高中数学新课程创新教学设计案例--对数函数

12 对数函数
教材分析
对数函数是一类重要的函数模型，它与指数函数互为反函数．教材是在学生学过指数函数、对数及其运算的基础上引入对数函数的概念的．须要说明的是，这里与传统的教材有所不同，即没有先学习反函数，这对学生学习对数函数的概念、图像及性质有较大影响，使指数函数的知识点不能直接应用于对数函数的知识点，但从对数的定义中知道：指数式与对数式可互化．因此，在某些方面，如在画对数函数y＝log2x的图像列表时，可以把画指数函数y＝2x图像时列的表中的x与y的值对调．这节内容的重点是对数函数的概念、图像及性质，难点是对数函数与指数函数的关系．
教学目标
1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质．
2. 知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a＞0且a≠1）．
3. 能应用对数函数的性质解有关问题．
任务分析
首先复习指数函数、对数的定义及对数的性质，这也是学习本节内容的基础．解析式x ＝log a y是函数，叫作对数函数，为了符合习惯，常写成y＝log a x．这些内容学生较难理解，教学时要引起重视．教学中，要注意从实例出发，使学生从感性认识提高到理性认识；要注意运用对比的方法；要结合对数函数的图像抽象概括对数函数的性质．注意：不要求讨论形式化的函数定义，也不要求求已知函数的反函数，只须知道对数函数与指数函数互为反函数．
教学设计
一、问题情境
同指数函数中的细胞分裂问题，即：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个数为y．
我们已经知道，个数y是分裂次数x的函数，解析式是y＝2x．形式上是指数函数（这里的定义域是N）．
思考：在这个问题中，细胞分裂的次数x是不是细胞分裂个数y的函数？若是，这个函数的解析式是什么？
x也是y的函数，由对数的定义得到这个新函数是x＝log2y．其中，细胞的个数y是自变量，细胞分裂的次数x是函数．
二、建立模型
1. 学生讨论
（1）函数x＝log2y与指数函数y＝2x有何关系？
（2）函数ｘ＝log2y中的自变量、字母与我们以前所学的函数有何区别？
结论：问题（1）：两函数中的x表示的都是细胞分裂的次数，y表示的都是细胞分裂的个数，对应法则都是以2为底数，一个是取对数，一个是取指数，正好相逆．
注意：这里不能说它们互为反函数，因为还没有学习反函数的概念．
问题（2）：这里的自变量所用字母是y，以前学习的函数的自变量常用字母x，即这里的用法不合习惯．
2. 教师明晰
定义：函数x＝long2y，（a＞0，且a≠1）叫作对数函数，它的定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．
由对数函数的定义可知，在指数函数y＝a x和对数函数x＝log a y中，x，y两个变量之间的关系是一样的．不同的只是在指数函数y＝a x里，x是自变量，y是因变量，而在对数函数x＝log a y中，y是自变量，x是因变量．习惯上，我们常用x表示自变量，y表示因变量，因此，对数函数通常写成y＝log a y，（a＞0且a≠1，x＞0）．
3. 练习
在同一坐标系中画出下列函数的图像．
（1）y＝long2x．（2）y＝．
解：列表：
表12-1
思考：上表中的x，y的对应值与指数函数中所列表的对应值有何关系？
描点，画图：
4. 观察上面的函数图像，结合列表，仿照指数函数的性质，归纳总结出对数函数的性质
（1）定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）．
（2）函数图像在y轴的右侧且过定点（1，0）．
（3）当a＞1时，函数在定义域上是增函数，且当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y ＜0．
当0＜a＜1时，函数在定义域上是减函数，且当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0．
三、解释应用
［例题］
1. 求下列函数的定义域．
（1）y＝log2x2．（2）y＝log a（4－x）．（3）y＝．
解：（1）｛x｜x≠0｝．（2）（－∞，4）．（3）（0，1）．
2. 比较下列各组数的大小．
（1）log23与log23.5．
（2）log a5.1与log a5.9，（a＞0且a≠1）．
（3）log67与log76．
解：（1）考查对数函数y＝log2x．
∵2＞1，∴它在（0，＋∞）上是增函数．
又3＜3.5，
∴log23＜log23.5．
（2）当a＞1时，log a5.1＜log a5.9；
当0＜a＜1时，log a5.1＞log a5.9．
（3）log67＞1＞log76．
总结：本例是利用对数的单调性比较两个对数的大小，当底数与1的大小不确定时，要分类讨论；当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个已知数间接比较两个数的大小．
3. 溶液的酸碱度是通过pH值来刻画的，pH值的计算公式为pH＝－lg［H+］，其中［H+］表示溶液中氢离子的浓度，单位是mol／L．
（1）根据对数函数性质及上述pH值的计算公式，说明溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系．
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为［H+］＝10-7mol／L，计算纯净水的pH值．
解：（1）根据对数的性质，有
pH＝－lg［H+］＝lg［H+］－1＝lg，
所以溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越小．
（2）当［H+］＝10-7时，pH＝－lg10-7＝7，所以，纯净水的pH值是7．
4. 设函数f（x）＝lg（a x－b x），（a＞1＞b＞0），问：当a，b满足什么关系时，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值？
解：当x∈（1，＋∞）时，lg（a x－b x）＞0恒成立a x－b x＞1恒成立．
令g（x）＝a x－b x．
∵a＞1＞b＞0，
∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数，
∴当x＞1时，g（x）＞g（1）＝a－b，
∴当a－b≥1时，f（x）在（1，＋∞）上恒取正值．
［练习］
1. 求函数y＝的定义域．
2. 比较log0.50.2与log0.50.3的大小．
3. 函数y＝lg（x2－2x）的增区间是____________ ．
4. 已知a＞0，且a≠1，则在同一直角坐标系中，函数y＝a-x和y＝log a（－x）的图像有可能是（）．
5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现，一
岁鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是m／s，其中Q表示鲑鱼的耗氧量．
（1）当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？
（2）计算一条鲑鱼的最低耗氧量．
四、拓展延伸
1. 作出对数函数y＝log a x，（a＞1）与y＝log a x，（0＜a＜1）的草图．
2. 说出指数函数与对数函数的关系．
以指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x为代表加以说明．
（1）对数函数y＝log2x是把指数函数y＝2x中自变量与因变量对调位置而得出的．
教师明晰：当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量．我们称这两个函数互为函数．函数y ＝f（x）的反函数记作：y＝f-1（x）．
对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x互为反函数．
（2）对数函数y＝log2x与指数函数y＝2x的图像关于直线y＝x对称．
（3）指数函数与对数函数对照表．
表12-2
点评
这篇案例首先通过细胞分裂问题说明了对数函数的意义，这样安排既有利于学生理解对数函数的概念，又有利于学生了解了它与指数函数的关系．其次通过画具体的对数函数的图像，归纳总结出对数函数的性质，体现了由特殊到一般的认识规律，知识传授较为自然．性
质的列举模仿了指数函数的性质．通过对比，便于学生理解、记忆．例题、练习的选配注意了题目的代表性，并且由易到难，注重学生解题能力的提高．拓展延伸侧重于指数函数与对数函数的图像、性质方面的关系，加深了学生对这两个函数的理解，并使学生从中了解了反函数的概念．。