求极限.（3）洛必达法则并不是万能的，在某些特殊情形下，洛必达法则会失效，需寻求其它解法.习题3-21、用洛必达法则求下列极限（1）x x x cos 2lim 2ππ-→；（2）x e e x x x -→-0lim ；（3）xx e xarc -+∞→cot lim ；（4）123lim 2331+--+-→x x x x x x ；（5）x xx 2tan ln 7tan ln lim 0+→；（6）xx x )1ln(lim 2+∞→；（7）x arc x x cot )11ln(lim++∞→；（8）xx x ln csc lim 0+→. 2、求下列极限（1）)111(lim 0--→x x e x ；（2）2tan )(lim xx x ππ-→；（3）xx x )arctan 2(lim π+∞→.3、求下列极限（1）xx x x sin 1sinlim20→；（2）3312lim++∞→x x x ；（3）xx xx x sin sin lim +-∞→； (4 )x x x x x e e e e --+∞→+-lim .§3-3 函数的单调性与极值函数)(x f y =单调性的考察，可用当21x x <时，比较)(1x f 与)(2x f 的大小来进行判定的.但判定)(1x f 与)(2x f 的大小并非是一件容易的事情.所以希望找到一种简单的判定方法.我们知道，如果函数)(x f y =在某区间上单调增加，其图形是一条沿x 轴正向上升的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非负，即0)(≥'='x f y ；若单调减少，其图形是一条沿x 轴正向下降的曲线，曲线上各点处的切线斜率为非正，即0)(≤'='x f y ，如图3-2.可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的联系.那么反之成立吗？定理3.4 设函数)(x f 在区间),(b a （1）如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么)(x f 在),(b a 内单调增加；（2）如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么)(x f 在),(b a 内单调减少.证明（1）在),(b a 内任取两点21,x x ，且21x x <，根据拉格郎日中值定理，存在一点ξ（21x x <<ξ），使))(()()(1212x x f x f x f -'=-ξ （1）因为在区间),(b a 内有0)(>'x f ，则（1）式中的0)(>'ξf ，而012>-x x ，因此由（1）式知)()(12x f x f >，这就是说)(x f 在),(b a 内单调增加.同理可证明结论（2）成立.有些可导函数在某区间内的个别点处导数等于零，但函数在该区间内仍是单调增加（或单调减少）.如函数3x y =的导数23x y ='，在0=x 时，0='y ，但它在区间),(+∞-∞内是单调增加.例1 判定函数13--=-x ey x的单调性.解因为函数的定义域为),(+∞-∞，其导数为3--='-xe y ，所以在整个定义域内都有0<'y ，故函数13--=-x e y x 在定义域内单调减少.有时，函数在其整个定义域上不具有单调性，但在其各个部分区间上却具有单调性，如图3-3所示. 函数)(x f 在区间],[],,[21b x x a 上单调增加，而在区间],[21x x 上单调减少，且从图3-3上容易看到，可导函数)(x f 在单调增加、减少的分界点处的导数为零，即0)()(21='='x f x f .使导数等于零的点（即方程0)(='x f 的实根），叫做函数)(x f 的驻点.因此要确定可导函数)(x f 的单调区间，首先要求出驻点，然后用这些驻点将其定义域分成若干个区间，再在每个区间上判定函数的单调性.例2 讨论函数)(x f x x x 2213123-+=的单调性解因为)1)(2(2)(2-+=-+='x x x x x f ，令0)(='x f ，得驻点1,221=-=x x .这两点将)(x f 的定义域),(+∞-∞分成三个部分：),1(),1,2(),2,(+∞---∞，下面用列表的形式来进行讨论，（表中“”表示单调增加，“ ”表示单调减少）根据上面的讨论可得：函数)(x f 在区间)2,(--∞和),1(+∞内单调增加，在区间（)1,2-内单调减少.另外，还需注意函数的不定义点，或是连续而不可导点也可能是单调区间的分界点.例3 确定函数32x y =的单调区间. 解函数的定义域为),(+∞-∞，而332x y ='，显然当0=x 又函数没有驻点.但当0>x 时，有0>'y ，函数在区间),0(+∞内单调增加；当0<x 时，有0<'y ，函数在区间)0,(-∞内单调减少. 