信号与系统3.11抽样定理
信号与系统第三章
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
信号抽样与抽样定理
（1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化，
抽样间隔为 ω0＝2π/T。 （2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
四、频域抽样与频域抽样定理
矩形单脉冲信号的频谱 F ( ) E Sa 0
2
m0 Sa 2 m
( ns m0 )
四、频域抽样与频域抽样定理
f 0 t
E
F0 ( )
E
2
0
a
E
2
t
2
0
2
f1 t
b
F1
E 0
T 0
2
T
c
E
2
t
2
0
2
d
f s t
E 0 Ts
T
Fs
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 , m m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值
样间隔 Ts 不大于 2f
1
m
f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
，其中 f m为信号的最高频率，
或者说，抽样频率 f s 满足条件
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 f s 2 f m 称为奈奎斯特频率， 1 1 把最大允许的抽样间隔 Ts 称为奈奎斯特间隔 。 fs 2 fm
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失
真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精 辟的回答。
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。
信号与系统 抽样定理实验
信号与系统实验报告实验六抽样定理实验六抽样定理一、实验内容：（60分）1、阅读并输入实验原理中介绍的例题程序，观察输出的数据和图形，结合基本原理理解每一条语句的含义。
2、已知一个连续时间信号f(t)=sinc(t)，取最高有限带宽频率f m=1Hz。
（1）分别显示原连续信号波形和F s=f m、F s=2f m、F s=3f m 三种情况下抽样信号的波形；程序如下：dt=0.1;f0=0.2;T0=1/f0;fm=5*f0;Tm=1/fm;t=-10:dt:10;f=sinc(t);subplot(4,1,1);plot(t,f);axis([min(t),max(t),1.1*min(f),1.1*max(f)]);title('ÔÁ¬ÐøÐźźͳéÑùÐźÅ');for i=1:3;fs=i*fm;Ts=1/fs;n=-10:Ts:10;f=sinc(n);subplot(4,1,i+1);stem(n,f,'filled');axis([min(n),max(n),1.1*min(f),1.1*max(f)]); end运行结果如下：（2）求解原连续信号和抽样信号的幅度谱；程序： dt=0.1;fm=1;t=-8:dt:8;N=length(t);f=sinc(t);wm=2*pi*fm;k=0:N-1;w1=k*wm/N;F1=f*exp(-j*t'*w1)*dt;subplot(4,1,1);plot(w1/(2* pi),abs(F1));axis([0,max(4*fm),1.1*min(abs(F1)),1.1*max(abs(F1))]);for i=1:3;if i<=2 c=0;else c=1;endfs=(i+c)*fm;Ts=1/fs;n=-6:Ts:6;N=length(n);f=sinc(n);wm=2*pi*fs;k=0:N-1;w=k*wm/N;F=f*exp(-1i*n'*w)*Ts;subplot(4,1,i+1);plot(w/(2*pi),abs(F));axis([0,max(4*fm),0.5*min(abs(F)),1.1*max(abs(F) )]);end波形如下：（3）用时域卷积的方法（内插公式）重建信号。
信号与系统-取样定理..
