题型1-集合(文氏图)
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之12集合基本运算的venn图文氏图
【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之12集合基本运算的venn图文氏图一、选择题（共46小题；共230分）1. 设集合U={1,2,3,4,5}，A={2,3,4}，B={3,5}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {2,3}B. {1,4}C. {5}D. {6}2. 已知全集U=R，则正确表示集合M={−1,0,1}和N={x∣ x2+x=0}关系的维恩图是( )A. B.C. D.3. 下列正确表示集合M={−1,0,1}和N={x∣ x2+x=0}关系的Venn图是( )A. B.C. D.4. 设全集U=R，集合A={x∣ 7−6x≤0}，集合B={x∣ y=lg(x+2)}，则(∁U A)∩B等于( )A. (−2,76) B. (76,+∞) C. [−2,76] D. (−2,−76)5. 已知集合A={x∣ 2x2−7x+3<0}，B={x∈Z∣ lgx<1}，则阴影部分表示的集合的元素个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则( )A. ∀x∈Q，有x∈PB. ∀x∉Q，有x∉PC. ∃x0∉Q，使得x0∈PD. ∃x0∈P，使得x0∉Q7. 已知全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x∈R∣x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0,1}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}8. 设全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,3,5}，N={2,5}，则Venn 图中阴影部分表示的集合是( )A. {5}B. {1,3}C. {2,4}D. {2,3,4}9. 已知全集U=R，集合A={0,1,2}，B={2,3,4}，如图阴影部分所表示的集合为( )A. {2}B. {0,1}C. {3,4}D. {0,1,2,3,4}10. 已知I为全集，集合M,N⊆I．若N⫋M，则( )A. (∁I M)⊇(∁I N)B. M⊆(∁I N)C. (∁I M)⊆(∁I N)D. M⊇(∁I N)11. 设全集U是实数集R，M={x∣ x2>4}，N={x∣ x≥3或x<1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {x∣ −2≤x<1}B. {x∣ −2≤x≤2}C. {x∣ 1<x≤2}D. {x∣ x<2}12. 用集合表示图中的阴影部分是( )A. ∁U A∩BB. ∁U A∩∁U BC. A∩∁U BD. A∪∁U B13. 已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有( )A. M⊆∁U NB. M⫋∁U NC. ∁U M=∁U ND. M=N14. 学校举办了一次田径运动会，某班有8人参赛，后又举办了一次球类运动会，这个班有12人参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有( )名同学参赛．A. 17B. 18C. 19D. 2015. 设全集U=N∗，集合A={2,3,6,8,9}，集合B={x∣ x>3,x∈N∗}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {2}B. {2,3}C. {1,2,3}D. {6,8,9}16. 已知集合A，B，C为非空集合，M=A∩C，N=B∩C，P=M∪N，则一定有( )A. C∩P=CB. C∩P=PC. C∩P=C∪PD. C∩P=∅17. 如图，U是全集，M，P，S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A. (M∩P)∩SB. (M∩P)∪SC. (M∩P)∩∁U SD. (M∩P)∪∁U S18. 设A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有( )A. A⊆CB. C⊆AC. A≠CD. A≠∅19. 已知全集U={2,3,4,5,6,7}，M={3,5,7}，N={2,3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合是( )A. {2,3,4,5}B. {2,4}C. {3,5}D. {7}20. 用集合表示图中的阴影部分是( )A. ∁U A∩BB. ∁U A∩∁U BC. A∩∁U BD. A∪∁U B21. 记全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={1,2,3,5}，B={2,4,6}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {4,6,7,8}B. {2}C. {7,8}D. {1,2,3,4,5,6}22. 图中阴影表示的集合为( )A. (P∪Q)∩∁U SB. (P∩Q)∪∁U SC. (P∩Q)∩∁U SD. (P∪Q)∪∁U S≤0}都是I的子集（如图所示），则阴影23. 设全集I是实数集R，M={x∣ x>2}与N={x∣ x−3x−1部分所表示的集合为( )A. {x∣ x<2}B. {x∣ −2≤x<1}C. {x∣ 1<x≤2}D. {x∣ −2≤x≤2}24. 已知表示集合M={x∣ −2≤x−1≤2}和N={x∣ x=2k−1,k∈N+}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷个25. 如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是( ) .A. A∩BB. B∩(∁U A)C. A∪BD. A∩(∁U B)26. 已知全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x∈R∣ x≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0,1}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}27. 已知全集U=R，则正确表示集合M={−1,0,1}和N={x∣ x2+x=0}的关系的韦恩（Venn）图是( )A. B.C. D.28. 如图，能正确表示图形中阴影部分的是( )A. (A∪C)∩(B∪C)B. (A∪B)∩(A∪C)C. (A∪B)∩(B∪C)D. (A∪B)∩C29. 图中阴影部分可用集合U，M，P表示为( )A. (M∩P)∪(M∪P)B. (∁U M∩P)∪(M∩∁U P)C. M∩∁U(M∩P)D. P∪∁U(M∩P)30. 如图，阴影部分表示的集合是( )A. B∩[∁U(A∪C)]B. (A∪B)∪(B∪C)C. (A∪C)∩(∁U B)D. [∁U(A∩C)]∪B31. 已知全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B={x∈R∣ x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为( )A. {1,2}B. {4,5}C. {1,2,3}D. {3,4,5}32. 图中阴影部分可用集合U、M、P表示为( )A. (M∩P)∪(M∪P)B. (∁U M∩P)∪(M∩∁U P)C. M∩∁U(M∩P)D. P∪∁U(M∩P)33. 某校组织学生假期游学活动．设计了两条路线：A路线为“山西寻根之旅”，B路线为“齐鲁文化之旅”，现调查了50名学生的游学意愿．有如下结果：选择A路线的人数是全体的五分之三．选择B路线的人数比选择A路线的人数多3；另外，两条路线A，B都不选择的学生人数比两条路线A，B都选择的人数的三分之一多3．则两条路线A，B都不选择的学生人数为( )A. 8B. 9C. 10D. 1134. 定义差集A−B={x∣ x∈A且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示集合C−(A−B)的为( )A. B.C. D.35. 设全集 U 是实数集 R ，集合 M ={x∣ x <−2或x >2}，N ={x∣ x 2−4x +3<0}，则图中阴影部分所表示的集合是 ( )A. {x∣ −2≤x <1}B. {x∣ −2≤x ≤2}C. {x∣ 1<x ≤2}D. {x∣ x <2}36. 如图，I 为全集，M ，P ，S 是 I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是 ( )A. (M ∩P )∩SB. (M ∩P )∪SC. (M ∩P )∩∁I SD. (M ∩P )∪∁I S37. 设 A ={x∣ x 2−4x +3≤0}，B ={x∣ ln (3−2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为 ( )A. (−∞,32)B. (1,32)C. [1,32)D. (32,3]38. 如图所示的韦恩图中，A ，B 是非空集合，定义集合 A#B 为阴影部分表示的集合．若 x,y ∈R ，A ={x∣ y =√2x −x 2}，B ={y∣ y =3x ,x >0}，则 A#B 为 ( )A. {x∣ 0<x <2}B. {x∣ 1<x ≤2}C. {x∣ 0≤x ≤1或x ≥2}D. {x∣ 0≤x ≤1或x >2}39. 如图所示，U 是全集，M ，N ，S 是 U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是 ( )A. (∁U M∩∁U N)∩SB. ∁U(M∩N)∩SC. (∁U M∩∁U S)∪MD. (∁U M∩∁U S)∪N40. 如图所示，M,P,S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A. (M∩P)∩SB. (M∩P)∪SC. (M∩S)∩(∁S P)D. (M∩P)∪(∁V S)41. 已知集合A={x∣ x2−6x+8≤0}，B={1,2,3,4,5}，则阴影部分所表示的集合的元素个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 442. 有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍，在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票，则只持有B股票的股民人数是( )A. 7B. 6C. 5D. 443. 设全集U=R，集合A={x∈N∣ x2<6x}，B={x∈N∣ 3<x<8}，则如图阴影部分表示的集合是( )A. {1,2,3,4,5}B. {1,2,3}C. {3,4}D. {4,5,6,7}44. 已知全集U=R，N={x∣ x(x+3)<0}，M={x∣ x<−1}则图中阴影部分表示的集合是( )A. {x∣ −3<x<−1}B. {x∣ −3<x<0}C. {x∣ −1≤x<0}D. {x<3}45. 设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={1,2,3,5}，B={2,4,6}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A. {2}B. {4,6}C. {1,3,5}D. {4,6,7,8}46. 如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A. (∁I A∩B)∩CB. (∁I B∪A)∩CC. (A∩B)∩∁I CD. (A∩∁I B)∩C二、填空题（共40小题；共202分）47. 设全集U=Z，集合A={1,3,5,7}，B={1,2,3,4,5,6}，则图中阴影部分表示的集合是．48. Venn图：用平面上曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．49. 已知全集U=R，集合A={x∣ ∣x∣≤1,x∈Z}，B={x∣ x2−2x=0}，则如图所示的阴影部分表示的集合为．50. 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有人．51. 若集合A，B，C可能为{平行四边形}，{正方形}，{矩形}，且如图所示的包含关系成立，则A，B，C应分别为．52. 已知全集U=R，集合A={x∣ 0<x<9,x∈R}和B={x∣ −4<x<4,x∈Z}关系的Venn 图如图所示，则图中阴影部分所示的集合中的元素共有个．53. 设全集U是实数集R，M={x∣ x<−2,或x>2}，N={x∣ 1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为．54. 如图，设U为全集，且M⫋U，N⫋U，N⊆M，则①∁U M⊇∁U N；②M⊆∁U N；③∁U M⊆∁U N；④M⊆∁U N．其中不正确的是．（填序号）55. 某班有学生55人，其中体育爱好者有43人，音乐爱好者有34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为．56. 如图，A，B，C为某随机试验中的三个事件，它们的对立事件分别为A，B，C，则图中阴影部分所对应的事件为．57. 