复旦固体物理讲义-15Bloch定理和能带概念

~R l ~ ~ ˆ TR l n n n
用~符号放在字 母上表示矩阵
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Bloch定理和能带概念
• λ矩阵是以fn个相互正交本征函数为基的。可 由这些基函数，线性组合成新的基。在新的基 中，λ矩阵为对角形式对角化过程 R R R R , ,..., 0,..., 0 n n n n ,
l k R l k R m R p m p
l
l
• 注意：这里α必须是实数，所以k是实数！
* 否则，模不等于1 * 所以不衰减
• 注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未 与波矢相联系
* 后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量
• 于是
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• n 就是新的基函数，而Λ是平移算符T在新的 基函数下的本征值，它们的关系就与非简并的 情况相同， Λ也应该只是个相因子，因此，可 以写成 R l e ik R l
n
• 这种矩阵满足与平移算符相同的乘法规则
~R l ~R m ~R p ˆ ˆ ˆ TR l TR m TR p n n n
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周期性势场
• Bloch定理的适用 条件（三个近似）
晶体周期性结构
R R R
0 J 0 J'
1、绝热近似；2、单 电子近似；3、周 0 V r R 期性势场近似 J' * 如前两个中的任何 一个不成立，周期 性势场也不会成立
V r vel N r R 0 J
* 周期性势场中的薛定谔方程的解是否也有同样的平 移周期性？
• 这看上去是很自然的：既然V(r+R)=V(r)，似 乎应该有
2 [ r V (r )] n (r ) En n (r )
[ V (r R )] n (r R ) En n (r R )
2 r
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Sommerfeld也思考过同样的问题
• 经典电子比热被过高估计？成功！
* 当时也是不明白，对电流有很大贡献的自由电子， 为何对比热好象不起作用？ * 由于过多地估计了能够对比热有贡献的电子数量 用费米统计，成功地解释了比热问题
• 电子平均自由程过小估计？？
* 可比性会不会也是如此即能被离子散射的电子 数被过多估计，导致电子与离子的散射过于频繁？ 就是试图用只有费米能级附近电子能被离子散射 来解释电子几乎不受离子实散射这个事实
• Sommerfeld还局限在这个思路上，错失良机
真是成也费米分布，败也费米分布
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ˆ ), En : (T R n n
ˆ (H ˆ ) T ˆ (E ) T R n R n n
ˆ (T ˆ ) E (T ˆ ) H R n n R n
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非简并情况
• 既然如此，除了一个相因子外，两者应该相同
ˆ T Rl n Rl n
p
• 它们表示的是与格矢有关的相因子，因此，可 以写成 R l e i l • 这样就有 • 即
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e
i l
e
i ( m p )
l m p
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• 这说明，只有当相位因子α与格矢R满足线性 关系时，平移算符的本征值才满足这样的关系 • 因此，可将αl改写成对所有α相同的常矢量k 和Rl的乘积(如果一维，很容易理解，三维矢 量) k R
1 fn 11 12 1 R l , R l ,..., R l 0, R l ,..., 0 n2 f n n2 n21 n22 ... ... R Rl R R l l l n , n ,..., n 0, 0,..., n f n fn fn fn 1 fn 2 l l l l
* 即，V(r+R)=V(r)是否成立？
• 当然成立，V=0！对任何平移变换都不变！ • 那么它的解即平面波经平移变换应为
r R e ik r R e ik R e ik r e ik R r
• 很有意思！仅仅相差一个eik*Rl的相因子！ • 就按这个思路，看F. Bloch如何演绎Bloch定 理，Bloch定理只能得出这个结论
ik R l ˆ TR l n (r ) e n (r )
• 综合非简并和简并情况，我们都有
• 就是平移算符的本征值是一个与k和格矢有关 的相因子
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4、Bloch定理的表述
• 由平移算符的本征值方程
ik R l ˆ TR l n (r ) e n (r )
R
• 评论：
2
l
1
* 该方程是平移算符的本征值方程 * 本征值与格矢有关
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• 因为格矢满足 • 平移算符也满足
Rl Rm R p
ˆ T ˆ T ˆ T Rl Rm R p
• 作用在波函数上，就有
R R R
l m

