微分几何试题库(选择题)

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华中师大《微分几何》练习题库及答案

《微分几何》练习题库及答案一、单项选择题第一章1．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（）．（内积；易；2分钟）A 2B 1-C 0D 12．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（）．（直线方程；易；2分钟） A ⎩⎨⎧==1y z x B 1321+==-z yx C 11+==+z y x D ⎩⎨⎧==1z yx3．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（）．（混合积；较易；2分钟）A 2B 1-C 1D 2-4.已知()(,,)ttt e t e -=r ，则(0)''r 为（）．（导数；易；2分钟）Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)5．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（）．（导数；易；2分钟）Ａ t λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa上述a 为常向量．6.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（）．（微分；较易；2分钟）Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章7．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)Ａ平行Ｂ垂直Ｃ有固定夹角4π Ｄ有固定夹角3π 8．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ α为单位向量Ｂ ⊥ααＣ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 9．直线的曲率为（）．（曲率；易；2分钟）Ａ –１Ｂ０Ｃ１Ｄ２10．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ ()()s s κ=αＢ ()()s s κϕ= ，ϕ为()s α的旋转角Ｃ()s κ=-⋅αβＤ ()|()|s s κ=r 11．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（）．（曲率；易；2分钟) Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ既不充分也不必要条件Ｄ充要条件 12．下列论述不正确的是（）．（基本向量；易；2分钟）Ａ α,β,γ均为单位向量Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ13．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 14．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 15．2sin4),cos 1(),sin (ta z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（）．（切线方程、夹角；较易；2分钟）Ａ垂直Ｂ平行Ｃ成3π的角Ｄ成4π的角第三章16．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ= B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ= C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=17．以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =18．以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u vb u vc u =B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =19．以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u vu v = B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v = C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =20．以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a ub u u = B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-D (,,)(,,)x y z au bv u v =-21．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（）．（切平面方程；易；2分钟）A 2135200x y z +-+=B 1834410x y z +--=C 756180x y z +--=D 1853160x y z +-+=22．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（）．（第一基本形式；中；2分钟）A 2222(d sin d )R u u v +B 2222(d cosh d )R u u v +C 2222(d sinh d )R u u v +D 2222(d cos d )R u u v +23．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（）．（第一基本形式；中；2分钟）A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v - 24．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（）．（弧长；中；2分钟）A 21cosh cosh v v -B 21sinh sinh v v -C 12cosh cosh v v -D 12sinh sinh v v -25．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（）．（坐标网、曲线网；易；2分钟）A 0E =B 0F =C 0G =D 0M = 26．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A d (d )=n r WB d (d )u =n r WC d (d )u v =n r WD d (d )=-n r W 27．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r WB (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r W WC (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r W WD (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W 28．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r W B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r W W D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r W W 29．高斯曲率为常数的的曲面叫（）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面第四章 30．,___________ijji i jgg =∑．（第一基本形式；易；2分钟） A 1 B 2 C 0 D -131．______j kjl jgδ=∑．（第一基本形式；易；2分钟） A kj g B kl g C ki g D ij g32．________kij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟） A 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B1()2jl ij kl il j il i g g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑ C 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ 33．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．（测地曲率、测地曲率的几何意义、梅尼埃定理；易；2分钟）A 0B 1C 2D 334．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）ABCD35．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线36．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于πB 小于πC 大于πD 不能确定 37.若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰， {}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-.4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t =212t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4()df g dt dt ⋅=⎰4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角.21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G → 是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x a y ++.29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II 或．34.λ是主曲率的充要条件是0E L F MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-，其中是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=，则r (0)''为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-. 2．已知()()r t r t λ'=，λ为常数，则()r t 为（ C ）．A. ta λ；B. a λ；C. t e a λ；D. e a λ. 其中a 为常向量．3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直． 4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．. 6. 已知{}r(,),,x y x y xy =，求(1,2)dr 为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +. 7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =，s 为自然参数，αβ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. α为单位向量；B. αα⊥；C. k αβ=-；D. k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=；B. ()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅；D. ()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγ,均为单位向量；B. αβ⊥；C. βγ⊥；D. αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=.16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +. 18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -.19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3． 23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ．直线；B ．平面曲线；C ．抛物线；D ．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =具有固定长度，则()()r t r t '⊥. √2. 向量函数()r r t =具有固定方向，则()()r t r t '. √3. 向量函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t '. ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=z -线是渐近线. √7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √ 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+， {}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==，又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯，r r r r γ'''⨯='''⨯，所以有22666333(0,,),(,,),(,,)3αβγ==-=-. 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，①求基本向量,,αβγ； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ {}{}{}2222sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a a ba bαβγ∴=-=--=-++②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的切平面和法线方程．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程．解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=--- {}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=，法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------，即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+，{}1,0,2x r ax =，{}0,1,2y r ay =，2214x x E r r a x =⋅=+，24x y F r r a xy =⋅=，2214y y G r r a y =⋅=+，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一、第二基本量．