数学史与数学文化

数学史与数学文化期末考试（二）

班级：会计

学号：

姓名：王婷

题目：勾股定理证明方法

摘要：勾股定理的历史已有几千年的历史。数学讲究严格论证，任何结论都要

经过逻辑推理一步一步证出来。未加证明的论断只能称为命题，经过证明以后才能叫定理，勾股定理的提出是一回事，对它进行严格证明是更了不起的事。千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有古希腊著名数学家毕达哥拉斯的毕达哥拉斯树、我国商代数学家商高的商高定理、三国赵爽的以盈补虚法、甚至还有美国总统詹姆士·加菲尔德的简易证明法等，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，足可见勾股定理魅力之处。勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称，在法国和比利时称为“驴桥定理”、埃及称为“埃及三角形”，而我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，故称之为“勾股定理”。

关键字：勾股定理直角三角形正方形直角边斜边

目录

一、提出问题 (4)

二、数学建模 (4)

三、得出结论 (4)

四、知识延伸 (5)

1、主要几种证明方法 (5)

（1）、算法化证明 (5)

（2）、演绎性证明 (5)

（3）、代数计算证明 (5)

2、勾股组数 (5)

3、勾股定理逆定理 (6)

五、勾股定理的应用 (7)

1、古代的应用 (7)

2、现代应用 (7)

3、勾股定理的推广 (7)

4、勾股定理的影响 (8)

一、提出问题

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

二、数学建模

这个直角梯形是由2个直角边分别为a、b，斜边为c的

直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形拼成的。

因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以得

出如下等式：

1

直角梯形面积：(a+b)(b+a)

2

化简得

这种证明方法用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而证明更加简洁。

他就是当时美国俄亥俄州共和党议员詹姆士·加菲尔德，他是美国第20位总统。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

三、得出结论

勾股定律是初等集合著名定理之一。直角三角形两直角边上正方形面积的和等于斜边上正方形的面积，即如果直角三角形两直角边长度a和b，斜边长度为c，那么

其来源传统上认为是由古希腊的数学家毕达哥拉斯所证明，他根据勾股定律做出的毕达哥拉斯树图形。据说毕达哥拉斯证明了次定理或，当地人民为了庆祝斩

杀了百头牛庆祝，因此又称“百牛定理”

例题：有一只小鸟在一棵搞4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米每秒的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒可能到达大树和伙伴在一起？

1、先根据勾股定理得出小鸟需要飞的距离：

（20-4）2+122=400 小鸟飞的距离为：20米

2、求需要飞的时间：20÷4=5秒

四、知识延伸

1、主要几种证明方法

（1）、算法化证明

主要以中国古代证明方法为代表。计算程序为“勾股之法，先知二数，然后推一”，在思想上主要应用的是“出入相补原理”。

（2）、演绎性证明

主要以古希腊证明方法为代表。只探求图形面积之间的大小关系，而不关心具体图形的面积计算，并在此基础上建立的三角形全等的判定与定理“如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍”。

（3）、代数计算证明

这是中西古代数学思想方法的结合。机油算法思想又体现了演绎推理。如上述论证了加菲尔德总统的证明方法。

2、勾股组数

满足勾股定理方程a2+b2=c2 满足勾股定理方程a2+b2=c2 由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

1.（3、4、5）

2.（6、8、10）

3.（5、12、13）

4.（8、15、17）

5.（7、24、25）

6.（9、40、41）

7.（10、24、26）8.（11、60、61） 9.（12、35、37）

10.（48、55、73） 11.（12、16、20） 12.（13、84、85）