2018/10/8
信号信息与处理 取样定理
22
连续时间信号的离散时间处理
设计一个连续时间带限微分器的离散时间实现
d t h t 微分器单位冲激响应： dt j , c 微分器频率响应： H c j 0 , c
c
Hd e
关键问题
一种解决思路
利用零阶保持电路替代冲激串，即在t=nT取 样后，该幅度一直保持到t=(n+1)T 必须解决零阶取样保持电路的恢复问题
信号信息与处理 取样定理 10
2018/10/8
零阶保持取样
傅立叶变换过程分析
x t
x t
零阶 保持
x0 t
x0 t
x t
若x(t)是一个带限信号，满足| ω |>ωM时， X(jω)=0.则当ωs>2ωM，其中ωs=2π/T，则 x(t)可以唯一的用样本x(nT)所确定,n取遍 所有的整数。 2ωM称为奈奎斯特频率 构造方法： 产生一个周期脉冲串，冲激串幅度 为取样样本值；将冲激串序列通过一个 幅度为T,截止频率大于ωM，小于2ωM 低通滤波器，该滤波器输出就是x(t)
c
p t
xp t p t x t
xd [n]
0 T 2T
xp t p t x t
xd [n]
0 T 2T
2018/10/8
信号信息与处理 取样定理
18
连续时间信号的离散化处理频谱变换
1
X c j
xp t
n
x nT t nT
n c
jn
信号与系统第3章傅里叶变换
*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中
信号抽样定理实验报告
一、实验目的1. 理解并验证信号抽样定理的基本原理。
2. 学习信号抽样过程中频谱的变换规律。
3. 掌握信号从抽样信号中恢复的基本方法。
4. 通过实验加深对信号处理理论的理解。
二、实验原理信号抽样定理，也称为奈奎斯特定理，指出如果一个带限信号的最高频率分量小于抽样频率的一半，那么通过适当的方法可以将这个信号从其抽样信号中完全恢复出来。
具体来说，如果一个连续信号 \( x(t) \) 的最高频率分量为 \( f_{max} \)，那么为了不失真地恢复原信号，抽样频率 \( f_s \) 必须满足 \( f_s > 2f_{max} \)。
三、实验设备与软件1. 实验设备：信号发生器、示波器、信号源、滤波器等。
2. 实验软件：MATLAB或其他信号处理软件。
四、实验步骤1. 信号生成：使用信号发生器生成一个连续的带限信号，例如正弦波、方波等，并记录其频率和幅度。
2. 信号抽样：使用信号源对生成的带限信号进行抽样，设定抽样频率 \( f_s \)，并记录抽样后的信号。
3. 频谱分析：对原始信号和抽样信号分别进行傅里叶变换，分析其频谱，观察抽样频率对信号频谱的影响。
4. 信号恢复：使用滤波器对抽样信号进行低通滤波，去除高频分量，然后对滤波后的信号进行逆傅里叶变换，观察恢复后的信号与原始信号的一致性。
5. 改变抽样频率：重复步骤2-4，分别使用不同的抽样频率进行实验，比较不同抽样频率对信号恢复效果的影响。
五、实验结果与分析1. 频谱分析：通过实验发现，当抽样频率 \( f_s \) 小于 \( 2f_{max} \) 时，抽样信号的频谱会发生混叠，无法恢复出原始信号。
当 \( f_s \) 大于\( 2f_{max} \) 时，抽样信号的频谱不会发生混叠，可以恢复出原始信号。
2. 信号恢复：通过低通滤波器对抽样信号进行滤波，可以有效地去除高频分量，从而恢复出原始信号。
滤波器的截止频率应设置在 \( f_{max} \) 以下。
信号与系统抽样与抽样定理
连续时间系统的频率响应
连续信号通过系统响应的频域分析
无失真系统与理想低通
抽样与抽样定理
调制与解调
连续时间信号的时域抽样
信号抽样的理论分析 时域抽样定理
抽样定理的工程应用
信号重建
实际应用举例
1、信号抽样的理论分析
f (t)
fs (t)
T (t)
冲激串 ->序列
f [k ]
2p F T t T
n
w nw
s
f s (t ) f (t ) T (t )
1 2p F FS jw [ F jw 2p T
n
w nw ]
s
1 Fs ( jw ) F [ j(w nws )] T n
wm 0 wm
w
ws 1.5wm
Fs ( jw )
1 T
混叠 (aliasing)
F[j(wws)] ...
ws ws wm
F(jw)
0
F[ j(w ws )] ...
