离散数学第七章第四节
《离散数学》第七章 图的基本概念 讲稿
7.1 无向图及有向图一、本节主要内容无向图与有向图顶点的度数握手定理简单图完全图子图补图二、教学内容无序对: 两个元素组成的二元组（没有顺序），即无论a,b是否相同，（a,b ）＝（b, a ）无序积: A与B 为两个集合，A&B={(x,y) |x∈A∧y∈B}例A={a1, a2}, B={b1, b2}A&B={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 )}A&A={(a1 , a1 ), (a1 , a2 ) ,(a2 , a2 )}多重集合: 元素可以重复出现的集合无向图与有向图定义无向图G=<V,E>, 其中(1) V∅≠为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如, G=<V,E>如图所示,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}定义无向图G=<V,E>, 其中(1) V≠∅为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如, G=<V,E>如图所示,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 无向图与有向图(续)定义有向图D=<V,E>, 其中(1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) E为V⨯V的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作D的基图右图是有向图，试写出它的V和E无向图与有向图(续)通常用G表示无向图, D表示有向图,也常用G泛指无向图和有向图,用ek表示无向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=∅平凡图: 1 阶零图顶点和边的关联与相邻定义设ek=(vi, vj)是无向图G=<V,E>的一条边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联.若vi ≠ vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2;若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图G=<V,E>, vi,vj∈V,ek,el∈E,若(vi,vj) ∈E, 则称vi,vj相邻;若ek,el至少有一个公共端点, 则称ek,el相邻.对有向图有类似定义. 设ek=〈vi,vj〉是有向图的一条边, vi,vj是ek端点,又称vi是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj, vj邻接于vi.邻域和关联集设无向图G , v ∈V(G)v 的邻域 N(v)={u|u ∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u ≠v} v 的闭邻域 = N(v)∪{v} v 的关联集 I(v)={e|e ∈E(G)∧e 与v 关联} 设有向图D, v ∈V(D)v 的后继元集 ={u|u ∈V(D)∧<v,u>∈E(G)∧u ≠v}v 的先驱元集 ={u|u ∈V(D)∧<u,v>∈E(G)∧u ≠v}v 的邻域v 的闭邻域顶点的度数设G=<V ,E>为无向图, v ∈V,v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点的次数之和 悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G 的最大度∆(G)=max{d(v)| v ∈V} G 的最小度δ(G)=min{d(v)| v ∈V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ∆(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环顶点的度数(续)设D=<V ,E>为有向图, v ∈V,v 的出度d+(v): v 作为边的始点的次数之和 v 的入度d -(v): v 作为边的终点的次数之和 v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)D 的最大出度∆+(D), 最小出度δ+(D) 最大入度∆-(D), 最小入度δ-(D) 最大度∆(D), 最小度δ(D) 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,∆+(D)=4, δ+(D)=0, ∆-(D)=3, δ-(D)=1, ∆(D)=5, δ(D)=3. 图论基本定理——握手定理定理 任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.)(v N )(v D +Γ)(v D -Γ)()()(v v v N D D D -+ΓΓ= }{)()(v v N v N D D =证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m 度.有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数. 握手定理(续)推论 在任何无向图和有向图中，度为奇数的顶点个数必为偶数. 证 设G=<V,E>为任意图，令 V1={v | v ∈V ∧d(v)为奇数} V2={v | v ∈V ∧d(v)为偶数}则V1∪V2=V, V1∩V2=∅，由握手定理可知∑∑∑∈∈∈+==21)()()(2V v V v Vv v d v d v d m由于2m,∑∈2)(V v v d 均为偶数，所以 ∑∈1)(V v v d 也为偶数, 但因为V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.图的度数列设无向图G 的顶点集V={v1, v2, …, vn} G 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数序列:4,4,2,1,3设有向图D 的顶点集V={v1, v2, …, vn} D 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D 的出度序列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D 的入度序列: d -(v1), d -(v2), …, d -(vn) 如右图度数序列:5,3,3,3出度序列:4,0,2,1 入度序列:1,3,1,2 握手定理的应用例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G 有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G 至少有多少个顶点? 解 设G 有n 个顶点. 由握手定理, 4⨯3+2⨯(n-4)≥2⨯10 解得 n ≥8握手定理的应用(续)例3 给定下列各序列,哪组可以构成无向图的度数序列 (2,2,2,2,2) (1,1,2,2,3) (1,1,2,2,2) (1,3,4,4,5)多重图与简单图定义(1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数.(3) 含平行边的图称为多重图.(4) 既无平行边也无环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念多重图与简单图(续)例如e5和e6 是平行边重数为2不是简单图e2和e3 是平行边,重数为2 e6和e7不是平行边不是简单图图的同构定义设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的vi,vj∈V1,(vi,vj)∈E1（<vi,vj>∈E1）当且仅当(f(vi),f(vj))∈E2（<f(vi),f(vj)>∈E2），并且,(vi,vj)（<vi,vj>）与(f(vi),f(vj))（<f(vi),f(vj)>）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1≅G2.