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k r r v v b v b v u u v u v b⨯==--，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n b =⋅=-+，0vv N r n =⋅=．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214x x E r r x =⋅=+， 4x y F r r xy =⋅=， 214y y G r r y =⋅=+，24xx L r n x =⋅=+， 0xy M r n =⋅=， 24yy N r n x =⋅=+，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y HEG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =的高斯曲率. 解直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L =，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+．12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220zr x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂，222zt x y ∂==∂ 所以，L =0， M =，N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u--⨯===⨯- {}{}{}uu uv vv r=0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解 {1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，22214,4,14==+==-=+u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu v 2u v 2u,2v,1r r n r r 4u -⨯==⨯ uu 2L nr 4u ==uv M n r 0,== vv 2N n r 4u ==22=-Ⅱ， n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率. 解曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1= 0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+上的椭圆点，双曲点和抛物点．解由23{,,},r u v u v =+ 得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v 0,02,0,00,0,06, 0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程．解由32(,){,,},r u v v u u v =+ 得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00, 20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-， 2()r t a '=弧长(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解设挠曲线为a a s =(),则主法线曲面为：r=a s v s ,β()+() 则,a =a=α',b ==-k βατγ'+a b =k,''-2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b kr=a s s =a s s k b ββτ'''()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+．五、证明题1. 设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑴⑵证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅k =-.ταγ∴⋅⑵r=r==k ,ααβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴2. 设曲线：(s),r r = 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ证明由伏雷内公式，得r==k αβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγ232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ33432=-k k +k k +k τττ3()=k k -k ττ3. 曲线()r r s =是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰也是一般螺线（R 是曲线的曲率半径）．证明 1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得 11ds R R ds αααβ=+-1R R R αββ=+-R α=， 1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，,22(),r r a t a b ϕ''''⨯=+32()()r r r a b t ϕ'''''''=-,,，322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, k a bτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=± (θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+，则有：2cos 22t t r r r r e θ'⋅==='4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r '和r ''对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明若r '和r ''对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=，则 ,()()0, t r t r t '''∀⨯= 又3()r r k t r '''⨯='，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8．证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明由题意有{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--，由()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{}cos ,sin ,0t t β=--. 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =，而0a β⋅=，故a β⊥，即主法线与z 轴垂直．9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''= 0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-， {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－，化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+(1())()0s s k λαλβ--= 由于,αβ线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=, 即 ((),(),())0r t r t r t '''=所以 ()r r t =平行于固定平面，所以 ()r r t =是平面曲线. 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线.证明根据已知条件，得0.............e α⋅=①，①两边求导，得 0e α⋅=，由伏雷内公式得 0k e β⋅=，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅= 又有①可知 γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，于是 ||||0,τγ== 所以0τ= ，所以曲线为平面曲线.14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±１２＝ , 21ds ds γγ±１２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±= 进而12αα=± 15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+ 取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明设曲线r r(s),＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s β=()() ,s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-) ()v r =s β,s v s v r r n==r r vk ⨯⨯（1-）-（1- 沿曲线（v ＝0）n=γ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线. 证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθ0ｎ＝两边求微商，得 0γγｎ＋ｎ＝由于曲线Γ是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得0τβ－ｎ＝⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k 所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+x =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=,{0,1,}y r g '=.{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''=== 因为0xy r r M r EG ⨯=⋅=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明参数表示为{}(,),,r x y x y xy =，则{}1,0,x r y =，{}0,1,y r x =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r =，{}0,0,0yy r =，{},,1x y r r y x ⨯=--，2,,1||x yx y r r y x n r r x ⨯--==⨯+ 0xx L r n =⋅=， 2xy M r n x =⋅=+0yy N r n =⋅=， 222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++，故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点． 25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--，{}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cosu u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cos L Rv ==-，0M ==，N R ==-， 1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =，则{}1,0,0x r =，{}0,1,0y r =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,0xy r =，{}0,0,0yy r =， 1x x E r r =⋅=，0x y F r r =⋅=，1y y G r r =⋅=，0xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，0yy N r n =⋅=(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+，则{}2/3131,0,()x r x y -=+， {}2/3130,1,()y r x y -=+， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=， ∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =是极小曲面．证明 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-， {}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a⨯==--， 22sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r a u -⨯==⨯+， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u=⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n a =⋅=-，0vv N r n =⋅=，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面． 29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线．证明由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u =，{0,0,1}v r =，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 1202k k H +==， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点；当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线. 证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ，曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1 因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ，又曲线是曲率线，所以αdn dr ，所以(k )ατγα-+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 证法2 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα 而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。

