高二数学 《直线的参数方程2》(课件)
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高中数学人教A版选修4-4全册 第二讲参数方程2.4渐开线与摆线
(4)在求圆的摆线和渐开线参数方程时,如果建立的坐标系的原点 和坐标轴不同,可能会得到不同的参数方程. ( √ )
探究一
探究二
思维辨析
圆的渐开线、摆线的参数方程的理解
【例 1】
已知圆的渐开线的参数方程为
������ = 3cos������ + 3������sin������, ������ = 3sin������-3������cos������
是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数).分别把
φ=π3和
φ=π2代入,可得
A,B
两点的坐标分别为
3+√3π 6
,
3√3-π 6
,
π 2
,1
.根据两点间的距离公式可
得 A,B 两点间的距离为
|AB|=
为参数).
答案：
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
为参数)
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知摆线 的参数方程中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开角度的大小.
探究一
探究二
思维辨析
������ = ������-sin������, 变式训练3 设摆线 ������ = 1-cos������ (t为参数,0≤t≤2π)与直线y=1相 交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
解：由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0,∵0≤t≤2π,
探究一
探究二
思维辨析
圆的渐开线、摆线的参数方程的理解
【例 1】
已知圆的渐开线的参数方程为
������ = 3cos������ + 3������sin������, ������ = 3sin������-3������cos������
是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数).分别把
φ=π3和
φ=π2代入,可得
A,B
两点的坐标分别为
3+√3π 6
,
3√3-π 6
,
π 2
,1
.根据两点间的距离公式可
得 A,B 两点间的距离为
|AB|=
为参数).
答案：
������ ������
= =
40(������-sin������), 40(1-cos������) (φ
为参数)
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知摆线 的参数方程中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开角度的大小.
探究一
探究二
思维辨析
������ = ������-sin������, 变式训练3 设摆线 ������ = 1-cos������ (t为参数,0≤t≤2π)与直线y=1相 交于A,B两点,求A,B两点间的距离.
解：由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0,∵0≤t≤2π,
高考数学总复习 第2节 参数方程课件 新人教A版选修44
数的关系 y＝g(t)
x＝ft ，那么 y＝gt 就是曲线的参数方程．
第五页，共70页。
在参数方程与普通(pǔtōng)方程的互化中，x，y的取值范围必 须保持一致．
第六页，共70页。
三、常见曲线的参数方程的一般形式
1．直线的参数方程
经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝ x0＋tcos α y＝ y0＋tsin α
第十四页，共70页。
2．若 P(2，－1)为圆xy＝＝15＋sin5θcos θ， (θ 为参数且 0≤θ
＜2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( )
A．x－y－3＝0
B．x＋2y＝0
C．x＋y－1＝0
D．2x－y－5＝0
第十五页，共70页。
解析：由xy＝ ＝15＋sin5θc，os θ 消去参数 θ，得(x－1)2＋y2＝25， ∴圆心 C(1,0)，∴kCP＝－1. ∴弦所在的直线的斜率为 1. ∴弦所在的直线方程为 y－(－1)＝1·(x－2)， 即 x－y－3＝0，故选 A.
第二十页，共70页。
解析：曲线
C1：xy＝＝34＋＋csions
θ θ
(θ 为参数)的直角坐标方
程为(x－3)2＋(y－4)2＝1，可知曲线 C1 是以(3,4)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2：ρ＝1 的直角坐标方程是 x2＋y2＝1， 故 C2 是以原点为圆心，1 为半径的圆．由题意知|AB|的最小 值即为分别在两个圆上的两点 A，B 间的最短距离．由条件
① ②
①2＋②2 得 x2＋(y－1)2＝1，
即所求普通方程为 x2＋(y－1)2＝1，
答案(dáàn)：x2＋(y－1)2＝1
第二十六页，共70页。
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲三直线的参数方程
解：由题意知 F(1，0)，
x＝1－ 22t，
则直线的参数方程为
(t 为参数)，
y＝
2 2t
代入抛物线方程得( 22t)2＝4(1－ 22t)， 整理得 t2＋4 2t－8＝0，由一元二次方程根与系数的 关系可得 t1＋t2＝－4 2，t1t2＝－8，由参数 t 的几何意义 得 |AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 64＝8.
x＝3＋ 22t，
解：设直线的参数方程为
y＝4＋
2 2t
(t 为参数)，
将它代入已知直线 3x＋2y－6＝0 得 3(3＋ 22t)＋ 24＋ 22t＝6，解得 t＝－115 2，
则|MP0|＝|t|＝115 2.
