正切、余切定义ppt
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正切和余切 ppt课件
cotA=பைடு நூலகம்tanB=
CotB= a:b
cotE= d:e
三、根据图示计算:
B
5
5/12 12/5 1、tanA = ______ 、tanB = _______ 12/5 5/12 cotA=______ 、cotB= _______
C
12
A
观察上式：tanA与cotB的值是什么关系？ 是偶然还是必然？你能加以说明吗？
四、在下列括号内填写适当线段 tanA= tanB=
CD AD CD BD
C
= =
BC AC AC
cot∠ACD= cot∠BCD =
A BC AD B = cot___ CD CD A = cot___ BD
D
B
五、观察你手中的三角板，看谁填得快：
30
tan cot
。
45
。
60
。
五、观察你手中的三角板，看谁填得快：
B D A
C
合作讨论，解决下题：
已知∠B 为锐角 ，AB=10，AC=17， SinB=4/5 A 求：tanC、BC长及 10 17 三角形ABC的面积。
B
D
C
课堂小结：
1、掌握正切、余切的定义。 2、能根据它们定义解决简单 的函数问题。
3、初步具备解决三角函数的
基本能力。
回忆②
A
B’ B
C
A’
C’
定值 ★ 在直角三角形中，只要锐角取一_______ ， 定值 该直角三角形任意两边之比便是一个______ 。 ★ 换言之： 直角三角形中，任取一锐角，该直角三角形任意两 边之比都有惟一的值与之对应 ★
函数 ————
第1讲 正弦、余弦、正切、余切(讲义)
第1讲 正弦、余弦、正切、余切知识梳理1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ.（4）角α在“0到 360”范围内，指 3600<≤α.2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制．弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小(1) 角度制与弧度制换算关系：180π︒=弧度 ，rad 1801π= ，30.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为s ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=.在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.一、 角概念的推广例题解析例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ± 例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则2α是（ ） A ．锐角 B ．第一象限角C ．第一、三象限角D ．第二、四象限角例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ）A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在y 轴负半轴上的角的集合为___________________例6.（2020·上海市金山中学高一期中）2019角是第_______象限角．例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与4π角终边重合的角的集合是________ 巩固练习1．（2020·上海浦东新区·高一期中）若α是第一象限的角，则2α是第________象限的角．2．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.3．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.4．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切(第3课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
第 6 章 三角
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切（第3课时）
学习目标
1.借助单位圆理解任意角 (正弦、余弦、正切)的定义．
(重点、难点)
2．掌握任意角 (正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
(易错点)
情境导入
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.
所以角所在的象限是第三象限.
).
【变式】(1)若三角形的两内角，满足 ∙ < 0,则此三角形必为(
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
).
D.以上三种情况都有可能
答案：B.三角形的两内角，的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上，
∙ < 0，所以 > 0， < 0 ，
例7. 已知角 α 的终边经过点 P（ １ ， －２ ）， 求角 α 的
正弦 、余弦 、 正切及余切值
解 ： 由 x 1, y 2 , 有 r =
12 ( 2 ) 2
y
2 5
x
5
s in a
, cos a
,
r
5
r
5
y
x
1
ta n a
2, cot a
．
【解析】解：由题意可得，x=4
故答案为：- ．
3.已知角α的终边经过点P(3，4)，则cosa=
．
【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3，4)，则|OP|=5，
所以cosa=
||
= ，
6.1 任意角的正弦、余弦、正切、余切（第3课时）
学习目标
1.借助单位圆理解任意角 (正弦、余弦、正切)的定义．
(重点、难点)
2．掌握任意角 (正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
(易错点)
情境导入
在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.
所以角所在的象限是第三象限.
).
【变式】(1)若三角形的两内角，满足 ∙ < 0,则此三角形必为(
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
).
D.以上三种情况都有可能
答案：B.三角形的两内角，的终边一定落在第一、第二象限或轴正半轴上，
∙ < 0，所以 > 0， < 0 ，
例7. 已知角 α 的终边经过点 P（ １ ， －２ ）， 求角 α 的
正弦 、余弦 、 正切及余切值
解 ： 由 x 1, y 2 , 有 r =
12 ( 2 ) 2
y
2 5
x
5
s in a
, cos a
,
r
5
r
5
y
x
1
ta n a
2, cot a
．
【解析】解：由题意可得，x=4
故答案为：- ．
3.已知角α的终边经过点P(3，4)，则cosa=
．
【解析】解：由题意得角α的终边经过点P(3，4)，则|OP|=5，
所以cosa=
||
= ，
正切与余切 PPT
驶向胜利 的彼岸
结束寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与 角的关系,它又是一个变量之间重要的 函数关系,即新奇,又富有魅力,你可要 与它建立好感情噢！
特权福利
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直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比 值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
B
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边
的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
∠A的对边
tanA=
┌ A ∠A的邻边 C
议一议P4 11
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
包权
人书友圈7.三端同步
想一想P1 2
本领大不大, 悟心来当家
办法不只一种
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再 往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的 大小,根据这些他就求出了塔的高度.你 知道他是怎么做的吗？
驶向胜利 的彼岸
A 1 B2
想一想P2 3
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体
B1 B2
C2
C1
议一议P3 9
由感性到理性
驶向胜利 的彼岸
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
B2 B3
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
A
C3 C2
C1
结束寄语
• 锐角三角函数描述了直角三角形中边与 角的关系,它又是一个变量之间重要的 函数关系,即新奇,又富有魅力,你可要 与它建立好感情噢！
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直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比 值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
B
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边
的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
∠A的对边
tanA=
┌ A ∠A的邻边 C
议一议P4 11
八仙过海,尽显才能
驶向胜利 的彼岸
包权
人书友圈7.三端同步
想一想P1 2
本领大不大, 悟心来当家
办法不只一种
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再 往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的 大小,根据这些他就求出了塔的高度.你 知道他是怎么做的吗？
驶向胜利 的彼岸
A 1 B2
想一想P2 3
源于生活的数学
从梯子的倾斜程度谈起
梯子是我们日常生活中常 见的物体
B1 B2
C2
C1
议一议P3 9
由感性到理性
驶向胜利 的彼岸
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
B2 B3
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
A
C3 C2
C1
任意角的三角函数(第二课时)PPT课件
于第一或第三象限。 因为① ②式都成立，所以角θ的终边只能位于第
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
三象限。 于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y）， 则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例 例 3 （1） 确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x
数学人教A版(2019)必修第一册5.5.1二倍角的正弦、余弦、正切公式(共19张ppt)
( − ) = +
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
( + ) = +
两角和差的正弦公式
两角和差的正切公式
( − ) = −
+
( + ) =
1 −
−
(2)配方变换.
