一题多解优化数学思维
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-精品文档
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多解”，就是尽可能用多种不同方法去解决同一道题，更重要的是可以培养学生的思考能力和创造能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求不同答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。
通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的观点审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广阔思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的重要教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。
在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x= 时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
探索篇誗方法展示在高中数学课标中，要求数学教师注重培养学生的数学思维能力，并把它作为重要的教学内容。
培养思维能力，既能提高学生的理解能力，又能提高学生分析解决问题的能力，还能提高教学效益。
“一题多解与一题多变”是培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力的好方法。
数学教师在讲解数学例题时，不仅要讲解题方法，最重要的是教给学生如何正确理解题意，抓住解题的关键，如何开拓解题思路，也就是培养学生的思维能力。
一、“一题多解与一题多变”的教学价值1.“一题多解”的教学价值“一题多解”就是从多个视角去分析思考数学问题，用多种方法途径去解答数学问题。
这种方法可以拓宽解题思路，增强数学知识之间的联系，培养学生学会运用多种方式多种方法解题和灵活多变的思考方式，而灵活的思维方式正是创新能力的基础。
教师在教学中，要运用“一题多解”的方式进行教学，就要培养学生在解答数学问题时善于从多角度观察感知和思考问题，运用多种方法推导验证问题，多方面寻找运用关联条件，不但要考虑条件本身，还要考虑条件之间的联系，用多种方式进行表述，只有这样才能培养学生数学思维的灵活性。
2.“一题多变”的教学价值“一题多变”是指在数学解题练习中，将原来数学题目中的一些已知条件进行变换，或者把要求解答的问题与题目一个或者几个条件变换后，再去求解问题的结果；也可能是给出问题的部分条件，让学生去补充另外一些条件；也可能是对数学问题的拓展，增加问题的难度或背景来训练学生的发散思维能力。
采用“多变”的方式进行教学，主要是对数学例题或习题进行多种变换，让学生从不同方面、不同情形、不同层次下对该数学问题进行重新求解或认识。
它是教学反思的一种方式，它要求学习者从出题人的视角去看问题，并对原来的数学问题有一个深刻的理解，才能做到“多变”。
“多变”解题能培养学生观察问题、归纳类比、概括抽象、运算能力、空间想象、构建与反思等多种数学思维能力。
二、“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力上的应用1.培养开放性思维方式数学教学离不开数学解题，搞“题海战术”仅能得到“一对一”的解题方法和思路，不是科学的解题方法。
放飞思维,培养学生的数学学习力--一题多解带来的启示
放飞思维，培养学生的数学学习力--一题多解带来的启示“横看成岭侧成峰,远近高低各不同。
”这句诗蕴含的哲理是同一事物从不同角度审视可以得到不同感觉。
同样,对于一道数学试题而言,“一题多解”是从不同角度、通过不同方法去思考问题、分析问题和解决问题，把数学知识的“联”与思维方式的“变”有机结合起来,培养学生的创造性思维。
郝老师点评：方法一至方法四通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“三线八角”模型，灵活运用平行线的性质与判定，对于所学的知识融会贯通，重视建构知识间的纵横联系，形成了系统的数学知识网络。
郝老师点评：方法五通过做辅助线，巧妙地构造平行线中的“拐点”模型，抓住了数学问题的个性特征，寻找它与其他熟悉知识的联系,找到出人意料的新奇解法,视野更加开阔，思维更加活跃，思维多元化逐渐形成，而这常常是创新能力的起点。
郝老师点评：方法七与方法八，灵活运用知识，灵活转换角度，综合运用平行线的性质与判定和三角形的内角和为180°的知识解题，敞开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔，这大大体现了学生的创造性思维，它是数学解题的魅力所在。
同学们通过用多种方法解决一道题,感受颇多!初中数学，特别是几何部分，往往不只有一种解法。
一题多解，也就由此产生。
有人会说，一道题能解出来就好了，为什么还要研究其他的解法呢？这不是浪费时间吗？是的，从不同的思维角度探索一道题其他的解法，确实会消耗我们的时间。
但我们在思考一题多解的过程中，可以获得新的解题思路，锻炼自己的思维，是自己的思维具有开拓性，也有助于理解与运用多个知识点，达到了复习与巩固的目的。
七年级1班崔宸豪，七年级3班张文皓，孟凡博“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”，自从学习了平面几何证明，我更加体会到了这句诗的真正意义。
一题多解，顾名思义，就是一道题可以有好几种做出答案的方法。
这样做有什么好处呢？最直观的，如果用两种以上方法解出同一个答案，那证明这道题你一定百分之百正确率了，增强了自信心。
一题多解培养学生创新思维能力
一题多解培养学生创新思维能力摘要：一题多解，为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
激发学生学习数学兴趣，形成较强的求知欲，从而提高学生的数学素养。