[迁移探究] (变换条件，改变问法)过抛物线 y2＝4x
的焦点 F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于 A，B 两点，求这两点之间的距离．
4．设直线 l 过点 A(2，－4)，倾斜角为56π，则直线 l 的参数方程是________________．
x＝2＋tcos56π，
解析：直线
l
的参数方程为 y＝－4＋tsin
5 (t 6π
为参
x＝2－ 23t， 数)，即y＝－4＋12t (t 为参数)．
x＝2－ 23t，
答案： y＝－4＋12t
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)直线 y＝2x＋1 的参数方程是xy＝＝2t－t－11，(t 为参 数)．( )
x＝－1＋2t ，
(2)直线的参数方程为 y＝2＋
23t
(t 为参数)，M0(－
1，2)和 M(x，y)是该直线上的定点和动点，则|t|的几何意
【课堂设计】高二数学北师大版选修4-4课件2.2.1 直线的参数方程
为参数)
做一做3
经过点Q(1,2),P(3,7)的直线的参数方程为( )
A.
������ = ������
2+3������ , 1+������ 1+7������ (λ = 1+������
为参数,λ≠-1)
B.
������ = ������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ = 1+������ 1−3������ , 1+������ 2−7������ (λ 1+������
1+3������ , 1+������ 2+7������ (λ 1+������
������������ ,则直线 ������������
为参数,λ≠-1).
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究一直线的参数方程与参数的几何意义
对于一般的参数方程 ,其中的参数可能不具有一定的几何意义 ,但是 直线参数方程中的参数有一定的几何意义.过定点 M0(x0,y0)、 倾斜角 ������ = ������0 + ������cos������, 为 α 的直线 l 的参数方程都可以写成 ������ = ������ + ������sin������ (t 为参数),其 0 中直线上的动点 M(x,y)到定点 M0 的距离等于参数 t 的绝对值.当点 M 在点 M0 的上方时,t>0;当点 M 在点 M0 的下方时,t<0;当点 M 与点 M0 重合时,t=0.很多与线段长度有关的问题,我们可以考虑应用直线 参数方程中 t 的几何意义去求解.
§2
直线的参数方程ppt课件
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5．化直线l的参数方程
x＝－3＋t， y＝1＋ 3t
(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，
说明|t|的几何意义．
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【解】 由xy＝ ＝－ 1＋3＋3tt， 消去参数t，得
直线l的普通方程为 3x－y＋3 3＋1＝0.
故k＝ 3＝tan α，即α＝π3，
几何意义为|
→ M0M
|＝4，且
→ M0M
与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下
方)．
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1．一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上
的动点M(x，y)的参数方程为
x＝x0＋tcos y＝y0＋tsin
α， α
(t为参数)，这是直线参数方程的
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【解析】 将xy＝ ＝12－ ＋23tt 化为y＝－32x＋72， ∴斜率k1＝－32， 显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直， ∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k. 依题意k1k2＝－1，即－4k×－32＝－1， ∴k＝－6. 【答案】 －6
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θ， θ
(θ为参数)交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
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【解】 (1)直线l的参数方程为
x＝－3＋tcos56π＝－3－ 23t， y＝3＋tsin56π＝3＋2t
(t为参数)．
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(2)把曲线C的参数方程中参数θ消去，得4x2＋y2－16＝0. 把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得 4－3－ 23t2＋3＋12t2－16＝0， 即13t2＋4(3＋12 3)t＋116＝0. 由t的几何意义，知 |PA|·|PB|＝|t1·t2|， 故|PA|·|PB|＝|t1·t2|＝11136.
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
§2 直线和圆锥曲线的参数方程
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
首 页
课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
2.3 直线的参数方程 课件(人教A选修4-4)(2)
x＝1＋tcos 解：(1)直线的参数方程为 y＝1＋tsin 3 x＝1＋ 2 t， 即 y＝1＋1t. 2
π 6， π 6，
3 x＝1＋ 2 t (2)把直线 代入 x2＋y2＝4， y＝1＋1t 2 3 2 1 2 得(1＋ 2 t) ＋(1＋2t) ＝4，t2＋( 3＋1)t－2＝0， t1t2＝－2，则点 P 到 A，B 两点的距离之积为 2.
cos x＝1＋t· 提示：根据直线参数方程的定义，易得 y＝5＋t· sin 1 x＝1＋2t， y＝5＋ 3t. 2
π 3 π 3
，即
2 x＝－1－ 2 t 2．已知直线 l 的参数方程为 y＝2＋ 2t 2 l 的斜率为何值？
(t 为参数)，则直线
[读教材· 填要点] 1．直线的参数方程 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为 x＝x0＋tcos α， y＝y0＋tsin α. (t 为参数)． 2．直线的参数方程中参数 t 的几何意义 (1)参数 t 的绝对值表示 参数t所对应的点M到定点M0的
(t 为参数)， 则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________．
[命题立意]
本题主要考查直线的参数方程的应用，以及直
线与圆的位置关系．
π [解析] 因为 0≤θ≤2，所以曲线 C1 的普通方程为 x2＋y2＝ 2 2 2 2 5(x≥0，y≥0)，把直线的参数方程代入，得到(1－ 2 t) ＋(－ 2 t) 2 1－ 2 t≥0， ＝5，且 － 2t≥0， 2
4 x＝1＋5t， 所以直线 l 的参数方程为 y＝1＋3t 5
(t 为参数)．
因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上． 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点的距离公式， 可得|PN|＝ 1＋22＋1－62＝ 34.
