统计学变异指标
统计学第六章
N
i
X
N
第 i 个单位 的变量值
总体单 位总数
总体算术 平均数
【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、 520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。
解：
X
N
440 480 520 600 750 2790 558 元 5 5
i
A D
X X
（二）变量与算术平均数计算的方差小于变量与任何其他常 数的方差 （三）两个独立随机变量和的方差，等于这两个随机变量方 差的和 2 2 2
( x y ) x y
（四）变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的 平方 2 2 2
y a bx, y b x
第二节 全距、分位差和平均差 一、全距 指所研究的数据中，最大值与最小值之差， 又称极差。
R X max X min
最大变量值或最 高组上限或开口 组假定上限 最小变量值或最 低组下限或开口 组假定下限
【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为 440元、480元、520元、600元、750元，则
4. 反映了中间50%数据的离散程度;
5. 不受极端值的影响;
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 甲城市 回答类别 户数 (户) 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 24 108 93 45 30 累计频数 24 132 225 270 300 —
解：设非常不满意为 1,不满意为2, 一般为 3, 满意为 4, 非常满 意为5 。 已知
一、离中趋势的涵义 指总体中各单位标志值背离 离中趋势 分布中心的规模或程度，用 标志变异指标来反映。
反映统计数据差异程度的综 合指标，也称为标志变动度
统计学平均指标与标志变异指标
1 1 2
d Mo
上限公式：
Mo
U Mo
2 1 2
d Mo
第23页/共51页
（二）中位数（Me） ※ 中位数是将数列中的标志值按大小顺序
排列，处于中间位置的那个标志值。 ※ 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端
的标志值个数相等 ※ 中位数不受极端值的影响 ※ 当数列中出现极大标志值或极小标志值时，
极差是总体各单位标志值中最大值与最小 值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。
其计算公式为： R＝最大值－最小值
第31页/共51页
（二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从
变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。
常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。
bx a
22 x
即有：
3、如果两xy个变量x2 和独y2 立，它x2们y的代x2数和 y2的标准
差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数
第38页/共51页
4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有：
2 2 2
组内方差——反映组内部标志值对组平均数的方 差 组间方差——反映组平均数对总平均数的方差 总方差——表示总体第各39页标/共志51页值对总平均数的方差
（三）标准差和方差的数学性质
1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。
若a 为任意常数，则变y量 x a
的
标准
差和
方差与原
xa
变量相x，同，x2即a有:
2 x
第37页/共51页
2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y bx
的标准差和方差分别为原来的 b
统计学基础平均指标和变异指标
统计学基础平均指标和变异指标平均指标和变异指标是统计学中常用的两种指标，用于描述数据分布的中心趋势和离散程度。
在统计分析中，这两个指标的应用非常广泛。
1.平均指标：平均指标是用来表示数据分布的中心位置的指标，常见的平均指标有平均数、中位数和众数。