ws
wm ws
w
2、时域取样定理
若带限信号f(t)的最高角频率为ωm，则信号f(t) 可以用等间隔的抽样值唯一地表示。而抽样间隔T 需不大于1/2fm，或最低抽样频率fs不小于2fm。
例5－9 已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)， 试计算对各信号f(2t)， f(t)f(2t)， f(t)f(2t) 抽样不混叠的最小抽样频率。 解： 根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得： 对信号f(2t)抽样时，最小抽样频率为 4fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 2fm(Hz)； 对f(t)f(2t)抽样时，最小抽样频率为 6fm(Hz)。
信号与系统§3.11 抽样定理
当s 2m时，不满足抽样定理，fs t 的频谱出现混叠，
在 时 域 图 形 中 ， 因Ts过 大 使 冲 激 响 应Sa函 数 的 各 波 形 在 时
间 轴 上 相 隔 较 远 ， 无 论如 何 选 择 c 都 不 可 能 使 迭 加 后 的 波
形恢复f t。
由于要产生接近冲激序列的信号和接近理想低通的 系统都相当困难，因而在数字通信系统中广泛采用零阶 抽样保持来产生和传输信号，在收端利用补偿滤波器恢 复连续时间信号。
§3.11 抽样定理
பைடு நூலகம்
主要内容
抽样定理 由抽样信号恢复原信号
重点 抽样定理 难点 由抽样信号恢复原信号
一．抽样定理
1．对信号抽样 （1）抽样前滤波→有限频带 （2）抽样率足够高 （3）抽样后接理想低通滤波器，滤除高频分量
2．抽样定理
一个频率受限的信号f(t) ,若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f(t)可用等间隔的抽样值来唯一地表示.其
二．由抽样信号恢复原信号
理想低通滤波器
S 2m 1 F S
TS
H T0s
c c
S
F Fs H f t fs t ht
om
S
S m
H
TS
滤除高频成分，即可恢复原信号 从时域运算时域解释
C o C
F
1
o
m
m
时域运算
以理想抽样为例
时 域 ： f s (t) f (t) T (t) f (nTs ) (t nTs )
n
频 域 ：Fs
信号与系统PPT14(抽样定理)
1 X s ( jω ) = T
ω
n = −∞
∑
+∞
X [ j(ω − nω sБайду номын сангаас)]
ωs = 2.5ωm
1 T
− ωm
ωm
X s ( jω )
X ( jω )
X [ j(ω + ω s )]
X [ j(ω − ω s )]
一、 信号的时域抽样
1、信号抽样的理论分析
理想抽样信号的频谱分析
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五” 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》 信号与系统》
陈后金，胡健，薛健 陈后金，胡健， 高等教育出版社， 2007年 高等教育出版社， 2007年
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频域分析 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析 信号的时域抽样和频域抽样
且序列x[k]的频谱等于抽样信号的频谱，即有
X ( e jΩ ) = X s ( j ω ) =
k = −∞
x(kT )e − jΩk ∑