给出事件A与B的关系示意图，如图中①∼⑥，请用相应的图号填空：（1）事件A⊆B的示意图是；（2）A=B的示意图是；（3）A∪B的示意图是；（4）A∩B的示意图是；（5）事件A与B互斥的示意图是；（6）事件A与B互为对立事件的示意图是．58. 定义集合A，B的运算：A⊗B={x∣ x∈A或x∈B,且x∉A∩B}，则A⊗B⊗A=．59. 某单位共有员工85名，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有人．60. 已知全集U=R，集合M={x∣ −2≤x−1≤2}，N={x∣ x=2k−1,k=1,2,⋯}，则图中的阴影部分表示的集合的元素共有个．61. 50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远、铅球测试及格的分别有40人和31人，两项测试均不及格的有4人，两项测试全都及格的人数是．62. 设全集U=R，A={x∣ x2+3x<0}，B={x∣ x+1<0}，则图中阴影部分表示的集合为．63. 如图，已知集合A={2,3,4,5,6,8}，B={1,3,4,5,7}，C={2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为．64. 已知集合U，S，T，F之间的关系如图所示，下列关系中错误的有．（只填序号）①S⫋U；②F⫋T；③S⫋T；④S⫌F；⑤S⫋F；⑥F⫋U．65. 已知全集U=R，集合A={0,1,2}，B={x∈Z∣ x2≤3}，如图阴影部分所表示的集合为．66. 已知A={0,2,4}，∁U A={−1,1}，∁U B={−1,0,2}，则B=．67. 某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人．68. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩B={2}，(∁U A)∩(∁U B)={1,9}，(∁U A)∩B={4,6,8}，则集合A=，B=．69. 高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有人．70. 50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有人．71. 如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则阴影部分所表示的集合是．72. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．73. 已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)=∅，则M∪N=．74. 已知集合A={x∣ (x−1)(x−4)<0}，B={x∣ y=√2−x}，那么图中阴影部分所表示的集合为．75. 1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有个．76. 某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有人．77. 某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器A，B的信息：①316人使用A；②478人使用B；③104人同时使用A和B；④567人只使用A，B中的一种网络浏览器．则这条信息为（填“真”或“假”），理由是．78. 设全集U=Z，A={1,3,5,7,9}，B={1,2,3,4,5,6}，则图中阴影部分表示的集合是．≥0}，则图中阴影部分所表示的79. 全集U是实数集R，集合M={x∣ x2>9}，集合N={x∣ 2x−e集合是．80. 定义集合A,B的运算：A⊗B={x∣ x∈A或x∈B且x∉A∩B}，则(A⊗B)⊗A=．≥0}，则下图中阴影部分所表示81. 设全集U是实数集R，集合M={x∣ x2>9}，集合N={x∣ 2x−e的集合是．82. 已知全集U，M，N是U的非空子集，若∁U M⊇N，则下列关系正确的是（填序号）．①M⊆∁U N；②M⫋∁U N；③∁U M=∁U N；④M=N．83. 设全集U={(x,y)∣ x,y∈R}，集合A={(x,y)∣ x2+y2≤2x}，B={(x,y)∣ x2+y2≤4x}，给出以下命题：①A∩B=A，②A∪B=B，③A∩(∁U B)=∅，④B∩(∁U A)=U，其中正确的有．（写出所有正确命题的序号）84. 设集合U=R，M={x∣ x2−3x−4<0}，N={x∣ 0≤x≤5}，则如图所示的阴影部分表示的集合为．85. 设全集U是实数集R，M={x∣ x2>4}，N={x∣ 1≤x≤3}，则图中阴影部分所表示的集合是．86. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况，第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品：前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网站：①第一天售出但第二天未售出的商品有种；②这三天售出的商品最少有种．三、解答题（共14小题；共182分）87. 在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个同学至少选作一题．在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；解出甲题的人数比余下的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题?88. 已知S={x∣ x≤10,且x∈N∗}，A⫋S，B⫋S，且A∩B={4,5}，(∁S A)={1,2,3}，(∁S A)∩(∁S B)={6,7,8}，求集合A和集合B．89. 设全集U={x∣0<x<10,x∈N∗}，若A∩B={3}，A∩(∁U B)={1,5,7}，(∁U A)∩(∁U B)={9}，求A，B．90. 已知全集为U，集合A={1,3,5,7,9}，∁U A={2,4,6,8}，∁U B={1,4,6,8,9}，求集合B．91. 我们知道，如果集合A⊆U，那么U的子集A的补集为∁U A={x∣ x∈U,且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x∣ x∈A,且x∉B}叫做A与B的差集，记作A−B．例如，A= {1,2,3,5,8}，B={4,5,6,7,8}，则A−B={1,2,3}，B−A={4,6,7}．据此，回答以下问题：（1）补集与差集有何异同点?（2）若U是高一（1）班全体同学的集合，A是高一（1）班女同学组成的集合，求U−A及∁U A；（3）在图中，分别用阴影表示集合A−B；（4）如果A−B=∅，那么A与B之间具有怎样的关系?92. 已知全集U，集合A={1,3,5,7,9}，∁U A={2,4,6,8}，∁U B={1,4,6,8,9}，求集合B．93. 向50名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人．94. 某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A,B,C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A,B者5人，答错A,C者3人，答错B,C者4人，A,B,C都答错的有1人，问A,B,C都答对的有多少人?95. 学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人?96. 已知全集U={不大于20的质数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)={3,5}，(∁U M)∩N={7,19}，(∁U M)∩(∁U N)={2,17}，求M，N．97. 我们知道，如果集合A⊆S，那么S的子集A的补集为∁S A={x∣ x∈S,且x∉A}．类似地，对于集合A，B，我们把集合{x∣ x∈A,且x∉B}叫做集合A与B的差集，记作A−B，据此回答下列问题：（1）若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，求A−B；（2）在下列各图中用阴影表示集合A−B；<x≤2}，A−B=∅，求实数a的取值范围．（3）如果A={x∣ 0<ax−1≤5}，B={x∣ −1298. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人三项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人?99. 集合S={x∣∣x≤10,且x∈N∗}，A⫋S，B⫋S，且A∩B={4,5}，(∁S B)∩A={1,2,3}，(∁S A)∩(∁S B)={6,7,8}，求集合A和B．100. 某校先后举行数、理、化三科竞赛，学生中至少参加一科的有：数学807人，物理739人，化学437人；至少参加两科的有：数、物593人，数、化371人，物、化267人；三科都参加的有213人，试计算参加竞赛的学生总数．答案第一部分1. C2. B 【解析】N ={−1,0}，N ⊆M ⊆U ．3. B4. A 【解析】依题意得 A ={x ∣∣ x ≥76}，∁U A ={x ∣∣ x <76}；B ={x∣ x +2>0}={x∣ x >−2}，则 (∁U A )∩B ={x ∣∣ −2<x <76}． 5. B【解析】阴影部分所表示的集合为 A ∩B ，A ={x∣ 2x 2−7x +3<0}=(12,3)，B ={x ∈Z∣ lgx <1}={x ∈Z∣ 0<x <10}，A ∩B ={1,2}．那么满足图中阴影部分的集合的元素的个数为 2．6. B 【解析】因为 P ∩Q =P ，所以 P ⊆Q ，所以A 错误；B 正确；C 错误；D 错误．7. B【解析】因为 A ∩B ={2,3,4,5}，而图中阴影部分为 A 去掉 A ∩B ， 所以阴影部分所表示的集合为 {1}． 8. B 【解析】由图象知，阴影部分表示的集合的元素为从集合 M 中去掉集合 M ，N 的公共元素后剩余的元素构成的集合．又 N ={2,5}，所以 M ∩N ={5}，所以阴影部分表示的集合为 {1,3}．9. B 【解析】题图中阴影部分表示集合 A ∩∁U B ，因为 ∁U B ={x ∈R∣ x ≠2且x ≠3且x ≠4}，所以 A ∩∁U B ={0,1}．10. C【解析】根据 N ⫋M ，构造Venn 图，如下图所示．依图分析，有 (∁I M )⊆(∁I N )．11. A 12. C 13. A 14. A 15. B16. B 【解析】画出维恩图，如图所示，因为M=A∩C，N=B∩C，P=M∪N，则有M∪N⊆C，即P⊆C，所以C∩P=P．17. C 18. A 【解析】若A=B=C=∅，则A∪B=B∩C=∅成立，排除C，D选项.若A，B，C都不是空集，作出Venn图如图所示，可知A成立．19. B 20. C21. C 22. C 23. C 24. B 【解析】M={x∣ −1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3}，即阴影部分所表示的集合中共有2个元素．25. B【解析】由图知，阴影部分中的元素在集合B中但不在集合A中，所以阴影部分所表示的集合是B∩(∁U A) .26. B 【解析】因为A∩B={2,3,4,5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}．27. B 【解析】由N={x∣ x2+x=0}，得N={−1,0}，又M={−1,0,1}，则N⫋M．28. A 29. B 【解析】由图可知右边阴影部分为∁U M∩P，左边阴影部分为∁U P∩M．30. C【解析】阴影部分不包含B，所以在B的补集中，另外，阴影部分是A∪C的一部分，所以阴影部分可表示为(A∪C)∩(∁U B) .31. A 32. B 33. D 【解析】由题意：选择A的人数30，选择B的人数为33，x+3，设对A，B都选择的学生数为x，则对A，B都不选择的学生数13x+3=50，可得x+30−x+33−x+13x+3=11．所以x=24，1334. A 【解析】本题考查集合的Venn图表示和运算．观察选项A，我们就不难发现，它正好表示集合C−(A−B)．35. C36. C 【解析】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁I S的子集．则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S．37. B 【解析】A={x∣ x2−4x+3≤0}={x∣ 1≤x≤3}，B={x∣ ln(3−2x)<0}={x∣ 0<3−2x<1}},={x∣ 1<x<32}．图中阴影部分表示的为A∩B={x∣ 1<x<3238. D 【解析】A={x∣ y=√2x−x2}={x∣ 2x−x2≥0}={x∣ 0≤x≤2}，B={y∣ y=3x(x> 0)}={y∣ y>1}，则A∪B={x∣ x≥0}，A∩B={x∣ 1<x≤2}．根据图，得A#B=∁A∪B(A∩B)= {0∣ 0≤x≤1或x>2}．39. A 【解析】由集合运算公式及维恩图可知，A正确.40. C【解析】阴影部分是M∩S的部分再去掉属于集合P的一小部分，因此为(M∩S)∩(∁S P)．41. C 【解析】由 Venn图可得阴影部分对应的集合为A∩B，A={x∣ x2−6x+8≤0}={x∣ 2≤x≤4}，则A∩B={2,3,4}，则对应集合元素个数为3．42. A 43. B 【解析】根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A的部分，即A∩(∁R B)，因为A={x∈N∣ x2<6x}={x∈N∣ 0<x<6}={1,2,3,4,5}，B={x∈N∣ 3<x<8}={4,5,6,7}，所以∁R B={x∣ x≠4,5,6,7∣}，所以A∩(∁R B)={1,2,3}．