图的同构(续)几点说明：图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:①边数相同，顶点数相同②度数列相同(不计度数的顺序)③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构图的同构(续)例1 试画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图例2 判断下述每一对图是否同构:(1)度数列不同不同构例2 (续)(2)不同构入(出)度列不同度数列相同但不同构为什么?完全图与正则图n阶无向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ∆=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ∆=δ=2(n-1),∆+=δ+=∆-=δ-=n-1n阶k正则图: ∆=δ=k 的n阶无向简单图简单性质: 边数m=nk/2完全图与正则图(续)(1) 为5阶无向完全图K5(2) 为3阶有向完全图(3) 为彼得森图, 它是3 正则图子图定义设G=<V,E>, G '=<V ',E '>是2个图(1) 若V '⊆V且E '⊆E, 则称G '为G的子图, G为G '的母图, 记作G '⊆G(2)若G '⊆G且G '≠ G（即V '⊂V 或E '⊂E），称G '为G的真子图(3) 若G '⊆G 且V '=V，则称G '为G的生成子图(4) 设V '⊆V 且V '≠∅, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的子图称作V '的导出子图，记作G[V '](5) 设E '⊆E且E '≠∅, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的子图称作E '的导出子图, 记作G[E ']子图(续)例画出K4的所有非同构的生成子图补图定义设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G≅G.若G ≅ G , 则称G 是自补图.例 画出5阶7条边的所有非同构的无向简单图首先，画出5阶3条边的所有非同构的无向简单图 然后，画出各自的补图7.2 通路、回路与图的连通性一、本节主要内容简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 无向连通图, 连通分支弱连通图, 单向连通图, 强连通图 点割集与割点边割集与割边(桥) 二、教学内容 通路与回路定义 给定图G=<V ,E>（无向或有向的），设G 中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl ，(1) 若∀i(1≤i ≤l), vi -1 和 vi 是ei 的端点(对于有向图, 要求vi -1是始点, vi 是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, vl 是通路的终点, l 为通路的长度. 又若v0=vl ，则称Γ为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 通路与回路(续) 说明:在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2. 通路与回路(续)定理 在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通 路，则从vi 到vj 存在长度小于等于n -1的通路.推论 在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通121212G G G G G G ≅≅例设与均为无向简单图，当且仅当路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路.定理在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则一定存在vi到自身长度小于等于n的回路.推论在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.无向图的连通性设无向图G=<V,E>,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通.连通关系R={<u,v>| u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图连通分支: V关于R的等价类的导出子图设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分支, 其个数记作p(G)=k.G是连通图⇔ p(G)=1短程线与距离u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ⇔ u=vd(u,v)=d(v,u)（对称性）d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （三角不等式)点割集记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V': 从G中删除V'中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设无向图G=<V,E>, 如果存在顶点子集V'⊂V, 使p(G-V')>p(G)，而且删除V'的任何真子集V''后（∀ V''⊂V'），p(G-V'')=p(G), 则称V'为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.点割集(续)例{v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？边割集定义设无向图G=<V,E>, E'⊆E, 若p(G-E')>p(G)且∀E''⊂E',p(G-E'')=p(G), 则称E'为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？几点说明：Kn无点割集n阶零图既无点割集，也无边割集.若G连通，E'为边割集，则p(G-E')=2若G连通，V'为点割集，则p(G-V')≥2有向图的连通性设有向图D=<V,E>u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的.可达具有自反性和传递性D弱连通(连通): 基图为无向连通图D单向连通: ∀u,v∈V，u可达v 或v可达uD强连通: ∀u,v∈V，u与v相互可达强连通⇒单向连通⇒弱连通有向图的连通性(续)例下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路(u可达v)u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.性质：d<u,v>≥0, 且d<u,v>=0 ⇔ u=vd<u,v>+d<v,w> ≥d<u,w>注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表示一、本节主要内容无向图的关联矩阵有向图的关联矩阵有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵二、教学内容无向图的关联矩阵定义设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n⨯m为G的关联矩阵，记为M(G).定义设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n⨯m为G的关联矩阵，记为M(G).