求椭圆离心率范围的常见题型及解析

求椭圆离心率范围的常见题型解析解题关键:挖掘题中的隐含条件,构造关于离心率e的不等式.

一、利用曲线的范围，建立不等关系

例１已知椭圆22 2

2

1(0)

x y

a b

a b

+=>>右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OＰ垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围.

例2

已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的左、右焦点分别为

12

(,0),(,0)

F c F c

-,若椭圆上存在

一点P使

1221

sin sin

a c

PF F PF F

=,则该椭圆的离心率的取值范围为()

21,1

-.

二、利用曲线的平面几何性质,建立不等关系 例3已知12、F F 是椭圆的两个焦点,满足

的点P 总在椭圆内部，则椭圆离心

率的取值范围是( )

A.(0,1) Ｂ.

1(0,

]2

Ｃ．2

(0,

)2 D.2[,1)2

ﻬ三、利用点与椭圆的位置关系,建立不等关系

例4已知ABC ∆的顶点Ｂ为椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 短轴的

一个端点,另两个顶点也在椭圆上，若ABC ∆的重心恰好为椭圆的一个焦点F )0,(c ，求椭圆离心率的范围.

x

y O

F 1

F 2

四、利用函数的值域，建立不等关系

例5椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 与直线01=-+y x 相交于A 、B 两点，且0=⋅OB OA

(Ｏ为原点），若椭圆长轴长的取值范围为

[]6,5，求椭圆离心率的范围.

五、利用均值不等式，建立不等关系.

例６ 已知F １、Ｆ2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点，∠F １P Ｆ2＝６０°.求椭圆离心率的范

围；

解 设椭圆方程为错误!未定义书签。+ｙ2

b 2＝１ (a ＞b>0),|PF 1|＝ｍ,|PF 2|＝ｎ，则ｍ+n ＝2a.

在△ＰF 1F 2中，由余弦定理可知,

4c 2=ｍ２+n 2－2ｍｎc ｏs 6０°=(m ＋ｎ)2－3m ｎ ＝4a 2-3mn ≥４ａ2-3·错误!2=4ａ2－3a 2=ａ２

(当且仅当m ＝n 时取等号).∴错误!未定义书签。≥错误!未定义书签。,即ｅ≥错误!未定义书签。.

又０

x

y O

A B

F M

C

例7 已知1F 、

2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的两个焦点,椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ,求椭圆离心率e 的取值范围. 解析１：令

n PF m pF ==21,,则a n m 2=+

由21PF PF ⊥

2

2

2

4c n m

=+∴ ()2

2

2

2

2

22

4a n m n

m c =+≥

+=∴ 即21

222

≥=a

c e

又12

2

10<≤∴

<

解析２：不妨设短轴一端点为B 则2245tan 2

1

b b S PF

F =︒=∆≤bc b c S BF F =⨯⨯=∆22

1

21

b ⇒≤

c 2

b ⇒≤2

c 2

2

c a -⇒≤2c 222

a

c e =⇒≥21

故

2

2

≤e ＜1 七、利用实数性质,建立不等关系

解析３:设()y x P ,，由21PF PF ⊥得

1-=-⋅+c

x y c x y ,即222x c y -=，代入1222

2=+b

y a x 得()22222

c b c a x -= ,2220b c x ≥∴≥ 即222

c a c

-≥,2

2

≥=

∴a c e 又1

解析4:21PF PF ⊥ 为直径的圆上点在以21F F P ∴ 又P 在椭圆上,

2

2

2

c y x P =+∴为圆 与 122

22=+b

y a x 的公共点．由图可知

222a c b a c b <≤⇒<≤ ∴2

222a c c a <≤-12

2

<≤∴e

说明：椭圆上一点距中心距离最小值为短半轴长.

九、利用21PF F ∠最大位置，建立不等关系

解析４：椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 当P 与短轴端点重合时∠21PF F 最大

无妨设满足条件的点Ｐ不存在 ，则∠21PF F <0

90

2

245sin sin 001=<∠=<

∴OPF a c 又10<

2

<≤e .