集合与函数知识点总结
数学必修一集合与函数概念知识点梳理
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高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念〖〗集合【】集合的含义与表示(1) 集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性(2) 常用数集及其记法N表示自然数集,N 或N表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集•(3) 集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M,或者a M,两者必居其一.(4) 集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合③描述法:{X| x具有的性质},其中x为集合的代表元素•④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合•(5) 集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集•②含有无限个元素的集合叫做无限集•③不含有任何元素的集合叫做空集()•【】集合间的基本关系)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有2n2非空真子集.【】集合的基本运算(1)(2)—元二次不等式的解法〖〗函数及其表示【】函数的概念(1) 函数的概念① 设A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合A 中任何一个数x , 在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合 A ,B 以及 A 到B 的对应法则f )叫做集合 A 到B 的一个函数,记作 f : A B .② 函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③ 只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.(2)区间的概念及表示法①设a,b是两个实数,且a b,满足a x b的实数x的集合叫做闭区间,记做[a,b];满足a x b的实数x的集合叫做开区间,记做(a,b);满足a x b,或a x b 的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做[a,b) , (a,b];满足x a, x a,x b,x b 的实数x 的集合分别记做[a, ),(a, ),( , b],( , b).注意:对于集合{x|a x b}与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须a b.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①f(x)是整式时,定义域是全体实数.②f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤y tanx中,x k (k Z).2⑥零(负)指数幕的底数不能为零.⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知 f (x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a g(x) b解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的•事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同•求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值.③判别式法:若函数y f (x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2b(y)x c(y) 0 ,则在a(y) 0时,由于x,y为实数,故必须有2b (y) 4a(y) c( y) 0 ,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【】函数的表示法(5 )函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6) 映射的概念①设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合 A , B以及A到B的对应法则f )叫做集合A到B的映射,记作f : A B .②给定一个集合A到集合B的映射,且a A,b B .如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.〖〗函数的基本性质【】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.③对于复合函数y f[g(x)],令u g(x),若y f(u)为增,u g(x)为增,则y f[g(x)]为增;若y f (u)为减,u g(x)为减,则y f[g(x)]为增;若y f(u) 为增,u g(x)为减,则y f [g (x)]为减;若y f (u)为减,u g (x)为增,则y f[g(x)]为减.函数f (x)的最大值,记作f max (x)② 一般地,设函数y f (x)的定义域为I ,如果存在实数 m 满足:(1)对于任意的x I ,都有f (x) m ; (2)存在x o I ,使得f(X o ) m .那么,我们称 m 是函数f (x)的最小值,记作f max (X ) m .【】奇偶性(4 )函数的奇偶性函数的性质定义图象 判定方法如果对于函数f(x)定义(1)利用定义(要域内任意一个x ,都有(a f (a))先判断定义域是否函数的ZTf( — x)= — f(x),那么函C-关于原点对称)奇偶性1 a"数f(x)叫做奇函数.(-a, f f-fi))(2)利用图象(图象关于原点对称)(3) 打"2”函数f (x) x - (a 0)的图象与性质x f (x)分别在(,a ]、[.a,)上为增函数,分别在 [.a ,0)、(0,、a ]上为减函数. 最大(小)值定义 ①一般地,设函数y f(x)的定义域为I ,如果存在实数 满足:(1)对于任意的x I ,都有 f(x) M ; (2)存在 x o I ,使得 f (X o ) M .那么,我们称 M②若函数f(x)为奇函数,且在x 0处有定义,则f(0) 0 .③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商) 是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域;②化解函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性) ;④画出函数的图象.利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幕函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.①平移变换h 0,左移h个单位y f(x)h o,右移ihi个单位y f(x h)v f(x)k 0上移k个单位y f(x)ky f(x)k 0,下移|k|个单位y f (x) k②伸缩变换y f(x) 01缩伸y f( x)y f(x)缩y Af(x)③对称变换y f(x)y f(x)y f(x)y f( x)(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系.(3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具•要重视数形结合解题的思想方法.。
