第五章对偶单纯形法 (1)
运筹学
1（单纯形法）例：Min Z=-2x1-x2+x3 , s.t. 3x1+x2+x360≤x1-x2+2x310≤,x1+x2-x320≤,xj 0≥,解析：对第一、二、三个不等式添加松弛变量x4 x5 x6,则原线性问题化成标准形形式为：（略）因为B=（A4 A5 A6）是一单位矩阵，且b=(60 10 20)T>0 所以基B 是可行基，x4 x5 x6为基变量，x1 x2 x3为非基变量，基B 对应的基本可行解为检验数02>=ξ，故当前解不是最优解，A1列中有三个元素a11 a21 a31 均为正数，取min ()313212111,,a b a b a b =min ()120110360,,=10故转轴元为a21,x1为进基变量，x5为出基变量，进行旋转后得下表（略）它对应的基本可行解为x=(10 0 0 30 0 10)T,其目标函数值为Z0=-20，但,032>=ξ仍不是最优解，（以下的过程跟前面一样）最后得Z0=-35，检验向量0<ξ故为最优解。
故基本可行解x*=(15 ,5 ,0 )Tm 目标函数值为Z0=-35。
2（两阶段法）例 max z=3x1+4x2+2x3 s.t. x1+x2+x3+x430≤, 3x1+6x2+x3-2x40≤, x24≥解：化为标准形形式为min z=-3x1-4x2-2x3 s .t.分别加x5 x6 x7松弛变量，因为该线性规划的系数矩阵的系数矩阵已包含两个单位向量，就是A5=（100）T ，A6=（010）T ，第一阶段只要增加一个人工变量x8得到辅助LP 问题为min g=x8 s.t .以下略，作如下表（略），将表中第三行加到关于g 的第0行中，得到第一张单纯形表（略）按单纯形迭代，表略，第一阶段结束，得到辅助问题的一个最优解，3（对偶单纯形法）例 min 2x1+3x2+4x3, s.t. x1+2x2+x33≥ 2x1-x2+3x34≥ x1 x2 x3 0≥,解：引进非负的剩余变量x40≥,x50≥,将不等式约束化为等式约束直接利用对偶单纯形法求解，b2=- 4<b1=-3,所以x5为出基变量，由以下比值决定进基变量min(3422,----)=21a ξ=1,所以x1为进基变量，以a21为转轴元进行旋转变换得下表（略）因为b1=-1<0,所以x4为出基变量，因为min( )所以x2为进基变量，以a12为转轴得表（略）此时b>0,故原问题最优解为x*=( )T,其最优值Z0=（） 4写出下面线性规划的对偶规划。
(完整版)对偶单纯形法详解
一、什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原始 线性规划的一种方法——在原始问题的单 纯形表格上进行对偶处理。
注意：不是解对偶问题的单纯形法！
二、对偶单纯形法的基本思想 1、对“单纯形法”求解过程认识的提升— —
从更高的层次理解单纯形法 初始可行基（对应一个初始基本可行解）
3 4
x1, x2 , x3, x4, x5 0
以此形式进行列表求解，满足对偶单纯形 法的基本条件，具体如下：
CB
XB
0
x4
0
x5
cj -2 -3 -4 0 0
xj b
x1 x2 x3 x4 x5
-3
-1 -2 -1 1 0
-4
-2 1 -3 0 1
-Z
0
-2 -3 -4 0 0
比
值 -2/-2 --- -4/-3 --- ---
2/5
11/5
-2 -3 -4 0 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 1 -1/5 -2/5 1/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
cj-zj
0
0 0 -3/5 -8/5 -1/5
最优解: X*=（11/5，2/5, 0, 0, 0）T，
最优值: minW= -maxZ* = -[11/5×(-2)+2/5×(-3)]= 28/5
将三个等式约束两边分别乘以-1，然后
列表求解如下：
CB
XB
0
y3
0
y4
0
y5
-Z
比
cj yj b
-3 -9 0 y1 y2 y3
00 y4 y5
-2
-1 -1 1 0 0
对偶单纯形法
把上述思想移植到对偶问题上。
对偶单纯形法迭代过程的实质是：保持对偶问题的可行性（只要检验数≤0即可）， 通过改变对偶问题的可行基，使原问题由不可行变为可行。根据对偶理论，这两 个可行解就是原始和对偶问题的最优解。
例2.4.1 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题。 min z = 15x1+24 x2 +5 x3
6 x2 + x3 ≥2
st.
