不等式的基本性质2

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不等式的基本性质(2)

2.3不等式的基本性质一、教学目标：（一）知识与技能1．掌握不等式的三条基本性质。

2．使用不等式的基本性质对不等式实行变形。

1．通过等式的性质，探索不等式的性质，初步体会“类比”的数学思想。

2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维水平和语言表达水平。

（三）情感态度与价值观通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。

二、教学重难点教学重点：探索不等式的三条基本性质并能准确使用它们将不等式变形。

教学难点：不等式基本性质3的探索与使用。

三、教学方法：自主探究——合作交流四、教学过程：情景引入：1．举例说明什么是不等式？2．判断下列各式是否成立？并说明理由。

( 1 ) 若x－4=12, 则x＝16( )( 2 ) 若3x=12, 则 x＝4( )( 3 ) 若x－4＞12 则 x＞16 ( )( 4 ) 若3x＞12则 x＞4( )【设计意图】（1）、（2）小题唤起对旧知识等式的基本性质的回忆，（3）、（4）小题引导学生大胆说出自己的想法。

通过复习既找准了旧知停靠点，又创设了一种情境，给学生提供了类比、想象的空间，为后续学习做好了铺垫。

教师导语：当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到它是否与等式有相类似的性质。

这节课我们就通过类比来探究不等式的基本性质。

温故知新问题1．由等式性质1你能猜想一下不等式具有什么样的性质吗？等式性质1：等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。

估计学生会猜：不等式两边都加上或减去同一个数（或同一个整式），所得结果仍是不等式。

教师引导：“＝”没有方向性，所以能够说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们应该重点研究它在方向上的变化。

问题2．你能通过实验、猜想，得出进一步的结论吗？同桌同学通过实例验证得出结论，师生共同总结不等式性质1。

二2.不等式的基本性质

如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
作业：百分导学2.1、2.2。
即：
例2
把下列不等式化为x >a或x< a的形式：（1）x + 6 > 5 ；（2） 3x < 2x -2 .
根据不等式基本性质1
解（ 1 ） x + 6 > 5，
不等式的两边都减去6，由不等式基本性质1，得 x +6-6 > 5-6；即： x > -1 （2） 3x < 2x -2，根据不等式基本性质1 不等式的两边都减去2x，由不等式基本性质1，得 3x -2x < 2x-2-2x；即： x < -2
-1×(- 4)____3 ＞ ×( - 4), -1÷ (- 4)____3 ＞ ÷ ( - 4) 你能再总结一下规律吗？
完成P40：做一做
如果_________, a>b且c>0
ac>bc 那么_______ (或
a b c c
)
不等式基本性质2：不等式的两边都正数，不等号乘以（或除以）同一个____ 的方向不变 ____。
练习：根据不等式的基本性质,把下列不等式化
成“x>a”或“x<a”的形式:
1 (1)5x>4x+8.(2)5+x>-2.(3)-2x< 3 . 1 1 (4)7-x<3.(5)- 5 x<-2.(6)x< 2 x+3.
例3：不等式的基本性质的应用 1.由x>y得到ax>ay的条件是 ( A A.a>0 B.a<0 C.a≥0 D.a≤0

不等式的基本性质及答案

不等式的基本性质知识导引不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型，在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式．本讲的主要知识点：1、不等号有“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”。