微分几何期末试题及答案

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。

12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。

13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。

14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。

三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。

《微分几何》模拟试题参考答案

----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 数学与计算机学院（院、部、中心）出题教师：杨天标教研室主任：（签字）系（院、部、中心）主任：（签字）课程考核参考答案及评分标准考试课程：微分几何学年学期：2012-2013-2 试卷类型：A 考试时间： 120分钟适用专业：10级数学与应用数学层次：本科一、选择题（每小题2分共20分）1 (B)；2 (D)；3 (A)；4 (A)；5 (C) ；6 (D) ；7 (B) ；8 (C) ；9 (D) ；10 (B)。

二、填空题（每小题2分共20分）1、已知r=(cosx,sinx,x),0≤x ≤1,其弧长总长= √2 ；2、Γ：r=(acost, asint, t)的单位切向量是 (-asint, acost, 1)/√(a 2+1) ；3、Γ：r=(cost, sint, t)的主法向量β= (−cost, −sint,0) ；4、曲面上切向du:dv 是渐进方向的条件,用第二基本量表示为 Ldu 2+2Mdudv+Ndv 2=0 ；5、r=(u+v,u −v ,uv)的第一基本量G= 2+u 2 ；6、曲面上满足LN-M 2>0 的点称为椭圆点；7、Γ：r=(t, 2t, 3t)的曲率是 0 ；8、Γ：r=( cos θ,sin θ,1)的挠率是 0 ；9、曲面的Gauss 曲率可以只用第 1 基本量计算；10、球面上的测地线是球面上的大圆。

三、判断题（每小题2分共20分）1 (╳)；2 (╳)；3 (√)；4 (╳)；5 (╳)；6 (╳)；7 (╳)；8 (√)；9 (√)；10 (╳)。

四、计算题（每小题5分共30分，最后2小题任选1题）1、求曲线Γ：x=cost,y=sint, z=t 的法平面方程；解：切向r'=(−sint,cost,1)，法平面方程为(r −( cost, sint, t))·(−sint,cost,1)，(3分)即−sint·x+ cost·y+z=t ； (2分)2、求曲线Γ：r=(acost, asint, e t )过(a,0,1)的切线方程；解：r'(0)=(−asint, acost, e t )|t=0 =(0, a, 1)| , (2分) 故切线方程为r=(a,0,1)+t(0,a,1), 即r=(a,at,t)；(3分)3、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的过(0,1,π/2)的切平面方程；解：r u =(cosv ,sinv,0), r v =( −usinv,ucosv ,1), n= r u ⨯ r v =(−sinv, −cosv ,u), (3分) 故切平面方程为： ((x,y ,z) − ( 0,1,π/2))·(−1,0,1)=0, 即 −x+z −π/2=0；(2分)4、已知曲面的第一基本形式为I=v(du 2+dv 2), v>0，求u-线的坐标曲线的测地曲率；（提示：利用公式k gu =−(lnE)v /2√G ）解：k gu =−(lnE)v /2√G=−(lnv)v /2√v = −1/2v 3/2；5、求曲面族Γα ： (y −α) − (x −α)2 /2=0的包络面方程。

