高三数学第一次模拟检测试题
浙江省嘉兴市2024届高三第一次模拟测试数学试题含答案
嘉兴市2024届高三第一模拟测试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知复数220231i i i z =++++ ，则z =（）A.0B.1C.D.【答案】A 【解析】【分析】化简复数z ，继而求模即可.【详解】220231i i i z =++++ ()()23420172018201920202021202220231i+i i +i i i +i i +i i +i =+++⋅⋅⋅++++15050i 1i 0=+⨯+--=则0z =，故选：A .2.已知集合πsin ,044k A k k ⎧⎫=∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 且，则集合A 的元素个数为（）A.3 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】将k 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合A ，即可得集合A 的元素个数.【详解】当0k =时，πsin sin004k ==，当1k =时，ππsinsin 442k ==，当2k =时，π2ππsin sin sin 1442k ===，当3k =时，π3πsin sin 442k ==，当4k =时，π4πsinsin sinπ044k ===，故0,,12A ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭，共三个元素.故选：A.3.已知向量()2,0a =，()0,3b = ，若实数λ满足()()b a a b λ-⊥+ ，则λ=（）A.49B.94C.1- D.1【答案】A 【解析】【分析】先表示出,b a a b λ-+的坐标，然后根据垂直关系得到λ的方程，由此求解出结果.【详解】因为()()2,3,2,3b a a b λλ-=-+=，且()()b a a b λ-⊥+ ，所以22330λ-⨯+⨯=，所以49λ=，故选：A.4.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.5.已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型： 1.4e 0.1250ety k -=⋅（00k >，当0=t 时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过n 年后(N)n ∈，当该物种的种群数量不足2023年初的10%时，n 的最小值为（参考数据：ln10 2.3026≈）（）A.16B.17C.18D.19【答案】D 【解析】【分析】确定2023年初的种群数量为0=t 时的函数值，根据题意可列不等式 1.4e 0.125 1.4e 00e 10%e tk k -⋅<⋅⋅，结合对数运算即可求得答案.【详解】由题意可知2023年初的种群数量为0=t 时的函数值 1.4e0e k ⋅，故令 1.4e 0.125 1.4e 00e10%e ty k k -=⋅<⋅⋅，即0.1251e 10t -<，则0.125ln10t >，ln108ln108 2.302618.42080.125t ∴>=≈⨯=，由于*n ∈N ，故n 的最小值为19，故选：D6.已知数列{}n a 满足10a =，231a a ==，令()*12N n n n n b a a a n ++=++∈．若数列{}nb 是公比为2的等比数列，则2024a =（）A.2024247- B.2024237+ C.2024247+ D.2024267+【答案】B 【解析】【分析】数列{}n b 是公比为2的等比数列，可得2nn b =，则有32nn n a a +-=，累加法结合等比数列求和公式，计算2024a .【详解】11230112b a a a =++=++=，数列{}n b 是公比为2的等比数列，则2nn b =，即()13123121222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a b b ++++++++-=++-++=-=-=，()()()()2024202420212021201820182015522a a a a a a a a a a =-+-+-++-+ ()67423202420242021201820152212242322221111877⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=+++++=+=+=- .故选：B【点睛】关键点睛：本题关键点是利用数列{}n b 的通项得到32nn n a a +-=，用累加法即可计算2024a .7.正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A.2B.94 C.3D.52【答案】C 【解析】【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以223332BG BE ==⨯⨯=，所以AG ==r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，2348OM ON ⎛⋅=-=- ⎪⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+ ()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，PO的最大值为44=，所以PM PN ⋅的最大值为23348⎛-= ⎝⎭.故选：C8.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为12PF F ∆的内心和重心，当IG x ⊥轴时，椭圆的离心率为A.13B.12C.2D.63【答案】A 【解析】【分析】结合图像，利用P 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MN ME的比值，再结合MIN ∆与MPE ∆相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令P 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接PO ，显然G 点在PO 上，连接PI 并延长交x 轴于点M ，连接G I 并延长交x 轴于点N ，GI x ⊥轴，过点P 作PE 垂直于x 轴于点E，设点00(,)P x y ，12(,0),(,0)F c F c -，则00,OE x PE y ==，因为G 为12PF F ∆的重心，所以00(,)33x y G ，因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，则有01212122()()23x PF PF F N NF F O ON OF ON ON -=-=+--==，又因为12+2PF PF a =，所以可得0012,33x xPF a PF a =+=-，又由角平分线的性质可得，011223=3x a F M PF x F M PF a +=-，而12=F M c OM F M c OM +-所以得03cxOM a=，所以0()3a c x MN ON OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3IN MN a c PEMEa c -==-，即0()3a c y IN a c-=-，因为1212121211()22PF F S PF PF F F IN F F PE ∆=++=即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，解得13c a =，所以答案为A.【点睛】本题主要考查离心率求解，关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也考查了重心坐标公式，以及内心的性质应用，属于难题.椭圆离心率求解方法主要有：（1）根据题目条件求出,a c ，利用离心率公式直接求解.（2）建立,,a b c 的齐次等式，转化为关于e 的方程求解，同时注意数形结合.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.正切函数是周期函数，最小正周期为πB.正切函数的图象是不连续的C.直线()ππZ 2x k k =+∈是正切曲线的渐近线D.把ππtan ,,)2(2y x x =∈-的图象向左、右平行移动πk 个单位，就得到tan y x =π(R,π)2x x k ∈≠+的图象【答案】ABC 【解析】【分析】根据正切函数的性质，以及它的的图象的特点，即可判断A ，B 。
陕西省2025届高三数学第一次模拟联考试卷文含解析
陕西省2025届高三第一次模拟联考文科数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，则A∩B=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集的定义，干脆运算，即可求解.【详解】由题意，集合A={x|-1≤x＜2}，B={x|0≤x≤3}，∴A∩B={x|0≤x＜2}．故选：B．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中熟记集合的交集定义和精确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.2.复数i（1+2i）的模是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解．【详解】由题意,依据复数的运算可得，所以复数的模为，故选D.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题。
3.若抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），求得的值，即可求解其准线方程．【详解】由题意，抛物线y2=2px的焦点坐标为（2，0），∴，解得p=4，则准线方程为：x=-2．故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，其中解答中熟记抛物线的标准方程，及其简洁的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解实力，属于基础题.4.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 64B.C. 80D.【答案】B【解析】【分析】依据三视图画出几何体的直观图，推断几何体的形态以及对应数据，代入公式计算即可．【详解】几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，所求表面积：．故选：B．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，以及几何体的体积计算，其中解答中推断几何体的形态与对应数据是解题的关键，着重考查了推理与计算实力，属于基础题。
福建省七地市2024届高三上学期第一次质量检测数学含答案解析
厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞ B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4 C.3π4 D.5π64.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3D.3π45.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-6.已知1a x x=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c> B.[1,1]x ∃∈-，b c>C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.1178.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2- B.4- C.2D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n = ，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．厦门市2024届高中毕业班第一次质量检测数学试题2024．1准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码．2．作答选择题时，用2B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑．3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液．4．考试结束后，考生上交答题卡．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 1z z ⋅=+（i 为虚数单位），则||z =（） A.12B.22C.1D.【答案】B 【解析】【分析】先求出复数z ，再求||z .【详解】由i 1z z ⋅=+，得()i 11z -=，即()()()i 1111i i 1i 1i 122z --===------，所以||2z ==，故选：B2.设集合{}22M x x =-≤≤，{}21xN y y ==+，则M N ⋃=（）A.[2,)-+∞B.(1,2]C.[1,2]D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】由指数函数值域求集合N ，应用集合并运算求结果.【详解】由题设{|1}N y y =>，故M N ⋃={}{}221{|2}x x y y x x -≤≤⋃=≥-.故选：A3.已知直线l 与曲线3y x x =-在原点处相切，则l 的倾斜角为（）A.π6B.π4C.3π4 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角.【详解】由231y x '=-，则0|1x y ='=-，即直线l 的斜率为1-，根据倾斜角与斜率关系及其范围知：l 的倾斜角为3π4.故选：C4.已知a ，b 为单位向量，若||||a b a b +=- ，则a b + 与a b - 的夹角为（）A.π3B.π2C.2π3 D.3π4【答案】B 【解析】【分析】根据已知，应用向量数量积的运算律求()()a b a b +⋅-即可判断夹角大小.【详解】由题意22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，则a b + 与a b - 的夹角为π2.故选：B5.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()21f x x x =-+，则(2)(0)f f +=（）A.2B.1C.8- D.9-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当0x <时，2()21f x x x =-+，所以()()()2222219f -=--⨯-+=，因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()229f f =--=-，且()00f =，所以(2)(0)9f f +=-故选：D6.