求椭圆离心率范围的常见题型及解析

求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e的不等式.
一、利用曲线的范围，建立不等关系
例１已知椭圆22 2
2
1(0)
x y
a b
a b
+=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OＰ垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围.
例2
已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右焦点分别为
12
(,0),(,0)
F c F c
-,若椭圆上存在
一点P使
1221
sin sin
a c
PF F PF F
=,则该椭圆的离心率的取值范围为()
21,1
-.
二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点,满足
的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心
率的取值范围是( )
A.(0,1) Ｂ.
1(0,
]2
Ｃ．2
(0,
)2 D.2[,1)2
ﻬ三、利用点与椭圆的位置关系,建立不等关系
例4已知ABC ∆的顶点Ｂ为椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 短轴的
一个端点,另两个顶点也在椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ，求椭圆离心率的范围.
x
y O
F 1
F 2
四、利用函数的值域，建立不等关系
例5椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA
(Ｏ为原点），若椭圆长轴长的取值范围为
[]6,5，求椭圆离心率的范围.
五、利用均值不等式，建立不等关系.
例６ 已知F １、Ｆ2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点，∠F １P Ｆ2＝６０°.求椭圆离心率的范
围；
解 设椭圆方程为错误!未定义书签。

+ｙ2
b 2＝１ (a ＞b>0),|PF 1|＝ｍ,|PF 2|＝ｎ，则ｍ+n ＝2a.
在△ＰF 1F 2中，由余弦定理可知,
4c 2=ｍ２+n 2－2ｍｎc ｏs 6０°=(m ＋ｎ)2－3m ｎ ＝4a 2-3mn ≥４ａ2-3·错误!2=4ａ2－3a 2=ａ２
(当且仅当m ＝n 时取等号).∴错误!未定义书签。

≥错误!未定义书签。

,即ｅ≥错误!未定义书签。

.
又０<e ＜1,∴e 的取值范围是错误!．
x
y O
A B
F M
C
例7 已知1F 、
2F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点,椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ,求椭圆离心率e 的取值范围. 解析１：令
n PF m pF ==21,,则a n m 2=+
由21PF PF ⊥
2
2
2
4c n m
=+∴ ()2
2
2
2
2
22
4a n m n
m c =+≥
+=∴ 即21
222
≥=a
c e
又12
2
10<≤∴
<<e e 六、利用焦点三角形面积最大位置，建立不等关系
解析２：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2
1
b b S PF
F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22
1
21
b ⇒≤
c 2
b ⇒≤2
c 2
2
c a -⇒≤2c 222
a
c e =⇒≥21
故
2
2
≤e ＜1 七、利用实数性质,建立不等关系
解析３:设()y x P ,，由21PF PF ⊥得
1-=-⋅+c
x y c x y ,即222x c y -=，代入1222
2=+b
y a x 得()22222
c b c a x -= ,2220b c x ≥∴≥ 即222
c a c
-≥,2
2
≥=
∴a c e 又1<e 122<≤∴e 八、利用曲线之间位置关系,建立不等关系
解析4:21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上,
2
2
2
c y x P =+∴为圆 与 122
22=+b
y a x 的公共点．由图可知
222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2
222a c c a <≤-12
2
<≤∴e
说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.
九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系
解析４：椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大
无妨设满足条件的点Ｐ不存在 ，则∠21PF F <0
90
2
245sin sin 001=<∠=<
∴OPF a c 又10<<e 所以若存在一点P 则 12
2
<≤e .。