函数零点的性质问题
二次函数零点的有趣性质及其应用
二次函数零点的有趣性质及其应用二次函数是高中数学中经常研究的内容之一，它是一类常见的二元二次方程。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为实数且a≠0。
二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是使函数取值为零的x值。
二次函数的零点有以下几个有趣的性质：1. 零点的判别法：由于二次函数是一个二元二次方程，可以应用求根公式得到它的零点。
判别式Δ = b^2 - 4ac可以揭示零点的性质。
当Δ > 0时，函数有两个不相等的实根；当Δ = 0时，函数有两个相等的实根；当Δ < 0时，函数没有实根，但可能有两个虚根。
2.零点与系数之间的关系：对于一个给定的二次函数，它的零点与系数之间有一定的关系。
零点的和为-x轴对称的顶点横坐标的两倍的相反数，即x1+x2=-b/a；零点的乘积等于常数项与系数a的商的负数，即x1*x2=c/a。
除了基本的性质之外，二次函数的零点还具有一些应用价值：1.解决实际问题：二次函数可以用来描述很多实际问题，例如炮弹的抛射轨迹、物体的自由落体运动等。
这些问题中，零点代表了一些事件发生的时间或位置。
通过求解二次函数的零点，我们可以得到这些问题的解决方法。
2.优化问题的求解：在很多优化问题中，需要找出函数取得最大值或最小值的点。
二次函数在特定的条件下可以很方便地用来描述这类问题。
通过求解二次函数的零点，我们可以找到函数的顶点，从而确定函数的极值点。
3.统计学中的应用：二次函数在统计学中具有广泛的应用。
例如，通过拟合二次函数可以对一组数据进行回归分析，从而预测未来的趋势或估计缺失的数据。
4.工程中的应用：工程领域中，二次函数常常用来描述其中一种物理量与时间或空间的关系。
例如，用来描述电路中的电流、电压变化等。
通过求解二次函数的零点，我们可以得到这些物理量的变化趋势。
总之，二次函数的零点具有很多有趣的性质和应用。
它不仅有助于理解二次函数的性质，还可以解决实际问题和优化问题，应用到统计学和工程领域中。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
二次函数的零点问题
二次函数的零点问题二次函数是高中数学中重要的内容之一，通过研究二次函数的零点问题，我们可以深入理解二次函数的性质以及在实际问题中的应用。
本文将对二次函数的零点问题进行详细讨论。
一、二次函数的定义和性质二次函数的定义为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq 0$，$a, b, c$为常数，$x$为自变量，$y$为因变量。
二次函数的图像通常是抛物线的形状，开口方向取决于系数$a$的正负。
1. 零点的定义对于二次函数而言，零点即为函数图像与$x$轴相交的点。
也就是说，当函数的$y$值为0时，对应的$x$值即为零点。
2. 零点的判定为了求解二次函数的零点，我们需要先判定零点的存在性。
二次函数的零点存在与否与其判别式相关。
判别式$\Delta=b^2-4ac$表示二次函数的图像与$x$轴的交点个数。
- 当$\Delta>0$时，二次函数有两个不同的实数根，图像与$x$轴相交于两个点；- 当$\Delta=0$时，二次函数有一个实数根，图像与$x$轴相切于一个点；- 当$\Delta<0$时，二次函数没有实数根，图像与$x$轴没有交点。
二、求解二次函数的零点在判定二次函数零点的存在性后，接下来我们将介绍求解二次函数零点的方法。
1. 因式分解法当二次函数的判别式$\Delta>0$时，我们可以利用因式分解法求解零点。
以二次函数$y=ax^2+bx+c$为例，假设其两个零点分别为$x_1$和$x_2$，则可以将其表示为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
通过对二次函数进行因式分解，我们可以将其转化为一元一次方程，并求得零点的值。
2. 公式法当二次函数的判别式$\Delta>0$时，我们可以使用求根公式来求解零点。
根据一元二次方程的求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，我们可以直接计算出二次函数的零点。
需要注意的是，当二次函数的判别式为0或小于0时，求根公式将无效，此时我们需要采用其他方法求解零点。
函数零点的题型归纳与解题技巧
函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。
在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。
一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。
2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。
3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。
4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。
5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。
6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。
二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。
例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。
2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。
例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。
3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。
例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。
4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。
例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。
5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。
例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。
6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。
7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。
二次函数中零点的判定方法和性质
二次函数中零点的判定方法和性质二次函数是数学中的重要概念，它的形式通常为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
在二次函数中，我们经常需要找到它的零点，也就是使得函数值为0的x值。
本文将介绍二次函数中零点的判定方法和相关性质。
一、判定方法1.因式分解法当二次函数能够被因式分解时，我们可以通过这种方法找到其零点。
假设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，首先将函数改写为f(x) = a(x -x1)(x - x2)，其中x1、x2为待求的零点。
根据零乘法则，当x = x1或x = x2时，f(x) = 0。
因此，通过因式分解法，我们可以求得二次函数的零点。
举个例子，对于二次函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们可以将其因式分解为f(x) = (x - 2)(x - 3)。
