微分几何试题库(选择题)

二．单项选择题

1．0()P t 是曲线r r =()r t r

上一点，

1P 是曲线上P 点附近的一点，S ∆为弧»1PP 的长，ϕ∆为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0

lim |

|s s

ϕ

∆→∆∆。 ① 0()k t ② |0()r t r

&&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ

2．曲线r r =()r s r

在P 点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的

曲率k(s)，挠率为()s τ，则βr &

= 。

① k(s)αr ② -k(s)αr

+()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr

-()s τγr 3．曲线r r =()r s r

在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γr

&= .

① k(s)βr ② ()s τβr

③-k(s)αr +()s τγr

④ -()s τβr

4. 曲线r r =()r s r

在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。

①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr

③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr

5．曲线r r =()r s r

在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。

① αr &βr & ② βr &αr

③ αr &βr ④ γr &βr

6．曲线r r =()r s r

在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。

则下式 不正确。

① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr

③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr

7．曲线r r =()r s r

在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。

① αr &βr & ② βr &γr

③ βr &αr ④ -γr &βr

8．曲线r r =()r t r

在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式 不正确。

①2|'''||'|r r k r ⨯=r r r ②3|'''||'|r r k r ⨯=r r

r

③||k r =r

&

& ④2(','',''')(''')

r r r r r τ=⨯r r r

r r 9．曲线r r =()r t r

在P 点的曲率k ，挠率为τ，则下式 不

正确。

① 2

(,,)r r r r τ=r r r &&&&&&r && ② 2(,,)

r r r k τ=r r r &&&&&& ③2(','',''')(''')r r r r r τ=⨯r r r r r ④(','',''')|'''|

r r r r r τ=⨯r r r

r r

10．设曲线 (C)：r r =()r t r

，以下 不是(C)为平面曲线

的充要条件。

① (C)的密切平面固定；② (C)的副法向量γr

=常矢

③ (C)的曲率k=0； ④ (C)的挠率τ=0。

11．已知曲线r r =()r t r 在0()r t r

点的挠率为τ，则τ是

时，曲线在0()r t r

点附近是右旋的。

① —2 ②

③ —

2

π

④

12．若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是

。

①直线； ② 平面曲线；

③ 球面曲线； ④ 圆柱螺线。

13．若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ 是 。

①平面曲线； ② 球面曲线； ③圆柱螺线； ④ 直线。

14．平面曲线 (C)的法线和它的渐缩线()C *在对应点处 。

① 相交； ② 相离；

③ 相切； ④ 关系不确定。

15．平面曲线 (C)上两点的曲率半径之差 渐缩线上对应点之间的弧长。

① 等于； ②大于；

③小于； ④ 不等于。

16．曲线 (C)是一般螺线，则以下命题 不正确。 ① (C)的切线与一固定方向成固定角； ② (C)的副法线与一固定方向成固定角； ③ (C)的主法线与一固定方向垂直； ④ (C)的副法线与一固定方向垂直。

17．曲线 (C)在条件 下不一定是一般螺线。 ① 其切向量与一固定方向成固定角； ② 其主法向量与一固定方向成固定角； ③ 其副法向量与一固定方向成固定角； ④ 其曲率与挠率之比为常数。 18．若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题 不正确。

① 曲线的主法线与固定方向垂直； ② 曲线的副法线与固定方向成定角； ③ 曲线的副法线与固定方向垂直； ④ 曲线的曲率与挠率之比为常数。 19．下述命题不正确的是 。

① 若曲线 (C)的密切平面固定，则(C)是平面曲线；

② 若曲线 (C)的密切平面垂直于某条固定直线，则(C)是平面曲线；

③ 若曲线 (C)的挠率()s τ=0，则(C)是平面曲线；

④ 若曲线 (C)的从切平面平行于固定直线，则(C)是平面曲线。

20．对曲面的第一基本形式222Edu Fdudv Gdv I =++，

2EG F -

① > 0； ② < 0 ； ③ ≥0 ； ④ ≤ 0 。

21．球面{cos cos ,cos sin ,sin }r R R R θϕθϕθ=r

的第一基本形式I= 。

① 22222cos R d R d ϕθθ+； ②22222cos R d R d θϕθ+； ③ 22222sin R d R d ϕθθ+； ④22222sin R d R d θϕθ+。

22 . 正螺面{cos ,sin ,}r u v u v bv =r

的第一基本形式是 。

① 2222()du u b dv ++ ② 2222()u b du dv ++ ③ 222u du dv + ④ 222du u dv +

23．正螺面{cos ,sin ,}r u v u v bv =r

的第二基本形式是 。

①

- ②

③ 2222()u b du dv ++ ④ 2222()du u b dv ++

24．对于圆柱面{cos ,sin ,}r R R z θθ=r

，以下结论 不正

确。