44. C 【解析】N={x∣ x(x+3)<0}={x∣ −3<x<0}，由图象知，图中阴影部分所表示的集合是N∩(∁U M)，又M={x∣ x<−1}，所以∁U M={x∣ x≥−1}，所以N∩(∁U M)=[−1,0)．45. B46. D 【解析】由图可知阴影部分是A的元素，且是C的元素，但不属于B，所表示的集合是(A∩∁I B)∩C．第二部分47. {2,4,6}【解析】图中阴影部分表示的集合是(∁U A)∩B={2,4,6}．48. 封闭49. {2}【解析】A={−1,0,1}，B={0,2}，所以阴影部分为B∩∁U A={2}．50. 8【解析】由题意知，同时参加三个小组的人数为0，令同时参加数学和化学小组的人数为x人．则20−x+6+5+4+9−x+x=36，解得x=8．51. {正方形}，{矩形}，{平行四边形}【解析】由Venn图可知A，B，C三个集合之间的包含关系为A⫋B⫋C，则A，B，C应分别为{正方形}，{矩形}，{平行四边形}．52. 4【解析】提示：阴影部分的集合为{−3,−2,−1,0}．53. {x∣ −2≤x<1}【解析】阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)=∁U{x∣ x<−2,或x≥1}={x∣ −2≤x<1}．54. ①②④【解析】作出Venn图可知，只有③正确．55. 26【解析】全班分四类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为x人，则仅爱好体育的人数为(43−x)人，仅爱好音乐的人数为(34−x)人，既不爱好体育又不爱好音乐的人数为4人，所以(43−x)+(34−x)+x+4=55，解得x=26．56. A∩B∩C57. ③，④，⑤，①③④⑤，②④，①⑥，⑥58. B59. 1260. 261. 25【解析】设只有跳远及格的人数为x人，只有铅球及格的有y人，两项都及格的有z人，由题意得{x+z=40,z+y=31,x+y+z=46,即z=25．62. {x∣ −3<x<−1}63. {2,8}【解析】A∩C={2,4,5,8}，又{4,5}属于集合B，{2,8}不属于集合B，故阴影部分表示的集合为{2,8}．64. ②④⑤【解析】根据子集、真子集的定义．由Venn图的关系，可以看出S⫋U，S⫋T，F⫋U正确，其余错误．65. {2}【解析】由Venn图可知，阴影部分的元素为属于A当不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩(∁U B)．B={x∈Z∣ x2≤3}={−1,0,1}，则∁U B={x∈Z∣ x≠0且x≠±1}，则A∩(∁U B)={2}．66. {1,4}【解析】利用维恩图，B={1,4}．67. 26【解析】全班分4类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为x人；仅爱好体育的人数为43−x人；仅爱好音乐的人数为34−x人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为4人．∴43−x+34−x+x+4=55，∴x=26．68. {2,3,5,7}，{2,4,6,8}．【解析】利用韦恩图即可．69. 20【解析】提示：该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有32+28−(45−5)=20．70. 25【解析】设两种实验都做对有x人，则只有物理做正确的有40−x人，只有化学做正确的有31−x 人，所以4+(40−x)+x+(31−x)=50，求得x=25．71. B∩∁U(A∩B)72. 16，29【解析】设第一天售出的商品种类构成集合A，第二天售出的商品种类构成集合B，第三天售出的商品种类构成集合C，关系如图．①第一天售出但第二天未售出的共16种．②若这三天售出的商品种类最少，只需令第三天售出且未在第二天售出的14种商品全在第一天售出的且未在第二天售出的16种商品中，此时共有16+3+6+4=29种．73. M【解析】如图，因为N∩(∁I M)=∅，所以N⊆M，所以M∪N=M．74. (1,2]【解析】由题图知，阴影部分是两集合的交集，因为集合A={x∣ 1<x<4}，B={x∣ x≤2}，所以A∩B={x∣ 1<x≤2}．75. 54【解析】这200个数中是2的倍数的数有100个，是3的倍数的数有66个，是5的倍数的数有40个，而既是2又是3的倍数的数有33个，既是2又是5的倍数的数有20个，既是3又是5的倍数的数有13个，既是2、3又是5的倍数的数有6个．把这些数据作成韦恩图，如图所示：可知1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有200−100−66−40+33+20+13−6=54个．76. 22【解析】图中阴影部分就是所求：即喜欢体育又喜欢文艺的有28+26+12−60=6人，在喜欢体育的人里把两者都喜欢的去掉即为喜欢体育但不喜欢文艺的人数，共有28−6=22人．77. 假，由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212+374=586，这与④矛盾【解析】若①②③为真，则只使用A上网的人数为212，只使用B上网的人数为374，则只使用A，B中的一种浏览器上网的人数为586，与④不符，所以这条信息为假．78. {2,4,6}【解析】图中阴影部分表示的集合是B∩(∁U A)={2,4,6}．79. (∁U M)∩N={x∣ e<x≤3} .【解析】题图中阴影部分可表示为元素属于集合U，属于集合N，并且不属于集合M，即元素所在集合为(∁U M)∩N，集合M为{x∣ x>3,或x<−3}，集合N为{x∣ x>e}，由集合的运算知，(∁U M)∩N={x∣ e<x≤3} .80. B【解析】如图，A⊗B表示的是阴影部分，设A⊗B=C，可知C⊗A=B．81. 题图中阴影部分可表示为元素属于集合U，属于集合N，并且不属于集合M，即元素所在集合为(∁U M)∩N．集合M={x∣ x>3或x<−3}，集合N={x∣ x>e}，由集合的运算知，(∁U M)∩N={x∣ e<x≤3}．82. ①【解析】结合Venn图判断，易知①正确．83. ①②③【解析】集合A表示的是以(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部的点构成的集合，集合B表示的是以(2,0)为圆心，2为半径的圆及其内部的点构成的集合，易知A⊆B，利用韦恩图可知，①②③正确，④错误．84. {x∣ 4≤x≤5}85. {x∣ 1≤x≤2}86. 16，29【解析】因为第一天和第二天都卖出商品有3种，所以第一天出售但是第二天未出售的商品有16种；因为第一天和第二天共同出售3种，第三天和第二天共同出售4种，那么这三天最少卖出29种，即第一天的16种商品里面包含第三天剩余的14种．第三部分87.利用文氏图，见右图；可得如下等式a+b+c+d+e+f+g=25b+f=2(c+f)a=d+e+g+1a=b+c联立可得b=6．88. 构造Venn图．因为A∩B={4,5}所以将4，5写在A∩B中．因为(∁S B)∩A=(1,2,3)所以将1，2，3写在A中，A∩B之外．因为(∁S A)∩(∁S B)={6,7,8}，所以将6，7，8写在S中，A，B之外．因为(∁S B)∩A与(∁S A)∩(∁S B)中均无9，10，所以9，10在B中．如图1−5，故A={1,2,3,4,5}，B={4,5,9,10}89. 根据题意，画出Venn图，如图．由图可知，A={1,3,5,7}，B={2,3,4,6,8}．90. 借助维恩图（如图所示），得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，因为∁U B={1,4,6,8,9}，所以B={2,3,5,7}．91. （1）补集∁U A的前提条件是A⊆U，而差集则无此要求，这是两种运算的不同之处；相同点是x 属于一个集合，但又不属于另一个集合．（2）U−A={x∣ x是高一(1)班的男生}，∁U A={x∣ x是高一(1)班的男生}．（3）如下图所示.（4）若A−B=∅，则A⊆B．92. 借助Venn图（如图所示）得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，因为∁U B={1,4,6,8,9}，所以B={2,3,5,7}．=30，赞成B的人数为30+3=33．93. 解：赞成A的人数为50×35记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B．+1，赞成A而不赞成B 设对事件A，B都赞成的学生人数为x，则对A，B都不赞成的学生人数为x3的人数为30−x，赞成B而不赞成A的人数为33−x．如下图，+1)=50，解得x=21．依题意有(30−x)+(33−x)+x+(x3所以对A，B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人．94. 由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A,B,C全对的有50−32=18人．95. 解如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a,b,x．根据题意有{a+x=20,b+x=11,a+b+x=30−4.解得x=5，即两项都参加的有5人．96. 如图所示，由(∁U M)∩(∁U N)={2,17}可知，M，N中没有元素2，17；由(∁U M)∩N={7,19}可知，M中没有元素7，19；N中有元素7，19；由M∩{∁U N}={3,5}可知，M中有元素，3，5，N中没有元素3，5．剩下的元素11，13，不在{∁U M}∩(∁U N)，(∁U M)∩N,M∩(∁U N)三部分中，则11∈M∩N，13∈M∈N．所以M={3,5,11,13}，N={7,11,13,19}．97. （1）A−B={1,2}．（2）（3）由A−B=∅，得A⊆B．A={x∣ 0<ax−1≤5}={x∣ 1<ax≤6}．当a=0时，A=∅，此时A−B=∅，符合题意；当a>0时，A={x∣ 1a <x≤6a}，若A−B=∅，则6a≤2，a≥3；当a<0时，A={x∣ 6a ≤x<1a}，若A−B=∅，则6a>−12，a<−12．综上所述，实数a的取值范围是{a∣ a<−12或a=0或a≥3}．98. 设A∩B∩C={x∣∣x是三项工作都参加的同学}．则三项工作都参加的人数为x，则各集合之间的关系可用图表示．测绘队的总人数为：(10−x)+(8−x)+(6−x)+8+6+4+x=42−2x．在绘图的16人中，已知10人兼职做其他，故0≤x≤6所以30≤42−2x≤42，即测绘队人数最少为30人，此时x=6．99. 如图所示，因为A∩B={4,5}，所以将4，5写在A∩B中．因为(∁S B)∩A={1,2,3}，所以将1，2，3写在A中．因为(∁S B)∩(∁S A)={6,7,8}，所以将6，7，8写在S中A，B外．因为(∁S B)∩A与(∁S B)∩(∁S A)中均无9，10，所以9，10在B中．故A={1,2,3,4,5}，B={4,5,9,10}．100. 设A，B，C分别表示参加数学、物理、化学竞赛的学生的集合，全体学生集合为U，如图：A∩B∩C：三科竞赛都参加的学生有213人；(A∩B)∩∁U C：只参加数、物竞赛的学生有593−213=380（人）；∁U A∩(B∩C)：只参加物、化竞赛的学生有267−213=54（人）；A∩(∁U B∩C)：只参加数、化竞赛的学生有371−213=158（人）；A∩∁U B∩∁U C：只参加数学竞赛的学生有807−380−213−158=56（人）；∁U A∩B∩∁U C：只参加物理竞赛的学生有739−213−380−54=92（人）；∁U A∩∁U B∩C：只参加化学竞赛的学生有437−213−54−158=12（人）．故参加竞赛的总人数有：213+380+54+158+56+92+12=965（人）．。
专题1__集合-2019年高考文科数学高频考点与配套测试题
