第六章 狭义相对论(答案)

14、(1) 质量为m0的静止原子核（或原子）受到能量为E的光子撞击，原子核（或原子）将光子 的能量全部吸收，则此合并系统的速度（反冲速度）以及静止质量各为多少？(2) 静止质量为m0′的 静止原子发出能量为E的光子，则发射光子后原子的静止质量为多大？ 解答：
4
⎧m0 c 2 + E = Mc 2 m0 c 2 + E Ec v ; M ⇒ = = = ⎨ 2 2 m c + E c p = E / c = Mv 0 ⎩
Δx = x2 − x1 = 110( m )
Δt −
Δt = t2 − t1 = 12.88( s )
v 0.98 Δx 12.88 − × 110 2 c 3 × 108 Δt ' = = = 64.7( s ) 2 2 − 1 0.98 v ⎛ ⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
v c2 负号表示运动员沿x ' 轴反方向跑动。 1−
12 、飞船 A 以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船 B 以0.6c的速度相对地球向正西方向飞 行．当两飞船即将相遇时 A 飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在 B 飞船的观测者测得两 颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解答：以地面为K系，飞船A为K’系，以正东为x轴正向；则飞船B相对于飞船A的相对速度
2
=
9.11×10−31 × (3.0 × 108 ) 2 1 − 0.99
2
= 5.8 ×10−13 ( J )
(2) 经典力学的动能 Ek 1 =
1 me v 2 ；相对论动能 Ek 2 = mc 2 − me c 2 2
Ek1 me v 2 / 2 1 v2 / c2 1 0.992 1 − 0.992 = = × = × = 8.05 × 10−2 2 2 2 2 m / me − 1 2 1 − 1 − 0.99 Ek 2 mc − me c
1
u'=
v − ( −v ) 2v 2vc 2 = = 2 2 ( −v) c2 + v2 1− 2 v 1+ v / c c
β = u '/ c；C = 2a + 2a 1 − β 2 = 4ac 2 / (c 2 + v 2 )
11、我国首个火星探测器“荧光一号”原计划于 2009 年 10 月 6 日至 16 日期间在位于哈萨克斯 坦的拜科努尔航天发射中心升空。此次“荧光一号”将飞行 3.5×108 km 后进入火星轨道，预计用时 将达到 11 个月。试估计“荧光一号”的平均速度是多少？假设飞行距离不变，若以后制造的“荧光 九号”相对于地球的速度为 v = 0.9c，按地球上的时钟计算要用多少时间？如以“荧光九号”上的时 钟计算，所需时间又为多少？ 解答：
m0 ab[1 − (v / c) 2 ]
(D)
m0 ab[1 − (v / c) 2 ]3 / 2
解答：[C].
m0 / 1 − v 2 / c 2 m0 m = = a ' = a 1− v / c ;b ' = b ⇒ σ ' = 2 2 a ' b ' ab 1 − v / c ab(1 − v 2 / c 2 )
七、自测与提高
一．选择题
3、设某微观粒子的总能量是它的静止能量的 K 倍，则其运动速度的大小为 光速) (A) (以 c 表示真空中的
c ． (B) K −1
2 2
c 1 − K 2 ． (C) K m0
c K
K 2 −1 ．
2
(D)
c K ( K + 2) ． K +1
2
解答：[C].
1 ⎛v⎞ ⎛1⎞ E = mc = Km0 c ⇒ m = Km0 = ⇒ 1− ⎜ ⎟ = ⇒ v = c 1− ⎜ ⎟ 2 K ⎝c⎠ ⎝K⎠ ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
v=
Δx 3.5 ×108 = = 12.3(km / s ) Δt 11× 30 × 24 × 3600
Δx 3.5 × 108 Δt = = = 1296( s ) v 0.9 × 3.0 × 108 ×10−3
⎛v⎞ Δt0 = Δt 1 − ⎜ ⎟ = 1296 1 − 0.92 = 565( s ) ⎝c⎠
(1)
M0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2 2
⎛ ⎞ m c2 + E E 1 ⇒ M0 = 0 2 1− ⎜ ⎟ = 2 2 c c ⎝ m0 c + E ⎠
2
(m c
0
2
+ E ) − E 2 = m0 1 +
2E m0 c 2
⎧ m ' c2 + ( − E ) = M ' c2 0 ⎪ 2 ( −E ) 2E ⎪ (2) ⎨ p = E / c = M ' v ' ⇒ M '0 = m '0 1 + = m '0 1 − 2 m '0 c m '0 c 2 ⎪ 2 ⎪ ⎩ M ' = M '0 / 1 − (v '/ c)
v 'B =
vB − v A −0.6c − 0.8c −1.4 = = c = −0.946c 0.8c vA + × 1 0.8 0.6 1 − 2 vB 1 − 2 (−0.6c) c c
Δt ⎛ v' ⎞ 1− ⎜ B ⎟ ⎝ c ⎠
2
Δt ' =
=
2 1 − 0.9462
= 6.17( s )
2
° °
K
系中： lx = l 'x
2 ⎛v⎞ ⎛v⎞ 1 1 − ⎜ ⎟ = ly = l 'y ⇒ 1 − ⎜ ⎟ = ⇒ v = c 3 ⎝c⎠ ⎝c⎠ 3
2
二．填空题
8 、 (1) 在速度 v = ____________ 情况下粒子的动量等于非相对论动量的两倍． (2) 在速度 v = ____________情况下粒子的动能等于它的静止能量． 解答：[
2 2
二．填空题
5、地面上的观察者测得两艘宇宙飞船相对于地面以速度 v = 0.90c 逆向飞行．其中一艘飞船测得 另一艘飞船速度的大小 v′=____________． 解答：[ 0.994c ].