集合与函数概念知识点总结
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集合与函数概念知识点总结集合是由一些元素组成的整体,元素之间无序且互不相同。
常用的集合符号有大括号{}表示,元素之间用逗号隔开。
例如,集合A={1, 2, 3}表示有元素1、2、3的集合A。
函数是一个特殊的关系,它规定了每个输入值都对应唯一一个输出值。
函数由输入集合、输出集合和映射关系构成。
例如,函数f(x) = x^2 表示输入值x经过平方运算得到对应的输出值f(x)。
1. 集合的性质:- 互异性:集合中元素互不相同。
- 无序性:集合中元素之间没有顺序。
- 没有重复元素:集合中不会包含相同的元素。
- 元素的个数:可以用集合的基数表示,用 |A| 表示集合A的元素个数。
2. 常见的集合表示法:- 列举法:用大括号{}将元素列举出来。
- 描述法:利用一个条件式来描述集合中的元素。
- 空集:不包含任何元素的集合,用∅表示。
3. 集合的运算:- 交集:两个集合中共有的元素构成的集合,用符号∩ 表示。
- 并集:两个集合中所有的元素构成的集合,用符号∪表示。
- 差集:从一个集合中去掉与另一个集合相同的元素构成的集合,用符号 - 表示。
- 补集:对于某个给定的全集,该全集中不属于某个集合的元素构成的集合,用符号 ' 表示。
4. 函数的性质:- 单射:对于函数中的每一个输出值,对应的输入值是唯一的。
- 满射:对于函数中的每一个输出值,都有对应的输入值。
- 双射:既是单射又是满射的函数。
5. 函数的表示法:- 函数箭头:用箭头来表示函数的映射关系,如f: A → B 表示函数f从集合A到集合B的映射。
- 函数图像:用图形表示函数的映射关系。
- 函数表达式:使用数学表达式来表示函数的运算规则,如f(x) = x^2 表示函数f对输入值x进行平方运算。
6. 函数的运算:- 复合函数:将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值,依次进行运算。
- 反函数:将函数的输入值和输出值互换,得到新的函数。
以上是集合与函数概念的基础知识点总结。
高中数学集合与函数知识点总结_
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高中数学集合与函数知识点总结_第一部分集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点?;2.数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;3.(1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n -1;非空真子集的数为2n-2;(2)注意:讨论的时候不要遗忘了的情况。
4.是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
第二部分函数与导数1.映射:注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
2.函数值域的求法:①分析法;②配方法;③判别式法;④利用函数单调性;⑤换元法;⑥利用均值不等式;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法3.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:① 若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a g(x) b解出② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于x [a,b]时,求g(x)的值域。
(2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据同性则增,异性则减来判断原函数在其定义域内的单调性。
4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
5.函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;⑵是奇函数f(-x)=-f(x);是偶函数f(-x)= f(x)⑶奇函数在原点有定义,则;⑷在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;⑸若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;6.函数的单调性⑴单调性的定义:①在区间上是增函数当时有;②在区间上是减函数当时有;⑵单调性的判定定义法:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图像法。
集合函数知识点
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一、集合1、 集合:某些具有共同属性的对象集在一起就形成一个集合,简称集。
元素:集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
2、集合的表示方法⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩列举法描述法图示法区间法集合的分类⎪⎩⎪⎨⎧空集:无限集:有限集:3、子集:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任意元素都是集合B 的元素,我们就说集合A 包含于集合B ,或集合B 包含集合A 。
也说集合A 是集合B 的子集。
即:若“B x A x ∈⇒∈”则B A ⊆。
子集性质:(1)任何一个集合是本身的子集;(2)空集是任何集合的子集;(3) 若B A ⊆,C B ⊆,则A C ⊆。
4、集合相等:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任意元素都是集合B 的元素,同时集合B 的任意元素都是集合A 的元素,我们就说A =B 。
即:若A ⊆B ,同时B ⊆A ,那么B A =。
5、真子集:对于两个集合A 与B ,如果A ⊆B ,并且A ≠B ,我们就说集合A 是集合B6、易混符号: ①“∈”与“⊆”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系 ②{0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合7、子集的个数:(1)空集的所有子集的个数是 1 个 (2)集合{a}的所有子集的个数是 2个 (3)集合{a,b}的所有子集的个数是4个 (4)集合{a,b,c}的所有子集的个数是8 个猜想: (1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少? (2){}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少?结论:含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是 2n,所有真子集的个数是2n-1,非空子集数为 2n-1 ,非空真子集数为 2n-2 。
8、交集定义:由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A 与B 的交集。