2017年高中数学第2讲参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第3课时椭圆的参数方程课件北师大版选修4-4
1．椭圆的参数方程
普通方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
参数方程
x＝ acos φ y＝ bsin φ
(φ为参数)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ为参数)
2.椭圆中参数φ的意义与圆中参数θ的意义的区别是点M所 对应的圆的半径OA(或OB)的____旋__转__角_，称为____离__心__角_，不 是OM的_____旋__转__角_．
(2)利用asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)化简，运用三角 函数的有界性求最值．
[变式训练]
1.求椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的内接矩形中，面积最大
的矩形的长和宽及其最大面积．(如图)
解析：
已知椭圆
x2 9
＋y42
＝1的参数方程为
x＝3cosφ， y＝2sinφ
(φ
消去参数θ得到x－422＋(y－1)2＝1.
[规律方法] 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决 相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
[变式训练] 2.已知线段AB＝4，直线l垂直平分AB，垂足 为点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，Q，使 OP·OQ＝9，求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程．
第三课时 椭圆的参数方程
[学习目标]
1．掌握椭圆的参数方程，并解决一些长度、面积问题． 2．掌握利用椭圆的性质来解决实际问题． 3．通过对具体问题的解决，体会运用数形结合的思想方 法去分析问题和解决问题.
[学法指要]
1．理解椭圆参数方程的意义．(重点) 2．常与方程、三角函数和圆锥曲线结合命题．(难点)
2-3直线的参数方程-课件(人教A版选修4-4)
经过点
3 A－3，－2，倾斜角为
α 的直线 l 与圆 x2＋y2＝25
相交于 B，C 两点． (1)求弦 BC 的长； (2)当 A 恰为 BC 的中点时，求直线 BC 的方程； (3)当|BC|＝8 时，求直线 BC 的方程； (4)当 α 变化时，求动弦 BC 的中点 M 的轨迹方程．
【错解】 把直线方程代入圆的方程，化简得 t2－6t＋2＝0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2，那么 t1＋t2＝6，t1· t2＝2， 由于|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，从而|MA|· |MB|＝|t1· t2|＝2，|AB|＝|t2－t1| ＝ t1＋t22－4t1t2＝ 62－4×2＝2 7.
∴方程必有相异两实根 t1，t2，且 t1＋t2＝3(2cos α＋sin α)， 55 t1 · t2＝－ 4 . (1)|BC|＝|t1－t2|＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 92cos α＋sin α2＋55. (2)∵A 为 BC 中点，∴t1＋t2＝0， 即 2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 3 故直线 BC 的方程为 y＋2＝－2(x＋3)， 即 4x＋2y＋15＝0.
， x＝1＋tcos 75° 方法：把原方程化为标准形式，即 ， y＝1＋tsin 75°
可以看出
直线的倾斜角为 75° .
特别提醒
x＝x0＋at b 过点 M(x0， y0)， 斜率为 k＝a的直线的参数方程为 y＝y0＋bt
(t 为参数)，这种形式称为直线的一般式参数方程，其中的参数 t 不是有向线段的数量轨迹是以 －2，－4 为圆心，以 4 为半径的圆．
易错盘点
(对应学生用书 P23)
易错点
不能正确运用直线参数方程参数 t 的几何意义 t x＝2－2， 已知过点 M(2，－1)的直线 l： y＝－1＋ t 2
参数方程 课件(共29张PPT)
解:根据题意,作出如图所示的单位圆.所要求的函数 f(θ)＝
sin cos
θθ－－12的最大值与最小值,就转化为求动点
P
与定点(2,1)
连线的斜率的最大值与最小值.从图可以得知,当直线 PM
和圆相切时,分别得到其最大值与最小值.设直线 PM 的斜
率为 k,所以,其方程为:y－1＝k(x－2),即 kx－y＋1－2k＝0.
2α(0＜α＜2π),M 为 PQ 的中点.
(1)求 M 的轨迹的参数方程;
(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的
轨迹是否过坐标原点.
【解】 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),
因此 M(cos α＋cos 2α,sin α＋sin 2α).
2π).