二、函数的极值定义3.1 设函数)(x f 在),(0δx N 有定义，且对此邻域内任一点x )(0x x ≠均有)(x f )(0x f <，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值；如果对此邻域内任一点x )(0x x ≠均有)(x f )(0x f >，则称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点0x 称为从图3-5可知，关于函数的极值，应注意以下几点：（1）函数的极大值和极小值是局部概念，即如果)(0x f 是)(x f 的极值，只是对极值点0x 的左右近旁一个小范围来讲的.（2）函数在一个区间上可能会有几个极大值和几个极小值，且其中的极大值未必比极小值要大. 如图3-5，极大值)(1x f 就比极小值)(5x f 还要小.（3）函数的极值只能在区间内部取到.求极值的关键是找出极值点，从图3-5中看到，对可导函数来讲，在取得极值处，曲线的切线是水平的，即在极值点处函数的导数为零.但反之不成立.如0)(3='x f .定理3.5（极值存在的必要条件）设函数)(x f 在点0x 处导数存在，且在0x 处取得极值，则函数)(x f 在0x 处的导数0)(0='x f ，即0x 是函数)(x f 的驻点.注意，定理 3.5仅是极值存在的必要条件，而非充分条件.如函数3x y =，在0=x 处有00='=x y ，但00==x y不是极值.该定理说明可导函数的极值点必是驻点，而驻点却未必是极值点.对于一个连续函数，它的极值点还可能是使导数不存在的点.如)(x f ||x =，显然，)0(f '不存在. 但0=x 且是它的一个极小值点，在||)(x x f =图形上，)0,0(称为曲线的尖点.因此，连续函数有可能取得极值的点是驻点与尖点. 但问题是这些点满足什么条件才能为极值点，观察图3-5，得下面判定函数极值的一个充分条件.定理 3.6 （极值存在第一充分条件）设函数)(x f 在点0x 连续，在),ˆ(0δxN 内可导（0x 可除外），当x 由小增大经过0x 时，如果：（1）)(x f '的符号由正变负，则)(x f 在点0x 处取得极大值；（2）)(x f '的符号由负变正，则)(x f 在点0x 处取得极小值；（3）)(x f '的符号不变，则)(x f 在点0x 处取不到极值.证明（1）由条件，)(x f 在点0x 左近旁单调增加，在点0x 右近旁单调减少，即当0x x <时，有)()(0x f x f <，当0x x >时，有)()(0x f x f <，因此)(x f 在点0x 处取到极大值.同理可证明结论（2）、（3）.此外还可利用二阶导数来判定极值.定理3.7（极值存在的第二充分条件）设函数)(x f 在),(0δx N 内有二阶导数)(x f ''存在且连续，又0)(0='x f ，如果（1）0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 处取得极大值；（2）0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 处取得极小值.（证明从略）例4 求函数322)4()(-=x x f 的极值.解因为)2(434)(32±≠-='x x x x f ，令 0)(0='x f ，得驻点 0=x ，所以函数有驻点0=x ，尖点2±=x 列表考察)(x f '的符号故当=x 0时，函数)(x f 有极大值316，当=x 2±时，函数)(x f 有极小值0. 例5 求函数x x x f sin 23)(+=在区间]2,0[π内的及值解因为x x f cos 23)(+='，x x f sin 2)(-=''.令 0)(0='x f ，得驻点 67,6521ππ==x x 而01)65(<-=''πf ，所以=)65(πf 1635+π为极大值； 01)67(>=''πf ，所以1637)67(-=ππf 为极小值. 例6 求函数)(x f =1)1(32+-x 的极值. 解函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞32)1(6)(-='x x x f 由0)(0='x f ，得驻点1,0,1321==-=x x x .列表：故函数)(x f 在0=x 处有极小值0)0(=f ，而1,131=-=x x 不是极值点.三、函数的最值问题在实际生活中，常会遇到：在一定条件下，怎样使“产量最高”、“用料最省”、“成本最低”、“耗时最少”等问题.这一类问题在数学上可归结为函数的最大值、最小值.因为在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 一定存在最大值和最小值. 由于函数的最值可在区间内部取到，也可在区间的端点上取到，如果是在区间内部取到，那么这个最值一定是函数的极值，因此求)(x f 在区间],[b a 上的最值，可求出一切可能的极值点（驻点及尖点）和端点处的函数值，进行比较，其中最大者就是函数的最大值，最小者就是函数的最小值.例7 求函数6424+-=x x y 在区间]3,3[-上的最大值和最小值. 解因为x x y 843-='令,0='y 得驻点 2,0,2321==-=x x x因此 51,6,232===±==±=x x x yyy而.