性质关联次数为可能取值为0，1，2有向图的关联矩阵定义 设无环有向图D=<V ,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令则称(mij)n ⨯m 为D 的关联矩阵，记为M(D). 性质:有向图的邻接矩阵定义 设有向图D=<V ,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 )1(ij a 为顶点vi 邻接到顶点vj 边的条数，称()1(ij a )n ⨯n 为D 的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 1110001110()1001200000M G ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1100010111()0000101110M D -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦平行边的列相同)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)1(,11mm n i v d m m j m ji ijimj ijni ij =====∑∑∑==(1)1(1)1(1)(),1,2,...,(2)(),1,2,...,nij i j n ij ji a d vi n a d v j n+=-=====∑∑性质D 中的通路及回路数定理 设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵, 则Al(l ≥1)中 元素)(l ij a 为D 中vi 到vj 长度为 l 的通路数， )(l ii a 为vi 到自身长度为 l 的回路数，∑∑==n i nj l ija11)( 为D 中长度为 l 的通路总数，∑=ni l iia1)( 为D 中长度为 l 的回路总数.D 中的通路及回路数(续)推论 设Bl=A+A2+…+Al(l ≥1), 则Bl 中元素为D 中长度小于或等于l 的通路数， 为D 中长度小于或等于l 的回路数. 例 有向图D 如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题：(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？ (2) D 中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？12100010()00010010A D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有向图的可达矩阵定义 设D=<V ,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令称(pij)n ⨯n 为D 的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质:P(D)主对角线上的元素全为1.D 强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 有向图的可达矩阵(续)例 右图所示的有向图D 的可达矩阵为7.4 最短路径及关键路径一、本节主要内容 最短路 关键路线二、教学内容对于有向图或无向图G 的每条边，附加一个实数w(e)，则称w(e)为边e 上的权. G 连同附加在各边上的实数，称为带权图.设带权图G=<V,E,W>,G 中每条边的权都大于等于0.u,v 为G 中任意两个顶点，从u 到v 的所有通⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101110111110001P路中带权最小的通路称为u 到v 的最短路径.求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题. 算法：Dijkstra(标号法){}()*()*1()*()()1()*1.2./5.i r r i i i i ir i r r j j j j j r i r v l v v v l v r p l l v v v l v r l v v p r T V r ∞==-j ij r r 如果顶点与v 不相邻，则w =为顶点到顶点最短路径的权，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了标号（永久性标号）3.为顶点到顶点最短路径的权的上界，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了t 标号（临时性标号）4.P 已经获得标号为第步通过集P 为第步未通过集例：求图中v0与v5的最短路径(0)*000(0)0(1)*(0)(1)*1010100,{},T {},1,2,3,4,5{},min {},T T {}(2)T j jj i j i v T l P l w j l l l P P t ∈=======⋃=-0012345j i i i i 第步(r=0)：v 获得p 标号v v ，v ，v ，v ，v ，v 获得t 标号第1步(r=1)：(1)求下一个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标1(1)(0)(1)*(2)*(1)(2)*2121(2)(1)(2)*2min{,}{},min {},T T {}(2)T min{,}j jj iij i j iv T j j iij ll lw l l l P P t l l l w ∈=+==⋃=-=+i i i i 号：第2步(r=2)：(1)求下一个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标号：2.关键路径问题,(){/,}(){/,}D D D V E v V v x x V v x E v v x x V x v E v +=<>∈Γ=∈∧<>∈Γ=∈∧<>∈－设为一个有向图，，则为的后继元集为的先继元集定义：PERT 图设D=<V ,E,W>是n 阶有向带权图1. D 是简单图2. D 中无环路3. 有一个顶点出度为0，称为发点；有一个顶点入度为0，称为收点4. 记边<vi, vj>的权为wij,它常常表示时间1. 最早完成时间：自发点v1开始，沿最长路径（权）到达vi 所需时间，称为vi 的最早完成时间，记为TE （vi ） ，i=1,2,…,nj 1i i j ij v ()234567TE(v )=0,v (1)TE(v )={(v )+w },1,2,,max TE(v )=max{0+1}=1;TE(v )=max{0+2,1+0}=2;TE(v )=max{0+3,2+2}=4;TE(v )=max{1+3,4+4}=8;TE(v )=max{2+4,8+1}=9;TE(v )=max{1+4,2+D i v i TE i n-∈Γ≠=显然的最早完成时间按如下公式计算：813784}=6;TE(v )=max{6+6,9+1}=12;v v v v 关键路径：从发点到收点的一条最长路径，2. 最晚完成时间：在保证收点vn 的最早完成时间不增加的条件下，自发点v1最迟到达vi 所需时间，称为vi 的最晚完成时间，记为TL （vi ）.j n n i i j ij v ()876543TL(v )=TL(v ),v ()TL(v )={(v )-w },1,2,,min TL(v )=12;TL(v )=min{12-6}=6;TL(v )=min{12-1}=11;TL(v )=min{11-1}=10;TL(v )=min{10-4}=6;TL(v )=min{6-2,11-4,6-4}=2;TL(D i v i n TL i n∈Γ≠=＋显然的最晚完成时间按如下公式计算：21v )=min{2-0,10-3,6-4}=2;TL(v )=min{2-1,2-2,6-3}=0;3. 缓冲时间：TS(vi)=TL(vi)- TE(vi) TS(v1)= TS(v3)= TS(v7)= TS(v8)=0 TS(v2)=2-1=1; TS(v4)=6-4=2; TS(v5)=10-8=2; TS(v6)=11-9=2。