5x1+2 x2 + x3 ≥1
x1 , x2 , x3 ≥0
解：把线性规划问题化为标准形式。
max z′ = －15x1－24 x2 － x3 +0 x4 +0 x5
-2/3是主元素， x3是换入变量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj
－15 －24 － 5
CB
XB
b
x1
x2
x3
-24
x2 1/4
-5/4
1
0
表 11
0
0
x4
x5
-1/4 1/4
5
x3 1/2 15/2
0
1
1/2 -3/2
(cj－zj) 或 j
-15/2 0
0
-7/2 -3/2
由于原始，对偶都已经可行，所以，表11对应的解是最优解。
求极大为标准形式时
min j
c
j
arj
z
j
arj
0
cs zs ars
求极小为标准形式时
min j
z
j c arj
j
arj
0
16.对偶理论（三）对偶单纯形法
16.对偶理论（三）对偶单纯形法⼉童节快乐呀这⼀部分我们考虑原问题是标准型的问题，并且介绍对偶单纯形法。
在上⼀节的强对偶定理的证明中，对标准型问题使⽤单纯形法，定义了对偶变量p为p T=c T B B−1。
然后由原问题最优性条件c T−c T B B−1A≥0T得到了等价表达的对偶可⾏性条件p T A≤c T。
那么我们之前介绍的单纯形法可以看作是在保证原问题可⾏的前提下去寻找对偶可⾏的解。
那么反过来，我们也可以从对偶可⾏的前提下去寻找原问题可⾏的解，这种算法称为对偶算法。
在接下来，将介绍对偶单纯形法。
并且说明这个算法事实上求解了对偶问题，更近⼀步，它是从对偶问题的⼀个基本可⾏解移动到另⼀个。
对偶单纯形法考虑⼀个标准型的线性规划问题，假设矩阵A是⾏满秩（为什么这个假设具有⼀般性，可参考线性规划中的⼏何（三））。
记B为基本矩阵，它包含了矩阵A的m个线性⽆关的列。
考虑下表(与之前介绍的单纯形法中的表⼀样)更详细的有不过，在这⾥不再要求B−1b是⾮负的，那就说明此时的解是⼀个原问题的基本解但不⼀定是可⾏解。
但是，我们要求¯c≥0成⽴，也相当于p T A≤c T成⽴（具体见上⼀节强对偶定理证明）。
这说明现在有了⼀个对偶问题的可⾏解，并且对偶问题的⽬标函数值为p T b=c T B B−1b=c T B x B，这恰好就是上表中的左上⾓元素的相反数。
如果不等式B−1b≥0也成⽴，那么这个解也将是⼀个原问题的可⾏解，并且⽬标函数值相同，这说明我们找到了原问题和对偶问题的最优解。
如果不等式B−1b≥0并不成⽴，那么我们将寻找下⼀个基矩阵。
找到满⾜x B(l)<0的l，考虑表中的第l⾏为pivot ⾏(x B(l)),v1,⋯,v n)，其中v i为B−1A i的第l个元素。
对于满⾜v i<0的所有i（如果存在的话），我们计算⽐率¯c i/|v i|，然后记j为这些⽐率中最⼩的那个的下标（为什么这么选呢，后⾯会说），也就是说v j<0且¯cj|v j|=min{i∣v i<0}¯ci|v i|.称v j为pivot 元素。
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
第4章05-对偶单纯形法
第4章05对偶单纯形法同学们，大家好，今天我们来学习对偶单纯形法。
我们先看一下对偶单纯形法的原理。
前面讲单纯形法的时候，我们知道，一个基B 如果是最优基，那么它必须满足下面的三个条件：（1）B 是可逆的；（2）B -1b ≥0；（3）C−C B B -1A ≤0。
（1）B 可逆；（2）10B b -≥；（3）10B C C B A --≤我们在用单纯形法进行求解的时候，是先找到一个满足了前两个条件的可行基，然后在迭代过程中再逐步满足第三个条件，从而找到最优解。
而对偶单纯形法是先找到一个基满足第一个和第三个条件，然后在迭代过程中逐步满足第二条，最后也同样找到最优解。
我们把满足第一和第三个条件的基称为正则基。
也就是说，单纯形法是先找一个可行基，然后逐步迭代找到最优基；而对偶单纯形法是先找一个正则基，然后再逐步迭代找到最优基。
关于对偶单纯形法，我们还需要注意下面三点：首先，在判定最优解时，单纯形法中根据的是检验数行，而对偶单纯形法中根据的是检验数列，也就是单纯形表中右端项的列。
第二，对偶单纯形法是求解线性规划模型的另一种方法，而不要简单的理解为对偶单纯形法就是求解对偶线性规划模型。
第三，使用对偶单纯形法时，需要先找到正则基，但实际上找一个正则基并不容易，所以，对偶单纯形法往往不单独使用，而是与第五章的灵敏度分析配合使用。
下面我们通过例4-7来说明对偶单纯形法是如何操作的。
例4-71212121212min 233436st.22,0z x x x x x x x x x x =+--≤-⎧⎪--≤-⎪⎨--≤-⎪⎪≥⎩第一步，先把它化成标准型，写出约束矩阵A ，右端项b ，以及价值向量C ，如下所示。
1234512312412512345max 200033436st.22,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =--++++-=⎧⎪+-=⎪⎨+-=⎪⎪≥⎩311004*********-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，362⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，()21000=--C 第二步，找初始基。
线性规划对偶理论(含影子价格)_21136
对 偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
对 称
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
x2 0,
x2
2
0
无界
关于无界性有如下结论： minW 4 y1 2 y2
原问题
问题无界
无可 行解
对偶问题 无可行解 无可行解
问题无界
y1 y2 2
（对）
y1
y1
y2 0, y2
1 0
无可 行解
原 : max Z x1 2x2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
〔1〕目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
〔2〕一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
〔3〕一个问题中的约束条件个数等于另一 个问题中的变量数
〔4〕原问题的约束系数矩阵与对偶问题的 约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规 划问题 的对偶 问题
〔4〕强对偶性〔最优解的目标函数之间的关系〕 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
用对偶单纯形法求对偶问题的最优解