即:=B A {}x B x x A ∈∈且 。
9、并集定义:由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做A 与B 的并集。
高中数学知识点总结之集合与函数篇
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1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么?2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
{}{}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301 若,则实数的值构成的集合为B A a ⊂(答:,,)-⎧⎨⎩⎫⎬⎭1013 3. 注意下列性质:{}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n ()若,;2A B A B A A B B ⊆⇔== (3)德摩根定律:()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==,4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式的解集为,若且,求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。
()(∵,∴·∵,∴·,,)335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和()()∨∧若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假⌝p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么?).(⌝“非”(互为逆否关系的命题是等价命题。
)原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?(一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。
高一数学必修1知识点总结集合与函数
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高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集 B{x A A = ∅=∅ B A ⊆ B B ⊆并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈(1)A A A = (2)A A ∅= (3)A B A ⊇ AB B ⊇BA补集AC U{|,}x x U x A ∈∉且)()()()()()(B C A C B A C B C A C B A C UA C A A C A U U U U U U U U ===∅=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b+看成一个整体,化成||x a<,||(0)x a a >>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=(其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. ③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法yxo 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性(3)利用函数图象(在某个区间图象下降为减) (4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =为增,则[()]y f g x =为减.(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图像与性质()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数,分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M=.那么,我们称M 是函数()f x 的最大值,记作max ()f x M=.②一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥;(2)存在0x I ∈,使得0()f x m =.那么,我们称m 是函数()f x 的最小值,记作max ()f x m =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函..数..(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称)(2)利用图象(图象关于y 轴对称) ②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.1.下列四组对象,能构成集合的是 ( )A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ,b ,c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0},则M 与N 的关系是 . 4.设集合A=}{12x x <<,B=}{x x a <,若A ⊆B ,则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人, 两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。
集合与函数概念知识点归纳
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集合与函数概念知识点归纳
一、集合
1、定义:集合是一种特殊的数学概念,由一组无序的、相互独立的、具有相同特征的对象构成的。
2、术语:元素是集合中的每一个成员,例如:集合{1,2,3}中1,2,3
都是它的元素。
一个集合的元素称为它的子集,可以用一对大括号表示:{x,y,z}。
3、集合的关系:
(1)子集:如果一个集合包含另一个集合中的全部元素,称前者是
后者的子集。
(2)真子集:如果一个集合中包含另一个集合中的其中一元素,称
前者是后者的真子集。
(3)并集:并集是指两个集合中元素的总和,称为两个集合的并集。
(4)交集:交集是指两个集合中都包含的元素,称为两个集合的交集。
(5)补集:补集是指一个集合之外的其他元素,称为另一个集合的
补集。
4、集合的操作:
(1)加法:将元素加入到一些集合中,使得其包含的元素增加。
(2)减法:从一些集合中删除元素,使其包含的元素减少。
(3)求幂:将一些集合中的元素以其中一种方式考虑,得到一个新
的集合。
(4)合并操作:将两个集合中的元素合并成一个集合。
二、函数
1、定义:函数是一种特殊的数学概念,它表示两个变量之间的关系,当给定一个输入时,它可以将输入映射到一个输出。
2、术语:函数由函数表达式组成。
数学集合与函数知识点总结
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数学集合与函数知识点总结一、集合的基本概念1.1 集合的定义集合是指具有确定的特征和个数、可以确定归属关系的一组事物的总和。
集合中的元素可以是数字、字母、符号、实际事物或抽象概念等。
1.2 集合的表示方法集合可以用两种方式表示:列举法和描述法。
列举法是将集合的元素逐个列举出来,用大括号{}括起来表示;描述法是用适当的条件来表示集合的元素(x满足某个条件),一般用符号{}或者条件表达式表示。