离散数学第7章 格
(3) l1 ≤l2 .
定义
设<L；≤>是格，P是包含格的
元素和符号=、≤、≥，∧ ，∨的关系式， 将P中的≤、≥，∧和∨分别替换成≥、 ≤、 ∨和∧所得的关系式P D称为P的对偶. 例如 关系式 P : 对偶关系式 P D : (l1˅ l2)˄ l3 (l1˄ l2)˅ l3
例 15 5 30 10 3 1 6 2
例6
设 L = 1 , 3 , 4 , 6 , 1 2 ，L上的整除关系
与L构成一个格，记作<L；≤>，
3∨( 6 ∧ 4 ) = 3 ∨ 1= 3,
6ห้องสมุดไป่ตู้
12
(3∨6)∧(3∨4) = 6 ∧ 12 = 6,
于是 3∨(6∧4)≠(3∨6)∧(3∨4).
定义7-5
设 <L; ∨,∧ > 是一个代数系统，
∨ 和 ∧ 是 L 上的两个二元运算，如果这两
个运算满足交换律、结合律和吸收律，则称
<L;∨,∧ > 是格.
-------格的另外定义
格既可以看作是一个偏序集<L；≤ >，
又可以看作是一个代数系统 <L;∨,∧ > .
例7 在全集合 U 的幂集 2U = S | S U
例 15 5 30 10 3 1 6 2
7．3 定理7-10
格是一种代数系统
设<L;∨,∧ >是一个代数系统，其中∨和∧都
是二元运算，这两个运算都满足交换律、结合律和吸收律， 则在L上必存在一偏序关系≤ ，使得<L ; ≤ >是一个格. 证明 在 L 上定义二元关系：对任意 l1 , l2 L , 当且仅当 l1 ∨ l2=l1 时，有 l2 ≤l1 .
离散数学第7章
1 v2e4v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 复杂回路
…………
5、图中最短的回路。 如图：
6、性质。
定理：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的通路。
推论：在一个
n
阶图中，若从顶点vi
到
v
存在
j
通路(vi vj ) ，则从 vi 到 vj 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
6、性质。
定理：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在回路， 则从 vi 到自身存在长度小于等于n 的回路。 推论：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在一个 简单回路，则从vi到自身存在长度小于等于 n
如例1的(1)中，
v1
v5
e1与 v1, v2 关联的次数均为1， e1
e6
e2 与 v2 关联的次数为2， e2 v2 e4 e5
v4
边 e1, e4, e5, e6都是相邻的， v5 为孤立点，v4 为悬挂点，
e3 v3
e6 为悬挂边，e2 为环，e4, e5 为平行边，重数2，
G 为多重图。
孤立点——无边关联的点。
环——一条边关联的两个顶点重合，称此边
为环 (即两顶点重合的边)。
3、相关概念。 (2) 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所
对应的边叫悬挂边。 (3) 平行边——关联于同一对顶点的若干条边
称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。
离散数学及其应用课件第7-9章
结点和Cn-1里的每个结点逐个连接后得到的图成为轮图，记作
Wn。下图是轮图W4，W5，W6，W7。
方体图
定义7.1.14 如果图G =（V，E）有2n个结点，每个结点表示 一个长度为n的位串，任何两个相邻的结点表示的位串只有一位 不同，则称G称为n方体图，记作Qn。
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
e1 v1 e2 v2
e3 e4
v5 e7
e5 e6 v3
v4
9
有向图
定义7.1.2 一个有向图可以表示为D=（V，E），其中V是非空有 限结点集，称V中的元素为结点或顶点；E是有向边集，E中的元素 是由V中的元素组成的有序对，称E中的元素为有向边。
（3）是简单图的结点序列。下图的两个无向简单图都是（3,3,2,2,1,1）为结点度 数序列。
（4）中的最大值d1>n, 根据定理7.1.3，不是简单图的结点序列。
正则图
定义7.1.11 设G为n阶无向简单图，若vV（G），均有 d(v)=k,则称G为k-正则图。
2正则图
3正则图 彼得松图
4正则图
悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
e1 v1 e2 v2
G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
e3 e4
v5 e7
e5 e6 v3
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
v4
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
(4，2，2，1，1)能作为图的结点的度数序列，下图中的 两个图都是以（4,2,2,1,1）为结点度数序列。
离散数学课后习题答案第七章
第七章 特 殊 图 类习题7.11．解 因 m=n-1,这里m=6,所以n=6+1=7.2．解 不正确。
与平凡图构成的非连通图中有4个结点3条边，但是它不是树。
3K 3．证明 必要性。
因为G 中有n 个结点，边数m=n-1，又因为G 是连通的，由本节定理1可知，G 为树，因而G 中无回路。
再证充分性。
因为G 中无回路，又因为边数m=n-1，由本节定理1，可知G 为树，所以G 是连通的。
4．解 因 m=n-r,这里n=15,r=3,所以m=15-3=12，即G 有12条边。
5．解6个结点的所有不同构的树如图7-1所示。
图7-16．证明 由定理1，在任意的树中，边数),(m n 1−=n m；所以，由握手定理得)1(22)(1−==∑=n m v d ni i①⑴若T 没有树叶，则由于T 是连通图，所以T 中任一结点均有，从而2)(≥i v d n v d ni i2)(1≥∑= ②则①与②矛盾。
⑵若树T 仅有1片树叶，则其余1−n个结点的度数不小于2，于是121)1(2)(1−=+−≥∑=n n v d ni i③从而①、③相矛盾。
综合⑴，⑵得知T 中至少有两片树叶。
7．解 图7-2⑴中共有两棵非同构的生成树（如图7-3⑴，⑵）。
图7-2⑵中共有3棵非同构的生成树（如图7-3⑶，⑷，⑸）。
⑵⑴⑶⑷ ⑸图7-38．解 在图7-4中共有8棵生成树，如图7-5⑴～⑻所示，第i 生成树用表示。
，，，)8,,2,1( =iT i 7)(8=T W 8)()(61==T W T W 6)()(52==T W T W )()(73==T W T W 9)(4=T W 。
其中T 2，T 5是图中的最小生成树。
9．解 最小生成树T 如图7-7所示，W （T ）=18。
a bc da b cda ba bcdabc d⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺ ⑻图7-5图7-4图7-6图7-7习题7.21．解 不一定是。
如图7-8就不是根树.2．解 五个结点可形成3棵非同构的无向树，如图7-9⑴，⑵，⑶所示。
离散数学-第七章习题答案
第7章习题答案1．f（x）=2|x|+1是从整数集合到正整数集合的函数，它的值域是什么？解：它的值域是正奇数集合。
2．试问下列关系中哪个能构成函数？（1）{〈x，y〉|x，y∈N，x+y<10}（2）{〈x，y〉|x，y∈R，y=x2}（3）{〈x，y〉|x，y∈R，y2=x}解；（1）、（3）不满足函数的定义，只有（2）是函数。
3．下列集合能够定义函数吗？如果能，求出它们的定义域和值域。