(1)x2＋y2＝(－1＋2cos θ)2＋( 3＋2sin θ)2 ＝4( 3sin θ－cos θ)＋8＝8sin(θ－π6)＋8, ∴当 θ－π6＝π2,即 θ＝23π时,(x2＋y2)max＝16. (2)x＋y＝2(sin θ＋cos θ)＋ 3－1 ＝2 2sin(θ＋π4)＋ 3－1, ∴当 θ＋π4＝32π,即 θ＝54π时, (x＋y)min＝ 3－2 2－1.
变式训练
1.(2013·高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参 数方程为yy＝＝2t＋t 1， (t 为参数),曲线 C 的参数方程为
x＝2tan2θ， y＝2tan θ
(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,
并求出它们的公共点的坐标.
解:因为直线 l 的参数方程为xy＝＝2t＋t 1 (t 为参数),由 x＝t＋ 1,得 t＝x－1,代入 y＝2t,得到直线 l 的普通方程为 2x－y－2 ＝0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2＝2x. 联立方程组yy＝2＝22xx－1 ,解得公共点的坐标为(2,2),(12,－ 1).
直线的参数方程
������ ������
������
������
设方程的两实根分别为 t1、t2,则
∴直线截椭圆的弦长是|t1-t2|= (������������ + ������������ ) -������������������ ������������ = .
������
������
������
[问题]上述解法中存在什么错误吗?
为参数)化为普通方程,得 x+y-1=0.将抛物线 C 的参 ������ = ������ 2 数方程 ������ = ������������ ������ (s 为参数)化为普通方程,得 y=2x . ������ + ������- ������ = ������ 2 联立方程 消去 y, 得 2x +x-1=0,解得 ������ ������ = ������������ x1=-1,x2= .直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 (-1,2),( , ).
入椭圆方程可得:
������ ������
2
(������-������) ������
������
+(1+t) =1,
������������ + ������������ = ������������ ������������ =
������ ������ ������ ������
2
即 t + t+ =0.
������ = ������������ + ������������, (t 为参数) ������ = ������������ + ������������ ,这里的
问题4
如何用直线 l 的参数方程求弦长和求弦的中点 坐标? 一般是先设出直线 l 的参数方程为 ������ = ������������ + ������������������������������, (t 为参数),代入圆锥曲线的方程, ������ = ������������ + ������������������������������
������
������
设方程的两实根分别为 t1、t2,则
∴直线截椭圆的弦长是|t1-t2|= (������������ + ������������ ) -������������������ ������������ = .
������
������
������
[问题]上述解法中存在什么错误吗?
为参数)化为普通方程,得 x+y-1=0.将抛物线 C 的参 ������ = ������ 2 数方程 ������ = ������������ ������ (s 为参数)化为普通方程,得 y=2x . ������ + ������- ������ = ������ 2 联立方程 消去 y, 得 2x +x-1=0,解得 ������ ������ = ������������ x1=-1,x2= .直线 l 与抛物线 C 的交点坐标为 (-1,2),( , ).
入椭圆方程可得:
������ ������
2
(������-������) ������
������
+(1+t) =1,
������������ + ������������ = ������������ ������������ =
������ ������ ������ ������
2
即 t + t+ =0.
������ = ������������ + ������������, (t 为参数) ������ = ������������ + ������������ ,这里的
问题4
如何用直线 l 的参数方程求弦长和求弦的中点 坐标? 一般是先设出直线 l 的参数方程为 ������ = ������������ + ������������������������������, (t 为参数),代入圆锥曲线的方程, ������ = ������������ + ������������������������������
高中数学第二节 参数方程ppt课件
2．参数方程与普通方程的互化 通过消去_参__数__从参数方程得到普通方程，如果知道 变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 x＝f(t)，把它 代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 y＝g(t)， 那么xy＝＝gf（（tt）），就是曲线的参数方程．
3．常见曲线的参数方程和普通方程
解：(1)由xy＝＝s3icnoαs α，消去参数 α，得x92＋y2＝1， 即 C 的普通方程为x92＋y2＝1， 由 ρsinθ－π4＝ 2，得 ρsin θ－ρcos θ＝2，① 将xy＝＝ρρscionsθθ，，代入①得 y＝x＋2， 所以直线 l 的倾斜角为π4.
选修4-4 坐标系与参数方程
第二节 参数方程
最新考纲
考情索引
2018·全国卷Ⅱ，
1.了解参数方程及 其参数的意义. 2.能选择适当的参 数写出直线、圆和 椭圆的参数方程.
T22 2018·全国
卷Ⅲ，T22 2017·全国卷Ⅰ， T22 2017·全国卷
Ⅲ，T22 2016·全国卷Ⅱ，
T23
核心素养
[变式训练]
(2019·郑州质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的参数方程为xy＝＝s3icnoαs
α， (α
为参数)，在以原点为极点，
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为
ρsinθ－π4＝ 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角；
(2)设点 P(0，2)，l 和 C 交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|.
(2)(人A选修4－4·P37例2改编)在平面直角坐标系
xOy中，若直线l：
x＝t， y＝t－a
(t为参数)过椭圆C：
x＝3cos y＝2sin
直线的两点式方程课件高二上学期数学人教A版选择性(1)
（1）当 m 0时,求 BC 边所在的直线方程及 BC 边上的中线 AM 所在直线的方程；
解： BC 的中点 M (3 0 , 3 2) ，即 M ( 3 , 1)
22
22
所以过
A(5, 0), M (3 , 2
1) 2
的直线
AM
的两点式方程：
y0 1 0
2
x (5) 3 (5) 2
整理得： x 13y 5 0
只能表示除了平行或垂直于x轴之外的其他 直线.
（二）实践探索、生成新知
追问：若点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) 中有 x1 x2 ，或 y1 y2 ， 此时经过这两点的直线方程能否用两点式方程表示？ 不能 此时的直线方程是什么？
当 x1 x2 时，此时直线与 x 轴垂直， 直线方程为： x x1；
y1 x1
y2 x2
y1 x1
,
( x1
x2
且x
x1 ).
只能表示直线上除去点 P1(x1, y1) 之外的其他点
（二）实践探索、生成新知 结论：
若直线 l 经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) 其中 (x1 x2 , y1 y2 ) ，则直线 l 上任意一点 P(x, y) 的
所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 x 13y 5 0 .
（三）应用探索、加深理解
例 1：已知△ABC 中， A(5,0), B(3, 3),C(m, 2), m R （2）求 AC 边所在的直线方程.
坐标都满足关系式
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 , y1
y2 ) ，
而且坐标满足关系式
新教材2023年秋高中数学第2章直线和圆的方程探究课1方向向量与直线的参数方程课件
2
率为(
A．1
)
B．－1
√
π
C．
2
π
D．－
2
B
[由直线的参数方程൝
= 0 + ，
= 0 +
(t为参数)，
表示过点(x0，y0)，方向向量为(m，n)的直线，
所以直线l的方向向量为
π
2
π
−
2
π
π
− ，
2
2
故k＝ ＝－1，故选B．]
，
= 0 + cos ，
sin α)，这时直线l的参数方程为൝
(t为参数)．
= 0 + sin
【典例】
(1)已知直线l的斜率k＝－1，经过点M0(2，－1)，点M在
直线l上，以0 的模t为参数，求直线l的参数方程．
[解]
∵直线的斜率为－1，∴直线的倾斜角α＝135°，
=3−
=4+
1
，
2
3
2
(t为参数)．
②求直线l与直线x－y＋1＝0的交点坐标．
[解]
把൞
=3−
=4+
1
，
2
3
2
代入x－y＋1＝0，
1
3
得3－ t－4－ t＋1＝0，解得t＝0．
2
2
1
= 3 − ，
2
把t＝0代入൞
得两条直线的交点坐标为(3，4)．3 = 4 + ，
第二章 直线和圆的方程
探究课1
方向向量与直线的参数方程
直线的参数方程
如图所示，设直线l经过点P0(x0，y0)，v＝
率为(
A．1
)
B．－1
√
π
C．
2
π
D．－
2
B
[由直线的参数方程൝
= 0 + ，
= 0 +
(t为参数)，
表示过点(x0，y0)，方向向量为(m，n)的直线，
所以直线l的方向向量为
π
2
π
−
2
π
π
− ，
2
2
故k＝ ＝－1，故选B．]
，
= 0 + cos ，
sin α)，这时直线l的参数方程为൝
(t为参数)．
= 0 + sin
【典例】
(1)已知直线l的斜率k＝－1，经过点M0(2，－1)，点M在
直线l上，以0 的模t为参数，求直线l的参数方程．
[解]
∵直线的斜率为－1，∴直线的倾斜角α＝135°，
=3−
=4+
1
，
2
3
2
(t为参数)．
②求直线l与直线x－y＋1＝0的交点坐标．
[解]
把൞
=3−
=4+
1
，
2
3
2
代入x－y＋1＝0，
1
3
得3－ t－4－ t＋1＝0，解得t＝0．
2
2
1
= 3 − ，
2
把t＝0代入൞
得两条直线的交点坐标为(3，4)．3 = 4 + ，
第二章 直线和圆的方程
探究课1
方向向量与直线的参数方程
直线的参数方程
如图所示，设直线l经过点P0(x0，y0)，v＝
第2讲3直线的参数方程课件人教新课标
应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距
离公式来求出距离，
即 2－52＋－1－02＝ 10.
12345
解析 答案
2.直线
x＝－3＋tcos y＝2＋tsin α
α，(t为参数，α＝Fra bibliotekπ 6
)不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
√D.第四象限
12345
答案
3.若直线 l1：yx＝＝21＋－2ktt， (t 为参数)与直线 l2：xy＝＝s1，－2s (s 为参数)垂直， 则 k＝_－__1_. 解析 由－2k·(－2)＝－1，得 k＝－1.