1.3 集合的元素关系集合中的元素之间可以存在包含关系、相等关系和互不相交关系。
1.4 集合的运算常见的集合运算有并集、交集、差集、补集、直积等。
1.5 集合的基本性质集合的基本性质包括空集的唯一性、互补律、结合律、分配律、对称律等。
二、集合的性质和应用2.1 集合的性质集合的性质包括有限集合和无限集合、有穷集合和无穷集合、空集合和非空集合等。
2.2 集合的应用集合在数学和其他学科中都有很多应用,如概率论、图论、数理逻辑、离散数学等。
三、函数的基本概念3.1 函数的定义函数是一个元素集合到另一个元素集合的映射关系。
通常用f(x)表示函数,其中x是自变量,f(x)是因变量。
3.2 函数的图像函数的图像是函数的自变量和因变量的对应关系在平面直角坐标系中的表示,常用图形表示。
3.3 函数的特性函数具有单值性、有限性、相等性等特性,其中单值性是指每个自变量在函数中对应一个确定的因变量。
3.4 函数的表示方法函数可以用解析式、图象或者映射表示。
3.5 函数的分类函数可以按照定义域、值域、解析式的形式来分类,常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
四、函数的性质和应用4.1 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性、最值等。
4.2 函数的应用函数在数学和其他学科中有很多应用,可以用来描述现实生活中的变化规律,如物理学中的运动规律、经济学中的需求函数、生物学中的生长规律等。
五、数学集合与函数的综合应用5.1 集合与函数的关系集合与函数是数学中基本的概念,它们之间有着密切的关系。
集合与函数概念知识点总结
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集合与函数概念知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中的一个基本概念,它是由一些确定的元素构成的整体。
集合中的元素可以是任意对象,可以是数字、字母、符号、词语等。
集合的表示方式有两种:列举法和描述法。
集合的元素之间没有顺序关系,每个元素在集合中只能出现一次。
1.1 集合的符号表示集合用大写字母表示,例如A、B、C等。
如果一个元素x属于集合A,则用x∈A 表示;如果一个元素y不属于集合A,则用y∉A表示。
1.2 集合的列举法集合的列举法是将集合的所有元素一一列举出来。
例如,集合A={1, 2, 3, 4}表示A是由元素1、2、3、4组成的集合。
1.3 集合的描述法集合的描述法是通过描述集合元素的共同特征来表示集合。
例如,集合A={x|x是正整数,x<5}表示A是由小于5的正整数组成的集合。
二、集合的运算集合之间可以进行多种运算,包括并集、交集、差集和补集。
2.1 并集两个集合A和B的并集,表示为A∪B,包含了A和B中的所有元素,且每个元素只出现一次。
2.2 交集两个集合A和B的交集,表示为A∩B,包含了同时属于A和B的所有元素。
2.3 差集两个集合A和B的差集,表示为A-B,包含了属于A但不属于B的所有元素。
2.4 补集对于给定的全集U,集合A相对于U的补集,表示为A’,包含了属于U但不属于A的所有元素。
三、函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念,它描述了一个集合中的元素和另一个集合中的元素之间的对应关系。
函数可以看作是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
3.1 函数的符号表示函数用小写字母表示,例如f、g、h等。
如果集合A中的元素x经过函数f的映射得到了集合B中的元素y,则用f(x)=y表示。
3.2 定义域和值域函数的定义域是指函数中所有可能的输入值的集合,也就是函数的自变量的取值范围。
函数的值域是指函数中所有可能的输出值的集合,也就是函数的因变量的取值范围。
集合与函数概念知识点
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集合与函数概念知识点1. 集合的概念1.1 集合的定义集合是由一些明确的、互不相同的对象组成的整体,这些对象称为集合的元素。
1.2 集合的表示集合通常用大写字母表示,如 A, B, C 等。
集合中的元素用小写字母表示,如 a, b, c 等。
集合可以用大括号表示,例如 A = {a, b, c}。
2. 集合的分类2.1 有限集元素数量有限的集合称为有限集。
2.2 无限集元素数量无限的集合称为无限集。
2.3 空集不包含任何元素的集合称为空集,记作∅。
3. 集合间的关系3.1 子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素,则 A 是 B 的子集,记作 A ⊆ B。
3.2 真子集如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 A 和 B 不相等,则 A 是 B的真子集,记作 A ⊂ B。
3.3 并集集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合称为 A 和 B 的并集,记作A ∪ B。
3.4 交集集合 A 和集合 B 的公共元素组成的集合称为 A 和 B 的交集,记作A ∩ B。
3.5 差集集合 A 中不包含集合 B 元素的部分称为 A 和 B 的差集,记作 A - B。
4. 函数的概念4.1 函数的定义函数是一种特殊的关系,它将一个集合(定义域)中的每个元素映射到另一个集合(值域)中的唯一元素。
4.2 函数的表示函数通常用 f, g, h 等表示,元素 x 映射到元素 y 可以表示为y = f(x)。
5. 函数的分类5.1 一元函数定义域中只有一个变量的函数称为一元函数。
5.2 二元函数定义域中有两个变量的函数称为二元函数。
5.3 多元函数定义域中有多个变量的函数称为多元函数。
6. 函数的性质6.1 单射如果函数f: A → B 中,A 中的每个元素都有唯一的像,并且 B中的每个元素都是 A 中某个元素的像,则 f 是单射。
6.2 满射如果函数f: A → B 中,B 中的每个元素都是 A 中某个元素的像,则 f 是满射。
高一 集合 与 函数 知识点小结
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高中数学必修1知识点总结第一章 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集.(3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(6)子集、真子集、集合相等(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n-非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算(8)交集、并集、补集【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法0)【1.2.1】函数的概念(1)函数的概念①设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作:f A B→.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.(2)区间的概念及表示法①设,a b是两个实数,且a b<,满足a x b≤≤的实数x的集合叫做闭区间,记做[,]a b;满足a x b<<的实数x的集合叫做开区间,记做(,)a b;满足a x b≤<,或a x b<≤的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b,(,]a b;满足,,,x a x a x b x b≥>≤<的实数x的集合分别记做[,),(,),(,],(,) a a b b+∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b<<与区间(,)a b,前者a可以大于或等于b,而后者必须a b<.