“≥”表示大于或等于；“≤”表示小于或等于．2、一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，即不等式的解集．3、不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；4、在数轴上表示解集，必须注意空心圈与实心点表示的不同含义．5、不等式解集口诀：大大取大，小小取小，小大大小连起写，大大小小题无解．6、解决与不等式相关的问题，常用到分类讨论、数形结合等相关概念和方法．典例精析例1：下列四个命题中，正确的有（）①若a ＞b ，则a ＋1＞b ＋1；②若a ＞b ，则a －1＞b －1；③若a ＞b ，则－2a ＜－2b ；④若a ＞b ，则2a ＜2b ．A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个例1—1：已知a ，b ，c 是有理数，且a ＞b ＞c ，则下列式子中正确的是（）A 、ab ＞bcB 、a ＋b ＞b ＋cC 、a －b ＞b －cD 、c b c a > 例2：若实数a ＞1，则实数a M =，32+=a N ，312+=a P 的大小关系为（） A 、P ＞N ＞M B 、M ＞N ＞P C 、N ＞P ＞M D 、M ＞P ＞N例3：解不等式5456110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来．例3—1：请你写出一个满足不等式2x －1＜6的正整数x 的值：．例3—2：若关于x 的不等式3m －2x ＜5的解集是x ＞2，则实数m 的值为．例4：某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装150套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%，为了提高工人的劳动积极性，按时完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革，改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人每月的工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（精确到分）（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元，工人小张争取六月份工资不少于1200元，则小张在六月份至少应加工多少套童装？探究活动例：三边均不相等的△ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．学力训练A 组务实基础1、若a ＞b ，c 为有理数，则下列各式一定成立的是（）A 、ac ＞bcB 、ac ＜bcC 、22bc ac >D 、22bc ac ≥2、不等式121>-x 的解集是（） A 、21->x B 、2->x C 、2-<x D 、21-<x3、四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们体重的大小关系是（）A 、P ＞R ＞S ＞QB 、Q ＞S ＞P ＞RC 、S ＞P ＞Q ＞RD 、S ＞P ＞R ＞Q4、如果不等式（a －1）x ＞a －1的解为x ＜1，则a 必须满足（）A 、a ＜1B 、a ＞1C 、a ＞0D 、a ＜05、已知三角形的两边分别是2，6，第三边长也是偶数，则三角形的周长是．6、关于x 的方程2（x ＋a ）＝a ＋x －2的解是非负数，在a 的取值范围是．7、如果x ≥－5的最小值是a ，x ≤5的最大值是b ，则a ＋b ＝．8、规定一种新运算：a △b ＝ab －a －b ＋1，如3△4＝12－3－4＋1，请比较：（－3）△4 4△（－3）（填“＞”、“＜”或“＝”）．9、已知关于x 的方程3（x －2a ）＋2＝x －1的解适合不等式2（x －5）≥8a ，求a 的取值范围．10、关于x 的不等式64141a x x ->-+的解都是不等式2214x x -<-的解，求a 的取值范围．B 组瞄准中考1、（邵阳中考）如图，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（）A 、x ≤1 B、x ≥1 C、x ＜1 D 、x ＞12、（烟台中考）不等式4－3x≥2x－6的非负整数解有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个3、（深圳中考）已知a 、b 、c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是（）A 、a ＋c ＞b ＋cB 、c －a ＜c －bC 、22cb c a > D 、22b ab a >> 4、（凉山中考）下列不等式变形正确的是（）A 、由a ＞b ，得ac ＞bcB 、由a ＞b ，得－2a ＜－2bC 、由a ＞b ，得－a ＞－bD 、由a ＞b ，得a －2＜b －25、（乐山中考）下列不等式变形正确的是（）A 、由a ＞b ，得a －2＜b －2B 、由a ＞b ，得－2a ＜－2bC 、由a ＞b ，得b a >D 、由a ＞b ，得22b a > 6、解不等式x x 329721-≤-，得其解的范围为（） A 、61≥x B 、61≤x C 、23≥x D 、23≤x 7、（永州中考）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费0.2元，以后每分钟收费0.1元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为0.5元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费0.4元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需的电话费至少为（）A 、0.6元B 、0.7元C 、0.8元D 、0.9元8、（临沂中考）有3人携带会议材料乘坐电梯，这三人的体重共210kg ，每捆材料重20kg ，电梯的最大负荷为1050kg ，则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载捆材料．9、（重庆中考）解不等式3132+<-x x ，并把解集在数轴上表示出来．10、（苏州中考）解不等式：1)1(23<--x ．11、（广州中考）某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案．方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的9.5折优惠．一直小敏5月1日前不是该商店的会员．（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算：所购买商品的价格在什么范围内时，采用方案一更合算？C 组冲击金牌1、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x ，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且1a ＞2a ＞3a ＞4a ＞5a ，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是（）A 、1x ＞2x ＞3x ＞4x ＞5xB 、4x ＞2x ＞1x ＞3x ＞5xC 、3x ＞1x ＞4x ＞2x ＞5xD 、5x ＞3x ＞1x ＞4x ＞2x2、不等式100<+y x 有组整数解．3、已知121219991998++=M ，121220001999++=N ，那么M ，N 的大小关系是． 4、已知x ＜0，－1＜y ＜0，将x ，xy ，2xy 按从小到大的顺序排列．5、实数a ，b 满足不等式b a a b a a +-<+-)(，试判定a ，b 的符号．6、解不等式：1325<+--x x ．7、已知：正有理数1a 是3的一个近似值，设12112++=a a ，求证：3介于1a 和2a 之间．8、某地区举办初中数学联赛，有A、B、C、D四所中学参加．选手中，A，B两校共16名，B，C脸两校共20名，C，D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A、B、C、D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．不等式的基本性质参考答案典例精析1、C 1—1、B2、D3、x ≤2，数轴上表示略 3—1、1或2或33—2、3 4、（1）设企业每套奖励x 元，由题意得：200＋60%×150x ≥450，解得x ≥2.78，因此，该企业每套至少应奖励2.78元．（2）设小张在六月份加工y 套，由题意得：200＋5y ≥1200，解得y ≥200．因此，小张在六月份至少应加工200套童装．探究活动解：设长度为4和12的高所对的边为a 、b ，又设第三边及其边上的高为c 、h ，则4a ＝12b ＝ch ．a ：b ＝3：1＝3h ：h ，b ：c ＝h ：12，∴a ：b ：c ＝3h ：h ：12，可设三边长为3hk ，hk ，12k （k 为正整数），∵3hk ＞hk ，∴3hk ＋hk ＞12k ，hk ＋12k ＞3hk ，即3＜h ＜6，又∵h 是整数，∴h ＝4（舍去），5，∴h ＝5．学力训练A 组1、D2、C3、D4、A5、146、a ≤－27、08、＝9、a ≤－6.5 10、a ≤14.5B 组1、D2、C3、D4、B5、B6、A7、B8、429、解集为x ＜2，数轴上表示略． 10、x ＞2 11、（1）120×0.95＝114（元），所以实际应支付114元．（2）设购买商品的价格为x 元，由题意得：0.8x ＋168＜0.95x ，解得x ＞1120，所以当购买商品的价格超过1120元时，采用方案一更合算．C 组1、C2、197023、m ＞n4、∵x －xy ＝x （1－y ），且x ＜0，－1＜y ＜0，所以x（1－y ）＜0，即x ＜xy ，∵0)1(2<-=-y xy xy xy ，∴xy xy <2，因为)1)(1(2y y x xy x =+=-＜0，∴2xy x <，综上所述，x ＜2xy ＜xy ．5、a 为负，b 为正6、x ＜－7或31>x 7、略 8、A 校7人，B 校9人，C 校11人，D 校23人．。