-平均数：平均数是指一组数据之和除以数据个数，表示了数据的平均水平。
平均数的计算方法是将所有数据相加，然后除以数据个数。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，平均数的计算方式为(2+3+5+7+10)/5=5.4-中位数：中位数是将数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，它划分了数据的中间位置。
如果数据个数为奇数，则中位数为排序后的中间值；如果数据个数为偶数，则中位数为排序后中间两个值的平均值。
中位数对于数据的极端值不敏感，适用于数据有异常值的情况，能够更好地表示数据的中心位置。
例如，对于一组奇数个数据：1，3，5，7，9，中位数为5；对于一组偶数个数据：2，4，6，8，中位数为(4+6)/2=5-众数：众数是一组数据中出现次数最多的数值，表示了数据中的高频值。
一个数据集可以有一个或多个众数。
如果一个数据集没有重复值，那么它没有众数。
例如，对于一组数据：1，2，3，4，4，4，5，众数为42.变异指标：变异指标是用来度量数据分布的离散程度，可以用来描述数据的稳定性和可变性。
常见的变异指标有极差、方差和标准差。
-极差：极差是一组数据的最大值和最小值之间的差异，表示了数据的全距。
极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，极差为(10-2)=8-方差：方差是一组数据与其平均数之间偏离程度的平均值的统计量，表示了数据分布的离散程度。
方差的计算公式是每个数值与平均数之差的平方之和除以数据个数。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，平均数为5.4，方差的计算方式为[(2-5.4)^2+(3-5.4)^2+(5-5.4)^2+(7-5.4)^2+(10-5.4)^2]/5≈7.04-标准差：标准差是方差的平方根，是一个衡量数据分布离散程度的指标。
统计学第五章(变异指标)
峰态及其度量
峰态定义
峰态是指数据分布的尖峭程度或扁平程度。在统计学中，峰态通常通过峰态系数 来度量。
峰态系数
峰态系数是描述数据分布峰态程度的一个统计量，通常表示为K。当K=3时，分 布呈正态分布，峰度适中；当K>3时，分布呈尖峰分布，即比正态分布更尖峭； 当K<3时，分布呈平峰分布，即比正态分布更扁平。
方差
要点一
定义
方差是在概率论和统计方差衡量随机 变量或一组数据时离散程度的度量， 用来度量随机变量和其数学期望（即 均值）之间的偏离程度。
要点二
计算公式
方差s^2=[(x1-x)^2+(x2x)^2+......(xn-x)^2]/n（x为平均数）。
要点三
性质
方差越大，说明随机变量取值越离散； 方差刻画了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度；若X的取值比较集 中，则方差D(X)较小，若X的取值比较 分散，则方差D(X)较大；因此，D （X）是刻画X取值分散程度的一个 量，它是衡量取值分散程度的一个尺 度。
变异系数的计算
01
注意事项
02
当数据集包含极端值时，变异系数可能会受到影响。
03
对于非正态分布的数据，变异系数的解释需谨慎。
变异系数的应用
比较不同数据集的离散程度
通过比较不同数据集的变异系数，可以评估它们 的相对波动程度。
在质量控制中的应用
通过计算产品质量的变异系数，计学第五章变异指
目
CONTENCT
录
• 变异指标概述 • 变异系数 • 极差、四分位差与平均差 • 标准差与方差 • 偏态与峰态的度量 • 变异指标在统计分析中的应用
01
变异指标概述
统计学名词解释
17.相对指标：也称相对数，就是将两个有联系指标的数值进行对比的结果；
18.时期数列：是由时期指标形成的，数列中的每个指标数值都是反映某种社会经济现象在一段时期内发展过程的总量；
29.简单随机抽样：这是按随机原则从总体N个单位中直接抽取n个单位做样本，使总体中每一个单位都有同等的可能性被抽中；
30.简单相关表：是资料未经分组的相关表，它是相关因素的标志值按照大小顺序并配合结果标志值一一对应而平行排列起来的统计表；
31.常住单位：是指在我国的经济领土上具有经济利益中心的经济单位；
88.组中值：指本组的上限与下限之间的中点值。它代表组内所有单位的标准值的平均水平。
89.次数分布：是指在统计分组的基础上，将总体的所有单位按组归类整理，并按一定顺序排列，形成总体单位在各组间的分布。