（1）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈1,4〉〉,〈4,〈1,4〉〉}（2）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈3,〈3,2〉〉}（3）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈3,4〉〉,〈1,〈2,4〉〉}（4）{〈1,〈2,3〉〉,〈2,〈2,3〉〉,〈3,〈2,3〉〉}解：(1)、(2)、(4)定义的是函数。
(1)的定义域是{1,2,3,4},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈1,4〉}(2)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉,〈3,4〉,〈3,2〉}(4)的定义域是{1,2,3},值域是{〈2,3〉}4．设f，g都是函数，并且有f⊆g和dom（g）=dom（f），证明f=g证明：假设f≠g，因为f⊆g和dom（g）=dom（f），则存在x1∈dom（g）和dom（f），使得〈x1,y1〉∈g但〈x1,y1〉∉f，因为f是函数，在定义域上处处有定义，所以必存在y2，使得〈x1,y2〉∈f，由f⊆g得〈x1,y2〉∈g，这与g是函数满足单值性矛盾。
故假设错误，必有f=g。
6．设X={0，1，2}，求出X X中的如下函数（1） f2（x）=f（x）（2） f2（x）=x（3） f3（x）=x解：（1）有10个函数，分别是：f1（x）={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,0〉}f2（x）={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f3（x）={〈0,2〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f4（x）={〈0,1〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f5（x）={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f6（x）={〈0,0〉,〈1,0〉,〈2,2〉}f7（x）={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,2〉}f8（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f9（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,1〉}f10（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}（2）有4个函数，分别是：f1（x）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f2（x）={〈0,0〉,〈1,2〉,〈2,1〉}f3（x）={〈0,2〉,〈1,1〉,〈2,0〉}f4（x）={〈0,1〉,〈1,0〉,〈2,2〉}（3）有3个函数，分别是：f 1（x ）={〈0,0〉,〈1,1〉,〈2,2〉}f 2（x ）={〈0,1〉,〈1,2〉,〈2,0〉}f 3（x ）={〈0,2〉,〈1,0〉,〈2,1〉}8．设f,g,h 是N → N 的函数, 其中N 是自然数集合，f(n)＝n ＋1, g(n)＝2n,⎩⎨⎧=是奇数若是偶数若n n n h 10)(试确定：f f ，f g ，g h ，h g 及(f g) h 。
最新离散数学 第2版 教学课件 尤枫 第07章 半群与群ppt课件
与
到W的半群同态。
群
证明 对于任意的a,b∈R，有
(g·f)(a*b) = g(f(a*b))
= g(f(a)f(b))
= g(f(a))g(f(b))
= (g·f)(a)(g·f)(b)
所以，g·f是从U到W的半群同态。
7.1半群与独异点
第 定理7-7 设U=<R,*>和V=<S,+>都是半群，则U和
因此，U是一个群。
7.2 群与子群
第 定义7-11 设U=<S,*>是一个群。若
7 章
(1) S为有限集合，则称U为有限群，
半
若|S|=n，则称U为n阶群；
群 与
(2) S为无限集合，则称U为无限群。
群
7.2 群与子群
第 定理7-9 群中不存在零元。
7 章
证明 设U=<S,*>是任意一个群，当群的阶为1时，
半
集合S中唯一的一个元素看作是群的幺元。
群 与
设|S|>1，且存在零元。因零元不存在逆元，
群 而群中每个元素都必须是可逆的，于是产生矛盾，
所以，群中不存在零元。
7.2 群与子群
第 定理7-10 幺元是群中唯一的一个幂等元。
7 章
证明 对于幺元e，因e2=e，故e是幂等元。
半
若a也是幂等元，即若a*a=a，则
群 与
e = a-1*a
群
= a-1*(a*a)
= (a-1*a)*a
= e*a
=a
这说明e是唯一的幂等元，证毕。
7.2 群与子群
第 定理7-11 设U=<S,*>是一个群，则对于任意的
7 章
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
《离散数学》完整课件
第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立；
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有：集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少，它是集合的一种性 质，一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆；给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系； 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式；
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义；
3.为了研究推理，还引进演绎的概念；
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎
左孝凌离散数学课件7
图7.1.5给出了K3和K4。 从图中可以看出K3有３条边， K4
图 7.1.5 K3与K4示意图
图 7 .1. 6
给定任意一个含有n个结点的图G,总可以把它补成一个具有同 样结点的完全图,方法是把那些缺少的边添上。 定义7.1.2 设G＝〈V ,E〉是一个具有n个结点的简单图。 以V为 结点集， 以从完全图Kn中删去G的所有边后得到的图（或由G 中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图）称为 G的补图， 记为 G 。 例如，零图和完全图互为补图。
图 7.1.7给出了图G以及它的真子图G1和生成子图G2。
图 7.1.7 图G以及其真子图G 1和生成子图G2
2. 图的同构
从图的定义可以看出， 图的最本质的内容是结点 与结点的邻接关系。 例如例7.1.1也可以用图7.1.8中几 种不同形状的图形表示。 它们与图7.1.1一样， 都同样 表示例7.1.1中４个队之间的比赛情况。 从这个意义上 讲， 我们说它们是同一个图， 并称图7.1.1与图7.1.8的 (a)和(b)是同构的。
【例7.1.2】 设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 则图G可用图7.1.2(a)或(b)表示。 。
【例7.1.5】考察图7.1.9中的两个图G＝〈V ,E〉和
G′＝ 〈 V′, E′〉 。
显然， 定义ｇ： V→V′， ｇ（vi）＝v i ′， 可以验 证ｇ是满足定义7.1.6的双射， 所以G≌G′。
对于同构， 形象地说， 若图的结点可以任意挪动