不等式的基本性质

不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。

在学习不等式的过程中，了解不等式的基本性质是非常重要的。

本文将介绍不等式的基本概念、用于解不等式的基本性质以及不等式的图像表示方法。

1. 不等式的基本概念不等式是表示数或者代数式之间大小关系的数学符号。

常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

例如，对于实数a和b，a>b表示a大于b，a<b表示a小于b，a≥b表示a大于等于b，a≤b表示a小于等于b。

在不等式中，等号“=”可以出现，表示两个数或者代数式相等。

2. 不等式的基本性质（1）加法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b，则a+c>b+c。

同样地，如果a<b，则a+c<b+c。

也就是说，不等式两边同时加上同一个数，不等式的方向不变。

（2）减法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b，则a-c>b-c。

同样地，如果a<b，则a-c<b-c。

也就是说，不等式两边同时减去同一个数，不等式的方向不变。

（3）乘法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc。

如果a<b且c<0，则ac>bc。

也就是说，不等式两边同时乘以同一个正数，不等式的方向不变；不等式两边同时乘以同一个负数，不等式的方向改变。

（4）除法性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且c>0，则a/c>b/c。

如果a<b且c<0，则a/c<b/c。

也就是说，不等式两边同时除以同一个正数，不等式的方向不变；不等式两边同时除以同一个负数，不等式的方向改变。

（5）取反性质：对于任意实数a和b，有a>b当且仅当-b<-a。

也就是说，不等式的两边取反，不等号的方向改变。

（6）传递性质：如果对于任意实数a、b和c，如果a>b且b>c，则a>c。

不等式的基本性质 2

（根据不等式的基本性质2）
例1 将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式：
(1) x 5 1
(2) 2 x 3
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
x 1 5
即
x4
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得
3 x 2
1.将下列不等式化成“x＞a”或“x<a”的形式：
×
比较大小 4
2 2
• 2
2 x - 4 x 5, x - 2 x 4
2 2
• 3、
2a和a
你今天这节课有什么收获呢？
我今天学到了 ……
P
9
习题1.2
(1) 4 x 1 2
解：
4x 11 2 1 4x 3 3 x 4
解：
5 (2) x 6
1 (3) x 3 解： 2
5 x 1 (1) 6 5 x 6
1 2 x 3 2 2 x6
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？
(1) x 6 ＞ y 6;
2 3 , 2 5 ___ 3 5; 1 1 3 ; 2 3 , 2 ___ 2 2
完成下列填空：
2 3 , 2 (1) ___ 3 (1) ; 2 3 , 2 (5) ___ 3 (5) ; 1 1 3 ( ) ; 2 3 , 2 ( ) ___ 2 2
(2)3x ＞ 3y ;
不成立
(3) 2 x 2 y ;
不成立
(4) 2 x 1 2 y 1 .
成立
成立
例下列各题是否正确?请说明理由 (1)如果a＞b,那么ac＞bc × (2)如果a＞b,那么ac2 ＞bc2 × (3)如果ac2＞bc2,那么a＞b √ (4)如果a＞b,那么a-b＞0 √ (5)如果ax＞b且a≠0,那么x＞b/a

不等式的基本性质2

不等式的基本性质课型：新授课学习内容：P7—9，不等式的基本性质学习目标：1. 经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同；2. 掌握不等式的基本性质，能说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式，发展其代数变形能力。

学习方法：自主探究，合作交流学习过程：一. 复习：等式的基本性质1： 2：二．1）.探索不等式的基本性质：同学们看下面的例子：∵3＜5∴3+2＜5+23－2＜5－23+a ＜5+a3－a ＜5－a所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究.［生］∵3＜5∴3×2＜5×23×21＜5×21. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变.［生］不对.如3＜53×（－2）＞5×（－2）所以上面的总结是错的.［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明.［生］如3＜43×3＜4×33×31＜4×31 3×（－3）＞4×（－3）3×（－31）＞4×（－31） 3×（－5）＞4×（－5）由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.［师］非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导.总结性质：1：2：3：2）用不等式的基本性质解释 42l ＞162l 的正确性三．不等式基本性质的应用：1.请同学们模仿课本例题做课本随堂练习1,2.和习题1,2.2. 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x ＞a ”或“x ＜a ”的形式：（1）x －2＜3; （2）6x ＜5x －1; （3）21x ＞5; （4）－4x ＞3.3.设a ＞b.用“＜”或“＞”号填空.（1）a －3 b －3;（2）2a 2b ;（3）－4a －4b;（4）5a 5b; （5）当a ＞0,b 0时，ab ＞0; （6）当a ＞0,b 0时，ab ＜0;（7）当a ＜0,b 0时，ab ＞0; （8）当a ＜0,b 0时，ab ＜0.4.讨论下列式子的正确与错误.（1）如果a ＜b ，那么a+c ＜b+c;（2）如果a ＜b ，那么a －c ＜b －c;（3）如果a ＜b,那么ac ＜bc;（4）如果a ＜b,且c ≠0,那么c a ＞c b . 反思与总结：。

初中一年级数学课件：3.2不等式的基本性质 (2)

想一想
1、已知周妈妈身高比周爸爸要矮，周爸爸身高又比周杰伦要矮，那么请你想想周妈妈和周杰伦哪个身高矮？
如果设周妈妈身高为a，周爸爸身高b，周杰伦身高为c（单位：m）
已知a<b, b<c, 可得a<c
(1)已知a<b和b<c,在数轴上表示如图.
abc
则a<c 不等式的基本性质1 若a<b, b<c, 则a<c. 也叫不等式的传递性.
(2)若a>b，那么a+c与b+c，a-c与b-c大小关系会如何？
不妨设c>0，则
c
c
b b+c a a+c
可见，a+c>b+c
c
c
b-c b a-c a
可见，a-c>b-c
同理可得当c<0时， a+c>b+c，a-c>b-c
不等式基本性质２不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。
（5）若a<b，b<2a-1，则a __<_2a-1.
例已知a<0 ，试比较2a与a的大小。
解法一: ∵ a＜0 (已知) ∴ a+a＜0+a ∴2a<a(不等式的基本性质2）
解法二：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法三：在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0），
∣a∣ ∣a∣
(-4)＿＞＿(-6)
(-4)×(-2)＿＜＿(-6)×(-2)
(-4)÷(-2)＿＜＿(-6)÷(-2)
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立.