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①()f x是整式时,定义域是全体实数.②()f x是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.⑤tany x=中,()2x k k Zππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x的定义域为[,]a b,其复合函数[()]f g x的定义域应由不等式()a g x b≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义.(4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值③判别式法:若函数()y f x=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0a y xb y xc y++=,则在()0a y≠时,由于,x y为实数,故必须有2()4()()0b y a yc y∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值.⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值.⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系.(6)映射的概念①设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到B的映射,记作:f A B→.②给定一个集合A到集合B的映射,且,a Ab B∈∈.如果元素a和元素b对应,那么我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大(小)值(1)函数的单调性①定义及判定方法o②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数. ③对于复合函数[()]y f g x =,令()u g x =,若()y f u =为增,()u g x =为增,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为减,()u g x =为减,则[()]y f g x =为增;若()y f u =为增,()u g x =为减,则[()]y f g x =为减;若()y f u =为减,()u g x =(2)打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数,分别在[,0)、(0,]a 上为减函数.(3)最大(小)值定义 ①一般地,设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(x I ∈,都有()f x M ≤;(2)存在0x I ∈,使得0()f x M =.那么,我们称M 是函数()f x 作max ()f x M =.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反.④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.。
高中高一数学必修1各章知识点总结
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高中高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性:1.元素的确定性;2.元素的互异性;3.元素的无序性说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作aÏA列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{xÎR| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类:1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。
集合与函数基本概念例题和知识点总结
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集合与函数基本概念例题和知识点总结一、集合的基本概念集合是数学中一个基础且重要的概念,它是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合通常用大写字母表示,如 A、B、C 等。
集合中的元素用小写字母表示,如 a、b、c 等。
如果一个元素 x 属于集合 A,我们记作 x ∈ A;如果 x 不属于集合 A,记作 x ∉ A。
集合有多种表示方法,常见的有列举法、描述法和图示法。
列举法就是将集合中的元素一一列举出来,例如集合 A ={1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是用元素所满足的条件来描述集合,比如集合 B ={x | x 是大于 0 小于 10 的整数}。
图示法包括韦恩图等,能够直观地展示集合之间的关系。
集合之间的关系有子集、真子集、相等。
如果集合 A 的所有元素都属于集合 B,那么 A 是 B 的子集,记作 A ⊆ B;如果 A 是 B 的子集,且 B 中存在元素不属于 A,那么 A 是 B 的真子集,记作 A ⊂ B;如果A 和 B 的元素完全相同,那么 A 和 B 相等,记作 A = B。
下面通过一个例题来加深对集合概念的理解。
例 1:已知集合 A ={1, 2, 3},集合 B ={x | x² 6x + 8 = 0},判断 A 和 B 的关系。
首先求解集合 B 中的方程 x² 6x + 8 = 0,即(x 2)(x 4) = 0,解得 x = 2 或 x = 4,所以集合 B ={2, 4}。
因为集合 A 中的元素 1、3 不属于集合 B,集合 B 中的元素 2、4 不属于集合 A,所以 A 和 B 没有包含关系。
二、函数的基本概念函数是数学中另一个重要的概念,它描述了两个集合之间的一种对应关系。
设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 与之对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y = f(x),x ∈ A。
必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结
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必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性:(1) 元素的确定性如:世界上最高的山(2) 元素的互异性如:由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