关键词：数学一题多解；课堂教学；培养创造；学习兴趣；思维能力数学教学质量与学生学习数学的积极性成正比，如何调动学生学习数学的积极性已成为数学教学研究的紧迫任务，笔者认为，培养学习兴趣是调动学生学习数学积极性的最有效方法之一。
数学中的解题，是学习数学、熟练掌握和灵活运用数学知识的一项非常重要的实践活动。
通过解题实践，可以逐渐培养学生学习数学的兴趣和提高解题的能力。
但是过多、盲目的解题，不仅不会促进学生思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生产生疲劳，兴趣降低，窒息学生的智慧；只有通过对典型例题和解题方法的挖掘，才能使知识不断向横、纵两个方向发展，才能激发学生的发现欲和创造欲，在原有的基础上，有所发现，有所突破，有所创新，从而达到培养学生创造性思维能力的目的。
在数学的教育教学中，选好一道例题，通过一题多思，一题多解，一题多讲的活动，可以巩固学生的知识，训练学生的思维，开拓学生的视野。
利用多角度去看一道题，强化思维的连贯性，知识的衔接，能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题，培养学生对数学知识活学活用能力有着重要的帮助。
思维的广阔性是思维能力的重要前提，它是指善于全面地观察问题，运用多方面的知识经验寻求解题的方法，使解题涉及的知识和方法延伸到数学的各个分支，力求沟通它们之间的联系。
进行典型例题的剖析，一题多解，无疑是激发学生的兴趣、开拓学生的思路、培养学生的创造思维能力和多种应变能力的一种十分有效的方法。
为了养成学生广范围、多角度、突破常规地认识事物和解决问题的习惯。
一道平面几何问题，而我们却可以用代数的方法给于证明。
谈小学数学教学中的一题多解教学
谈小学数学教学中的一题多解教学一题多解教学是近年来数学教育领域中热议的话题之一。
在小学数学教学中，一题多解教学的实施可以拓展学生的思维，以及启发学生对于问题的思考和解决方式，同时也有助于提高学生的数学能力和解决问题的能力。
本文将着重探讨小学数学教学中一题多解教学的实施方式和效果。
一题多解教学是指，在教学过程中，给学生提供一道题目，鼓励学生通过不同的思路和方法，得到多个正确的解答。
而不是只让学生死记硬背某种标准答案。
这种教学方式能够激发学生的兴趣，提高学生的学习热情，同时也有助于增强学生的计算思维和解决问题的能力。
在小学数学教学中，实施一题多解教学的方式有很多种。
以下是几种常见的实施方式：1.交流对比法：教师分组让学生分别采用不同的方式解题，随后在班级上进行交流和对比，从中寻找共性和差异。
2.探究差异法：教师提出多个正确的解答，然后向学生让他们发现和分析这些答案的异同点，激发思考多种解题方式的动力。
3.引导发掘法：教师可以在讲授新知识时加入多种解题思路，鼓励学生自主发掘不同解题思路的可行性和适用性。
一题多解教学的实施可以带来很多好处。
首先，此方式可以拓展学生的思维，促进学生发现数学问题的不同解决方式。
其次，这种教学方法可以激发学生的学习兴趣，使学生对数学问题更加感兴趣。
同样的，学生也可以更好地理解问题，和学习和掌握新知识。
此外，学生通过这种方法更容易记住重要的思路和方法，以便他们在以后解决新的数学问题时更加熟练。
举例来说，比如今天的一道小学数学题是：34-23=？采用一题多解教学的方式：1.学生A：34-23=115.学生E：(30+4)-((20+2)-2)=11通过以上学生不同的解答，不仅提高了学生的计算能力，也让他们学会了多种不同的解题方式。
总之，一题多解教学是一种多方面创新的教育方法，可以极大地拓展学生的思维和想象力，增强学生解决问题的能力，提高学生的数学能力和独立思考能力。
希望今后教育工作者可以在教学实践中尝试商榷和实施这一方法，以培养更多具有全面发展目标的学生，为未来做出更多的准备。
初中数学的一题多解培养中学生创新思维能力-教育文档
初中数学的一题多解培养中学生创新思维能力数学是逻辑性极强的一门学科，从解题开始到得出答案，每一步的过程都需要经过层层的计算和推导,因此，学好数学从另一方面来说就是学好了一种思维能力和思维方法。
为了培养好中学生的创新思维,教师应从解题方面着手，强化学生一题多解的能力和水平，鼓励他们用发散式的思维解决同一道数学题,同时积极配合并解答学生在解题过程中提出的问题与困惑，帮助中学生营造一个活跃轻松的课堂环境,让他们能够尽自己最大的能力收集并处理不同的数学难题.1。
数学是创新教育的基础课程创新是促进一切事物进步发展的前提条件，创新教育是在新课改的标准下培养学生拥有创新精神和创新能力的新式教育,中学生创新能力的形成一般基于多种知识的学习与能力的培养，这种可检验中学生是否具有综合学习的能力。
中学生创新思维能力的培养主要包括对他们的学习意识、学习精神、学习思维以及学习技巧和方法这几个方面.中学阶段是学生思维最活跃的时期，同时也是学习能力与理解能力最好的时期，这些为培养中学生学习数学的创新思维打下了良好的基础,能够让他们在数学的学习中收到事半功倍的效果.而数学作为一门应用范围十分广泛并且作为能够培养学生创新思维与解决问题能力的逻辑性极强的基础课程，在培养中学生创新能力方面有着得天独厚的条件和优势。
因此，我们要在对中学生教授数学课程的同时,把培养学生的创新能力放在最关键的位置，更好的适应社会发展以及新课标改革的需要。
除此之外，在整体的中学生数学教学过程中应将一题多解的教学模式作为切入点,通过培养学生强化一题多解的能力和水平提升他们的创新思维能力。
2。
通过一题多解培养学生创新思维能力2.1 注重选题与课堂气氛。
一题多解的数学题可以培养中学生用发散式的思维解决问题，教师应在教学之初选择一些具有代表性的数学题，这些数学题既要包括大部分知识点，而且难度不能太高或太低，否则会打击学生学习数学的积极性或让学生觉得没有挑战性，因此教师在选择题型方面要十分仔细，尽可能的通过选题激发中学生的学习热情和潜力。
中考数学一题多解技巧
中考数学一题多解技巧
中考数学中，一题多解是考察学生思维能力的重要方式。
掌握一题多解的技巧，不仅可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还可以提高他们的思维能力和解决问题的能力。
以下是一些关于一题多解的技巧：
1. 深入理解题目：首先，需要对题目进行深入的理解。
明确题目给出的条件、问题以及各种已知信息和未知信息。
2. 探索多种可能：在理解了题目之后，尝试从不同的角度去思考问题。
