五年级奥数春季实验班第2讲 组合数学之染色与覆盖
染色与覆盖
第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。
知识构架图：染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ） 例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。
我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。
提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。
（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。
新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。
2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。
所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。
五年级奥数精讲-染色与覆盖
用 9 个 1×4 的长方形能不能拼成一个 6×6 的正方形？请说明理 由。
用若干个 2×2 和 3×3 的小正方形能不能拼成一个 11×11 的大正 方形？请说明理由。
（2010 年迎春杯初赛试题） 在左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作．经过有限次操作后由左下表变为右下表，那么右 下表中 A 处的数是几？
染色与覆盖（二）
如图有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问 能用这 5 个硬纸板拼成图中的 4×5 的长方形吗？如果能，请画出 一种拼法；如果不能，请简述理由。
能否用 9 个 所示的卡片拼成一个 6×6 的棋盘？
在 6×6 的方格表中，用若干由 3 个单位方格组成的“L ”形纸片和 由 4 个单位方格组成的“凸”形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少 为多少张?并在图中画出覆盖的方法。
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小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
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【导语】经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂。
数学思想方法是数学知识的精髓，是分析、解决数学问题的基本原则，也是数学素养的重要内涵，它是培养学生良好思维品质的催化剂。
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先定义几个小名词：日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题能力。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色进行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存在日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存在日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
五年级下册奥数试题-组合数学之染色与覆盖 全国通用(含答案)
组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者 （填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。
解：答：不能；如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。
例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。
如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问警察应如何取胜。
解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）； 第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，从A 点出发的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中至少有3条是同色的，不妨设AB 、AC 、AD 为红色，我们再看△BCD 的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD ，若△BCD 中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC 是红色，则AB 、AC 、BC 都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问 （“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
【小学奥数】小学数学精品奥数--关于染色与操作问题【精编】
第十一讲：染色与操作问题一、染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.二、操作问题实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。
模块一、染色问题【例1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．【巩固】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？【解析】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?【解析】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．【例2】右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【解析】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．【例3】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？【解析】下图(1)中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.【例4】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【解析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●. 因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。
五年级奥数：染色问题
五年级奥数：染色问题染色问题的解题思路染色问题是数奥解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。