用对偶单纯形法求对偶问题的最优解(共7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-用对偶单纯形法求对偶问题的最优解摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解.关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of TheDual ProblemAbstract：In the application of the linear programming， people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem. One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relationsbetween the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method1 引言首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点.2 对偶问题的形式对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题.对称形对偶问题设原线性规划问题为Max1122...n nZ c x c x c x =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx j n +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（）则称下列线性规划问题 Max 1122...m m W b y b y b y =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y cy j m +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（）为其对偶问题，其中(1,2,...,)i y i m =称其为对偶变量，并称（）和（）式为一对对称型对偶问题.原始对偶问题（）和对偶问题（）之间的对应关系可以用表2-1表示.这个表从横向看是原始问题，从纵向看使对偶问题.用矩阵符号表示原始问题（）和对偶问题（）为 CX Z =max原问题 ⎩⎨⎧≥≤0X b AX （）Yb W =min对偶问题 ⎩⎨⎧≥≤0Y C YA （） 其中()12,,...,m Y y y y =是一个行向量. 非对称对偶问题线性规划有时以非对称形式出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，我们从一个具体的例子来说明这种非对称形式的线性规划问题的对偶问题的建立方法.例1 写出下列原始问题的对偶问题43214765max x x x x Z ++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥-≥++--≤-+--=--+)4,3,2,1(032417281473672432143214321j x x x x x x x x x x x x x j解： 第一约束不等式等价与下面两个不等式约束724321-≤--+x x x x 724321≤++--x x x x 第二个约束不等式照写147364321≤-+-x x x x 第三个不等式变成32417284321≤--+x x x x以 121123,,,y y y y 分别表示这四个不等式约束对应的对偶变量，则对偶问题为 32211131477min y y y y W +++-= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--+-≥-++--≥+--≥++-0,,,427746173225286322111322111322111322111322111y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y令 12111y y y =-，则上式的对偶问题变为：3213147min y y y W ++-=12312312312323162852317647724,0,y y y y y y y y y y y y y y y ++≥⎧⎪-+≥-⎪⎪-+-≥⎨⎪---≥⎪≥⎪⎩无符号限制一般可以证明，若原问题中的某个变量无非负限制，则对偶问题中的相应约束为等式. 3 对偶单纯形法对偶问题求解具有重要的意义，有多种方法解决对偶问题.下面介绍用对偶单纯形法来解决线性规划的对偶问题.先介绍以下几个线性规划的基本概念[]6：基： 已知A 是约束条件的m n ⨯系数矩阵，其秩为m .若B 是A 中m m ⨯阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B 是线性规划问题中的一个基.基向量：基B 中的一列即称为一个基向量.基B 中共有m 个基向量. 非基向量：在A 中除了基B 之外的一列则称之为基B 的非基向量. 基变量：与基向量相应的变量叫基变量，基变量有m 个.非基变量：与非基向量相应的变量叫非基变量，非基变量有n m -个. 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解.首先重新回顾一下单纯形法的基本思想，其迭代的基本思路是：先找出一个基可行解，判断其是否为最优解，如果不是，则转换到另一更优的基可行解，并使目标函数值不断优化，直到找到最优解为止.我们可以用另一种思路，使在单纯形法每次迭代的基本解都满足最优检验，但不一定满足非负约束，迭代时使不满足非负约束的变量个数逐步减少.当全部基变量都满足非负约束条件时，就得到了最优解，这种算法就是对偶单纯形法.因此，单纯形法是从一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优条件为止.对偶单纯形法是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索出最优解.在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失.现把对偶单纯形法的基本步骤总结如下[3]:第一，把所给的线性规划问题转化为标准型；第二，找出一个初始正则基0B ，要求对应的单纯形表中的全部检验数0j σ≤，但“右边”列中允许有负数；第三，若“右边”列中各数均非负，则0B 已是最优基，于是，已求得最优解，计算终止.否则转为第四步；第四，换基：“右边”列中取值最小（即负的最多）的数所对应的变量为出基变量.计算最小比值θ.最小比值出现在末列，则该列所对应的变量即为进基变量，换基后得新基1B ，以出基变量的行和进基变量列交点处的元素为主元进行单纯形迭代，再转入第三步.下面用一个例子具体说明用对偶单纯形法求线性规划问题最优解的步骤： 例1 求解线性规划问题 min 12315511W y y y =++;1231231233225524,,0y y y y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩添加松弛变量以后的标准型 min 12315511W y y y =++12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ++-=⎧⎪++-=⎨⎪≥⎩ 将每个等式两边乘以-1，则上述问题转化为 min 12315511W y y y =++;12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ---+=-⎧⎪---+=-⎨⎪≥⎩如果取()045,B Y y y =作为初试基变量，有如下初试单纯形表（表）由此可见，两个基变量45,y y 均取负值，所以，0B 所确定的基本解不是基可行解，从而也就不能用单纯形法求解.