例如，可以尝试使用不同的定理、公式或者方法来解答同一道题目。
3. 总结规律：对于同一道题目，如果能够找到多种解法，那么可以尝试总结这些解法的共同点和不同点。
这样可以帮助你更好地理解题目的本质，并且能够掌握更多的数学知识和方法。
4. 举一反三：在掌握了多种解法之后，可以尝试将这些方法应用到其他类似的题目中去，做到举一反三。
这样可以进一步提高自己的数学思维能力。
5. 不断练习：要真正掌握一题多解的技巧，需要不断地进行练习。
在练习中不断尝试新的方法，挑战自己的思维。
同时，也要注意总结经验和教训，不断提高自己的解题能力。
掌握一题多解的技巧需要一定的时间和精力，但只要不断努力，就一定能够取得好的效果。
怎样理解“算法多样化”“一题多解”和“算法最优化”
怎样理解“算法多样化”“一题多解”和“算法最优化”现代教育的基本理念是“以学生的发展为本”，既要面向全体，又要尊崇差异。
在数学教学中，教师要促进学生的全面发展，就要尊崇学生的个性，不搞一刀切，要创造促进每个学生得到长足发展的数学教育。
因此，针对过去计算教学中往往只有一种算法的弊端，在新课程中提出了“算法多样化”。
比如人教版小学数学实验教材一年级下册“20以内退位减法”，教材提示了用“破十法”“想加算减”“点数”“持续减”等方法都可以。
因此这些算法对一年级学生而言，很难说孰优孰劣，学生完全可以按自己的经验采用和选择例外的方法进行计算，教师不对各种算法进行评价，要尊崇学生自主的选择，保护学生自主发现的积极性，提倡和鼓励算法多样化。
“一题多解”与“算法多样化”是有区别的。
一般来说“一题多解”是面向个体，尤其是中等以上水平的学生，遇到同一道题可有多种思路多种解法，目的是发展学生思维的灵活性。
而“算法多样化”是面向群体，每人可以用自己最喜欢或最能理解的一种算法，同时在算法多样化时，通过交流、评价可以吸取别人的优势或改变自己原有的算法。
因此，在教学中不应要求学生对同一题说出几种算法，减轻学生不必要的负担。
但是数学是讲究“最优化”的，数学中“算法最优化”的含义是要求寻找最简便、最简易、速度快的方法。
这一点，教师在课堂教学中要十分明确，要负责任地引导学生去比较、去评价，并使学生掌握那些公认的最佳的、最优的、最基本的算法。
曾经看到一些计算课，讨论一道计算题，出现了十多种算法，教师还一个劲地催问：还有什么方法？占用了大量的课堂教学时间，直到临下课时才说：可以用自己喜欢的方法计算。
结果班级一些思维慢的学生搞得眼花缭乱、无所适从，最终也不知道哪个方法最佳。
这种教学效益是不是太低了？1/ 1。
谈小学数学教学中的一题多解教学
谈小学数学教学中的一题多解教学一题多解教学是指在教学中针对同一道数学题目，教师引导学生通过不同的方法和角度进行思考和解题。
这种教学方法能够激发学生的思维，培养学生的创造力和解决问题的能力，提高他们的数学思维水平。
在小学数学教学中，采用一题多解的教学方法能够让学生在解决问题的过程中体会到数学的美妙，增强他们对数学的兴趣，提高他们的学习效果。
本文将探讨小学数学教学中采用一题多解教学的重要性和实施方法。
一、一题多解教学的重要性1. 激发学生的学习兴趣在小学数学教学中，采用一题多解的教学方法能够激发学生的学习兴趣。
通过不断尝试和探索，学生会发现同一个问题可以有不同的解法，这会激发他们对数学的兴趣，让他们对数学产生浓厚的兴趣，从而提高他们的学习主动性和积极性。
2. 培养学生的数学思维一题多解教学能够培养学生的数学思维，提高他们的解决问题的能力。
通过不同的解题方法，学生会形成不同的思维模式，这能够拓展他们的思维空间，激发他们的创造力，帮助他们建立更为完善的数学思维模式。
3. 加深学生对数学概念的理解通过一题多解教学，学生会在不同的解题方法中深入理解数学概念。
当一个问题有多个解法时，学生不仅要掌握计算方法，还要深入理解其中的数学规律和推理过程，这能够帮助学生更加全面、深入地理解数学概念，提高他们对数学的掌握程度。
1. 合理设计教学内容在实施一题多解教学时，教师需要合理设计教学内容。
选择适合一题多解教学的数学题目，例如一些有趣的问题或者能够引发学生思考的问题；确定教学目标和要求，明确学生在解题过程中需要达到的能力要求，以便教师有针对性地开展教学。
2. 引导学生多角度思考在教学过程中，教师需要引导学生从不同的角度思考问题，并且给予充分的自由度。
鼓励学生尝试不同的解题方法，允许他们自己进行探索和尝试，帮助他们培养自主学习和创造性思维。
3. 培养学生的合作精神在一题多解教学中，教师还应该注重培养学生的合作精神。
可以组织学生进行小组合作，让他们互相讨论和比较各自的解题方法，从而促进他们之间的学习交流和相互学习，促进共同进步。
拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解
拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解初三数学总复习是大家所关注的重要问题,确立复习的指导思想,选择正确的复习方法,使学生在毕业前把基础知识系统化,对所学教学内容有一个较全面的认识,并且得到综合和提高,以便为升学考试打好基础.在复习时间紧、内容多、任务重的情况下,选择典型题目进行精讲精练,探索研究揭示规律,训练解题技巧,以拓展学生思维,达到举一反三之功效,使知识融会贯通.因此,在复习解题中,应做到三个“一”,即一题多变,多题一解,一题多解.下面就举例说明.一、一题多变对培养学生分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力都是十分有效的如:农机厂职工距工厂15千米的农村检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两种车的速度.分析:设自行车的速度是x千米/时,则汽车的速度是3x千米/时,速度、时间、路程三者间的关系如下表:■因为汽车晚开出40分钟(即■小时),与自行车同时到达,说明行驶15千米,汽车比自行车少用■小时,即有如下等量关系:汽车所用时间=自行车所用时间-■小时于是得■=■-■,此题可变换成如下题目:变换1:若把条件中“他们同时到达”分别变换成如下条件:(1)汽车比自行车早到10分钟;(2)汽车到达时,自行车距目的地2千米.则可根据时间关系列出方程:设自行车速度是x千米/时,有:(1)■=■-■-■;(2)■=■-■.