已知1a xx=+，e e x x b -=+，sin c x x =，则下列结论错误的为（）A.[1,1]x ∃∈-，a c >B.[1,1]x ∃∈-，b c >C.[1,1]x ∃∈-，a c <D.[1,1]x ∃∈-，b c<【答案】D 【解析】【分析】举例即可判断ABC ；再根据基本不等式及三角函数的性质即可判断D.【详解】对于A ，当π6x =时，π63626π64a =+>+=，13222c =+=，此时a c >，所以[1,1]x ∃∈-，a c >，故A 正确；对于B ，当0x =时，2b =，c =b c >，所以[1,1]x ∃∈-，b c >，故B 正确；对于C ，当π6x =-时，π606πa =--<，13122c =-+=，此时a c <，所以[1,1]x ∃∈-，a c <，故C 正确；对于D ，当[]1,1x ∈-时，2e e x x b -=≥=+，当且仅当e e x x-=，即0x =时取等号，πsin 2sin 3c x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由[]1,1x ∈-，得πππ1,1333x ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，而ππππ1π,012332<+<<-+<，所以当π3x +，即π6x =时，πsin 2sin 23c x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以2≤c ，当且仅当π6x =时取等号，而π06≠，所以[1,1]x ∀∈-，b c >，故D 错误.故选：D.7.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图所示的1，5，12，22被称为五边形数，将所有的五边形数从小到大依次排列，则其第8个数为（）151222A.51B.70C.92D.117【答案】C 【解析】【分析】根据题图及前4个五边形数找到规律，即可得第8个数.【详解】由题图及五边形数知：后一个数与前一个数的差依次为4,7,10,13,16,19,22, ，所以五边形数依次为1,5,12,22,35,51,70,92, ，即第8个数为92.故选：C8.已知函数()f x 的定义域为R ，x ∀，y ∈R ，(1)(1)()()f x f y f x y f x y ++=+--，若(0)0f ≠，则(2024)f =（）A.2-B.4- C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法对,x y 进行赋值结合函数的周期可得答案.【详解】令0x y ==，得()()()()11000f f f f ⋅=-=，即()10f =，令0x =，得()()()()110f f y f y f y ⋅+=--=，得()()-=f y f y ，所以函数()f x 为偶函数，令1x y ==，得()()()2220ff f =-，令1x y ==-，得()()()()()202020f f f f f =--=-，()()2220f f ∴=，()()20f f ∴=或()()20f f =-，若()()20f f =，解得()00f =与已知()00f ≠矛盾，()()20f f ∴=-，即()()2222f f =，解得()22f =，()02f =-，令1y =，得()()()()1211f x f f x f x +⋅=+--，()()()2111f x f x f x ∴+=+--，()()11f x f x ∴+=--，()()2f x f x ∴+=-，∴()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4.()()202402f f ∴==-.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为π2B.()f x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称C.()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增D.若()f x 的图象关于直线0x x =对称，则01sin 22x =【答案】BC 【解析】【分析】根据正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误.【详解】由π()2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==，A 错；由2π2ππ()2sin 20333f ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，即2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，B 对；由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2[,]333x -∈-，显然()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 对；由题意00ππ5π2π2π326x k x k -=+⇒=+，故01sin 22x =±，D 错.故选：BC10.已知甲、乙两组数据分别为：20，21，22，23，24，25和a ，23，24，25，26，27，若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3，则（）A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同【答案】BD 【解析】【分析】根据已知平均数的关系求得28a =，再由极差、中位数、方差求法判断各项正误即可.【详解】由题设，2021222324252324252627366a ++++++++++=-，所以28a =，甲组数据中670% 4.2⨯=，故第70百分位数为24，A 错；甲乙组数据的极差都为5，B 对；乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为252625.52+=，C 错；由上易知：甲的平均数为22.5，乙的平均数为25.5，所以甲的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，乙的方差为2222221(2.5 1.50.50.5 1.5 2.5)6⨯+++++=3512，故两组数据的方差相同，D 对.故选：BD11.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若122F F =，且2ABF △的周长为8，则（）A.2a = B.C 的离心率为14C.||AB 可以为πD.2BAF ∠可以为直角【答案】AC 【解析】【分析】根据已知可得1c =、2a =，进而有12e =，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.【详解】由12221F F c c ==⇒=，如下图2ABF △周长为482a a =⇒=，故2223b a c =-=，所以，椭圆离心率为12e =，A 对，B 错；当AB x ⊥轴，即AB 为通径时2min 2||3b AB a==，且||24AB a <=，所以3||4AB ≤<，故||AB 可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时2BAF ∠最大，此时222222c 41os 2a a F c a BA +∠-==，且2(0,π)BAF ∈∠，故2max π)3(BAF =∠，即2BAF ∠不可能为直角，D 错.故选：AC12.如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且23AB =(0)EF x x =>，则（）A.//EF 平面ABCDB.二面角A EF B --随着x 的减小而减小C.当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D.当32BC =时，存在x 使得半径为32的球能内含于五面体ABCDEF 【答案】ACD 【解析】【分析】A 由线面平行的判定证明；B 设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，分析取最小值的对应情况即可判断；C 把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，取,AB GI 的中点,M H ，设π(0)2FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，结合()2FGI EKJ F ABIG V x V V --=-并应用导数研究最值；D 先分析特殊情况：ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，再借助左视图、正视图研究内切圆半径分析一般情况判断.【详解】A ：由题设//BC AD ，AD ⊂面ADEF ，BC ⊄面ADEF ，则//BC 面ADEF ，由面BCEF 面ADEF EF =，BC ⊂面BCEF ，则//BC EF ，BC ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ，则//EF 平面ABCD ，对；B ：设二面角A EF B --的大小为2α，点F 到面ABCD 的距离为h ，则3tan hα=，点F 到面ABCD 的距离，仅在面FAB ⊥面ABCD 时取得最大值，当EF x BC ==时tan α取最小值，即α取最小值，即二面角A EF B --取最小值，所以EF x =∈(0,)+∞，二面角先变小后变大，错；C ：当2BC =，如图，把五面体ABCDEF 补成直三棱柱FGI EKJ -，分别取,AB GI 的中点,M H ，易得FH ⊥面ABCD ，3FM =，设π(02FMH θθ∠=<≤，则3cos ,3sin MH FH θθ==，()2ABCDEFFGI EKJ F ABIG V x V V V --==-=113sin (26cos )23sin 3cos 23θθθθ⨯⨯+-⨯⨯⨯cos θθθ=+，令()cos f θθθθ=+，则()2f θθθ'=+，令2()02cos cos 10f θθθ'=⇒+-=，可得1cos 2θ=或cos 1θ=-（舍），即π3θ=，π03θ<<，()0f θ'>，()f θ递增，ππ32θ<≤，()0f θ'<，()f θ递减，显然π3θ=是()f θ的极大值点，故max 127()2222f θ=+=.所以五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272，C 对；D ：当32BC =时，ABF △和DCE △所在平面均垂直于面ABCD 时构成正三棱柱ABF DCE -，此时正三棱柱内最大的求半径342r =<，故半径为2的球不能内含于五面体ABCDEF ，对于一般情形，如下图示，左图为左视图，右图为正视图，由C 分析结果，当五面体ABCDEF 体积最大时，其可内含的球的半径较大，易知，当π3FMH ∠=时，3339,22FH IH IF ===，设FIG 的内切圆半径为1r ，则113313922222r ⨯⨯=⨯⨯，可得12r =>，另外，设等腰梯形EFMN 中圆的半径为2r ，则213π33tan434r r ==>=所以，存在x 使半径为2的球都能内含于五面体ABCDEF ，对.故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于C 通过补全几何体为棱柱，设π(02FMH θθ∠=<≤得到五面体ABCDEF 的体积关于θ的函数；对于D 从特殊到一般，结合几何体视图研究内切圆判断最大半径是否大于2为关键.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若π3sin 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________．【答案】35-##0.6-【解析】【分析】应用诱导公式有ππππcos cos[()]sin()4424ααα⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，即可求值.【详解】ππππ3cos cos[()sin()44245ααα⎛⎫-=+-=+=- ⎪⎝⎭.故答案为：35-14.《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、乙、丙三名同学计划每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有_________种．【答案】24【解析】【分析】先求出三人选书没有要求的选法，再排除三人选择的书完全相同的选法即可.【详解】若三人选书没有要求，则有3327=种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以三人选择的书不全相同，不同的选法有27324-=种.故答案为：24.15.已知平面α的一个法向量为(1,0,1)n =，且点(1,2,3)A 在α内，则点(1,1,1)B 到α的距离为_________．【答案】【解析】【分析】由题设得(0,1,2)BA =，应用向量法求点面距离即可.【详解】由题设(0,1,2)BA = ，则点(1,1,1)B 到α的距离为||||BA n n ⋅==16.设ABC 是面积为1的等腰直角三角形，D 是斜边AB 的中点，点P 在ABC 所在的平面内，记PCD与PAB 的面积分别为1S ，2S ，且121S S -=．当||PB =||||PA PB >时，||PA =_________；记PA PB a -=，则实数a 的取值范围为_________．【答案】①.②.(2)5【解析】【分析】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，根据已知得001||||12y x =-、2200(1)10x y -+=，即可得04x =，0||1y =，应用两点距离公式求||PA ；根据PA PB a -=确定P 的轨迹曲线，并写出方程，利用曲线性质列不等式求参数范围.【详解】以D 为原点，AB为x 轴正方向建立直角坐标系，设00(,)P x y ，则101||2S x =，20||S y =，所以001||||12x y -=，则001||||12y x =-，当||PB =，||||PA PB >时，00x >，即22200||(1)10PB x y =-+=，所以22001(1)(1)102x x -+-=，即200512320x x --=，可得04x =（负值舍），则0||1y =，故||PA ==若0PA PB a -=>，结合双曲线定义知：P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为22221()1()22x y a a -=-，即22224414x y a a -=-，双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线1||||12x y -=有交点，即双曲线的渐近线和曲线1||||12x y -=有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12，所以221115160424165a a <<⇒<<⇒<<，故4525a <<，所以实数a的取值范围为(,2)5.