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2.
(3)升幂缩角变换.
1+cos 2α=2cos2α , 1-cos 2α=2sin2α .
(4)降幂扩角变换.
1
1
1
cos α=2(1+cos 2α),sin α=2(1-cos 2α),sin αcos α=2sin 2α.
5.5.1 第三课时
二倍角的正弦、余弦、正切公式
Hale Waihona Puke 学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、
正切公式.（逻辑推理）
2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变
形运用.（数学运算）
复习回顾
两角和差的余弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
( + ) = −
( + ) = 2 = + = 2
+
2
( + ) = 2 =
=
1 − 1 − 2
新知梳理
二倍角公式
2sin αcos α
2cos2α-1
cos2α-sin2α
2
－1＝1－2sin －x；
－x
4
4
2
例题讲解
题型三：化简与证明
例3
(1)化简:cos2(θ+15°)+sin 2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
上课-正切、余切课件
锐角三角函数
——正切与余切 ——正切与余切
如图： 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 中 ＝ ° 正弦？ 余弦？ 正弦？ 余弦？
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形 、 、 是在直角三角形中定义的， 是锐角 注意数形 是在直角三角形中定义的 注意 结合，构造直角三角形)。 结合，构造直角三角形 。 2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。 是一个比值 、 、 是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与所在直角三角 的大小只与∠ 的大小有关，而与所在直角三角 的大小有关 、 、 的大小只与 形的大小无关 无关。 形的大小无关。 特殊角的正弦、 特殊角的正弦、余弦函数值
3 tan30°= ? 3
B
tan 45°= 1 ?
tan 60°=
?3
思考： 思考：锐角A的正切值可以
等于1吗？为什么？
A ┌ C
可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA、 cotA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、 余弦、正切、余切叫做∠A的锐角三角函数。 的锐角三角函数
如图： 如图：在Rt △ABC中， 中 ∠C＝90°， ＝ ° 一个角的正切
表示定值、 表示定值、比 定值 正值。 值、正值。
我们把锐角A的对边与邻边的比 我们把锐角 的对边与邻边的比 叫做∠A的 正切，记作 tanA。 叫做∠ 的
tanA×cotA=1 ×
我们把锐角A的邻边与对边的比叫做 ∠A的 余切，记作 cotA。 ∠A的邻边 b cotA = = ∠A的对边 a
结论： 结论：
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值， 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任 正切值等于它的余角 意锐角的余切值等于它的余角 正切值． 余切值等于它的余角的 意锐角的余切值等于它的余角的正切值．
——正切与余切 ——正切与余切
如图： 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 中 ＝ ° 正弦？ 余弦？ 正弦？ 余弦？
1、sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形 、 、 是在直角三角形中定义的， 是锐角 注意数形 是在直角三角形中定义的 注意 结合，构造直角三角形)。 结合，构造直角三角形 。 2、sinA、 cosA是一个比值（数值）。 是一个比值 、 、 是一个比值（数值）。 3、sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与所在直角三角 的大小只与∠ 的大小有关，而与所在直角三角 的大小有关 、 、 的大小只与 形的大小无关 无关。 形的大小无关。 特殊角的正弦、 特殊角的正弦、余弦函数值
3 tan30°= ? 3
B
tan 45°= 1 ?
