信号与系统3.11抽样定理

由前面的例题已知它是抽样函数（Sa函数）。
第3章 傅里叶变换
h t
c
Sa(c t)
因为 fs t f nTs t nTs n
所以
f t fs tht
n
f
nTs
Байду номын сангаас
t
nTs
c
Sa(c t)
= c
n
f
nTs Sa[c t nTs ]
这说明ft 可以展开成正交抽样函数Sa函数的无穷级数，级数的系数等于
2tm
则抽样后的频谱F1()可以唯一地表示原信号。
从物理概念上不难理解，因为在频域中对F 进行抽样， 等效于f t 在时域中重复。只要抽样间隔不大于 1 ，则在时
2tm 域中波形不会产生混叠，用矩形脉冲作选通信号就可以无失真 地恢复出原信号f(t)。
抽样值fnTs 。也可以说若在抽样信号fs t 的每个抽样值上画一个峰值为f nTs 的Sa波形，则合成的波形就是ft 。
(三第)3章频傅域里叶抽变样换定理
频域抽样定理的内容是：
若信号f(t)是时间受限信号，它集中在-t
～
m
t
的时间范围内，
m
若在频域中以不大于 1 的频率间隔对f(t)的频谱F()进行抽样，
（其中m＝2
fm），或者说，最低抽样频率为2f
。
m
第3章 傅里叶变换
从上一节可以
看出，假定信号f(t)
的频谱F( )限制在
-m～ m范围内，
若以间隔T（s 或重复
频率s＝
2
Ts
）对f(t)
进行抽样，抽样后
信号fs (t)的频谱
Fs ()是F ()以s为
周期重复。
只有满足抽样定理，才不会产生“频谱混叠”的现象。这样，抽样信号 保留了原来连续信号的全部信息，完全可以用fs(t)恢复出f(t)。
H()＝Ts
0
<m >m
该方法就是将抽样信号fs 施加于
“理想低通滤波器”。此滤波器的传递函
数为H()，这样，在滤波器的输出端可
以得到频谱为F 的连续信号f t 。
第3章 傅里叶变换
从时域看如何从抽样信号恢复原信号呢？
因为滤波器的输出频谱为：
F()＝Fs ()H()
由时域卷积定理知：
f t fs (t) h(t) 其中，h t 为H 的傅里叶逆变换（原函数）。
第3章 傅里叶变换
3.11 抽样定理
如何从抽样信号中恢复原连续信号？ 在什么条件下才可以无失真地完成这 种恢复作用？
第3章 傅里叶变换
(一) 时域抽样定理
一个频谱受限的信号f(t)，如果频谱只占据
-m～ m的范围，则信号f(t)可以用等间隔的
抽样值唯一的表示。而抽样间隔必须不大于 1 2fm
第3章 傅里叶变换
物理概念上解释：
由于一个频带受限的信号波形决不可能在很短的
时间内产生独立的、实质的变化，它的最高变换速度
受最高频率分量m的限制。
因此为了保留这一频率的分量的全部信息，一个
周期的间隔内至少抽样两次，即必须满足s 2m或
fs
2f
。
m
通常把最低允许的抽样率fs＝2fm称为“奈奎斯特
（Nyquist）频率”，把最大允许的抽样间隔
Ts＝
m
＝1 2fm
称为“奈奎斯特间隔”。
(二第3)章由傅抽里叶样变换信号恢复原连续信号
从前图可以看出，在满足抽样定理的条件下，
为了从频谱Fs ()在无失真地选出F()，可以用如 下的矩形函数H()与Fs ()相乘，即
F()＝Fs ()H()
其中