自考微分几何试题及答案

自考微分几何试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在微分几何中，流形的概念是用来描述什么？A. 直线和平面B. 曲线和曲面C. 高维空间中的几何对象D. 抽象的几何结构答案：C2. 欧拉特征数是用来描述哪种几何对象的拓扑性质？A. 直线B. 平面图形C. 三维流形D. 任意维数的流形答案：C3. 下列哪一项不是微分流形的局部坐标图所必须满足的条件？A. 坐标图是同胚映射B. 坐标图的值域是欧几里得空间中的开集C. 坐标图的逆映射是连续的D. 坐标图的逆映射是光滑的答案：C4. 在黎曼几何中，度量张量是用来描述什么？A. 流形的长度和面积B. 流形的拓扑结构C. 流形的曲率D. 流形的向量场答案：C5. 斯托克斯定理在微分几何中是用来计算什么？A. 曲线的长度B. 曲面的面积C. 闭合曲线的线积分D. 闭合曲面的面积积分答案：C二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个光滑曲线在微分几何中的切向量场是________。

答案：切向量场7. 微分流形的切空间在每一点的维度等于流形的________。

答案：维度8. 黎曼曲率张量描述了黎曼流形上的________。

答案：曲率9. 一个曲面的高斯曲率是该曲面上的每一个点处的________。

答案：曲率10. 微分几何中的联络是定义在切向量场上的________。

答案：导数三、解答题（共75分）11. （15分）证明在任意维数的欧几里得空间中，任意两点都可以通过一条直线相连。

答案：略12. （20分）给定一个黎曼流形上的两个切向量场X和Y，证明黎曼曲率张量R满足以下对称性：R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0答案：略13. （20分）解释什么是测地线，并证明在黎曼流形上，测地线是使得两点之间的长度局部最短的曲线。

答案：略14. （20分）讨论并证明高斯绝妙定理，即在局部坐标系下，曲面的内蕴几何不依赖于它在欧几里得空间中的嵌入方式。

微分几何测试题集锦(含答案)

微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。

??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。

⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。

⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。

⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。

1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。

A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。

A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。

?2? ⑵曲率和挠率。

22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

微分几何试题库 (选择题)

二．单项选择题1．0()P t 是曲线r =()r t 上一点，1P 是曲线上P 点附近的一点，S ∆为弧1PP 的长，ϕ∆为曲线在P 点和1P点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。

则下面不等于0lim ||s sϕ∆→∆∆。

① 0()k t ② |0()r t | ③ 0|()|t α ④ 0()t τ 2．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则β= 。

① k(s)α ② -k(s)α+()s τγ③ -()s τα ④ k(s)α-()s τγ 3．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γ= .① k(s)β ② ()s τβ ③-k(s)α+()s τγ ④ -()s τβ4. 曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式不正确。

①α=- k(s) β ②β= -k(s)α+()s τγ ③α= k(s)β ④γ=-()s τβ5．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。

① αβ ② βα③ αβ ④ γβ6．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

则下式不正确。

① α=2β ② β= 3α-2γ ③β= -3α+2γ ④γ =2β7．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。

① αβ ② βγ ③ βα ④ -γβ8．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式不正确。

①2|'''||'|r r k r ⨯= ②3|'''||'|r r k r ⨯=③||k r = ④2(','',''')(''')r r r r r τ=⨯ 9．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式不正确。

微分几何复习题

第一章曲线论一、单项选择题1、过点0r 且以非零向量a 为方向的直线方程为A 、 00 =-⨯r a rB 、0)(0 =⨯-r a rC 、0)(0=⋅-a r rD 、0)(0 =⨯-a r r 2、已知向量b a ⊥，则必有； A 、 0 =⋅b a B 、 b a λ= C 、0 =⨯b a D 、 0=⋅b a 3、设s , r 分别是可微的向量函数,则以下运算正确的是； A 、s r s r ⋅'='⋅)( B 、s r s r s r '⋅+⋅'='⋅ )( C 、s r s r ⨯'='⨯)( D 、r s r s s r '⨯+⨯'='⨯ )( 4、过0r 且垂直于非零向量n 的平面方程是A 、0)(0=⋅-n r rB 、 0)(0 =⨯-n r rC 、n v r r =-0D 、0)(0=⋅-r n r 5、设)(),(),(t u t s t r 分别是可微的向量函数,则='),,(u s r ； A 、u s r '⨯⋅ )( B 、u s r '⋅⨯ )( C 、)',','(u s r D 、),,(),,(),,(u s r u s r u s r '+'+'6、单位向量函数)(t r 关于t 的旋转速度等于A 、)('t rB 、)(''t rC 、)('t rD 、 )(''t r7、向量函数)(t r r=具有固定方向的充要条件是； A 、1)(=t r B 、1)('=t r C 、 0)(')( =⨯t r t r D 、 o t r t r =⋅)(')(8、向量函数)(t r r =具有固定长的充要条件是；A 、0)(')(=⋅t r t rB 、0)()(' =⨯t r t rC 、1)(=t rD 、1)('=t r9、星形线t a y t a x 33sin ,cos ==上对应于t 从0到π的一段弧的长等于；A 、aB 、a 2C 、a 3D 、 a 6 10、已知向量b a //，则必有；A 、 0 =⨯b aB 、 b a λ=C 、0 =⋅b aD 、 0=⋅b a11、在曲线的正常点处,曲线的切线和主法线所确定的平面是曲线上该点的；A 、法平面B 、切平面C 、密切平面D 、从切平面12、平面曲线的曲率或挠率特征是；A 、曲率0≡κB 、曲率∞≡κC 、挠率)0(≠=c c τD 、挠率0≡τ13、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率都是；A 、0B 、1C 、RD 、R1 14、如果一条曲线的密切平面固定，则此曲线是；A 、平面曲线B 、挠曲线C 、一般螺线D 、直线15、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r=，则曲线在任一点的单位切向量是；A 、)(t rB 、)(s rC 、 dt r dD 、 dsr d 16、曲率恒等于零的曲线是；A 、平面曲线B 、直线C 、挠曲线D 、一般螺线17、圆柱螺线},sin ,{cos t t t r = ，在点π=t 的切线方程是；A 、1101π-=-=+z y xB 、1111π-=-=+z y xC 、1101z y x =-=+ D 、0=-+-πz y 18、对于一般螺线，下列命题成立的个数是；① 切线和固定方向作固定角 ②主法线与一个固定方向垂直 ③曲率和挠率的比等于一个常数 ④副法线与一个固定方向作固定角A 、二个B 、三个C 、四个D 、五个19、下列不是一般螺线性质的是；A 、切线和固定方向作固定角B 、主法线与一个固定方向垂直C 、曲率和挠率的积等于一个常数D 、副法线与一个固定方向作固定角E 、曲率和挠率的比等于一个常数20、如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么此曲线是；A 、球面曲线B 、圆C 、平面曲线D 、直线21、空间曲线c 上正则点P 的切线和该点邻近点Q 的平面π，当点Q 沿曲线趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线的点的；A 、密切平面B 、法平面C 、切平面D 、从切平面二、填空题1、设曲线)(t r r =的自然参数方程为)(s r r =，则曲线在任一点的单位切向量是；2、向量函数)(t r 是区间],[b a 上的连续函数,则=⎰])([x adt t r dx d ； 3、直线{}t t t t r 3,2,)(= 的自然参数方程是；4、设曲线参数方程)(s r r =，则参数s 是自然参数的充要条件是；5、最贴近曲线的直线是、最贴近曲线的平面是；6、若空间曲线)(t r r =上的密切平面都垂直于一固定向量e ，则该曲线是；7、空间曲线是直线的充要条件是；8、若空间曲线)(t r r =满足0),,(=''''''r r r ，则该曲线是；9、曲线)(t r r =上的点都是正常点，则必有；10、曲线)(c 上所有点都是正常点时,则称该曲线)(c 为 .11、空间曲线的自然方程是；12、 )(t r 具有固定长的充要条件是；13、)(t r 具有固定方向的充要条件是；14、空间曲线是平面曲线的充要条件是；15、平面曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的决定.16、空间曲线在某点邻近的形状由曲线在该点的决定.17、圆柱螺线{}t t t t r ,sin ,cos )(= 在点（1，0，0）处的切线方程是；18、曲线{}t t t t r 5,sin 3,cos 3)(= 上的每一点都是；19、由曲线上一点的主法线与副法线构成的平面是曲线在这点的；20、由曲线上一点的切线与副法线构成的平面是曲线在这点的；21、设圆的半径为R ，则圆上每一点的曲率（按顺时针方向）都是；22、切线和固定方向作固定角的曲线称为；23、圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a r = 的自然参数表示为；24、若曲线b t a t r r ≤≤=),(中的函数是连续可微的函数，则曲线为；25、按照椭圆点、双曲点、抛物点进行分类，可展曲面上的点都是点。