90.总体：按数量标志分组就形成变量分配数列，简称变量数列。
91.统计表就是用来表现统计资料汇总整理结果的汇总表。
92.累计次数：是指数列中高于或低于某一变量值的次数总和。
93.强度相对指标：是两个性质不同但是存在一定联系的指标的对比，用来反映事物的强度、密度和普遍程度的指标。
94.众数：是指总体中出现次数最多的标志值。
95.平均发展水平：将不同时期的发展水平加以平均而得的平均数叫平均发展水平，在统计上又称为序时平均数或动态平均数。
44.资本形成
：是指各机构单位通过经济交易获得或处理生产资产的行为；
45．因素分析法：它是利用指数体系，对现象的综合变动从数量上分析其受各因素影响的一种分析方法。
92变异指标医学统计学
体脂变异系数：
CV1
5.8 18.9
100%
30.69%
血清胆固醇变异系数：
CV2
1.036 100% 4.84
21.40%
体脂的变异程度高于血清胆固醇的变异程度
2023/12/29
12
常用指标的特点及其应用场合
指标
xs
Md Q Mo R
CV
特点
应用场合
精确，易受极端值影响 均匀分布的小样本数据或近似正态分布数据
变异指标
Index of Variation
2023/12/29
1
变异指标——又称离散指标，用以描述一组计量 资料各观察值之间参差不齐的程度。
变异指标越大，观察值之间差异愈大，说明平均 数的代表性就越差；反之亦然。
常用指标：极差、四分位数间距、方差、标准差、变 异系数等。
2023/12/29
2
一.极差
7
（二）标准差的定义
标准差即为方差的平方根，样本标准差符号为s，相应 的总体标准差符号为σ。
s x2 x2 n n 1
2023/12/29
8
三组同性别、同年龄儿童体重
甲组 26 28 30 32 34 乙组 24 27 30 33 36 丙组 26 29 30 31 24
丙组 3
乙组 2
稳定，不受特大或特小 值的影响
粗糙，不受极端数值的 影响
标准差与均数的比值， 无单位
应用范围广，特别是大样本偏态分布资料
小样本的探索性数据
比较不同资料或同类资料均数相差悬殊时变 异程度
2023/12/29
13
2023/12/29
14
甲组 1
0 20 24 28 32 36 40
SPSS实现经典统计学分析与变异系数偏度峰度等常用统计学指标计算
SPSS实现经典统计学分析与变异系数偏度峰度等常用统计学指标计算SPSS是一个广泛使用的统计软件，可以进行各种经典统计学分析和计算常用统计学指标。
1.经典统计学分析经典统计学分析是指通过描述性统计和推断统计方法对数据进行分析。
SPSS提供了各种分析方法，包括描述性统计、相关性分析、T检验、方差分析、回归分析等。
-描述性统计：描述性统计是对数据进行总体和样本的基本描述。
可以计算平均值、中位数、众数、标准差、方差、最大值、最小值等。
在SPSS中，可以通过选择Analyze菜单下的Descriptive Statistics来进行描述性统计分析。
-相关性分析：相关性分析用于检测两个或多个变量之间是否存在关联关系。
可以通过计算皮尔逊相关系数来衡量变量之间的线性关系。
在SPSS中，可以通过选择Analyze菜单下的Correlate来进行相关性分析。
-T检验：-方差分析：方差分析用于比较三个或多个样本均值是否存在显著差异。
可以进行单因素方差分析和多因素方差分析。
在SPSS中，可以通过选择Analyze菜单下的General Linear Model来进行方差分析。
-回归分析：回归分析用于建立一种变量和其他若干个变量之间的函数关系。
可以进行一元线性回归、多元线性回归和逻辑回归等。
在SPSS中，可以通过选择Analyze菜单下的Regression来进行回归分析。
变异系数、偏度和峰度是常用的描述性统计学指标。
-变异系数：变异系数是用来衡量样本观测值的变异程度大小的指标。
它是标准差与均值之比，通常以百分比表示。
在SPSS中，可以通过计算标准差和平均值来得到变异系数。
-偏度：偏度是用来衡量一个数据分布是否对称的指标。
正偏表示分布右尾较长，负偏表示分布左尾较长，零偏表示分布基本对称。
在SPSS中，可以通过计算偏度来得到偏度指标。
-峰度：峰度是用来衡量一个数据分布的离散程度的指标。
正峰表示分布具有较高的峰，负峰表示分布具有较低的峰，零峰表示分布具有与正态分布相同的峰度。
描述变异程度的统计学指标
描述变异程度的统计学指标《描述变异程度的统计学指标》概述：描述变异程度的统计学指标是用于衡量数据集内部差异的一组统计量。
这些指标帮助我们了解数据的分散程度，用以描述数据的变异程度及其稳定性。