图一首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。
什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接的最多。
例如图一中A区域A与B、C、D、E、 F连接最广所以A为特殊区域。
找到这个区域问题就容易解决了。
这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。
本题中有4种颜色那么A可以染4种颜色了。
完成这个事件需要A、B、C、D、E、F6步所以用乘法原理。
这道题找到了最特殊的A区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容易了，C区域是与A相连，连接区域的数量仅次于A区域图一中的C和E区域都可以做第二个特殊区域了，但只能选一个，我们把C当成第二特殊的区域，则C可以染3种颜色。
区域B跟A、C相连那么 B可以染2种。
D与A、C、E相连则只能选1种，对吗？我们仔细观察，按顺序说A----4，C------3，B-------2，D则连接A、C当A 选色后C有3种可能，D在A、C选色后只有2种可能。
E连接A、D也有两种可能。
F也是连接着A、E有两种可能。
这道题就解出来了。
有4×3×2×2×2=96种可能。
这道题跟以下一道题有异曲同工之效，大家不妨一起看下图二。
图二图中A与B、C相连有4种染色方式，为第一特殊区域。
而B是与A相连的第二特殊区域（切记，此时选第二特殊区域，乃是跟第一特殊区域相连的一个区域）B有3种可能，C连接A、B则有2种可能，D连接B、C则有2种可能，同理E也有2种可能。
所以此题有4×3×2×2×2=96种可能的染色。
再来看一个稍微复杂点的问题如图三 图三图中A有5种染色方式C------ 4，B-----3，D-----3，E------3，F------3，G------3。
小学奥数 五年级奥数竞赛班 讲义 [第74讲]本学期知识梳理与总结
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本学期知识梳理与总结第1讲分数四则混合运算第2讲数学思想与方法(从简单情况入手)第3讲染色与覆盖(一)第4讲染色与覆盖(二)第5讲因数与倍数综合运用第6讲行程问题——方程与比例方法(一)第7讲行程问题——方程与比例方法(二)第8讲复合图形的分拆(一)第9讲复合图形的分拆(二)第10讲多元一次方程组(一)第11讲多元一次方程组(二)第12讲同余(一)第13讲同余(二)第14讲比较与估算(一)第15讲比较与估算(二)第16讲定义新运算第17讲不定方程第18讲电梯、发车间隔与接送问题第19讲余数问题(逐级满足法)第20讲本学期知识梳理与总结我叫崔兆玉，从小就是一名语文擅长者，三岁的时候就能认字儿，五岁的时候讲故事能把全幼儿园的老师和家长讲愣了。
我的语言功底可能从那时候就开始培养了吧。
五岁半的时候我出演了话剧，在全市晚会上演出，我是演员里唯一一名男士。
别的男孩儿家长不服气，质问老师凭什么让我演，老师就一句：你们谁有他像大灰狼？？当时妈妈的表情应该是这样的——⊙﹏⊙b。
也就是从那以后，不怯场，爱表现，极臭美，总自恋，就成了我性格里不可或缺的部分了。
孩儿们，你们知道自己性格特点吗？回想一下，性格是自己形成的，别把别人贴给你的标签，当做本来的自己了哦！了解自己，认可自己，就是我做孩子的小秘籍呢。
上了小学，理工科出身的父母对我的数学学习进行了全方位多点式的轰炸式培养。
培养的方法也比较暴力，具体说就是早上看例题，上午做作业，下午做作业，晚上做作业，经常一个个的休息日就这么度过了。
我的语文爱好，自然就转入了数学擅长。
那时我想，有了我的孩子，我可一定不能这样用爱折磨他。
现在虽然还没有儿子，但我把我每一个线下班和网校教过的孩子都当做我自己的孩子。
给他们全部的爱，就是八分的教育，九分的环境，十分的信任。
太多的家长在孩子成长的过程中充当了法院的角色，评判，指挥，打分，宣布乃至强制执行，孩子们无意中就被放在了法院的对立面。
我倒建议家长不妨多做做陪审团，观察孩子的所有性格特点，起心动念，再给予适当的建议，建立一种亦师亦友的亲子关系。
跃峰奥数PPT2组合几何4-3(染色问题之区域格点染色)
奥数系列讲座——组合几何4-3（染色问题之区域格点染色）●冯跃峰本讲内容本节为第2板块（组合几何）第4专题（染色问题）的第3小节（区域格点染色），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
编号与染色的一个共同特征就是分类。
当编号只用到数字的互异性时，编号与染色是等价的。
当编号涉及其他数字特征时，则要发掘图形特征与数字特征的相互关系，由此寻找规律。
编号与染色常有如下3种思考方法：3种思维方法局部扩展先构造局部，然后扩展到整体（注意整体目标的分解）研究特例归纳通式、迁移特征、建立递归、变动化归。
拟对象逼近先构造满足部分条件的拟对象，然后改进本次讲座介绍变若（x ，y ）是红色，则T 中所有满足x'≤x 且y'≤y 的点（x'，y'）均为红色。
如果n 个蓝点的横坐标各不相同，则称这n 个蓝点所成的集合为一个X-集；如果n 个蓝点的纵坐标各不相同，则称这n 个蓝点所成的集合为一个Y-集。
证明：X-集的个数f （X ）与Y-集的个数f （Y ）相等。
（第43届IMO ）【题感】目标很简单，证明两个集合容量相等【1】。
但条件非常复杂【1】，自然想到先将其简化。
它包括两个方面：（1）点集的存在域【1】；（2）染色具有的性质【1】。
其中（1）有明显的几何意义（三角形区域），但为便于计算f （X ）等，可将有关格线编号。
别扭的是“染色性质”，这自然想到用相应几何图形来刻画。
【符号化】集合T 是由直线x=0，y=0【1】，及x+y=n-1【1】围成的三角形区域。
为方便，从下至上将直线y=0，y=1，…，y=n-1称为第1行，第2行，…第n 行【1】；从左至右将直线x=0，x=1，…x=n -1称为第1列，第2列，……第n 列【1】；从上至下将直线x+y=n-1，x+y=n-2，…x+y=0称为第1斜行，第2斜行，…第n 斜行【1】。
五年级奥数排列组合之染色
东坡踏翠 （打一中国数学家）
答案：苏步青
介绍一位数学家的成就或故事.
恭喜!恭喜! 请按这个按钮! 傻瓜哈!罚哈你!再对按自!己 说:“你太粗心了！
没做出来啊？罚！你 是哪队的就学哪队的 叫声。哈哈！
泰山中无人无水。 (猜一数字)
答案：三
旭日东升。 (猜一数字)
答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ九
语言不通口难开。 (猜一数字)
一个数字3，走在 路上翻了一个跟头， 结果不小心以翻了 一个。(打一成语)
答案：三翻两次
俄国大文豪托尔斯泰在谈到 对人的评价时说：“一个人 就好像一个分数，它的实际 才能好比分子，而他对自己 的估价好比分母。分母越大， 则分数值就越小。”
把这句话背下来。
两只鸟儿并排飞，一 只瘦来一只肥，一年 中来一次，一月当中 来三回。(打一数字)
一个点或同一条线段只能经过一
次.这只甲虫最多有多少种不同
的走法? A
B
C
D
E
例3：从学校到少年宫有4条 东西向的马路和3条南北向的 马路相通,小杰从学校步行到 少年宫(只许向东或向南行进)， 最多有多少种走法？
学校
少年宫
如图,从P到Q共有多少种 不同的最短路线？
P
Q
如图，长方体有12条棱，8个顶 点，一只小蚂蚁从A点出发沿 棱爬行,要经过每个顶点一次,且 只经过一次.问共有多少种不同 的走法?