变换2:若把条件“汽车速度是自行车的3倍”,分别作如下变换:(1)已知汽车的速度是自行车的3倍多0.5千米;(2)汽车与自行车相同路程所用时间比为1∶3,则可列出方程:设自行车速度为x千米/时,有:(1)■=■-■;(2)■=■-■.变换3:农机厂职工骑自行车到距工厂15千米的农村检修农机.(1)行车5千米后,因有人车坏,因而以比原速度少1千米/时的速度骑行,结果比原计划晚15分钟到达;(2)行车5千米后,以后以速度的1.2倍骑行,因而比原计划早20分钟到达;(3)在回来的路中,用原速度行了半小时后,因事停留半小时,以后每小时多骑2千米,结果往来时间一样.分别求骑自行车原来的速度.设自行车原来的速度为x千米/时,则可列出相应的方程:(1)■=■+■;(2)■=■-■;(3)■=■-■.以上一组题都是同向而行,也可变换成异向而行,此时,只要掌握异向、相向而行与同向而行的区别,仍可按时间关系列出方程.又如:已知:如图1,点c为线段ab上一点,△acm,△cbn是等边三角形.求证:an=bm.■分析:为证结论,首先可按题中条件画出图形,让学生从直观上比较an与bm的大小关系,然后给予证明.证明:由∠acm=∠bcn得∠acn=∠bcm,又ac=mc,bc=nc,故△can≌△mcb,从而an=bm.此题可作如下变换:变换1:设an、bm交于d点,试求∠adb的度数.分析:根据三角形外角的性质和全等三角形的对应角相等,可得∠adb=120°.变换2:若an交cm于e,bm交cn于f,求证ce=cf.分析:△cen≌△cfb不难得出ce=cf.变换3:若连结ef,试证fe∥ab.分析:由ce与cf的关系和∠ecf为60°,可知△ecf是等边三角形,进而可得ef∥ab.变换4:若an的中点为p,bm的中点为q,试证:cp=cq.分析:因为cp是△can的一边an上的中线,而cq是△mcb的一边bm上的中线,又△acn≌△mcb,全等三角形对应边上的中线相等,故cp=cq.变换5:如图2,点c为线段ab上一点,且ac∶cb=2∶1,△acm、△cbn是等边三角形,连结mn,试证mn⊥cn.■分析:利用已知条件,ac∶cb=2∶1,再取ac中点h,连结mh,显然mh为等边△acm的中线,故可知mh⊥ac,由全等三角形判定定理(sas)可得△mcn≌△mch,故mn⊥cn.变换6:如图3,若ac=3,cb=1,试计算△cef的面积.■分析:仍从条件ac∶cb=3∶1入手,不难发现ec∥nb,故有ce∶bn=ac∶ab,即ce∶1=3∶4,解得ce=■,因为△cef为等边三角形,用勾股定理,可迅速求得s△cef=■.对这道几何题,从各个方面进行变换,对提高学生的思维能力大有裨益.下面一组题是利用图形位置的变化进行变换的,变换后的题与原题证法完全相似.例.如图4,在正方形abcd中,ae⊥bf,求证:ae=bf.■本题利用全等三角形的知识不难给出证明,若将bf平移,则有: 变换1:如图5,在正方形abcd中,ae⊥mn,求证:ae=mn.■若再将ae作类似的平移,即有:变换2:如图6,在正方形abcd中,若mn⊥gh,求证:mn=gh.■这两个变题,只需利用平行的有关知识,作出如各自图中所示的辅助线,即可仿照原题给出证明.本题还可给出下列变式:变换3:点h在正方形的一边上,将纸片折叠,使点h正好与所在边的对边上一点g重合,若折痕长10cm,试求hg的长度.在几何教学中,使用从一些基本题出发变换的相关题组,可帮助学生在解题过程中掌握知识间的联系,培养良好的思维习惯,提高解题效率.二、多题一解能训练学生的集中思维,揭示各方面知识的内在联系和规律,从而加深对各方面知识的理解和应用,使知识融会贯通如:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3,求证6b2=25ac.本题有多种证法,这里从略.若将两根之比推广到一般,即有命题:如果一元二次方程的两根之比为m∶n,求证mnb2=(m+n)2ac.证明:设已知方程的两根分别为mk、nk,则mk+nk=-■,mk·nk=■(m+n)k=-■,①mnk2=■②若m+n=0,则b=0,等式仍然成立;若m+n≠0,则由①得:k=-■,③将③代入②中,消去k,得:mn-■2=■.所以mnb2=(m+n)2ac,综上可知,命题成立.特别地,若m=n,这个等式就是b2=4ac,与方程有等根的条件一致. 利用此结论,解某些与一元二次方程两根之比有关的问题非常简单。
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用-最新文档
“一题多解与一题多变”在培养学生发散思维能力中的应用引言：在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养发散性思维的创造性能力。
所谓“一题多解”，就是尽可能用多种例外方法去解决同一道题，更严重的是可以培养学生的思考能力和创造能力。
所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，有利于扩大学生的视野，从而提高解题能力，更能激发学生学习的兴趣，增强求知欲。
一、利用一题多解训练学生的思维能力发散思维是从同一来源材料中探求例外答案的思维过程，培养这种思维能力，有利于提高学生学习的主动性和创新性等。
通过一题多解，引导学生就例外的角度、例外的观点审视分析同一题中的数量关系，用例外解法求得相同结果，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，训练学生对数学思想和数学方法的熟练运用，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
二、利用一题多变培养学生的广漠思维提高学生综合分析能力是帮助学生解答应用题的严重教学手段。
通过“一题多变”的练习可以达到这一目的。
在习题课教学过程中，通过一题多解的表现形式对于培养学生数学兴趣和培养发散性思维的创造能力等起着不可估量的作用。
即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。
这种训练可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广漠性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