tan 60°=
?3
思考： 思考：锐角A的正切值可以
等于1吗？为什么？
A ┌ C
可以大于1吗？
对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA、 cotA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、 余弦、正切、余切叫做∠A的锐角三角函数。 的锐角三角函数
如图： 如图：在Rt △ABC中， 中 ∠C＝90°， ＝ ° 一个角的正切
表示定值、 表示定值、比 定值 正值。 值、正值。
我们把锐角A的对边与邻边的比 我们把锐角 的对边与邻边的比 叫做∠A的 正切，记作 tanA。 叫做∠ 的
tanA×cotA=1 ×
我们把锐角A的邻边与对边的比叫做 ∠A的 余切，记作 cotA。 ∠A的邻边 b cotA = = ∠A的对边 a
结论： 结论：
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值， 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任 正切值等于它的余角 意锐角的余切值等于它的余角 正切值． 余切值等于它的余角的 意锐角的余切值等于它的余角的正切值．
课件 正切和余切(1)
sinα cosα
3 3
1 1
3
3 3
增
3
减
发现
特殊锐角的正切、余切关系：
tan30°= cot60° tan45°= cot45° tan60°= cot30°
互为余角的正切、余切关系： tanA= cot (90°-A) cot A= tan (90°-A)
练习 3、若∠A是锐角，且cot(90°-A)=5,
对 a边 b 邻边 C
cot A 0
练习 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA 是方程 5 x2-14 x + 8 = 0 的一个根， 求tanA的值。 B
A
C
新授
锐角三角函数 B
c
a sinA= c a tanA= b
A
α
对 a边 b 邻边 C
b cosA= c b cotA= a
小结 正切、余切的定义
B
c A
α
对 a边 b 邻边 C
a tanA= b
b cotA= a
小结 互为余角的正切、余切关系：
tanA= cot (90°-A) cot A= tan (90°-A)
同角的正弦、余弦关系： tanA ·cotA = 1
sin A tan A cos B
6、若cotα·tan10 ° = tan45°, 则锐角α = 。
7、计算： tan 1° ·tan 2° · … · tan 45° · … · tan88° ·tan89°
反馈
3 8、已知A为锐角，且 cot A 3
那么( )
A 0 A 60 B 60 A 90
C 0 A 30 D 30 A 90
【数学课件】正切和余切
sin 2 cos 2 1
0 sin 1 0 cos 1
tan cot(90 ) cot tan(90 )
tan cot 1
tan 0 cot 0
（保底不封顶）
tan
AWY
D
sin A cosA
cotA cosA sin A
关于0°和90°的三角函数值
0°和90°的三角函数值不能在直角三角 形中直接求出，但可以通过运动的观点 推出。
0° 90°
sin 0
1
cos 1
0
tan 0 不存在
cot 不存在 0
WY D
两个等于1的公式的运用
求值：
tan1 tan2 tan3 tan87 tan88 tan89
关系：
– 正切和正弦、余弦 – 余切和正弦、余弦
简单运用
课本Page14练习 求下列各式的值：
– tan81°·cot81°= – cot27°·cot63°=
求下列各式中的锐角：
2sin 1 3cot A 3 0
tan2 A 1
tan tan70 1
WY D
A
C BQ
M
C
ABC中，B 30，P为AB上一点，BP : PA 1: 2，
PQ BC于Q，连结AQ，求 cos AQC。
WY D
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
0 sin 1 0 cos 1
tan cot(90 ) cot tan(90 )
tan cot 1
tan 0 cot 0
（保底不封顶）
tan
AWY
D
sin A cosA
cotA cosA sin A
关于0°和90°的三角函数值
0°和90°的三角函数值不能在直角三角 形中直接求出，但可以通过运动的观点 推出。
0° 90°
sin 0
1
cos 1
0
tan 0 不存在
cot 不存在 0
WY D
两个等于1的公式的运用
求值：
tan1 tan2 tan3 tan87 tan88 tan89
关系：
– 正切和正弦、余弦 – 余切和正弦、余弦
简单运用
课本Page14练习 求下列各式的值：
– tan81°·cot81°= – cot27°·cot63°=
求下列各式中的锐角：
2sin 1 3cot A 3 0
tan2 A 1
tan tan70 1
WY D
A
C BQ
M
C
ABC中，B 30，P为AB上一点，BP : PA 1: 2，
PQ BC于Q，连结AQ，求 cos AQC。
WY D
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
第8讲：正切与余切(1)
第八讲 正切与余切（1）【基础知识精讲】1、正切、余切概念：(1) 在ABC Rt ∆中，A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。
即 的邻边的对边A A A ∠∠=t a n（或b a A =tan ）(2) 在ABC Rt ∆中，A ∠的邻边与对边的比叫做A ∠的余切，记作A cot ， 即 的对边的邻边A A A ∠∠=cot （或a b A =cot ）2．A tan 与A cot 的关系A A cot 1tan =（或AA tan 1cot =， 1cot tan =⋅A A ） 3、 特殊角的正弦值与余弦值：3330tan =； 145tan = ； 360tan =； 330cot = ； 145cot = ； 3360cot = ． 【例题巧解点拨】例1：在ABC Rt ∆中，C ∠为直角，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为c b a 、、。
3=a ，4=c ，求A tan ，A cot ，B tan ，B cot例2：求下列各式的值：（1）45cot 30tan 330sin 2++； （2）．︒+︒︒︒--︒-︒60tan 45cot 30cot 45tan 160cot 130tan 22b例3：填空：（1）若3tan =A ，则.______=∠A （2）.__________35cot 45tan 35tan =⋅⋅ （3）若1cot 47tan =⋅β ，则锐角._________=β【同步达纲练习】A 组一、选择题：1. ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，则ba叫A ∠的（ ）A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切2. 在ABC ∆中，33tan =A ，1cot =B ，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3. 在ABC ∆Rt 中，︒=∠90C ，下列关系式中正确的有（ ）（1）A a b tan ⋅= （2）B b a cot ⋅= （3）B a b tan ⋅= （4）A b a cot ⋅=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．一个直角三角形的两条边长为3、4，则较小锐角的正切值是（ ）（A ）43 （B ）34 （C ）43或37 （D ）不同于以上 5．计算22)31(45tan 60sin ---⋅，结果正确的是（ ） A ．49 B ．49- C ．411 D ．411- 二、填空:6、 在ABC ∆中，︒=∠90C ，3=a ，5=c ，则A t a n =_________，A cot =__________ 7．在ABC ∆中，C ∠为直角，已知15=a ，30=∠A ，则b =_______. 8．在_________,1,2tan ,,===∠=∠∆b a B Rt C ABC Rt 则若中9．等腰梯形腰长为6，底角的正切为42，下底长为212，则上底长为 ，高为 。
函数名_正弦_余弦_正切_余切_正割_余割
z
z z 2 z3 zn + + + + + 此时三角函数定义域 1! 2! 3! n!
三角函数的数值符号
正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负 余弦 第一，四象限为正 正切 第一，三象限为正 第二，三象限为负 第二，四象限为负
三角函数定义域和值域
sin(x),cos(x) 的定义域为 R,值域为 (-1,1) tan(x) 的定义域为 x 不等于
公式四：
利用公式二和公式三可以得到 与 的三角函数值之间的关系：
s i n ) = s n ( i c o s ) = - c o s ( t a n ) = - t a n ( c o t ) = - c o t (
公式五：
利用公式一和公式三可以得到 2 与 的三角函数值之间的关系：
B A +B
2 2
;
cos =
A A 2 +B2
;
B tan = . A
Asin +Bcos = A 2 +B2 cos( - ) ，其中 tan =
A B
·倍角公式：
sin(2 )=2sin cos = 2 (tan +cot )
cos(2 )=cos 2 -sin 2 =2cos 2 -1=1-2sin 2
tan tan tan( + )+tan +tan -tan( + )=0
3
cosx+cos(2x)+...+cos(nx)=
证明： 左边=
[sin(n+1)x+sin(nx)-sinx] 2sinx
6.1正弦、余弦、正切、余切(第1课时 任意角及其度量)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
k＝5 时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；
k＝6 时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
规律方法
1．在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β＜
360°，k∈Z)，其中的 β 就是所求的角．
我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值
（表6-1）：
（表6-1）
角度
30
45
60
sin
cos
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
ta n
cot
3
3
3
1
3
1
3
3
2 任意角及其度量
在小学和初中我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线所组成的图形，
角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终
45 是第一象限的角，
-315 是第一象限的角；
（2) 905.3 =2 360 +184.7 ，
184.7 是第三象限的角，
905.3 是第三象限的角；
（3)
-1090 4 ( 360 ) 350 , 350 是第四象限的角
-1090 是第四象限的角
（4） 530 =360 +170 ，
止位置（终边）所形成的图形（图6-1-2）． 我们以前学习过的锐角、直角、
钝角、平角和周角，其大小都在0°到360°之间．不过在体操、跳水等体育
运动中，会听到转体720°、转体1080°等术语；当手表比标准时间慢或者
k＝6 时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
规律方法
1．在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)一般地，可以将所给的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β＜
360°，k∈Z)，其中的 β 就是所求的角．
我们还知道如下一些特殊角的正弦、余弦、正切、余切值
（表6-1）：
（表6-1）
角度
30
45
60
sin
cos
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
ta n
cot
3
3
3
1
3
1
3
3
2 任意角及其度量
在小学和初中我们已经知道，角是具有公共端点的两条射线所组成的图形，
角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终
45 是第一象限的角，
-315 是第一象限的角；
（2) 905.3 =2 360 +184.7 ，
184.7 是第三象限的角，
905.3 是第三象限的角；
（3)
-1090 4 ( 360 ) 350 , 350 是第四象限的角
-1090 是第四象限的角
（4） 530 =360 +170 ，
止位置（终边）所形成的图形（图6-1-2）． 我们以前学习过的锐角、直角、
钝角、平角和周角，其大小都在0°到360°之间．不过在体操、跳水等体育
运动中，会听到转体720°、转体1080°等术语；当手表比标准时间慢或者
【初中数学课件】正切和余切ppt课件
（4）co24s5si2n45 ；
sin60 co4t 5
（5）： （1）ta3n5ta4n5ta5n5 ______. ____ （2）若ta3n5taan1，则锐角a_______.___ （3）若 tan47cot1，则锐角 _______.__
6.2 正切和余切
6.2 正切和余切
2. 正切、余切的关系
问题2：观察 tanA 与 cotA的表达式，你能得出什 么结论吗？
3. 锐角三角函数
由上图， sin
A ，ac
cos A ，b
c
tan A ，a
b
cot A ，b 把锐
a
角 的A正弦、余弦、正切、余切都叫做的 锐A角三角
函数.