离散数学屈婉玲第七章 ppt课件
离散数学屈婉玲第七章
6
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B)
(2) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C)
(3) 对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)
(2) A在R下的像记作R[A], 其中
R[A]=ran(R↾A)
说明：
R在A上的限制 R↾A是 R 的子关系，即 R↾A R
A在R下的像 R[A] 是 ranR 的子集，即 R[A] ranR
离散数学屈婉玲第七章
19
实例
例7 设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则
离散数学屈婉玲第七章
26
关系运算的性质
定理7.5 设F 为关系, A, B为集合, 则
(1) F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B
(2) F [A∪B] = F [A]∪F [B]
(3) F ↾(A∩B) = F ↾A∩F ↾B
(4) F [A∩B] F [A]∩F [B]
离散数学屈婉玲第七章
离散数学屈婉玲第七章
23
关系运算的性质
定理7.3 设R为A上的关系, 则 RIA= IAR=R
<x,y> <x,y>∈RIA
t (<x,t>∈R∧<t,y>∈IA) t (<x,t>∈R∧t=y∧y∈A) <x,y>∈R
离散数学屈婉玲第七章
24
关系运算的性质
离散数学(屈婉玲版)第七章部分答案
7.1 列各组数中，那些能构成无向图的度数列？那些能构成无向简单图的度数列？（1）1，1，1，2，3（2）2，2，2，2，2（3）3，3，3，3（4）1，2，3，4，5（5）1，3，3，3解答：（1），（2），（3），（5）能构成无向图的度数列。
（1），（2），（3）能构成五项简单图的度数列。
7.2 设有向简单图D 的度数列为2，2，3，3，入度列为0，0，2，3，试求D 的出度列。
解：因为 出度=度数-入度，所以出度列为2，2，1，0。
7.3 设D 是4阶有向简单图，度数列为3，3，3，3。
它的入度列（或出度列）能为1，1， 1，1吗？解：由定理7.2可知，有向图的总入度=总出度。
该有向图的总入度=1+1+1+1=4,总出度=2+2+2+2=8,4！=8，所以它的出度列（或入度列）不能为1，1，1，1。
7.6 35条边，每个顶点的度数至少为3的图最多有几个顶点？解：根据握手定理，所有顶点的度数之和为70，假设每个顶点的度数都为3，则 n 为小于等于370的最大整数，即：２３ ∴ 最多有23个顶点7.7 设n 阶无向简单图G 中，δ（G ）=n-1，问△（G ）应为多少？解： 假设n 阶简单图图n 阶无向完全图，在K n 共有2)1(-n n 条边，各个顶点度数之和为n （n-1）∴每个顶点的度数为nn n )1(-=n-1 ∴△（G ）=δ（G ）=n-17.8 一个n （n ≥２）阶无向简单图Ｇ中，n 为奇数，有r 个奇度数顶点，问Ｇ的补图G 中有几个奇度顶点？解：在K n 图中，每个顶点的度均为（n-1），n 为奇数，在Ｇ中度为奇数的顶点在G 中仍然为奇数，∴共有r 个奇度顶点在G 中７.９ 设Ｄ是n 阶有向简单图，Ｄ’是Ｄ的子图，已知Ｄ’的边数m ’＝n （n-1），问Ｄ的边数m 为多少？解： 在Ｄ’中m ’＝n （n-1） 可见Ｄ’为有个n 阶有向完全图，则Ｄ＝Ｄ’ 即Ｄ’就是Ｄ本身，∴m=n （n-1）7.18 有向图D 入图所示。
离散数学第七章图的基本概念知识点总结
图论部分第七章、图的基本概念7. 1无向图及有向图无向图与有向图多重集合：元素可以重复出现的集合无序积：{(x, y) |定义无向图Q<K£>,其中(1) 顶点集$0,元素称为顶点(2) 边集F为k&f的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如，如图所示，其中心⑷，…，心，&{(旳，匕)，(匕，匕),(迫，方)，(乃，方)，(迫，％), (s, %),(必，％)} 定艾有向图E>,其中(1) $同无向图的顶点集，元素也称为顶点(2) 边集F为的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替0的所有有向边所得到的无向图称作Q的基图，右图是有向图, 试写出它的！/和F注意：图的数学定艾与图形表示，在同构(待叙)的意狡下是一一对应的通常用G表示无向图，0表示有向图，也常用G泛指无向图和有向图，用6表示无向边或有向边.K6), E(G, Eg G和D的顶点、集,边集.77阶图：”个顶点的图有限图：K F都是有穷集合的图零图：吕0平凡图：1阶零图空图：^=0顶点和边的关联与相邻：定狡设e*,v)是无向图G^<V f E>的一条边，称v…匕为e*的端点，©与v, ( 16)关联.若Vi H V”则称故与Vi ( v)的关联次数为1;若匕=匕，则称6为环，此时称◎与匕的关联次数为2;若匕不是鸟端点, 则称鼓与匕的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图=<V, E>, v if K e“e《E,若©，匕)e£；则称乙匕相邻；若％ &至少有一个公共端点，则称6, 8/相邻.对有向图有类似定义.设6二〈乙匕〉是有向图的一条边，又称匕是牧的始点，V」是6的终点，K邻接到Vj.匕邻接于Vi.邻域和关联集邻域和关联集设无向图^veV(G)”的邻域谑克匕(6A3"(G)A亦}1 的闪邻域2V(V)=M V)U{V)丫的关联集7(v)=fej族要(G>e与咲联}设有向图空厲蚀)1的后绅元集石(护{边煖玖刀人今炉訪⑹付妙、的先驱元集纭(忙甸頰匕(D)人Y细>“(C)人T1的邻域E(v)=“e)u巧(巧'的丙邻域jv D(v) = 1V23(v)U{v}顶点的度数设G=<V,E>为无向图，keKy的度数(度)〃3): #作为边的端点次数之和悬挂顶点：度数为1的顶点悬挂边：与悬挂顶点关联的边G 的最大度zl(Q 二max {〃(“)| i/e HG的最小度&Q=min{d(访| keH例如〃(％)二3, 〃(乃)二4, 6/(I/.) =4,zl(6)=4, J(6)=1, r4是悬挂顶点，g是悬挂边,设^=<K £>为有向图，reKi/的出度dW: y作为边的始点次数之和1/的入度力3) ：#作为边的终点次数之和1/的度数(度)〃3)：#作为边的端点次数之和d(v)~ / (#) + d(v)。
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总
图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
离散数学-第七章二元关系课后练习习题及答案
第七章作业评分要求：1. 合计100分2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由).3. 总得分在采分点1处正确设置.1 设R={<x,y>|x,y∈N且x+3y=12}.【本题合计10分】(1) 求R的集合表达式(列元素法);(2) 求domR, ranR;(3) 求RR;(4) 求R{2,3,4,6};(5) 求R[{3}];解(1) R={<0,4>,<3,3>,<6,2>,<9,1>,<12,0>}【2分】(2) domR={0,3,6,9,12}, ranR={0,1,2,3,4}【2分】(3) RR={<3,3>, <0,4>}【2分】(4) R{2,3,4,6}={<3,3>, <6,2>}【2分】(5) R[{3}]={3}【2分】2 设R,F,G为A上的二元关系. 证明:(1)R(F∪G)=RF∪RG(2)R(F∩G)RF∩RG(3)R(FG)=(RF)G.