3-1中值定理与洛必达法则

0
ln sin ax ( ) . 例4 求 lim x 0 ln sin bx a cos ax sin bx cos bx 解: 原式 lim lim 1. x 0 b cos bx sin ax x 0 cos ax tan x 求 lim . ( ) 例5 x tan 3 x 2 sec2 x 1 cos 2 3 x 解: 原式 lim lim 3 sec2 3 x cos 2 x 3 x x
Cauchy 中值定理
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.
四.
洛必达法则
( 或 型)
函数之商的极限
转化
洛必达 洛必达法则
导数之商的极限
洛必达(1661 – 1704)
法国数学家，受袭侯爵，并
担任骑兵军官。15岁时就解出帕
斯卡的摆线难题，后因视力不佳
退出军队，投入瑞士数学家约翰

(cot x )
1 ln x
e
lim
x 0
cos x sin x
1,
原式 e 1 .
注意：洛必达法则的使用条件
x 1 lim 1 例11 lim x 0 1 sin x x 0 cos x x 0 不是 实际上 lim 0 x 0 1 sin x 1 0
在[1,3]上连续 , 在(1,3)上可导 , 且 f (1) f (3) 0,
f ( x ) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f ( ) 0.
二.拉格朗日(Lagrange)中值定理
如果函数 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 则 在区间 (a , b) 内至少存在一点 使 f (b) f (a ) f ( )( b a )
例如, lim tan x , ( 0 ) x 0 x 0
ln sin ax lim , ( ) x 0 ln sin bx
定理 设(1) 当 x a时, 函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零;
( 2) 在 a 点的某去心邻域内 , f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大); x a F ( x ) f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
cos x cos y sin x y x y ,
当x y时 cos x cos y 0 x y
因此 cos x cos y x y
三.柯西(Cauchy)中值定理
若 及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
〃伯努利门下学习。1696年写成
L‘Hospital
《无穷小分析》一书，这是世界上第一本系统的微 积分学教科书，全面阐述了变量、无穷小量、切线 、微分等概念，洛必达法则就出自该书的第九章。
0 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0
定义
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数 f ( x ) 与 F ( x ) 都趋于零或都趋于无穷大，那末 f ( x) 极限 lim 可能存在、也可能不存在．通 x a F ( x ) ( x ) 0 常把这种极限称为 或 型未定式. 0
f (b) f (a ) f ( ). ba
o a
1
2 b
x
拉格朗日中值公式
注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
推论 如果函数 f ( x ) , 在区间I 上的导数恒为 零,那么f ( x ) 在区间I 上是一个常数.
例
证明 arcsin x arccos x ( 1 x 1). 2 证: 设 f ( x ) arcsin x arccos x , x [1,1]
练习
P.64 7(2,7,8)
二、 0 , ,0 ,1 , 型未定式解法
0 0

1. 0 型
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 0 ( ), ( ) 的类型: . 0
1 1 步骤: 0 , 或 0 0 . 0 x 2e x . ( 0 ) 例7 求 xlim x x x ( e ) e e lim lim 解: 原式 lim 2 x ( x ) x 2 x x x 2 x
当x 时, 该法则仍然成立 .
f ( x) f ( x ) lim lim . x F ( x ) x F ( x )
0 tan x ( ) . 例1 求 lim x 0 0 x 2 (tan x ) sec x 解: 原式 lim 1. lim x 0 x 0 ( x ) 1
2 2
1 6 cos 3 x sin 3 x sin 6 x 6 cos 6 x 3. lim lim lim 3 x 2 cos x sin x x sin 2 x x 2 cos 2 x
2 2 2
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. tan x x . 例6 求 lim 2 x 0 x tan x 2 sec x 1 tan x x lim 解: 原式 lim 3 x 0 x 0 3 x2 x 2 sec2 x tan x 1 tan x 1 lim lim . x 0 6x 3 x 0 x 3
(
0 ) 0
解: 原式 lim

