高二数学 《直线的参数方程2》(课件)

即16t 2 120 2t 275 0,
解得 15 2 5 7 t 15 2 5 7 ,
4
4
由计算器计算可得, t的范围约为2.0 t 8.6.
所 以, 大 约 在2h后 该 城 市 开 始 受 到 台 风侵 袭.
***思考*** 在例2中, 海滨城市O受台风侵袭大
概 持 续 多 长 时 间? 如 果 台 风 侵 袭 的 半 径 也 发 生 变 化(比 如 : 当 前 半 径 为250km, 并 以10km / h的速度不断增大),那么问题又 该如何解决?
(2)若与曲线y f ( x)交于M1, M2 两点, 对应的参数分别为t1, t2 .
1)曲线的弦M1M2的长是 ______; 2) 线段M1M2的中点M对应的参数 t的值是__________ .
2. 直线l的参数方程的其他形式
x
x0
at (t为参数)
y y0 bt
二、例题分析 [例1] 经过点M (2,1)作直线l,交椭
经过点M (2,1)作直线交双曲线x2 y2 1于A, B两点,如果点M为线段AB的 中 点, 求 直 线AB的 方 程.
解 : 设过点M (2,1)的直线AB的参数
方程为 x 2 t cos (t为参数) y 1 t sin
代入双曲线方程, 整理得
(cos2 sin2 )t 2 2(2cos sin )t 2 0.
[例3] 如图(1)所示, AB,CD是中心 为 点O的 椭 圆 的 两 条 相 交 弦, 交 点 为P . 两 弦AB, CD与 椭 圆 长 轴 的 夹 角 分 别为 1,2, 且1 2.
求证 :| PA | | PB || PC | | PD | .
图(1)
证明: 如图(2)建立平面直角坐标系, 设椭圆的长轴, 短轴的长分别为2a,2b, 则
设t1 , t2为上述方程的两个根, 则
4cos 2sin t1 t2 cos2 sin2 .
因为点M为线段AB的中点,由t的 几何意义可知t1 t2 0,
所以4cos 2sin 0. 于是得到k tan 2.
因 此, 所 求 直 线 的 方 程 为 y 1 2( x 2),即2x y 3 0.
直线的参数方程(2)
一、复习回顾
1. 经过点M0( x0 , y0 ), 倾斜角为
的直线l的参数方程为
x
x0
t cos
(t为参数)
y y0 t sin
(1) 直线的参数方程中参数t的几 何意义是: t 表示参数t对应的点M到 定点M0的距离.当M0 M与e同向时, t取 正数;当M0M与e异向时, t取负数;当点 M与M0重合时, t 0.
圆 x2 y2 1于A, B两点,如果点M恰好 16 4
为 线 段AB的 中 点, 求 直 线l的 方 程.
解 : 设过点M (2,1)的直线l的参数方程为
x y
2 1
t cos t sin
(t为参数)
代入椭圆方程, 整理得
(3sin2 1)t 2 4(cos 2sin )t 8 0.
p) 0.
由根与系数的关系, 得到t1 t2 2 2(4 p), t1t2 8(4 p).
因为| M1M2 |2 | AM1 | | AM2 |, 所以(t1 t2 )2 | t1 | | t2 | t1t2 , 即(t1 t2 )2 5t1t2 ,所以[2 2(4 p)]2 5 8(4 p), 即4 p 5,即p 1.
成的直线l的方程为
x
300
40t
cos 135 (t为参
数,
t
0)
y 40t sin135
即 x 300 20
2t (t为参数, t 0)
y 20 2t
当点M (300 20 2t,20 2t)在圆O内或
圆O上时,有(300 20 2t )2 (20 2t )2 2502 ,
椭 圆 的 方 程 为x 2 a2
y2 b2
1.
(1)
设1 ,点P的坐
标为( x0 , y0 ), 则直线AB 的参数方程为
图(2)
x y
x0 y0
t cos
(t为参数)
t sin
(2)
将(2)代入(1)并整理, 得到
(b2 cos2 a2 sin2 )t 2 2(b2 x0 cos a2 y0 sin )t (b2 x02 a2 y02 a2b2 ) 0. (3)
由t的几何意义知| MA || t1 |,| MB || t2 | . 因为点M在椭圆内, 这个方程必有两个实
根 , 所 以t1
t2
4(cos 2sin 3sin2 1
)
.
因为点M为线段AB的中点,所以 t1 t2 0, 2
即cos 2sin 0, 于是直线l的斜率为k tan 1 .
解 : 取O为原点,OP所在直线为x轴, 建 立直角坐标系, 则点P的坐标是(300,0).
以O为圆心,250km为半径作圆O,当台 风中心移动后的位置M在圆O内或圆O上 时, 城市O将受到台风侵袭. 圆O的方程为x2 y2 2502.
设经过时间t后,台风中心M的坐标
为( x, y), 根据条件知台风中心M移动形
作业布置：第2教材
经过抛物线y2 2 px( p 0)外的一 点A(2,4)且倾斜角为45的直线l与抛 物线分别交于M1 , M2 .如果 | AM1 |, | M1M2 |, | AM2 | 成等比数列,求p的值.
解 : 直线l的参数方程为
x 2
2t 2 (t为参数)
y
4
2t 2
代入y2 2 px, 得到t 2 2 2(4 p)t 8(4
2 因此, 直线l的方程是y 1 1 ( x 2),
2 即 x 2 y 4 0.
***思考***
例1的解法对一般圆锥曲线适用 吗? 把"中点"改为"三等分点", 直线l 的方程怎样求?
[例2] 当前台风中心P在某海滨城市 O向东300km处生成,并以40km / h的速度 向西偏北45方向移动.已知距台风中心 250km以内的地方都属于台风侵袭的范 围, 那 么 经 过 多 长 时 间 后该城市开始受到台 风侵袭?
|
PC
|
|
PD
||
b2
Baidu Nhomakorabea
b2 x02 a2 y02
cos2 ( ) a2
a2b2
sin2 (
)
|
|
b2 x22 a2 y02 a2b2
b2 cos2 a2 sin2
|.
(5)
由(4), (5), 得到| PA | | PB || PC | | PD | .
***思考***
如 果 把 椭 圆 改 为 双 曲 线, 是 否 会 有类似的结论?
由于a2 cos2 b2 sin2 0,因此方程
(3)有两个根, 设这两个根分别t1 , t2 , 容易
得到 | PA | | PB || t1 | | t2 || t1t2 |
|
b2 x02 a2 y02 a2b2
b2 cos2 a2 sin2
|.
(4)
同理, 对于直线CD, 将换为 ,即得到