例1:用红、黄、蓝三色 给边长分别为3、4、5、 6、7的五边形的各边 染色，要求相邻两边 不许同色，共有多少 种不同染法？
例3:地图上有A、B、C、
D、E五个国家用五种颜
色去染，要求相邻国家染
不同的颜色。问：有多少
种不同染法？
五年级奥数乘法原理之染色法教师版
五年级奥数乘法原理之染色法教师版2.使学生分清楚什么时候用乘法原理,分清有几个必要的步骤,以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题,本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课,首先得从家出发到长宁上8点的课,然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行）,然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁）,同学们,你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线?我们看上面这个示意图,老师必须先的到长宁,然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的,老师是一定要先到长宁上完课,才能去黄埔的．在没学乘法原理之前,我们可以通过一条一条的数,把线路找出来,显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具,并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具,那一共有多少条线路呢?这样数,恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事,这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔,必须要先到长宁,那么一共可以分成两个必不可少的步骤,一是从家到长宁,二是从长宁到黄埔）,第1步有A 种不同的方法,第二步有B 种不同的方法,……,第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法．结合上个例子,老师要完成从家到黄埔的这么一件事,需要2个步骤,第1步是从家到长宁,一共5种选择；第2步从长宁到黄埔,一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了,即10条．教学目标 知识要点7-2-3乘法原理之染色问题三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字,然后有5种颜色可以给每个字然后,问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图,比如中国每个省的染色情况,给你几种颜色,问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学,排成一个队伍,有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列,比如说给你几个数字,然后排个几为数的偶数,有多少种排法．【例 1】地图上有A ,B ,C ,D 四个国家(如下图),现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色,使相邻国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法?DC B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】A 有3种颜色可选；当B ,C 取相同的颜色时,有2种颜色可选,此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理,不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ,C 取不同的颜色时,B 有2种颜色可选,C 仅剩1种颜色可选,此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理,不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上,根据加法原理,共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色,使相邻国家的颜色不同,但不是每种颜色都必须要用,问有多少种染色方法?【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步,首先对A 进行染色一共有4种方法,然后对B 、C 进行染色,如果B 、C 取相同的颜色,有三种方式,D 剩下3种方式,如果B 、C 取不同颜色,有326⨯=种方法,D剩下2种方法,对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法． 【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决,有的需要分类解决,前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一,使得每个圆里面恰有四种颜色,则一共有__________种不同的染色方法．例题精讲7654321【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同,所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示,当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后,由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同,所以只能与1号区域的颜色相同,同理5号区域只能与4号区域的颜色相同,7号区域只能与2号区域的颜色相同,所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后,其他区域的颜色也就相应的只有一种染法,所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】如图,地图上有A ,B ,C ,D 四个国家,现用五种颜色给地图染色,要使相邻国家的颜色不相同,有多少种不同染色方法?DCB A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色,我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色,有5种颜色可选．