6.2 正切和余切
6.2 正切和余切
课堂练习
1．求下列各式的值： （1）s3 in 3 0 ta 3 n 2 0 c3 o c 0 s9 o ；0 t
（2）2 c3 o s 0 ta 6 n 0 6 c6 o ；0 t
（3）5 c3 o 2 0 c t6 o 2 0 s s6 i n t 0 a 9 ；n 0
6.2 正切和余切
课堂小结
本节课了解了正切、余切的概念及tanA与 cotA的关 系，知道特殊角的正余切值及互为余角的正切值 与余切值的关系.
作业： 1．看教材P12～P14，培养学生看书习惯. 2．教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6．
4. 特殊角的三角函数值
你能推算出 30°、45°、60°角的正切值和余切值? 你能观察出互为余角的正切值与余切值的关系吗?
6.2 正切和余切
典型例题 例1 求下列各式的值： （1）2 si3n 0 3 ta 3 n 0 c4 o；t5 （2）co 24 s 5 ta6n 0 co 3．s 0
sin60 co4t 5
（5）： （1）ta3n5ta4n5ta5n5 ______. ____ （2）若ta3n5taan1，则锐角a_______.___ （3）若 tan47cot1，则锐角 _______.__
6.2 正切和余切
6.2 正切和余切
2. 正切、余切的关系
问题2：观察 tanA 与 cotA的表达式，你能得出什 么结论吗？
3. 锐角三角函数
由上图， sin
A ，ac
cos A ，b
c
tan A ，a
b
cot A ，b 把锐
a
角 的A正弦、余弦、正切、余切都叫做的 锐A角三角
函数.
6.2 正切和余切
6.2 正切和余切
课堂练习
1．求下列各式的值： （1）s3 in 3 0 ta 3 n 2 0 c3 o c 0 s9 o ；0 t
（2）2 c3 o s 0 ta 6 n 0 6 c6 o ；0 t
（3）5 c3 o 2 0 c t6 o 2 0 s s6 i n t 0 a 9 ；n 0
6.2 正切和余切
课堂小结
本节课了解了正切、余切的概念及tanA与 cotA的关 系，知道特殊角的正余切值及互为余角的正切值 与余切值的关系.
作业： 1．看教材P12～P14，培养学生看书习惯. 2．教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6．
4. 特殊角的三角函数值
你能推算出 30°、45°、60°角的正切值和余切值? 你能观察出互为余角的正切值与余切值的关系吗?
6.2 正切和余切
典型例题 例1 求下列各式的值： （1）2 si3n 0 3 ta 3 n 0 c4 o；t5 （2）co 24 s 5 ta6n 0 co 3．s 0
三角函数的图象PPT
交流电
交流电的电压和电流是时间的三角函数，用于产生和 传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域，波的传播和变化可以用三角 函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中，三角函数用于模 拟和分析各种振动现象，如桥梁 振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域，控 制系统中的信号处理和反馈控制 算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域，信 号的调制和解调常常涉及到三角 函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中，三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中，三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中，三角函数用于表示复数的三角形式，以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一 定的规律重复出现的现象。对于正弦 和余弦函数，其周期为360度或2π弧 度。
周期计算
对于正弦和余弦函数，其周期T=2π； 对于正切函数，其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数，偶函数在对称 轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x)，若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)； 若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
交流电的电压和电流是时间的三角函数，用于产生和 传输电力。
波动
在声学、电磁学等领域，波的传播和变化可以用三角 函数来描述。
在工程中的应用
机械振动
在机械工程中，三角函数用于模 拟和分析各种振动现象，如桥梁 振动、汽车悬挂系统等。
控制系统
在航空、航天、化工等领域，控 制系统中的信号处理和反馈控制 算法常常用到三角函数。
信号处理
在通信、雷达、声呐等领域，信 号的调制和解调常常涉及到三角 函数的应用。
在数学其他分支中的应用
微积分
01
在微积分中，三角函数用于求解微分方程、积分方程等数学问
题。
线性代数
02
在矩阵运算和特征值求解中，三角函数也经常被用到。
复数分析
03
在复数分析中，三角函数用于表示复数的三角形式，以及处理
与之相关的数学问题。
三角函数的周期性
周期性定义
三角函数的周期性是指函数值按照一 定的规律重复出现的现象。对于正弦 和余弦函数，其周期为360度或2π弧 度。
周期计算
对于正弦和余弦函数，其周期T=2π； 对于正切函数，其周期T=π。
三角函数的奇偶性
奇偶性定义
三角函数的奇偶性是指函数值在原点两侧是否对称的现象。奇函数在对称轴两侧的值互为相反数，偶函数在对称 轴两侧的值相等。
横向伸缩变换
总结词
在x轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
对于函数y=sin(x)，若图像在x轴方向上压缩为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)； 若图像在x轴方向上拉伸为原来的k倍，则新的函数为y=sin(kx)。
纵向伸缩变换
总结词
在y轴方向上伸缩函数的图像。
详细描述
高中数学人教B版 必修第三册 三角函数的定义 课件1
1
1
π
π
∴S△OPA+S△POB<S 扇形 OAB,∴2sin α+2cos α<4 ,即 sin α+cos α<2 .
π
∴1<sin α+cos α< .
2
方法点睛 要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有
情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.
π
变式训练利用三角函数线证明 α∈ 0, 2 时,sin α-cos α≤1.
大小顺序排列为
.
解析由如图的三角函数线知,|1 1 |=||<||,
2
2
π
7
8
2π
4
因为 π> π= ,所以||>||,
5π
2π
所以 cos 7 <sin 7 <tan 7 ,所以 b<a<c.
答案b<a<c
数形结合思想在三角不等式证明中的应用
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作三角
如何?
解析 直线y=2x经过第一、三象限,当角的终边在第一象限时,在角的终边上
取点P(1,2),则r= 12 22 = 5 ,
所以sin α=
2
2 2 5
1
5
=
,cos α= = ,tan α= =2.
1
5
5
5 5
当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(-1,-2),则r= (-1) 2 (-2) 2 = 5 ,
7.2.1三角函数的定义
最新课程标准：(1)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了
解任意角余切、正割、余割的定义．(重点)
1
π
π
∴S△OPA+S△POB<S 扇形 OAB,∴2sin α+2cos α<4 ,即 sin α+cos α<2 .
π
∴1<sin α+cos α< .
2
方法点睛 要证明一个问题是正确的,我们必须把它所包含的所有
情况逐一说明.若漏掉一种情况,整个证明过程就是不严密的.
π
变式训练利用三角函数线证明 α∈ 0, 2 时,sin α-cos α≤1.
大小顺序排列为
.
解析由如图的三角函数线知,|1 1 |=||<||,
2
2
π
7
8
2π
4
因为 π> π= ,所以||>||,
5π
2π
所以 cos 7 <sin 7 <tan 7 ,所以 b<a<c.
答案b<a<c
数形结合思想在三角不等式证明中的应用
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具.作三角
如何?
解析 直线y=2x经过第一、三象限,当角的终边在第一象限时,在角的终边上
取点P(1,2),则r= 12 22 = 5 ,
所以sin α=
2
2 2 5
1
5
=
,cos α= = ,tan α= =2.
1
5
5
5 5
当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点Q(-1,-2),则r= (-1) 2 (-2) 2 = 5 ,
7.2.1三角函数的定义
最新课程标准：(1)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了
解任意角余切、正割、余割的定义．(重点)
特殊的锐角三角函数课件
定理
正弦函数是周期函数，具有周期性。
余弦函数的公式和定理
定义
余弦函数是直角三角形中一个锐角的邻边的长度与斜边的 长度的比值。
公式
cos(α) = adjacent / hypotenuse
定理
余弦函数是周期函数，具有周期性。
THANKS
感谢观看
问题。
余切函数的图像
01
定义
余切函数是以角度为自变量，以直角三角形邻边与对边的比值为函数值
的函数。
02 03
图像特点
在直角坐标系中，余切函数的图像也是一条在区间(-∞,+∞)内的连续曲 线，并且在π/2+2kπ(k∈Z)处取得极大值，在-π/2+2kπ(k∈Z)处取得 极小值。
应用
在数学和工程领域，余切函数经常用于解决与三角形和多边形有关的几 何问题。
tan(x) = 对边长度 / 邻边长度
定义域
值域
在直角坐标系中，正切函数的定义域是{x | x ≠ kπ + π/2， k ∈ Z}，即除了kπ + π/2 以外的所有实数。
正切函数的值域是全体实数，即R。
余切函数定义
余切函数定义
余切函数（cotangent） 是指直角三角形中，一个 锐角的邻边与对边的比值 。记作cot(x)，其中x是一 个锐角。
正弦函数的图像
01
02
03
定义
正弦函数是以角度为自变 量，以单位圆上点的纵坐 标为函数值的函数。
图像特点
在直角坐标系中，正弦函 数的图像是一条在区间[1,1]内的连续曲线，周期 性重复且具有对称性。
应用
在物理和工程领域，正弦 函数经常用于处理振动、 波动等问题。
正弦函数是周期函数，具有周期性。
余弦函数的公式和定理
定义
余弦函数是直角三角形中一个锐角的邻边的长度与斜边的 长度的比值。
公式
cos(α) = adjacent / hypotenuse
定理
余弦函数是周期函数，具有周期性。
THANKS
感谢观看
问题。
余切函数的图像
01
定义
余切函数是以角度为自变量，以直角三角形邻边与对边的比值为函数值
的函数。
02 03
图像特点
在直角坐标系中，余切函数的图像也是一条在区间(-∞,+∞)内的连续曲 线，并且在π/2+2kπ(k∈Z)处取得极大值，在-π/2+2kπ(k∈Z)处取得 极小值。
应用
在数学和工程领域，余切函数经常用于解决与三角形和多边形有关的几 何问题。
tan(x) = 对边长度 / 邻边长度
定义域
值域
在直角坐标系中，正切函数的定义域是{x | x ≠ kπ + π/2， k ∈ Z}，即除了kπ + π/2 以外的所有实数。
正切函数的值域是全体实数，即R。
余切函数定义
余切函数定义
余切函数（cotangent） 是指直角三角形中，一个 锐角的邻边与对边的比值 。记作cot(x)，其中x是一 个锐角。
正弦函数的图像
01
02
03
定义
正弦函数是以角度为自变 量，以单位圆上点的纵坐 标为函数值的函数。
图像特点
在直角坐标系中，正弦函 数的图像是一条在区间[1,1]内的连续曲线，周期 性重复且具有对称性。
应用
在物理和工程领域，正弦 函数经常用于处理振动、 波动等问题。
相关主题
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邻 4）tanA 不表示“tan”乘以“A ”.