1 集合与常用逻辑用语 集合【考点讲解】一、具本目标：1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系. 2. 能够正确处理含有字母的讨论问题，掌握集合的交、并、补运算和性质.3. 要求具备数形结合的思想意思，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合运算的问题.4. 命题是以集合为主，其中基本知识和基本技能是高考的热点.5. 本节在高考中的分值为5分左右，属于中低档题型. 二、知识概述：1.集合的含义与表示：（1）集合元素的特征：确定性、互异性、无序性； （2）元素与集合的关系及表示：属于（用符号∈），与不属于（用符号∉）.2.集合的表示方法：列举法、描述法、Venn 图法.3.集合的分类：（1）有限集：元素的个数是有限个. （2）无限集：元素的个数是无限个. （3）空集：不含任何元素.4.常用的数集及其符号：非负整数集（自然数集）N. 正整数集：*N 或+N . 整数集：Z. 有理数集：Q. 实数集：R.6. 集合间的基本关系：子集：如果集合A 中的所有元素都是集合B 中的元素，则称集合A 为集合B 的子集. 符号语言：()A B B A ⊇⊆.真子集：如果集合BA ⊆，存在元素,B a ∈但,A a ∉则称集合A 是集合B 集合的真子集. 符号语言：A. B集合相等：如果集合A 与集合B 中的元素相同，则称集合A 与集合B 相等. 符号语言：A =B7. 集合的基本运算：（1）并集：对于两个给定的集合A,B ，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合.符号语言：{}B x A x x B A ∈∈=或Y（2）交集：对于两个给定的集合A,B，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合.符号语言：{}B xA x xB A ∈∈=且IB（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 在全集U 中的补集.符号语言：{}A x U x x A C U ∉∈=且 图形语言：【真题分析】1．（2018全国文数Ⅰ）.已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I （ ） A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，，【答案】A【变式】（1)（16天津文）已知集合{}3,2,1=A ，{}A x x y y B ∈-==,12|，则=B A I （ ） A.{}3,1 B.{}2,1 C.{}3,2 D.{}3,2,1 【解析】本题考查的两个集合求交集这一考点，但因两集合的表达方式不同，求的是有限集与无限集的交集，因此交集应是有限集，将集合A 中的元素代入集合B 中,验证集合B 中的函数值与集合A 中元素是否相同.确定两集合交集的情况. 【答案】A（2）（17山东文）设集合{}11|<-=x x M ，{}2|<=x x N ，则=N M I （ ）A ．()1,1-B ．()2,1-C ．()2,0D ．()2,1 【解析】本题的考点是解绝对值不等式及求两个集合的交集.AU由11<-x 得，20<<x .因此()20，=N M I .【答案】C ．2．（15陕西文理）设集合{}x x x M ==2|，{}0lg |≤=x x N ，则=N M Y （ ）A ．[]1,0B ．(]1,0C ．[)1,0D ．(]1,∞-【答案】A【变式】．（15海南文）已知集合{}21|<<-=x x A ，{}30|<<=x x B ，则=B A Y （ ）A ．()3,1-B ．()0,1-C ．()2,0D ．()3,2 【解析】本题的考点是求两个无限集的并集，可利用数轴来解决. 【答案】A3．（17天津文）设集合{}6,2,1=A ，{}4,2=B ，{}4,3,2,1=C ，则()=C B A I Y （ ） A ．{}2 B ．{}4,2,1 C ．{}6,4,2,1 D ．{}6,4,3,2,1 【解析】本题的考点是求三个集合的并与交集，注意运算的顺序.先做括号的运算形式.{}6,4,2,1=B A Y ；(){}{}{}4,2,14,3,2,16,4,2,1==I I Y C B A .【答案】B4．（16全国III 文）已知集合=A {}10,8,6,4,2,0，{}8,4=B ，则=B C A （ ）A ．{}8,4B ．{}6,2,0C ．{}10,6,2,0D ．{}10,8,6,4,2,0【答案】C【变式】（17北京文）已知全集R U =，集合{}22|>-<=x x x A 或，则=A C U （ ）A ．()2,2-B ．()()+∞-∞-,22,YC ．[]2,2-D ．(][)+∞-∞-,22,Y【解析】本题考点是求给定集合A 在全集实数集内的补集，可用数轴来解决，易错点是原集合不包括两边界值，补集一定要补上，防止漏下元素. 【答案】C5．（15天津文）已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ，集合{}5,3,2=A ，集合{}6,4,3,1=B ，则集合=B C A U I （ ）A ．{}3B ．{}5,2C ．{}6,4,1 D ．{}5,3,2 【解析】本题考点是求集合的补集与交集，先求补集再求交集，注意解题顺序. 由题意可知{}52，=B C U ；则{}52，=B C A U I.【答案】B【变式】（1）（15浙江理）已知集合{}02|2≥-=x x x P ，{}21|≤<=x x Q ，则()=Q P C R I （ ）A ．()1,0B ．(]2,0C ．()2,1D ．[]2,1【解析】本题考点是会解二次不等式，求集合P 在实数范围内的补集与集合Q 的交集.易错点是集合P 的解集的补集应去掉边界值. 由{}02|2≥-=x x x P 得到{}02|≤≥=x x x P 或，则{}20|<<=x x P C R ，()=Q P C R I ()2,1【答案】C（2)（16山东文）设集合{}6,5,4,3,2,1=U ，{}5,3,1=A ，{}5,4,3=B ，则()=B A C U Y （ ）A.{}6,2B.{}6,3C.{}5,4,3,1 D.{}6,4,2,1【答案】A6．（17新课标I 文）已知集合{}2|<=x x A ，{}023|>-=x x B ，则（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=23|x x B A I B ．φ=B A I C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=23|x x B A Y D ．R B A =Y 【解析】本题考点解一次不等式及求两集合的交或并集，可用验证法或直接求法. 由{}023|>-=x x B 得⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=23|x x B ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=23|x x B A I ，{}2|<=x x B A Y . 【答案】A7.（15广东文）若集合(){}N s r q p s r s q s p s r q p E ∈≤<≤≤<≤≤<≤=,,,,40,40,40|,,,，(){}N w v u t w v u t w v u t F ∈≤<≤≤<≤=,,,,40,40|...，用()X card 表示集合X 中元素个数，则()()=+F card E card （ ）A ．200B ．150C ．100D ．50【分析】本题考查的是符合条件的是集合、排列组合问题.对于集合E,s=4时，p,q,r 从0，1，2，3任取一数，都有4种取法，从而构成的元素（p,q,r,s)有43种情况，再讨论s=3,2,1的情况，求法一样，把每种情况下的元素的个数相加即可得到集合E 的元素的个数，而对于集合F 需讨论两个数u,w ，最后把两个集合的元素相加即可.【解析】当s=4时，p,q,r 的取值的排列情况是64种；当s=3时，p,q,r 的取值的排列情况是27种；当s=2时，p,q,r 的取值的排列情况是8种；当s=1时，p,q,r 的取值的排列情况是1种； 当u=4时，若w=4,t,u 的取值的排列情况有16种；若w=3,t,u 的取值的排列情况有12种；若w=2,t,u 的取值的排列情况有8种；若w=1,t,u 的取值的排列情况有4种；当u=3时，若w=4,t,u 的取值的排列情况有12种；若w=3,t,u 的取值的排列情况有9种；若w=2,t,u 的取值的排列情况有6种；若w=1,t,u 的取值的排列情况有3种；当u=2时，若w=4,t,u 的取值的排列情况有8种；若w=3,t,u 的取值的排列情况有6种； 若w=2,t,u 的取值的排列情况有4种；若w=1,t,u 的取值的排列情况有2种； 当u=1时，若w=4,t,u 的取值的排列情况有4种；若w=3,t,u 的取值的排列情况有3种；若w=2,t,u 的取值的排列情况有2种；若w=1,t,u 的取值的排列情况有1种；()()=+F card E card 64+27+8+1+16+12+8+4+12+9+6+3+8+6+4+2+4+3+2+1=200【答案】A ．8．（15新课标I 文）已知集合{}N n n x x A ∈+==,23|，{}14,12,10,8,6=B ，则集合B A I 中的元素个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】 D【变式】（17新课标III 文）已知集合{}4,3,2,1=A ，{}8,6,4,2=B ，则B A I 中的元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】由题意可知{}42，=B A I . 【答案】B【模拟考场】1．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【解析】本题考点是求两个集合的交集，注意交集元素要不重不漏.【答案】C2.若集合{}22|<≤-=x x M ，{}2,1,0=N ，则=N M I （ ）A ．{}0B ．{}1 C ．{}2,1,0 D ．{}1,0【答案】D3．设集合{}7,5,3,1=A ，{}52|≤≤=x x B ，则=B A I （ ） A ．{}3,1 B ．{}5,3 C ．{}7,5 D ．{}7,1 【解析】此题考点为求两集合的交集，但因两集合的表达形式不一致，因此求交集合的集合应为有限集. 【答案】B4．已知集合{}32|2≥-=x x x P ，{}42|<<=x x Q ，则=Q P I （ ）A ．[)4,3B ．(]3,2C ．()2,1-D ．(]3,1- 【解析】本题考点是二次不等式的求解，两集合的交集求解. 由0322≥--x x得，31≥-≤x x 或，=Q P I [)4,3【答案】A5．（16北京文）已知集合()4,2=A ，()()+∞∞-=,53,Y B ，则=B A I （ ）A.()5,2B.()()+∞∞-,54,YC.()3,2D.()()+∞∞-,52,Y 【解析】此题是求两集合的交集，利用数轴求解易得.【答案】C.6.已知集合{}4,3,2,1=U ，{}3,1=A ，{}4,3,1=B ，则()=B C A U Y _________． 【解析】本题考点是求集合B 在全集U 中的补集与集合A 的并集，注意元素要不重不漏 .【答案】{}3,2,1 7.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个.【答案】68.若集合{}012|>-=x x A ，{}1|<=x x B ，则=B A I ． 【解析】本题考点是解两个不等式及求两集合的交集. 由{}012|>-=x x A 得⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=21|x x A ，由{}1|<=x x B 得{}11|<<-=x x B . 所以=B A I ⎪⎭⎫⎝⎛1,21. 【答案】⎪⎭⎫⎝⎛1,21 9.已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ；②2=b ；③0≠c 有且只有一个正确，则=++c b a 10100_________．48．201；【分析】此题考查的是利用两集合相等的条件，分别列出a,b,c 所有的取值情况，再判断是否符合条件，再求出a,b,c 的值代入式中求值就可以了.【答案】20110．（15湖北文理）已知集合(){}Z y x y x y x A ∈≤+=,,1|,22，(){}Z y x y x y x B ∈≤≤=,,2,2|,，定义集合()()(){}B y x A y x y y x x B A ∈∈++=⊕22112121,,,|,，则B A ⊕中元素的个数为（ ）A ．77B ．49C ．45D ．30【分析】本题是新定义问题与集合之间的关系，因此要求按新定义的要求去做，要做到观察仔细. 【解析】法一：满足()()(){}B y x A y x y y x x B A ∈∈++=⊕22112121,,,|,有：（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2） （1，0），（1，1），（1，2），（1，-1），（1，-2），（2，0），（2，1），（2，2），（2，-1），（2，-2），（-1，-2）， （-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-2，-2），（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-2，3）， （-2，-3），（0，-3），（2，-3），（-1，3），（-1，-3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，-1），（3，0），（3，1），（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，1），（1，-3），（-3，-1），（-3，0），（-3，-2）共45个.法二：可以将集合A 与集合B 分别看作是平面直角坐标系中的单位圆与以4为边长的正方形内的整点， 而()()(){}B y x A y x y y x x B A ∈∈++=⊕22112121,,,|,则是看作以边长为3的正方形内的整点（边上的整点满足要求，四个顶点除外）这样就得到了满足条件的整点有49-4=45个. 【答案】45。
题型1集合文氏图
羽毛球小组的人数多3人，两组都没有参加
的人数是都参加两组人数的
1 3
多1人，求同
时参加两组的人数和两组都没有参加的人数．
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分别为２１人；８人
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12
（其中U为全集）
区域①为 (A B C)
②
③
Ａ
⑤
B
①
④C
U
区域②为 A (B C)
区域③为 B ( A C) 区域④为 C (A B)
区域⑤为 A B C
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4
结论
1、Card( A B) = Card(A)+card(B)-card(A∩B)
类比可以得到推广公式
（ S B） A 1，2，3，( S A) ( S B) 6，7，8，
求集合A和B.
