高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题09 函数零点问题的解题模板

【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否大于0；第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】考点：零点存在定理．【变式演练1】方程220x x +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意得，设函数()22x f x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220x x +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B. 考点：函数的零点.【变式演练2】函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,1)2 C ．(1,2) D ．(2,3) 【答案】C 【解析】 试题分析：()211(1)log 1110,2122f f =-=-<=-=，()()120f f ∴⋅< ，故函数21()log f x x x=-的零点所在区间为(1,2)． 考点：函数零点的判断．二、零点的个数的确定方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B 【解析】考点：函数的零点．【变式演练3】函数3()22xf x x =+-在区间（0,1）内的零点个数是（ ） A.0 B.1C.2D.3【答案】B【解析】试题分析：由于函数3()22xf x x=+-在区间(0,1)内为单调递增函数，且()010,(1)10f f=-<=>，即()()010f f<，所以函数3()22xf x x=+-在区间(0,1)内只有一个零点，故选B.考点：函数的零点.【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、函数零点的判定方法、指数函数与幂函数的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、本题的解答中，根据题意得出函数3()22xf x x=+-在区间(0,1)内为单调递增函数且()()010f f<是解答的关键.【变式演练4】方程3sinx x=的根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过)0,0(点,而y 轴右侧的高低情况需要比较两个函数在0=x 处的切线斜率得到,为本题的易错点． 【变式演练5】已知函数()()ln x f x x x g x x e -==，．（1）记()()()F x f x g x =-，求证：函数()F x 在区间()1+∞，内有且仅有一个零点； （2）用{}min a b ，表示a b ，中的最小值，设函数()()(){}min h x f x g x =，，若关于x 的方程()h x c =（其中c 为常数）在区间()1+∞，有两个不相等的实根()1212x x x x <，，，记()F x 在()1+∞，内的零点为0x ，试证明：1202x x x +>． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；（2）问题转化为证明0212x x x >+，根据()x h 在()+∞,0x 上递减，即证明()()1012h x h x x <-，根据函数的单调性证明即可．（2）由（1）问可知()()00g x f x =，且()01 , x x ∈时，()()f x g x <，()0 , x x ∈+∞时()()g x f x <，因此()00ln , 1 , x x x x x h x xe x x -<<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，其中0x 满足0000ln x x x x e -=即00ln x x e -=，（事实上()0 1 , 2x ∈），而()01 , x x ∈时，()'ln 10h x x =+>，()0 , x x ∈+∞时，()()'10x h x x e -=-<，因此()h x 在()()001 , , , x x ↑+∞↓，若方程()h x c =在区间()1 , +∞有两个不相等的实根，()1212 , x x x x <，则必有()()10201 , , , x x x x ∈∈+∞，所证⇔120201022x x x x x x x +>⇔>->，因为()h x 在()0 , x +∞单调递减， 所以只需证()()2012h x h x x <-，而()()21h x h x =，所以只需证()()1012h x h x x <-， 即证明：()()0121101ln 2x x x x x x e --<-，考点：（1）利用导数求函数闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性．方法2：数形结合法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题；第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数；第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程31()|log |3x x =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B 【解析】试题分析：由图象可知，函数1()3x y =与函数3log y x =有2个交点，所以方程有2个解。

考点：函数与方程。

【变式演练6】已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当02x ≤≤时，(){}2min 2,2f x x x x =-+-，若方程()0f x mx -=恰有两个根，则m 的取值范围是（ ） A ．11(,)(,+)33-∞-∞ B ．11(,][,+)33-∞-∞ C ．)2,31()31,2( -- D ．11[2,][,2]33--【答案】C 【解析】考点：1．函数的性质；2．函数与方程．【变式演练7】已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A.(,0]-∞B.[0,1)C.(,1)-∞D.[0,)+∞ 【答案】C 【解析】考点：函数与方程.【变式演练8】设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123x x x ，，满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A.2026 (,]33B.2026(,)33C.11(,6]3D.11(,6)3【答案】D【解析】试题分析：在坐标系内作出函数266,0()34,0x x xf xx x⎧-+≥=⎨+<⎩的图象，作直线y a=与该函数的图象相交，有三个公共点，由图可知，23176,03x x x+=-<<，所以1231163x x x<++<，故选D.考点：1.函数与方程；2.数形结合.【高考再现】1. 【2016高考天津理数】已知函数f（x）=2(4,0,log(1)13,03)ax a xax xx⎧+<⎨++≥-+⎩（a>0,且a≠1）在R 上单调递减，且关于x的方程|()|2f x x=-恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）（A）（0，23] （B）[23，34] （C）[13，23]{34}（D）[13，23）{34}【答案】C【解析】考点：函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2.【2016高考山东理数】已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 【答案】()3,+∞ 【解析】 试题分析：`画出函数图象如下图所示：3. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点.(I)求a 的取值范围；(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<. 【答案】(0,)+∞试题解析;（Ⅰ）'()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =-+-=-+．（i ）设0a =,则()(2)xf x x e =-,()f x 只有一个零点．（ii ）设0a >,则当(,1)x ∈-∞时,'()0f x <；当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >．所以()f x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增．又(1)f e =-,(2)f a =,取b 满足0b <且ln2a b <,则 223()(2)(1)()022a fb b a b a b b >-+-=->, 故()f x 存在两个零点．（iii ）设0a <,由'()0f x =得1x =或ln(2)x a =-．若2ea ≥-,则ln(2)1a -≤,故当(1,)x ∈+∞时,'()0f x >,因此()f x 在(1,)+∞上单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 若2ea <-,则ln(2)1a ->,故当(1,ln(2))x a ∈-时,'()0f x <；当(ln(2),)x a ∈-+∞时,'()0f x >．因此()f x 在(1,ln(2))a -单调递减,在(ln(2),)a -+∞单调递增．又当1x ≤时,()0f x <,所以()f x 不存在两个零点． 综上,a 的取值范围为(0,)+∞．（Ⅱ）不妨设12x x <,由（Ⅰ）知12(,1),(1,)x x ∈-∞∈+∞,22(,1)x -∈-∞,()f x 在(,1)-∞上单调递减,所以122x x +<等价于12()(2)f x f x >-,即2(2)0f x -<．由于222222(2)(1)x f x x e a x --=-+-,而22222()(2)(1)0x f x x e a x =-+-=,所以222222(2)(2)x x f x x e x e --=---．设2()(2)xx g x xex e -=---,则2'()(1)()x x g x x e e -=--．所以当1x >时,'()0g x <,而(1)0g =,故当1x >时,()0g x <． 从而22()(2)0g x f x =-<,故122x x +<． 考点：导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 4. 【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. （1）求方程()2f x =的根;（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值； （3）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。