因此，零点为x = 2和x = 3。
2.配方法当二次函数无法进行因式分解时，我们可以使用配方法来寻找零点。
假设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，首先我们将系数b拆分成两个数m和n，使得b = m + n。
然后，我们将二次函数重新写为f(x) = a(x^2 + (m/n)x) + c，接着我们在括号中加入一个适当的常数d，使得f(x) =a(x^2 + (m/n)x + d - d) + c。
然后，我们可以将(x^2 + (m/n)x + d)拆写成(x + m/2n)^2 + (d - m^2/4n^2)，从而得到f(x) = a(x + m/2n)^2 + (c -m^2/4n^2 - ad)。
此时，我们可以看出函数已经化简为一个平方项加上一个常数项。
然后，我们令(x + m/2n)^2 = -(c - m^2/4n^2 - ad) / a，解出x即可得到零点。
3.求根公式求根公式是利用一元二次方程的根的性质来得到二次函数的零点。
对于形式为ax^2 + bx + c = 0的二次方程，它的根可由求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)得到。
函数零点存在定理
函数零点存在定理一、函数零点的概念对于函数）（xfy=,我们把使xf=）（的实数x叫做函数）（xfy=的零点。
从几何角度来看，函数的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标。
换句话说，函数的零点就是方程f(x)=0的实数解。
二、函数零点的性质函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。
因此，求解函数的零点等价于求解对应的方程。
三、函数零点存在定理如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且有0bfaf）＜（）（∙,那么，函数）（xfy=在区间（a,b）内有零点推论（函数零点的唯一性）如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间[a,b]上具有单调性，且bfaf）＜（）（∙，那么函数）（xfy=在区间[a,b]上有唯一零点四、定理的证明思路为了证明这个定理，我们可以采用反证法结合连续函数的性质进行证明。
这里简要说明证明思路：假设：假设在开区间(a,b)内不存在零点，即对于所有x∈(a,b)，都有f(x)≠0。
分类讨论：若f(x)在(a,b)内恒大于0或恒小于0，则与f(a)f(b)<0矛盾。
若f(x)在(a,b)内既有大于0的部分也有小于0的部分，则根据连续函数的介值性，存在某个点c∈(a,b)使得f(c)=0，与假设矛盾。
结论：因此，假设不成立，原命题得证。
五、零点个数的判断1、零点个数的定义对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x的个数即为该函数的零点个数。
从图象上看，函数的零点个数就是y=f(x)的图象与x轴交点的个数。
2、零点个数判断的主要方法（1）代数法解方程：最直接的方法是解方程f(x)=0。
如果方程可以求解，那么其解的个数即为函数的零点个数。
这种方法适用于能够直接求解的方程，如一元二次方程、一元一次方程等。
因式分解：对于多项式函数，可以通过因式分解将函数化为几个因式的乘积形式，然后令每个因式等于零，解得的解即为函数的零点。
专题十四 函数的零点问题(1)(解析版)
专题十四函数的零点问题(1)1．函数零点的定义一般地，对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点存在性定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．注：(1)f(x)在[a，b]上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提．(2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续)．①若f(a) f(b)＜0，则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点，可以有多个．要分析f(x)的性质与图象，如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点．因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调．②若f(a) f(b)＞0，则f(x)在[a，b]“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点．如果f(x)单调，那么“一定”没有零点．③若f(x)在(a，b)有零点，则f(a) f(b)的符号是不确定的，“不一定”必须异号．受函数性质与图象影响．如果f(x)单调，则f(a) f(b)一定小于0．3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．注：函数零点，方程的根，两图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：(1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点．(2)方程的根：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫．(3)两图象的交点：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．4．常用结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．考点一 函数零点所在区间的判定问题 【方法总结】判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当函数对应方程易解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内．例如：对于方程ln x ＋x ＝0，无法直接求出根，构造函数f (x )＝ln x ＋x ，由f (1)>0，1()2f <0即可判定其零点必在(12，1)中．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．【例题选讲】[例1] (1)已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)答案 B 解析 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数在(2，3)内有零点．(2)若函数f (x )唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是( ) A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C ．函数f (x )在区间[2，16)上无零点 D ．函数f (x )在区间(1，16)内无零点 答案 C 解析 由题意可确定f (x )唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间[2，16)内无零点． (3)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间为( )A ．(－1，0)B ．(0，12)C ．(12，1)D ．(1，32)答案 C 解析 ∵1()2f ＝12e －2<0，f (1)＝e －1>0，∴零点在(12，1)上，故选C ．(4)已知实数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)答案 B 解析 ∵实数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，∴a ＝log 23>1，0<b ＝log 32<1，∵函数f (x )＝a x ＋x －b ，∴f (x )＝(log 23)x ＋x －log 32单调递增，∵f (0)＝1－log 32>0，f (－1)＝log 32－1－log 32＝－1<0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间为(－1，0)．故选B ．(5)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(1，2)与(2，3)答案 B 解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2x ＞0，所以f (x )＞0，故函数f (x )在(1，2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83．因为8＝22≈2.828＞e ，所以8＞e 2，即ln8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝12－ln3＜0，所以f (x )在(2，3)内存在一个零点．(6)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案 D 解析 由f (x )＝13x －ln x (x >0)得f ′(x )＝x －33x ，令f ′(x )>0得x >3，令f ′(x )<0得0<x <3，令f ′(x )＝0得x ＝3，所以函数f (x )在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0，又f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，1()f e ＝13e ＋1>0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D ．【对点训练】1．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为________．1．答案 (1，2) 解析 据题意令f (x )＝e x －x －2，由于f (1)＝e 1－1－2＝2.72－3<0，f (2)＝e 2－4＝7.39－ 4>0，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根． 2．已知自变量和函数值的对应值如下表：则方程2x ＝x 2的一个根位于区间( )A ．(0.6，1.0)B ．(1.4，1.8)C ．(1.8，2.2)D ．(2.6，3.0)2．答案 C 解析 令f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，因为f (1.8)＝3.482，g (1.8)＝3.24，f (2.2)＝4.595，g (2.2)＝4.84．令 h (x )＝2x －x 2，则h (1.8)>0，h (2.2)<0．故选C ．3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)3．答案 A 解析 ∵a <b <c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函 数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内． 4．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)4．答案 C 解析 方法一 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函 数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C ．方法二 函数f (x )＝e x ＋x －2的零点，即函数y ＝e x 的图象与y ＝－x ＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x 与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，由图可知选C ． 5．在下列区间中，函数f (x )＝e －x ＋4x －3的零点所在的区间可能为( )A ．⎝⎛⎭⎫－14，0B ．⎝⎛⎭⎫0，14C ．⎝⎛⎭⎫14，12D ．⎝⎛⎭⎫12，34 5．答案 D 解析 函数f (x )＝e －x ＋4x －3是连续函数，又因为1()2f ＝1e －1＜0，3()4f ＝14e 3＋3－3＞0，所以1()2f 3()4f ⋅＜0，故选D ．6．若x 0是方程131()2x x =的解，则x 0属于区间( )A ．⎝⎛⎭⎫23，1B ．⎝⎛⎭⎫12，23C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫0，13 6．答案 C 解析 令g (x )＝1()2x ，f (x )＝13x ，则g (0)＝1>f (0)＝0，11321111()()()()2222g f =<=，1311()()32g =1311()()33f >=，所以由图象关系可得13<x 0<12．7．已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)7．答案 B 解析 因为a >1,0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ，所以f (－1)＝1a －1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．8．若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，其零点分别为x 1，x 2，…，x 2 017，且x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝m ，则关于x 的方程2x ＋x －2＝m 的根所在区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．答案 A 解析 因为函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，故其零点x 1，x 2，…，x 2 017关于原点对称，且其中 一个为0，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝m ＝0．则关于x 的方程为2x ＋x －2＝0，令h (x )＝2x ＋x －2，则h (x )为(－∞，＋∞)上的增函数．因为h (0)＝20＋0－2＝－1<0，h (1)＝21＋1－2＝1>0，所以关于x 的方程2x＋x －2＝m 的根所在区间是(0，1)．9．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)9．答案 C 解析 因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．10．函数f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)10．答案 B 解析 易知f (x )＝ln x －2x 2在定义域(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0．根据零点存在性定理，可知函数f (x )＝ln x －2x 2有唯一零点，且在区间(1，2)内．11．函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e ，1 B ．(1，2) C ．(2，e) D ．(e ，3)11．答案 C 解析 易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0．∴f (2)f (e)<0，故f (x )的零点在区间(2，e)内．12．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________．12．答案 2 解析 对于函数y ＝log a x ，当x ＝2时，可得y <1，当x ＝3时，可得y >1，在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝－x ＋b 的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)时，n ＝2．考点二 简单函数(方程)零点(解)的个数判断 【方法总结】函数零点个数的判断方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则方程解的个数即为函数零点的个数．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点所具有的性质．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．即将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断．【例题选讲】[例2] (1)(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数是________． 答案 3 解析 由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 B 解析 法一 由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e ．因此函数f (x )共有2个零点．法二 函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析 g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg(1－x )|－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg(1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个，故选C ．(4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是 ．答案 2 解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2．(5)函数f (x )＝12x －1()2x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B 解析 函数f (x )＝12x －1()2x 的零点个数是方程12x －1()2x ＝0的解的个数，即方程12x ＝1()2x的解的个数，也就是函数y ＝12x 与y ＝1()2x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1．(6)函数f (x )＝3x |ln x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B 解析 函数f (x )＝3x |ln x |－1的零点数的个数即函数g (x )＝|ln x |与函数h (x )＝1()3x 图象的交点个数．作出函数g (x )＝|ln x |和函数h (x )＝1()3x 的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f (x )＝3x |ln x |－1有2个零点．(7)已知函数f (x )＝1()2x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．答案 3 解析 如图，作出g (x )＝1()2x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3．(8)(2015湖北)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________． 答案 2 解析 函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．分别画出两函数图象，如图，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故零点个数为2．【对点训练】13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．答案 C 解析 解法1 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2．故选C ．解法2 函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0B ．－2，0C ．12D ．014．答案 D 解析 当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0． 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．515．答案 A 解析 当x <0时，f (2－x )＝x 2，此时函数f (x )－g (x )＝－1－|x |＋x 2的小于零的零点为x ＝－1＋52；当0≤x ≤2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝x ，函数f (x )－g (x )＝2－|x |＋x －3＝－1无零点；当x >2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝4－x ，函数f (x )－g (x )＝(x －2)2＋4－x －3＝x 2－5x ＋5大于2的零点有一个．因此函数y ＝f (x )－g (x )共有零点2个．16．设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．116．答案 C 解析 易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，∴x ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，∴x ＝1是函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上唯一零点．从而x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点．故y ＝f (x )有两个零点．17．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．317．答案 C 解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2．18．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．418．答案 B 解析 函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，在同一坐标平面上画出两函数的图象，如图所示．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数为2．19．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点19．答案 B 解析 当x ∈(]0，1时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在[0，1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos 1>0，所以f (x )在[0，1]内有唯一零点．当x >1时，f (x )＝x －cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B ． 20．函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为__________． 20．答案 2 解析 f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin 2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．21．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0x 2－2，x ≤0的零点个数是________．21．答案 3 解析 当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零 点；当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f (x )有3个零点．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．422．答案 B 解析 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如 图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B ．23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．23．答案 2 解析 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．答案 B 解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得第11页f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B ．。
专题13 函数的零点的问题(解析版)
专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。
例4、(2017南通一调）已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2) 若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3) 若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．例5、（2016南通一调）已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。
数学中的函数零点与函数最值问题
数学中的函数零点与函数最值问题数学中的函数零点与函数最值问题是数学分析中的重要概念和应用。
在这篇文章中，我们将讨论函数零点和函数最值的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、函数零点的定义和性质1. 函数零点的定义在数学中，函数零点是指函数取值为零的点，即满足f(x) = 0的x 值。
记作x0 = 0，其中f(x)表示函数。
2. 函数零点的性质（1）函数零点存在性：对于连续函数来说，如果f(a)和f(b)异号（f(a)·f(b)<0），那么在(a,b)之间必然存在一个零点x0。
（2）函数零点的唯一性：对于严格单调函数来说，它只有一个零点。
但对于非单调函数来说，它可能有多个零点。
（3）函数零点的计算方法：求解函数零点可以通过图像法、解析法以及迭代法等方法。
其中，图像法通过绘制函数图像来确定零点的位置；解析法通过代数运算来推导零点的表达式；迭代法通过不断逼近函数零点的值。
二、函数最值的定义和性质1. 函数最值的定义函数的最值是指函数在定义域上取得的最大值和最小值。
最大值称为函数的极大值，最小值称为函数的极小值。
2. 函数最值的性质（1）最值的存在性：对于连续函数来说，在闭区间[a,b]上必然存在最大值和最小值。
但对于非连续函数来说，最值的存在性需要进一步判断。
（2）最值的唯一性：对于连续函数来说，最大值和最小值是唯一的。
但对于非连续函数来说，最值可能不唯一。
（3）最值的计算方法：求解最值可以通过求导数的方法来找出函数的驻点，进而判断最值所在的位置；也可以通过函数图像来观察最值的位置。
三、函数零点与函数最值问题的应用函数零点与函数最值问题在数学和实际应用中有着广泛的应用。
1. 函数零点的应用（1）方程求解：将方程转化为函数的形式，通过求解函数的零点来解方程。
（2）根据函数图像判断方程解：通过观察函数图像，可以判断方程在不同区间上有多少个解。
（3）曲线的与坐标轴的交点：曲线与x轴和y轴的交点即为函数的零点。
函数的单调性与零点问题
函数的单调性与零点问题函数的单调性是数学中一个重要的概念，它描述了函数在定义域上的递增或递减的性质。
在本文中，我们将介绍函数的单调性以及与之相关的零点问题。
一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在其定义域上的递增或递减的性质。
具体而言，如果对于定义域上的任意两个不同的实数x1和x2，都有f(x1)≤f(x2)，那么我们称这个函数为递增函数；如果对于定义域上的任意两个不同的实数x1和x2，都有f(x1)≥f(x2)，那么我们称这个函数为递减函数。
函数的单调性可以通过求导来判断。
对于可导函数，如果其导函数恒大于0，则函数在定义域上递增；如果其导函数恒小于0，则函数在定义域上递减。
二、函数的零点问题函数的零点，也称为根，是指函数取值为0的实数解。
对于给定的函数，寻找其零点是解决方程 f(x)=0 的问题。
零点问题在数学和工程领域中都有重要的应用，比如求解方程、计算实数的近似值等。
对于具体的函数，我们可以通过代数方法或图像分析的方式来求解其零点。
代数方法包括因式分解、配方法等，而图像分析则通过绘制函数的图像来找到函数与x轴相交的点，这些点即为函数的零点。
三、函数单调性与零点问题的关系函数的单调性与零点问题有着密切的联系。
对于一个递增的函数，如果存在两个不同的实数x1和x2，使得f(x1)<0<f(x2)，那么根据介值定理，必然存在一个介于x1和x2之间的实数c，使得f(c)=0，即函数存在零点。
同样地，对于一个递减的函数，如果存在两个不同的实数x1和x2，使得f(x1)>0>f(x2)，那么根据介值定理，必然存在一个介于x1和x2之间的实数c，使得f(c)=0，即函数存在零点。
函数的单调性可以为我们解决零点问题提供了重要的线索和思路。
通过观察函数的单调性，我们可以初步判断函数的零点的存在与位置，从而更高效地求解方程。
综上所述，函数的单调性与零点问题密切相关。
通过研究函数的单调性，我们可以得到有关零点问题的许多有用信息。
二次函数零点问题梳理
二次函数零点问题梳理二次函数是高中数学中的重要内容之一，其中零点问题是常见的考点之一。
为了更好地理解和掌握二次函数零点问题，本文将对二次函数、零点以及相关的概念、性质和解题方法进行梳理和总结。
1. 二次函数的定义和性质：二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图象是抛物线，其开口方向由a的正负决定。
若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
2. 二次函数的零点：二次函数的零点就是函数的解，即满足f(x) = 0的x值。
零点也可以称为函数的根或者方程的解。
3. 二次函数的零点的性质：（1）判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac。
判别式的值可以判断二次函数的零点情况：a. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根；b. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，也即有一个重根；c. 当Δ < 0时，二次函数无实根，但有两个共轭复根。
（2）零点与二次函数图象的关系：a. 若零点为x1和x2，且x1 < x2，则函数图象与x轴相交于x1和x2两点；b. 若零点为x1 = x2，则函数图象与x轴相切于x1点；c. 若无实根，则函数图象与x轴不相交。
4. 求解二次函数零点的方法：（1）因式分解法：将二次函数进行因式分解，然后令各个因式等于零，解出x的值。
（2）配方法：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，若a ≠ 0，可将其变形为完全平方式(ax + b/2a)² + (c - b²/4a) = 0，然后移项并配方得到(x + m)² = n，再通过开平方将方程解出。
（3）求根公式：对于一元二次方程ax² + bx + c = 0，其根的公式为： x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a。
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）1) 对于函数 y=f(x)，将方程 f(x)=0 的实数根称为函数y=f(x) 的零点。
2) 方程 f(x)=0 有实根⇔函数 y=f(x) 的图像与 x 轴有交点⇔函数 y=f(x) 有零点。
若函数 f(x) 在区间 [a,b] 上的图像是连续的曲线，则 f(a)f(b)<0 是 f(x) 在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x)，通过不断地把函数 y=f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0，那么，函数 y=f(x) 在区间 (a,b) 内有零点，即存在 c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个 c 也是方程 f(x)=0 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件。
例如，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 ( )。
分析：显然函数 f(x)=ln(x+1)-2 在区间 [1,2] 上是连续函数，且 f(1)0，所以由根的存在性定理可知，函数 f(x)=ln(x+1)-2 的零点所在的大致区间是 (1,2)，选 B。
二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。
对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。
高中数学-函数的零点问题及例题分析
高中数学-函数的零点问题及例题分析1. 引言函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学和实际问题中发挥着重要的作用。
函数的零点问题是函数中一个常见且重要的问题，它与方程的解有着紧密的联系。
本文将介绍函数的零点问题，并通过一些例题分析来加深理解。
2. 函数的定义与性质回顾函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
函数通常用符号表示，如$f(x)$，其中$x$是自变量，$f(x)$是对应的函数值。
函数的零点指的是函数取零值的点，即满足$f(x)=0$的$x$值。
函数的零点问题与方程的解问题紧密相关。
对于一元函数，函数的零点就是方程$f(x)=0$的解。
因此，解方程可以转化为求函数的零点。
函数的零点可以通过图像、图表或数值计算等方法来确定。
下面将通过几个例题来进一步分析。
3. 例题分析3.1 例题一已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数$f(x)$的零点。
解析：要求函数$f(x)$的零点，即求解方程$2x^2-3x+1=0$。
我们可以使用配方法、求根公式或因式分解等方法来解这个二次方程，最终可以得到$x=1$和$x=\frac{1}{2}$两个解。
3.2 例题二已知函数$g(x)=\sqrt{x+3}-2$，求函数$g(x)$的零点。
解析：要求函数$g(x)$的零点，即求解方程$\sqrt{x+3}-2=0$。
为了消除平方根，我们可以将方程两边平方，得到$x+3=4$，然后解得$x=1$。
因此，函数$g(x)$的零点为$x=1$。
3.3 例题三已知函数$h(x)=\frac{1}{x-2}$，求函数$h(x)$的零点。
解析：函数$h(x)$在$x=2$处不存在定义，因此不存在零点。
4. 总结本文介绍了函数的零点问题及其与方程的解之间的联系。
函数的零点是函数取零值的点，可以通过解相应的方程来求得。
通过例题分析，我们进一步了解了求函数零点的具体方法。
在实际问题中，函数的零点问题有时对于确定某个变量的取值非常重要，因此对于函数的零点问题的理解和掌握是非常有益的。
函数零点的性质及应用
函数零点的性质及应用函数的零点指的是函数的图像与x轴（或称为横轴）相交的点，在数学中也被称为函数的根、解或交点。
零点的性质及其应用广泛存在于数学、物理、工程等各个领域，下面将从数学的角度来探讨函数零点的性质及应用。
一、函数零点的性质：1. 零点的存在性：函数存在零点的条件是函数的图像与x轴相交，即f(x) = 0。
对于连续函数而言，根据介值定理，如果函数在闭区间[a, b]上有不同的符号，即f(a)f(b) < 0，则在[a, b]上一定存在一个实数c，使得f(c) = 0，即函数在[a, b]上一定存在一个零点。
2. 零点的唯一性：对于单调函数而言，如果函数在某个区间上是单调递增（递减）的，那么这个函数在该区间上的零点是唯一的。
特别地，对于严格单调递增（递减）的函数，其零点一定只有一个。
3. 零点的重数：零点的重数指的是函数在该零点处连续的次数，也叫做该零点的重子数。
常见的有一重零点、二重零点等。
如果一个函数在某个点x=a处的导数为0，且导数的导数在该点不为0，则称x=a是函数的二重零点。
4. 零点的性质：函数的零点是函数图像与x轴的交点，因此在零点处，函数的取值为0。
而在零点附近，函数的取值可能会从负数变成正数或从正数变成负数，因此可以利用函数的零点来确定函数表达式的变号区间。
此外，零点还可以用来求解函数的方程，即通过求解f(x)=0来确定x的值。
二、函数零点的应用：1. 方程的求解：函数的零点在求解方程中有很重要的作用。
通过求解f(x)=0，可以将一个方程转化为一个函数的零点问题，从而可以利用函数零点的性质来解决方程。
例如，求解一元二次方程ax^2+bx+c=0可以转化为求解函数f(x)=ax^2+bx+c的零点问题。
2. 函数图像的描绘：函数的零点是函数图像与x轴相交的点，因此可以通过求解函数的零点来确定函数图像的交点。
通过绘制函数的零点，可以更加清晰地了解函数的增减性、拐点、极值等信息。
指数函数与对数函数的零点问题
指数函数与对数函数的零点问题指数函数和对数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在解决实际问题中具有重要的应用价值。
其中，指数函数与对数函数的零点问题是一个比较常见且具有一定难度的问题。
本文将围绕指数函数和对数函数零点问题展开讨论。
一、指数函数的零点问题指数函数通常可以表示为f(x)=a^x（a>0, a≠1）的形式，其中a被称为底数。
当指数函数的底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现衰减趋势。
指数函数的零点问题即是要找出满足f(x)=0的解x。
在解决指数函数零点问题时，常用的方法是对数运算法。