本文将介绍几种常见的用于描述变异程度的统计学指标。
1. 平均数（Mean）：平均数是最常用的描述变异程度的指标之一。
计算方式是将所有数据值相加，然后除以数据的个数。
平均数能够提供数据集的集中趋势，但在面对异常值时容易受到干扰。
2. 方差（Variance）：方差是衡量数据集内部差异的另一个重要指标。
方差计算时首先求出每个数据值与平均数之差的平方，并将这些差值的平均数作为方差值。
方差值越大，表示数据集内部的差异程度越大。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它衡量数据集内部差异的一种常用指标。
标准差值越大，表示数据集内部的差异越大。
与方差相比，标准差更易于理解，并且在数据分析中更常用。
4. 极差（Range）：极差是变异程度的一种简单度量，它是数据集中最大值与最小值之间的差异。
极差提供了数据集取值范围的信息，但它忽略了数据值的分布情况。
5. 百分位数（Percentiles）：百分位数是描述变异程度的有用工具，它将数据集分成100个等分。
例如，第50百分位数（中位数）将数据集划分为两个等分，分别包含50%的数据。
分析不同百分位数之间的差异可以提供关于数据分布的更详细信息。
6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集划分为四等分的百分位数，其提供了数据集分布的更多信息。
第一四分位数将数据集划分为四个等分中的第一个，包含25%的数据，第三四分位数划分为四个等分中的第三个，包含75%的数据。
四分位数可以用来检测数据集中的异常值。
结论：描述变异程度的统计学指标提供了深入了解数据集内部差异程度的方法。
通过求取平均数、方差、标准差、极差、百分位数和四分位数等指标，我们可以更好地理解数据的变异程度及其稳定性。
变异指标和变量指标
变异指标和变量指标变异指标和变量指标是统计学中两个重要的概念。
变异指标，也称为变异性或离散性，是用于描述一组数据中各数据点之间差异程度的统计指标。
它反映了一组数据的分散程度或离散程度。
例如，在身高数据中，如果有些人的身高是160cm,有些人的身高是170cm,有些人的身高是180cm,那么这组身高的变异指标就会比较高，说明这些人的身高存在较大的差异。
变异指标常用的有极差、四分位数间距、方差、标准差等。
变量指标则是用于描述某个或某些被研究个体特征的指标，这些特征被称为变量。
变量的观察值称为变量值。
例如，在年龄数据中，“年龄”这个变量可以用来描述每个人的年龄大小，“性别”这个变量可以用来描述每个人的性别。
在统计学研究中，研究者会根据研究目的选择相应的变量进行研究。
变量的类型有很多，包括分类变量、连续变量、二元变量等。
变异指标和变量指标是统计学中的重要概念，它们在数据分析和研究中扮演着重要的角色。
变异指标是用来描述一组数据中各数据点之间差异程度的统计指标。
它可以帮助我们了解数据的离散程度或分散程度。
在研究实际问题时，变异指标可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而更好地分析数据的特征和规律。
例如，在研究人口年龄结构时，我们可以使用变异指标来衡量不同年龄段人口分布的差异程度，从而更好地了解人口年龄结构的特征和变化趋势。
变量指标则是用来描述某个或某些被研究个体特征的指标。
这些特征被称为变量，它们的观察值称为变量值。
变量指标在统计学中被广泛使用，因为它们可以帮助我们更好地了解数据的分布情况和规律。
例如，在研究人类行为时，我们可以使用变量指标来描述人的性别、年龄、职业等特征，从而更好地了解人类行为的特征和规律。
在实际研究中，变异指标和变量指标往往是结合使用的。
通过对变异指标的分析，我们可以了解数据的离散程度和分布情况；通过对变量指标的分析，我们可以了解数据的特征和规律。
这两种指标的结合使用可以帮助我们更好地理解和分析实际问题。
《统计学》第三章--统计指标
常住单位是在一国经济领土上具有经济利益中
心的机构单位。
机构单位是国民经济统计的基本经济单位，它 是能以自己的名义拥有资产、发生负债、从事经济 活动并与其它实体进行交易的经济实体。
“非常住单位”——也称为“国外” 。
经济领土是由一国政府控制的地理领土组成。 我国的经济领土—— 包括我国大陆的领地、领海、领空和位于国际水 域而我国具有捕捞和海底开采管辖权的大陆架、我 国住外使馆、领馆用地， 不包括位于我国领土范围内的外国使馆、领馆用 地及国际组织用地。
保险密度=保费/人口数 金融相关度（率）=金融资产总量/GNP