下面我们用一种新的方法对偶单纯形法求解此题，并通过例题来说明方法步骤.对偶单纯形法的基本思想：是保证检验数行全部非正的条件下，逐步使得“右边”一列各数变成非负.一旦“右边”一列各数均满足了非负条件（即可行性条件），则就获得最优解.现在，0B 不是可行基（称为正则基），为保证上述方法的实现，可按下面的方法确定出基变量和进基变量.出基变量的确定 可以取任意一个具有负值的基变量（一般可取最小的）为出基变量.在上例中，两个基变量()45,y y 都取负值，且45y =-最小，故 4y 为出基变量.现在考虑出基变量所对应的负所有元素 0ij a <，对每个这样的元素作比值jija σ'，令 30min 0j ij j n ij ija a a σσθ≤≤⎧⎫⎪⎪'=≤=⎨⎬''⎪⎪⎩⎭ （） 则 3x 为进基变量.在表2-4中，基变量 4y 所在的行有三个ij a '取负值，其值分别为-3，-2，-2.它们对应的检验数分别为-15，-5，-11. 于是212155115min ,,3222a σθ---⎧⎫===⎨⎬---⎩⎭ 由此可知， 2y 为进基变量.主元素为 2ija '=-，对表2-1进行一次迭代便得表2-2，在表2-2的（1）中，基变量 3y 所取之值 2302b '=-<，故 3y 为出基变量.又21215561522min ,,711722a σθ⎧⎫--⎪⎪-===⎨⎬'-⎪⎪--⎩⎭故 3y 是进基变量；，主元为 2172a '=-.对（1）再作单纯形变换，得表3-1之（2）.由于它的“右边”已列出全部非负，故它就是最优表.最优解为：137y '=，2137y '=， 3450y y y '''===；最优值 1107w '=.然而在有些问题中，我们很容易找到初始基本解，因此使用对偶单纯形法求解线性规划问题是有一定条件的，其条件是：(1) 单纯形表的b列中至少有一个负数.(2) 单纯形表中的基本解都满足最优性检验.对偶单纯形法与原始单纯形法相比有两个显著的优点：(1) 初始解可以是不可行解，当检验数都非正时，即可进行基的变换，这时不需要引入人工变量，因此简化了计算.(2) 对于变量个数多于约束方程个数的线性规划问题，采用对偶单纯形法计算量较少.因此对于变量较少、约束较多的线性规划问题，可以先将其转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.对变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单纯形法进行计算可以减少计算的工作量.因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将此问题转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.用对偶单纯形法求解线性规划问题的标准型，要求初始单纯形表检验数行的检验数必须全部非正，若不能满足这一条件，则不能运用对偶单纯形法求解.对偶单纯形法的局限性主要是，对大多数线性规划问题来说，很难找到一个初始可行基，因此这种方法在求解线性规划问题时，很少单独应用.参考文献：[1] 吴祈宗．运筹学学习指导及习题集[M] ．北京：机械工业出版社，2006．[2] 孙君曼，冯巧玲，孙慧君，等．线性规划中原问题与对偶问题转化方法探讨[J]．郑州:工业学院学报（自然科学版），2001，16(2):44~46．[3] 何坚勇．运筹学基础．北京：清华大学出版社，2000．[4] 周汉良，范玉妹. 数学规划及其应用．北京：冶金工业出版社．[5] 陈宝林．最优化理论与算法(第二版) ．北京：清华大学出版社，2005．[6] 张建中，许绍吉. 线性规划. 北京：科学出版社，1999.[7] 姚恩瑜，何勇，陈仕平．数学规划与组合优化．杭州：浙江大学出版社，2001．[8] 卢开澄．组合数学算法与分析．清华大学出版社， 1982．[9] Even． Shimon． Algzithmic Combinatorial． The Macmillan Company， New York， 1973．[10] J．P．Tremblay， R．Manohar．Discrete Mathematical Structures with Applications to Computer Science， 1980．[11] 李修睦．图论．华中工学院出版社， 1982．[12] Pranava R G．Essays on optimization and incentive contracts[C]．Massachusetts Institute of Technology， Sloan School of Management: Operations Research Center， 2007: 57- 65．[13] Schechter，M．A Subgradient Duality Theorem，J．Math Anal Appl．，61(1977)，850-855．[14] Maxims S A． Note on maximizing a submodular set function subject to knap sack constraint[J]． Operations Research Letters，2004， 32 (5) : 41 - 43．[15] Schechter，M．More on Subgradient Duality，J．，71(1979)，251-262．[16] Nemhauser GL， Wolsey L A， Fisher M L．An analysis of approximations formaximizing submodular set functionsII[J]．Math．Prog．Study， 1978， 8: 73 - 87．[17] SviridenkoM．A note on maximizing a submodular set function subject to knap sack contraint[J]．Operations Research Letters，2004， 32: 41 - 43．[18] 卢开澄．图论及其应用．北京：清华大学出版社，1981．[19] 张干宗．线性规划（第二版）．武汉：武汉大学出版社，2007．[20] 周维，杨鹏飞．运筹学．北京：科学出版社，2008．[21] 宁宣熙．运筹学实用教程（第二版）．北京：科学出版社发行处，2009．。
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
第五章 线性规划(1)
线性规划问题的标准形式：
n
min cj xj j 1
(3.1)
(LP)
n
s.t. aij x j bi j 1
i 1,2, ,m (3.2)
xj 0
j 1, 2, , n (3.3)
令 c (c1,c2, , cn )T --- 价 格 系 数 或 成 本 系 数 ，
min cT x s.t. Ax b
x0
记标准线性规划的约束集合 S {x | Ax b, x 0}， A Rmn ， b Rm, m n . 可行解， 可行域 最优解：使目标函数（3.1）达到最小值的可行解. 基 ： 设 A 为 mn 阶 的 系 数 矩 阵 ， m n ， Rank(A) m ， B 是矩阵 A 中的 m m 阶的满秩子 矩阵，称 B 是线性规划问题的一个基.