x
1 2 2 x 1 x lim 1. 2 1 x 1 x 2 x
对 型的未定式,有类似于定理的 洛必达法则: f ( x ) f ( x) lim lim A (或为) F ( x ) F ( x) 0
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
f ( x ) 0 如果 仍属 型，且 f ( x ), F ( x ) 满足 F ( x ) 0 定理的条件，可以继续 使用洛必达法则，即
f ( x) f ( x ) f ( x ) lim lim lim . x a F ( x ) x a F ( x ) x a F ( x )
0 0 ,1 , 0 型
0 型 0 型
令y f 取对数
g
0 型
f g f 1g
作业
P.64 3(3), 7(3, 5, 6, 9, 12)
3. 0 ,1 , 型
0 0

步骤:
00 0 ln 0 取对数 1 ln 1 0 . 0 0 ln
x 求 lim x . x 0
例9
( 00 )
x ln x
解: 原式 lim e
x 0
e
x 0
例
证明 cos x cos y x y
设 f ( t ) cos t
当x y时 f ( x ) 在 以x与y为 端 点 的 区 间 上 满足拉格朗日中值定的 理条件
证:
f ( x ) f ( y ) f ( )( x y ), ( 在x与y之 间)
cos x cos y sin ( x y ),
e . lim x 2
1 1 11 . 步骤: 0 0 0 0 1 1 例8 求 lim( ). () x 0 sin x x
解:
2. 型
x sin x x sin x 原 式 lim lim x 0 x sin x x 0 x2 1 cos x lim sin x 0. lim x 0 2 x 0 2x
(3)在开区间 ( a , b ) 内 则至少存在一点 使
f (b) f (a ) f ( ) . F (b ) F (a ) F ( )
小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
Rolle 定理
f (a ) f (b) Lagrange 中值定理 F ( x) x
f ( x ) 1 1 x
2
(
1 1 x
2
) 0.
f ( x ) C , x [1,1] 又 f (0) arcsin 0 arccos 0 0 , 2 2 即 C . arcsin x arccos x . 2 2
注意 : 与罗尔定理相比条件中 去掉了 f (a ) f (b). f (b) f (a ) 结论亦可写成 f ( ). ba
几何解释:
在曲线弧 AB 上至少有 一点 C , 在该点处的切 线平行于弦 AB.
y
C
M
y f ( x)
B
A
D
或 f (b) f (a ) f ( )(b a ).
第三章 导数的应用
罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 函数之商 应用
0 及 0
型的极限
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
§3.1 中值定理与洛必达法则
(一)中值定理
1.罗尔定理, 2.拉格朗日定理,3.柯西定理
(二)洛必达法则
一. 罗尔（Rolle）定理
如果函数 满足:
y
y f ( x)
(1) 在区间 [a , b] 上连续 o (2) 在区间 (a , b) 内可导 a x b (3) f ( a ) = f ( b ) 则 在区间 (a , b) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
例如, f ( x) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1).
x 3x 2 例2 求 lim 3 . 2 x 1 x x x 1
3 2
0 ( ) 0
3x 3 6 x 3 解: 原式 lim 2 lim . x 1 3 x 2 x 1 x 1 6 x 2 2

例3 求 lim 2
x
arctan x 1 x .

0 0
例12
解 原 式 lim 1 sin x lim (1 sin x).
x
x cos x 求 lim . x x
极限不存在
x

1
洛必达法则失效。
1 实际上 原 式 lim (1 cos x ) 1. x x
小结
洛必达法则
型
1 g 1 f f g 1 g 1 f
lim
1 x 1 x2
e
x 0
lim x ln x
e
ln x x 0 1 x lim
e 0 1.
例10
解:
求 lim Leabharlann Baiducot x )
x 0
1 ln x
.
1 ln(cot x ) ln x
( 0 )
1 1 2 1 cot x sin x lim ln(cot x ) lim x 0 ln x 1 x 0 x x