离散数学第七章第四节

（证明与定理1类似，从略）
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3、周游世界问题（1）
1859年，Willian Hamilton给友人的信中首先谈到了关于 12面体的数学游戏：将正12面体的每个顶点看作一个城市， 两个顶点间的连线视为旅行线，能否找到一条旅行线，经 过每个城市恰好一次，再回到出发地？
按右图中各顶点的数字标定的顺序给出了周游世界问题 的一个解。
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4、汉密尔顿图（4）
定理3 若无向图G=<V,E>是汉密尔顿图，任意SV，则 W(G-S)|S|，其 中W(G-S)表示G中删除S后所得子图的连通分支数。4
即使图G满足定理3的条件，也不能肯定G是汉密尔顿图。 如著名的彼德森图就是一例，它满足定理3的条件，但它不是 汉密尔顿图。 (1)删除1个或2个结点仍是连通图。 (2)删除3个结点，最多得2个连通分 支的子图。 (3)删除4个结点，最多得3个连通分 支的子图。 (4)删除5个或5个结点，则所得子图 的结点数已不大于5，从而排除了出现 5个以上连通分支的可能性。
第7-4讲 欧拉图与汉密尔顿图
1. 欧拉图 2. 有向图中的欧拉路 3. 周游世界问题 4. 汉密尔顿图 5. 标识法 6.课堂练习 7. 第7-4讲 作业
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1、欧拉图（1）
定义1 设图G无孤立结点，若存在一条路(回路)，经过图中每 边一次且仅一次，则称该路(回路)为欧拉路(欧拉回路) 。 具有欧拉回路的图叫欧拉图 例如，下图具有欧拉路，而没有欧拉回路。 从图中v2出发经过图中每边一 次且仅一次到v3可得欧拉路： v2 v1 v3 v5 v4 v2 v3 但此图不可能有欧拉回路，因 而不是欧拉图。
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5、标识法（1）
判断图G中是否存在汉密尔顿路或汉密尔顿回路，除按定义 来判断之外，没有一个充分必要条件可以依从，也就是说，没 有确定的判断方法。下面的标识法是一个可作参照的方法，但 它既不是必要条件，也不是充分条件。标识法的步骤如下: (1)先用字母A标识图中任一结点,接着用B标识图中与A邻接 的结点。然后再用字母A标识图中与B邻接的结点，如此下去， 直到图中所有结点标识完毕。 (2)在标识过程中，当无法实现A、B相间时，可在某些边上 增加二度结点。 (3)标识完毕后，如果若A、B数目差一个以上，则该图不存 在汉密尔顿回路。
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1、欧拉图（4）
推论 无向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G连通，且所有结点 度数皆为偶数。 由推论可知，七桥问题无解：
右图中既无欧拉回 路，又无欧拉路。
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2、有向图中的欧拉路
欧拉路可推广到有向图。
定义2 经过有向图中每边一次且仅一次的单向路(回路)称为 单向欧拉路(回路) 。
定理2 有向图G具有一条单向欧拉回路，当且仅当G连通，且 每个结点的入度等于出度。有向图G具有一条单向欧拉路， 当且仅当G连通，且除两个结点之外，每个结点的入度等于 出度。而这两个结点，一个结点的入度比出度大1，另一个 结点的入度比出度小1。
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4、汉密尔顿图（3）
定理3 若无向图G=<V,E>是汉密尔顿图，任意SV，则 W(G-S)|S|，其 中W(G-S)表示G中删除S后所得子图的连通分支数。
定理3只是汉密尔顿图的必要条件。如果图G不满足这个条 件，则G肯定不是汉密尔顿图。可利用定理3来判断一个图不 是汉密尔顿图。
因为 W(G-{a,b,c,d,e,f,g}) =9>| {a,b,c,d,e,f,g} |=7， 所以图G不是汉密尔顿图。
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1、欧拉图（3）
定理1 无向图G有一条欧拉路，当且仅当G连通，且有零个或两 个奇数度结点。 证：充Baidu Nhomakorabea性(续)。 (2)如果L1遍历G的所有边，则L1就是一条欧拉路。 (3)如果L1未遍历G的所有边，则删除L1的所有边及由此产生的 孤立结点得子图G’，G’中每个结点的度数应为偶数。因G连通， 所以L1与G’至少有一个结点vj重合，在G’中从结点vj出发可构造 闭迹L2。 (4)如果L1和L2组合在一起恰为G，则得一条欧拉路，否则重复 第3步，如此下去，必可得到一条经过图G所有边的欧拉路。 证明过程 示意图：
第7-4讲 作业
P311 1， 3，6
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5、标识法（2）
标识法举例：
左经标识后，用7个A，8个B，故该图没有汉密尔顿回 路，它不是汉密尔顿图。但它有汉密尔顿路。
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6、课堂练习
练习：(1)画一个既有欧拉回路又有汉密尔顿回路的图。 (2)画一个有欧拉回路但没有汉密尔顿回路的图。 (3)画一个没有欧拉回路但有汉密尔顿回路的图。 解：
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4、汉密尔顿图（5）
到目前为止，判断一个图是否为汉密尔顿图还只能依据定 义。只有部分满足特定条件的图才能用判别法（充分条件）
定理4 设G是具有n个结点的简单图，如果图中每对结点度数 之和大于或等于n-1，则G中存在一条汉密尔顿路（证明略）
推论 设G是具有n个结点的无向简单图，如果G中任一对结点 度数之和都大于等于n，则G是汉密尔顿图 （证明从略） 注意：本推论与定理4一样，它只不过是充分条件，而非 必要条件。不满足定理中条件的图，也可能是汉密尔顿图。 例如，下面的图是具有6个结点的无向简单图，它显然是 汉密尔顿图，但该图中任一对结点度数之和等于4，并不大 于等于图中结点总数6！
图(1)中有汉密尔顿路，但不存在汉密尔顿回路，所以它不 是汉密尔顿图；图(2)中有汉密尔顿回路，它是汉密尔顿图； 图(3)中既无汉密尔顿回路，也不存在汉密尔顿路。
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4、汉密尔顿图（2）
定理3 若无向图G=<V,E>是汉密尔顿图，任意SV，则 W(G-S)|S| 其中W(G-S)表示G中删除S后所得子图的连通分支数。 证明：设c是G中的一条汉密尔顿回路。 (1) 如果S中的结点在c上两两相邻，则W(c-S)=1|S|。 (2) 如果S中的结点在c上存在 r (2r|S|)个互不相邻的部分， 则W(c-S)=r|S|。 一般说来，S中的结点在c上既有相邻的，又有不相邻的， 所以总有W(c-S)|S|。 注意到c-S 是G-S的生成子图，故W(G-S) W(c-S)|S|。
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3、周游世界问题（2）
周游世界问题可视为在一个平面图中，从任一结点出发， 找一条路，经过每个结点恰好一次，再回到出发点？
遗憾的是，周游世界问题不象七桥问题那样有一个完满 的结局，判定此类问题是否有解至今还未找到一个方便的 充分必要条件。
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4、汉密尔顿图（1）
定义3 经过图中每个结点一次且仅一次的路(回路) 称为汉密尔 顿路(汉密尔顿回路)。具有汉密尔顿回路的图叫汉密尔顿图 例如，判断下面各图 是否为汉密尔顿图。
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1、欧拉图（2）
定理1 无向图G有一条欧拉路，当且仅当G连通，且有零个或两 个奇数度结点。 证：必要性。设图G有欧拉路v0e1v1e2v2...eiviei+1...ekvk，其 中结点可重复出现，但边不重复，且每条边都经历一次，因此， 欧拉路遍历G中所有结点，所以G是连通的。 其次，若vi不是端点，则deg(vi)必为偶数；而对端点v0和vk， 如果v0=vk，则G中无奇数度结点；如果v0vk，则deg(v0)和 deg(vk)必为奇数，故G中有一对奇数度结点。 充分性。当G连通，且有零个或两个奇数度结点。可按如下 方法构造一条欧拉路。 (1)若G有两个奇数度结点v0和vk，因G连通，可构造一条迹 (无重复边的路)L1：v0e1v1e2...vk；若G无奇数度结点，则可从 任何结点vi出发构造一条闭迹L1：vie1v1e2...vi。