解答
类型三 直线参数方程的综合应用
x＝－4＋ 22t，
例4
已知曲线
C1：y＝
2 2t
(t 为参数)，C2：xy＝ ＝－1＋2＋ sincθos θ，
(θ 为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
解答
(2)若曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|.
解答
引申探究 1.若点P(－4,0)是曲线C1上的定点，本例其它条件不变，求|PA|＋|PB| 的值.
解答
2.在探究 1 条件不变的情况下，求|P1A|＋|P1B|的值.
解 由探究 1 知，t1＋t2＝3 2，t1·t2＝4，
所以|PA|＋|PB|＝|t1＋t2|＝3 2，
|PA|·|PB|＝|t1t2|＝4.
所以|P1A|＋|P1B|＝|P|PAA|＋|·|P|PBB| |＝3
4
2 .
解答
反思与感悟 (1)参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的 点，由参数方程求曲线交点坐标时，可以通过方程组求出参数值，再根 据参数值得出交点坐标. (2)解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲 线交点之间线段长度的和、乘积等，都可以利用直线参数方程中参数的 几何意义加以解决.
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2 因此, 直线l的方程是y 1 1 ( x 2),
2 即 x 2 y 4 0.
***思考***
例1的解法对一般圆锥曲线适用 吗? 把"中点"改为"三等分点", 直线l 的方程怎样求?
[例2] 当前台风中心P在某海滨城市 O向东300km处生成,并以40km / h的速度 向西偏北45方向移动.已知距台风中心 250km以内的地方都属于台风侵袭的范 围, 那 么 经 过 多 长 时 间 后该城市开始受到台 风侵袭?
直线的参数方程(2)
一、复习回顾
1. 经过点M0( x0 , y0 ), 倾斜角为
的直线l的参数方程为
x
x0
t cos
(t为参数)
y y0 t sin
(1) 直线的参数方程中参数t的几 何意义是: t 表示参数t对应的点M到 定点M0的距离.当M0 M与e同向时, t取 正数;当M0M与e异向时, t取负数;当点 M与M0重合时, t 0.
(2)若与曲线y f ( x)交于M1, M2 两点, 对应的参数分别为t1, t2 .
1)曲线的弦M1M2的长是 ______; 2) 线段M1M2的中点M对应的参数 t的值是__________ .
2. 直线l的参数方程的其他形式
x
x0
at (t为参数)
y y0 bt
二、例题分析 [例1] 经过点M (2,1)作直线l,交椭
成的直线l的方程为
x
300
40t
cos 135 (t为参
数,
t
0)
y 40t sin135
即 x 300 20
2t (t为参数, t 0)
y 20 2t
当点M (300 20 2t,20 2t)在圆O内或
圆O上时,有(300 20 2t )2 (20 2t )2 2502 ,
由于a2 cos2 b2 sin2 0,因此方程
(3)有两个根, 设这两个根分别t1 , t2 , 容易
得到 | PA | | PB || t1 | | t2 || t1t2 |
|
b2 x02 a2 y02 a2b2
b2 cos2 a2 sin2
|.
(4)
同理, 对于直线CD, 将换为 ,即得到
即16t 2 120 2t 275 0,
解得 15 2 5 7 t 15 2 5 7 ,
4
4
由计算器计算可得, t的范围约为2.0 t 8.6.
所 以, 大 约 在2h后 该 城 市 开 始 受 到 台 风侵 袭.
***思考*** 在例2中, 海滨城市O受台风侵袭大
概 持 续 多 长 时 间? 如 果 台 风 侵 袭 的 半 径 也 发 生 变 化(比 如 : 当 前 半 径 为250km, 并 以10km / h的速度不断增大),那么问题又 该如何解决?
p) 0.
由根与系数的关系, 得到t1 t2 2 2(4 p), t1t2 8(4 p).
因为| M1M2 |2 | AM1 | | AM2 |, 所以(t1 t2 )2 | t1 | | t2 | t1t2 , 即(t1 t2 )2 5t1t2 ,所以[2 2(4 p)]2 5 8(4 p), 即4 p 5,即p 1.
经过抛物线y2 2 px( p 0)外的一 点A(2,4)且倾斜角为45的直线l与抛 物线分别交于M1 , M2 .如果 | AM1 |, | M1M2 |, | AM2 | 成等比数列,求p的值.
解 : 直线l的参数方程为
x 2
2t 2 (t为参数)
y
4
2t 2
代入y2 2 px, 得到t 2 2 2(4 p)t 8(4
经过点M (2,1)作直线交双曲线x2 y2 1于A, B两点,如果点M为线段AB的 中 点, 求 直 线AB的 方 程.
解 : 设过点M (2,1)的直线AB的参数
方程为 x 2 t cos (t为参数) y 1 t sin
代入双曲线方程, 整理得
(cos2 sin2 )t 2 2(2cos sin )t 2 0.
|
PC
|
|
PD
||
b2
b2 x02 a2 y02
cos2 ( ) a2
a2b2
sin2 (
)
|
|
b2 x22 a2 y02 a2b2
b2 cos2 a2 sin2
|.
(5)
由(4), (5), 得到| PA | | PB || PC | | PD | .
***思考***
如 果 把 椭 圆 改 为 双 曲 线, 是 否 会 有类似的结论?
由t的几何意义知| MA || t1 |,| MB || t2 | . 因为点M在椭圆内, 这个方程必有两个实
根 , 所 以t1
t2
4(cos 2sin 3sin2 1
)
.
因为点M为线段AB的中点,所以 t1 t2 0, 2
即cos 2sin 0, 于是直线l的斜率为k tan 1 .
[例3] 如图(1)所示, AB,CD是中心 为 点O的 椭 圆 的 两 条 相 交 弦, 交 点 为P . 两 弦AB, CD与 椭 圆 长 轴 的 夹 角 分 别为 1,2, 且1 2.
求证 :| PA | | PB || PC | | PD | .
图(1)
证明: 如图(2)建立平面直角坐标系, 设椭圆的长轴, 短轴的长分别为2a,2b, 则
圆 x2 y2 1于A, B两点,如果点M恰好 16 4
为 线 段AB的 中 点, 求 直 线l的 方 程.
解 : 设过点M (2,1)的直线l的参数方程为
x y
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
t cos t sin
(t为参数)
代入椭圆方程, 整理得
(3sin2 1)t 2 4(cos 2sin )t 8 0.
解 : 取O为原点,OP所在直线为x轴, 建 立直角坐标系, 则点P的坐标是(300,0).
以O为圆心,250km为半径作圆O,当台 风中心移动后的位置M在圆O内或圆O上 时, 城市O将受到台风侵袭. 圆O的方程为x2 y2 2502.
设经过时间t后,台风中心M的坐标
为( x, y), 根据条件知台风中心M移动形
椭 圆 的 方 程 为x 2 a2
y2 b2
1.
(1)
设1 ,点P的坐
标为( x0 , y0 ), 则直线AB 的参数方程为
图(2)
x y
x0 y0
t cos
(t为参数)
t sin
(2)
将(2)代入(1)并整理, 得到
(b2 cos2 a2 sin2 )t 2 2(b2 x0 cos a2 y0 sin )t (b2 x02 a2 y02 a2b2 ) 0. (3)
设t1 , t2为上述方程的两个根, 则
4cos 2sin t1 t2 cos2 sin2 .
因为点M为线段AB的中点,由t的 几何意义可知t1 t2 0,
所以4cos 2sin 0. 于是得到k tan 2.
因 此, 所 求 直 线 的 方 程 为 y 1 2( x 2),即2x y 3 0.
作业布置：第2教材
2 即 x 2 y 4 0.
***思考***
例1的解法对一般圆锥曲线适用 吗? 把"中点"改为"三等分点", 直线l 的方程怎样求?
[例2] 当前台风中心P在某海滨城市 O向东300km处生成,并以40km / h的速度 向西偏北45方向移动.已知距台风中心 250km以内的地方都属于台风侵袭的范 围, 那 么 经 过 多 长 时 间 后该城市开始受到台 风侵袭?
直线的参数方程(2)
一、复习回顾
1. 经过点M0( x0 , y0 ), 倾斜角为
的直线l的参数方程为
x
x0
t cos
(t为参数)
y y0 t sin
(1) 直线的参数方程中参数t的几 何意义是: t 表示参数t对应的点M到 定点M0的距离.当M0 M与e同向时, t取 正数;当M0M与e异向时, t取负数;当点 M与M0重合时, t 0.
(2)若与曲线y f ( x)交于M1, M2 两点, 对应的参数分别为t1, t2 .
1)曲线的弦M1M2的长是 ______; 2) 线段M1M2的中点M对应的参数 t的值是__________ .
2. 直线l的参数方程的其他形式
x
x0
at (t为参数)
y y0 bt
二、例题分析 [例1] 经过点M (2,1)作直线l,交椭
成的直线l的方程为
x
300
40t
cos 135 (t为参
数,
t
0)
y 40t sin135
即 x 300 20
2t (t为参数, t 0)
y 20 2t
当点M (300 20 2t,20 2t)在圆O内或
圆O上时,有(300 20 2t )2 (20 2t )2 2502 ,
由于a2 cos2 b2 sin2 0,因此方程
(3)有两个根, 设这两个根分别t1 , t2 , 容易
得到 | PA | | PB || t1 | | t2 || t1t2 |
|
b2 x02 a2 y02 a2b2
b2 cos2 a2 sin2
|.
(4)
同理, 对于直线CD, 将换为 ,即得到
即16t 2 120 2t 275 0,
解得 15 2 5 7 t 15 2 5 7 ,
4
4
由计算器计算可得, t的范围约为2.0 t 8.6.
所 以, 大 约 在2h后 该 城 市 开 始 受 到 台 风侵 袭.
***思考*** 在例2中, 海滨城市O受台风侵袭大
概 持 续 多 长 时 间? 如 果 台 风 侵 袭 的 半 径 也 发 生 变 化(比 如 : 当 前 半 径 为250km, 并 以10km / h的速度不断增大),那么问题又 该如何解决?
p) 0.
由根与系数的关系, 得到t1 t2 2 2(4 p), t1t2 8(4 p).
因为| M1M2 |2 | AM1 | | AM2 |, 所以(t1 t2 )2 | t1 | | t2 | t1t2 , 即(t1 t2 )2 5t1t2 ,所以[2 2(4 p)]2 5 8(4 p), 即4 p 5,即p 1.
经过抛物线y2 2 px( p 0)外的一 点A(2,4)且倾斜角为45的直线l与抛 物线分别交于M1 , M2 .如果 | AM1 |, | M1M2 |, | AM2 | 成等比数列,求p的值.
解 : 直线l的参数方程为
x 2
2t 2 (t为参数)
y
4
2t 2
代入y2 2 px, 得到t 2 2 2(4 p)t 8(4
经过点M (2,1)作直线交双曲线x2 y2 1于A, B两点,如果点M为线段AB的 中 点, 求 直 线AB的 方 程.
解 : 设过点M (2,1)的直线AB的参数
方程为 x 2 t cos (t为参数) y 1 t sin
代入双曲线方程, 整理得
(cos2 sin2 )t 2 2(2cos sin )t 2 0.
|
PC
|
|
PD
||
b2
b2 x02 a2 y02
cos2 ( ) a2
a2b2
sin2 (
)
|
|
b2 x22 a2 y02 a2b2
b2 cos2 a2 sin2
|.
(5)
由(4), (5), 得到| PA | | PB || PC | | PD | .
***思考***
如 果 把 椭 圆 改 为 双 曲 线, 是 否 会 有类似的结论?
由t的几何意义知| MA || t1 |,| MB || t2 | . 因为点M在椭圆内, 这个方程必有两个实
根 , 所 以t1
t2
4(cos 2sin 3sin2 1
)
.
因为点M为线段AB的中点,所以 t1 t2 0, 2
即cos 2sin 0, 于是直线l的斜率为k tan 1 .
[例3] 如图(1)所示, AB,CD是中心 为 点O的 椭 圆 的 两 条 相 交 弦, 交 点 为P . 两 弦AB, CD与 椭 圆 长 轴 的 夹 角 分 别为 1,2, 且1 2.
求证 :| PA | | PB || PC | | PD | .
图(1)
证明: 如图(2)建立平面直角坐标系, 设椭圆的长轴, 短轴的长分别为2a,2b, 则
圆 x2 y2 1于A, B两点,如果点M恰好 16 4
为 线 段AB的 中 点, 求 直 线l的 方 程.
解 : 设过点M (2,1)的直线l的参数方程为
x y
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1
t cos t sin
(t为参数)
代入椭圆方程, 整理得
(3sin2 1)t 2 4(cos 2sin )t 8 0.
解 : 取O为原点,OP所在直线为x轴, 建 立直角坐标系, 则点P的坐标是(300,0).
以O为圆心,250km为半径作圆O,当台 风中心移动后的位置M在圆O内或圆O上 时, 城市O将受到台风侵袭. 圆O的方程为x2 y2 2502.
设经过时间t后,台风中心M的坐标
为( x, y), 根据条件知台风中心M移动形
椭 圆 的 方 程 为x 2 a2
y2 b2
1.
(1)
设1 ,点P的坐
标为( x0 , y0 ), 则直线AB 的参数方程为
图(2)
x y
x0 y0
t cos
(t为参数)
t sin
(2)
将(2)代入(1)并整理, 得到
(b2 cos2 a2 sin2 )t 2 2(b2 x0 cos a2 y0 sin )t (b2 x02 a2 y02 a2b2 ) 0. (3)
设t1 , t2为上述方程的两个根, 则
4cos 2sin t1 t2 cos2 sin2 .
因为点M为线段AB的中点,由t的 几何意义可知t1 t2 0,
所以4cos 2sin 0. 于是得到k tan 2.
因 此, 所 求 直 线 的 方 程 为 y 1 2( x 2),即2x y 3 0.
作业布置：第2教材