立体几何中常用的数学思想方法

立体几何中常用的数学思想方法 郑云 数学思想是数学的灵魂，是同学们学习过程中最需要总结的法宝，下面例析数学思想方法在立体几何中的应用。

一. 分类讨论的思想

例1. 不共面的4个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）。

A. 3个

B. 4个

C. 6个

D. 7个

解：把不共面的4个定点看成四面体的4个顶点，平面α可分两类。第一类，如图1所示，4个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类α有4个。第二类，如图2所示，4个定点分布在α的两侧各2个，此类α有3个。综上，共有4+3=7（个），故选D 。

二. 转化的思想

化归与转化的思想在立体几何中随处可见，特别是空间问题平面化，如空间中的角与距离转化为平面中的角与距离。

例2. 一个与球心距离为1的平面截球所得的截面面积为π，则球的表面积为（ ）

A. 82π

B. 8π

C. 42π

D. 4π

解：如图3所示，作出球的大圆截面图，由截面小圆的面积为π

即ππr 2=，得r =1

R r =+=1222

则S R 球==482ππ，应选B 。

图3

三. 函数的思想

例3. 已知圆锥的底面的半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

A. 22πR

B. 942π

R C. 832πR D. 322πR 解：如图4所示，设内接圆柱的半径为r r R ()0<<，高为h

则有h R R r R

3=-，得h R r =-3()。

图4

∴当时，全面积最大，最大值为，故选。圆柱全S r rh r r R r r Rr r R R R r R R B =+=+-=--=--⎛⎝ ⎫⎭⎪+≤=2226432

4349494

3494

2222222πππππππππ()

()

四. 方程的思想

例4. 已知正三棱锥P ABC -的体积为723，侧面与底面所成的二面角为60°。

（1）证明：PA BC ⊥。

（2）求底面中心O 到侧面的距离。

（1）证明：取BC 边的中点D

连结AD 、PD ，则AD BC PD BC ⊥⊥，

故BC APD ⊥平面，因此PA BC ⊥。

（2）解：如图5所示，由（1）可知平面PBC APD ⊥平面

则∠PDA 是侧面与底面所成二面角的平面角

由题意知点O 到各个侧面的距离相等

过点O 作OE PD ⊥，则OE 就是点O 到侧面PBC 的距离 设OE 为x ，由题意可知点O 在AD 上

则∠°，PDO OP x ==602

OD x BC x S x x ABC ====2343444322，，△()

图5

72313432833

323===··，x x x x 底面中心O 到侧面的距离为3。