解：对于上述具有两个变量的线性规划问题，
下图的阴影部分描述了满足约束条件的区域，为
OABCD;红虚线为目标函数 Z= z 2x1 3x2 的等值 线。沿箭头方向移动目标函数的等值线，
平移等值线直至与可行域 OABCD 相切或融合为
一条直线，此时就得到最优解为 C 点，其坐标可
通过解方程组得到： x2
变量 xni 0 ，把上述约束化为等式约束
n
aij x j xni bi ；
j 1
4.若第 i 个等式约束中 bi 0 ，则用（-1）乘该等 式两端；
5.若 x j 为自由变量，可令 xj uj v j ,uj 0,v j 0 ， 把它代入目标函数和约束函数。
量称为非基变量.
基本解：在约束方程组（3.2）中，令所有非基
变量取零，由 m 个约束方程可解出 m 个基变量
对偶问题的单纯形法
对偶问题的单纯形法关键信息项：协议编号：____________________________签署日期：____________________________甲方（委托方）信息：姓名/公司名称：____________________________身份证号码/法人代表证件号码：____________________________联系地址：____________________________电话号码：____________________________电子邮箱：____________________________乙方（承接方）信息：姓名/公司名称：____________________________身份证号码/法人代表证件号码：____________________________联系地址：____________________________电话号码：____________________________电子邮箱：____________________________问题描述：对偶问题的形式：____________________________目标函数：____________________________约束条件：____________________________变量范围：____________________________服务内容：提供的服务（如模型构建、求解算法实现等）：____________________________服务详细描述：____________________________时间安排：服务开始日期：____________________________服务结束日期：____________________________重要里程碑及时间节点：____________________________费用及支付方式：总费用：____________________________付款方式（如银行转账、支票等）：____________________________付款时间安排：____________________________权利与义务：甲方的权利与义务：____________________________乙方的权利与义务：____________________________保密条款：保密信息定义：____________________________保密期限：____________________________违约责任：违约金：____________________________违约条款：____________________________争议解决：争议解决地点：____________________________争议解决方式（如仲裁、诉讼）：____________________________协议的变更与终止：变更条件：____________________________终止条件：____________________________协议的有效性：协议生效日期：____________________________协议有效期：____________________________其他约定：其他条款：____________________________协议1. 协议目的本协议旨在明确甲方委托乙方处理与对偶问题相关的单纯形法应用服务，包括对偶问题的建模、求解和分析，以确保双方在服务过程中的权利与义务得到明确和保障。
第五章线性规划问题的灵敏度分析
cj→
23 0
CB XB b x1 x2 x3
00
θ
x4
x5
2 x1 4 1 0 0 1/4 0
0 x5 4 0 0 -2 1/2 1
3 x2 2 0 1 1/2 -1/8 0
-z -14 0 0 -3/2 -1/8 0
20
解 把改进工艺结构的产品Ⅰ看作产品Ⅰ′，设x1′为其产量。 参照增加一个变量时的计算步骤
5 x2 100 -3/4 1 11/4 0 0 -3/4 1
1300 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1
cj-zj -3.25 0 -2.75 0 0 -0.25 -1
以b2为例, x6是对应的初始基变量，所以有
max
100 0.25
,
200 1
b2
min
8
例2：max f (x) (2 1)x1 (3 2 )x2
2x1 3x2 12
s.t.