经比较，得函数的最大值为51=y如果函数)(x f 在一个开区间内连续且有惟一的极值点0x ，则当)(0x f 为极大值时，)(0x f 就是)(x f 在该区间上的最大值；当)(0x f 为极小值时，)(0x f 就是)(x f 在开区间上的最小值（见图3-7）.例8 求函数1)1()(32+-=x x f .解由例6可知，0=x 是函数)(x f 极小值点，且在整个定义域中极值点是惟一的，故函数的极小值就是函数的最小值，为0)0(=f ，不存在最大值.下面讨论求最值的应用题.在实际问题中，往往可以根据实际情况断定函数)(x f 在其定义区间内确有最值存在，而当可导函数)(x f 在这定义区间内又只有惟一的驻点0x ，则可断定)(x f 在点0x 处取到了相应的最值.例9 有一块长为a ，宽为a 83的长方形铁片，将它的四角各剪去一个大小相同的小正方形，四边折起，做成一个无盖的长方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，其容积最大.解如图3-8，设小正方形的边长为x ，则其容积为x a ax x x a x a x x V 223834114)283)(2()(+-=--=，（a x 1630<<）)83)(121(128321112)(22a x a x a ax x x V --=+-='得驻点 a x 1211=，a x 832=（舍）a 1211是惟一的驻点，又该实际问题的最值一定存在，故当小正方形的边长为a x 1211=时，长方体的容积最大.例10 设铁路边上离工厂C 最近的点A 距工厂20km ，铁路边上B 城距A 点200km ，现要在铁路线AB 上选定一点D 修筑一条公路，已知铁路与公路每吨千米的货运费之比为3：5，问D 选在何处时，才能使产品从工厂C 运到B 城的每吨货物的总运费最省？（图3-9）解设D 点选在距离A 处x 千米，又设铁路与公路的每吨千米货运费分别为k k 5,3（k 为常数）则产品从C 处运到B 城的每吨总运费为BD k CD k y ⋅+⋅=35)200(340052x k x k -+= )2000(≤≤x因为，222400)40035(34005xx x k k xx ky ++-=-+='令0='y ，即240035x x +=，得15=x . 将 k yx 68015==，与闭区间]200,0[端点处的函数值比较，由于k yx 7000==，k k yx 1000404005200>==，因此，当D 点选在距离A 点km 15处，这时每吨货物的总运费最省.习题3-31、求下列函数的单调区间：（1）xxe y =；（2）7186223---=x x x y ；（3）)1ln(+-=x x y ；（4）322)1()12(x x y --=.2、求下列函数的极值：（1）1156)(23+-+=x x x x f ；（2）4334)(x x x f -=；（3）32)1()(x x x f -=；（4）)20(,cos sin )(π≤≤+=x x x x f . 3、已知函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值12-，试确定系数b a ,的值. 4、求下列函数在给定区间上的最值：（1）,62)(24+-=x x x f ]3,2[-；（2）4)1()(+=x x f ， ),(+∞-∞.5、如图3-10，三块长度一样，宽为a 的木板，做成一横截面为等腰梯形的水槽，问如何安装，水槽的横截面面积最大？6、从直径为d 的圆木中切出横截面为矩形的梁，此矩形的长为b ，宽为h ，若梁的强度与2bh7、图3-11，某矿物局拟从A 处掘一巷道至C 处，设AB 长为600m ，C 到AB 的距离为200m ，若沿水平AB 方向掘进费用5元/m ，水平面以下是岩石，掘进费用13元/m ，问怎样掘法费用最省？§3-4 曲线的凹凸性与拐点为了进一步研究函数的特性并正确地作出函数的图形，需要研究曲线的弯曲方向.在几何上，曲线的弯曲方向是用曲线的“凹凸性”来描述的.一、曲线的凹凸性从图3-12（a ），（b ）可以观察到.定义3.2 如果在某区间内的连续且光滑曲线弧总是位于其任一点切线的上方，则称此曲线弧在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧总是位于其任一点切线的下方，则称此曲线弧在该区间内是凸的，相应的区间分别称为凹区间与凸区间.从图3-12还可以看到如下事实：对于凹的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而增大，即()f x '单调增加；对于凸的曲线弧，其切线的斜率()f x '随着x 的增大而减少，即()f x '单调减少.而函数()f x '的单调性又可用它的导数，即()f x 的二阶导数()f x ''的符号来判定，故曲线()y f x =的凹凸性与()f x ''的符号有关.定理3.8 设函数()f x 在区间(,)a b 上具有二阶导数.（1）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''>0，那么曲线在(,)a b 上是凹的；（2）如果在区间(,)a b 上，有()f x ''<0，那么曲线在(,)a b 上是凸的. 