+∞
(设Ω = ωT )
其中： T 为抽样间隔，ωs=2π /T为抽样角频率。
一、 信号的时域抽样
2、信号抽样的理论分析
理想抽样信号的频谱分析
抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔T关系：
一、 信号的时域抽样
4、抽样定理的实际应用举例
利用离散系统处理连续时间信号
x(t) x[k] A/D H(z) y[k] D/A y(t)
生物医学信号处理 铁路控制信号识别
一、 信号的时域抽样
信号实验报告抽样定理
一、实验目的1. 理解并掌握抽样定理的基本原理。
2. 通过实验验证抽样定理的正确性。
3. 学习如何通过抽样恢复原始信号。
4. 掌握信号频谱的观察与分析方法。
二、实验原理抽样定理是信号处理中的一个基本定理，它描述了如何通过抽样来恢复原始信号。
该定理指出，如果一个带限信号的最高频率分量为f_max，那么只要抽样频率f_s 满足f_s > 2f_max，那么通过这些抽样值就可以无失真地恢复出原始信号。
三、实验设备与工具1. 信号发生器2. 示波器3. 函数信号发生器4. 采样器5. 计算机及信号处理软件（如MATLAB）四、实验步骤1. 信号生成：使用信号发生器生成一个带限信号，确保其最高频率分量f_max小于1MHz。
2. 抽样：使用采样器对生成的信号进行抽样，设置不同的抽样频率f_s，分别为fs=1MHz、fs=2MHz和fs=4MHz。
3. 信号分析：使用示波器和函数信号发生器观察原始信号和抽样信号的波形，分析抽样频率对信号波形的影响。
4. 频谱分析：使用信号处理软件对原始信号和抽样信号进行频谱分析，观察其频谱特性。
5. 信号恢复：使用信号处理软件对抽样信号进行恢复，观察恢复信号与原始信号是否一致。
五、实验结果与分析1. 波形观察：当抽样频率fs=1MHz时，抽样信号与原始信号存在较大差异，信号波形发生明显畸变；当抽样频率fs=2MHz时，抽样信号与原始信号波形相似，但存在一定程度的失真；当抽样频率fs=4MHz时，抽样信号与原始信号基本一致，信号波形失真很小。
2. 频谱分析：当抽样频率fs=1MHz时，抽样信号的频谱存在混叠现象，无法恢复原始信号的频谱；当抽样频率fs=2MHz时，抽样信号的频谱与原始信号的频谱基本一致；当抽样频率fs=4MHz时，抽样信号的频谱与原始信号的频谱完全一致。
3. 信号恢复：当抽样频率fs=4MHz时，恢复信号与原始信号基本一致，证明了抽样定理的正确性。
六、实验结论1. 抽样定理是信号处理中的一个基本定理，它描述了如何通过抽样来恢复原始信号。
抽样定理
E Fs ( ) Ts 上式表明:
n s Sa( ) F ( n s ) 2 抽样性 周期性 n
信号在时域被抽样后，它的频谱 Fs () 是连续信 号的频谱 F () 以取样角频率 s 为间隔周期地重复 而得到的。在重复过程中，幅度被取样脉冲p(t)的 傅立叶系数所加权，加权系数取决于取样脉冲序列 的形状。 (p152 图3－50)
F ()
1
Fs ()
Es
－m
m
w
抽样后频谱
抽样前频谱
m
s
由以上推导可知，当抽样脉冲为矩形抽样脉冲时， 幅度以Sa函数的规律变化。从 Fs ()的频谱图可见 抽样后的信号频谱包括有原信号的频谱以及无限个 经过平移的原信号的频谱，平移的频率为抽样频率 及其各次谐波频率。且平移后的频谱幅值随频率而 呈Sa函数分布。但因矩形脉冲占空系数很小，所以 其频谱所占的频带几乎是无限宽。
§3.10~3.11 抽样与抽样定理
本次课讨论的内容为 :
一、信号的时域抽样 二、抽样定理 三、连续信号的恢复(内插公式) 四、时域抽样和频域抽样的类比
一. 取样的目的及所遇到的问题
