广州大学0910(1)概率试题(a卷)答案

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A卷
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广州大学2009---2010学年第一学期考试卷
参考解答与评分标准
课程《概率论与数理统计Ⅰ》《概率论与数理统计Ⅱ》考试形式（闭卷，考试）学院专业、班级学号姓名
题次一二三四五六总分评卷人
分数151532*********
评分
一.填空题（每小题3分，共计15分）
1．设A与B为两事件,P(A)=P(B)=0.6,且P(A∪B)=0.9,则P(AB)=0.3
2．设A与B为两事件,P(A)=1-P(B)=0.6,且P(A∪B)=0.8,则P(A|B)=0.5
3．口袋中有4个白球3个黑球,从中任取两个,则取到同颜色球的概率为3/7 4．设X服从正态分布,P(X≥0)=0.5,P(X≤2)=0.85,则P(|X|≤2)=0.7
5．设X与Y相互独立,D(X)=1,D(Y)=2，则协方差cov(2X+Y,X-2Y)=−2二．单项选择题（每小题3分，共计15分）
1．设A表示事件“明天和后天都下雨”，则其对立事件A表示【B】
(A)“明天和后天都不下雨”(B)“明天或者后天不下雨”
(C)“明天和后天正好有一天不下雨”(D)“明天或者后天下雨”
2．设事件A与B独立且0<P(A)≤P(B)<1，则下列等式中有可能成立的是【C】(A)P(A)+P(B)=P(A∪B)(B)P(A)=P(A∩B)
(C)P(A)+P(B)=1(D)P(B)=P(A∪B)
3．设连续随机变量X 的分布函数为F (x ),a 为正数,则P (|X |>a )等于【D 】
(A )F (a )+F (-a )(B )F (a )+F (-a )-1(C )F (a )-F (-a )
(D )1-F (a )+F (-a )
4．设X 与Y 为两个随机变量，则下列选项中能说明X 与Y 独立的是【D 】
(A)E (X+Y )=E (X )+E (Y )(B)E (XY )=E (X )E (Y )
(C)D (X+Y )=D (X )+D (Y )
(D)对∀a ,b 有P (X ≤a ,Y ≤b )=P (X ≤a )P (Y ≤b )
5.设二维随机变量(X ,Y )服从某个圆形区域上的均匀分布,则一定有【A
】
(A)X 与Y 不相关(B)X 与Y 相互独立(C)X 与Y 同分布
(D)X 与Y 都服从均匀分布
三．解答下列各题（每小题8分，共计32分）
1.学生在做一道单项选择题时，若他知道正确答案则一定答对，否则就从4个选项中随机选择一项作答.设学生知道正确答案的概率是0.5,求他答对题目的概率.解:设A 表示学生答对题目,B 表示学生知道正确答案.
|(()|()()(B A P B P B A P B P A P +=……………………………………4分
=0.5×1+0.5×0.25=0.625
……………………………………………………………8分
2.某人投篮的命中率为0.7.求他投篮3次当中至少投中2次的概率.解:以X 表示3次投篮投中的次数,则X ~b (3,0.7).
P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)
…………………………………………4分
=0.784
………………………………………………………8分
32237.03.07.0+×=C
⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,1)(2
x x x x f 31
1)(1)(14
1
2
2===∫∫∞∞
dx x dx x f x Y E 3．设有200台机器同时独立工作,每台机器出现故障的概率为0.01,求至少有2台机器出现故障的概率.
解:以X 表示出现故障的机器台数,则X ~b (200,0.01).则X 近似服从泊松分布,参数λ=200×0.01=2.
………………………2分
P (X ≥2)=1−P (X =0)−P (X =1)
…………………………………………4分≈1−e −2−2e −2=1−3e −2
…………………………………………8分
4．设随机变量X 的密度函数为,求Y =1/X 的数学期望和方差.
解:21
1)(1
)(1
3
1
=
==∫∫∞
∞dx x dx x f x
Y E ………………………………………4分
D (Y )=
E (Y 2)−E (Y )2=1/12
………………………………………8分
四.(本题12分)有4个外观完全相同的盒子,其中2个装有气球.随机打开一个盒子,
若没有气球则从其余的盒子中随机选择一个打开,如此继续,直到发现气球为止.(1)求打开第3个盒子才找到气球的概率.
(2)以X 表示找到气球时打开的盒子数,写出X 的分布律.(3)计算X 的数学期望和方差.
解:(1)设A 1,A 2分别表示第1次和第2次打开空盒子.所求概率为
6
1
3121)|()()(12121=
×==A A P A P A A P ………………………………4分
(2)X 的分布律为
X 123
概率
2
1
3
16
1………………………………8分
(3)E (X )=1×1/2+2×1/3+3×1/6=5/3
………………………………………10分
E (X 2)=12×1/2+22×1/3+32×1/6=10/3D (X )=E (X 2)−E (X )2=10/3−(5/3)2=5/9
………………………………………12分
五．(本题12分)某种型号元件的寿命X (单位:年)服从指数分布,其参数λ=ln2.(1)求单个元件在使用1年后仍然有效的概率.
(2)购买这种元件400个,求使用1年后有效的元件数在180−220之间的概率.【提示:利用中心极限定理】
z 解:(1)所求概率为
5.0)1(2ln 1====>−−∞
−∫e e dx e X P x λλλ……………………………4分
(2)以Y 表示购买的400个元件使用1年后有效的元件数,则Y ~b (400,0.5).
E (Y )=400×0.5=200,D (Y )=400×0.5×(1−0.5)=100……………………………6分
由中心极限定理,)
(*Y D EY
Y Y −=
近似服从标准正态分布.故)
(10
200
2201020010200180)220180(−≤−≤−=≤≤Y P Y P =P (−2≤Y *≤2)=Φ(2)−Φ(−2)……………………………9分
=2Φ(2)−1=2×0.977−1=0.954
……………………………12分
六．(本题14分)已知(X ,Y )服从平面区域D ={(x ,y ):x +y ≤1,x >0,y >0}上的均匀分布.(1)写出(X ,Y )的联合密度函数f (x ,y ).(2)分别求1−X 和Z =X +Y 的分布函数.(3)计算X 与Y 的相关系数.【提示:2cov(X ,Y )=D (X +Y )−D (X )−D (Y )】解:(1)⎩⎨
⎧≤+>>=其它
,
0;
1,0,0,
2),(y x y x y x f ……………………………3分
(2)F 1−X (t )=P (1−X ≤t )=P (X ≥1−t )=
dxdy t x D ∫∫−≥∩}
1{2.
当0<t ≤1时,D ∩{(x ,y ):x ≥1−t }的面积=t 2/2,故
⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤<≤=−.1,1;
10,;0,
0)(21t t t t t F X ………………………………6分
F Z (t )=P (X +Y ≤t )=
dxdy t y x D ∫∫≤+∩}
{2.即
⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤<≤=.1,1;
10,;0,0)(2t t t t t F Z …………………………………9分
(3)由前面知1−X 与Z =X +Y 同分布,且易知X 与Y 同分布,故
D (X +Y )=D (1−X )=D (X )=D (Y ),
2cov(X ,Y )=D (X +Y )−D (X )−D (Y )=−D (X )
21
)(),(cov )
()(),(cov −
===
X D Y X Y D X D Y X XY ρ………………………………14分。