，(2)5【点睛】关键点点睛：第二空，注意P 在以,A B 为焦点的双曲线上，但不含顶点，将问题化为双曲线的渐近线斜率的绝对值小于12为关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos cos 2a B ab A c +=．（1）求a ；（2）若2π3A =，且ABC 的周长为2+，求ABC 的面积．【答案】（1）2a =；（2）4.【解析】【分析】（1）应用正弦边角关系及和角正弦公式有sin()2sin a A B C +=，再由三角形内角性质即可求边长；（2）应用余弦定理及已知得224b c bc ++=且b c +=1bc =，最后应用面积公式求面积.【小问1详解】由题设(cos cos )2a a B b A c +=，由正弦定理有(sin cos sin cos )2sin a A B B A C +=，所以sin()2sin a A B C +=，而πA B C +=-，故sin 2sin a C C =，又sin 0C >，所以2a =.【小问2详解】由（1）及已知，有2222241cos 222b c a b c A bc bc +-+-===-，可得224b c bc ++=，又2a b c ++=+，即b c +=，所以2()541b c bc bc bc +-=-=⇒=，故13sin 24ABC S bc A ==△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，//AD BC ，22AD BC ==，AB =，AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，过点B 作平面BD α⊥．（1）证明：平面//α平面EAC ；（2）已知点F 为棱EC 的中点，若2EA =，求直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）277【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代换得AC BD ⊥，利用线面垂直得EA BD ⊥，进而得BD ⊥平面EAC ，结合已知条件得证；（2）利用空间向量法可求【小问1详解】设AC 与BD 的交点为O ，连接OF ，因为AD BC ∥，且AB AD ⊥，所以AB BC ⊥，因为22AD =，所以1AD =，AB =，AB AD ⊥，且AB =，2BC =，AB BC ⊥，所以ABD BCA ，所以ABD BCA ∠=∠，所以BAC ABD BAC BCA ∠+∠=∠+∠，因为AB BC ⊥，所以90BAC BCA ∠+∠=︒，所以90BAC ABD ∠+∠=︒，即90BAO ABO ∠+∠=︒，所以90AOB ∠=︒，所以AO OB ⊥，即AC BD ⊥，因为EA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以EA BD ⊥，因为EA AC A = ，,EA AC ⊂平面EAC ，所以BD ⊥平面EAC ，又因为平面BD α⊥，且B ∉平面EAC ，所以平面//α平面EAC 【小问2详解】因为AB AD ⊥，EA ⊥平面ABCD ，所以,,AB AD EA 两两垂直，如图，以A 为原点，,,AB AD EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()0,1,0D ，()()(),0,0,2,2,0B E C ，所以())())0,1,0,,0,2,0,2AD BD BC BE ====，因为点F 为棱EC 的中点，所以()1,1,122BF BC BE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面FBD 的一个法向量为(),,n x y z =，则00BD n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以0202y x y z +=++=⎪⎩，取2x =，得y z =-=，所以平面FBD的一个法向量为(2,n =-，记直线AD 与平面FBD 所成角为θ，则27sin cos ,7AD n AD n AD n θ⋅===，所以直线AD 与平面FBD 所成角的正弦值为277．19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2124a a ==，当*n ∈N ，且2n ≥时，1132n n n S S S +-=-．（1）证明：{}n a 为等比数列；（2）设()()111n n n n a b a a +=--，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若21172m m T -+>⨯，求正整数m 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由题设112()n n n n S S S S +--=-，结合已知得到12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，即可证结论；（2）由（1）得()()122121nn n n b +=--，裂项相消法求n T ，根据不等式关系得221m ->，即可确定正整数m 的最小值.【小问1详解】当2n ≥时，1111322()n n n n n n n S S S S S S S +-+-=-⇒-=-，即12n n a a +=，又2124a a ==，故12n n a a +=在*n ∈N 上都成立，且12a =，所以{}n a 是首项、公比均为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知：2n n a =，则()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以11111111212121211111133712n n n n n n T -++=-+-+--=----+-+- ，则21211117221712m m m m T -+-+=-+>⨯-⨯，即2121722182m m m -+-⨯-⨯<-=，所以221m ->，可得m>2，而*m ∈N ，故3m ≥，正整数m 的最小值为3.20.已知甲、乙两支登山队均有n 名队员，现有新增的4名登山爱好者a b c d ,,,将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队．（1）求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）记甲，乙两队的最终人数分别为1n ，2n ，设随机变量12X n n =-，求()E X ．【答案】（1）215；（2）3835.【解析】【分析】（1）由题意，,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率，再应用条件概率公式及互斥事件加法求,,a b c 三人均被分至同一队的概率；（2）根据题意有X 可能取值为4,2,0，分析X 各对应值的实际含义，并求出对应概率，进而求期望即可.【小问1详解】,,a b c 三人均被分至同一队，即三人同分至甲队或乙队，记事件A =“a 被分至甲队”，事件B =“b 被分至甲队”，事件C =“c 被分至甲队”，当a 即将摸球时，箱中有2个红球和2个黑球，则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为1()2P A =；当a 被分至甲队时，箱中有2个红球和3个黑球，则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为2(|)5P B A =；当,a b 均被分至甲队时，箱中有2个红球和4个黑球，则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为1(|)3P C AB =；所以121()()(|)255P AB P A P B A ==⨯=，则111()()(|)5315P ABC P AB P C AB ==⨯=，同理知：新增登山爱好者,,a b c 均被分至乙队的概率也为115，所以,,a b c 三人均被分至同一队的概率为215.【小问2详解】由题设，X 可能取值为4,2,0，4X =为新增的4名登山爱好者被分至同一队，则22224(4)24567105P X ⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯⨯，2X =为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队，其余1名被分至另一队，设新增的第(1,2,3,4)k k =名登山爱好者被单独分至甲队或乙队，则123339(1)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，223339(2)2456770P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，322434(3)2456735P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，422252(4)2456721P P k ⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯⨯，所以12347(2)15P X P P P P ==+++=，X 0=为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队，则52(0)1(2)(4)105P X P X P X ==-=-==，所以475238()4201051510535E X =⨯+⨯+⨯=.21.已知函数1()ln 1x f x a x x -=-+有两个极值点1x ，2x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：()()2121221f x f x a a x x a -->--．【答案】（1）1(0,2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数，结合()f x 的极值点个数，得到0a >且1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同根，列不等式组求参数范围；（2）设1201x x <<<，应用分析法将问题化为证11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，再由12a =对应()f x 单调性即可证结论.【小问1详解】由题设22222(1)()(1)(1)a ax a x a f x x x x x +-+'=-=++且0x >，若0a ≤，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，即()f x 递增，不可能有两个极值点，不符；故0a >，又()f x 有两个极值点，则1x ，2x 是22(1)0ax a x a +-+=的两个不同正根，所以()()22Δ4144120100a a a a aa ⎧=--=->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，可得102a <<，即实数a 的取值范围是1(0,2.【小问2详解】由（1）102a <<且122(1)a x x a-+=，121=x x ，不妨设1201x x <<<，则()()1212f x f x x x -=-1212121211ln ln 11x x a x a x x x x x ----+++-112212122()ln (1)(1)x x x a x x x x x --++=-121212121212ln (ln ln )21x a x a x x a x x x x x x x x -=-=--+++-，要证()()2121221f x f x a a x x a -->--，需证1212ln ln 1211x x a x x a --->--，即1212ln ln 1x x a x x a ->--，只需证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，即11212211ln 21x x x x x x -<+，令12(0,1)x t x =∈，则证11ln 21t t t -<+，由（1），12a =时2212(1)(1)02ax a x a x +-+=-≥，即()0f x '≥，所以11()ln 21x f x x x -=-+在(0,)+∞上递增，又01t <<，故()(1)0f t f <=，即11ln 21t t t -<+，综上，()()2121221f x f x a a x x a -->--.【点睛】关键点点睛：第二问，设1201x x <<<，应用分析法将问题转化为证11212211ln 21x x x x x x -<+为关键.22.在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)P ，点A 为动点，以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，记A 的轨迹为Γ，直线AP 交Γ于另一点B ．（1）求Γ的方程；（2）OAB 的外接圆交Γ于点C （不与O ，A ，B 重合），依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，记其面积为S ．（i ）证明：ABC 的重心在定直线上；（ii ）求S 的取值范围．【答案】（1）24y x=（2）证明见详解；32,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设(),A x y ，根据已知条件列出方程化简即得；（2）（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x ⎧+++=⎨=⎩，得()42416160y d y ey +++=，结合重心公式可得证；（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，用已知条件分别表示出12,S S ，进而表示出面积为S 的表达式，然后利用导数求最值即得.【小问1详解】设(),A x y ，则线段AP 的中点坐标为1,22x y +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为以线段AP 为直径的圆与y 轴相切，所以1122x AP +==，化简，得24y x =.【小问2详解】（i ）因为,,,O A B C 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=---，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---=-+++++-，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，即()123103y y y ++=，因为ABC 的重心的纵坐标为()12313y y y ++，所以ABC 的重心在定直线0y =上.（ii ）记,OAB ABC △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线AB 的斜率不为0设直线AB ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my --=，所以12124,4y y m y y +=⋅=-，所以1121122S OP y y =⋅⋅-==，由（i ）得，()3124y y y m =-+=-，所以()22233114444x y m m ==⨯-=，即()24,4C m m -，因为()212122444AB x x m y y m =++=++=+，点C 到直线AB的距离d =，所以()22211448122S AB d m m =⋅⋅=⋅+=-，所以)221281181S S S m m =+=-=+-不妨设0m >，且A 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =-<，依次连接O ，A ，C ，B 构成凸四边形OACB ，所以()3122y y y y =-+<，即122y y -<，又因为124y y ⋅=-，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=->+=，即24m >，即218m >，所以)218116S m m=+-=，设t =，则324t >，令()()2161f t t t =-，则()()()2221611614816f t t t t t '='=-+--，因为324t >，所以()248160f t t -'=>，所以()f t 在区间32,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()323242f t f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，所以S 的取值范围为32,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】第二问：（i ）关键是把证明ABC 的重心在定直线上转化为方程根的问题，利用韦达定理以及重心公式可得.（ii ）关键是把四边形OACB 拆成两个三角形，然后用相同的变量分别表示两个三角形的面积以及变量的取值范围的确定，进而得到四边形OACB 面积的表达式，然后利用导数求最值即得.。