第二步：给B 染色,由于B 不能与A 同色,所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色,由于C 不能与A 、B 同色,所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色,由于D 不能与B 、C 同色,但可以与A 同色,所以D 有3种颜色可选．根据分步计数的乘法原理,用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】180【巩固】如图,一张地图上有五个国家A ,B ,C ,D ,E ,现在要求用四种不同的颜色区分不同国家,要求相邻的国家不能使用同一种颜色,不同的国家可以使用同—种颜色,那么这幅地图有多少着色方法?ED C BA【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步,给A 国上色,可以任选颜色,有四种选择；第二步,给B 国上色,B 国不能使用A 国的颜色,有三种选择；第三步,给C 国上色,C 国与B ,A 两国相邻,所以不能使用A ,B 国的颜色,只有两种选择；第四步,给D国上色,D国与B,C两国相邻,因此也只有两种选择；第五步,给E国上色,E国与C,D两国相邻,有两种选择．共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．【答案】96【例4】如图：将一张纸作如下操作,一、用横线将纸划为相等的两块,二、用竖线将下边的区块划为相等的两块,三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块,四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……,如此进行8步操作,问：如果用四种颜色对这一图形进行染色,要求相邻区块颜色不同,应该有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】对这张纸的操作一共进行了8次,每次操作都增加了一个区块,所以8次操作后一共有9个区块,我们对这张纸,进行染色就需要9个步骤,从最大的区块从大到小开始染色,每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……,所以一共有：⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．4322222221536【答案】1536【巩固】用三种颜色去涂如图所示的三块区域,要求相邻的区域涂不同的颜色,那么共有几种不同的涂法?ABC【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步．第一步,涂A部分,那么就有三种颜色的选择；第二步,涂B部分,由于要求相邻的区域涂不同的颜色,A和B相邻,当A确定了一种颜色后,B只有两种颜色可选择了；第三步,涂C部分,C和A、B都相邻,A和B确定了两种不相同的颜色,那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3216⨯⨯=【答案】6【例5】如图,有一张地图上有五个国家,现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色,使相邻的国家所染的颜色不同,不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题,因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的,如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题,所以对这幅地图染色同样一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．【讨论】如果染色步骤为----C A BD E,那么应该该如何解答?答案：也是4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．如果染色步骤为----C AD B E那么应该如何解答?答案：染色的前两步一共有4×3种方法,但染第三步时需要分类讨论,如果D与A颜色相同,那么B有2种染法,E也有2种方法,如果D与A染不同的颜色,那么D有2种染法那么B只有一种染法,E有2种染法,所以一共应该有43(122212)96⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法,(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理,加法原理在下一讲中将会讲授),染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【巩固】某沿海城市管辖7个县,这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色,要求任意相邻的两个县染不同颜色,共有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】为了便于分析,把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如左下图)．GF DC B AE为了便于观察,在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么,为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有7个区域,我们不妨按A、B、C、D、E、F、G的顺序,用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A,有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B,由于B不能与A同色,所以区域B的染色方式有4种；第3步：染区域C,由于C不能与B、A同色,所以区域C的染色方式有3种；第4步：染区域D,由于D不能与C、A同色,所以区域D的染色方式有3种；第5步：染区域E,由于E不能与D、A同色,所以区域E的染色方式有3种；第6步：染区域F,由于F不能与E、A同色,所以区域F的染色方式有3种；第7步：染区域G,由于G不能与C、D同色,所以区域G的染色方式有3种．根据分步计数的乘法原理,共有54333334860⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】4860【例6】用3种颜色把一个33⨯的方格表染色,要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同,一共有种不同的染色法．【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】 根据题意可知,染完后这个33⨯的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色．