每万人口医院病床数
年份
每万人口医院病床数（张/万人）
2001 2002 2003 2004 2007
23.9 23.2 23.4 24.0 26.3
强度相对数的特点
相对数是惟一有单位（且为复名数）的相对数 （有的也用无名数形式）；
分子分母一般可以互换，故有正指标与逆指标之 分。
4.40 31.20 27.90 63.10
66.40
10.60
7.90 28.10 26.80 61.20
65.10
33.80 29.50 65.50
69.60
2.60 14.50
1.60 10.20
23.20 28.40
20.60 29.80
74.30 57.10
77.80 60.00
2.比例相对数——比例（结构性的比例）
•货币化程度=用货币支付的商品和劳务总量 / 全部商品和劳务总量
国家和地区
中国 日本 韩国
新加坡
美国 俄罗斯联邦
按三次产业分就业人员构成
第一产业
第二产业
统计学名词解释
10、统计整理：根据统计研究目的和统计分析的要求，使统计调查所获得的原始资料进行科学的分类和汇总，或对简单加工过的资料进行再加工，使之系统化、条理化，从而得出能够反映事物总体特征资料的工作过程。
11、统计分组：根据研究任务的需要和事物内在的特点，将统计总体按照一定的标志划分为若干组成部分的一种统计方法。
A60----70分这一组B70----80分这一组C60---70或70---80两组都可以D作为上限的那一组
4、2003年-----2004年间，甲单位的商品销售额平均增长速度是乙单位的103%，这是（B）
A比例相对指标 B比较相对指标 C强度相对指标 D动态相对指标
5、变量数列中的各组（单位数）表示我们所要考察（标志值）在各组中出现的次数，所以称为次数。
6、变量数列中各组标志值出现的次数称（频数），各组单位数占单位总数的比重称（频率）。
7、所谓同度量因素，就是在计算综合指数时，吧不能直接相加的（指标）过渡到可以总的指标的那个（媒介因素）。
8、编制时间序列应遵循的基本原则就是保证构成时间数列的（各个指标值）具有（可比）性
统计整理:根据统计研究的目的，把统计调查所搜集到的资料（原始资料、次级资料）进行科学的加工，使之系统化、条理化、科学化，从而得出能够反映事物总体特 征的资料的工作过程
统计分组：根据研究的目的和现象的内在特点，按某个标志（或几个标志）把被研究的总体分为若干不同性质的组。
抽样调查：是一种非全面，按随机原则从全部研究对象中抽取部分单位进行观察，并根据样本的实际数据对总体的数量特征作出具有一定可靠程度的估计和判断的一种统计调查方法。。
A相对数时间序列 B时期数列 C平均数时间数列 D时点数列
10、“首末折半法”适用于（B）
统计学第四章 综合指标
3、计划完成百分数的计算
A、计划数为绝对数。
绝对数的计划完成百分数 实际绝对水平 100% 计划绝对水平
某工业企业总产值资料如下表：
车 名
间 称
总产值（万元） 计划Hale Waihona Puke 实际数计划完成百分数 （%）
（甲）
甲 乙 丙
（1）
50 110 140
（2）
80 100 140
（3）=（2）/（1）
160.00 90.91 100.00
时期指标与时点指标的联系：
1、二者都属于总量指标。 2、二者通常是相互影响的。
总量指标的计算
总量指标的单位一般有: 实物量单位 价值量单位 劳动量单位
1. 实物单位是根据事物的自然属性和特点采用的计 量单位。 实物单位的分类： ①自然单位：它是按照研究现象的自然状况来计量其 数量的一种计量单位。 ②度量衡单位：它是按照同意的度量衡制度的规定来 计量客观事物数量的一种计量单位。 ③双重单位和复合单位：是指在需要同时采用两个或 两个以上单位来计量事物时采用的单位。 ④标准实物单位：按照统一折算的标准来度量被研究 现象数量的一种计量单位。
相对指标在统计分析中的作用：
• 相对指标为人们深入认识事物发展的质 量与状况提供客观的依据，社会经济现 象总是相互联系、相互制约的关系。 • 计算相对指标可以使不能直接对比的现 象找到可以对比的基础，进行有效的分 析。
二、相对指标的种类及计算方法：
1、结构相对指标： • 定义：是在资料分组的基础上，以总体 总量作为比较标准，求出各组总量占总 体总量的比重，来反映总体内部组成情 况的综合指标。
合
计
300
320
106.67
要求：计算各车间和全厂总产值的计划完成百分数。
标志变异指标
2、平均差的计算
（1）由未分组资料计算平均差
A.D. x x n （2）由分组资料计算平均差
1-10
A.D.
