蚌埠高中创新潜质特长生招生测试数学试题蚌埠二中

2018年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试

理科素养 数学试题

注意事项：

1. 本卷满分150分，考试时间120分钟。

2. 所有试题必须在答题卡上作答，答案写在试卷上一律无效。

一、选择题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的A ，B ，C ，D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.） 1.

的值是常数2，则实数a 的取值范围是 A . 1a =或3a =

B . 13a ≤≤

C . 3a ≥

D . 1a ≤

2. 已知090α︒<<︒，1

sin cos 5

αα-=

，则sin cos αα+= A . 45 B . 1 C . 65 D . 75

3. 如图，AB 是圆O 的直径，AD AB ⊥，点C 在圆O 上，且AD CD ⊥，若2CD =，

3AD =，则AB 的长度为

B

A .

B .

C .

13

2

D . 13 4. 如图，在矩形ABCD 中，3AB =，将ABD ∆沿对角线BD 折叠，得到EBD ∆，D

E 与

BC 相交于点F ，若2DF EF =，则四边形BDCE 的面积为

A

B

A .

4 B . C .

2

D . 5. 22222

13572019+++++的个位数是

A . 0

B . 1

C . 5

D . 6

6. 已知正整数1x ，2x ，…，10x 满足1210x x x <<

<，且22

212

102018x x x +++≤，则

85x x -的最大值为

A . 18

B . 19

C . 20

D . 21

二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分.请将答案直接填在答题卡上.） 7.

已知x =

432

1x x --= . 8. 在一个不透明的盒子中装有2个白球和若干个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若从中随机摸出一个球是白球的概率为1

3

，则从中随机摸出2个球至少有一个白球的概率为 .

9. 若关于x 的不等式组22

25

2

x

a x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪->+⎪⎩的解集中恰好含有3个整数，则实数a 的取值范围

是 .

10. 如图，点A 在直线y x =上，点B 在反比例函数(0)k

y k x

=

≠的图象上，点C 在x 轴上，点O 为坐标原点，若四边形OABC

，则k = .

11.

2AE CD +=，则这个五边形的面积为 .

A

12. 定义符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]4.34=，[]2.13-=-，则方程

[]250x x --=的解为 .

三、解答题：（本大题共6小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分10分）实数x ，y ，a ，b 满足2a b +=，3x y +=，5ax by +=，将

代数式2

2

2

2

()()a b xy ab x y +++因式分解并求值.

14.（本小题满分12分）已知一次函数121

2121

k y x k k -=

+

++. ⑴ （6分）证明：该函数的图象恒过定点；

⑵ （6分）当k n =（n 为正整数）时，记该函数的图象与坐标轴所围成的三角形的面积为n S ，若1232018S S S S S =++++，求S 的值.

15.（本小题满分12分）关于x 的一元二次方程2

(1)10ax a x a +++-=的两根为1x ，2x .

⑴ （4分）求证：12(1)(1)x x --为定值； ⑵ （8分）若1x ，2x 均为整数，求实数a 的值.

16.（本小题满分14分）如图，点P 是ABC ∆的内心，E ，F 是线段AB 上的两点，且满

足AF AC =，BE BC =.

⑴ （6分）求证：点P 为CEF ∆的外心；

⑵ （8分）若100ACB ∠=︒，求EPF ∠的度数.

A

C

B

17.（本小题满分14分）如图，直线1

22

y x =

+与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点，抛物线经过点A 和点B ，并与x 轴交于C 点，且ABC ∠为直角. ⑴ （4分）求点C 的坐标及抛物线的解析式；

⑵ （3分）点P 是抛物线的对称轴上的一个动点，求PB PC +的最小值；

⑶ （7分）点M 是抛物线上位于第二象限的动点，求点M 到直线1

22

y x =+的距离

的最大值.

18.（本小题满分16分）如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O ，60BAC ∠=︒，BD AC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，BD 与CE 的交点记为H 点，点M 位于线段BD 上且BM CH =.

⑴ （6分）证明：B ，C ，H ，O 四点共圆； ⑵ （10分）若2OM =，求MH .