原子物理学期末复习习题

1-7 单能的窄α粒子束垂直地射到质量厚度为2.0mg/cm 2的钽箔上，这时以散射角θ0>20˚散射的相对粒子数（散射粒子数与入射数之比）为4.0×10-3.试计算：散射角θ=60°角相对应的微分散射截面Ωd d σ。

要点分析：重点考虑质量厚度与nt 关系。

解： ρm = 2.0mg/cm 22102.0->⨯='︒NN d θA Ta =181 Z Ta =73 θ=60º A N An ρ=A mN tAn ρ=A mN Ant ρ=依微分截面公式 21642θασsin1=Ωd d 知该题重点要求出a 2/16由公式34180202234180202104.32sin sin 21610 6.0221812.02sin 16'-⨯=⨯⨯⨯⨯=Ω=⎰⎰θθθπθαd a d nt N dN 3180202221418020223104.32sin 1)4(161065.62sin sin 216106.0221812.0-⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⎰θπθθθπad a 3221104.3(-22.13))4(16106.65-⨯=⨯-⨯⨯⨯πa所以 262102.3316-⨯=a 274264210456.1260sin11033.22sin116--⨯=⨯⨯==Ωθασd d1-10 由加速器产生的能量为1.2MeV 、束流为5.0 nA 的质子束，垂直地射到厚为1.5μm 的金箔上，试求5 min 内被金箔散射到下列角间隔内的质子数。

金的密度（ρ=1.888×104 kg/m 3）[1] 59°～61°; [2] θ>θ0=60° [3] θ<θ0=10°要点分析:解决粒子流强度和入射粒子数的关系.注意:第三问,因卢瑟福公式不适用于小角(如0º)散射，故可先计算质子被散射到大角度范围内的粒子数，再用总入射粒子数去减，即为所得。

解：设j 为单位时间内入射的粒子数，I 为粒子流强度，因I = je, j =I /e ,时间T =5min 内单位面积上入射的质子的总数为N 个：e 为电子电量912195.0105609.36101.60217710IT N jT e --⨯⨯⨯====⨯⨯再由卢瑟福公式，单位时间内，被一个靶原子沿θ方向，射到d Ω立体角内的质子数为：21642θαsi n A d NN d Ω='单位时间内，被所有靶原子沿θ方向，射到d Ω立体角内的质子数为2sin162sin164242θαθαΩ=Ω='d ntNnAt A d NN d2224442sin 16sin16sin16sin222a d a d a d dn NnAt jTnt jTntA πθθθθθΩΩ===式中，n 为单位体积的粒子数，它与密度的关系为：AN A n ρ= 所以，上式可写为2224442sin 16sin16sin16sin222A a d a d a d dn NnAt jTnt jTN tAA ρπθθθθθΩΩ===解：[1]()2221112122442224236123032sin 2sin 1616sin sin 221416sin 2791.441.8810 6.021011.21.5109.361010196104sin A A A a d a d dn jT N t jT N t A A a N Ttj A θθθθθθθθρπθθρπθθθθρπθ--==⎡⎤⎢⎥⎛⎫=⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎢⎥=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎢⎥⨯⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰612599925.71910(0.228) 1.310θ︒︒⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-⨯⨯-=⨯解：[2] 仍然像上式一样积分，积分区间为60°-180°，然后用总数减去所积值。

即θ>θ0=60°的值。

21180999102260115.71910 5.71910 5.719103 1.715110sin sin 22θθθθ︒︒⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解：[3] 由于0°的值为无穷大,无法计算,所以将作以变换.仍然像上式一样积分，积分区间为10°-180°，然后用总数减去所积值，即θ<θ0=10°的值。