xx
f
f
标志变异指标
【例3.21】设某公司职工工资资料，如表所示：
组中值x（元）
750 1250 1750 2250 2750 3500 4500
合计
200名职工工资分配数列
职工人数f（人）
标志变异指标
第一步：确定第一四分位数、第三四分位数的位置。
第一四分位数的位置=
n 1 4
第三四分位数的位置=
3(n 1) 4
第二步：查找对应位置上的标志值，找到的标志值即为第一四分
位数和第三四分位数。
第三步：计算四分位差。
【例3.18】有一组有序的数列：65、68、71、72、75、75、76、 78、80、82、84、85、86、88、90，计算四分位差。
2、偏度的计算
V3 3
其中：
V3
(x
n
x )3
1-15
标志变异指标
【例3.24】根据50名学生的年龄资料计算偏度如表3.16所示
按年龄分组 x （岁）
18 19 20 21 22 合计
计算偏度。
人数 f （人）
5 8 24 9 4
50
由50名学生的年龄资料计算偏度
(x x)2
3.9204 0.9604 0.0004 1.0404 4.0804
是指在四分位数中，第三四分位数与第一四分位数之差。 2、什么是四分位数
在一组标志值由小到大排列的数列中，将该数列等分成四个 部分，处在分界点上的标志值称为四分位数，其中：第一个分界 点上的标志值称为第一四分位数；第二个分界点上的标志值称为 第二四分位数；第三个分界点上的标志值称为第三四分位数。 3、四分位差的计算 （11）-4由未分组资料计算四分位差
反映指标变异程度的指数
反映指标变异程度的指数【摘要】本文旨在探讨反映指标变异程度的指数，包括方差、标准差、离散系数、变异系数和范围。
方差是衡量数据离散程度的指标，标准差是方差的平方根，离散系数是标准差与平均值之比，变异系数则是标准差与均值的比值乘以100。
范围是最大值与最小值的差异度。
这些指数可帮助我们更准确地了解数据的分布和变异程度，从而做出更有针对性的分析和决策。
通过本文的探讨，读者将能够全面了解这些指数的概念、计算方法及其在实际应用中的重要性。
【关键词】引言、方差、标准差、离散系数、变异系数、范围、结论。
1. 引言1.1 引言变异程度是指一组数据在数值上的差异程度，反映了数据的波动情况。
在统计学中，我们通常使用一些指数来衡量数据的变异程度，从而更好地理解数据的特征和规律。
本文将介绍几种常用的反映指标变异程度的指数，包括方差、标准差、离散系数、变异系数和范围。
这些指数可以帮助我们对数据集的分布和波动情况有更全面的认识，从而为数据分析和决策提供依据。
在本文中，我们将分别介绍这些指数的定义、计算方法和应用场景，帮助读者更好地理解这些概念并在实际分析中加以运用。
通过本文的阐述，读者将能够更加深入地了解数据的变异情况，并能够利用这些指数来进行数据分析和判断。
数据的变异程度对于科学研究、商业决策和政府政策制定都具有重要意义，希望本文能够为读者提供一些帮助和启发。
2. 正文2.1 方差方差是统计学中一种用来度量一组数据离散程度的统计指标。
它是各个数据与其平均值之差的平方和的平均值。
在实际应用中，方差可以帮助我们了解数据集的散布情况，即数据的分布是否分散或集中在平均值附近。
方差的计算公式为：\[ Var(X) = \frac{ \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2} {n} \]\( X_i \) 代表第i 个数据点，\( \bar{X}\) 代表数据的平均值，n 表示数据点的个数。
方差的计算过程中，首先计算每个数据点与平均值的差值，然后将这些差值平方并求和，最后除以数据点的个数即可得到方差的值。
统计学第四章_平均指标和变异指标
=
f
=
A
x
nA
=
x
n
简单算均数是加权 算均数的一个特例
cyz
14
※关于加权算术平均数的几点说明
⑶权数作用的实质，不在于各组次数多少，
而在于各组次数占总次数的比重即权重系数 的大小。因此，加权算术平均数可采用权重 系数作权数。 x f x f xn f n x1 f1 x2 f 2 xn f n 公式： x = 1 1 2 2 = n
x = x n
cyz
=
20+21+22+24+25 5
= 22.4（件）
9
3.加权算术平均数(资料已分组）!