2.1(2)不等式的基本性质Ⅱ

n 1
n 1
iff = b时号立 a 等成
ax>b
例4
ax<b
( 解:移项整理得: m 1) x < m ( )当m 1 = 0 即m = 1时, 0 x < 1 x ∈ φ Ⅰ
解关于 x的不等式 (1) m ( x + 2) < x + m
m (Ⅱ )当m 1 > 0 即m > 1时, x < 1 m m (Ⅲ )当m 1 < 0即m < 1时, x > 1 m 综上: m =1 , 等解为当时不式集 φ
3,预习2.2节
�
b (2)a > 0 x > a b (3)a < 0 x < a
小结 1,掌握比较两个实数大小的基本方法——作差法. 2,会利用不等式的基本性质比较两实数的大小或证明简单的不等式. 3,解带有参数的不等式(或方程),要对系数进行分类讨论. 作业
1,习题2.1 A组ex6 ex8,B组(做在习题册上) 2,《一课一练》 1(2) 2.
性质7. 性质 . a > b > 0, 那么(0 < ) 1 < 1 如果 a b
证明: 证明:
1 1 ba = a b ab
∵ b a < 0, ab > 0 1 1 ∴ <0 a b
1 1 ∴ 0< < a b
1 1 如果a < b < 0, 那么 ____ (< 0) a b
(同号倒数性质同号倒数性质) 同号倒数性质
性质1.如果性质如果性质2.如果性质如果
1 性质3. 性质 . 2
(传递性传递性) 传递性 (加法性质加法性质) 加法性质 (乘法性质乘法性质) 乘法性质 (同向相加同向相加) 同向相加 (正数同向相乘) (正数同向相乘) 正数同向相乘 1) (乘方性质乘方性质) 乘方性质 2) (开方性质开方性质) 开方性质

不等式的基本性质(第2课时)

ca cb ac bd
【解题指南】先分析各不等式的特点，分析待证式与已知条件的关系，然后结合不等式的性质证明.
【证明】1.因为a＞b＞0,所以 0＜1 ＜1 , 因为c＞d＞0,所以 0＜1 ＜1 , 所以 1 1 ＜0, 1 1 ＞0,
c d a b
2.因为a>b,所以-a<-b,又c>a>b>0,
a
3. 已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞ b－d”的( ) B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
c＞d
A．充分而不必要条件 C．充要条件
a－c＞b－d, 【解析】选B.由 a＞b；
而当a＝c＝2，b＝d＝1时，满足
a＞b, 但a－c＞b －d不成 c＞d,
立，所以“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要而不充分条件.
4.已知0<a<b<1,x a b , y log ba,z log 1 b, 则x,y,z的大小关系为
a
( A.x>y>z C.y>x>z B.x<y<z D.z>x>y
)
【解析】选C.因为0<a<b<1,所以x=ab>0,
y log b a 0, z log 1 b 0,
【拓展提升】利用不等式性质证明简单不等式
利用不等式性质证明简单不等式的实质就是根据性质把不等式进行变形，要注意不等式性质成立的条件.若不能直接由不等式性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.
【变式训练】1.已知a＞b＞0,c>d>0.求证： ac ＞ bd . 2.已知c>a>b>0,求证： a b .