2023届山东省滨州市高三第一次模拟考试数学模拟试题(PDF版)
山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题2023.3一、单选题1．已知集合{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==，则M N ⋂=（ ）A ．(0,5]B ．(0,2]C ．[2,5]D ．[2,)+∞2．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+ D ．21i 55-3．在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 上靠近B 的三等分点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（ ）A ．13a b -B ．13a b -C ．13b a -r rD ．13b a -4．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯(底面圆的周长的平方⨯高)，则由此可推得圆周率π的取值为 A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.25．从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A ．49B ．56C ．64D ．846．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，直线24x π=为()f x 的图象的一条对称轴，且()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是A ．()f x 的最小正周期为πB ．12x π=为()f x 的一个零点C ．()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-D ．()f x 的单调递增区间为5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7．已知34452018120181,2018120181a b ++==++则,a b 之间的大小关系是A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法比较8．已知3()32(0)f x x x m m =-++>，在区间[0,2]上存在三个不同的实数,,a b c ，使得以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形是直角三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．4m >+B ．02m <<+C ．44m -<+D ．04m <<+二、多选题9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4 B ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于π4C ．点D 到面1ACDD ．三棱柱1111AA D BB C -10．已知曲线()e (2)x f x x a =+在点(0,2)处的切线为l ，且l 与曲线2()4g x x x b =++也相切．则（ ） A ．a b =B ．存在l 的平行线与曲线()y f x =相切C ．任意(2,)x ∈-+∞，()()f x g x ≥恒成立D ．存在实数c ，使得()()g x c f x +≥任意[)0,x ∈+∞恒成立11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．准线l 的方程为=1x -B ．若过焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，且126x x +=，则||7AB = C ．若(2,1)E ，则||||PE PF +的最小值为3D ．延长PF 交抛物线C 于点M ，若4||3PF =，则16||3PM =12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1x yf x f y f xy--=-，且当(1,0)x ∈-时，()0f x <，则有( )A ．()f x 为奇函数B ．存在非零实数a ，b ，使得1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()f x 为增函数D ．115236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、填空题13．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为32，则()()2n x y x y +-的展开式中24x y 的系数为_________．14．两圆x 2+y 2+6x-4y+9=0和x 2+y 2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.15．已知函数()21x f x x +=，则其在3x =处的切线方程为（填写一般式方程）____________；16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足36a =，642S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若211=-n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且25π4cos 4cos 502A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)2=，求sin C ． 19．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，平面外一点P 在平面ABCD 内的射影为O ，PB 与平面ABCD 所成角为30°.（1）求证：BD PA ⊥；（2）点N 在线段PB 上，且N PCD V -=，求PN PB 的值.20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综合频道观看比赛实况．某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：(1)补全22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．如图,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知12e e =,且241F F =.(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.22．已知函数()()233e xf x x x =-+⋅.(1)试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -（2t >-）上为单调函数；(2)若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0R f x z x -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围.第7页山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题2023.3一、单选题1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 2．已知复数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B3．在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B4．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为 A ． B ． C ． D ．【答案】A5．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==M N ⋂=(0,5](0,2][2,5][2,)+∞i2iz =+12i 55+12i 55-21i 55+21i 55-ABCD M BC B N AD D AB a =AD b =NM =13a b -13a b -13b a -r r 13b a -112V =⨯⨯π3 3.1 3.14 3.211318选的不同选法的种数为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C6．已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，则下列结论正确的是A ．的最小正周期为B ．为的一个零点C ．在上的最小值为D ．的单调递增区间为 【答案】D7．已知则之间的大小关系是 A ． B ．C ．D ．无法比较【答案】A8．已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 二、多选题9．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）49566484()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭24x π=()f x ()f x ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x π12x π=()f x ()f x 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-()f x 5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦34452018120181,2018120181a b ++==++,a b a b >a b <a b =3()32(0)f x x x m m =-++>[0,2],,a b c (),(),()f a f b f c m 4m >+02m <<+44m -<+04m <<+1111ABCD A B C D -第9页A ．两条异面直线和所成的角为B ．直线与平面所成的角等于C ．点D 到面的距离为D ．三棱柱【答案】BCD10．已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切．则（ ） A ．B ．存在的平行线与曲线相切C ．任意，恒成立D ．存在实数，使得任意恒成立 【答案】AC11．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．准线l 的方程为B ．若过焦点F 的直线交抛物线C 于两点，且，则 C ．若，则的最小值为31D C 1BC π4BC 11ABC D π41ACD 1111AA D BB C -()e (2)x f x x a =+(0,2)l l 2()4g x x x b =++a b =l ()y f x =(2,)x ∈-+∞()()f x g x ≥c ()()g x c f x +≥[)0,x ∈+∞2:4C y x ==1x -()()1122,,,A x y B x y 126x x +=||7AB =(2,1)E ||||PE PF +10D ．延长交抛物线C 于点M ，若，则 【答案】ACD12．定义在上的函数满足，且当时，，则有( )A ．为奇函数B ．存在非零实数a ，b ，使得C ．为增函数D ． 【答案】ABC 三、填空题13．若的展开式中二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为_________．【答案】距离与半径相加相减的大小比较得到圆与圆的位置关系．15．已知函数，则其在处的切线方程为（填写一般式方程）____________； 【答案】16．已知椭圆，的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_____． 【答案】6PF 4||3PF =16||3PM =(1,1)-()f x ()()()1x yf x f y f xy --=-(1,0)x ∈-()0f x <()f x 1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 115236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2n x y x y +-24x y 15-()21x f x x +=3x =8960x y -+=2222:1(0)x y C a b a b +=>>C 1F 2F 121F 2AF C D E ADE V DE =第11页四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 18．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．(1)求A ； (2)，求．{}n a n n S 36a =642S ={}n a 211=-n n b a {}n b n n T 121n ⎛++ -⎝ABC 25π4cos 4cos 502A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭2=sin C1219．已知菱形的边长为2，，对角线、交于点O ，平面外一点P 在平面内的射影为O ，与平面所成角为30°.（1）求证：；（2）点N 在线段上，且的值.ABCD 60ABC ∠=︒AC BD ABCD PB ABCD BD PA ⊥PB N PCD V -=PN PB第13页，则20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综PO AC O =合频道观看比赛实况．某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：(1)补全列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为，求的分布列和数学期望．附：，其中．22⨯X X ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++第15页布写分布列和计算数学期望 (1)解：（1）补全的列联表如下：，（关键：根据“是否有99%的把握”，在临界值表中查找对应的值与观测值进行比较）所以没有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关． (2)由（1）知抽取的“冬奥迷”有30人，其中男“冬奥迷”有20人，女“冬奥迷”有10人，由分层抽样的知识知抽取的6人中，男“冬奥迷”有4人，女“冬奥迷”有2人，则的所有可能取值为0，1，2，，，， 所以的分布列为22⨯()22502014610 6.464 6.63530202426K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯X ()2226C 10C 15P X ===()114226C C 81C 15P X ===()2426C 22C 5P X ===X16（提示：注意利用分布列中的各个概率之和为1检验所得分布列是否正确） 所以． 21．如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=O 1:C ()222210x y a b a b+=>>12,F F 1e 2:C 22221x y a b -=34,F F 2e 12e e =241F F =12,C C 1F 1C y AB M AB OM 2C ,P Q APBQ第17页则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.22．已知函数.APBQ 222221322122n n n ⋅+==⋅-+--2022n <-≤20n =APBQ 2()()233e xf x x x =-+⋅18(1)试确定的取值范围，使得函数在（）上为单调函数； (2)若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析【分析】（1）根据导数判断函数的单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围；（2）根据函数的单调性与极值最值情况可确定实数的取值范围，再结合函数图象确定的取值范围. （1）由，得，令，解得或，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 又函数在上为单调函数，所以； （2）由（1）得函数在，上单调递增，在上单调递减，，，t ()f x []2,t -2t >-t t ()()0R f x z x -=∈[]2,t -z 20t -<≤[]2,t -t t z ()()233e x f x x x =-+⋅()()()()223e 33e 1e x x xf x x x x x x '=-⋅+-+⋅=-()0f x '=0x =1x =0x <()0f x ¢>()f x 01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x ¢>()f x ()f x (),0∞-()1,+∞()0,1()f x []2,t -20t -<≤()f x (),0∞-()1,+∞()0,1()03f =()1e f =第19页20。
高三数学高考数学模拟第一次考试试题
高考数学模拟第一次考试试题第l 卷一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分；共60分。
在每小题给出的四个选项中；只有一个项是符合题目要求的）1、设集合],43[ππ-=A ；]1,1[-=B ；x x f 2sin :→是从集合A 到集合B 的映射；则在映射f下；象21的原象有 【 】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、在复平而内；将复数1sin 1cos i +对应向量顺时针旋转2弧度；所得向量对应复数是 【 】A ．3sin 3cos i +B ．1sin 1cos i --C ．1sin 1cos i -D ．3sin 3cos i -3、圆锥的侧面展开图是一个半径为12的半圆；则这个圆锥的内切球的体积是 【 】A ．π34B ．π38C ．π316D ．π332 4、[理] 下列不等式在区间)21,0(内恒成立的是 【 】 A ．x xcos sin > B ．ctgx tgx >C ．23)cos(arcsin >x D ．23)sin(arccos <x[文] 下列不等式的在区间)6,0(π内恒成立的是 【 】A ．x xcos sin > B ．ctgx tgx > C ．23cos >x D ．23sin >x 5、函数)(x f y =的图象如图所示；则)(x f 的解析式可能是 【 】A ．x x x f cos )(--=B ．x x x f sin )(--=C ．x x x f cos )(= D ．x x x f sin )(=6、磁悬浮列车是一种高科技含量的新型交通工具；它具有速度快；爬坡能力强；能耗低等优点；其每个座位的平均能耗仅是飞机每个座位平均能耗的三分之一；是汽车每个座位平均能耗的70%；那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的 【 】A ．73 B ．37 C ．2110 D ．10217、已知⎩⎨⎧<--≥+-=)0()0()(22x xx x x x x f ；则不等式02)(>+x f 解的区间是【 】A ．)2,2(-B ．),2()2,(∞+⋃--∞C ．)1,1(- D ．),1()1,(∞+⋃--∞8、[理] 方程⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x （λ∈R 且1-≠λ）表示的曲线是 【 】A ．以点),(111y x M 、),(222y x M 为端点的线段B ．过点),(111y x M 、),(222y x M 的直线C ．过点),(111y x M 、),(222y x M 两点的直线；去掉点1M 的部分D ．过点),(111y x M 、),(222y x M 两点的直线去掉2M 的部分[文] 圆222r y x =+上的点到直线02543=-+y x 的距离的最小值是4；则r 的值为【 】A ．3B ．2C ．1D ．±1 9、设a 、b 是两条不同的直线；α、β是两个不同的平面；则下列四个命题：① 若b a ⊥；α⊥a ；α⊄b ；则α//b ； ②若α//a , βα⊥；则β⊥a ； ③若β⊥a ；βα⊥；则α//a 或α⊂a ； ④若b a ⊥；α⊥a ；β⊥b ；则βα⊥其中正确命题的个数为 【 】 A ．0 B ．1 C ．2 D ．310、一水池有2个进水口；1 个出水口；进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点；该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是 【 】 A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③11、二次曲线1422=+my x ；当]1,2[--∈m 时；该曲线的离心率e 的取值范围是【 】A ．]23,22[B ．]25,23[C ．]26,25[ D ．]26,23[] 12、正三棱锥ABC S —的侧棱长和底面边长相等；如果E 、F 分别为SC ；AB 的中点；那么异面直线EF 与SA 所成角为 【 】 A ．090 B ．060 C ．045 D ．030第ll 卷二、填空题（本大题共4小题；共16分；把答案填在题中的横线上）13．10月15日；我国自行研制的首个载人宇宙飞船“神州五号”在酒泉卫星发射中心胜利升空；实现了中华民族千年的飞天梦；飞船进入的是距地球表面近地点高度约200公里；远地点约350公里的椭圆轨道（地球半径约为6370公里）；则轨道椭圆的标准方程为（精确到0.1公里） .（注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点） 14．某医药研究所研制了5种消炎药X 1、X 2、X 3、X 4、X 5和4种退烧药T 1、T 2、T 3、T 4；现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验；但又知X 1、X 2两种消炎药必须同时搭配使用；但X 3和T 4两种药不能同时使用；则不同的试验方案有 种（用数字作答）.15．长方体的一条对角线与各个面所成的角分别为γβα、、；则=γ+β+α222cos cos cos _________ .16．一种专门占据内存的计算机病毒；开机时占据内存2KB ；然后每3分钟自身复制一次；复制后所占内存是原来的2倍；那么开机后经过 分钟；该病毒占据64MB 内存. (1MB =210KB )三、解答题（本大题共6小题；共74分；解答应写出文学说明；证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）[理] 非等边三角形ABC 的外接圆半径为2；最长的边32=BC ；求C B sin sin +的取值范围.[文] 已知0>a 且1≠a ,解关于x 的不等式21log 1-<-x a .18．（本小题满分12分）如图；将长33='A A ；宽31=AA 的矩形沿长的三等分线处折迭成一个三棱柱；如图所示：（l ）求平面APQ 与底面ABC 所成二面角的正切值； （ll ）求三棱锥APQ A —1的体积. 19．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ；且12-=n n a S ；数列{}n b 满足n n n b a b b +==+11,2.（l ）求数列{}n a 的通项公式；（ll ）[理] 数列{}n b 的前n 项和为n T ；求nn n a nT -∞→lim；[文] 求数列{}n b 的前n 项和. 20．（本小题满分12分）已知抛物线)0(22>=p pxy 上有两点A 、B 关于点)2,2(M 对称.（l ）求p 的取值范围；（ll ）当2=p 时；AB 的垂直平分线交该抛物线于C 、D 两点；问平面内是否存在一点N到A 、B 、C 、D 四点的距离相等；若存在；求出点N 的坐标；若不存在；请说明理由.21．（本小题满分12分）某地为了防止水土流失；植树造林；绿化荒沙地；每年比上一年多植相同亩数的林木；但由于自然环境和人为因素的影响；每年都有相同亩数的土地沙化；具体情况为下表所示：而一旦植完；则不会被沙化： 问：（l ）每年沙化的亩数为多少？ （ll ）到那一年可绿化完全部荒沙地？ 22．（本小题满分14分）设)(x f 是定义域在]1,1[-上的奇函数；且其图象上任意两点连线的斜率均小于零. （l ）求证)(x f 在]1,1[-上是减函数；（ll ）如果)(c x f -；)(2c x f -的定义域的交集为空集；求实数c 的取值范围； （lll ）证明若21≤≤-c ；则)(c x f -；)(2c x f -存在公共的定义域；并求这个公共的空义域.高考模拟考试（一） 数学试题参考答案一、选择题1——5、CC DC （C ）D 6——10、C AD(D)DA 11——12、CC二、填空题（13）1441504004415602522=+y x ； （14）14； （15）2； （16）45；三、解答题17（理）由正弦定理r SinABC 2=得23sin =A ∵BC 是最长边；且三角形为非等边三角形 ∴π32=A ………………………………………………………………………4分 )3sin(sin sin sin B B c B -+=+πB B cos 23sin 21+=)3sin(π+=B ) …………………………………………………………8分又30π<<B∴3233πππ<+<B ………………………………………………………………10分∴1)3sin(23≤+<πB故 c B sin sin +的取值范围为]1,23(………………………………………12分（文）原不等式等价于01log 1log 2<--x x a a ………………………………………………2分即0)1log 2)(1(log <--x x a a ………………………………………………4分 ∴1log 21<<x a …………………………………………………………………8分 ∴当10<<a 时；原不等式的解集为}{21a x a x <<； 当1>a 时；原不等式的解集为}{21a x ax <<.………………………………12分18、（Ⅰ）依题意知三棱柱111C B A ABC —是正三棱柱；且侧棱31=AA ；底面边长为3；BP =1；CQ =2延长QP 交BC 延长线于点E ；连AE在△ACE 中； 3=AC ；322==BC CE ；∠ACE =60°；于是AE =3 过C 作CF ⊥AE 于F ；连QF则∠QFC 为平面APQ 与平面ABC 所成的锐二面角……………………………………4分3=CF于是33232===∠CF QC QFC tg即：平面APQ 与面ABC 所成锐二面角的正切值为332………………………………6分（Ⅱ）连P A 1；AP A 1∆的面积为323………………………………………………………………8分点Q 到平面AP A 1的距离为23∴343323233111=⨯⨯==AP A Q APQ A V V ——…………………………………12分19、（Ⅰ）当n=1时 1211-=a a ∴11=a ………………………………………2分 当n ≥2时 121211+--=-=--n n n n n a a S S a∴12-=n n a a ……………………………………………………………………………4分 于是数列{n a }是首项为1；公比为2的等比数列∴12-=n n a ………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）（理）∵n n n b a b +=+1∴112-+=-n n n b b 从而212--=-n n n b b3212---=-n n n b b…；…112=-b b上式相加得2212221-+⋯⋯+++=-n n b b121-=-n ；又21=b∴121+=-n n b ……………………………………………………………………8分n b b b T n n n ++⋯⋯++=⋯⋯++=-)222(11021n n +-=12………………………………………………………………………10分2212lim lim1=-+-∞→=-∞→-n n n n n n n a n T n ………………………………………12分 （文）∵n n n b a b +=+1∴112-+=-n n n b b 从而212--=-n n n b b3212---=-n n n b b…；…112=-b b上式相加得2212221-+⋯⋯+++=-n n b b121-=-n ；又21=b∴121+=-n n b ………………………………………………………………8分n b b b T n n n ++⋯⋯++=⋯⋯++=-)222(11021n n +-=12……………………………………………………………………12分20 、（１）设),(11y x A ),(22y x B 是关于点M （2；2）对称的抛物线上两点则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+=+22212121212244px y px y y y x x ………………………………………………………………………2分 得：p x x p y y 8)(2212221=+=+p y y y y 82)(21221=-+得：p y y 4821-= 从而21y y 、是方程04842=-+-p y y的两个不等实根…………………………4分∴01616)48(416>-=--=∆p p∵1>p ………………………………………………………………………………………6分 （2）抛物线方程为x y 42=；且A ；B 两点在其抛物线上则： ⎩⎨⎧==22212144x y x y∴)(4))((2121212221y y y y y y y y -=-+=- 又)(4212221x x y y -=- ∴1x x y y 2121=--得AB 所在直线斜率为1=AB K 从而CD 所在直线斜率为1-=CD K直线AB 方程为x y =直线CD 的方程为x y -=4…………………………………………………………8分由⎩⎨⎧==xy x y 42；解得：)0,0(A )4,4(B由⎩⎨⎧-==xy x y 442 消x 得：01642=-+y y 设),(33y x C 、),(44y x D∴443-=+y y1643-=y y从而 1243=+x x ∴CD 的中点P 的坐标为)2,6(-；且40AP2=……………………………………10分804)()(43243243=-+=-y y y y y y∴160)(22432=-=y y CD而 402CD PC 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= ∴=2AP =2PC =2PD 2PB故存在这样的点N ；其坐标为)2,6(-……………………………………………12分21．（1）由表知；每年比上一年多造林400亩.因为1999年新植1400亩；故当年沙地应降为23800140025200=-亩；但当年实际沙地面积为24000亩；所以1999年沙化土地为200亩. ………………4分同理2000年沙化土地为200亩.所以每年沙化的土地面积为200亩…………………………………………………6分 （2）由(1)知；每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.设2000年及其以后各年的造林亩数分别为1a 、2a 、3a 、…；则n 年造林面积总和为：4002)1(1600⨯-+=n n n S n ………………………………………………8分 由题意：n S n 20024000+≥ 化简得012072≥-+n n解得： 8≥n …………………………………………………………………10分故8年；即到可绿化完全部沙地. ………………………………………12分22 （1）∵奇函数)(x f 的图像上任意两点连线的斜率均为负∴对于任意]11[21，、-∈x x 且21x x ≠有0x x )x (f )x (f 2121<--……………………………………………………3分从而21x x -与)()(21x f x f -异号∴)(x f 在]11[，-上是减函数…………………………………………5分（2） )(c x f -的定义域为]11[+-c c ，)(2c x f -的定义域为]11[22+-c c ，………………………………7分 ∵ 上述两个定义域的交集为空集则有： 112+>-c c 或112-<+c c …………………………9分 解得：2>c 或1-<c故c 的取值范围为2>c 或1-<c ………………………………………………10分 （3）∵ 112->+c c 恒成立 由(2)知：当2c 1≤≤-时112+≤-c c当2c 1≤≤或0c 1≤≤-时112+≥+c c 且 112-≥-c c此时的交集为]1,1[(2+-c c ………………………………………12分 当10<<c112+<+c c 且 112-<-c c 此时的交集为]1,1[2+-c c 故2c 1≤≤-时；存在公共定义域；且当0c 1≤≤-或2c 1≤≤时；公共定义域为]1,1[(2+-c c ； 当10<<c 时；公共定义域为]1,1[2+-c c .…………………………14分。
江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题
江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足()1i 1z +=，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22i -D ．22i +2．已知集合{}2|56A x x x =-≤，集合{}|B x x a =≥，若()R B A ⊆ð，则a 的取值范围为（ ）A ．()6,+∞B ．[)6,+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞ 3．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale ）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ）A ．2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少B ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多C ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D ．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍4．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若a b ⊥r r ，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥ 5．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，则单位职工体重的方差为（ ） A ．166 B ．167 C ．168D ．1696．已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，πcos cos 22π4θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ） A ．12- B ．35- C ．3 D ．357．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60︒的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若5FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为（ ）ABCD8．在满足2i i x y ≤<，i i y x i i x y =的实数对()(),1,2,3,,i i x y i n =⋯中，使得12120n n y y y y -+++≤L 成立的正整数n 的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．30D ．31二、多选题9．如图所示，已知角π,02αβαβ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为,A B ，M 为线段AB 的中点，射线OM 与单位圆交于点C ，则（ ）A ．AOB βα∠=-B ．cos 2OM βα-=C ．点C 的坐标为cos ,sin 22αβαβ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．点M 的坐标为cos cos ,sin sin 2222αββααββα+-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭10．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2a =，AB AC ⋅=u u u r u u u r ，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B ．若2b =，则ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b 取值范围是(⎤⎦D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为211．直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都为4，π3BAD ∠=，点P 在四边形11BDD B 及其内部运动，且满足8PA PC +=，则下列选项正确的是（ ）A ．点P 的轨迹的长度为π.B ．直线AP 与平面11BDD B 所成的角为定值．C ．点P 到平面11AD B . D ．11PA PC ⋅u u u r u u u u r 的最小值为-2．三、填空题12．()6242x y x y -的展开式中y x的系数为． 13．已知抛物线216x y =的焦点为F ，P 是C 上的动点，过点F 作直线()44y k x =-+的垂线，垂足为Q ，则PQ PF +的最小值为．14．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()80f x g x '+-=，()()2680f x g x '----=，若()g x 为偶函数，求()20231n f n =∑=．四、解答题15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式;(2)令()21nn n n a b S -=，n T 为数列{}n b 的前n 项积，证明：16n n T -≤． 16．如图1，已知正三角形ABC 边长为6，其中2AD DB =u u u r u u u r ，2AE EC =u u u r u u u r ，现沿着DE 翻折，将点A 翻折到点A '处，使得平面A BC '⊥平面DBC ，M 为A C '中点，如图2．(1)求异面直线A D '与EM 所成角的余弦值；(2)求平面A BC '与平面DEM 夹角的余弦值．17．2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；(2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量X ，求X 的分布列．18．已知在平面直角坐标系xOy 中，1l ：2y x =，2l ：2y x =-，平面内有一动点P ，过P 作2//DP l 交1l 于D ，1//EP l 交2l 于E ，平行四边形ODPE 面积恒为1.(1)求点P 的轨迹方程并说明它是什么图形；(2)记P 的轨迹为曲线C ，3,04G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当P 在y 轴右侧且不在x 轴上时，在y 轴右侧的C 上一点Q 满足x 轴平分PGQ ∠，且PQ 不与x 轴垂直或PG 是C 的一条切线，求PQ 与1l ，2l 围成的三角形的面积最小值.19．设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．(1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：表1(2)数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a的所有可能值：表2⨯个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，(3)对由m n使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．。
2024年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考数学试题及答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
2024学年青海海东市第二中学第二学期高三第一次模拟考试数学试题
2024学年青海海东市第二中学第二学期高三第一次模拟考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（ ） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 2．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．43．已知复数41iz i=+，则z 对应的点在复平面内位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C ．53D ．745．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 6．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)7．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =，BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．28．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，28f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B ．6282f π+⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 9．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列10．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均相等，侧棱1AA ⊥平面ABC ，过1AB 作平面α与1BC 平行，设平面α与平面11ACC A 的交线为l ，记直线l 与直线,,AB BC CA 所成锐角分别为αβγ，，，则这三个角的大小关系为( )A ．αγβ>>B ．αβγ=>C ．γβα>>D ．αβγ>=11．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（ ） A 13B ．4C ．2D 312．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题(柳州一模)(含答案)