21180999112210115.71910 5.71910 5.7191032.16 1.8410sin sin 22θθθθ︒︒⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⨯⨯=-⨯⨯=⨯⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦总数为9.36×1012-7.56×1011=8.6×1012 (个2-2 对于氢原子、一次电离的氦离子He +和两次电离的锂离子Li ++，分别计算它们的：(1)第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度； (2)电子在基态的结合能；(3)由基态到第一激发态所需的激发能量及由第一激发态退激到基态所放光子的波长．解：（1）由类氢原子的半径公式4n eZm r e nπε= Z n a r n =由类氢离子电子速度公式 ncZ V n α=nZ n Z V n681019.21031371⨯=⨯=∴H: r 1H =0.053×12/1nm=0.053nm r 2 H =0.053×22/1=0.212nmV 1H =2.19 ×106×1/1=2.19 ×106(m/s) V 2H =2.19 ×106×1/2=1.095 ×106(m/s)∴He+: r 1He+=0.053×12/2nm=0.0265nm r 2He+=0.053×22/2=0.106nmV 1 He+=2.19 ×106×2/1=4.38 ×106(m/s) V 2 He+=2.19 ×106×2/2=2.19 ×106(m/s)Li ++: r 1 Li++=0.053×12/3nm=0.0181nm r 2 Li++=0.053×22/3=0.071nmV 1 Li++=2.19 ×106×3/1=6.57 ×106(m/s) V 2 Li++=2.19 ×106×3/2=3.28 ×106(m/s)(2) 结合能：自由电子和原子核结合成基态时所放出来的能量，它等于把电子从基态电离掉所需要的能量。

∵ 222213.6nZ Z n R h c E n -=-= 基态时n =1H: E 1H =-13.6eVHe+: E 1He+=-13.6×Z 2=-13.6×22=-54.4eV Li ++: E 1Li+=-13.6×Z 2=-13.6×32=-122.4eV(3) 由里德伯公式 )2111(222-=hc R Z E A ∆ =Z 2×13.6×3/4=10.2Z 2注意H 、He+、Li++的里德伯常数的近似相等就可以算出如下数值。

2-8 一次电离的氦离子He +从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能使处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度． 要点分析:光子使原子激发,由于光子质量轻,能使全部能量传递给原子.解：He +所辐射的光子)40.8()2111(213.6)11(22222212eV n m Z hcR E E h He =-⨯=-=-=+ν 氢原子的电离逸出功13.6(eV))111(221=∞-=-=∞H hcR E E φ∴ φν-=h V m e 221 1061613840101921--⨯⨯-=⨯⨯.)..(.V V =3.09×106(m/s)3-9 已知粒子波函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=c z b y a x N 2||2||2||exp ψ，试求：(1)归一化常数N ；(2)粒子的x 坐标在0到a 之间的几率；(3)粒子的y 坐标和z 坐标分别在-b →+b 和-c →+c.之间的几率．解: (1)因粒子在整个空间出现的几率必定是一,所以归一化条件是:⎰+∞∞-ψdv = 1即:dz edy edx eN dv cz by ax ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--∞+∞-=22222222ψ=18222202==⎰⎰⎰∞-∞-∞-abc N d ec d eb d e a N cz cz by by ax ax所以 N abc81=(2) 粒子的x坐标在a →0区域内几率为:dz edy edx eNcz by aax ⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---2222222()[])11(211412ee abc N -=--=-(3) 粒子的),(),,(c c z b b y -∈-∈区域内的几率为:dz edy edx eNc ccz b bbyax ⎰⎰⎰+--+--∞+∞--222222222)11(8-=e abc N 2)11(-=e4-2 试计算原子处于23/2D 状态的磁矩μ及投影μz 的可能值． 解：已知：j =3/2, 2s +1=2 s =1/2, l =2则 5441564321232123=-+=-+=)()(jl s g j 依据磁矩计算公式B B j j g j j μμμ15521)(-=+-= 依据磁矩投影公式 B j j zg m μ-=μ 56,52±±=j j g m ∴ B B z μμμ56,52±±=4-6. 在史特恩-盖拉赫实验中，原子态的氢从温度为400 K 的炉中射出，在屏上接受到两条氢束线，间距为0.60cm ．若把氢原子换成氯原子(基态为2P 3／2)，其它实验条件不变，那么，在屏上可以接受到几条氯束线?其相邻两束的间距为多少?解： 已知 Z 2=0.30cm T =400K 3kT =3×8.617×10-5×400eV=0.103eV J =1/2 g j =2 m j g j =±1由kT dDz B g m Z B J J 3⋅∂∂μ-= 30.=⋅∂∂μkT dDz B B 3当换为氯原子时，因其基态为2P 3／2 ，j =3/2, l =1 s =1/222232313144()()15222234j s l g j --=+=+=23;21;21;23--++=j mcmz 0.60.33423±=⨯⨯±='cmz 0.20.33421±=⨯⨯±=''共有2j +1=4条，相邻两条间距为|Z ''-Z '|=0.4cm 。