不等式的基本性质

如果a+b＞c，则a与c-b？
推论1：如果a＋b＞c，则a＞c－b．
证明：因为所以即 a＋b＞c， a＋b＋(－b)＞c＋(－b)， a＞c－b．
综合法：指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到特征结论或需求问题的方法。其特点和思路是：由因到果。
小试牛刀
(1)在－6＜2 (2)在4＞－3 的两边都加上9，得的两边都减去6，得 3<11 ；
(3)如果 a＜b，那么 a－3 (4)如果 x＞3，那么 x＋2
-2>-9 ； < b－3；
> 5； (5)如果 x＋7＞9，那么两边都减去7，得 x＞2．
把不等式60＞36的两边同时乘以任意一个
不为0的数，你发现什么规律了吗？
如果不等式两边都乘同一个正数，则不等
号的方向不变，如果都乘同一个负数，则不等
趣味探索不等式
10年后爷爷和爸爸他们各自多少岁呢？爷爷的年龄还比爸爸的年龄大吗？10年前呢？X年后呢？
10年后，60+10>36+10 10年前，60-10>36-10 x年后，60+x>36+x
不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号的方向不变。
趣味探索不等式
a>b
b
c b b+c b+c c
号的方向改变。
趣味探索不等式
3.不等式性质3(乘法法则) ：如果 a＞b，c＞0，则ac＞bc；如果 a＞b，c＜0，则ac＜bc．证明：因为 ac－bc＝(a－b)c，又由 a＞b，即 a－b＞0，所以当c＞0时，(a－b)c＞0，即 ac＞bc；所以当c＜0时，(a－b)c＜0，即 ac＜bc．

不等式的基本性质(2)

学习内容：不等式的基本性质（2）自学目标：1、知道不等式的基本性质2、3.3、会用不等式的基本性质将不等式进行变形。

课前预习：预习课本134-135目标1：不等式的基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个，不等号的方向。

【练习一】请用 “＞”或 “＜”填空：（1）已知a ＞b ，则3a 3b ，2a 2b ，(c 2+1)a (c 2+1)b （2）若2x ＜8，则x 4目标2：不等式的基本性质3不等式的两边都乘（或除以）同一个，不等号的方向。

【练习二】请用 “＞”或 “＜”填空：（1）已知a ＜b ，则－7a －7b ，5a -5b -；（2）若－5x ＞10，则x －2（3）已知a ＜0，则4a 3a目标3：运用不等式的基本性质将不等式进行变形【练习三】请用 “＞”或 “＜”填空：（1）如果a ＞b ，则1a 21+- 1b 21+- （2）由－3－a ＜－3－b ，可得出a b（3）如果1－x ＞3，那么－x 3－1，即x －2；（4）如果x+2＜3x+8，那么x －3x 8－2，即－2x 6，即x －3拓展提升合作学习例1、把下列不等式化为x ＞a 或x ＜a 的形式；（1）1x 54+-＞0 （2）4x ＜x －6 （3）x+5＞3(x-1)例2、若a ＞b ，且c ≠0，试比较－a c 与－b c 的大小关系。

例3、比较2010a 与2011a 的大小。

例4、已知－a ＞－b 且b －3＞2b －c －3，试判断a 与c 的大小关系。

挑战自我已知0＜x ＜1，比较1，x ，x 2，2x 1的大小。

你的收获。

不等式的性质二

不等式的性质二不等式是数学中常用的一类表示不同数值关系的工具。

在不等式的研究中，我们需要了解不等式的基本性质和特点，以便能够准确地推导和解决相关问题。

本文将讨论不等式的性质二，包括不等式的加减性、乘除性以及倒置性。

1. 不等式的加减性对于同一个不等式，如果两边同时加上（或减去）同一个数，不等式的不等关系保持不变。

举例来说，对于不等式2x > 4，我们可以在两边同时减去4，得到2x - 4 > 0。

这个新的不等式依然成立，因为无论原来的不等式中x的取值如何，其两边都减去同一个数，不等关系并未改变。

同样地，如果两边同时加上一个正数，不等式的不等关系保持不变；如果两边同时减去一个负数，也不等关系同样保持不变。

2. 不等式的乘除性对于同一个不等式，如果两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等式的不等关系保持不变。