例1 判定曲线ln y x =的凹凸性. 解函数的定义域为(0,)+∞，而 211,y y x x'''==- 因此曲线ln y x =在(0,)+∞内是凸的.例2 讨论曲线3y x =的凹凸区间.解函数的定义域为(,)-∞+∞， 23,6y x y x '''==显然，当0x >时，0y ''<；当0x <时，0y ''>.因此(,0)-∞为曲线的凸区间，(0,)+∞为曲线的凹区间.二、曲线的拐点在例2 中，点(0,0)为凸的曲线弧与凹的曲线弧的连接点，对这种点有如下定义. 定义3.3 在连续曲线上，凹凸曲线弧的分界点，称为曲线的拐点. 下面来讨论曲线()y f x =拐点的求法.由于拐点是曲线凹凸弧的连接点，如果()f x ''存在且连续，则在拐点的左右近旁()f x '' 必然异号，因此曲线拐点的横坐标0x ，是可能使()f x ''=0的点，从而可知求拐点的步骤为：（1）求()f x ''；（2）令()f x ''=0，解出方程()f x ''=0在某区间内的实根0x ；（3）对每一个实根0x ，考察()f x ''在0x 的左右近旁的符号，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相反，则点00(,())x f x 是拐点，若()f x ''在0x 的左右近旁的符号相同，则点00(,())x f x 不是拐点.例3求曲线453151x x y -=的凹凸区间与拐点. 解函数的定义域为(,)-∞+∞3434x x y -='，)1(444223-=-=''x x x x y 令 0y ''=，得 1,0==x x .由于0=x 的左右近旁y ''不改变符号，（0，0）不是拐点.当1<x 时，0<''y ；当1>x 时，0>''y . 所以曲线在)1,(-∞内是凸的，在+∞,1(）内是凹的；（)152,1-为拐点. 注意：使()f x ''不存在而()f x 连续的点，也可能成为曲线的拐点. 例4 求曲线53y x =的拐点. 解定义域为(,)-∞+∞，2353y x '=，1310,(0)9y x x -''=≠ 因为令0y ''=时，方程 131009x -=无解.而当0x <时，0y ''<；当0x >时，0y ''>，即曲线在区间(,0)-∞内是凸的，在区间(0,)+∞内是凹的，又曲线在点0x =处是连续的，所以点（0，0）是曲线的拐点.三、函数绘图 1、渐近线定义3.4 如果一动点沿某曲线变动，其横坐标或纵坐标趋于无穷远时，它与某一固定直线的距离趋向与零，则称此直线为曲线的渐近线.例如直线 0,0x y x ya b a b-=+=为双曲线12222=-b y a x 的渐近线.但并不是所有的曲线都有渐近线，下面只对两种情况的渐近线予以讨论.（1）水平渐近线如果当自变量x →∞时，函数()f x 以常量C 为极限，即lim ()x f x C →∞=，则称直线y C =为曲线()y f x =的水平渐近线.（2）铅直渐近线（或垂直渐近线）如果当自变量0x x →时，函数()f x 为无穷大量，即0lim ()x x f x →=∞，则称直线0x x =为曲线()y f x =的铅直渐近线.说明：对x →∞时，有时也可能仅当x →+∞或x →-∞；对0x x →，有时也可能仅当0x x +→或0x x -→.例5 求下列曲线的水平或垂直渐近线.（1）3223x y x x =+- （2）22x y -=.解（1）因为323lim 23x x x x →-=∞+-， 321l i m 23x x x x →=∞+- 所以直线 3,1x x =-=是两条铅直渐近线.（2）因为220x x -=，所以直线0y =为其水平渐近线.2、函数图形的描绘利用导数描绘函数图形的一般步骤为：（1）确定函数的定义域，考察函数的奇偶性、周期性；（2）确定函数的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点；（3）考察渐近线；（4）作一些辅助点；（5）由上面的讨论，画出函数的图形.例6 作函数32()31f x x x =-+的图形.解（1）函数定义域为(,)-∞+∞；（2）2()36f x x x '=-，令()0f x '=得 120,2x x ==；f ''”表示上升且为凸的， ”表示上升且为凹的.（3）无渐近线；（4）取辅助点（1,3)--、（3（6）画图（如图3-13）例7作函数1)2(12---=x x y 解定义域为2()2,(⋃-∞42)2()2)(1(2)2(-----='x x x x y 令0='y ，得0=x ；623)2()2(3)2(=-----=''x x x x y 令0=''y ，得1-=x ；渐近线：因为∞=---+→]1)2(1[lim 22x x x ，所以2=x 是铅直渐近线；又因为1]1)2(1[lim 2-=---∞→x x x ，所以1-=y 是水平渐近线. 作辅助点：（)1,1-、)0,255(-、)45,0(-. 