A的邻边
5） tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关.
一、思考：1、判断对错: BC （ 1)如图tanA= AC
如图 (2) tanA=
(3)tanA=
AC BC
（×） （×）
BC AB
(4)tanA=0.7m（√）
10 √ (5) tanB= （ ） 7
如果在Rt△ABC中, ∠C=90 °,那么
∠A的对边记作 a ∠B的对边记作 b ∠C的对边记作 c
1.tanA*cotA=1
2.tanB=cotA= b a 3.tanA=cotB= a
b
例题欣赏
驶向胜利 的彼岸
w例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯 比较陡? 甲 乙
6m ┐ 8m α 13m 5m ┌
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角形AB2C2有什么关系?
B1C 1 B 2C 2 (2) 和 有什么关系? AC 1 AC 2
B2
(3)如果改变B2在梯子上的位 置呢?由此你能得出什么结论?
A C2 C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形AB 2C2有什么关系?
倾斜角
水平宽度
铅 直 高 度
探索发现
1. 倾斜角越大——梯子陡 2.铅直高度与水平宽度
的比越大——梯子陡
理论应用于实际： 哪个梯子更陡？
A
E
5m
4m
B
F
3m
2m
从梯子的倾斜程度谈起
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的
距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么
办？你有什么锦囊妙计？
2.已知AC=√2BC ，则BC:AC = 1： √2
。
3.在 Rt⊿ABC中，已知两边长为1 ，2 ，则第三 边长为√3或√5
哪个梯子更陡？
B
E
（1）
（2）
5m
5m
A
F
2m
2.5m
D
哪个梯子更陡？
B E
（1）
4m
（2）
3.5m
A
F
1.5m
1.3m
D
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
独立感悟，勇于思考，才 能真正做到“温故而知新”， 从而成为驾驭学习的主人。
咋判断陡？
选哪个？
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
想一想
锐角三角函数（第一课时） w正切、余切的定义
源于生活的数学
你能比较 两梯子哪个 更陡吗？
驶向胜利 的彼岸
w从梯子的倾斜程度谈起
学习准备
1．在 Rt⊿ABC中∠C=90°, ∠A、 ∠B、∠C 的 对边分别是 a、b 、c ，若A=6 ，b=8 ，则c= 10 ；若a=5 ，c=10 ，则 b=5 √3
B1C 1 B 2C 2 (2) 和 有什么关系? AC 1 AC 2
B2
(3)如果改变B2在梯子上的位 置呢?由此你能得出什么结论 ?
A
C2 C1
∠A的正切
B
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, 那么∠A的对边与邻边的比 随之确定, 这个比叫做 ∠A的正切. 记作:tanA
∠A的对边
∠A的对边
A∠A的邻边 C
cotA
∠A的余切
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, 那么∠A的邻边与对边的比 随之确定, 这个比叫做 ∠A的余切. 记作:cotA
定义的几点说明：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一 个锐角.
2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，当只用 一个字母表示一个角时，记号里习惯省去角的符号“∠”。 但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示 为:tan∠1. 3） tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角 A的对边 形中锐角∠ A 的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 对
2.如图:求tanC=( C
(A) 1
5 (B) 6
B
) 4 ( C) 3
5 4
A
5
C
3
6 3 D
3、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大 100倍，tanA的值（ ） A、扩大100倍 B、缩小100倍
C、不变
D、不能确定
二. 填空: AC 1.tan B = BC
tan A =
BC
α 100m
i
w老师提示: 坡面与水平面的夹角称为 坡角,坡面的铅直高度与水平宽 度的比称为坡度i(或坡比),即 坡度等于坡角的正切.
60 3 i tan . 100 5
60m ┌
回顾、反思、深化： 1、正切的定义.
2、梯子的倾斜程度与tanA的关系。 （∠A和tanA之间的关系）. 3、数形结合的方法；构造直角三角形 的意识.
tanA
A ∠A的邻边
C
∠A的邻边
w老师提示:
tanA的值越大， ∠A越大，梯 思考 前面我们讨论了梯子的倾斜 生活中,常用一个锐 子越陡。即它们成正比关系！ 程度，梯子的倾斜程度与tanA 有 角的正切表示梯子 关系吗？ 的倾斜程度.
B
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
∠A的邻边 ∠A的对边
∠A的对边
独立 作业
知识的巩固、提高
P2 《启航》
必做题：基础过关精练1——10
选做题：能力拓展演练
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
结束寄语
数学要“品，做，悟”
A
C
B
AC
1 tanA· tanB =______
C
2.如图, ∠ACB=90°CD⊥AB.
AD tan∠ACD= CD
tanB=
AD AC CD CD BC BD
A
┌ D
B
摩拳擦掌
B
c
a
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
∠A的邻边 ∠A的对边
a b b a
∠A的对边
b
A∠A的邻边
在图中
cotA C
β
6 3 w解:甲梯中, tan 8 4 . 5 5 . w乙梯中, tan 132 5 2 12
w∵tanα>tanβ,∴甲梯更陡.
用数学去解释生活
驶向胜利 的彼岸
w如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例 如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升 高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
A的邻边
5） tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的 边长无关.