Ａ＝｛１，２，３，４，５｝ Ｂ＝｛４，５，９，１０｝
2024/3/31
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模仿训练
2、某班期中考试，数学90分以上的有18人， 物理90分以上的有14人，而数学与物理两 科中至少有一科90分以上的有22人，求数 学和物理两科都在90分以上的人数，只有数 学90分以上的人数，只有物理90分以上的 人数．
2024/3/31
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题型探究
这是一道集合的实际应用题，如果把各种 人群看作集合，本题就变为已知全集元素的 个数，求其某个子集的元素的个数，解决这 类问题一般应用文氏图来处理．
2024/3/31
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2
引例解析
不妨设调查了100户，全集U=｛被调查的100户 农户｝，A=｛100户中拥有电冰箱的农户｝，B= ｛100户中拥有电视机的农户｝，C=｛100户中
韦恩图
韦恩图，也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示。
韦恩图法是利用封闭的曲线来表示集合的一种方法，在高中课本中虽然没有给出过多的说明，但是对于初学集合的学生来说解决一些问题还是比较容易的。
一、在数学中的应用：1、并集∪定义：取一个集合，设全集为I ，A 、B 是I 中的两个子集，由所有属于A 或属于B 的元素所组成的集合，叫做A ，B 的并集，表示：A ∪B 。
2、交集∩定义：（交就是取两个集合共同的元素）A 和B 的交集是含有所有既属于A 又属于B 的元素，而没有其他元素的集合。
A 和B 的交集写作“A ∩B ”。
形式上：x 属于A ∩B 当且仅当x 属于A 且x 属于B 。
（1）取一个集合，设全集为I ，A 、B 是I 中的两个子集，X 为A 和B 的相交部分，则集合间有如下关系：A ∩B ＝X ，A ＋B ＝A ∪B －X ；（2）取一个集合，设全集为I ，A 、B 、C 是I 中的两个子集，D ＝A ∩C ，E ＝B ∩C ，F ＝A ∩B ，x 为A 、B 、C 的公共部分，即x ＝A ∩B ∩C ，则集合间有如下关系：A ∪B ∪C ＝A ＋B ＋C －A ∩B －A ∩C －B ∩C ＋A ∩B ∩C ；A ∪B ∪C ＝A ＋B ＋C －只重合两次的-2×只重合三次的。
二、运用韦恩（Venn ）图解题“三层次由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”解题的三层次：识图——用图——构图。
1、识图是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示。
例1：如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）。
A 、（M ∩P ）∩SB 、（M ∩P ）∪SC 、（M ∩P ）∩I SD 、（M ∩P ）∪I S解：阴影部分是M 与P 的公共部分（转化为集合语言就是M ∩P ），且在S 的外部（转化为集合语言就是I S ），故选（C ）。
高考文科数学专题一：集合题型总结含解析
第一章 集合第一节 集合的含义、表示及基本关系练习一组1．已知A ＝{1， 2}， B ＝{}|x x A Î， 则集合A 与B 的关系为________． 解析：由集合B ＝{}|x x A Î知， B ＝{1， 2}．答案：A ＝B2．若{}2,|a a R x x ＮÆØ， 则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知， 2x a £有解， 故0a ³．答案：0a ³3．已知集合A ＝{}2|21,y y x x x R =--?， 集合B ＝{}|28x x-＃， 则集合A 与B 的关系是________．解析：y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2≥－2， ∴A ＝{y|y ≥－2}， ∴BA ． 答案：BA4．已知全集U ＝R ， 则正确表示集合M ＝{－1， 0， 1}和N ＝{}2|0x x x +=关系的韦恩(Venn)图是________．解析：由N={}2|0x x x +=， 得N ={-1， 0}， 则N M ．答案：②5知集合A ＝{}|5x x >， 集合B ＝{}|x x a >， 若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件， 则实数a 的取值范围是________．解析：命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ” 的充分不必要条件， ∴A B ， ∴a <5． 答案：a <56．已知m ∈A ， n ∈B ， 且集合A ＝{x |x ＝2a ， a ∈Z }， B ＝{x |x ＝2a ＋1， a ∈Z }， 又C ＝{x |x ＝4a ＋1， a ∈Z }， 判断m ＋n 属于哪一个集合？解：∵m ∈A ， ∴设m ＝2a 1， a 1∈Z ， 又∵n ∈B ， ∴设n ＝2a 2＋1， a 2∈Z ， ∴m ＋n ＝2(a 1＋a 2)＋1， 而a 1＋a 2∈Z ， ∴m ＋n ∈B ．练习二组1．设a ， b 都是非零实数， y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 解析：分四种情况：(1)a >0且b >0；(2)a >0且b <0；(3)a <0且b >0；(4)a <0且b <0， 讨论得y ＝3或y ＝－1．答案：{3， －1}2．已知集合A ＝{－1， 3， 2m －1}， 集合B ＝{3， m 2}．若B ⊆A ， 则实数m ＝________． 解析：∵B ⊆A ， 显然m 2≠－1且m 2≠3， 故m 2＝2m －1， 即(m －1)2＝0， ∴m ＝1．答案：1 3．设P ， Q 为两个非空实数集合， 定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ， b ∈Q }， 若P ＝{0， 2， 5}， Q ＝{1， 2， 6}， 则P ＋Q 中元素的个数是________个．解析：依次分别取a ＝0， 2， 5；b ＝1， 2， 6， 并分别求和， 注意到集合元素的互异性， ∴P ＋Q ＝{1， 2， 6， 3， 4， 8， 7， 11}．答案：84．已知集合M ＝{x |x 2＝1}， 集合N ＝{x |ax ＝1}， 若N M ， 那么a 的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}， N M ， 所以N ＝∅时， a ＝0；当a ≠0时， x ＝1a＝1或－1， ∴a ＝1或－1．答案：0， 1， －15．满足{1}A ⊆{1， 2， 3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1， 所以A 有{1， 2}， {1， 3}， {1， 2， 3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16， a ∈Z }， B ＝{x |x ＝b 2－13， b ∈Z }， C ＝{x |x ＝c 2＋16， c ∈Z }， 则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4， x ∈R }， B ＝{x |x <a }， 则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4， 故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．设集合M ＝{m |m ＝2n ， n ∈N ， 且m <500}， 则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500， ∴n ＝0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8．∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答案：5119．设A 是整数集的一个非空子集， 对于k ∈A ， 如果k －1∉A ， 且k ＋1∉A ， 那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8}， 由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知， 由S 的3个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”， 这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ， xy ， lg(xy )}， B ＝{0， |x |， y }， 且A ＝B ， 试求x ， y 的值．解：由lg(xy )知， xy >0， 故x ≠0， xy ≠0， 于是由A ＝B 得lg(xy )＝0， xy ＝1．∴A ＝{x ， 1， 0}， B ＝{0， |x |， 1x}． 于是必有|x |＝1， 1x＝x ≠1， 故x ＝－1， 从而y ＝－1．11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ， B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ， B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}， 求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}， 得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ， ∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1， 即m <2， 此时满足B ⊆A ．②若B ≠∅， 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3．由①②得， m 的取值范围是(－∞， 3]．(2)若A ⊆B ， 则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧ m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3， 4]．(3)若A ＝B ， 则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅．， 即不存在m 值使得A ＝B ．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}， B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集， 求a 的取值范围；(2)若B 是A 的子集， 求a 的取值范围；(3)若A ＝B ， 求a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2≤0， 即(x －1)(x －2)≤0， 得1≤x ≤2， 故A ＝{x |1≤x ≤2}， 而集合B ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，(1)若A 是B 的真子集， 即A B ， 则此时B ＝{x |1≤x ≤ a }， 故a >2．(2)若B 是A 的子集， 即B ⊆A ， 由数轴可知1≤a ≤2．(3)若A =B ， 则必有a =2第二节 集合的基本运算练习一组1．设U ＝R ， A ＝{}|0x x >， B ＝{}|1x x >， 则A ∩∁U B ＝____．解析：∁U B ＝{x |x ≤1}， ∴A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．答案：{x |0<x ≤1}2．设集合A ＝{4， 5， 7， 9}， B ＝{3， 4， 7， 8， 9}， 全集U ＝A ∪B ， 则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个．解析：A ∩B ＝{4， 7， 9}， A ∪B ＝{3， 4， 5， 7， 8， 9}， ∁U (A ∩B )＝{3， 5， 8}．答案：33．已知集合M ＝{0， 1， 2}， N ＝{}|2,x x a a M =?， 则集合M ∩N ＝________．解析：由题意知， N ＝{0， 2， 4}， 故M ∩N ＝{0， 2}．答案：{0， 2}4．设A ， B 是非空集合， 定义A ⓐB ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， 已知A ＝{x |0≤x ≤2}， B ＝{y |y ≥0}， 则A ⓐB ＝________．解析：A ∪B ＝[0， ＋∞)， A ∩B ＝[0， 2]， 所以A ⓐB ＝(2， ＋∞)．答案：(2， ＋∞)5．某班共30人， 其中15人喜爱篮球运动， 10人喜爱乒乓球运动， 8人对这两项运动都不喜爱， 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ， 画出韦恩图得到方程15-x +x +10-x +8=30x =3， ∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．已知集合A ＝{x |x >1}， 集合B ＝{x |m ≤x ≤m ＋3}．(1)当m ＝－1时， 求A ∩B ， A ∪B ；(2)若B ⊆A ， 求m 的取值范围．解：(1)当1m =-时， B ＝{x |－1≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}， A ∪B ＝{x |x ≥－1}．(2)若B ⊆A ， 则1m >， 即m 的取值范围为(1， ＋∞)练习二1．若集合M ＝{x ∈R |－3<x <1}， N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}， 则M ∩N ＝________．解析：因为集合N ＝{－1， 0， 1， 2}， 所以M ∩N ＝{－1， 0}．答案：{－1， 0}2．已知全集U ＝{－1， 0， 1， 2}， 集合A ＝{－1， 2}， B ＝{0， 2}， 则(∁U A )∩B ＝________．解析：∁U A ＝{0， 1}， 故(∁U A )∩B ＝{0}．答案：{0}3．若全集U ＝R ， 集合M ＝{x |－2≤x ≤2}， N ＝{x |x 2－3x ≤0}， 则M ∩(∁U N )＝________．解析：根据已知得M ∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x <0或x >3}＝{x |－2≤x <0}．答案：{x |－2≤x <0}4．集合A ＝{3， log 2a }， B ＝{a ， b }， 若A ∩B ＝{2}， 则A ∪B ＝________．解析：由A ∩B ＝{2}得log 2a ＝2， ∴a ＝4， 从而b ＝2， ∴A ∪B ＝{2， 3， 4}． 答案：{2， 3， 4}5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素， (∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空， 则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素， ∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．设U ＝{n |n 是小于9的正整数}， A ＝{n ∈U |n 是奇数}， B ＝{n ∈U |n是3的倍数}， 则∁U (A ∪B )＝________．解析：U ＝{1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8}， A ＝{1， 3， 5， 7}， B ＝{3， 6}， ∴A ∪B ＝{1， 3， 5， 6， 7}，得∁U (A ∪B )＝{2， 4， 8}．答案：{2， 4， 8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋x y， x ∈A ， y ∈B }．设集合A ＝{0， 2}， B ＝{1， 2}， C ＝{1}， 则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0， 4， 5， 则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0， 8， 10， 故所有元素之和为18．答案：188．若集合{(x ， y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝0}{(x ， y )|y ＝3x ＋b }， 则b ＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0， 2)在y ＝3x ＋b 上， ∴b ＝2．9．设全集I ＝{2， 3， a 2＋2a －3}， A ＝{2， |a ＋1|}， ∁I A ＝{5}， M ＝{x |x ＝log 2|a |}， 则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ， ∴{2， 3， a 2＋2a －3}＝{2， 5， |a ＋1|}， ∴|a ＋1|＝3， 且a 2＋2a －3＝5， 解得a ＝－4或a ＝2， ∴M ＝{log 22， log 2|－4|}＝{1， 2}．答案：∅， {1}， {2}， {1， 2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}， B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；(1)若A＝∅，求实数a的取值范围；(2)若A是单元素集，求a的值及集合A；11．已知函数f(x)＝6x＋1－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合B．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．解：A＝{x|－1<x≤5}．(1)当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁R B＝{x|x≤－1或x≥3}，∴A∩(∁R B)＝{x|3≤x≤5}．(2)∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．。
人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件：1-1-集合
2．集合的表示方法
集合有三种表示方法，分别是 列举法 、描述法 和
．
它们韦各恩有图优缺点，用什么方法表示集合，要具体问题具体分析．
3．集合间的基本关系
(1)子集与真子集
①对于两个集合A与B，如果集合A中的元素都是集合B中的元素
，那么集合A叫做集合B的子集，记作
或 A⊆B
. B⊇A
②如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集
解析：A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}． ∴a＝2. 答案：2
5．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则 (A∪B)∩(∁UC)＝________.