4 x1
16 5x2 15
x1, x2 0
试求价值系数变化范围为多少时原问题最优解不变
9
上例题的最优单纯形表为：
2 3 0 00
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 2 X1 3 1 0 1/2 0 -1/5 0 x4 4 0 0 -1/2 1 4/5 3 x2 3 0 1 0 0 1/5 OBJ=15 cj-zj 0 0 -1 0 -1/5
0 P1 B1P1 2 0.5
0.25 0.5 0.125
0 2 1.25 1 5 0.5 0 2 0.375
– 计算 x6 的检验数可知生产是否
对偶单纯形法(经典运筹学)
解：问题化为标准型 max Z 2 x1 x 2 5 x1 x 2 x3 2 x 2 x3 x 4 5 s.t 6x xx 9 xx 2 2 6 x3 3 5 5 9 44 x1 , x 2 , x3，x 4，x5 0
X1 X2 X3 X4 X 5
2 检 0 1 -1 1 2 -4 0 -2 1 1 -6 0 0 1 0 0 0 0 1
Z Z-10
X1 1 X4 0
5 5 -9
X5 0
4
14 13 X1 X 2 X 3
检
X1 X4
0 1 0 0 0 0 0 1
X4
X5
-1/4 Z-31/4 1/4 1/2 11/4 1/2
所在行的基变量出基 则取br
4、以ari0 为主元素进行换基迭代 ，得一新的单纯形表， 转2
例：用对偶单纯形法 求解下列问题 max Z 2 x1 x 2 x1 x 2 x3 5 2x x 5 11 9 2 3 最优解 X （ ，） s.t 4 4 4 x 6 x 9 2 3 31 x1 , x 2 ,Z x3 0 最优值
-1/2 0 -1/2 0 -2 3/2 1 0
X2
-1/4 9/4
11 9 1 最优解 X （ ，， 0， ， 0 ） 4 4 2 初始基 B （P ） 1，P 4，P 5 31 最优值 Z 不是典则形式 4
注意：对偶单纯形法仅限于初始基B对应 可用对偶单 的典则形式中目标函数的系数（检 纯形法 验数）均≤0的情形。 B的典则形式
对偶单纯形法是求解对偶规划的一种方法 × 对偶单纯形法：利用对偶理论得到的一个 求解线性规划问题的方法
单纯形法（原始单纯形法）的两个条件：
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题Min z =5x 1+3x 2X 1 - 6 x 2 A 4在表4-17中,b=-16<0,而yA 0,故该问题无可行解. 注意：对偶单纯形法仍是求解原问题 ，它是适用于当原问题无可行基 ，且所有检验数均为负的情况.若原问题既无可行基，而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.在计算机求解时，只有人工变量法，没有对偶单纯形法.3.对偶问题的最优解由对偶理论可知，在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系 从求解原问题的最优单纯形表中，得到对偶问题的最优解.(1)设原问题(P)为Min z= exs.t.-2 X i + 3x 2 A 6A 0 (j=1,2 )解：将问题转化为 XjMax z = -5X 1 -3 x 2 s.t. 2x i - 3xX 3 = -6-3 x i + 6 X2+ x 4A -4Xj其中，X 3 , X 4 ,3,4 )A 0 (j=1,2 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.,可以根据这些关系，Xj > 0 (j=1,2 , 3,4 )则标准型 (LP) 为AX b s.t.X0Max z=CXAX b s.t.X0其对偶线性规划(D )为Max z=b T Y AX b s.t.X0用对偶单纯形法求解 时，有 Pj=-e i ， c j =0 (LP ),得最优基B 和最优单纯形表 T ( B )。
对于(LP )来说，当j=n+iT (B )中，对于检验数，有(b n+1,b n+2・・・b n+m) = (C n+i , c n+2…，c n+m ) -C B B -1(Pn +1,Pn+2 …,Pn+m ) =- C B B -1(-I)于是，Y*= (b n+1,b n+2…b n+m T 。
可见，在(LP )的最优单纯形表中，剩余变 量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表 T ( B )中，由于剩余变量对应的系数 所以从而，在最优单纯形表b n +2 …bB 1 = ( -y n+1 , -y n+2 …-y n+m )例 4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
《运筹学》课程标准
《运筹学》课程标准一、课程编号1070100402二、课程名称运筹学三、课程类型理论课四、开课系（部）国际经贸学院物流系五、大纲说明1．学时、学分数、课程性质、考试方式、成绩评定运筹学课程是高等院校的经济管理专业和工科控制类培养方案中的一门必修专业基础课，也是高等院校工科其它专业的选修基础课或专业基础课。
它为培养高级经济、管理、技术人才的目标服务，在人才培养的过程中起着很重要的训练作用。
通过这门课程的学习，使学生获得系统最优化的基本知识、必要的基础理论和常用的思维方式及运算方法。
培养学生的分析思维能力和比较熟练的运算能力。
从而使学生感受到用高等数学、线性代数、概率论和数理统计等数学方法去研究和解决实际问题以及运用这些数学思想方法和计算机软件解决各种系统的最优问题和实际问题等的初步训练，为提高学生的基本素质和后继课程的学习以及进一步扩大应用数学知识解决实际问题奠定良好的基础。
3．主要先修与后续课程主要先修课程：高等数学、线性代数、概率论主要后续课程：仓储与配送管理、供应链管理、物流案例与实践六、教学内容（按照章节来编写）第一章绪论【教学目的和要求】本章介绍了本课程的释义与发展历史、运筹学研究的基本特征与基本方法、运筹学主要分支简介和运筹学与管理、控制科学，使学生了解本课程起点高、内容新、研究面广、应用性强、学习难度也很大。
【理论教学时数】 2学时【教学方法与手段】讲授法、讨论法、演示法、练习法。
【理论教学内容】第一节运筹学释义与发展简史第二节运筹学的基本特征与基本方法第三节运筹学主要分支简介第四节运筹学与其他学科的关系第二章线性规划【教学目的和要求】本章讨论了线性规划问题的数学模型、两变量的几何解法、求解线性规划问题的单纯形法的原理和方法，并对求解和应用中遇到的一些问题，以及用表格和矩阵进行计算的讨论。
本章要求了解线性规划问题的数学模型；熟练掌握单纯形法；会解决求解和应用中遇到的一些问题；理解单纯形法的矩阵描述。