◆ 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1) 列举法:{a,b,c ……} 2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{x ∈R|x-3>2} ,{x| x-3>2}3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类:(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x 2=-5}二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集注意:有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)实例:设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。
A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A)③如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④ 如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
集合与函数部分知识点
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函数部分知识点1、映射和函数定义 b 叫做a 的象(1)映射:B A f →: a 叫做b 的原象对于集合A 中每一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应(2)一一映射:B A f →:对于A 中的不同元素,在B 中有不同的象,而且B 中的每一个元素都有原象(3)函数是一个特殊的映射B A f →:(A 、B 是非空的数的集合)定义域:原象集合A ;值域:象的集合C (C ⊆B );解析式:)(x f y = x 是自变量 (对于x 取定义域内每一个确定的值,y 都有唯一确定的值和它对应) 2、解不等式(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式:利用一元二次函数图象如:)0(02>>++a c bx ax ①判别式042>-=∆ac b②方程02=++c bx ax 的两根()21x x < ③画图 ④写出解集:}|{21x x x x x ><或 (3)解分式不等式:先移项,通分把不等式右边变为0。
如:⎩⎨⎧≠≥⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 3、求函数解析式方法①已知简单函数求复合函数的代入法:已知xx x f 1)(-=,求)14(+x f ②已知复合函数求简单函数的换元法或配凑法:已知2(1)2f x x x +=+,求)(x f ③求特殊函数解析式的待定系数法: 正比例函数:)0(≠=k kx y ;反比例函数:)0(≠=k xky 一次函数:)0(≠+=a b ax y ;二次函数:)0)()(()0()()0(2122≠--=≠+-=≠++=a x x x x a y a h k x a y a c bx ax y 顶点()44,22ab ac a b -- ④方程组法;已知,)1(2)(x xf x f =+求)(x f⑤应用问题建模法:审题,建模,求解,作答4、求函数定义域的方法 (1)使函数式有意义的①分式的分母不为零;②偶次方根的被开方数大于等于零;③对数的真数大于零,底数大于零且不等于1; ④零次幂的底数不为零;⑤如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它们定义域是使各部分有意义的x 的值组成的集合; (2)复合函数的定义域①已知函数)(x f 定义域D ,求函数)]([x g f 的定义域,只需D x g ∈)(;如:已知)(x f 的定义域是]2,1[-∈x ,求)12(-=x f y 的定义域;②已知函数)]([x g f 的定义域,求函数)(x f 定义域,只需求)(x g 的值域。
高中数学集合与函数概念知识点总结
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高中数学集合与函数概念知识点总结第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示一、集合的含义我们先看一些实例:①1~20以内的所有质数(素数);有限集②到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点;③全体自然数;无限集④方程 x2+3x+2=0 的所有实数根;⑤某中学2019年9月入学的所有高一新生.分别归纳概括出它们具有什么共同特征?一般地,我们把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).通常用大写的拉丁字母 A,B,C,…表示集合,小写的拉丁字母 a,b,c ,…表示集合中的元素.注意:几种特殊的数集问题:如何理解“把一些元素组成的总体叫做集合”,这些集合里的元素必须具备什么特性?二、集合中元素的特性先思考以下两个问题:① 高一级身高较高的同学,能否构成集合? 否② 高一级身高160cm以上的同学,能否构成集合? 能③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合?否1.确定性:集合中的元素必须是确定的。
即确定了一个集合,任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。
(具有某种属性)如:高一级身高160cm以上的同学组成的集合.2.互异性:集合中的元素是互异的。
即集合元素是没有重复现象的。
(互不相同)如:2, 4, 2 这三个数不能组成一个集合,但2,4可组成集合.3.无序性:集合中的元素是不讲顺序的。
即元素完全相同的两个集合,不论元素顺序如何,都表示同一个集合。
(不考虑顺序)如:集合A:大西洋,太平洋,印度洋组成的集合集合B:印度洋,大西洋,太平洋组成的集合集合相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.三、元素与集合的关系高一级所有的同学组成的集合记为A, a是高一(7)班的同学,b是高二(7)班的同学,那么a与A,b与A之间各自有什么关系?四、集合的表示(1)自然语言表示法1~20以内的质数组成的集合(2)列举法例如,地球上四大洋组成的集合:{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}例1、用列举法表示下列集合:(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合;(3)由1~20以内既能被2整除,又能被3整除的所有自然数组成的集合.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为B,则B={0,1}(3)设所求集合为C,则C={6,12,18}集合的分类:有限集,无限集:你能用列举法表示不等式 x -7< 3 的解集吗?无限集(3).描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