解析：A∪B＝{2,3,4,5}，∁UC＝{1,2,5}， ∴(A∪B)∩(∁UC)＝{2,5}． 答案：{2,5}
热点之一 集合的基本概念 1．掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注 意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解 题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否 满足互异性以确保答案正确． 2．用描述法表示集合时，首先应清楚集合的类型和元x}表示不同的集合．
合A叫做集合B的真子集，记作 A B
或 B A.
(2)集合的相等
对于两个集合A、B，若 A⊆B 且 B⊆A
，则称集合A与集
合B相等，这时集合A与集合B中的元素是一样的．
4．集合的运算性质
(1)交集：①A∩B＝B∩A，②A∩A＝A，③A∩Ø＝Ø；④A∩B⊆A，
A∩B⊆B，⑤A∩B＝A⇔A⊆B.
(2)并集：①A∪B＝B∪A，②A∪A＝A，③A∪Ø＝A，④ A∪B⊇A，A∪B⊇B，⑤A∪B＝B⇔A⊆B.
解析：由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1,0}． ∵M＝{－1,0,1}，∴N M，故选B. 答案：B
公务员考试行测数量关系万能解法：文氏图
A. 18 B. 27 C. 28 D. 32
——『2009年广东省公务员录用考试真题』
【答案：A】欲求两种活动都喜欢的人数，我们可以先求出两种活动都不喜欢的人数。套用（I）中的公式：喜欢爬山的人数为120×58 ＝75，可令A＝75；喜欢游泳的人数为120×712 ＝70，可令B＝70；两种活动都喜欢的有43人，即A∩B＝43，故两项活动至少喜欢一个的人数为75＋70－43＝102人，即A∪B＝105，则两种活动都不喜欢的人数为120－102＝18（人）。
一般来说，考试中常考的集合关系主要有下面两种：
1. 并集∪ 定义：取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，表示：A∪B。
比如说，现在要挑选一批人去参加篮球比赛。条件A是，这些人年龄要在18岁以上，条件B是，这些人身高要在180CM以上， 那么符合条件的人就是取条件A和B的并集，就是两个条件都符合的人：18岁以上且身高在180CM以上。
例：电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问，两个频道都没有看过的有多少人？（ ）
A．4 B．15 C．17 D．28
——『2007年北京社招公务员录用考试真题』
【答案：B】本题解法同上，直接套用上述公式求出既看过2频道又看过8频道的人数为62＋34－11＝85人，则两个频道都没看过的有100－85＝15人。
A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C ；文氏图如下图
下面让我们回顾一下历年国考和地方真题，了解一下文氏图的一些应用。
例：如下图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290，且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36，问阴影部分的面积是多少？（ ）
集合练习卷文氏图篇
集合练习卷（三）文氏图篇(例题)1、已知集合A B、是全集1234{56789}U=，，，，，，，，的子集，{}2A BI＝，()(){1,9}U UA B=I痧，(){4,6,8}UA B=Ið，求A B，．解：由图可得2357{}A＝，，，，2468{}B＝，，，.2、设全集为U，用集合A、B、C的交、并、补集符号表图中的阴影部分．（1）（2）（3）3、用文氏图的阴影部分表示下列集合：（1）)(BACuI（2）)(BACuY（3）BACuI)(4、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49％，电视机拥有率为85％，洗衣机拥有率为44％，至少拥有上述三种电器中两种以上的占63％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为( )．A．10％B．12％C．15％D．27％解：不妨设调查了100户农户，U＝{被调查的100户农户}，A={100户中拥用电冰箱的农户}，B={100户中拥有电视机的农户}，C={１00户中拥有洗衣机的农户}，由图知，A B CU U的元素个数为49+85+44—63—25＝90．则()UA B CU Uð的元素个数为100—90=10．A BUA BUA BUUBA23,5,74,6,8UCAB1、设集合A 、B 是全集{}1,2,3,4U =的子集，已知{}()1U A B =I ð，{}3A B =I ，{}4U A B =I ð，求()U A B U ð解：{}()()2U U A B =I 痧2、全集{,,,,},()(){,,},(){},u u u U a b c d e C A C B c d e C B c ==A =U I (){}u C A e B =I 则 A B =U （ ）A ．{,,,}a b c d B ．{,,,}a b c e C ． {,,}a b c D ．{,,}a b e3、某班50名学生参加一项体能和智能测验，已知体能优秀的有40人，智能优秀的有31人，两项都不优秀的有4人．则这项测验体能和智能都优秀的有 人。
2020年高考文科数学专题一 集合与常用逻辑用语 含习题答案
2020年高考文科数学专题一集合与常用逻辑用语集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关常用逻辑用语的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．§1－1 集合【知识要点】1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．3．两类不同的关系：(1)从属关系——元素与集合间的关系；(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．4．集合的三种运算：交集、并集、补集．【复习要求】1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0∈N*(2)0∉{－1，1} (3)∅∈{0}(4)∅∉{0} (5){0}∈{0，1} (6){0}⊆{0}其中正确的关系是______．【答案】(2)(4)(6)【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a 不是集合A的元素，记作：a∉A．3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：A⊆B或B⊇A．如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．A B或B A．4．子集的性质：①任何集合都是它本身的子集：A⊆A；②空集是任何集合的子集：∅⊆A；提示：空集是任何非空集合的真子集．③传递性：如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C；如果A B，B C，则A C．例2已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(U A)∩(U B)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(U A)＝{4，6，8}．求集合A，B．【答案】A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【解析】根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，图1－1于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U 中的补集．记作U A．2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．例3 设集合M ＝{x ｜－1≤x ＜2}，N ＝{x ｜x ＜a }．若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是______．【答案】(－∞，－1]．【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a 变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．例4 设a ，b ∈R ，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则b －a ＝______． 【答案】2【解析】因为},,0{},,1{b a b a b a =+，所以a ＋b ＝0或a ＝0(舍去，否则ab没有意义)， 所以，a ＋b ＝0，ab＝－1，所以－1∈{1，a ＋b ，a }，a ＝－1， 结合a ＋b ＝0，b ＝1，所以b －a ＝2．练习1－1一、选择题1．给出下列关系：①R ∈21；②2∉Q ；③｜－3｜∉N *；④Q ∈-|3|．其中正确命题的个数是( ) (A)1(B)2(C)3(D)42．下列各式中，A 与B 表示同一集合的是( ) (A)A ＝{(1，2)}，B ＝{(2，1)} (B)A ＝{1，2}，B ＝{2，1}(C )A ＝{0}，B ＝∅(D)A ＝{y ｜y ＝x 2＋1}，B ＝{x ｜y ＝x 2＋1}3．已知M ＝{(x ，y )｜x ＞0且y ＞0}，N ＝{(x ，y )｜xy ＞0}，则M ，N 的关系是( ) (A)M N(B)N M(C)M ＝N(D)M ∩N ＝∅4．已知全集U ＝N ，集合A ＝{x ｜x ＝2n ，n ∈N }，B ＝{x ｜x ＝4n ，n ∈N }，则下式中正确的关系是( ) (A)U ＝A ∪B (B)U ＝(U A )∪B(C)U ＝A ∪(U B )(D)U ＝(U A )∪(U B )二、填空题5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(U A)∩B＝______. 8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算⊕为：a i⊕a j＝a k，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2⊕a3＝______；满足关系式(x⊕x)⊕a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．三、解答题9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(U A)∩B＝{4，6，8}，(A)∩(U B)＝{1，9}，求集合A和B．U11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，①A∩B≠∅，求实数a的取值范围；②A∩B≠A，求实数a的取值范围；③A∩B≠∅，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．§1－2 常用逻辑用语【知识要点】1．命题是可以判断真假的语句．2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．可以利用真值表判断复合命题的真假．3．命题的四种形式原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若⌝p，则⌝q．逆否命题：若⌝q，则⌝p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．4．充要条件如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．如果p⇒q且q⇒p，即q⇔p则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．5．全称量词与存在量词【复习要求】1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【例题分析】例 1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“⌝p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：0∈N，q：1∉N；(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．【解析】(1)p∨q：0∈N，或1∉N；p∧q：0∈N，且1∉N；⌝p：0∉N．因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为假．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．⌝p：存在平行四边形对角线不相等．因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，⌝p为真．【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；(2)若A∩B＝A，则A B．【解析】(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．(2)逆命题：若A B，则A∩B＝A；是真命题．否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．【评析】原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；(2)p：a≥2；q：a≠0．【解析】由定义知，若p⇒q且q p，则p是q的充分不必要条件；若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，p与q互为充要条件．于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．例4设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件【答案】B【解析】条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}⊆R，所以p是q的必要非充分条件，选B．【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若A⊆B且B A，则p是q 的充分非必要条件；若A B且B⊆A，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．例5命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0，(B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0(D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0【答案】C【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”答：选C．