对偶单纯形法(经典运筹学)
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 -2 -1 0 -3 -1 1 0 0 0 0 Z -3
X4
X5
-4 -3 0
1 2 0
1
0
0
1
-6
3
不 可 行
即max Z 2 x1 x2
3 3x1 x 2 x3 4 x 3x x4 6 1 2 s.t x5 3 x1 2 x 2 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 0
-1/3 0 -1/3 0 2/3 1
X 3 X4 X5 0 -3/5 -2/5 Z+12/5 1 -1 -1 0
X2 0 X1 1
1 0
0 0
1/5 4/5 6/5 -2/5 -3/5 3/5
3 6 最优解X （ ，， 0， 0， 0 ） 5 5 最优值Z 12 5
则取xi0 为入基变量
1
1
令X N 0 得X B B b 0 得基本可行解 X 1 B b,0
1
1
1 、若所有的检验数 CN B 1 N 0 , 则X 1为最优解
2、检验数 C N C B B 1 N中存在一个分量 0, 且该分量对应的列 向量中所有的分量 0, 则目标函数值在可行解 域内无上界
1、确定出基变量： 设br =min{bi | bi <0} 则取br所在行的基变量 为出基变量 即取X4为出基变量 2、确定入基变量： 原则： 保持检验行系数≤0
i i0 设 min | a ri 0 a ri a ri 0
1 21 3
X1 检 -2/3 X3 -5/3 X2 4/3 X5 -5/3 X1 检 0 X3 0 X3 X4 0 -1/3 1 0 0
(运筹学大作业)单纯性法与对偶单纯性法比较
对偶单纯形法与单纯形法对比分析1．教学目标：通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解2．教学内容：1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理3．教学进程：1）讲述对偶单纯形法解法的来源：所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。
2）为什么要引入对偶单纯形法：单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。
由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w 。
据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。
我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。
那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。
其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法, 只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。
运筹学-3对偶单纯形法
1.对偶单纯形法的应用条件； 2.出基与进基的顺序； 3.如何求最小比值； 4.最优解、无可行解的判断。 作业：教材P76 T2.7
The End of Section 3
灵敏度分析 Exit
即对偶问题具有无
界解，由性质2a知ik 原问a题Lj 无可行解。aik
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
2020年6月20日星期六 Page 9 of 9
本节利用对偶性质6：原问题的检验数与对偶问题的基本 解的对应关系，介绍了一种特殊线性规划的求解方法—对 偶单纯形法。
0
-4
-1
0
-1
— 1.6 — —
2
x2
0.4
0
1 -0.2 -0.4 0.2
x1
2.2
1
0
1.4 -0.2 -0.4
检验数 5.6
0
0 -1.8 -1.6 -0.2
最优解： x2=0.4 x1=2.2
Max z = -5.6
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
【解】先将约束不等式化为等式，再两边同乘以（－1）， 得到
min z 2x1 3x2 4x3
x1 2x2 x3 x4 3
2x1 x2 3x3 x5 4
x
j
0,
j
1,2,
,5
用对偶单纯形法，迭代过程如下页或看演示(请启用宏)。
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
问题中，λ≤j0分母aij<0，
j
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对偶表如下：
x1
x2
... xn
y1 y2 y y
' k '' k
a11 a 21 ak 1
a12 ... a1n a 22 ... a 2 n ... a k 2 ... a kn
c1
c2
... cn
min max
b1 b2 bk bk bm
a k 1 - a k 2 ... - a kn a m1 a m 2 ... a mn
min s c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 .......... .......... .......... .......... ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn bk (ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn ) bk .......... .......... .......... .......... ..... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm x1 0, x2 0,..., xn 0
' '' y y y 如果令 k k k ，代入对偶规划 ，即得：
max g b1 y1 b2 y2 ... bk yk ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... ak1 yk ... am1 ym c1 a12 y1 a22 y2 ... ak 2 yk ... am 2 ym c2 .......... .......... .......... ..... a1n y1 a2 n y2 ... akn yk ... amn ym cn y1 0,..., yk 1 0, yk 无非负限制，yk 1 0,..., ym 0