微分几何实验题

微分几何实验题当然可以！这里是根据“微分几何实验题”标题设计的20道试题，包括选择题和填空题：1. 选择题：在微分几何中，曲线的曲率是指哪个量？A. 切线的倾角B. 曲线的弯曲程度C. 曲线的长度D. 曲线的斜率2.填空题：欧氏空间中两条相交曲线的交点数目是（填入数值）。

3. 选择题：在微分几何中，什么是一个“测地线”？A. 曲线的长度B. 曲线的弯曲程度C. 两点之间的最短路径D. 曲线的斜率4. 填空题：曲面上任意一点的法向量被称为（填入术语）。

5. 选择题：曲面的高斯曲率是指什么？A. 曲面的总面积B. 曲面的局部弯曲性C. 曲面的平均曲率D. 曲面的最大曲率6.填空题：在微分几何中，二次曲线可以用（填入方程形式）来表示。

7. 选择题：什么是切向量场？A. 在曲面上沿着方向变化的矢量B. 垂直于曲面的矢量C. 曲线上的切线D. 曲线的长度8.填空题：对于具有非零高斯曲率的曲面，至少有一个点的主曲率是（填入术语）。

9. 选择题：微分几何中的“光滑流形”是指什么？A. 一种具有良好定义的几何对象B. 可以展示出高斯曲率的曲面C. 在任何维度中定义的对象D. 一个特定维度上的平滑曲线10.填空题：曲线的曲率是其切线在弧长上的（填入数学术语）。

11. 选择题：微分几何中的“切丛”是什么？A. 曲线的切线的集合B. 曲面的法向量的集合C. 切向量场的集合D. 曲面的所有点的集合12.填空题：在二维欧氏空间中，直线的方程形式是（填入方程形式）。

13. 选择题：什么是“黎曼度量”？A. 一种测量曲面曲率的工具B. 欧氏空间中的度量C. 定义在流形上的度量D. 曲面的面积14.填空题：克里斯托夫符号描述了流形上的（填入数学概念）。

15. 选择题：在微分几何中，什么是“外微分形式”？A. 曲线的切向量B. 曲面的法向量C. 定义在切丛上的微分形式D. 流形上的局部坐标系16.填空题：曲线在某一点的凹凸性可以通过其（填入术语）来描述。

微分几何期末试题及答案

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。

A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。

A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。

A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。

A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。

答案：曲线在点处的挠率定义为。

2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。

答案：临界点。

3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。

答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。

4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。

答案：曲线在点处的切向量为。

5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。

答案：函数在点处的方向导数为。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。

答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。

2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。

答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。

微分几何试题及答案

微分几何试题及答案一、选择题1. 曲线在某点的曲率是该点处曲线的：A. 切线斜率B. 切线方向C. 法线方向D. 切线与法线夹角的正弦值答案：D2. 曲面在某点的第一基本形式是：A. 曲面的高斯曲率B. 曲面的平均曲率C. 曲面的法向量D. 曲面在该点的切平面答案：D二、填空题1. 给定曲线 \( y = x^2 \) ，求其在点 \( x = 1 \) 处的曲率。

答案：\( \kappa = 4 \) （在 \( x = 1 \) 处）2. 曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1, 2) \) 处的高斯曲率\( K \) 是：答案：\( K = 4 \) （在点 \( (1, 1, 2) \) 处）三、简答题1. 简述微分几何中“切空间”的概念。

答案：切空间是微分几何中描述曲面或流形上某一点处所有可能的切向量的集合，它是一个线性空间，可以看作是曲面或流形在某一点的局部线性近似。

2. 解释什么是高斯映射，并说明其几何意义。

答案：高斯映射是曲面上每一点处法向量的映射，它将曲面的每一点映射到其对应的法线方向。

几何意义上，高斯映射描述了曲面在某一点处的局部弯曲程度。

四、计算题1. 给定曲线 \( \vec{r}(t) = (t, t^2, t^3) \) ，求其在 \( t =1 \) 处的曲率。

答案：首先求导得到速度向量 \( \vec{r'}(t) = (1, 2t, 3t^2) \)和加速度向量 \( \vec{r''}(t) = (0, 2, 6t) \) 。

在 \( t = 1 \) 处，速度向量为 \( (1, 2, 3) \) ，加速度向量为 \( (0, 2, 6)\) 。

曲率 \( \kappa \) 由公式 \( \kappa = \frac{||\vec{r'}\times \vec{r''}||}{||\vec{r'}||^3} \) 计算得到，代入数值得到\( \kappa = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \) 。

微分几何试题及答案

微分几何试题及答案【篇一：微分几何试题】有曲线x?etcost,y?etsint,z?et，则当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1。

2．设曲面s:r?r(u,v)的第一基本形式为i?du?sinhudv，则其上的曲线u?v从222et?e?t（这里sinht?） v?v1到v?v2的弧长为|sinhv1?sinhv2|。

23．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一基本量为e?g?1,f?0，第二基本量为，则曲面在该点沿方向(d)?(1:2)的法曲率为kn?l?a,m?0,n?b a?4b。

54．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一类基本量为e?1,g?1，且曲面在该点的切向量ru,rv相互平行，则f在该点等于 5．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第二基本量为l?1,m?0,n??1，则曲面在该点的渐近方向为(d)?(1:?1)。

6．设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则|ru?rv| 7．曲线x?tsin?(0,t，主法向量为221．圆柱螺线的参数表示为r?(cost,sint,t)。

计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。

（35分）解：r(0)?{1,0,0},r?(0)?{0,1,1},r??(0)?{?1,0,0}，所以切线：?x?1?0x?1y?0z?0??，即? 011?y?z?0法平面：(x?1)?0?(y?0)?1?(z?0)?1?0，即y?z?0x?1y密切平面：z1?0，即?y?z?00?110t?,r}?,t?() r(t)?{cots,stin{tsin t,r??(t)?{?cost,?sint,0},r???(t)?{sint,?cost,0}。

|r?| k??1}r,??r???{sitn?,ctos,r?,r |2??)1|r??r??|1(r?,r??,?r ???? 32(r??r??)2|r?|22．计算抛物面z?x2?y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。

微分几何试题及答案

微分几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是微分几何中的概念？A. 流形B. 向量场C. 拓扑空间D. 黎曼曲率答案：C2. 在微分几何中，一个流形的局部坐标系是：A. 一组线性无关的向量B. 一组线性无关的函数C. 一组局部坐标函数D. 一组局部坐标点答案：C3. 微分几何中，一个向量场在点p的切空间中的表示为：A. 一个点B. 一个函数C. 一个向量D. 一个切平面答案：C4. 黎曼曲率张量R^i_jkl在微分几何中表示：A. 一个流形的局部性质B. 一个流形的全局性质C. 一个向量场的局部性质D. 一个向量场的全局性质答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个n维流形上的切向量空间的维数是______。

