附录 截面的几何性质(材料力学)

b b( y ) ( h y ) h
b(y )
S x A y d A 0
b bh2 (h y ) y d y h 6
h
dy
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 试确定图示截面心 C 的位置。 解：将截面分为 1，2 两个矩形。 取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合 y
10
1
x1
C( y, x )
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
思考： 求下图所示截面的形心位置
50
10 A1
z
60
A2
10
y
12
yc1 A1 yc 2 A2 yc A1 A2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 半径为r的半圆：求半圆的形心。 解 在距 z 轴任意高度 y 处取狭长条 作为微面积，即
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的惯性矩。 惯性矩的数值恒为正，常用单位为m4 。
14
dA
y x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、极惯性矩
y
I p 2 dA
A
称为截面图形对O点的极惯性矩。
x
dA y x
2 x2 y 2

I p 2dA x 2 y 2 dA x 2dA y 2dA I y I x
A
y
z y A o
A
A
y
dA z
y
ydA S A z A A
求静矩的另一公式：
Sy x A
5
Sx y A
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
结论： 静矩的值与所选的坐标有 关,可正、可负，也可为零。 A
z
C
y
结论 ： 截面图形对通过其形心的轴的静矩为零； 反之，若截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必为形心轴。
（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对
形心轴的惯性矩最小.
26
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
o
二、组合截面的惯性矩
z A1 A2 A3
I z y dA
2 A A1 n A1 A
y
y 2dA1 y 2dA2 y 2dA3 I xi
i 1
I z I zi ( I zCi a Ai )
y dA z
x
A
xdA A
,
y
A
A
ydA A
A
定义：
S x ydA
A
S y xdA
o
y
分别称为截面图形对于z轴和y 轴的静矩。 静矩的数值可能为正，可能为负，也可能为零，单位为m3。
4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
二、形心（平面图形面积的几何中心称为形心。）
zdA S z
yC轴和zC轴为一对通过形心 的形心轴,图形对形心轴的惯性 矩、惯性积分别记为： a
z
y
zC dA C b yC z

y
I yC z C 2 dA
A
24
I zC yC 2dA
A
I yC z C yC zC dA
A
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
截面图形对于y轴和z轴的惯性矩和惯性积为:
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
三、组合图形的静矩与形心
由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的 各组成部分对同一轴的静矩的代数和:
S z ydA ydA1 ydA2 ydAn
A A1 A1 A
y 1 A1 y 2 A2 y n An y i Ai
A1 yC1 A2 yC 2 yC A1 A2 (0.14 0.02 0.08 0.1 0.02 0) m3 (0.14 0.02 0.1 0.02) m 2 0.0467 m
yC
20
2 O 100
zC z
应用平行移轴公式分别计算出矩形1、2对zC轴的惯性矩
31
h a
I z1 I Z 0
h 2 A( ) 2
z2 z2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 试求图a 所示截面对于对称轴x的惯性矩。
y
解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。 （1）矩形对x的惯性矩：
40
d 2a 80 2003 I x1 12 12
3
a =100
a + 2d 3
C 100
x
5333 104 mm4
（2）一个半圆对其自身形 心轴xc的惯性矩（见前例）
2 π d 2 d π d 2 I xc I x ( yc ) Ix 8 3π 8 2 2
A A A A
即截面图形对任意一对正交坐标轴的惯性矩之和，等 于它对该两轴交点的极惯性矩。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
z y y' A
且
2 z2 y2
A
dA
z'
I P 2 dA ( z2 y2 )dA
A