每人日产零件 数（件）Ｘ 16 17 工人数（人） ｆ 12 20 权重系数 f/∑f 0.12 0.20
18 19
20
30 23
15
0.30 0.23
0.15
合计
cyz
100
1.00
21
代表水平，反映数据分布的集中趋势。
一是根据各项数据来计算的平均指标，它能够概括反映所
有各项数据的平均水平，这种平均指标称为数值平均数。 二是把总体中处于特殊位置上的数据看做平均数，这种平 均值称为位置平均数。 数值平均数：算术平均数、调和平均数、几何平均数 位置平均数：众数、中位数
cyz
5
二.平均数的种类及计算
志总量，可用基本公式。
cyz 8
2.简单算术平均数(资料未分组）
若所给资料是总体各单位的标志值，则先将
各标志值简单相加得出标志总量，再除以标 志值的个数，求得平均数。 x1 x2 ... xn x 公式： x= = n n
医学统计学(课件)变异程度
（三）决定取单侧范围还是双侧范围值
有些指标如白细胞数过高或过低均属异常，故其参 考值范围需要分别确定下限和上限，称作双侧。有些 指标如24小时尿糖含量仅在过高、肺活量仅在过低时 为异常，只需确定其上限或下限，称作单侧参考值范 围。
异常 正常 单侧下限
正常 异常 单侧上限
异常
正常
异常
双侧下限 双侧上限
单（侧a)下白细限胞--数-过参低考值异范常围 单(侧b)上24小限时--尿-过糖高参考异值常范围双侧-(-c-过)肺高活、量参过考低值均范异围 常
（四）选择适当的百分范围
参考值的百分范围应根据资料的性质和研究目的选择， 它与诊断阈值有确定的关系。百分范围的不同将导致不同 的假阳性率和假阴性率。
图3-6 正常人和病人数据分布重叠
3.8 4.2 4.6
f (X )1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
5 5.4 5.8 X
0 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 X
图3-1 某地成年男子红细胞数的分布逐渐接近正态分布示意图
f (X ) ( fi / n) / Xi
f (X)
1
e
(
X 2 2
)
2
2
R甲 186 142 44(mmHg) R乙 166 159 7 (mmHg)
该法简单明了、容易使用，如用于说明传染病、食物中毒 等的最短、最长潜伏期等；缺点是结果不稳定。
（二）四分位数间距 (Quartile)
Q P75 P25
如由上一章例2.4 算出，50岁～60岁正常女性血清甘油三脂
指标的各种疾病及干扰因素，将这些人排除在外。例如在 制定血清谷－丙转氨酶活性正常值时，选取正常人的条件 为肝、肾、心、脑、肌肉等无器质性疾患，近期无特殊用 药史等。同时可能需要考虑性别、年龄、民族、地理位置 等因素。样本含量一般要较大，如n>120。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
100
25 0 81 100 306
xB x B ( xB x B)
-7
-5 1 5 6 —
甲 乙 丙 丁 戊
单位标志值对其算术平均数的离差的平方的 算术平均数的平方根，反映的是各标志值对 其平均数的平均差异程度。标准差是描述数 据离散程度的最常用的差异量。
分类：简单标准差 加权标准差
公式:
简单平均差：σ=
加权平均差:σ=
简捷计算：标志值数值较大、平均值未知，以 A为假定平均数(一般取靠近中间的标志值或组 中值)
因为B课程标准差较小，所以B课程平均分比A课程平均分代表性大。
根据变量数列资料计算
【例】根据某车间200名工人加工零件的资料，计算工 人的生产零件标准差。 表 按零件数 分组(个) 职工人 数(人)f
40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 合 计
20 40 80 50 10 200
2
f
380.25 90.25 0.25 110.25 420.25 —
7605 3610 20 5512.5 4202.5 20950
将表中计算结果代入公式，得到：
σ
( x x )2 f f
20950 10.23(个) 200
例、某企业工人日产量的标准差计算表(A=85,d=10)
90以下 90～100 100～110 110以上 合计
85 95 105 115 —
2 3 10 3 18
800 2500 17200 4400 24900
解：R X max X min 110 10 90 10 120 80 40 ﹪
全距的特点
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离 差的正负值问题，不便于数学处理和参与统计分析运算。
（ x x） 0 或 x x）f （
0
评价：平均差意义明确，计算容易，
反应灵敏。但计算时要用绝对值，不适合
代数运算，因此在进一步统计分析中应用
较少。
标准差
标准差 （standard deviation）：各
乙组：67
68
69
70
71
72
73