用3种颜色染第一行,有336P =种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格,有2种染法；当第一行和第一列都染好后,再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色,可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以,根据乘法原理,共有326⨯=种不同的染法．【答案】6【例 7】如右图,有A 、B 、C 、D 、E 五个区域,现用五种颜色给区域染色,染色要求：每相邻两个区域不同色,每个区域染一色．有多少种不同的染色方式?EDC BA 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 先采用分步：第一步给A 染色,有5种方法；第二步给B 染色,有4种方式；第三步给C 染色,有3种方式；第四步给D 染色,有3种方式；第五步,给E 染色,由于E 不能与A 、B 、D 同色,但可以和C 同色．此时就出现了问题：当D 与B 同色时,E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时,E 有2种颜色可染．所以必须从第四步就开始分类：第一类,D 与B 同色．E 有3种颜色可染,共有5433180⨯⨯⨯=（种）染色方式； 第二类,D 与B 异色．D 有2种颜色可染,E 有2种颜色可染,共有54322240⨯⨯⨯⨯=（种）染色方式．根据加法原理,共有180240420+=（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决,但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决．【答案】420【巩固】如右图,有A ,B ,C ,D 四个区域,现用四种颜色给区域染色,要求相邻区域的颜色不同,每个区域染一色．有多少种染色方法?D C B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有4种颜色可选,然后分类：第一类：B ,D 取相同的颜色．有3种颜色可染,此时D 也有3种颜色可选．根据乘法原理,不同的染法有43336⨯⨯=（种）；第二类：当B ,D 取不同的颜色时,B 有3种颜色可染,C 有2种颜色可染,此时D 也有2种颜色可染．根据乘法原理,不同的染法有432248⨯⨯⨯=（种）．根据加法原理,共有364884+=(种)染色方法．【答案】84【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色,要求相邻的区域的字染不同的颜色,但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?学奥而思数【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步给“而”上色,有4种选择；然后对“学”染色,“学”有3种颜色可选；当“奥”,“数”取相同的颜色时,有2种颜色可选,此时“思”也有2种颜色可选,不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”,“数”取不同的颜色时,“奥”有2种颜色可选,“数”剩仅1种颜色可选,此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同),不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以,根据加法原理,共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法．【答案】72【例8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A,B,C,D,E,F六个区域染色,要求相邻的区域染不同的颜色,但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】先按A,B,D,C,E的次序染色,可供选择的颜色依次有5,4,3,2,3种,注意E与D的颜色搭配有339⨯=(种),其中有3种E和D同色,有6种E和D异色．最后染F,当E 与D同色时有3种颜色可选,当E与D异色时有2种颜色可选,所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【答案】840【例9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色,要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色,共有多少种不同涂法?D CBA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图,当A,B,C,D的颜色确定后,大正方形四个角上的○的颜色就确定了,所以只需求A,B,C,D有多少种不同涂法．按先A,再B,D,后C的顺序涂色．按---A B D C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B,D取相同的颜色时,有2种颜色可选,此时C也有2种颜色可选,不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B,D取不同的颜色时,B有2种颜色可选,D仅剩1种颜色可选,此时C也只有1种颜色可选(与A相同),不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以,根据加法原理,共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【例10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图,每个面都是完全相同的正三角形）的4个面,使不同的面涂有不同的颜色,共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法,才被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯,中年级,复赛,第9题【解析】不旋转时共有4×3×2×1=24种染色方式,而一个正四面体有4×3=12种放置方法（4个面中选1个作底面,再从剩余3个面中选1个作正面）,所以每种染色方式被重复计算了12次,则不同的染色方法有24÷12=2种。
棋盘覆盖与染色法
染色问题与组合数学紧密联系，这里主要讨论 了自然（间隔）染色法。
覆盖是一类比较复杂的问题。关于完美匹配、 最小匹配等问题的深入讨论，需要用到图论中 的更多知识。
骑士巡游问题
约定任两个覆盖形互不重叠，任一覆盖形中任 一格总与棋盘上某格重合。
按覆盖效果，可分为完全覆盖、饱和覆盖、无 缝覆盖和互异覆盖
完全覆盖：各个覆盖形的总格子数等于棋盘的总格 子数