z
I y I z
y
o
I y Iz
29
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2 I z1 I a zC 1 1A 1 C
y
20 1 140 C
1 0.02 0.143 m4 0.03332 0.02 0.14 m4 12 7.69 106 m4
2 I zC2 I zC 2 a2 A2
F A Fl l EA
T IP
T m ax WP
Tl GI P
M Wz
弯曲变形：
My Iz
m ax
A, IP, WP, Iz, Wz——表征截面几何性质的量
3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
Ⅰ-1
对单位厚度的均质薄 板，其形心坐标为：
静距和形心
一、静矩（或一次矩） z
10
x1
1
A 1 x1 A2 x 2 x A1 A2 Ai
i 1 n i 1
Ai x i
n
y1
o
y2
2 10
y
A1 y1 A2 y 2 A1 A2
x2
80
x
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
矩形 1
A1 10 120 1200 mm
2
y
10
x1 5mm
i 1 i 1 2 i
27
n
n
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
下列计算是否正确？
I x 2 I x1 Aa
不正确！
2
a
x1
x2
因为x1和x2都不是形心轴!
28
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例
计算T型截面对其形心轴zC轴的惯性矩IZC。
y
20 1 140 C
解：先截面看成由矩形1和矩形2 组成，选Z轴为参考坐标轴,首先 确定截面的形心坐标C(0,yC)
即：对O点极惯矩等于对过O点同一平面内任意一对 相互垂直轴的惯矩之和。
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
所以
I P 只与原点O有关，即
I y I z const
I z 0, I y 0
I p恒 0
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
三、惯性半径
2 I x Aix 2 I y Ai y
30
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例 已知矩形截面对z1轴的惯性矩
对z2轴的惯性矩Iz2 。 解：设z0为矩形截面的形心轴。
I z1
行的另一轴z2轴，二者间距为a0，用平行移轴公式计算图形
bh3 ，现有与z1轴平 3
b z1
0
I z2 I Z 0
h 2 A(a 0 ) 2
h 2 h 2 I z 2 I Z 1 A( ) A(a0 ) 2 2 3 bh3 bh 2 2 bh(a0 h a0 ) (h 2 3a0 h 3a0 ) 3 3
y1 60mm
矩形 2
1
x1
A2 10 70 700 mm
70 45mm x 2 10 2
y1
2
2
o
y2
10
x2
80
x
y 2 5mm
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
所以 y
A1 x 1 A2 x 2 x A1 A2 37500 20 mm 1900 A y A2 y 2 y 1 1 A1 A2 75500 40 mm 1900
h
C
x
bh Ix 12
3
b
(b)
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例5 求圆形截面的惯性矩。
y
已知 则 而 所以
I P 2 dA
A
d4
32
d x
I y Ix I p I y Ix
1 d4 I y Ix I p 64 2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
常见截面的惯性矩和惯性半径
h b
z
d
z
D
d
z
矩形
圆形
圆环
bh 3 Iz 12 h iz 2 3
22
d 4 Iz 64 d iz 4
Iz ( D4 d 4 ) 64 iz D2 d 2 4
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
§Ⅰ.3
惯性积
y
Z Z
I xy xydA
2 h/2 2
y h C
z
同理，计算对y轴的惯性矩。取
平行于z轴的狭长条为微面积，即: dA hdz
3 h b I y z 2dA hz 2dz A b / 2 12 b/2
19
b
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
y
若截面是高度为h的 平行四边形，则其对形心
轴x 的惯性矩同样为
y a yC z b zC
I y z dA
2 A
z
y
2
zC dA C b yC z
( zC b) dA
A A 2 ( zC 2bzC b 2 )dA
a

I yC 2bS yC b 2 A
y
2
S xC AyC 0
25
I z I zC b A
z
7
Ai z i
i 1
n
Ai
i 1
n
y
Ai y i
i 1
n
Ai
i 1
n
材 料 力 学 Ⅰ 电 Байду номын сангаас 教 案
例 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。 y 解： 取平行于x轴的狭长条，
b d A (h y ) d y h
所以对x 轴的静矩为
O
y b x
h
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
同理：
I y I yC b 2 A 2 I z I zC a A I yz I yCzC abA
即为惯性矩和惯性积的平行移轴公式。
注意：
（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对 任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形 心轴惯性矩来换算;
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
材料力学
附录Ⅰ 截面的几何性质
2016年11月13日
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
附录Ⅰ
截面的几何性质
§Ⅰ-1 静距和形心
§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径
§Ⅰ-3 惯性积 §Ⅰ-4 平行移轴公式 §Ⅰ-5 转轴公式和主惯性轴
2
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
受力杆件的应力与应变，不仅与外力相关，而且与 截面的几何性质也相关。 拉压变形： 扭转变形：
1 0.1 0.023 m4 0.04672 0.1 0.02 m4 12 4.43 106 m4
整个图形对zC轴的惯性矩IZC
yC
20
2 O 100
zC z
1 I zC I zC I zC2 7.69 106 m4 4.43106 m4 12.12 106 m4
dA 2 r 2 y 2 dy
y
A
ydA A

2 2 y 2 r y dy 0
r
r2
2
4r 3
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
§Ⅰ.2 惯性矩、极惯性矩、惯性积 一、惯性矩
定义：面积与它到轴的距离的 平方之积 y
x
I x y 2dA A 2 I y x dA A
A
定义为截面图形对于z轴和y 轴 的惯性积。
y
dA
dA
y
o
Z
① 惯性积的数值可能为正，可能为负，也可能为零，
常用单位为m4 。 ② 若y , z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴,则截面对
y , z轴的惯性积一定等于零。
23
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
Ⅰ-4 平行移轴公式 一、平行移轴公式
C点为截面图形的形心，
ix
Ix A
iy
Iy A
ix 和iy分别称为截面图形对于x轴和 y轴的惯性半径， 单位为m。
18
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
例Ⅰ-3 计算矩形截面对其对称轴y轴和z轴的惯性矩。
解：先计算截面对z轴的惯性矩。取 平行于z轴的狭长条为微面积，即:
y
z dz dy
3
dA bdy
bh I z y dA by dy A h / 2 12