三、在例题讲解中运用一题多解和一题多变（一）在例题讲解中运用一题多解一题多解，一道数学题，因思考的角度例外可得到多种例外的思路，广漠寻求多种解法，提高学生分析问题的能力。
一题多变，对一道数学题或联想，可以得到一系列新的题目，积极开展多种变式题的求解，有助于增强学生面对新问题敢于联想分析予以解决的意识。
下面仅举一例进行一题多解和一题多变来说明：例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范围。
解答此题的方法比较多，下面给出几种多见的思想方法，以作示例。
解法一：（函数思想）由x+y=1得y=1-x，则由于x∈[0，1]，根据二次函数的图象与性质知当x=时，x2+y2取最小值；当x=0或1时，x2+y2取最大值1。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中的价值研究与实践一、概述高中数学作为培养学生逻辑思维、抽象思维和解决问题能力的重要学科，其教学方法的创新与实践一直是教育领域关注的重点。
“一题多解”与“多题一解”这两种教学方法，以其独特的优势，在高中数学教学中发挥着重要作用。
“一题多解”是指针对同一数学问题，从不同角度、不同知识点出发，寻找多种解题思路和方法。
这种方法能够帮助学生拓宽思维视野，培养思维的灵活性和创新性。
在“一题多解”的教学过程中，教师可以引导学生对同一问题进行深入探讨，通过比较不同解法的优劣，帮助学生掌握数学问题的本质和规律。
“多题一解”则是指通过归纳总结不同数学问题的共性和规律，找到一种通用的解题方法和思路。
这种方法能够帮助学生建立数学知识的体系化结构，提高解题效率。
在“多题一解”的教学过程中，教师可以引导学生发现不同问题之间的联系和相似之处，通过总结规律，让学生掌握一种更加高效的解题方法。
在高中数学教学中，将“一题多解”与“多题一解”相结合，可以充分发挥这两种教学方法的优势，提高教学效果。
通过“一题多解”培养学生的创新思维和灵活思维，通过“多题一解”提高学生的解题效率和知识体系化能力。
同时，这两种方法也能够激发学生的学习兴趣和积极性，促进学生的全面发展。
“一题多解”与“多题一解”在高中数学教学中具有重要的价值。
通过深入研究和实践这两种教学方法，可以推动高中数学教学的创新与发展，提高教育质量，培养更多具有创新精神和实践能力的人才。
1. 高中数学教学的挑战与机遇高中数学教学面临着诸多挑战与机遇。
一方面，随着课程改革的深入推进，高中数学的教学内容和教学方法都发生了显著的变化，对教师的教学能力和专业素养提出了更高的要求。
另一方面，随着信息技术的快速发展，高中数学教学的手段和方式也日趋多样化，为教学创新提供了广阔的空间。
在挑战方面，高中数学的知识点繁多且抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。
论“数学一题多解”的重要性
论“数学一题多解”的重要性前苏联学者茹科夫斯基指出：“数学里有诗画那样美的境界”。
如果让每一位学生如观赏风景般地来学习数学，当然就其乐无穷，兴趣盎然。
但传统的定势思维却在很大程度上禁锢了学生思维空间的拓展。
让数学失去了生动性，增添了枯燥性。
而注重思维多元化，提倡一题多解就可以克服此弊端，它可以有效地磨砺学生的思维，给他们自由思考的空间，在探索中提高思维的能力。
注重思维多元化，提倡一题多解，对于同一题目，多次运用所学基础知识和基本技能，对于所学知识可起到融会贯通的作用，形成新的知识网络，增强知识的系统性，再次强化双基的学习，并且可提高驾驭知识和综合运用知识的能力，使知识结构更加完善。
一题多解还可以提高自我验算的能力，一题多解是多角度思考分析，使用多种解法，殊途同归，答案是相同的。
可以用一题多解来判断原来解法是否正确。
另外一题多解还可以提高自己灵活运用知识，灵活转换角度来解题的能力，可以敞开思维的翅膀，在知识的空间尽情地翱翔，这大大有利于培养学生的创造性思维。
如何培养学生一题多解的能力，拓宽数学思维呢？（一）熟练掌握基础知识和基本技能。
基础知识和基本技能是解决数学问题的基础，又是一题多解必须具备的前提。
如果不夯实基础，一题多解，拓展思维就是无源之水，无本之木。
只有熟练掌握双基，并能灵活运用到具体问题中，才能一题多解。
各种解法相互转化，从而达到运用基础知识，活跃思维的效果。
（二）多途径分析数量关系。
特别是数学应用题，要善于分析它们相互依存，相互转化的数量关系，就可以为思维打开多扇大门，这也是培养一题多解能力的一种极为重要的方法。
运用多种不同的数学知识对数量关系进行分析，获取各种不同的解法，有利于锤炼学生的思维。
（三）充分利用知识的横向和纵向联系来提高一题多解的能力。
数学中的整数、分数、小数、百分数等知识是相互联系的。
数论，数的运算，文字题以及应用题中的行程问题，分数问题，工程问题，和倍差倍问题等也是相互联系的。
浅议小学数学一题多解的作用
浅议小学数学一题多解的作用
小学数学中存在一题多解的情况很常见。
这种情况下，同一道
题可以有多种不同的解法，虽然答案都是一样的，但是每种解法都
反映了不同的思维方式和学习方法。
因此，一道题多解的作用有以
下几个方面：
1. 丰富思维：一道题多解可以让学生从不同的角度去思考问题，不断拓展思维，在解题过程中培养出更加灵活的思维方式，从而提
高学生的思维能力和创新能力。
2. 加深记忆：同一道题多解可以让学生多次复习和练习，加深
对题目的理解和记忆，同时也可以帮助学生更好地掌握和运用所学
知识。
3. 满足不同学生的需求：由于每个学生的学习能力、兴趣爱好、思维方式等都是不同的，因此面对同一道题目，不同的学生可能会
选择不同的解法。
一道题多解可以满足不同学生的需求，让他们能
够更好地理解和掌握知识，提升学习效果。
综上所述，一题多解在小学数学中具有非常重要的作用，可以
帮助学生发展多方面的能力，同时也能够满足不同学生的需求。
在
教学过程中，应该鼓励学生尝试不同的解法，并指导他们学会选择
最合适的方法去解决问题。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用创新的教育价值观认为，教学的根本目的不是教会解答、掌握结论，而是在探究和解决问题的过程中锻炼思维，发展能力。
在数学教学中，常用一题多解、一题多变的方法开拓学生的思路，克服思维定势，培养学生思维的发散性和创造性。