按覆盖形，可分为同形覆盖和异形覆盖
同形覆盖：只有一种覆盖形 异形覆盖：有多种覆盖形
用不同颜色对棋盘格子进行染色，起到分类的 效果。类似国际象棋盘上的黑白二染色，称为 “自然染色”。
林嘉怡 胡薇
蒲昭昭
1、棋盘覆盖与染色法 ——蒲昭昭
2、骑士巡游问题 ——林嘉怡、胡薇
棋盘覆盖问题 染色法 应用源自棋盘：所谓m*n棋盘，指由m行n列方格构成的 m*n矩形。每个方格成为棋盘的格，位于第i行j 列的格记为a(i,j)。当i+j为奇（偶）数时，称 a(i,j)为奇（偶）格。
棋盘覆盖问题：指用若干图形去覆盖棋盘；覆 盖的每个图形由若干格子组成，称为覆盖形；
充分性：
若条件(i)满足，不妨设x=m，y=n，令m=ps，n=qt, 则m*n的棋盘可以划分为s*t个p*q矩形，结论成立； 若条件(ii)满足，不妨设x=m，y=n，即p|m，q|m, 且存在自然数a、b使得n=ap+bq。那么，将m*n的 棋盘划分为两个棋盘：一个m*ap棋盘，一个m*bq 棋盘，这两个棋盘均可以被p*q矩形完全覆盖，所 以结论成立。
例3 8*8棋盘剪去哪个方格才能用21个1*3的矩 形覆盖？
分析 ：考虑到对称性，只有剪去a(3,3)、a(3,6)、 a(6,3)、a(6,6)中的某一个才能满足题意。
2014年五年级暑假第13讲-染色和覆盖(教师版)
第十三讲染色和覆盖最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题。
解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧。
解决该类题目时，通常使用到数论，尤其是奇偶性等知识。
例题1【提高】如图所示为14个小方格组成的图形，请问可否把它们分别剪成12⨯的7个小矩形？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。
【分析】如图所示，将这14个小方格黑、白相间染色，有6个黑格，8个白格。
相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
⨯方格有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙？【精英】如图，缺两格的88【分析】这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。
用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。
要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。
但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。
例题2⨯【提高】图1中有5个由4个11⨯的小正方格组成的不同形状的硬纸板。
问能用这5个硬纸板拼成图2中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。
⨯的正方形黑白相间染色后；、、、各盖住2白2黑，【分析】如图3所示，对45盖住3白1黑或3黑1白；这5个硬纸板共能盖住11白9黑或9黑11白；但实际染色后共10个白格10个黑格，故不可能按题目要求盖住。
⨯的方格表中，用若干由3个单位方格组成的“L”形纸片和由4个单位方格组成的“凸”【精英】在66形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.【分析】因为一共有36个方格，而两种纸片分别有3个方格和4个方格，所以纸片的张数共有四种可能，分别是9张“凸”形纸片；6张“凸”形纸片和4张“L”形纸片；3张“凸”形纸片和8张“L”⨯形纸片；12张“L”形纸片。
染色与覆盖
染色与覆盖
1、圆上有6个点，两两之间可连15条线段，用黑
白两色将这15条线段染色，求证：（1）一定存在一个三角形三边同色；（2）一定存在两个三角形三边同色．
2、十七个科学家讨论三个课题，每两个人只讨论一
个课题，任意两个科学家之间都讨论了课题，求证：存在三个科学家，他们讨论的是同样的课题．
3、平面上有六个点，其中任三点都组成一个不等边
三角形．证明：一定存在一条边，它在一个三角形中是最短边，而在另一三角形中是最长边．
4、将平面上所有的点任意染成红黄两色之一，求
证：无论如何染色，一定存在边长为1或3的同色等边三角形（三个顶点同色的等边三角形）．
5、设⊿ABC为等边三角形，将其三边上所有的点任
意染成红黄两色之一．求证无论如何染色，一定存在同色直角三角形（三个顶点同色的直角三角形）．
6、将平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：
存在这样两个相似三角形，它们的相似比为2009，而且每个三角形的三个顶点同色（两个三角形颜色可以不同）．
7、正方形内排列着n个互不相交且互不包含的圆，
证明：可以把正方形划分成n个凸多边形，使得每个多边形内恰有一个圆．
8、 边长为20×25的矩形内，任意放入120个边长为1的正方形，证明：在此矩形内总还可以再放入一个直径为1的圆，它与所有小正方形都不重叠．
9、 在半径为R 的圆上彼此不重叠地放半径均为r 的小圆，当放有n 个小圆且大圆内不能再多放入一个
半径为r 的小圆时，求证：1)R r <<+．
10、 在一个6×6棋盘上已经摆好了一些骨牌，每一张都覆盖两个相邻的格子．证明：如果至少还有14个格子没有被覆盖，则至少可以再放进一张骨牌，且不需要移动其它的骨牌．。
学而思奥数2011年五年级春季班第三讲染色与覆盖
第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。
知识构架图： 染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ）例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。
我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。
提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。
（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。
新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。
2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。
所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。
跃峰奥数PPT2组合几何4-11(染色问题之撒网策略)
温馨提示为了设计教学场景互动效果的需要，课件中采用了大量“播放后隐藏”的文本，从而导致预览模式下出现诸多文本重叠，影响阅读。
但在放映模式下，这些现象都不会出现。
另外，课件中的图像均不是一次性形成，而是展现了“尝试-修改-成形”等发生过程，这可能导致预览模式下出现诸多乱码，但在放映模式下，图形则非常生动、美观。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创组合几何4-11（染色问题之撒网策略）●冯跃峰本讲内容本节为第2板块（组合几何）第4专题（染色问题）的第11小节（撒网策略），包含如下3个部分内容：第一部分，概述问题涉及的知识方法体系；第二部分，思维过程剖析。
这是课件的核心部分，重在发掘问题特征，分析如何找到解题方法。
按照教师场景授课互动效果设计，立足于启发思维；第三部分，详细解答展示。
提供笔者重新书写的解答（简称“新写”），力求严谨、简练。
【百度文库】跃峰奥数PPT经典原创【百度文库】跃峰奥数PPT 经典原创染色问题的就是按一定的规则对相关对象染色，使之具有某种性质。
染色问题常有如下3种思考方法：3种思维方法局部扩展先对局部染色，然后扩展到整体（注意整体目标的分解）研究特例归纳通式、迁移特征、建立递归、操作化归。
拟对象逼近先构造满足部分条件的拟染色，然后改进本节介绍“拟对象逼近”的相关例子■。
【题感】从目标看，所找的m 个凸n 边形要满足2个条件：（1）同色；（2）全等。
其中同色是很容易的，只需“基点”足够多即可。
因此，可采用拟对象逼近策略，先满足全等【1】。
由此想到全等的定义：完全重合【1】。
进一步，全等图形一组“对应点”【2】构成的两个子图形是全等的【2】。
由此想到一个充分条件：作m 条全等的曲线，内接一条曲线的凸n 边形一定与另一条曲线上的对应凸n 边形全等。
为了保证n 边形是凸的，只需此曲线为凸曲线，且任何3点不共线。
这样的曲线很多，比如抛物线，圆等，其中以圆最简单。
【几何4-11】将平面上一个正方形内的所有点2-染色，试证：对任何正整数m 、n ，存在m 个全等的凸n 边形，它们的mn 个顶点互不相同且同色。
数学小升初第十四讲《染色和覆盖》
数学小升初第十四讲《染色和覆盖》[同步巩固演练]1、某影院有座位31排，每排29个座。
某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。
如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？为什么？2、（北京市第12届小学生迎春杯决赛试题）如图，把A、B、C、D、E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。
那么，这幅图一共有_____________种不同的着色方法。
4、下图，是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。
问能否从1号房间开始，不重复的走遍所有房间又回到1号房间？5、如图，由22块1×1的小正方形拼成，能不能用若干个2×1的矩形将这个图形不重复地全部覆盖？[能力拓展平台]1、有一个5×5的方格棋盘，如图所示，每一个小方格中有一只小甲虫，假设在同一时刻，所有小甲虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬），问此时能否会出现空格？2、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的62个小格完全盖住？3、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。
4、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。
问能否将这些数排一行并满足两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明理由。
5、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个方格组成的长方形。
[全讲综合训练]1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。
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第二讲组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者（填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。
解：答：不能；如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。
例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。
如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问警察应如何取胜。
9解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）；第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A、B、C、D、E、F，从A点出发的五条线段AB、AC、AD、AE、AF中至少有3条是同色的，不妨设AB、AC、AD为红色，我们再看△BCD的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD，若△BCD中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC是红色，则AB、AC、BC都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问（“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
解：答：不能；如图，将图形黑白相间染色，则出现8个黑格，6个白格，而相邻的两个方格组成的长方形一定是一黑一白，矛盾，所以无法裁成7个小长方形。
例5．一个2×2正方形和15个4×1长方形（“能”或“不能”）拼成8×8的大正方形？请说明理由。
解：答：不能；1 2 3 4 1 2 3 42 3 4 1 2 3 4 13 4 1 2 3 4 1 24 1 2 3 4 1 2 31 2 3 4 1 2 3 42 3 4 1 2 3 4 13 4 1 2 3 4 1 24 1 2 3 4 1 2 3如图进行染色，1个4×1矩形恰好盖住四种颜色的方格各一个，而1个2×2矩形方块总不能盖住四种颜色的方格各一个，因此这16个矩形块盖住的4种颜色的方格数不同，而图中的四种颜色的方格数是相同的，矛盾。
所以用15个4×1矩形块和1个2×2矩形块不能完全覆盖8×8矩形。
例6．在6×6×6的正方体盒子中最多可以放入个1×1×4的小长方体？这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行。
解：分上下两层，下层高度为4，则6×6×4中竖着放36个小长方体；上层高度为2，都只能横着放，每层最多能放入8个小长方体，所以2×8=16，36+16=52。
所以最多放入52个小长方体。
例7．在一个6×6的方格棋盘中，将若干个1×1的小方格染成红色，如果随意划掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的，那么最少要染个方格。
解：先考虑每行每列都有一个红格，比较方便的涂法是在一条对角线上涂6格红色的（如图1），任意划掉3行3列，可以设想划行划列的原则是：每次划掉的红格越多越好，对于图1，划掉3行去掉了3个红格，还有3个红格在3列中，再划掉3列就不存在红格了，所以必有一些行一些列要涂2个红格，为了尽可能的少涂红格，那么每涂一个红色的，一定要使多出一行的同时，也多出一列有两个红色的；先考虑有3行中有2格涂红（如图2），显然，同时必然有3个列中也有2格红色的，这时，我们可以划掉有2格红色的3行，还剩下3行，每行上只有一个涂红，每列上也只有一格涂红，那么再带红格的3列就没有红格了；为了使至少余下一个红格，只要再涂一个红格，此红格要使图中再增加一行一列有两个红格的，如图3；所以，结论是：至少需要涂红10个方格．例8．将15×15的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色。
证明至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同。
解：假如不存在两行，这两行中某一种颜色的格数相同.则红色在不同的行中应该有不同的格数，所以红色格数至少0+1+2+……+14＝105个，同样蓝色或绿色的格数都≥105个，共计至少315个格子。
但是一共只有15×15=225个格子所以这是不可能的.所以至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同.随堂测试1．下图是小学素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通，有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？解：答：不能；将图中方格黑白相间染色，有5个黑格，4个白格，按照这个人的走法，每次从黑格走到白格或者从白格走到黑格，奇数步走入白格，偶数步走入黑格，他从A室出发，走遍各室回到A室，一共走九步，应该最后走到白格，与A室为黑格矛盾，所以他的目的不能达到。
2．下图是半张中国象棋棋盘，棋盘上放有一只马，众所周知，马是走“日”字的。
请问：这只马（“能”或“不能”）不重复地走遍棋盘上的每一个点，然后回到出发点。
解：答：不能；将图中的点红蓝相间染色，如图现在马在蓝色点上，按马的走法，它下一步走到的点一定是红色的点，同样从红色点出发一定走到蓝色的点。
所以它走奇数步走到红色点，偶数步走到蓝色点。
现在一共有5×9=45个点，该马从蓝色点出发不重复地走遍各点，回到原来的位置，一共走49步，应该到达红色点，而原来是从蓝色点出发的，矛盾。
所以无法完成上述任务。
3．将线段A0A n依次用分点A1，A2，……，A n−1分成n段小线段，将端点A0和A n涂成蓝色，中间的分点涂上红色或蓝色，那么在这n段小线段中，端点异色的小线段的条数为（）A．偶数B．奇数C．不一定解：答：选A，有偶数条端点异色的小线段；如果这n+1个点都涂成蓝色，那么图中端点异色的小线段的条数为0条，0是偶数，将中间的n−1个点中的某一个点变成红色，那么图中端点异色的小线段的条数为2条，2是偶数，再将剩下的点中某一个点变成红色，如果它与前面的红点相邻，那么图中端点异色的小线段的条数不变，如果它与前面的红点不相邻，那么图中端点异色的小线段的条数增加2条，总条数仍然是偶数，继续增加红点的个数，如果新添加的红点恰好将原来两个红点之间的蓝点变为变成红点之后，使得原来断开的两部分红点连成一串，那么端点异色的小线段的条数减少2条，总条数还是偶数。
按照这个规律继续添加红点，直到所有的点都成为红色点，总条数还是偶数。
4．下图是有40个边长为1的小正方形组成的图形，从它上面最多能剪出个长和宽分别为2和1的长方形。
解：答：19个；如图将棋盘黑白染色，按现在的染色方法得到21个黑色的方格和19个白色的方格，而美国长和宽分别为2×1的长方形，需要占一个黑格和一个白格，所以最多剪出19个长方形。
5．用若干个2×2和3×3的小正方形（“能”或“不能”）拼成一个11×11的大正方形？请说明理由。
解：答：不能；如图将11×11的大正方形按条形黑白相间染色，现在黑色比白色的小方格多11个。
对于2×2的小正方形，无论如何放置，黑格和白格都一样多，而对于3×3的小正方形，可能是6黑3白，也可能是3黑6白，它们的差都是3个，也就是黑白小格的差一定是3的倍数。
而对于可能用到的3×3的小正方形的个数，无论是多少个，黑白小格的差都不会是11. 矛盾。
所以无法覆盖。
6．如图，把正方体的6个表面均剖分成9个相等的正方形，现用红、黄、蓝3种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同。
那么染成红色的正方形的个数最多是个。
解：答案：22块；先涂前面的一块，最多可以有5个小正方形涂成红色，即四角和中心。
这时与它相邻的面（如右面）最多有4块可以涂成红色，如果后面与左面与它们对称染色，则这时已经有(5+4)×2=18个红格，此时上下面只能各有2个面染成红色，7．在1000×1000的方格表中任意选取n个方格染成红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点。
N的最小值是。
解：答案：1999；如果我们在正方形ABCD的相邻两边，AB、BC上取除了它们重合的小方格外的999×2=1998个方格，把它们涂成红色，那么它们的中心都不能构成一个直角三角形的顶点。
下面证明任取1999个方格一定能够成立。
先看行，在1000行中，至少有一些行中至少有两个格子是红色的，那么因为含有0或1个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999−999=1000，如果是大于1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为1999.8．大厅中聚集了100个客人，他们中每人至少认识67个人，证明在这些客人中一定可以找到4人，他们之中任何两人都彼此相识。
证明：在其中先确定A，A至少认识67人，有不多于32人（99−67=32）不认识；在这67 人中选定B，A与B认识，B除了认识A之外，如果他还认识其他的32人，那么在原来的67人中他至少还认识67−32−1=34（人），有不多于32人（67−1−34=32人）不认识，在这34人中选定C，于是A、B、C两两认识。
C除了认识A、B之外，还认识A、B和A不认识的32人，以及A认识、B不认识的32人，而C也认识67人，67−2−32−32=1，说明C应该在A、B都认识的34人中至少还认识1人，设此人为D，则A、B、C、D都相识。