根据互为对偶的关系，用类似上面的推导可证如果线 性规划问题 的第k个变量 xk 无非负限制，那么它 的对偶规划 中第k个约束条件是等式。
例1
求 min s x1 2 x2 3x3 3x1 2 x2 x3 1 2 x 3x 3 2 3 x3 5 x1 x1 , x2 , x3 0 的对偶问题
例2 求下列线性规划问题 min s cx Ax b x 0 的对偶问题。
解 根据定理 1, 它的对偶问题为 max g yb yA c y无非负限制 这样的对偶问题称为非 对称型的对偶问题。
例3 求mins 3x1 2 x 2 x3 1 x1 2 x 2 2 x 2 x3 2 x3 3 2 x1 x 2 x 3x 4 2 3 1 x1 , x 2 0, x3无非负限制 的对偶问题。
min S CX LPⅠ AX b ① X 0 性质二
max g Yb LPⅡ YA C ② Y 0
质 2
设 X*, Y* 是 LPⅠ和 LPⅡ 可行解，且CX*＝Y*b 则 X* ,Y* 是 LPⅠ和 LPⅡ 最优解 证明： 对LPⅠ的任意一个可行解 X 与LPⅡ 可行解 Y* 由性质一：CX＝ S≥g = Y*b = CX*
对偶关系对应表
原问题 对偶问题
目标函数类型
目标函数系数
与右边常数项的对应关系
min
目标函数系数 右边常数项 变量数n 约束数m 变量 0 变量 0 变量无限制
max
右边常数项 目标函数系数 约束数 n 变量数m 约束条件 0 约束条件 0 约束条件＝
变量数与约束数 的对应关系 原问题变量类型与 对偶问题约束类型 的对应关系
二、对偶问题的基本性质
min S CX LPⅠ AX b ① X 0
性 质 1
max g Yb LPⅡ YA C ② Y 0
性质一
设 X ,Y是 LPⅠ和 LPⅡ 可行解， 则对应的目标函数值
s
≥
g
证明：
② ① S ＝CX ≥ (YA)X ＝ Y(AX) ≥ Yb = g
y3 2 y4 1
根据定理１，它的对偶问题为：
max g y1 2 y2 3 y3 4 y4 y1 2 y3 y 4 3 2y 2y 2 y4 2 1 2 这样的对偶问题称为混合型 y2 y3 3y4 3 对偶问题． y1无非负限制, y2 , y3 , y4 0
反证：设 LPⅡ有可行解 Y0，
S无下界 ∵S是线性函数
由性质一 X0 ,Y0 是 LPⅠ和 LPⅡ 可行解，
则对应的目标函数值
C X0＝s ≥
g＝ Y0b
说明S有下界,与已知矛盾。 同样有：若 LPⅡ有可行解而无最优解，则 LPⅠ无可行解。
性质四
若 LPⅠ和 LPⅡ 同时有可行解， 则必同时有最优解。 证明： 反证：由性质三 若 LPⅠ有可行解无最优解→ LPⅡ 无可行解， 若 LPⅡ有可行解无最优解→ LPⅠ 无可行解，
ym
所以线性规划问题 的对偶规划 为：
max g b1 y1 b2 y2 ... bk ( y y ) ... bm ym
' k '' k
a11 y1 a21 y2 ... ak1 ( yk' yk'' ) ... am1 ym c1 ' '' a y a y ... a ( y y ) ... a y c 12 1 22 2 k 2 k k m 2 m 2 .......... .......... .......... ..... a y a y ... a ( y ' y '' ) ... a y c kn k k mn m n 1n 1 2 n 2 ' '' y1 0, y2 0,..., yk 0, yk 0,..., ym 0
max g b1 y1 b2 y2 ... bm ym a11 y1 a21 y2 ... am1 ym c1 a y a y ... a y c 12 1 22 2 m2 m 2 .......... .......... ..... .......... a y a y ... a y c mn m n 1n 1 2 n 2 y1 0, y2 0,..., ym 0
ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn bk
那么，可将其变成与它等价的两个不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn
ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn bk
bk
于是线性规划问题 等价于：
由求min,不等式为≥
解
把问题改写为
min s x1 2 x2 3 x3 3 x1 2 x2 x3 1 2 x 3 x 3 2 3 x3 5 x1 x1 , x2 , x3 0
写出对偶表如下
x 1
x2
x3
1
y1 y2 y3
yA c y 0
x1 x2 x4
b1 b2 c (c1 c2 ), y ( y1 y2 ... ym ), b b m
下面我们引进表达这一对偶规划问题的表，称为对偶表．
x1
解 先把第二个约束条件改 为 - 2 x 2 x3 2 写出对偶表如下
x 1
x2
x3
mins 3 x1 2 x 2 x3
3
-2
1
Min
y1 y2
＝
max
1
2 -2 -2
＝
1 1 3
1 2 3 4
1 x1 2 x 2 2 x 2 x3 2 x3 3 2 x1 x 2 x 3x 4 2 3 1 x1 , x 2 0, x3 无非负限制
性质五
若 LPⅠ和 LPⅡ 之一有最优解，
则对偶问题也有最优解，且最优值相等。
证明：设 max g Yb min S CX 已知 LPⅠ有最优解 x* LPⅠ AX b LPⅡ YA C 证明 LPⅡ 也有最优解 X x
x2 ... xn
c1
y1 y2 ... ym
c2
... cn
min
a11 a 21
a12 ... a1n a 22 ... a 2 n
max
a m1 a m 2 ... a mn
b 1 b2 bm
对偶问题的几个基本性质
定理1 如果线性规划问题 中第k个约束条件是等式， k个变量 无非负限 yk 那么它的对偶规划 中的第 制。反之亦然。 证 设线性规划问题 中第k个约束条件取等式，
称作互为对偶的线性规划问题．其中一个称为原问题，另一个 称为它的对偶问题．
线性规划问题 和 可以简记为：
: min s cx : max g yb
Ax b x0
其中：
a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2 n A ,x .......... .... a a ... a mn m1 m 2
∴ X* 为最小 S 对应的LPⅠ最优解
类似可证Y* 是 LPⅡ 最优解
min S CX LPⅠ AX b ① X 0
max g Yb LPⅡ YA C ② Y 0