v' =
v − ( −v) 2v 2 × 0.9c = = = 0.994c 2 2 2 ( −v) + + v c 1 / 1 0.9 1− 2 v c
' Δx ' = x2 − x1' =
( x2 − x1 ) − v (t2 − t1 )
2
=
110 − 0.98 × 3 × 108 × 12.88 1 − 0.98
2
= −1.91 × 1010 ( m )
在飞船中观察到刘翔相对于起跑点跑动的距离（即在跑道上跑动的距离）则为
v 2 Δx 2 ⎛v⎞ c = Δx 1 − ⎜ ⎟ = 110 1 − 0.982 = 21.9(m ) ΔS ' = Δx '− ( − vΔt ') = +v 2 2 ⎝c⎠ ⎛v⎞ ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠ ⎝c⎠ Δx − v Δ t Δt −
三．计算题
9、一艘宇宙飞船的船身固有长度为 L0 =90 m，相对于地面以 v = 0.8 c (c 为真空中光速)的匀速度 在地面观测站的上空飞过．(1) 观测站测得飞船的船身通过观测站的时间间隔是多少？(2) 宇航员测 得船身通过观测站的时间间隔是多少？ 解答：
v2 2 c 2 = 90 1 − 0.8 = 2.25 × 10−7 ( s ) (1) Δt = v 0.8 × 3.0 × 108 L 90 (2) Δt ' = 0 = = 3.75 × 10−7 ( s ) 8 v 0.8 × 3.0 × 10 L0 1 −
[附录 B] 11． 两个惯性系中的观察者 O 和 O′以 0.6 c (c 表示真空中光速)的相对速度互相接近． 如 果 O 测得两者的初始距离是 20 m，则 O′测得两者经过时间Δt′= __________s 后相遇． 解答：[ 8.89 × 10 ( s ) ]. 假设在 O 系测得Δt 后相遇，则Δt = Δx/v . O′测得的时间Δt′为固有时间，因此，
−8
Δt ' = Δ t 1 −
v 2 Δx v2 20 = 1 − = 1 − 0.62 = 8.89 × 10−8 ( s ) 2 2 8 c v c 0.6 × 3.0 × 10
5
3 3 c； c ]. 2 2
m0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
(1) p = mv = 2m0 v ⇒ m = 2m0 =
⇒v=
3 c 2
(2) Ek = mc − m0 c = 2m0 c ⇒ m = 2m0 =
2 2 2
m0 ⎛v⎞ 1− ⎜ ⎟ ⎝c⎠
2
⇒v=
3 c 2
三．计算题
10、两只飞船相向运动，它们相对地面的速率是 v．在飞船 A 中有一边长为 a 的正方形，飞船 A 沿正方形的一条边飞行，问飞船 B 中的观察者测得该图形的周长是多少？ 解答：
A = ΔE = E2 − E1 = (
1 1 − 0.4
2
1 − 0.8
2
)me c 2 = 4.72 × 10−14 ( J )
14、跨栏选手刘翔在地球上以 12.88s 时间跑完 110m 栏，在飞行速度为 0.98c 的同向飞行飞船中 观察者观察，刘翔跑了多少时间？刘翔跑了多长距离？ 解答：
13、要使电子的速度从 v1 =1.2×108 m/s 增加到 v2 =2.4×108 m/s 必须对它做多少功？ 止质量 me ＝9.11×10 31 kg)