一、思考：1、判断对错: BC （ 1)如图tanA= AC
如图 (2) tanA=
(3)tanA=
AC BC
（×） （×）
BC AB
(4)tanA=0.7m（√）
10 √ (5) tanB= （ ） 7
如果在Rt△ABC中, ∠C=90 °,那么
∠A的对边记作 a ∠B的对边记作 b ∠C的对边记作 c
1.tanA*cotA=1
2.tanB=cotA= b a 3.tanA=cotB= a
b
例题欣赏
驶向胜利 的彼岸
w例1 下图表示两个自动扶梯,哪一个自动扶梯 比较陡? 甲 乙
6m ┐ 8m α 13m 5m ┌
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角三
角形AB2C2有什么关系?
B1C 1 B 2C 2 (2) 和 有什么关系? AC 1 AC 2
B2
(3)如果改变B2在梯子上的位 置呢?由此你能得出什么结论?
A C2 C1
想一想
B1
(1)直角三角形AB1C1和直角三角 形AB 2C2有什么关系?
倾斜角
水平宽度
铅 直 高 度
探索发现
1. 倾斜角越大——梯子陡 2.铅直高度与水平宽度
的比越大——梯子陡
理论应用于实际： 哪个梯子更陡？
A
E
5m
4m
B
F
3m
2m
从梯子的倾斜程度谈起
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的
距离B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么
办？你有什么锦囊妙计？
2.已知AC=√2BC ，则BC:AC = 1： √2
。
3.在 Rt⊿ABC中，已知两边长为1 ，2 ，则第三 边长为√3或√5
哪个梯子更陡？
B
E
（1）
（2）
5m
5m
A
F
2m
2.5m
D
哪个梯子更陡？
B E
（1）
4m
（2）
3.5m
A
F
1.5m
1.3m
D
在实践中探索新知
梯子在上升变陡过程中，倾斜 角，铅直高度与水平宽度的比 发生了什么变化？
独立感悟，勇于思考，才 能真正做到“温故而知新”， 从而成为驾驭学习的主人。
咋判断陡？
选哪个？
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
想一想
锐角三角函数（第一课时） w正切、余切的定义
源于生活的数学
你能比较 两梯子哪个 更陡吗？
驶向胜利 的彼岸
w从梯子的倾斜程度谈起
学习准备
1．在 Rt⊿ABC中∠C=90°, ∠A、 ∠B、∠C 的 对边分别是 a、b 、c ，若A=6 ，b=8 ，则c= 10 ；若a=5 ，c=10 ，则 b=5 √3
B1C 1 B 2C 2 (2) 和 有什么关系? AC 1 AC 2
B2
(3)如果改变B2在梯子上的位 置呢?由此你能得出什么结论 ?
A
C2 C1
∠A的正切
B
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, 那么∠A的对边与邻边的比 随之确定, 这个比叫做 ∠A的正切. 记作:tanA
∠A的对边
∠A的对边
A∠A的邻边 C
cotA
∠A的余切
在Rt△ABC中, 如果 锐角A确定, 那么∠A的邻边与对边的比 随之确定, 这个比叫做 ∠A的余切. 记作:cotA
定义的几点说明：
1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一 个锐角.
2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，当只用 一个字母表示一个角时，记号里习惯省去角的符号“∠”。 但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示 为:tan∠1. 3） tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角 A的对边 形中锐角∠ A 的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 对
2.如图:求tanC=( C
(A) 1
5 (B) 6
B
) 4 ( C) 3
5 4
A
5
C
3
6 3 D
3、在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大 100倍，tanA的值（ ） A、扩大100倍 B、缩小100倍
C、不变
D、不能确定
二. 填空: AC 1.tan B = BC
tan A =
BC
α 100m
i
w老师提示: 坡面与水平面的夹角称为 坡角,坡面的铅直高度与水平宽 度的比称为坡度i(或坡比),即 坡度等于坡角的正切.
60 3 i tan . 100 5
60m ┌
回顾、反思、深化： 1、正切的定义.
2、梯子的倾斜程度与tanA的关系。 （∠A和tanA之间的关系）. 3、数形结合的方法；构造直角三角形 的意识.
tanA
A ∠A的邻边
C
∠A的邻边
w老师提示:
tanA的值越大， ∠A越大，梯 思考 前面我们讨论了梯子的倾斜 生活中,常用一个锐 子越陡。即它们成正比关系！ 程度，梯子的倾斜程度与tanA 有 角的正切表示梯子 关系吗？ 的倾斜程度.
B
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
∠A的邻边 ∠A的对边
∠A的对边
独立 作业
知识的巩固、提高
P2 《启航》
必做题：基础过关精练1——10
选做题：能力拓展演练
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
结束寄语
数学要“品，做，悟”
A
C
B
AC
1 tanA· tanB =______
C
2.如图, ∠ACB=90°CD⊥AB.
AD tan∠ACD= CD
tanB=
AD AC CD CD BC BD
A
┌ D
B
摩拳擦掌
B
c
a
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
∠A的邻边 ∠A的对边
a b b a
∠A的对边
b
A∠A的邻边
在图中
cotA C
β
6 3 w解:甲梯中, tan 8 4 . 5 5 . w乙梯中, tan 132 5 2 12
w∵tanα>tanβ,∴甲梯更陡.
用数学去解释生活
驶向胜利 的彼岸
w如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例 如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升 高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: