求数列通项的几种基本方法(带答案)

数列通项公式的常见求法
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2
55a S =．求数列{}n a 的通项公
式.
解：设数列{}n a 公差为)0(>d d
∵931,,a a a 成等比数列，∴912
3a a a =，
即)8()2(112
1d a a d a +=+d a d 12
=⇒
∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①
∵2
55a S = ∴211)4(2
4
55d a d a +=⋅⨯+
…………② 由①②得：531=
a ，5
3=d ∴n n a n 5
353)1(53=⨯-+=
点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

二、累加法（()n f a a n n +=+1型） 2、已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211
，求n a 。

解：由条件知：1
1
1)1(112
1+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得 )1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= 所以n a a n 111-=-n
n a n 1
231121-=-+=∴
3、已知数列{}n a 满足1121
1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
4、已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n
n n a a +-=⨯+则
三、累乘法（n n a n f a )(1=+型） 5、已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。

解：由条件知
1
1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即 1342312-⋅⋅⋅⋅n n a a a a a a a a n
n 1
433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒ 又321=a ，n a n 32=∴ 6、设数列｛a n ｝是首项为1的正项数列，且),3,2,1(0112
21⋅⋅⋅==⋅+-+++n a a na a n n n n n ）（，求它的通
项公式。

四、利用求和公式求通项公式
7.（2015新课标）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．
解：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得
111
1n n
S S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则
11(1)n S n n =---=-，所以1n S n
=-． 8、已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足()11log 2+=+n S n ，求数列{}n a 的通项公式。

9、已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥
①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
⋅⋅⋅
⋅=-⋅⋅⨯=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，
代入③得!13452
n n a n =⋅⋅⋅⋅
⋅=。

所以，{}n a 的通项公式为!
.2n n a =
10.（2015山东）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n
n S =+.
（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .
11、已知数列{a n }的各项均为正数，且)(21n
n n a n
a S +=，求a n
12、已知数列{}n a 的前n 项和S n 满足.1,)1(2≥-+=n a S n
n n
(Ⅰ)写出数列{}n a 的前3项;,,321a a a (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式;
分析：.1,)1(2≥-+=n a S n
n n ① 由,12111-==a S a 得.11=a ②
由2=n 得，12221+=+a a a ，得02=a ③
由3=n 得，123321-=++a a a a ，得23=a ④ 用1-n 代n 得 1
11)1(2----+=n n n a S
⑤
①—⑤：n n n n n n a a S S a )1(22211-+-=-=-- 即n
n n a a )1(221--=- ⑥
[]
n
n n n n n n n n a a a a )1(2)1(22)1(2)1(222)1(221222121----=----=--=-----n n n n a )1(2)1(2)1(2222111------==--- []
12
)1(23
2---+=
n n
五、构造法
（一）递推式：q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

（待定系数法）
解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+。

13. (2014新课标II)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{
}
12
n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；
14、已知数列{a n }满足11711
,()823
n n a a a n N +=
=+∈*。

⑴求证：数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
-32n a 是等比数列； ⑵ 求｛a n ｝的通项公式
15、已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n . 故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b . 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321
-=+n n a .
16、数列{a n }满足a 1=1，0731=-++n n a a ,求数列{a n }的通项公式。

解：由0731=-++n n a a 得37311+-=+n n a a 设a )(311k a k n
n +-=++，比较系数得37
3=--k k
解得47-=k ∴{47-n a }是以31-为公比，以43
471471-=-=-a 为首项的等比数列
∴1)3
1(4347--⨯-=-n n a 1)31
(4347--⨯-=⇒n n a
（二）其他几种常见的构造法
17、已知数列{}n a 满足0,1
21,
121
1>+
==+n n
n a a a a ，求n a .
18、已知数列{n a }，1a = 1-，11n n n
a a a +=
- n N *
∈，求n a =？ 解：把原式变形得11n n n n a a a a ++-⋅= 两边同除以1n n a a +得
1
111n n a a +=+ ∴1{
}n a 是首项为1-，d=1-的等差数列故11(1)(1)n n n a =-+--=-∴1n a n
=-。

19、数列{}n a 满足1n a += 12(2)n n a +-+- (n N *
∈)，首项为12a =-，求数列{n a }的通项公式。

解：1n a += 12(2)n n a +-+- 两边同除以1
(2)n +-得
11(2)n n a ++-=(2)
n
n
a -+1 ∴数列{
}(2)n n a -是首项为12(2)--=1，d=1的等差数列∴(2)
n n
a -=1+(1)1n n -⨯= 故n a =(2)n
n - 20、数列{}n a 满足23,5,21221+-==++n n a a a a n a =0，求数列{a n }的通项公式。

分析：递推式02312=+-++n n n a a a 中含相邻三项，因而考虑每相邻两项的组合，即把中间一项1+n a 的系数分解成1和2，适当组合，可发现一个等比数列}{1--n n a a 。

解：由02312=+-++n n n a a a 得0)(2112=---+++n n n n a a a a
即）n n n n a a a a -=-+++112(2，且32512=-=-a a
∴}{1n n a a -+是以2为公比，3为首项的等比数列
∴1
123-+⋅=-n n n a a
利用逐差法可得112111)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=-++
=2232
32
302
1
+⋅++⋅+⋅-- n n =2)122
2
(32
1
+++++⋅-- n n =22
1213+--⋅n
=123-⋅n
∴1231
-⨯=-n n a
21、设{}n a 是首项为1的正项数列，且012
12=-----n n n n na na a a ，（n ∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得0))((11=--+--n a a a a n n n n .
∵0>n a ，01>-n a ，∴01>+-n n a a . ∴n a a n n =--1
2
)
1(321)()()(123121+=
++++=-+-+-+=-n n n a a a a a a a a n n n 22、数列{}n a 中，3,121==a a ，且n n n a n a n a )2()3(12+-+=++，（n ∈N*），求通项公式n a . 解： =-++12n n a a =-++))(2(1n n a a n ))(1)(2(1--++n n a a n n
)1)(2(++==n n )!2()(3412+=-⨯n a a
∴!!3!21)()()(123121n a a a a a a a a n n n +++=-++-+-+=-（n ∈N*） （三）构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 23、数列{}n a 中，2
11=
a ，前n 项的和n n a n S 2
=，求1+n a . 解：12
21221)1()1()1(----=-⇒--=-=n n n n n n n a n a n a n a n S S a 1
1
1+-=⇒
-n n a a n n ， ∴112211a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅=
--- )
1(12131211+=⨯-⋅+-=n n n n n n ∴)
2)(1(1
1++=
+n n a n
（四）构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
24、设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
解：两边取对数得：122log 21log -+=n n a a ，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a
n b ，
则12-=n n b b {}n b 是以2为公比的等比数列，11log 1
21=+=b . 11221--=⨯=n n n b ，122
1log -=+n a n
，12log 12-=-n a n ， ∴1
2
1
2--=n n a
25、已知数列{}n a 中，21=a ，n ≥2时1
33
711+-=
--n n n a a a ，求通项公式.
解：∵1344111+-=
---n n n a a a ，两边取倒数得
4
3
11111+-=--n n a a .
可化为等差数列关系式.
413)1(4311111+=-+-=-n n a a n ∴1
35
3++=n n a n。