模 拟 信 号 输 入
模 拟
抽 样
量 化
数字信号 处理器
信 号 输 出
A/ D 转换器
D/ A 转换器
数字信号处理系统简单框图
E n s dt Sa Ts 2
1 p( ) 2 Pn ( n s ) Fs ( ) F ( ) * p ( ) 2 n
E Fs ( ) Ts
理想取样
n s Sa F ( n s ) 2 n
上式表明：由于冲激序列的傅立叶系数Pn为常数， 所以 F () 是以 s 为周期等幅地重复，如下图所示：
通信原理实验-抽样定理
学生实验报告）实际上，考虑到低通滤波器特性不可能理想，对最高频率为3400Hz的语言信号，通常采用8KHz 抽样频率，这样可以留出1200Hz的防卫带。
见图4。
如果fs＜fH，就会出现频谱混迭的现象，如图5所示。
在验证抽样定理的实验中，我们用单一频率fH的正弦波来代替实际的语音信号。
采用标准抽样频率fs＝8KHZ。
改变音频信号的频率fH，分别观察不同频率时，抽样序列和低通滤波器的输出信号，体会抽样定理的正确性。
验证抽样定理的实验方框图如图6所示。
在图8中，连接（8）和（14），就构成了抽样定理实验电路。
由图6可知。
用一低通滤波器即可实现对模拟信号的恢复。
为了便于观察，解调电路由射随、低通滤波器和放大器组成，低通滤波器的截止频率为3400HZ2、多路脉冲调幅系统中的路际串话~多路脉冲调幅的实验方框图如图7所示。
在图8中，连接（8）和（11）、（13）和（14）就构成了多路脉冲调幅实验电路。
分路抽样电路的作用是：将在时间上连续的语音信号经脉冲抽样形成时间上离散的脉冲调幅信号。
N路抽样脉冲在时间上是互不交叉、顺序排列的。
各路的抽样信号在多路汇接的公共负载上相加便形成合路的脉冲调幅信号。
本实验设置了两路分路抽样电路。
多路脉冲调幅信号进入接收端后，由分路选通脉冲分离成n路，亦即还原出单路PAM信号。
图7 多路脉冲调幅实验框图冲通过话路低通滤波器后，低通滤波器输出信号的幅度很小。
这样大的衰减带来的后果是严重的。
但是，在分路选通后加入保持电容，可使分路后的PAM信号展宽到100％的占空比，从而解决信号幅度衰减大的问题。
但我们知道平顶抽样将引起固有的频率失真。
PAM信号在时间上是离散的，但是幅度上趋势连续的。
而在PAM系统里，PAM信只有在被量化和编码后才有传输的可能。
本实验仅提供一个PAM系统的简单模式。
3、多路脉冲调幅系统中的路标串话路际串话是衡量多路系统的重要指标之一。
路际串话是指在同一时分多路系统中，某一路或某几路的通话信号串扰到其它话路上去，这样就产生了同一端机中各路通话之间的串话。
抽样信号与抽样定理
j Imz[]
Rez[]
* *1 *
系统稳定性要求特征根全部在一个以原点为圆心、半径为 1 的圆（单位圆）的内部，在单位圆上最多只能有单根。
作业：7.2(3) 7.3(b) 7.5 7.6 7.12(b)(c)
? b0 a0
离散系统的转移算子
r(k ) ? H ( S )e(k )
例2：画出下面差分方程的模拟图
y(k ? 2) ? a1 y(k ? 1) ? a2 y(k) ? b2e(k ? 2) ? b1e(k ? 1) ? b0e(k)
分析：
H (s) ?
y(k ) ? e(k )
b2 S 2 ? b1S ? b0 S 2 ? a1S ? a0
rzi (n ? 1) ? C1(? 1 )n?1 ? C2(? 2 )n?1 ? ... ? Cn (? n )n?1
假设是v1一个m重根，则形式解为：
(C1 ? C2k ? ... ? Cm k m?1)(? 1)k ?(k )
例2: 求下面离散系统的零输入响应
y(k ) ?
2 y(k
?
1) ?