由于指数运算和对数运算是互逆的，因此我们可以通过对指数函数进行对数运算，将指数函数的零点问题转化为对数函数的求解问题。
举个例子来说明，假设有一个指数函数f(x)=2^x，要求解f(x)=0的解x。
我们可以将指数函数转化为对数形式，即2^x=0转化为log2(y)=x，其中y=0。
这样，我们就将求解指数函数的零点问题转化为了对数函数log2(y)的求解问题。
二、对数函数的零点问题对数函数通常可以表示为f(x)=loga(x)（a>0, a≠1）的形式，其中a 被称为底数。
对数函数的定义是y=loga(x)等价于a^y=x，其中y被称为指数。
对于对数函数的零点问题，即是要找出满足f(x)=0的解x。
与指数函数类似，我们可以通过指数运算的逆运算对数运算来解决对数函数的零点问题。
举个例子来说明，假设有一个对数函数f(x)=log2(x)，要求解f(x)=0的解x。
我们可以将对数函数转化为指数形式，即2^0=x。
根据指数运算的性质可知，任何数的0次幂都等于1，因此x=1。
这样，我们就找到了对数函数f(x)=log2(x)的零点x=1。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
即对于任意的a>0，a≠1和x，有a^(loga(x))=x，loga(a^x)=x。
高三函数的零点性质问题
轴对称，∴ x4 + x5 =6
∴ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =1 − 2a
例 4：已知 1 ≤ k < 1 ，函数 f ( x) =
3
2x − 1 − k 的零点分别为 x1, x2 ( x1 < x2 ) ，函数 g ( x) =
2x −1 − k 2k + 1
的零点分别为 x3, x4 ( x3 < x4 ) ，则 ( x4 − x3 ) + ( x2 − x1 ) 的最小值为（ ）
函数的零点性质问题
一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各 具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否 存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函 数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
f= (a) f (b) ∈ (0,1) a,b ∈[0,π ] ，且关于 x = π 轴对称，所以有 a + b = π ⇒ a + b = π ，再观察 c > π ，
2
22
且
f= (c) log20= 15 πc
f (a) ∈ (0,1)
，
所
以
0<
log
2015
c π
<1⇒π
<
c
<
2015π
，从而
]
log2015
x π
,
函数的零点
小结: 对于含参函数的零点问题， 小结: 对于含参函数的零点问题，可构造 函数F(x)=g(x) h(x).结合图像法 F(x)=g(x)图像法较易求 函数F(x)=g(x)-h(x).结合图像法较易求 得。
小结
• 知识内容总结： 知识内容总结： 函数零点定义，求法，性质， 函数零点定义，求法，性质，判定以 及应用。 及应用。 • 学习方法总结： 学习方法总结： 要学会在新旧知识间建立联系。 1、要学会在新旧知识间建立联系。 要学会总结与反思。 2、要学会总结与反思。
⇔
x + x − x 的所有零点
7 3
函数的图象与x ⇔ 函数的图象与x轴交点的横坐标
二、函数零点的性质
对于图象不间断的 函数y=f(x) 函数y=f(x)
a bO y
y = f(x)
xc demn零点的分类：若函数图象通过零点时且穿过x轴， 零点的分类：若函数图象通过零点时且穿过x 这样的零点为变号零点 变号零点； 这样的零点为变号零点； 若没有穿过x 则称之为不变号零点 不变号零点。） 若没有穿过x轴，则称之为不变号零点。）
三、函数零点存在性的判定
例4.判断下列函数在区间上是否存在零点。 4.判断下列函数在区间上是否存在零点。 判断下列函数在区间上是否存在零点 3 2 f 0,2） 1）( x) = 2 x − 3 x − 4 x + 6 在（0,2）上 3 2 1,1） 2） ( x) = 2 x − x + 1 在（-1,1）上 f 的图象是不间断的， 例5.已知函数 f(x) 的图象是不间断的，有 5.已知函数 对应值表： 如下的x，f(x)对应值表：
y = x − 3x 小结：常见函数的零点求法： 小结：常见函数的零点求法：一般直接用代数法 求方程f(x)=0的实根）或图像法。 f(x)=0的实根 （求方程f(x)=0的实根）或图像法。
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第11炼 函数零点的性质一、基础知识：1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：（1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点（2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫（3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。
三者转化：函数()f x 的零点⇒方程()0f x =的根−−−−→方程变形方程()()g x h x =的根⇒函数()g x 与()h x 的交点 2、此类问题的处理步骤：（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法：（1）代换法：将相等的函数值设为t ，从而用t 可表示出12,,x x ，将关于12,,x x 的表达式转化为关于t 的一元表达式，进而可求出范围或最值（2）利用对称性解决对称点求和：如果12,x x 关于x a =轴对称，则122x x a +=；同理，若12,x x 关于(),0a 中心对称，则也有122x x a +=。
将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系 二、典型例题：例1：已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A. ()+∞ B. )⎡+∞⎣C. ()3,+∞D. [)3,+∞思路：先做出()f x 的图像，通过图像可知，如果()()f a f b =，则01a b <<<，设()()f a f b t ==，即()lg 0lg a tt b t=⎧⎪>⎨=⎪⎩，由,a b 范围可得：lg 0,lg 0a b <>，从而lg lg tta t a eb t b e-⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩，所以122tta b e e+=+，而0t e >，所以()123,t t e e+∈+∞ 答案：C小炼有话说：（1）此类问题如果()f x 图像易于作出，可先作图以便于观察函数特点 （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t ，从而用t 表示出,a b ，达到消元效果，但是要注意t 是有范围的（通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点）；一个是通过图像判断出,a b 的范围，从而去掉绝对值。