【本题合计18分：每小题6分，证明格式正确得3分，错一步扣1分】证明(1)<x,y>,<x,y>∈R(F∪G)t (xRt∧t(F∪G)y) 复合定义t(xRt∧(tFy∨tGy) ∪定义t((xRt∧tFy)∨(xRt∧tGy)) ∧对∨分配律t(xRt∧tFy)∨t(xRt∧tGy) 对∨分配律x(RF)y∨x(RG)y 复合定义x(RF∪RG)y ∪定义得证(2)<x,y>,x(R(F∩G))yt(xRt∧t(F∩G)y) 复合定义t(xRt∧(tFy∧tGy)) ∩定义t((xRt∧tFy)∧(xRt∧tGy)) ∧幂等律, ∧交换律, ∧结合律t(xRt∧tFy)∧t(xRt∧tGy) 补充的量词推理定律x(RF)y∧x(RG)y 复合定义x(RF∪RG)y ∪定义得证(3)<x,y>,<x,y>∈R(FG)s (<x,s>∈R∧<s,y>∈(FG)) 定义s (<x,s>∈R∧t (<s,t>∈F∧<t,y>∈G))) 定义st(<x,s>∈R∧<s,t>∈F∧<t,y>∈G) 辖域扩张公式ts((<x,s>∈R∧<s,t>∈F)∧<t,y>∈G) 存在量词交换t(s(<x,s>∈R∧<s,t>∈F)∧<t,y>∈G) 辖域收缩公式t(<x,t>∈(RF)∧<t,y>∈G) 复合定义<x,y>∈(RF)G 复合定义得证3 设F={<x,y>|x－y+2>0∧x－y－2<0}是实数集R上的二元关系, 问F具有什么性质并说明理由.【本题合计10分：每种性质2分----答对得1分，正确说明理由得1分】解F={<x,y>|x－y+2>0∧x－y－2<0}={<x,y>|－2<x－y<2}自反性: x∈R, <x,x>∈F显然.对称性: <x,y>,<x,y>∈F－2<x－y<2－2<y－x<2<y,x>∈F.不具有反自反性: 反例<2,2>∈F不具有反对称性: 反例<2,3>,<3,2>∈F, 显然2≠3不具有传递性: 反例<2,>,<,5>∈F, 但<2,5>不属于F.4 设A={a,b,c}, R={<a,b>,<a,c>},(1) 给出R的关系矩阵;(2) 说明R具有的性质(用关系矩阵的判定方法说明理由)【本题合计12分：第（1）小题2分；第（2）小题10分----答对性质得1分，说明理由得1分】解(1)R的关系矩阵M(R)为0 1 10 0 00 0 0(2)不具有自反性: M(R)的主对角线不是全为1是反自反的: M(R)的主对角线全为0不具有对称性: M(R)不是对称的是反对称的: M(R)对称的位置至多有一个1是传递的: M(R2)如下0 0 00 0 00 0 0显然满足: 如果M(R2)任意位置为1, 则M(R)对应位置也为15 设A≠, RA×A, 证明(1) r(R)=R∪I A(2) s(R)=R∪R-1【本题合计12分，每小题6分----证明格式正确得2分，过程错误一步扣1分】证明(1) 只要证明r(R)R∪I A和R∪I A r(R)即可先证r(R)R∪I A:I A R∪I AR∪I A自反(自反性的充要条件)r(R)R∪I A (自反闭包的最小性)再证R∪I A r(R):Rr(R)∧I A r(R) (自反闭包的性质及自反性的充要条件)R∪I A r(R)得证(2) 只要证明s(R)R∪R-1及R∪R-1s(R)即可先证s(R)R∪R-1:(R∪R-1)-1=R∪R-1 (理由如下: <x,y>,<x,y>∈(R∪R-1)-1<y,x>∈R∪R-1 (逆运算定义)<y,x>∈R∨<y,x>∈R-1 (∪定义)<x,y>∈R-1∨<x,y>∈R (逆运算定义)<x,y>∈R∪R-1 (∪定义, ∪交换律)所以(R∪R-1)-1=R∪R-1 )R∪R-1是对称的(对称性的充要条件)s(R)R∪R-1 (对称闭包的最小性)再证R∪R-1s(R):Rs(R) (闭包定义) ∧R-1s(R) (后者理由如下:<x,y>,<x,y>∈R-1<y,x>∈R (逆运算定义)<y,x>∈s(R)<x,y>∈s(R) (s(R)是对称的)所以R-1s(R) )R∪R-1s(R)得证6 设A={a,b,c,d}, R={<a,d>,<b,a>,<b,c>,<c,a>,<c,d>,<d,c>}, 用Warshall算法求t(R).【本题合计8分】解依次求出W0,W1,W2,W3,W4=t(R)【2分】W0=M(R)= 0 0 0 11 0 1 01 0 0 10 0 1 0【1分】W1= 0 0 0 11 0 1 11 0 0 10 0 1 0【1分】W2= 0 0 0 11 0 1 11 0 0 10 0 1 0【1分】W3= 0 0 0 11 0 1 11 0 0 11 0 1 1【1分】W4= 1 0 1 11 0 1 11 0 1 11 0 1 1【1分】即t(R)={<a,a>,<a,c>,<a,d>,<b,a>,<b,c>,<b,d>,<c,a>,<c,c>,<c,d>,<d,a>,<d,c>,<d,d>}.【1分】7 设R为A上的自反和传递的关系, 证明R∩R-1是A上的等价关系.【本题合计10分】证明自反性: x∈A,xRx∧xR-1x x(R∩R-1)x【3分】对称性: x,y∈A,x(R∩R-1)y xRy∧xR-1y yR-1x∧yRx y(R∩R-1)x【3分】传递性: x,y,z∈A,x(R∩R-1)y∧y(R∩R-1)z xRy∧xR-1y∧yRz∧yR-1z(xRy∧yRz)∧(xR-1y∧yR-1z) xRz∧xR-1z x(R∩R-1)z【4分】得证.8 设A={1,2,3,4}, 在A×A上定义二元关系R,<u,v>,<x,y>∈A×A, <u,v>R<x,y>u+y=v+x(1)证明R是A×A上的等价关系;(2)确定由R引起的对A×A的划分.【本题合计10分】解(1)自反性: <x,y>∈A×A, <x,y>R<x,y>显然成立.【2分】对称性: <x,y>,<u,v>∈A×A,<x,y>R<u,v>x+v=y+uu+y=v+x<u,v>R<x,y>【2分】传递性: <x,y>,<u,v>,<s,t>∈A×A,<x,y>R<u,v>∧<u,v>R<s,t>x+v=y+u ∧u+t=v+sx+t=y+s<x,y>R<s,t>【2分】因此R 是A×A 上的等价关系.(2)根据R 的定义, <x,y>R<u,v>x+v=y+ux －y=u －v, 因此[<x,y>]R={<u,v>|<u,v>∈A×A ∧u －v=x －y},【2分】 所以R 引起的划分如下:{ { <1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>},{<1,2>,<2,3>,<3,4>},{<2,1>,<3,2>,<4,3>},{<1,3>,<2,4>},{<3,1>,<4,2>},{<1, 4>},{<4,1>} }【2分】9 设R, S 是A={1,2,3,4}上的等价关系, 其关系矩阵分别为 【本题合计5分】1100110000100001R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1000011001100001S M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.求包含R 与S 的最小的等价关系.分析: 设包含R 与S 的最小等价关系为T ，则RT, ST, 所以RS T. 而T 是等价关系，根据等价关系的定义，T 应该具有自反性、对称性和传递性。
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4、汉密尔顿图（3）
定理3 若无向图G=<V,E>是汉密尔顿图，任意SV，则 W(G-S)|S|，其 中W(G-S)表示G中删除S后所得子图的连通分支数。
定理3只是汉密尔顿图的必要条件。如果图G不满足这个条 件，则G肯定不是汉密尔顿图。可利用定理3来判断一个图不 是汉密尔顿图。
因为 W(G-{a,b,c,d,e,f,g}) =9>| {a,b,c,d,e,f,g} |=7， 所以图G不是汉密尔顿图。
图(1)中有汉密尔顿路，但不存在汉密尔顿回路，所以它不 是汉密尔顿图；图(2)中有汉密尔顿回路，它是汉密尔顿图； 图(3)中既无汉密尔顿回路，也不存在汉密尔顿路。
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4、汉密尔顿图（2）