【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．练习1－2一、选择题1．下列四个命题中的真命题为( )(A)∃x∈Z，1＜4x＜3(B)∃x∈Z，3x－1＝0(C)∀x∈R，x2－1＝0(D)∀x∈R，x2＋2x＋2＞02．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )(A)q一定是真命题(B)q不一定是真命题(C)p不一定是假命题(D)p与q的真假相同3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈A⇒x∈B，则称A⊆B”．那么“A 不是B 的子集”可用数学语言表达为( ) (A)若∀x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (B)若∃x ∈A 但x ∉B ，则称A 不是B 的子集 (C)若∃x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 (D)若∀x ∉A 但x ∈B ，则称A 不是B 的子集 二、填空题5．“⌝p 是真命题”是“p ∨q 是假命题的”__________________条件． 6．命题“若x ＜－1，则｜x ｜＞1”的逆否命题为_________． 7．已知集合A ，B 是全集U 的子集，则“A ⊆B ”是“U B⊆U A ”的______条件．8．设A 、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ②A B ⇔A ∩B ＝∅③AB ⇔AB④AB ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假： (1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除； (3)∃x ∈{x ｜x ∈Z }，log 2x ＞0； (4).041,2≥+-∈∀x x x R10．已知实数a ，b ∈R ．试写出命题：“a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．习题11．命题“若x 是正数，则x ＝｜x ｜”的否命题是( ) (A)若x 是正数，则x ≠｜x ｜ (B)若x 不是正数，则x ＝｜x ｜ (C)若x 是负数，则x ≠｜x ｜(D)若x 不是正数，则x ≠｜x ｜2．若集合M 、N 、P 是全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )(A)(M ∩N )∪P (B)(M ∩N )∩P (C)(M ∩N )∪(U P )(D)(M ∩N )∩(U P )3．“81=a ”是“对任意的正数12,≥+xa x x ”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4．已知集合P ＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a ∈P ，b ∈P ，则a &b ∈P ”，则运算“&”可以是( ) (A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) (A)ab ＞ac (B)c (b －a )＜0 (C)cb 2＜ab 2 (D)ac (a －c )＜0二、填空题6．若全集U ＝{0，1，2，3}且U A ＝{2}，则集合A ＝______．7．命题“∃x ∈A ，但x ∉A ∪B ”的否定是____________．8．已知A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{y ｜y ＝｜x ｜，x ∈A }，则B ＝____________． 9．已知集合A ＝{x ｜x 2－3x ＋2＜0}，B ＝{x ｜x ＜a }，若A B ，则实数a 的取值范围是____________．10．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2； ④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1，其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)11．解不等式.21<x12．若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1．(1)求b 的取值范围；(2)试判断b 与a 2＋b 2的大小．13．设a ≠b ，解关于x 的不等式：a 2x ＋b 2(1－x )≥[ax ＋b (1－x )]2．14．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0∉A 且1∉A ；③若a ∈A ，则.11A a∈- (1)若2∈A ，则A 中至少有多少个元素； (2)证明：A 中不可能只有一个元素．专题01 集合与常用逻辑用语参考答案练习1－1一、选择题1．B 2．B 3．A 4．C提示：4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(U B)，从而U＝A∪(U B)．二、填空题5．{x｜x＜4} 6．4个7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．三、解答题9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．练习1－2一、选择题1．D 2．A 3．B 4．B二、填空题5．必要不充分条件6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件8．④提示：8．因为A B，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，A B，即为④．另外，也可以通过文氏图来判断．三、解答题9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1逆否命题：若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0；是真命题；因为若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以ab ＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．习题1一、选择题1．D 2．D 3．A 4．C 5．C提示：5．A 正确．B 不正确．D ．正确．当b ≠0时，C 正确；当b ＝0时，C 不正确，∴C 不一定成立．二、填空题6．{0，1，3} 7．∀x ∈A ，x ∈A ∪B 8．{0，1，2} 9．{a ｜a ≥2} 10．③． 提示：10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．对于③：若a 、b 均小于等于1．即，a ≤1，b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，所以③正确．三、解答题11．解：不等式21<x 即,021,021<-<-x x x 所以012>-xx ，此不等式等价于x (2x －1)＞0，解得x ＜0或21>x ， 所以，原不等式的解集为{x ｜x ＜0或21>x }． 12．解：(1)由a ＋b ＝1得a ＝1－b ，因为0＜a ＜b ，所以1－b ＞0且1－b ＜b ，所以.121<<b (2)a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝2b 2－3b ＋1＝⋅--81)43(22b 因为121<<b ，所以,081)43(22<--b 即a 2＋b 2＜b ．13．解：原不等式化为(a 2－b 2)x ＋b 2≥(a －b )2x 2＋2b (a －b )x ＋b 2，移项整理，得(a －b )2(x 2－x )≤0．因为a ≠b ，故(a －b )2＞0，所以x 2－x ≤0．故不等式的解集为{x ｜0≤x ≤1}．14．解：(1)若2∈A ，则.22111,21)1(11,1211A A A ∈=-∴∈=--∴∈-=- ∴A 中至少有－1，21，2三个元素． (2)假设A 中只有一个元素，设这个元素为a ，由已知A a∈-11，则a a -=11．即a 2－a ＋1＝0，此方程无解，这与A 中有一个元素a 矛盾，所以A 中不可能只有一个元素．。
国考行测数量关系出题率最高之二——文氏图
2010年国考行测数量关系出题率最高之二——容斥原理问题一、集合问题集合问题也称容斥原理，是国家公务员考试中出题频率最高的题型之一。
本类试题基本解题思路如下：1.利用集合原理公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。
(1)两个集合：︱A∪B︱=︱A︱+︱B︱-︱A∩B︱(2)三个集合：︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱B∩C︱-︱C∩A︱+︱A∩B ∩C︱2. 文氏图示意法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。
真题一：2003年国考A卷第7题某服装厂生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。
其中25%是白色，75%是蓝色的。
如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?( )A.15B.25C.35D.40【解析】C。
由题中可知大号衬衫、小号衬衫各50件，白色衬衫共25件，蓝色衬衫共75件。
题中已告诉大号白色衬衫有10件，可知大号蓝色衬衫有50-10=40件，则剩余的蓝色衬衫全是小号的，共75-40=35(件)。
真题二：2004年国考A卷第46题某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是()。
A. 22B. 18C. 28D. 26【解析】A。
本题采用图示法更为简单。
如图：故两次都及格的人数为32-4-4-2=22人。
真题三：2004年国考B卷第46题某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都及格的有22人，那么两次考试都没有及格的人数是()。
A. 10B. 4C. 6D. 8【解析】B。
两次考试都没有及格的人数=学生总数-两次都及格的人数-第一次未及格的人数-第二次未及格的人数=32-22-[32-22-(32-26)]-[32-22-(32-24)]=32-22-6=4。
高中文科数学集合
第一讲、集合一、集合（一）集合的含义与表示1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系。
2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。
（二）集合间的基本关系1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
2.在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（三）集合的基本运算1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
3.能使用韦恩（Venn ）图表示集合的关系及运算。
集合的定义：具有某一性质p 的对象的全体1.集合中的任一元素都具有性质p2.任一具有性质p 的元素都在集合内 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性集合的表示法：列举法{ 1, 2, 3,…}、描述法{ x | P }、韦恩图 集合的分类：有限集、无限集常见（用）数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *、空集φ 关系：属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等= 运算：交运算A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}；并运算A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B};补运算A C U ＝{x|x ∉A 且x ∈U}，U 为全集性质：1.A ⊆A ； 2.φ⊆A ； 3.若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4．A ∩A ＝A ∪A ＝A ； 5. A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ；6.A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；7.A ∩C U A ＝φ； A ∪C U A ＝I ；C U ( C U A)＝A ；8.C U (A ⋃B)＝(C U A)∩(C U B)集合的含义与表示例1. 用符号∈和∉填空。
⑴ 设集合A 是正整数的集合，则0_______A ，2________A ，()01- ______A ；⑵ 设集合B 是小于11的所有实数的集合，则23______B ，1+2______B ；例 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由。
高三文科数学总复习：1.1集合 PPT课件 图文
【解析】选B.若1∈A,则1-2+a>0,解得a>1.
因为1∉A,所以a≤1.故选B.
2.数集{x2+x,2x}中,x的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
【解析】选D.根据题意,由集合中元素的互异性, 可得集合{x2+x,2x}中,x2+x≠2x, 即x≠0,x≠1, 则x的取值范围是(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞), 故选D.
则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.A={x|x2-3x+2=0,x∈R}={1,2},B={x|0<x<5,x∈N}
={1,2,3,4},由A⊆C⊆B,
方法一:C中含有除1,2之外的3,4两元素中的0个、1个、2个,即C的
个数可以看作是集合{3,4}的子集的个数,有22=4个.
【规律方法】与集合中的元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么,即集合是数集还是点集. (2)看这些元素满足什么限制条件. (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意 检验集合是否满足元素的互异性.
【变式训练】已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为
{0,1,2},则集合B有
个.
【解析】由题意知B⊆A,则集合B有8个.