作图：（如图3-14）习题3-41、判定下列曲线的凹凸性：（1）)0(2≠++=a cbx ax y ；（2）x x y arctan =.2、求下列曲线的拐点及凹凸区间：（1）53523-+-=x x x y ；（2）321--=x y .3、求下列曲线的水平或垂直渐近线：（1）1232-+-=x x x y ；（2）x e y 1=；（3）)1ln(xey +=；（4）11+-=x e y x . 4、作函数的图形：（1）1612823++-=x x x y ；（2）2x e y -=；（3）3443x x y -=；（4）xxey -=.*3-5曲率在生产实践中常会遇到曲线弯曲程度的问题，如梁在荷栽的作用下会产生弯曲变形，设计时对梁的允许弯曲程度就要有一定的限制.又如设计铁路的转弯，需选择适当的曲线来衔接，使火车能平稳地转入弯道.曲线的弯曲程度在数学上是用曲率来描述的.在研究曲率之前，先介绍弧微分的概念.一、弧微分设曲线C （如图3-15）的方程是)(x f y =，且)(x f 在区间),(b a 内具有连续导数，在曲线C 上固定一点A 作为度量弧长的起点，通常规定x 增大方向作为弧的正向，从点A 到曲线上任一点))(,(x f x M 之间的弧长为s （即⋂AM ）.显然，弧长s 是随点))(,(x f x M 的确定而确定的，即s 是x 的函数，记为)(x s s =，为了方便起见，假定s 是x 的单调增加函数. 图3-15现在要求弧长)(x s s =的微分ds .但由于给出的是曲线方程)(x f y =，而)(x s s =是未知的，因此需寻求一种关系，使ds 能由)(x f y =或其导数来表出.设x ，x x ∆+),(b a ∈分别对应曲线上点M ，N ，⋂==AM x s s )( 则改变量⋂=∆MN s ，因此弧长s 关于x 的变化率为xsdx ds s x ∆∆=='→∆0lim 在直角三角形MPN 中，22222||||||||||y x PN MP MN ∆+∆=+=可变形为 2221||⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x y x s s MN注意到，当x ∆足够小时，弧的改变量⋂=∆MN s 和弦||MN 足够接近，即1||||≈=∆⋂MNMN s MN 可以证明：当0→∆x ，即 M N →时 1||l i m ||l i m0==∆⋂→→∆MNMN s MN MN x因此 ]1[lim ||lim 2220⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛∆→∆→∆x y x s s MN x x 即 221⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx ds开方得 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=dx ds dx ds 考虑到上面的规定，s 是x 的单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有dx dx dy ds 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 或 dx dy dx ds 22)()(+=.这就是弧微分公式.例1 求曲线123++=x x y 的弧微分. 解因为232+=x dxdy，所以有曲线弧微分公式 dx dx dy ds 21⎪⎭⎫⎝⎛+=dx x x dx x 5129)23(12422++=++=例2 求曲线⎩⎨⎧-=-=211t y tx 的弧微分. 解由弧微分公式得22)()(dy dx ds +=dt t tdt dt 22241)2()(+=-+-=二、曲率有了弧微分的概念，就可以对曲线的弯曲程度进行研究了.为了从数量上刻画曲线的弯曲程度，先从几何图形上直观地分析曲线的弯曲程度与哪些量有关.设有两条光滑的曲线l 与l '，在这两条曲线上各取长度相等的弧段⋂11N M 和⋂22N M （见图3-16（a ）、（b ））.且当动点沿弧段从)(21M M 移动到)(21N N 时，在动点处的切线也相应地沿着弧段在转动，切线转过的角度（简称转角）记为)(21αα∆∆，显然⋂11N M 的弯曲程度要比⋂22N M 的弯曲程度小，而转角1α∆也比转角2α∆小，这就是说，两曲线弧的长度相等时，其转角小（大）的曲线弧的弯曲程度小（大），即曲线的弯曲程度与转角成正比.但从图3-16（c ）中可以看到，有相同转角的两个小弧段，弯曲程度也不同.因此转角的大小还不能完全反映曲线的弯曲程度，在图3-16（c ）中的两个小弧段⋂33N M 和⋂44N M 中，短的曲线弧⋂44N M 比长的曲线弧⋂33N M 弯曲得厉害些，由此可见曲线的弯曲程度与弧长成反比.根据以上分析，弧的弯曲程度可用弧两端的切线的转角α∆与弧长⋂MN 之比⋂∆MNα来刻划.，即 ⋂∆=MNK α一般说来，曲线上各点处的弯曲程度不一定都是相同的，弧的平均曲率只能表示整段弧的平均弯曲程度. 为了更精确地描述曲线在各点的弯曲程度，我们给出曲线上某一点的曲率定义.定义3-5 设M 、N 是曲线l 上两点，当点N 沿着曲线趋于点M 时，若弧段⋂MN 的平均曲率K 有极限，这极限称为曲线在点M 的曲率，记作K ，即⋂→→∆==⋂⋂MNK K MN MN α0lim lim例3 求半径为R 的圆上任一点的曲率.