y(3) ? (? a0 )3 y(0)
? y(k ) ? (? a0 )k y(0)，k ? 0
用移序算子表示：
( S ? a0 ) y(k ) ? 0，已知 yzi (0)
特征方程：(S+a 0)=0
通解:y(k)=C(-a 0)k
三 n阶系统 D(S )r(k ) ? 0，初始条件rzi (0), rzi (1),? , rzi (n)
信号与系统 第3章傅里叶变换
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号 都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出 收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析 理论”中
傅里叶的两个最主要的贡献——
―周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权”—— 傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶 的第二个主要论点
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。 其他信号: 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号
周期全波余弦信号请自学。
六．周期信号的功率
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平 方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。
证明
对于三角函数形式的傅里叶级数 平均功率
对于指数形式的傅里叶级数
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
例1
不满足条件1的例子如右图所示， 这个信号的周期为8，它是这样组 成的：后一个阶梯的高度和宽度是 前一个阶梯的一半。可见在一个周 期内它的面积不会超过8，但不连 续点的数目是无穷多个。
f (t ) 1
1 2
L 8 O 8
L t
例2
不满足条件2的一个函数是
f (t ) 1 L L O 1 t
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（其中m＝2
fm），或者说，最低抽样频率为2f
。
m
第3章 傅里叶变换
从上一节可以
看出，假定信号f(t)
的频谱F( )限制在
-m～ m范围内，
若以间隔T（s 或重复
频率s＝
2
Ts
）对f(t)
进行抽样，抽样后
信号fs (t)的频谱
Fs ()是F ()以s为
周期重复。
只有满足抽样定理，才不会产生“频谱混叠”的现象。这样，抽样信号 保留了原来连续信号的全部信息，完全可以用fs(t)恢复出f(t)。
由前面的例题已知它是抽样函数（Sa函数）。
第3章 傅里叶变换
h t
c
Sa(c t)
因为 fs t பைடு நூலகம் nTs t nTs n
所以
f t fs tht
n
f
nTs
t
nTs
c
Sa(c t)
= c
n
f
nTs Sa[c t nTs ]
这说明ft 可以展开成正交抽样函数Sa函数的无穷级数，级数的系数等于
2tm
则抽样后的频谱F1()可以唯一地表示原信号。
从物理概念上不难理解，因为在频域中对F 进行抽样， 等效于f t 在时域中重复。只要抽样间隔不大于 1 ，则在时
2tm 域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真 地恢复出原信号f(t)。
（Nyquist）频率”，把最大允许的抽样间隔
Ts＝
m
＝1 2fm
称为“奈奎斯特间隔”。
(二第3)章由傅抽里叶样变换信号恢复原连续信号
从前图可以看出，在满足抽样定理的条件下，
为了从频谱Fs ()在无失真地选出F()，可以用如 下的矩形函数H()与Fs ()相乘，即
F()＝Fs ()H()
其中
抽样值fnTs 。也可以说若在抽样信号fs t 的每个抽样值上画一个峰值为f nTs 的Sa波形，则合成的波形就是ft 。
(三第)3章频傅域里叶抽变样换定理
频域抽样定理的内容是：
若信号f(t)是时间受限信号，它集中在-t
～
m
t
的时间范围内，
m
若在频域中以不大于 1 的频率间隔对f(t)的频谱F()进行抽样，
第3章 傅里叶变换
3.11 抽样定理
如何从抽样信号中恢复原连续信号？ 在什么条件下才可以无失真地完成这 种恢复作用？
第3章 傅里叶变换
(一) 时域抽样定理
一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据
-m～ m的范围，则信号f(t)可以用等间隔的
抽样值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于 1 2fm
H()＝Ts
0
<m >m
该方法就是将抽样信号fs 施加于
“理想低通滤波器”。此滤波器的传递函
数为H()，这样，在滤波器的输出端可
以得到频谱为F 的连续信号f t 。
第3章 傅里叶变换
从时域看如何从抽样信号恢复原信号呢？
因为滤波器的输出频谱为：
F()＝Fs ()H()
由时域卷积定理知：
f t fs (t) h(t) 其中，h t 为H 的傅里叶逆变换（原函数）。
第3章 傅里叶变换
物理概念上解释：
由于一个频带受限的信号波形决不可能在很短的
时间内产生独立的、实质的变化，它的最高变换速度
受最高频率分量m的限制。
因此为了保留这一频率的分量的全部信息，一个
周期的间隔内至少抽样两次，即必须满足s 2m或
fs
2f
。
m
通常把最低允许的抽样率fs＝2fm称为“奈奎斯特