例2：已知函数()[]()2015cos ,0,2log ,,x x f x x x ππππ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+∞⎪⎩，若有三个不同的实数,,a b c ，使得()()()f a f b f c == ，则a b c ++的取值范围是________思路：()f x 的图像可作，所以考虑作出()f x 的图像，不妨设a b c <<，由图像可得：()()()0,1f a f b =∈[],0,a b π∈，且关于2x π=轴对称，所以有22a b a b ππ+=⇒+=，再观察c π>，且()()()2015log 0,1c f c f a π==∈，所以20150log 12015cc πππ<<⇒<<，从而()()2,2016a b c c πππ++=+∈ 答案：()2,2016ππ小炼有话说：本题抓住,a b 关于2x π=对称是关键，从而可由对称求得a b π+=，使得所求式子只需考虑c 的范围即可例3：定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，()[)[)12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A. 21a -B. 12a -C. 21a --D. 12a -- 思路：()f x 为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图像，再利用对称作出负半轴图像，当0x >时，函数图象由两部分构成，分别作出各部分图像。
()F x 的零点，即为方程()0f x a -=的根，即()f x 图像与直线y a =的交点。
观察图像可得有5个交点：12,x x 关于3x =-对称，126x x +=-，30x <且满足方程()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132log 1x a -+=，解得：312a x =-，45,x x 关于3x =轴对称，456x x ∴+= 1234512a x x x x x ∴++++=-答案：B 例4：已知113k ≤<，函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <，函数()2121x kg x k =--+的零点分别为()3434,x x x x <，则()()4321x x x x -+-的最小值为（ ）A. 1B. 2log 3C. 2log 6D. 3 思路：从()(),f x g x 解析式中发现12,x x 可看做21xy =-与y k =的交点，34,x x 可看做21xy =-与21ky k =+的交点，且12340,0x x x x <<<<，从而1234,,,x x x x 均可由k 进行表示，所以()()4321x x x x -+-可转化为关于k 的函数，再求最小值即可解：由图像可得：12340,0x x x x <<<<3124121221,212121x xx x k k k k k k ⎧-=⎪⎧-=⎪⎪+∴⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎪+⎩()()1222log 1,log 1x k x k ∴=-=+322422131l o g 1l o g,l o g 1l o g 21212121k k k k x x k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()43212222311314log log log log 31111k k k x x x x k k k k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=+==-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1,13k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[)433,1k ∴-+∈+∞- ()()[)43212log 3,x x x x ∴-+-∈+∞答案：B例5：已知函数()()31log 113xf x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭有两个不同的零点12,x x ，则（ ）A. 121x x <B. 1212x x x x ⋅=+C. 1212x x x x ⋅>+D. 1212x x x x ⋅<+思路：可将零点化为方程()31log 113xx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭的根，进而转化为()()3log 1g x x =-与()113xh x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的交点，作出图像可得1212x x <<<，进而可将()31log 113xx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭中的绝对值去掉得：()()1231321log 1131log 113x x x x ⎧⎛⎫--=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩①②，观察选项涉及1212,x x x x ⋅+，故将②-①可得：()()2132111log 1133xxx x ⎛⎫⎛⎫--=-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，而13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，且21x x >，从而()()()()()321211212log 1101110x x x x x x x x --<⇒--<⇒-+<⎡⎤⎣⎦，即1212x x x x <+答案：D例6：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤<=)(,3)0(|,ln |)(333e x x e e x x xf ，存在321x x x <<，)()()(321x f x f x f ==，则23)(x x f 的最大值为 思路：先作出()f x 的图像，观察可得：312301x x e x <<<<<，所求23)(x x f 可先减少变量个数，利用()()32f x f x =可得：()232222()ln f x f x x x x x ==，从而只需求出ln x y x =在()31,e 的最小值即可：'21ln x yx -=，所以函数ln xy x=在()1,e 单增，在()3,e e 单减。
从而max ln 1e y e e==答案：1e例7：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ）A. 5-B. 6-C. 7-D. 8- 思路：先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。
从而做出()f x的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x +==+++，可视为将1y x=的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点123x x x <<，其中23x =-，1x 与3x 关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。
所以1237x x x ++=- 答案：C例8：函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次记为,,,a b c d ，有以下四个结论①[)3,4m ∈ ② )40,abcd e ⎡∈⎣③ 562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭④ 若关于x 的方程()f x x m +=恰有三个不同实根，则m 的取值唯一 则其中正确的结论是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④ 思路：本题涉及到m 的取值，及4个交点的性质，所以先作出()f x 的图像，从而从图上确定存在4个交点时，m 的范围是[)3,4，所以①正确。