答案:8
3.真题小试 感悟考题 试一试
(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则
集合问题(容斥原理)4丨三者集合文氏图法
集合问题（容斥原理）4丨三者集合文氏图法用文氏图来表示集合A、B和C：通常而言，可以从三者都满足的A∩B ∩C入手，逐渐剔除即可。
确定分类标准→把集合对应圈圆→确定各圆圈位置关系→确定各集合逻辑、数量关系。
（部分题目圆因制图问题，省略，请读者朋友自学时，自行补充）2005年A45.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛、电影和戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有（）。
A.22人B.28人C.30人D.36人【解析】A。
根据仅喜欢看戏剧人=38-12-6-4=16，故而?=100-58-4-16=22 2015年B45.外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有（）。
A.4人B.5人C.6人D.7人【解析】B。
设只能教法语为x人，即x=27-8-6-5-4-3-2+2+3=5，故选B。
2006年B43.某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3 人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。
则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多（）。
A.1人B.2人C.3人D.5人【解析】C。
通过图形简单得知，只懂英语、法语和西班牙语的人数分别为2，1和2，共5人，而一种语言都不会说的人数为12-(2+2+1+1+l+1+2)＝2，5-2＝32006年江苏C19.某研究室有12人，其中：7人会英语，7人会德语，6人会法语，4人既会英语又会德语，3人既会英语又会法语，2人既会德语又会法语，1人英语、德语、法语三种语言都会。
文氏图
一、有朋友不知道文氏图是怎么回事情.这里再结合例题说明一下.例题某单位对100名员工进行调查,发现他们喜欢看电影和球赛戏剧.其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影. 既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢的有12人,则只喜欢看电影的有( )人A.22B.28C.30D.36答案:A分析:假设只喜欢看电影的有X人.如图:58+16+4+X=100X=22如果还看不明白.继续看下面的图形.兰色部分58人.如果还不明白.请到我的幼大班来.文氏图和三交集公式的说明与应用举例一、文氏图和三交集公式的说明1、文氏图：在文氏图中,以下图形的含义如下：矩形：其内部的点表示全集的所有元素；矩形内的圆（或其它闭曲线）：表示不同的集合；圆（或闭曲线）内部的点：表示相应集合的元素。
2、三交集公式：a+b+c=a∪b∪c+a∩b+b∩c+a∩c-a∩b∩c（a∪b∪c指的是e，a∩b∩c指的是d）二、应用举例例：[2005年真题]对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢所戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：a 22人b 28人c 30人d 36人【解析】首先，根据题意画出文氏图如下：a（球迷）＝58b（戏迷）＝38c（影迷）＝52e（员工总数）＝100。
a+b+c=58+38+52＝148a∪b∪c＝100a∩b＝18b∩c＝16a∩b∩c＝12然后，根据三交集公式a+b+c=a∪b∪c+a∩b+b∩c+a∩c-a∩b∩c推出：a∩c＝a+b+c－a∪b∪c－a∩b－b∩c+ a∩b∩c＝148-100-18-16+12＝26最后得出：只喜欢看电影的人＝c- a∩c-（b∩c- a∩b∩c）＝52-26-（16-12）＝52-26-4＝22 选择a正确逻辑判断解题技巧之文氏图法国家公务员考试中经常会出现考查直言命题的题目，其中涉及多个概念以及他们之间的关系，要求通过分析推理来判断选项的真假或推断可能存在的情况，可以转化为概念间的关系来解题，这就需要用到文氏图法。
集合知识点+练习题
第一章集合§1．1集合基础知识点：⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N；正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；5.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。
“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。
.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4∉A，等等。
（2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32∉A.典型例题例1．用“∈”或“∉”符号填空：⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ；⑸设A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A ，美国 A ，印度 A ，英国A 。
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系
集合概念、表示方法、分类以及集合之间的关系一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
非负整数集（或自然数集），记作N；；N内排除0的集.正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；⑴确定性：⑵互异性：⑶无序性：1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴某班个子较高的同学⑵长寿的人⑷倒数等于它本身的数⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”)⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。
例如，我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A ，4∉A ，等等。
练：A={2，4，8，16}，则4A ，8 A ，32 A.巩固练习分析：练1．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。
练2下面有四个命题:①若-a ∉Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}其中正确命题的个数是( )3求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?4若t 1t 1+-∈{t},求t 的值.⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示2．用列举法表示下列集合：(1) 小于5的正奇数组成的集合；(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。
题型-集合(文氏图)
人数的 3 ，参加乒乓球小组的人数比参加
5
羽毛球小组的人数多3人，两组都没有参加
的人数是都参加两组人数的
1 3
多1人，求同
时参加两组的人数和两组都没有参加的人数．
2020/5/12
分别为２１人；８人
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拥有洗衣机的农户｝，有文氏图可知，集合 A∪B∪C的个数为49+85+44-63-25=90.
∴集合
ðU( A U B UC)
４９ Ａ
Ｂ ８５
的元素的个数为10090=10．故选Ａ
Ｃ４４ Ｕ
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4
引例拓展
对于有关集合中元素个数的计算问题，我们 常用文氏图来解决，做题时可以参照下图，
类比可以得到推广公式
2、card(A∪B∪C)= Card(A)+card(B)+card(C)card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)
值得注意的是，是card(A)=49,card(B)=85，而不 是A=49，B=85
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6
模仿训练
题型1
集合---文氏图
2020/5/12
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1
引例
某地对农户抽样调查，结有率为85﹪，洗衣机
拥有率为44﹪，至少拥有上述三种电器中两
种以上的占63﹪，三种电器齐全的为25﹪，
那么一种电器也没有的贫困户所占比例为----
------------------------(
所求人数分别为１０，８，４
2020/5/12
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8
题型解法小结
集合题型归纳
集合题型归纳题型一：正确利用元素的三性解题例1：判断下列命题的正确性(1)不大的实数可以形成子集(2)子集{1,5}和子集{5,1}就是相同的子集(3)集合{(1,5)}和集合{(5,1)}是同一集合(4)由1,361,,|-|,0.5组成的集合有5个元素242基准2：未知子集a={a,a+b,a+2b}，b=a,aq,aq2，其中a≠0,a=b,谋q的值例3：设a=x|x2+(b+2)x+b+1=0,b∈r，求集合a中的所有元素之和基准4：未知子集a=2,3,a2+4a+2,b=0,7,a2+4a-2,2-a,a⋂b={3,7}，谋实数a的值{}{}{}{}题型二：集合的运算问题特别注意：（1）不要忘掉空集和全集的特定情况；(2)利用数轴和文氏图解题；（3）检验题目中的未知条件例1：已知a={x|m+1≤x≤2m-1},b={x|-2≤x≤5}，若a⊆b，求实数m的取值范围基准2：设a={x|(m-1)x+1=0},b=x|x2-2x-3=0,若a⊆b，谋实数m的值2.分清四种集合{}{x|y=f(x)}{、y|y=f(x)}{、(x,y)|y=f(x)}{、x|g(x)≥f(x)}例1：已知函数y=f(x),x∈[a,b]，那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈[a,b]}⋂{(x,y)|x=2}中的元素个数为(a)0(b)1(c)0或1(d)1或2例2：设a={(x,y)|y=x},b=y|y=x3.边界值的权衡{2}，则a⋂b=_____,b={x|x1+m}，且b⊆a，求实数m的取值范围例：设a={x|x10}4.特别注意暗含条件的检验例：设全集s=2,3,a2+2a-3,a={|2a-1|，2}，csa={5}，求a的值{}题型三：子集与方程、不等式不等式(方程)的解集、函数的定义域、值域均要写成集合的形式基准1：未知a=x|x2+(p+2)x+1=0,x∈r,a⋂r+=φ，谋实数p的值域范围例2：已知集合a=t|使x|x2+2tx-4t-3≠0=r,b=t|使x|x2+2tx-2t=0≠φ，其中x,t 均为实数，求a⋂b基准3：若a0的边值问题就是_____例4：已知集合a=a|ax2+4x-1≥-2x2-a恒成立，b=x|x2-(2m+1)x+m(m+1)。
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分别为２１人；８人
2016/4/28 王山喜文档 13
题型1
集合---文氏图
2016/4/28
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1
引例
某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥 有率为49﹪，电视机拥有率为85﹪，洗衣机 拥有率为44﹪，至少拥有上述三种电器中两 种以上的占63﹪，三种电器齐全的为25﹪， 那么一种电器也没有的贫困户所占比例为---------------------------( )
所求人数分别为１０，８，４
2016/4/28 王山喜文档 8
题型解法小结
文氏图是数形结合思想在集合中的体现之一， 只要认清集合的特征，并准确的转化为图形 关系，借助图形就能够使抽象而复杂的问题 得到直观具体的解决．
2016/4/28
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9
题型训练
１、如果U=｛1，2，3，4，5，6，7， 8｝，A=｛1，2，3，4｝，B=｛3，4，5， 6｝，那么 痧 Ｄ U A U B
ð ( A B C )
的元素的个数为10090=10．故选Ａ
2016/4/28 王山喜文档
Ｂ
Ａ
８５ Ｃ４４
4
Ｕ
引例拓展
对于有关集合中元素个数的计算问题，我们 常用文氏图来解决，做题时可以参照下图， 你能把图中区域用集合形式表示出来吗？ （其中U为全集）
区域①为 ð ( A B C)
② Ａ ⑤ ④ C
区域②为 A ð ( B C)
③ B
区域③为 B ð ( A C ) 区域④为 C ð ( A B) 区域⑤为
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①
2016/4/28
U
A B C
5
结论
( A B) = Card(A)+card(B)-card(A∩B) 1、Card
类比可以得到推广公式 2、card(A∪B∪C)= Card(A)+card(B)+card(C)card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)
A．｛１,２｝ Ｃ．｛５,６｝ Ｂ．｛３,４｝ Ｄ．｛７,８｝
2016/4/28
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10
题型训练
２、设全集U是实数集R,M= x x 4 ,
2
N= x 1 x 3 ,
则图中区域①所表示的集合是 A． x 2 x 1 Ｂ． x 2 x 2
A．１０﹪
Ｂ．１２﹪
Ｃ．１５﹪
2016/4/28 王山喜文档
Ｄ．２７﹪
2
题型探究
这是一道集合的实际应用题，如果把各种 人群看作集合，本题就变为已知全集元素的 个数，求其某个子集的元素的个数，解决这 类问题一般应用文氏图来处理．
2016/4/28
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3
引例解析
不妨设调查了100户，全集U=｛被调查的100户 农户｝，A=｛100户中拥有电冰箱的农户｝，B= ｛100户中拥有电视机的农户｝，C=｛100户中 拥有洗衣机的农户｝，有文氏图可知，集合 A∪B∪C的个数为49+85+44-63-25=90. ∴集合 ４９
值得注意的是，是card(A)=49,card(B)=85，而不 是A=49，B=85
2016/4/28 王山喜文档 6
模仿训练
1、设集合S=｛x x 10, 且x N * ｝集合A,B 是S的两个真子集，且A∩B=｛4，5｝，
（痧 ） A 1 ， 2，， 3 ( S A) (?S B) 6， 7，， 8 SB
求集合A和B.
Ａ＝｛１，２，３，４，５｝ Ｂ＝｛４，５，９，１０｝
2016/4/28
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7
模仿训练
2、某班期中考试，数学90分以上的有18人， 物理90分以上的有14人，而数学与物理两 科中至少有一科90分以上的有22人，求数 学和物理两科都在90分以上的人数，只有数 学90分以上的人数，只有物理90分以上的 人数．
① Ｎ Ｕ
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Ｃ
x 1 x 2 Ｃ．
x x 2 Ｄ．
2016/4/28
Ｍ
11ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型训练
３、若A，B，C为三个集合，A∪B=B∪C， 则一定有 A A. A C B. C A C. A C D. A
2016/4/28
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12
题型训练
4、某班50名学生参加羽毛球和乒乓球活动小 组，参加羽毛球小组的人数是全体学生 3 人数的 5 ，参加乒乓球小组的人数比参加 羽毛球小组的人数多3人，两组都没有参加 1 的人数是都参加两组人数的 3 多1人，求同 时参加两组的人数和两组都没有参加的人数．