0 J"


v r R
el N J
J
J
0 J'
R0 J
0 V ( r R el N J ) V r Fra Baidu bibliotek
V (r R ) V (r )
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2、周期势场下单电子波函数性质
• 设问：既然周期性势场，我们自然要推测：
• 两个哈密顿相等，它们的解是否也应该相等？
n r R ? n r
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• 错！
* 量子力学怎么表述的？
• 除了一个相因子外，两者相同！ • 但这个结论也因此并非一无是处！差那么一 点！换个对象看相因子 • 设问：对自由电子，是不是满足周期性势场？
n (k , r R l ) e
ik R l
n (k , r )
• 这就是说：当对单电子波函数进行一个R的平 移变换，除了相因子eik.R，其他不变 • 下面我们具体考察这个平移操作平移算符
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3、定理证明平移算符的本征值
ik R l
n (k , r )
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* Bloch定理确定了波函数的形式——不衰减的波
n
~R l
~R l Rl n n '


• 即在新的基函数下，平移算符对本征函数作用 后，有 fn
Rl Rl ˆ TR l n n ' n ' n n
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'1
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• 我们知道，对每一个ψ，总是存在一个常数矢 量k，使ψ是平移算符TR的本征值为eik.R的本征 函数
* 即平移算符的本征值也依赖于k，因此， k也是一个 描写状态的量子数——后面再与波矢相联系
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Bloch定理的数学形式 ˆ (k , r ) (k , r R ) T Rl n n l
3
2. 周期性势场中单电子波函数性质定理 3. 定理证明平移算符的本征值
4. Bloch定理的推论
5. 什么是能带？
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1、 Bloch定理所要解决的问题
• Bloch定理——能带理论的基础
* 1928年由年仅23岁的F. Bloch证明 * 由Schroedinger和Debye推荐，到莱比锡大学，跟 Heissenberg攻读博士学位，研究金属电导
• Bloch思考的问题
* 由自由电子气体知道，充满了离子实的金属内部对 电子运动来说，竟然好象是空的！简直难以想象！ * 离子既然能够把芯电子束缚得不能离开，但为何惟 独对价电子却好象视而不见呢？
• ？谁动了我的离子实？
* 判断：散射必存在！但为何观察不到散射的效果？ * 这个矛盾背后究竟隐含着什么？
e
ik R l
n (k , r )
• 这样的ψn(k,r)称为Bloch函数，其描写的电子 称为Bloch电子 • Bloch定理：周期性势场中运动的电子，其波 函数平移格矢Rl时，波函数增加一个eik.Rl的相 因子，即
n (k , r R l ) e
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R e ik R
l
l
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简并情况
• 如果是fn度简并的，即有fn个相互正交的本征函 数属于同一本征值，可以写成它们的线性组合
ˆ R l T R l n n ' n '
'1
fn
• 可通过上式用一个λ的矩阵表示
Rl Rl Rl , ,..., n1 fn n1 n11 n12 n1 Rl Rl l n2 R , ,..., n2 n21 n22 n2 f n ˆ TR l ... ... ... Rl Rl Rl n n fn n fn 1 , n fn 2 ,..., n fn fn fn
上讲回顾
• 能带理论的基础
* 绝热近似 * 单电子近似 * 周期性势场近似？
• 单电子近似
* Hartree-Fock方程 * 密度泛函理论+局域密度近似
• 密度泛函理论
* 电子分布函数作为变量观念改变带来问题的简化 * ？
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本讲内容
0 0 ˆ ˆ (H el H el-N ) (r, {R J }) E (r, {R J })
e 1, 1,2m 1
2
[ V (r )] n (r ) En n (r )
2
平移算符
V (r R ) V (r )
ˆ :r r R T R
H与T对 易，有共 同本征解
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Bloch正确地认识到——周期性势场
• Bloch摘到了果子——周期性势场中电子运动
* Bloch敏锐地觉察到：电子受到一个严格的周期性势 场的散射，因此不是无规的散射，而是一种相干散 射 * 受周期性势场的散射仅使电子波函数产生一个相因 子，因此，不会衰减！
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Bloch定理
• 单电子受这样的周期性势场散射
* 单电子同时意味着：它所受的离子势场和其他电子 的平均势场同时具有同样的周期性 * 单电子波函数的形式受到一定的限制运动性质
• Bloch定理
* 周期性势场中运动的单电子，当平移一个格矢Rl 时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子 eik.R ，即除了一个与格矢有关的相因子外都相同
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第15讲、Bloch定理和能带概念
1. Bloch定理所要解决的问题
* * * * * * 电子平均自由程？周期势场对电子的相干散射 由Bloch定理得到它所必须具有的形式 非简并情况 简并情况 推论一 推论二
Bloch定理和能带概念
• Bloch定理
* 能带理论的基础固体物理最核心的内容 从过程中可以看到，如何修正一个近似模型？ * Bloch定理要解决什么问题？ * Bloch定理的证明
平移对称性
平移算符与H有共同的本征解 平移算符的本征值所应有的形式 Bloch定理 电子波函数应该具有什么性质 两个重要推论