下面我将结合人教版三年级数学教材浅析如下：一题多解所谓“一题多解”，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路、不同的方位，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。
教学中适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。
如：“你们的折法相同吗？为什么涂色部分都是这张纸的四分之一？”通过一题多解，让学生异中求同，从而揭示出分数的本质。
一、鼓励学生进行一题多解的实际练习。
一题多解训练的目的，不是单纯地解题，而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生的解题能力。
二、口述不同的解题思路和解题方法。
口述不同的解题思路和解题方法，就是只要求学生说出不同的解题思路和解题方法，不用具体解答，让学生动脑动口。
三、引导学生自己找出最简便的解法。
在学生求得多种解题方法之后，让他们自己去分析比较，可以相互讨论，也允许相互争论，让学生在此过程中，找出最简便的解题方法。
一题多解训练，还应当注意以下几点：(1)目的要明确。
(2)要注意把握上这种课的时机。
(3)选题要得当，方法要灵活。
一题多变所谓“一题多变”就是指一个题目反复变换，使学生学会用联想旧知，联想同类，改变事情，改变问题中的条件或问题等等变题方法，从中悟出解题规律、方法。
通过“一题多变”可以激发学生的学习兴趣，有效地避免题海战术，巩固数学知识，可培养学生独立思考，举一反三的学习态度，有利于扩大学生的视野，可以增强学生解题的应变能力，培养思维的广阔性和深刻性，从而培养创新思维的品质。
一题多解训练小学生数学思维的重要作用
一题多解训练小学生数学思维的重要作用摘要：小学数学学科教学本身具有一定的抽象性与综合性内涵，它旨在培养小学生的灵活逻辑思维能力。
在新课改背景下，为了实现小学数学教学实效性的有效提升，教师也希望从多个方面思考，实现多角度数学教学，引入一题多解训练模式。
所以本文中就以五年级小学数学教学知识点为例，探讨了一题多解教学策略应用，凸显其训练小学生数学思维的重要价值作用。
关键词：一题多解训练；小学数学；逻辑思维能力；教学策略；五年级就本文看来，小学数学采用一题多解教学模式是非常有必要的，它在提炼小学数学知识内容过程中也希望培养小学生良好的变式思维，更多结合数学问题、条件、结论之间的相互转换来彰显小学生对于教学内容、方法的不同理解。
在该过程中，也要保证教学过程中学生的思维有效发散，教学过程更加开放，不再固定于某一局限性定式思维上思考问题，体现小学数学教学应有姿态。
1.一题多解教学模式的基本应用原则一题多解教学模式目前在小学数学教学领域中应用广泛，它也被称之为“过程性变化变式教学”模式。
在教学模式中其问题多端，专门以题目作为核心，其中所蕴含的知识点内容众多且题目解读方式也非常丰富，基本能够实现对解题方式的多元化拓展，达到一种深化学生学习理解与知识内容的终极目的。
在小学数学教学中，教师应该基于数学概念本质与非本质属性同时存在这一特点展开教学设计，体现一题多解教学有效性。
换言之，要让学生通过某些数学知识点来实现理论理解与实践运用，拓展学生开放性逻辑思维，实现对学生解题思路的有效开拓，更能激发他们的数学学习兴趣。
从一题多解的教学模式层面看，它希望基于专家角度展开分析，有效提高学生的发散性思维能力，在教学中通过多角度引领学生观察、理解各种问题，基于多方面经验内容帮助学生从多个方向找到数学问题答案。
这对学生的数学学科综合素养提升是很有帮助的。
总体而言，基于一题多解策略展开教学，它需要遵循目标导向性基本原则，利用一道题目来引导学生展开变式思考过程，进而丰富学生的解题过程，帮助他们理解新课改教学理念，完成良好的“师导生思”教学过程，最终达到某一教学目标。
“一题多解、多变”练思维 “多解、多题归一”悟本质
文/王永坚近年来，在初中数学教学实践中，围绕着培养学生的创造性思维能力问题，已作出了许多有益的探索。
系统论指出：整体功能大于部分功能之和。
它的启示是：在数学教学中，如果能以某一主题为中心，注意把“一题多解”、“一题多变”、“多解归一”、“多题归一”等方法组成一个互相联系互相作用的综合整体，更有助于加深对知识的巩固与深化，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和创新性。
一、一题多解，激活学生思维的发散性一题多解，培养学生求异创新的发散性思维。
通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。
例1：有两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，正方体的表面积是30平方厘米。
如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？【解法1】30-30÷6+30÷6×2=30-5+10=35（平方厘米）。
或：30+30÷6×（2-1）=30+5=35（平方厘米）。
【解法2】30+30÷6=30+5=35（平方厘米）。
【解法3】30÷6×（6+1）=30÷6×7=35（平方厘米）。
【评注】比较以上三种解法，解法2和解法3是本题较好的解法。
在数学解题过程中，可以通过“一题多解”训练拓宽自己的思路，在遇到新的问题时能顺利挖掘出新旧知识间的相互关系和内在联系，培养求异思维，使自己的思维具有流畅性。
二、一题多变，激励学生思维的变通性一题多变，培养学生思维的应变性。
把习题通过条件变换、因果变换等，使之变为更多的有价值、有新意的新问题，使更多的知识得到应用，从而获得“一题多练”、“一题多得”的效果。
这种习题，有助于启发引导学生分析比较其异同点，抓住问题的实质，加深对本质特征的认识，从而更好地区分事物的各种因素，形成正确的认识，进而更深刻地理解所学知识，促进和增强学生思维的深刻性。
一题多解对于学生数学思维的意义
一题多解对于学生数学思维的意义一、前言大部分对学好数学是表现得兴趣缺乏，却又为了应对教学和考试，不得不学数学；同时不少老师又还是采用了传统的以“老师”为主导的灌输方式的教学模式，教学方法也是采用的题海战术，认为只要多做题，多练题，就能够熟能生巧。
的确，这种做题方法不利于学生发挥创新能力、提高自身的思维水平。
《数学课程标准》的具体目标不仅要求学生获得必要的基础知识和基本技能，还要求培养和发展学生的数学思维能力。
因此为了更好地实现数学学科的教学目标，不但应该注重提高学生的数学思维能力，还更要注重培养学生的数学思维能力。
而一题多解则恰恰是训练、培养学生思维能力的一种行之有效的教学方式，一题多解是让学生跳出单一思维模式，多种角度、多个方位的审视、分析问题，从而达到解决问题的目的，是一种发散思维，一题多解充分调动了学生自行解决问题的主动性、积极性，让学生全方位地思考解题的多种方法，不断开发解题潜能。
二、一题多解，培养发散性思维一题多解是采用不同的方法从不同的角度去理解、分析并解决同一问题，这样有利于加深学生对基础知识、基本方法的透彻理解，有利于培养学生思维的发散性。
在教学中除了让学生学会如何应用一题多解的方式进行解题，还要告诉学生一道题有多种解法的原因。
我们都知道数学题的条件与答案之间是存在一种联系的，利用这个联系去找出答案，这就是解数学题的本质所在；这种联系不单单存在一种形式，而是有多种形式，这是一题多解的本质所在。
学生只有意识到了一道题是可以有多种解法的，就会自然而然地对一题多解产生兴趣。
引导学生多角度理解题意一道题目，如果站在了不同的思考角度之上可以得到完全不一样的解题方法。
这就要求学生在弄清楚题意的基础上充分发挥自己的发散思维，善于从不同角度、不同层次梳理题干给出的条件，深入探索，扩宽自己的思路。
对于给出的一个题目，通过提供多种样式的解法可以激发学生产生对于数学学习的浓厚兴趣。
通过采用不同的、多样的方法来解决同一道题目的发散性思维会比只会用单一的方法去解决多道题的单一思维模式要好得多。
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一题多解优化数学思维1 引言数学是思维的体操，学习数学，离不开思维。
思维是人脑对事物本质和事物之间规律性概括的间接的反映。
数学的抽象性决定了单单依靠感觉、知觉或表象是难以认识的，数学只有通过思维才能深刻理解，牢固掌握。
数学思维是思维的一种，既受到所采用的一般思维方式的制约，包含一般思维所具有的本质，有表现出它自己的特性，这种特性是由数学学科本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的。
在数学中最能锻炼思维的莫过于“一题多解”。
通过一题多解，它可提高学生学习数学的兴趣，主动性和积极性；可使学生善于从多角度多方位去探索同一问题，寻求新颖的解证方法，既有助于开阔解证问题的思路，提高解证问题的应变能力，又可以最大限度地挖掘学生已有知识的潜在能力；它还可使学生克服思考问题的片面性，避免顾此失彼而孤立地分析问题。
一题多解从不同角度出发，展开联想，进行思考，努力挖掘出问题中丰富的内涵，寻求问题的不同解法，学会举一反三，力争在多思和多解中领悟真谛，得到收益，是培养学生数学思维，开拓思路，发展智力，提高能力的有效途径，它将思维发散后又指向问题的归宿，起到“殊途同归”的作用。
2 什么是一题多解所谓“一题多解”，即教师对同一个数学问题从不同角度引导和启发学生进行思考，进而在所学知识范围内提出不同的构想和解法。
一题多解是指对同一数学问题的结论可以由多种途径获得；从而达到一题多用既善于利用渗透于同一数学问题里的不同的数学思想；使学生能够多题一用既对同类数学问题的归纳，并进而构建数学模型。
就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
心理学研究表明，在解决问题的过程中，如果主体所接触到的不是标准的模式化了的问题，那么，就需要进行创造性的思维，需要有一种解题策略，所以策略的产生及其正确性被证实的过程，常常被视为创造的过程或解决问题的过程。
数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法。
在小学阶段，一般包括枚举法、模式识别、问题转化、中途点法、以退求进、特殊到一般、从整体看问题、正难则反等策略。
在日常课堂教学过程中，教师应有意识地对一些典型例题开展“一题多解”活动，这样不仅可以激发学生自己解决问题的热情，突出了学生在课堂教学中的主体地位，而且对提高学生的思维品质，培养能力是十分有益的。
3 一题多解对数学思维品质的锻炼学习数学，离不开思维。
数和形的种种内在联系和相互关系，特别是它们的本质属性与科学规律。
单单依靠感觉，知觉或表象是难以认识的，只有通过思维才能深刻理解，牢固掌握。
通过一题多解，它可提高学生学习数学的兴趣，主动性和积极性；可使学生善于从多角度多方位去探索同一问题，寻求新颖的解证方法，既有助于开阔解证问题的思路，提高解证问题的应变能力，又可以最大限度地挖掘学生已有知识的潜在能力；它还可使学生克服思考问题的片面性，避免顾此失彼而孤立地分析问题。
一题多解从不同角度出发,展开联想,进行思考,努力挖掘出问题中丰富的内涵,寻求问题的不同解法, 学会举一反三,力争在多思和多解中领悟真谛,得到收益，是培养学生数学思维，开拓思路，发展智力，提高能力的有效途径，它将思维发散后又指向问题的归宿，起到“殊途同归”的作用。
开阔学生的思路，发展学生的智力，让学生从多角度去探索同一问题，培养学生的数学思维能力，优化学生的思维品质。
3.1一题多解对数学思维品质的锻炼现代数学教学，把发展学生的思维提高到了应有的地位。
苏联学者B.A.奥加涅相等认为：“区别于传统教学，现代教学的特点在于力求控制教学过程已促进学生思维发展。
”数学思维是思维的一种，既受到所采用的一般思维方式的制约，包含一般思维所具有的本质，又表现出自己的特性，这种特性是由数序学科本身的特点以及数学用以认识现实世界现象的方法所决定的。
众所周知，在数学活动乃至一般的实践活动中，谁都希望自己又较强的思维能力，这个主要取决于一个人的思维品质。
思维的发生和发展，既服从于一般的、普遍的规律性，又表现出个性差异，这种个性差异体现在个体思维活动中的智力特征就是思维品质，有时也称思维的智力品质。
由于数学本身及其研究方法的特点决定着数学思维具有自己的一些特点，这些特点就数学思维来说就是重要的思维品质。
这些思维品质就是深刻性、广阔性、灵活性、创新性。