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z =1+i ，则1z 的虚部为( )．A. −12B. 12C. −i2D. 12−i22.对于非零向量a ，b ，“a +b =0”是“a //b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:y 24−x 2m =1的一条渐近线方程为y =−2x ，则m =( )．A. 1B. 2C. 8D. 164.若过点(23,0)与圆x 2+y 2=4相切的两条直线的夹角为α，则cos α=( )．A.55B. 255C. 13D. 235.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为( )．A. x 225−9y 2100=1(x ≠±5)B. x 225−3y 2100=1(x ≠±5)C. y 225−3x 2100=1(x ≠±5) D. y 225−9x 2100=1(x ≠±5)6.设函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)，已知f(x 1)=−1，f(x 2)=1，且|x 1−x 2|的最小值为π4，则ω=( )．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知正四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为763，AB =2，A 1B 1=1，则AA 1与底面ABCD 所成角的正切值为( )．A.32B.3 C. 23 D. 48.设函数f(x)=x ln x−(a +b)ln x ，若f(x)≥0，则5a +5b 的最小值为( )．A. 1B. 2C.5D. 25二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
高三第一次模拟考试卷数学
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = x^3 - xC. f(x) = 1/xD. f(x) = x^2 - 2x + 12. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 2，f(-1) = 0，且f(x)的图像开口向上，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 03. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的正弦值是（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 3/44. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an = 2^n - 1，则数列{an}的第5项是（）A. 31B. 32C. 33D. 345. 下列不等式中，正确的是（）A. log2(3) > log2(2)B. log2(4) < log2(3)C. log2(9) > log2(8)D. log2(16) < log2(15)6. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2 + |z|^3的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 67. 在极坐标系中，点P(2, π/6)对应的直角坐标是（）A. (√3, 1)B. (1, √3)C. (-√3, 1)D. (1, -√3)8. 已知函数f(x) = e^x + e^(-x)，则f(x)的图像关于（）A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 直线y=x对称9. 下列各式中，表示二项式展开式的通项公式的是（）A. (a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + ... + C(n, n)b^nB. (a - b)^n = C(n, 0)a^n - C(n, 1)a^(n-1)b + ... - C(n, n)b^nC. (a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b^2 + ... + C(n, n)b^nD. (a - b)^n = C(n, 0)a^n - C(n, 1)a^(n-1)b^2 + ... - C(n, n)b^n10. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递减的是（）A. f(x) = x^2 - 2x + 1B. f(x) = 2x - 1C. f(x) = 1/xD. f(x) = e^x二、填空题（每小题5分，共50分）11. 函数f(x) = (x - 1)/(x + 1)的对称轴方程是______。
高三年级一模试卷数学
高三年级一模试卷数学一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = x^42. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1 = 2，d = 3，那么a_5的值为：A. 14B. 17C. 20D. 233. 函数y = 2x - 1的图象与x轴交点的横坐标为：A. 0.5B. 1C. 0D. -0.54. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，圆心C的坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (3, 2)D. (-3, 2)5. 下列不等式中，解集为R的是：A. x^2 - 4x + 4 > 0B. x^2 - 4x + 4 < 0C. x^2 - 4x + 4 = 0D. x^2 - 4x + 4 ≤ 06. 已知集合A = {x | x^2 - 6x + 8 < 0}，集合B = {x | x > 3}，则A∩B的解集为：A. (2, 4)B. (4, +∞)C. (2, 3)D. (3, 4)7. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4在区间(1, 2)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减8. 已知等比数列{a_n}的前三项依次为2，6，18，则其公比q为：A. 2B. 3C. 1/3D. 1/2二、填空题（每题5分，共30分）9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(1)的值为______。
10. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3 = 9，S_6 = 24，则a_4 + a_5 + a_6的值为______。
11. 已知直线y = 2x + 3与y轴的交点坐标为______。
12. 已知圆x^2 + y^2 - 6x + 8y - 24 = 0的半径为______。
浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案
浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。
2024学年东北三省四市教研协作体高三第一次高考模拟统一考试数学试题
2024学年东北三省四市教研协作体高三第一次高考模拟统一考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2sin 1x xy x +=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ） A 10B ．23C ．3D ．43．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30B ．－40C ．40D ．505．已知集合{}{13,},|2xA x x x ZB x Z A =|-≤∈=∈∈，则集合B =（ ） A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,26．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．127．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．1028．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．849．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ）．A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月份C ．1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元10．若x ，y 满足约束条件-0210x y x y x ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，，，则z =32x y ++的取值范围为（ ）A ．[2453，]B ．[25，3] C ．[43，2] D ．[25，2] 11．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞12．已知x 与y 之间的一组数据：x1 2 3 4 ym3.24.87.5若y 关于x 的线性回归方程为 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5B ．2.5C ．3.5D ．4.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三一诊数学试题及答案
高三一诊数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：B2. 若f(x) = 3x - 5，求f(2)的值：A. -1B. 1C. 4D. 7答案：A3. 已知三角形ABC的面积为12，且AB = 8，AC = 6，求BC的长度：A. 4√2B. 5√2C. 6√2D. 7√2答案：A4. 函数y = x^3 - 2x^2 + 3x - 4的导数为：A. 3x^2 - 4x + 3B. 3x^2 - 4x + 1C. 2x^2 - 4x + 3D. 4x^3 - 8x + 3答案：A5. 已知等差数列的前三项和为12，第二项为5，求该数列的首项和公差：A. 首项为3，公差为2B. 首项为4，公差为1C. 首项为2，公差为3D. 首项为1，公差为4答案：A6. 已知向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的夹角为60°，|\( \vec{a} \)| = 3，| \( \vec{b} \)| = 2，求\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的点积：A. -1B. 1C. 3D. 6答案：B7. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心到直线x + y - 6 = 0的距离：A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√2答案：B8. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且c^2 = a^2 + b^2，求双曲线的离心率：A. √2B. √3C. 2D. 3答案：C9. 抛物线y^2 = 4x的准线方程为：A. x = -1B. x = 1C. y = -1D. y = 1答案：A10. 已知函数f(x) = ln(x) + 2x - 6，求f(x)的单调递增区间：A. (1, ∞)B. (2, ∞)C. (3, ∞)D. (-∞, 1)答案：B二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 函数y = sin(2x)的周期为______。
2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题
2024学年江苏省南大附中高三年级第一次模拟数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12802．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e3．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -5．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．3B ．32C ．53D ．26．已知集合{}|1A x x =>-，集合(){}|20B x x x =+<，那么A B 等于（ ）A ．{}|2x x >-B ．{}1|0x x -<<C ．{}|1x x >-D ．{}|12x x -<<7．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．128．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．129．在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，152AC =-，则AC 边上的高为（ ） A ．52B ．2C ．5D ．15210．已知1cos ,,32πααπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭,则()sin πα+= ( ) A ．223B ．223-C ．223±D ．1311．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．23D ．12-12． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题
安徽省江南十校2024-2025学年高三上学期第一次综合素质检测数学试题一、单选题1．已知集合{}2log 2A x x =<，{}4B x x =<，A B =I （ ）A ．(),4-∞B ．()0,4C ．()4,4-D ．()4,0- 2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知368a a +=，则8S =（ ）A ．28B ．30C ．32D ．36 3．已知函数()2121x f x =-+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()2f x f x -+=D ．()()2f x f x --= 4．已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，求cos β=（ ） A ．12B ．3998C ．5998D ．7198 5．已知()12n x +的展开式中各项系数的和为243，则该展开式中的4x 项的系数为（ ）A ．5B ．16C ．40D ．806．已知正方体1111ABCD A B C D -A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长为（ ）A ．3π2B ．5π2C ．2πD ．π7．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ）A ．313B ．15C ．14 D ．4138．对于0x >，21e 0x λλ-恒成立，则正数λ的范围是（ ）A ．1e λ≥B ．12e λ≥C ．2e λ≥D ．e λ≥二、多选题9．设复数z 在复平面内对应的点为Z ，原点为O ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．2z z z ⋅=B ．5i 4i +>+C ．若1z =，则1z =±或i z =±D ．若1z ≤≤Z 的集合所构成的图形的面积为π10．袋中装有5张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片．A 表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”，B 表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”，C 表示事件“两次取出的卡片数字之和是6”，则（ ） A ．()1P A B ⋃=B ．()1325P BC =U C ．A 与B 相互独立D ．B 与C 相互独立11．定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数()()32503f x ax bx ab =++≠的对称中心为()1,1，则下列说法中正确的有（ ）A ．13a =，1b =- B ．12181910101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是19 C ．函数()f x 有三个零点D ．过11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭只可以作两条直线与()y f x =图象相切三、填空题12．抛物线22y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为.13．已知样本126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为3，方差为4，样本129,,,y y y ⋅⋅⋅的平均数为8，方差为2，则新样本126129,,,,,,,x x x y y y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的方差为.14．在ABC V 中，212AB CB AC BC BC ⋅-⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则()tan B C -的最大值为.四、解答题15．如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；(2)设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望.16．如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .(1)求证：CD EF ∥；(2)若CD EF =，求二面角A BC F --的余弦值.17．已知0a >，函数()e x f x x ax =-.(1)证明()f x 存在唯一的极值点；(2)若存在a ，使得()2f x b a ≥-对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围.18．已知圆M ：()22116x y ++=，动圆D 过定点()1,0N 且与圆M 内切，圆心D 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)曲线C 上三个不同的动点P ，E ，F 满足PE 与PF 的倾斜角互补，且P 不与曲线C 的顶点重合，记P 关于x 轴的对称点为P '，线段EF 的中点为H ，O 为坐标原点，证明：P '，H ，O 三点共线.19．设集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z .对于数列{}n a ，如果i a M ∈，()1,2,3i =⋅⋅⋅，则称{}n a 为“平方差数列”.(1)已知在数列{}n a 中，13a =，()111n n n a na ++-=.求数列{}n a 的通项公式，并证明数列{}n a 是“平方差数列”；(2)已知2n n b =，判断{}n b 是否为“平方差数列”?说明理由；(3)已知数列{}n c 为“平方差数列”，求证：i j c c M ∈，(),1,2,3i j =⋅⋅⋅.。
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武山县第三高级中学届高三应届生第一次检测 理科数学试题测试范围:选修第1章~必修第2章(部分) 命题人： 王建华 2008.09.19 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷60分，第Ⅱ卷90分，卷面共计150分，时间120分钟。
注意事项：考生务必将自己的考号、班级、姓名等用钢笔或圆珠笔填写在答题卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于A ．{}|21x x --≤< B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x <≤ D ．{}|34x x x >≤或2．若复合命题“p 且q”,“p 或q”仅有一个为真，则 A ．p 、q 都为真 B ．p 、q 都为假 C ．p 、q 一真一假 D ．不能判断3．函数1()f x x =的定义域为A. (,4][2,)-∞-+∞B. (4,0)(0.1)- C. [-4,0)(0,1] D. [4,0)(0,1)-4．命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是 A.若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 B.若11<<-x ，则12<x C.若11-<>x x ，或，则12>x D.若11-≤≥x x ，或，则12≥x 5．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件6．复数.111-++-=i iz 在复平面内，z 所对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7 设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是 A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 8. 函数f(x)=x3+sinx+1(x ∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 9. 下列各组函数中，表示相同函数的是()()x x g x x f A ln 2,ln .2== ()()x x g x x f B ==,.2()()[]1,1(1,1.2-∈-=-=x x x g x x f C()()33),1,0(log .x x g a a x f D xa a=≠>=10. 若函数324y x ax =-+在()0,2内单调递减，则实数a 的取值范围为 A ．3a ≥ B ．3a = C ．3a ≤ D ．03a <<11. 曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 Ａ．29e 2Ｂ．24eＣ．22eＤ．2e12. 若函数b bx x x f 36)(3+-=在（0，1）内有极小值，则实数b 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（－∞，1） C ．（0，+∞） D ．（0，21）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上。
13．{}2(1)37,A x x x =-<+则A Z 的元素个数为 。
14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.35，则ξ在(02)，内取值的概率为 . 15．21211lim 21x x x x x +⎛⎫-= ⎪+--⎝⎭→ 。
16．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。
17. （本小题满分10分） 已知集合{}2280A x x x =--=，{}22120B x x mx m =++-=，且A B A =⋃，求实数m的取值范围。
18. （本小题满分12分）已知集合A={1,2,3,a}，B={4,7,b4,b2+3b}且b ∈N* ，f ：x →y=px+q 是从集合A 到集合B 的一12345678910个一一映射，已知1的象是4，7的原象是2，求a ，b ，p ，q 。
19. （本小题满分12分）已知22()|1|f x x x kx =-++． （I ）若2k =，求方程()0f x =的解；（II ）若关于x 的方程()0f x =在(02)，上有两个解12x x ，，求k 的取值范围，并证明12114x x +<．20. （本小题满分12分）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。
假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ξ分布列和数学期望；(Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB). 21．（本小题满分12分）是否存在常数a,b,c 使得等式)c bn an (12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅ 对一切自然数n22. （本小题满分12分） 已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x=++-的一个极值点。
（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围。
理科数学试题参考答案 一.选择题1-5.ACDDB 6-10. BCBDA 11-12.DD 二.填空题13. 6 14. 0.7 15. 13 16. 262n n -+三.解答题17．解答参见《衡水兵法》专题1例3。
18．解答参见《衡水兵法》专题7课内题组练习5。
19. （Ⅰ）解：（1）当k ＝2时， 22()|1|20f x x x x =-++= ① 当210x -≥时，x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=解得12x -±=，因为1012-+<<，舍去，所以12x --=②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x +=解得12x =-，由①②得当k ＝2时，方程()0f x =的解所以x =或12x =-(II)解：不妨设0＜x1＜x2＜2，因为22 1 ||1() 1 ||1x kx x f x kx x ⎧+->=⎨+≤⎩ 所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()f x ＝0在（0,1］上至多一个解，若1＜x1＜x2＜2，则x1x2＝－12＜0，故不符题意，因此0＜x1≤1＜x2＜由1()0f x =得11k x =-， 所以1k ≤-；由2()0f x =得2212k x x =-， 所以712k -<<-；故当712k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解因为0＜x1≤1＜x2＜2，所以11k x =-，22221x kx +-＝0消去k 得 2121220x x x x --=即212112x x x +=， 因为x2＜2，所以12114x x +<20．解：（I ）由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3,且03123322333321222(0)(1),(1)(1),32733922428(2)()(1),(3)(),339327P C P C P C P C ξξξξ==⨯-===⨯⨯-===⨯-===⨯=所以ξ的分布列为ξ的数学期望为12480123 2.279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（II ）用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，,AB C D =⋃,C D 互斥。
22342221112111110()()(1),333323323323P C C ⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦54(),3P D =4551043434()()().333243P AB P C P D =+=+==21.解：假设存在a,b,c 使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得.10c ,11b ,3a :.10c b 3a 9,44c b 3a 4,24c b a ===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++解得于是，对n=1,2,3下面等式成立：).10n 11n 3(12)1n (n )1n (n 32212222+++=++⋅+⋅记.)1n (n 3221S 222n ++⋅+⋅= 设n=k 时上式成立，即),10k 11k 3(12)1k (k S 2k +++=那么222k 1k )2k )(1k ()10k 11k 3(12)1k (k )2k )(1k (S S ++++++=+++=+2)2k )(1k ()5k 3)(2k (12)1k (k ++++++=]10)1k (11)1k (3[12)2k )(1k ()24k 12k 5k 3(12)2k )(1k (22++++++=+++++=也就是说，等式对n=k+1综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n 成立22. 【解】：（Ⅰ）因为()'2101a f x x x =+-+所以()'361004af =+-= 因此16a =（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ()()()216ln 110,1,f x x x x x =++-∈-+∞()()2'2431x x f x x-+=+当()()1,13,x ∈-+∞时，()'0f x > 当()1,3x ∈时，()'0f x <所以()f x 的单调增区间是()()1,1,3,-+∞，()f x 的单调减区间是()1,3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =-因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--。