2020年河南省南阳市高二(下)期中数学试卷(理科)

期中数学试卷（理科）

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设复数z满足，则|z|=（）

A. 1

B.

C. 3

D.

2.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程是（）

A. 4x-y-3=0

B. x+4y-5=0

C. 4x-y+3=0

D. x+4y+3=0

3.如图，阴影部分的面积为（）

A. 2

B. 2-

C.

D.

4.已知f（x）=e x+2xf′（1），则f′（0）等于（）

A. 1+2e

B. 1-2e

C. -2e

D. 2e

5.如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三

角形个数构成数列{a n}的前4项，则{a n}的通项公式可以是（）

A. a n=3n-1

B. a n=2n-1

C. a n=3n

D. a n=2n-1

6.已知函数f（x）与其导函数f'（x）的图象如图，则满足f'（x）＜f（x）的x的取值

范围为（）

A. （0，4）

B. （-∞，0），（1，4）

C. D. （0，1），（4，+∞）

7.用数学归纳法证明不等式“++…+＞（n＞2）”时的过程中，由n=k到

n=k+1时，不等式的左边（）

A. 增加了一项

B. 增加了两项

C. 增加了两项，又减少了一项

D. 增加了一项，又减少了一项

8.曲线在点处的切线的斜率为2，则的最

小值是( )

A. 10

B. 9

C. 8

D.

9.已知函数g（x）=a-x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2ln x的图象上存在

关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）

A. [1，+2]

B. [1，e2-2]

C. [+2，e2-2]

D. [e2-2，+∞）

10.如图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而

得到．图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）

A. n

B. n2+1

C. n+1

D. n+2

11.已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f′（x）．当x＞0

时，f′（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）

A. e2f（1）＞-f（2）

B. e2f（-1）＞-f（2）

C. f（2）＜e2f（1）

D. f（-2）＜-e2f（-1）

12.已知定义城为R的函数f（x）的图象连续不断，且∀x∈R，f（x）+f（-x）=4x2，当

x∈（0，+∞）时，f′（x）＜4x（f′（x）为f（x）的导函数）设g（x）=f（x）-2x2，若g（2m+1）≤g（-m），则实数m的取值范围为（）

A. B. [-1，+∞） C. D. （-∞，-1]

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知x，y∈R，i为虚数单位，，则x+y= ______ ．

14.计算：=______．

15.设S n是公差为d的等差数列{a n}的前n项和，则数列S6-S3，S9-S6，S12-S9是等差数

列，且其公差为9d．通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2的等比数列{b n}的前n项积，则数列，，是等比数列，且其公比的值是______ ．

16.设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）满足f（1）+f（3）=2f（2），现给出如下结论

①若f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，4）的增函数；

②若a•f（1）≥a•f（3），则f（x）有极值；

③对任意实数x0，直线y=（c-12a）（x-x0）+f（x0）与曲线y=f（x）有唯一公共点．

其中正确的结论是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知x＞0，y＞0，且xy=1，求的最小值及相应的x，y的值．

18.已知函数f（x）=x3+mx2+nx-2的图象过点（-1，-6），且函数g（x）=f′（x）+6x

的图象关于y轴对称．

（1）求m、n的值及函数y=f（x）的单调区间；

（2）求函数y=f（x）在区间（0，a）内的极值．

19.用数学归纳法证明：++…+＜．

20.2016年双十一期间，某电子产品销售商促销某种电子产品，该产品的成本为2元/

件，通过市场分析，双十一期间该电子产品销售量y（单位：千件）与销售价格x （单位：元）之间满足关系式：y=+2x2-35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），且已知当销售价格为3元/件时，该电子产品销售量为89千件．

（Ⅰ）求实数a的值及双十一期间销售该电子产品获得的总利润L（x）；

（Ⅱ）销售价格x为多少时，所获得的总利润L（x）最大？并求出总利润L（x）的最大值．

21.已知函数f（x）=x2-2x+2a ln x，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且

x1＜x2．

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明：．

22.已知函数f（x）=（t+1）x-ln x．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）若∀x∈[1，e]，不等式f（x）≥3x+恒成立，求实数t的取值范围．