通过一题多解，它可提高学生学习数学的兴趣，主动性和积极性；可使学生善于从多角度多方位去探索同一问题，寻求新颖的解证方法，既有助于开阔解证问题的思路，提高解证问题的应变能力，又可以最大限度地挖掘学生已有知识的潜在能力；它还可使学生克服思考问题的片面性，避免顾此失彼而孤立地分析问题。
一题多解，有利于加强学生的思维训练 ，教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创造性。
一题多解从不同角度出发,展开联想,进行思考,努力挖掘出问题中丰富的内涵,寻求问题的不同解法,学会举一反三,力争在多思和多解中领悟真谛,得到收益，是培养学生数学思维，开拓思路，发展智力，提高能力的有效途径，它将思维发散后又指向问题的归宿，起到“殊途同归”的作用。
3.1.1一题多解对思维深刻性的锻炼思维的深刻性经常地被称之为分清实质的能力。
这种能力表现为能洞察所研究的每一事实的实质及这些事实指尖的相互关系；能从研究的材料（已知条件、解法及结果）中揭示被掩盖着的某些个别特殊情况；能组合各种具体模式等。
我们认识一个事物（例如函数）总是受到两方面的制约，一方面是受对象本身所制约，这是一条很窄的渠道；而另一方面受反映对象的背景所制约，这是一条很宽的渠道（如函数可以是公式给出的，图像给出的，语言给出的，一个式子给出的，多个式子给出的，连续给出的，间断地给出的等等），如果反映对象的背景材料不全面，那么必影响对对象的深刻认识。
所以这种很宽的渠道往往是无意识地在起作用的。
思维的深刻性，不仅表现在审题时能很快发现和抓住问题的特征，挖掘出隐含条件，从而迅速确立解题的策略，而且还表现在解题后不满足于“一题一法” 而是深刻领会解题的实质，掌握其一般规律。
例 ：正实数y x ,满足128=+y x 。
求y x t +=的最小值面对这道题，我们学生一般用消元法减少其中的变量来处理解法一 探究命题的等价形式问题中有三个变量t y x ,,，可以通过变形消去一个变量，将函数的最值问题转化为二次方程有实数解的问题。
128=+y x 82-=⇒x xy 代入y x t +=化简得(*)08)6(2=++-t x t x ， 方程(*)有实数解084)6(2≥⨯-+=∆⇔t t ，解得18)(2≥≤t t 或舍。
检验：当),8(12(*)1821+∞∈===x x t 的解为时，方程。
由此可知：18,612min =⎩⎨⎧==t y x 时。
解法二 变换问题的角度，所求y x t +=的最小值中t 是关于两个变量y x ,的表达式，而y x ,满足条件式128=+y x ，引导学生把t 转化为x （或y ）的函数，进一步启发学生如何求函数的最值。
简解如下： 128=+y x ⇒ )8(82>-=x x x yy x t +=82-+=x x x 816)8(2-+-+=x x x8162-++=x x 108168+-+-=x x 1810816)8(2=+-⋅-≥x x当且仅当8168-=-x x 即6,12==y x 时，18min =t 解法三 观察给定条件式的结构特点，联想三角恒等式。
课堂教学过程中，学生发现条件式128=+y x 与三角恒等式1cos sin 22=+αα的结构形式上有相似之处，教师引导学生利用变换将问题转化为三角形式，并提醒学生注意三角变换中角的范围。
令)20( cos 2sin 822πααα<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x ， 则⎪⎩⎪⎨⎧==αα22sec 2csc 8y xy x t +=αα22sec 2csc 8+=αα222810tg ctg ++=αα2228210tg ctg ⋅+≥=18 当且仅当αα2228tg ctg =即22=αtg 时（进一步可得出对应的y x ,的值），18min =t解法一于解法二采用常规解法，通过采取消元的方法使的原方程变得简单易解，不过计算量相对就比较复杂，在解题的时候相对要求较强得到计算能力。
而解法三通过观察给定条件式的结构特点，联想三角恒等式1cos sin 22=+αα，挖掘出隐含条件，发现问题的特征更简洁更准确的给出解答，整个解题过程简单明了，计算简单。
通过对比可知分析题目时，不能老把思维停在问题的表面上，二要深入洞察问题的实质，揭示问题的本质特征，从而更好的锻炼到思维的深刻性，优化了解题的效果。
3.1.2一题多解对思维广阔性的锻炼思维的广阔性是指思路宽广，善于多方探求。
不但能研究问题的本身，而且又能研究有关的其它问题。
任何一个事物总不会都像一个球，从每个角度看都是一种形状而无变化；任何一个事物也总不会都像一张白纸，看上去永远是一个平面而无层次。
应当提倡立体思维，也就是多角度，多层次地思维。
在数学学习中，应该要求学生既把握数学问题的整体，抓住他的基本特征，有要求不忽略重要的细节和特殊的因素，放开思路进行思考，解决问题。
不过思维的广阔性也是以丰富知识经验为依据的。
数学教学中可引导学生从各方面联系，寻求多种解决问题的方法。
对于同一道题目，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出不同的解法。
通过广泛的联想，使我们的思维触角伸向不同的方向，不同的层次，这样不仅能巩固所学知识，而且能较好地培养思维的广阔性。
例 ：求函数y=3cos 3cos x x-+ 的值域 解法一由3cos3cosxyx-=+得：cos x =3(1)1yy-+。
1coxs≤，3(1)11yy-∴≤+，解得：123y≤≤。
即所求函数的值域为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
解法二由3cos3cosxyx-=+，得：613cosyx=-++cos1x≤，23cos4x∴≤+≤，36323cos x∴≤≤+，161223cos x∴≤-+≤+。
即所求函数的值域为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦解法三设tan2xt=，由221tan2cos1tan2xxx-=+，得：2224tan222tan2xyx-=+，即222442tyt+=+，可化为：()224420y t y-+-=，由判别式可得：()()24420y y=---≥，解得：122y≤≤，即所求函数的值域为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦。