高数计算题答案

二． 计算题（每小题7分，共70分） 1。设z

y x x

z

y

u =

的全微分du

解：两边取对数

z x y z x y u ln ln ln ln ++=-----（1）， 再对（1）两边取全微分：

⎪⎭⎫ ⎝

⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dz z x zdx ydz dy y z

xdy dx x y du u ln ln ln 1 .ln ln ln dz z x y dy y z x dx z x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛

++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 所以，.ln ln ln dz z x y dy y z x dx z x y u du ⎪⎭

⎫

⎝⎛

++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 2．计算由方程

y

z

z x ln =确定的函数()y x z z ,=的全微分。 解：原方程化为y z z z x ln ln 2-=----（1） （1）式两边全微分，得：

()⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-+=ydz dy y z dz z dx ln ln 12，整理，得：

()dy y

z y

z

dx y z dz dy y z dx dz y z ln ln 1ln ln 122ln ln 1-++-+=⇒+=-+

=======

)

1( dz .222212122

yz xy x z z dy z

x y z dx z x z +++=+

++ 3．设()y x z z ,=，由方程0,,=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛x z z y y x F 确定，且F 为可微函数，求dz 。

解：方程两边求全微分，并注意到一阶全微分形式的不变性，有：

.0/3/2/

1=⎪

⎭⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛x z d z y d y x d F F F 即： 01112/32/22/

1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-dz x dx z dz y dy z dy x dx y x F z F y F ，整理，得：

dy x z dx z y dz x y F y F F x F F F z ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-/

12/2/32/1/3/22111，故：

.1111/3/22/12/2/3/22/32/1dy x y x z dx x y z y dz F F z F y F F F z F x F ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⇒

4．设函数(

)

2,sin ,22

2

+-=x x x y y x f z ，其中f 具有二阶连续偏导数，求

.;22

y

z

x z ∂∂∂∂ 解：（一）

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+

+

+=∂∂x x y xf x

z f

f

f x 2cos 2.2/

3/2

/12

（二）

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

=∂∂-x y

z f

f

x

sin /

2/1

2

，所以

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+

+⎥⎦⎤⎢⎣⎡

+

-=∂--∂x x x z f

f

f f x y

sin sin sin //

22//21

//

12//11

2

2

2

5。求曲线..

0,

6:222

⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γz y x z

y x 在点()1,2,1-的切线。 解：方程组两边关于x 求导，得：

..01,0222⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

=++=++dx

dz dx dy dx

dz z dx dy y x ，----（1） 将点()1,2,1-代入（1），得：

..01,0242||||1

11

1⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=++=+-====x x x x dx dz dx dy dx dz dx dy 解之，有：.1,0||1

1-====x x dx dz dx dy 所以，切线向量为：{}1,0,1-=s

故曲线在点()1,2,1-的切线为：

.1

1

0211--=+=-z y x 6． 计算,42

2

σd I D

y x ⎰⎰-

-=其中D 是x y

x 22

2

≤+。

解：

.9

32384cos 202

22

-=

-=⎰

⎰-πθθ

π

πrdr d I r 7．计算dx dy I y

x

y

e ⎰

⎰=1

1

解：

交换积分次序，

()

[].

2

1211211_1||1010

10101

0001

02

2

=-=--==-=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⎰⎰⎰⎰⎰⎰x xdx

dx dx x dx x x dy x

dx I e xe e e e x

x x x y x

y

三．试证明：点()2,3是函数()(

)

⎪⎭

⎫

⎝⎛--=y x y x y x f 2

2

46,的极值点。（10分）

解：()()()()().246,,426,2

/

2

/

⎪⎩⎪⎨⎧--=⎪⎭

⎫

⎝

⎛--=y x y x y x y x x f y f y

x

因为()(),02,32,3/

/

==f f y x 所以点()2,3是函数()()⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--=y x y x y x f 2

246,的驻点。

()()()()()()()26,,2426,,

42,2

//

//

2

//

--=--=⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

--=x f f y f x y x y x y x y y x yy xy xx 。 记

()()()0144,182,3,02,3,082,32

//

////

<-=-=∆-===<-==

AC B A B

f f f yy

xy

xx

所以，点()2,3是函数()()

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-

-=y x y x y x f 2

2

46,的极大值点。

四．设Ω是由曲面y

x z 2

2

4-

--=和y

x z 2

2

+-

=所围成的区域，试分别写

出()dv z y x f I ⎰⎰⎰Ω

=,,在直角坐标；柱坐标；球面坐标系下的三次积分（14分） 解：