解如图3-17所示，圆上任一段⋂MN ，其平均曲率为RR K 1=∆⋅∆=αα其上任一点的曲率为R RK K MN MN 11lim lim 00===→→⋂⋂ 上述结论说明，圆上任一点处的曲率K 都等于半径R 的倒数，即圆周的弯曲程度是均匀的，且半径愈小，曲率愈大，即弧弯曲的越厉害，这与直观是相符的.下面介绍曲率的计算公式.设曲线l 的方程为)(x f y =，点),(y x M 是曲线上任一点，点),(y y x x N ∆+∆+为曲线上异于M 的点.若设切线MT 的倾斜角为α，则切线T M '的倾斜角为αα∆+，得⋂MN 的转角为α∆（图3-18）曲线上点A 作为弧长的起点，故可设,s AM =⋂ 则s MN ∆=⋂因此，⋂MN 的平均曲率为sMNK ∆∆=∆=⋂αα 由曲率的定义，在点),(y x M 的曲率为ds d sMNK MN MN ααα=∆∆=∆=→⋂→⋂⋂00lim lim 因为切线的斜率为y '=αtan两边微分得 dx y d ''=αα2sec 所以 dx y y dx y dx y d 222)(1tan 11sec 1'+''=''+=''=ααα而 dx y ds 2)(1'+=故 23222])(1[||)(1)(1||y y y y y ds d K '+''='+'+''==α由此，得曲率的计算公式为 232])(1[||y y K '+''=.另外，由于圆的半径等于圆的曲率的倒数，所以对于一般的曲线，把它在各点的曲率的倒数称为在该点的曲率半径，记为R ，因此KR 1=. 例4 求直线b ax y +=的曲率. 解 a y ='，0=''y所以，直线b ax y +=上任一点处的曲率为 232])(1[||y y K '+''==0除直线上点的曲率为零外，还有曲线的拐点（在二阶导数存在的情况下）处的曲率也为零. 例5 求曲线xe y =上曲率达到最大的点.解因为 xe y ='，xe y ='' 所以 232)1(x x e e K +=252232212232)1()21()1(2)1(23)1(x x x x xx xxxe e e e e e e e e K +-=+⋅+-+=' 令0='K ，得驻点 2ln 21-=x当2ln 21-<x 时，0>'K ；当2ln 21->x 时，0<'K ；当2ln 21-=x 时，K 取得最大值，即曲线xe y =上点)22,2ln 21(-处，曲率最大. *习题3-51、求下列曲线的弧微分（1）)ln(sec x y =；（2）342+-=x x y ；（3）e xy e y=+；（4）⎩⎨⎧==-ttey e x 2. 2、求下列曲线在指定点处的曲率：（1）222+-=x x y 的顶点处；（2）1222=+y x 的)1,1(点处. 3、对于曲线弧x y ln =上哪一点处的曲率最大？本章内容小结1、基本概念未定型、极值点、驻点、极值、最值、凹的曲线弧、凸的曲线弧、拐点、渐近线、水平渐近线、铅直渐近线、弧微分、平均曲率、曲率.2、基本方法用洛必达法则求未定型的极限，函数单调性的判定，单调区间的求法，可能极值点的求法与极值的求法，连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法，求实际问题中的最大值（最小值）的方法. 曲线的凹凸区间及拐点的求法，曲线的渐近线的求法，一元函数图形的描绘方法.3、定理拉格朗日中值定理及两个推论，罗尔中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定定理，极值的必要条件，极值的第一充分条件，极值的第二充分条件，凹凸曲线弧的判别法则.4、要求理解微分中值定理；会利用洛必达法则求极限；能熟练运用函数单调性判别法和凹凸性判别法来判别函数的单调性和凹凸性；理解极值的概念，掌握极值与最值之间的关系，会求解现实情况中的最值问题. 学习本章的知识并不是我们的最终目的，最终目的是运用它们来解决现实问题.复习题三1、求下列极限：（1）xxx 3sin 5tan lim π→；（2）n n m m a x a x a x --→lim ；（3）2321lim4--+→x x x ；（4）xx xx x x sin cos sin lim20-→；（5）xx x x x ln ln lim 2++∞→；（6）xx x 1arctan)11ln(lim ++∞→；（7）23lim x e x x +∞→；（8）xxx ln ln lim +∞→；（9）)tan (sec lim 2x x x -→π（10）)1cos 1(lim 2xx x -∞→.2、求下列函数的单调区间与极值：（1）2)2(x x y -=；（2）xex y -+=；（3）26432+-=x x y ；（4）22)4(-=x y ；（5）],0[,12cos 2sin π∈-+=x x x y ；（6）211xy +=. 3、求下列函数的最值：（1）]4,0[,149323∈+--=x x x x y ；（2）]3,3[,122-∈+=x x xy . 4、求下列函数的凹凸区间：。

医学高数8(中值定理洛必达法则)

第四节中值定理洛必达法则一、中值定理二、洛必达法则
一、中值定理定理2-1 （罗尔 ( Rolle ) 中值定理）中值定理）定理上连续，如果函数 f (x) 在闭区间 [a , b]上连续，在开区间上连续 (a , b) 内可导，且 f (a)=f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少内可导，成立。存在一点 ξ (a<ξ<b), 使得 f′(ξ )=0 成立。证明（1）若函数 f (x) 在） y C 闭区间 [a , b]上为常数，上为常数，上为常数因而，则 f′(x)=0 ，因而， (a , b) 内任何一点都可取作 ξ。（2）若函数 f (x) 在 [a , b] 上）不是常数, 不是常数必存在最大值 M 和 o a ξ ξ1 b x 最小值 m，且 M 与 m 至少有一个不等于 f (a) 。，
f ′(ξ ) f ( x) − f ( x0 ) f ( x) = = g ′(ξ ) g ( x) − g ( x0 ) g f (ξ ) f (ξ + ∆x) − f (ξ ) ∆x → 0 , ≥ 0 lim− ≥0 ∆x →0 ∆x ∆x 二者又相等，成立。二者又相等，所以 f′(ξ )=0 成立。
−
罗尔中值定理的几何意义：罗尔中值定理的几何意义：一段连续曲线 y =f (x) 除端点外，轴的切线（即可导），），且端点外，处处有不垂直于 x 轴的切线（即可导），且在两个端点处的纵坐标相等（），则在该在两个端点处的纵坐标相等（即 f (a)=f (b)），则在该），段曲线上至少有一点 (ξ, f (ξ )) 的切线与 x 轴平行。轴平行。不求导，例2-26 已知 f (x)=(x-1)(x-2)(x-3) 。不求导，判断方的实根个数和范围。程 f′ (x)=0 的实根个数和范围。的连续性和可导性是明显的，解 f (x)的连续性和可导性是明显的，且 f (1) = f (2)= 的连续性和可导性是明显的 f (3) =0，故在区间，2]、[2，3]上均满足罗尔中值定，故在区间[1，、，上均满足罗尔中值定理的条件，则在（，）内至少存在一点ξ 理的条件，则在（1，2）内至少存在一点ξ1，使得 f′ (ξ 1)=0；在（2，3）内至少存在一点ξ2 ，使得；，）内至少存在一点ξ f′ (ξ 2)=0。而 f′ (x)=0 是一元二次方程，最多有两个实是一元二次方程，。分别在开区间（，）、（）、（2，）根，分别在开区间（1，2）、（，3）内。