甲、乙两组工人的平均产量都为70件。
通过观察可以看出，甲组数据的变异程度较大， 乙组数据的变异程度较小。 也可以用图示的方法观察产量的变异情况：
甲组
产量差异 程度较大
70
结论： 标志变异程度和平均数的代表性呈反比关系。
乙组
产量差异 程度较小
70
举例：反映社会经济活动过程的均衡性
375
试问A、B 两课程的平均考分更有代表性？
解：x A
x
B
x x 30 6( 分/ 人） A.DA
A A
x x 24 4.8( 分/ 人) ∵ A.DA＞A.DB A.DB
B B
n
5
n
5
故，学生B 课程平均考分比A 课程平均考分更有代表性。
例、某纺织厂工人日产棉纱资料计算表 按日产 工人数 f Xf 组中值 X 量分组 (人) 50—60 55 275 5 65 2275 60—70 35 75 45 3375 70—80 15 85 1275 80—90 100 合 计 — 7200
合计
65 70 75 80 85
375
68 70 76 80 81
375
49
25 1 25 36 136
问A、B 那一门课程的平均考分更有代表性？ 解： 2
（ x x） σ
A
xA xB 75
n
306 61.2 7.82分 5
σB
2 （x x） 136 27.2 5.07分 5 n
同的影响，计算标志变异系数。
变异系数（V）： 是总体中变异指标与其算术平均 数之比，以反映标志值差异的相对水平。
按日产量 工人数 分组(公斤) (人) f 60 以下 10 60—70 19 70—80 50 36 80—90 27 90—100 14 100—110 8 110 以上 164 合 计 组中 值X
2 2 X 85 X 85 X 85 X 85 f f 10 10 10 10 -3 90 -30 9 -2 76 -38 4 -1 50 -50 1 0 0 0 0 1 27 27 1 2 56 28 4 3 72 24 9 — 371 -39 —
四、变异指标
一、变异指标的概念
概念：综合反映总体各单位标志值的差异程度
或离散程度。变异指标越大，表明数据越分散、
不集中；变异指标越小，表明数据越集中， 变动范围越小。变异指标反映现象总体总单位变
量分布的离中趋势。
一、变异指标的概念
变异指标（标志变动度）， 它是反映总体中各单位标
志值差异程度的综合指标。
55 65 75 85 95 105 115 —
σ
f
X A 2 d
f
f f
X A d 2
d
2
371 39 d 14.85(公斤) 165 164
3.标准差的作用
1、反映某总体各单位某种标志值的离散程度；
● ●
A课程考分： 65 B课程考分： 68 A组 65
● ●
x A 7 5（ 分 ）
xB
85
7 5( 分 )
变异大 变异小
75
● ● ●●
B组
二、标志变异指标的作用
1.它是衡量平均数代表性的尺度。
标志变异指标与平均数的代表性成反比，表明总体各单位
标志值的分散程度。即标志变异指标数值越大，平均数的代 表性越小。例
2、用于比较不同总体数值的均衡性或平均数的 代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平均 数代表性大小，这时：
标准差较大的总体，其标志变异程度也较大， 平均数的代表性较小，或社会经济活动过程的 均衡性或稳定性较差；反之，则相反。
评价：标准差是表示一组数据离散程度的最好指
标，是统计分析中最常用的差异量。
也不能拿来评价平均指标的代表性。
全距
计算： R=Xmax–Xmin
例、甲同学成绩全距R=93 – 70=22(分) 乙同学成绩全距R=98 – 51=47(分) 特点：计算方便，易于理解； 易受极端数值的影响。
对于组距数列，全距计算公式为： R≈最高组的上限值—最低组的下限值
【例2】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情 况如下，计算全距。 表 计划完成程度 （﹪） 组中值 （﹪）X 企业数 （个） 计划产值 （万元） f
平均差
平均差A.D （average deviation）：是总体
各单位标志对其算术平均数的离差绝对值的算术
平均数。它综合反映了总体各单位标志值的变动
程度。平均差越大，则表示标志变动度越大，反
之则表示标志变动度越小。
简单平均差：A.D=
xx
N
加权平均差A.D=
xx f f
根据未分组资料计算
均数不同，这时就不能用绝对指标（标准差）比
较它们的差异程度大小。 这时就要计算离散系数指标来比较它们之间的差别程度 大小。
变异系数
如果两个数列平均水平不同，或两个数列标志值 的计量单位不同时，要比较其数列的变动度（即比较 其数列平均数的代表性大小），怎么办？
注意：这时需消除平均水平不同或计量单位不
平均指标是说明总体各单位某一数量标志一般水平的综合指 标。但是，平均指标将总体各单位标志值的差异抽象化了，是
总体各单位标志值的代表水平，它不能反映总体各单位标志值
的差异情况。例如，
工人姓名 甲 乙 丙 丁 戊
奖金额（元） 460
数量标志
520