数学建模工件的加工次序问题

3,5,
6,7,
1,2,
期 工 3,4
5,9 -
4
4
-
4,7
5,12
8 件号i
1
9
7
14
6
1）若给出一个加工工序，则确定了每个工件的完工 时间（包括等待与加工两个阶段）。试设计一个满 足条件的加工顺序，使各工件的完工时间之和最小。 2）若第j号工件紧接着第 i号工件完工后开工，机床需 要花费的准备时间是： 3）假定工件的完工时间（包括等待与加工两个阶段） 超过一确定时限 u时，则需支付一定的补偿费用，其 数值等于超过时间与费用率之积，各工件的补偿费 用率ωi如下：
模型假设
? (1) 假设相邻工件之间的加工是紧挨着进行的， 即除了准备时间外，不浪费任何时间。
? (2) 假设机床在加工工件的过程中运转正常。 ? (3) 假设不会发生意外情况（机器坏掉、加工的
工件不能正常使用等。）
符号说明
? yi —第i号工件在加工流程中的加工序号
?
Z
—各工件完工时间之和
1
?
?
? m i ? 1表示第 个工件的完工时间超过了确定时限 u j=1,2…..14 ? m j ? 0 表示第 个工件的完工时间没有超过了确定时限 u
j=1,2…..14
模型建立与求解
? 1、总完工时间最优模型 ? 问题1中要求根据各个工件的加工时间，
以及其前期工件的要求，建立以总的 完工时间最少为目标的目标函数。在 加工时间一定的情况下，对其进行合 理的排序，使目标函数达到最小值。
问题重述与分析
? 现有14件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必 须安排在另一些工件加工完工以后才能开始，第j号工件的 加工时间tj及先期必须完工的工件号i由下表给出。
工
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
件号 j
tj
20
28
25
16
42
12
32
10
24
20
40
24
36
16
前
5,7,
10,1 3,8,
i?1
i?1
i?1
? (2) 约束条件分析 ? 设 是 的前期工件，则第 个工件的加工次序
应早于第 个工件的加工次序，所以
? 由题目当中的表可得约束条件为：
? y1? y 3 ? 1; y 2 ? y 8 ? 1; y 3 ? y 5 ? 1;
? y 3 ? y 9 ? 1; y 5 ? y10 ? 1; y 5 ? y11 ? 1; ? y 6 ? y 8 ? 1; y 7 ? y 4 ? 1; y 8 ? y 3 ? 1; ? y 9 ? y 4 ? 1; y11 ? y 7 ? 1; y12 ? y14 ? 1; ? y13 ? y12 ? 1; y14 ? y1? 1; y14 ? y 2 ? 1; ? y14 ? y 6 ? 1; ( y10 ? y11 ) 2 ? 1; ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1; ? ( y1 ? y 6 ) 2 ? 1; ( y 2 ? y 6 ) 2 ? 1; y13 ? 14 ; y 4 ? 1; ? y i 均为正整数， i=1,2,3…14。
? 第 个工件被等待的时间为(14 ? y i )t i ，则所有工件被等待的 时间为 14
? (14 ? y i )t i
i?1
14
? 所有工件的加工时间为 ? t i ? 345
i?1
14
14
14
? 因此总的完工时间之和为：Z 1? ? ? (14 ? y i )t i ? t i ? ? (15 ? y i )t i
j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
ωi 12 10 15 16 10 11 10 8 5 4 10 10 8 12
u=100，tij=0，安排一个加工顺序，使总补偿最小。 (4)试对(3)中的u进行讨论。 (5)能否对一般情况下上述各问题的解法进行一些讨 论。
问题分析
? 最终求解模型，结果如下： ? (1) 加工顺序为
4→10→9→7→11→5→3→8→6→1→2→14→12→13 时， 各工件的完工时间和最小，为 2588。
? (2) 加工顺序为 4→7→11→10→9→5→3→8→6→2→1→14→12→13 时， 机床花费的总时间最小，为 114。
? (3) 加工顺序为 4→7→11→10→5→9→3→8→6→1→2→14→12→13 时， 总补偿费最小，为 142.42。
Z
—机床花费的总时间
2
?
Z
—加工时的总补偿费
3
? wij —表示从节点 i(表示加工工件i)到节点j(表示加工工件 j)的准备
时间。
? xij—是0-1变量，表示是否选取直接从加工第 i号工件接替到加 工第j号工件这一顺序
?
0 ，表示选取了从加工 i号工件到加工 j号工件的顺序
?
x ij ?
{ 1
，表示不选取从加工 i号工件到加工 j号工件的顺序
? (1)模型建立
? 总的完工时间包括各工件的等待时间之和与各工件的加工 时间之和。由于各工件的加工时间之和是一定的，所以完 工时间最优问题等价于各工件等待时间总和的最优化问题。
? 设第 个工件的加工次序为 y i ，总的完工时间为 Z 1 。
? 每个工件都被其后置加工工件所等待，因此，总的工件等 待时间即每个工件被等待的时间总和。
? (4) 对u进行讨论，可分为以下几种情况 :u<92、 92=<u<108、108=<u<174、174=<u<199、 199=<u<209、209=<u<219、219=<u<269、 269=<u<309、309=<u<345、uBiblioteka Baidu>=345,并进而用lingo 可求出答案
? (5)把一般情况下上述各问题的解法进行的一些讨论。
工件的加工次序问题
孙瑜 张成伟 徐兆国
摘要
? 本文探讨的问题是如何安排工件的加工顺序以 使得各工件的完工时间之和最短、机床花费的 总时间最小、加工工件的总补偿费用最少。求 解这一问题主要用到了图论和线性规划的数学 方法。在第一问与第三问中，本文先将题中所 给出的数据、条件转换为图，在此基础上表示 出目标函数及约束条件，利用非线性规划求得 最优解。第二问中，文本利用了图论中哈密顿 链原理，将完成工件加工的问题转化为有向图 中点的遍历，所建立的模型可遍历哈密顿链中 的全部点且得到最短路径。
? 这五个问题都是要求一种最优加工次序，使得工件 完工时间和、机床花费时间、总补偿费分别达到最小。 由于题中安排了各工件的前期工件，所以解题时可以 先利用图论的知识将加工工件之间的先后关系表示出 来。由于第j号工件完工时间和补偿费与其前置加工工 件完工时间的累加密切相关，所以单纯用图论解决完 工时间和补偿费的最优化是很复杂的，但是可以在有 向图的基础上将目标函数、约束条件巧妙表示出来， 再结合非线性规划解出最优解。在第二问中，求得的 是机床花费总时间的最小值问题，实质就是要解决机 床的总准备时间最短的问题。该问题可转化为最短路 径问题，但是同时要考虑到各加工工件的前期工件。 这就需要构造一个好的有向图，再遍历点并求得最短 路径。