答案：n2. 微分几何中，联络（connection）是定义在切空间上的一个______。

答案：线性映射3. 黎曼度量g_ij定义了一个流形上的______。

答案：长度和角度4. 一个流形的测地线是该流形上使得______取极值的曲线。

答案：弧长三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述流形的概念。

答案：流形是一个拓扑空间，每一点都有一个邻域，这些邻域与欧几里得空间中的开集同胚。

2. 什么是联络形式？答案：联络形式是定义在切空间上的一组线性映射，它们满足特定的性质，如与坐标无关，并且可以用于描述流形上的平行性。

3. 黎曼曲率张量在广义相对论中有什么物理意义？答案：黎曼曲率张量在广义相对论中描述了时空的曲率，它与引力场的强度和方向有关。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个二维流形上的度量张量g_ij，其中g_11 = 1, g_22 = 1, g_12 = g_21 = 0，计算该流形上的Christoffel符号。

答案：Christoffel符号为Γ^1_11 = 0, Γ^1_12 = 0, Γ^1_21 = 0, Γ^1_22 = 0, Γ^2_11 = 0, Γ^2_12 = 0, Γ^2_21 = 0, Γ^2_22 = 0。

《微分几何》考试试卷与参考答案

《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。

每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （）二、填空题：（每空3分，共33分）1、已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为，第二基本形式为，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为。

三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为331u v C =+或332()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E=（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分） v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=，（4分）由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=，因此d d 0d d n n r n r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。

微分几何期末考试试题

微分几何期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是微分几何中的基本概念？A. 流形B. 向量场C. 微分形式D. 群论2. 给定一个光滑曲线 \(\gamma: [a, b] \rightarrow\mathbb{R}^3\)，其参数化形式为 \(\gamma(t)\)，该曲线的切向量是：A. \(\gamma(t)\)B. \(\frac{d\gamma}{dt}\)C. \(\gamma'(t)\)D. 以上都不是3. 曲率（Curvature）是描述曲线局部性质的一个重要概念，以下哪个是曲率的正确定义？A. 曲线在某点的切向量的变化率B. 曲线在某点的法向量的变化率C. 曲线在某点的切线的变化率D. 曲线在某点的法线的变化率4. 在微分几何中，度量张量是用来描述空间的内在度量性质。

以下哪个是度量张量的属性？A. 正定性B. 反对称性C. 线性D. 以上都是5. 黎曼曲率张量是描述黎曼流形的内在曲率性质的量，以下哪个是黎曼曲率张量的属性？A. 对称性B. 反对称性C. 张量性D. 以上都是二、简答题（每题10分，共30分）1. 描述什么是流形的切空间，并给出一个具体的例子。

2. 解释什么是联络，并简述其在微分几何中的重要性。

3. 描述什么是测地线，并解释它在广义相对论中的应用。

三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二维黎曼流形 \((M, g)\)，其度量张量 \(g\) 在局部坐标系 \((x^1, x^2)\) 下的分量为 \(g_{11} = 1, g_{12} = 0,g_{22} = x^1\)。

求该流形的黎曼曲率张量 \(R\)。

2. 考虑一个三维空间中的曲面 \(S\)，参数化表示为 \(\phi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, v)\)。

计算曲面 \(S\) 的第一基本形式和第二基本形式，并求出其高斯曲率和平均曲率。

微分几何试题库(选择题)

12 / 11二．单项选择题1．0()P t 是曲线r =()r t 上一点，1P 是曲线上P 点附近的一点，S ∆为弧1PP 的长，ϕ∆为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。

则下面不等于0lim ||s sϕ∆→∆∆。

①0()k t ② |0()r t | ③0|()|t α④0()t τ2．曲线r =()r s 在P 点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则β= 。

① k(s)α② -k(s)α+()s τγ③ -()s τα④ k(s)α-()s τγ3．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γ= .① k(s)β②()s τβ③-k(s)α+()s τγ④ -()s τβ4. 曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式不正确。

①α=- k(s)β②β= -k(s)α+()s τγ ③α= k(s)β④γ=-()s τβ5．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。

①αβ②βα③αβ④γβ6．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

则下式不正确。

①α=2β②β= 3α-2γ ③β= -3α+2γ④γ =2β7．曲线r =()r s 在P （s ）点的基本向量为α，β，γ。

在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。

13 / 11①αβ②βγ ③βα④ -γβ8．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式不正确。

①2|'''||'|r r k r ⨯=②3|'''||'|r r k r ⨯= ③||k r =④2(','',''')(''')r r r r r τ=⨯9．曲线r =()r t 在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式不正确。