3_1中值定理

因此 ( x1 , x2 ), 使得[ ex f (x ) ] x 0
整理得f ( ) f ( ) 0.
例3 设 f (x)在[0,1] 连续，(0,1) 可导，且 f (1) 0 ,
求证存在 (0,1),使证明设辅助函数 (x) xn f (x) 显然 (x) 在 [0,1]上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0,1) , 使得
但在x 0处不可微，当然也不能有f 0 0. (2)此定理只是 f x取得极值的必要条件 ,而非充分条件 ,
例如函数y x3,
虽然f 0 0，但x 0不是极值点.
(3)几何上可微函数在极值点处的切线是水平的. (4)通常称导数为零的点为函数的驻点.
3.1.2、罗尔( Rolle )定理
提示: 由结论可知, 只需证
即
f (x )sin x x 0
设
F(x) f (x)sin x
验证 F (x ) 在 [0, ] 上满足罗尔定理条件.
柯西(1789 –
1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学, 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本《柯,
B
端点处的纵坐标相等，则 AB
上至少存在一异于A、B的点
x C，使 AB 在该点的切线平行于x轴（平行于弦AB）
例1 证明方程
有且仅有一个小于1的
正实根 .
证明 1) 存在性 .
设 f (x) x5 5x 1, 则 f (x) 在[0,1] 连续 ,且
由介值定理知存在 x0 (0,1), 使
f (x0 ) 0, 即方程有小于 1的正根
2) 唯一性 .
假设另有

中值定理和洛必达法则

(ln x)
x 1
lim
x 1
1 x
1，
故此极限属于 0 型 .由洛必达法则Ⅰ得 0
ln x
(ln x)
lim
x 1
x
1
lim
x 1
x
1
1.
中值定理和洛必达法则
例4
解
属于 0 型，用洛必达法则Ⅰ得 0
原式 lim (ex cos x) lim ex sin x .
x0
x2
x0 2x
x
x2
lim
x0
3x2
1. 3
注意:
计算极限时，也可以将洛必达法则 I 和等价无穷小结合起来使用，以便简化计算. 该题用了两次等价无穷小代换，用了一次洛必达法则Ⅰ.
中值定理和洛必达法则
例6
解
原式 lim 1 e x0 x
2e2x ex 3x 1
lim
x0
x2
2e2x ex 3x 1
注意:
根据洛必达法则Ⅰ，求导后的结果可以是有限数A，也可以是，或 .
中值定理和洛必达法则
例5
解
属于 0 型，先将分母中的sin x用等价无穷小进行代换，原式变为lim x
0
x0
tan x x3
，然后
再使用洛必达法则Ⅰ进行求解，有
原式
1 sec2
lim
x0
3x2
x
lim
x0
tan2 3x2
经济数学
中值定理和洛必达法则
1.1 中值定理
引例
在区间 a ，b内可导函数y f (x)的图像如图3 1所示，它
是一条光滑的曲线.这条曲线的两个端点A、B的纵坐标相等，即

洛必达法则汇总

1 f ( t ) 0, t f ( t ) t ln t 在 ( x , y ) 或 ( y, x ), x 0, y 0 是凹的. 1 x y 于是 [ f ( x ) f ( y )] f ( ) 2 2 1 x y x y 即 [ x ln x y ln y ] ln , 2 2 2 x y 即 x ln x y ln y ( x y ) ln . 2
直线 y x 为曲线 y 的斜渐近线 .
(4) 以函数的不连续点( x 1), 驻点 ( x 3, x 0, x 3 ) 和可能拐点的横坐标为分点,
列表如下:
x (, 3) 3 ( 3,1) 1 ( 1,0) 0
y
( 0,1)
y

0
极大值
(2) 函数的极值及其求法
定义设函数f ( x )在区间(a , b )内有定义, x0是(a , b )内
的一个点, 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极大值; 如果存在着点x0的一个邻域, 对于这邻域内的任何点x ,除了点x0外, f ( x ) f ( x0 )均成立, 就称 f ( x0 )是函数f ( x )的一个极小值.

0 0
拐点

yHale Waihona Puke xy1(1, 3 )
3
( 3,)

0
y
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
实际问题求最值应注意:
1)建立目标函数; 2)求最值; 若目标函数只有唯一驻点，则该点的

3-1中值定理与洛必达法则

柯西中值定理与洛必达法则

(整理)第六节 洛必达法则

中值定理与洛必达

高等数学李伟版课后习题答案第三章

经典洛必达法则

洛必达法则

罗尔、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则、泰勒公式等与导数的应用

洛必达法则

拉格朗日中值定理洛必达法则

中值定理与洛必达法则教案

中值定理与洛必达

3-1中值定理(08)

考研：洛必达法则

医学高数8(中值定理 洛必达法则)

3_1中值定理

中值定理和洛必达法则

洛必达法则汇总

(整理)第六节洛必达法则

医学高数8(中值定理洛必达法则)