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集合与函数概念知识点总结 【1.1.1】集合的含义与表示(1)集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法N 表示自然数集,N *或N +表示正整数集,Z 表示整数集,Q 表示有理数集,R 表示实数集. (3)集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈,或者a M ∉,两者必居其一. (4)集合的表示法①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x |x 具有的性质},其中x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系(7)已知集合A 有(1)n n ≥个元素,则它有2n 个子集,它有21n -个真子集,它有21n -个非空子集,它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A =∅=∅B A ⊆A B B ⊆ 并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈(1)AA A =(2)A A ∅= (3)A B A ⊇ A B B ⊇BA补集UA{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法(1)含绝对值的不等式的解法不等式 解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体,化成||x a <,||(0)x a a >>型不等式来求解(2)一元二次不等式的解法 判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a -±-=(其中12)x x <122b x x a ==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a ≠-R20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅ ∅〖1.2【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B()()()U U U AB A B =()()()UU U A B A B =中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →.②函数的三要素:定义域、值域和对应法则.③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞.注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须a b <.(3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数.②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2x k k Z ππ≠+∈.⑥零(负)指数幂的底数不能为零.⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出.⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法:①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值③判别式法:若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=,则在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥,从而确定函数的值域或最值.④不等式法:利用基本不等式确定函数的值域或最值.⑤换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题.⑥反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. ⑦数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. ⑧函数的单调性法.【1.2.2】函数的表示法(5)函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种.解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. (6)映射的概念①设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个元素,在集合B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的映射,记作:f A B →.②给定一个集合A 到集合B 的映射,且,a A b B ∈∈.如果元素a 和元素b 对应,那么我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象. 〖1.3〗函数的基本性质单调性与最大(小)值(1)函数的单调性函数的 单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x 1< x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.x 1x 2y=f(X)x y f(x )1f(x )2o (1)利用定义(2)利用已知函数的单调性 (3)利用函数图象(在某个区间图象上升为增)(4)利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x .1.< x ..2.时,都有f(x ...1.)>f(x .....2.).,那么就说f(x)在这个区间上是减函数.... y=f(X)y x ox x 2f(x )f(x )211(1)利用定义(2)利用已知函数的单调性 (3)利用函数图象(在某个区间图 象下降为减)(4)利用复合函数②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.【1.3.2】奇偶性(4)函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性 质定义 图象 判定方法函数的 奇偶性 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...-.f(x)....,那么函数f(x)叫做奇函..数.. (1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于原点对称)如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ,都有f(..-.x)=...f(x)....,那么函数f(x)叫做偶函数....(1)利用定义(要先判断定义域是否关于原点对称) (2)利用图象(图象关于y 轴对称) ②若函数()f x 为奇函数,且在0x =处有定义,则(0)0f =.③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反. ④在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数.〖补充知识〗函数的图象(1)作图利用描点法作图:①确定函数的定义域; ②化解函数解析式; ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ④画出函数的图象. 利用基本函数图象的变换作图:要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象. ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象,并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去(2)识图对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,注意图象与函数解析式中参数的关系. (3)用图函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.。