举例来说，对于不等式3x > 6，我们可以在两边同时除以3，得到x > 2。

这个新的不等式依然成立，因为无论原来的不等式中x的取值如何，其两边都乘以同一个正数，不等关系并未改变。

然而，如果两边乘以一个负数，不等式的不等关系将被倒置。

举例来说，对于不等式-2x < 4，如果我们在两边乘以-1，得到2x >-4。

这个新的不等式的不等关系与原来的不等式相反，因为我们将其两边乘以了一个负数。

3. 不等式的倒置性对于一个不等式，如果将其两边的不等关系互换，则得到一个新的不等式，称为原不等式的倒置。

举例来说，对于不等式2x > 4，如果我们将不等关系互换，则得到4 < 2x。

这个新的不等式是原不等式的倒置。

需要注意的是，倒置后的不等式的解与原不等式的解并不完全相同。

在倒置后的不等式中，不等式符号的方向也随之改变，因此其解的范围也会有所不同。

总结：不等式的性质二包括加减性、乘除性和倒置性。

根据这些性质，我们可以进行不等式的等价转化和推导。

在实际问题中，通过运用不等式的性质，我们可以更加灵活地求解和处理不等式方程，提高解题的效率和准确性。

2.2 不等式的基本性质

1 x3 2
1 x 2 32 2
即：x 6
2.已知x＞y，下列不等式一定成立吗？
(1)x 6 y 6 ; X (2)3x 3y ; X
(3) 2x 2y ; √ (4) 2x 1 2y 1. √
3.若a<b,且 c<0,则ac+c > bc+c 。
2 (5) __>_ 3 (5);
2 ( 1) _>__ 3 ( 1);
2
2
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数
你能总结规律吗？
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等
号的方向＿＿不＿变＿。 a b, c 0,
ac bc, a b cc
你能总结一下规律吗？
性质1 不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变
ab
ac bc
不等式的基本性质2
❖ 完成下列填空：
2 3 , 2 5 _<__ 3 5;
23,
2

1 2
_<__
3
1 2
;
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数
23, 23,
23,
2 (1) _>__ 3 (1);
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向＿＿改＿变＿。 a b, c 0,
ac bc, a b cc
任何代数式与0相乘都得0，不能除以0
在上一节课中，我们猜想，无论绳长 l 取何值，
圆的面积总大于正方形的面积，即 l2 l2
4 16
你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？

2.1(2)不等式的基本性质Ⅱppt课件

(C)a c b c
(D)
a c2 1

b c2 1
5
练习 1、下列结论能成立的是：（_1_）_（_3_）_（_4_）_ （1） a b a b
a (2)
c

b
d

ac

bd
a (3)
cபைடு நூலகம்

b
d

a3

d
3

b3

c3
ab (4)
cd

0 0
证明： 1 1 b a a b ab
b a 0, ab 0
1 1 0 ab
0 1 1
ab
如果a b 0,那么1 ____ 1 ( 0) ab
(同号倒数性质)
4
练习
1、如果x y, m n, 那么下列不等式中正确的是( B )
( A)x m y n (B)x m y n
糖水中加糖变甜
b ab a 0
又b 0, c 0,b c 0
(b a)c 0 b(b c)
ac a bc b
问： b c __<___ b ?
ac
a
7
例2
a, b R ,比较a5 b5与a3b2 a2b3的大小
解：(a5 b5 ) (a3b2 a2b3 ) a3 (a2 b2 ) b3 (b2 a2 )
iff a b时等号成立
8
练习
ex1、比较两数 (a 1)2与a2 a 1的大小． ex2、比较两数 x2 3与3x的大小．
说明：

不等式的基本性质

［师］很好.不等式的这一条性质和等ห้องสมุดไป่ตู้的性质相似.下面继续进行探究不等式基本性质2、3。
［生］完成P40页“做一做”，归纳总结不等式基本性质2/3
不等式基本性质2：在不等式的两边同乘以（或除以）一个正数时，不等号的方向_______；字母表示为_____________
不等式基本性质3：在不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向________.字母表示为_____________
不等式基本性质2：在不等式的两边同乘以（或除以）一个正数时，不等号的方向_______；字母表示为_____________
不等式基本性质3：在不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向________.字母表示为_____________
教师特别总结用字母的表示方式。
课后作业
作业本：P42习题2.2 A层：2（3）（4）,3（1）（3）
［师]很好，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用.
2.用不等式的基本性质解释＞的正确性
3.例题讲解
教师强调最后将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：
4、例题讲解：比较a和a+3的大小
教师给出比较大小的一种常见方法“作差法”
三：巩固练习（完成随堂练习P41）
四：课堂小结
不等式基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向________.字母表示为_____________
教学难点
利用不等式基本性质3进行简单的不等式转化
教学过程
复备
一.【复习引入】
［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
［生］记得.
等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.