定理3 若无向图G=<V,E>是汉密尔顿图，任意SV，则 W(G-S)|S| 其中W(G-S)表示G中删除S后所得子图的连通分支数。 证明：设c是G中的一条汉密尔顿回路。 (1) 如果S中的结点在c上两两相邻，则W(c-S)=1|S|。 (2) 如果S中的结点在c上存在 r (2r|S|)个互不相邻的部分， 则W(c-S)=r|S|。 一般说来，S中的结点在c上既有相邻的，又有不相邻的， 所以总有W(c-S)|S|。 注意到c-S 是G-S的生成子图，故W(G-S) W(c-S)|S|。
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3、周游世界问题（2）
周游世界问题可视为在一个平面图中，从任一结点出发， 找一条路，经过每个结点恰好一次，再回到出发点？
遗憾的是，周游世界问题不象七桥问题那样有一个完满 的结局，判定此类问题是否有解至今还未找到一个方便的 充分必要条件。
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4、汉密尔顿图（1）
定义3 经过图中每个结点一次且仅一次的路(回路) 称为汉密尔 顿路(汉密尔顿回路)。具有汉密尔顿回路的图叫汉密尔顿图 例如，判断下面各图 是否为汉密尔顿图。
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1、欧拉图（3）
定理1 无向图G有一条欧拉路，当且仅当G连通，且有零个或两 个奇数度结点。 证：充分性(续)。 (2)如果L1遍历G的所有边，则L1就是一条欧拉路。 (3)如果L1未遍历G的所有边，则删除L1的所有边及由此产生的 孤立结点得子图G’，G’中每个结点的度数应为偶数。因G连通， 所以L1与G’至少有一个结点vj重合，在G’中从结点vj出发可构造 闭迹L2。 (4)如果L1和L2组合在一起恰为G，则得一条欧拉路，否则重复 第3步，如此下去，必可得到一条经过图G所有边的欧拉路。 证明过程 示意图：
第7-4讲 欧拉图与汉密尔顿图
1. 欧拉图 2. 有向图中的欧拉路 3. 周游世界问题 4. 汉密尔顿图 5. 标识法 6.课堂练习 7. 第7-4讲 作业
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1、欧拉图（1）
定义1 设图G无孤立结点，若存在一条路(回路)，经过图中每 边一次且仅一次，则称该路(回路)为欧拉路(欧拉回路) 。 具有欧拉回路的图叫欧拉图 例如，下图具有欧拉路，而没有欧拉回路。 从图中v2出发经过图中每边一 次且仅一次到v3可得欧拉路： v2 v1 v3 v5 v4 v2 v3 但此图不可能有欧拉回路，因 而不是欧拉图。
12Βιβλιοθήκη 4、汉密尔顿图（5）到目前为止，判断一个图是否为汉密尔顿图还只能依据定 义。只有部分满足特定条件的图才能用判别法（充分条件）
定理4 设G是具有n个结点的简单图，如果图中每对结点度数 之和大于或等于n-1，则G中存在一条汉密尔顿路（证明略）
推论 设G是具有n个结点的无向简单图，如果G中任一对结点 度数之和都大于等于n，则G是汉密尔顿图 （证明从略） 注意：本推论与定理4一样，它只不过是充分条件，而非 必要条件。不满足定理中条件的图，也可能是汉密尔顿图。 例如，下面的图是具有6个结点的无向简单图，它显然是 汉密尔顿图，但该图中任一对结点度数之和等于4，并不大 于等于图中结点总数6！
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1、欧拉图（2）
定理1 无向图G有一条欧拉路，当且仅当G连通，且有零个或两 个奇数度结点。 证：必要性。设图G有欧拉路v0e1v1e2v2...eiviei+1...ekvk，其 中结点可重复出现，但边不重复，且每条边都经历一次，因此， 欧拉路遍历G中所有结点，所以G是连通的。 其次，若vi不是端点，则deg(vi)必为偶数；而对端点v0和vk， 如果v0=vk，则G中无奇数度结点；如果v0vk，则deg(v0)和 deg(vk)必为奇数，故G中有一对奇数度结点。 充分性。当G连通，且有零个或两个奇数度结点。可按如下 方法构造一条欧拉路。 (1)若G有两个奇数度结点v0和vk，因G连通，可构造一条迹 (无重复边的路)L1：v0e1v1e2...vk；若G无奇数度结点，则可从 任何结点vi出发构造一条闭迹L1：vie1v1e2...vi。
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4、汉密尔顿图（4）
定理3 若无向图G=<V,E>是汉密尔顿图，任意SV，则 W(G-S)|S|，其 中W(G-S)表示G中删除S后所得子图的连通分支数。4
即使图G满足定理3的条件，也不能肯定G是汉密尔顿图。 如著名的彼德森图就是一例，它满足定理3的条件，但它不是 汉密尔顿图。 (1)删除1个或2个结点仍是连通图。 (2)删除3个结点，最多得2个连通分 支的子图。 (3)删除4个结点，最多得3个连通分 支的子图。 (4)删除5个或5个结点，则所得子图 的结点数已不大于5，从而排除了出现 5个以上连通分支的可能性。
（证明与定理1类似，从略）
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3、周游世界问题（1）
1859年，Willian Hamilton给友人的信中首先谈到了关于 12面体的数学游戏：将正12面体的每个顶点看作一个城市， 两个顶点间的连线视为旅行线，能否找到一条旅行线，经 过每个城市恰好一次，再回到出发地？
按右图中各顶点的数字标定的顺序给出了周游世界问题 的一个解。
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1、欧拉图（4）
推论 无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G连通，且所有结点 度数皆为偶数。 由推论可知，七桥问题无解：
右图中既无欧拉回 路，又无欧拉路。
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2、有向图中的欧拉路
欧拉路可推广到有向图。
定义2 经过有向图中每边一次且仅一次的单向路(回路)称为 单向欧拉路(回路) 。
定理2 有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当G连通，且 每个结点的入度等于出度。有向图G具有一条单向欧拉路， 当且仅当G连通，且除两个结点之外，每个结点的入度等于 出度。而这两个结点，一个结点的入度比出度大1，另一个 结点的入度比出度小1。
第7-4讲 作业
P311 1， 3，6
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5、标识法（1）
判断图G中是否存在汉密尔顿路或汉密尔顿回路，除按定义 来判断之外，没有一个充分必要条件可以依从，也就是说，没 有确定的判断方法。下面的标识法是一个可作参照的方法，但 它既不是必要条件，也不是充分条件。标识法的步骤如下: (1)先用字母A标识图中任一结点,接着用B标识图中与A邻接 的结点。然后再用字母A标识图中与B邻接的结点，如此下去， 直到图中所有结点标识完毕。 (2)在标识过程中，当无法实现A、B相间时，可在某些边上 增加二度结点。 (3)标识完毕后，如果若A、B数目差一个以上，则该图不存 在汉密尔顿回路。
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5、标识法（2）
标识法举例：
左经标识后，用7个A，8个B，故该图没有汉密尔顿回 路，它不是汉密尔顿图。但它有汉密尔顿路。
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6、课堂练习
练习：(1)画一个既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。 (2)画一个有欧拉回路但没有汉密尔顿回路的图。 (3)画一个没有欧拉回路但有汉密尔顿回路的图。 解：
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