基本不等式题型总结(精编)

同学们，这样解对吗？
正确解法：
：x?0y,?01x,?9y?1，?x?y??x?y????1x?9y????xy?9yx?10?6?10?16
当且仅y?9x当时，上式等1号?9?成1，立可x，?得4y,又?12时?，x?y? ?16。
xy
xy
min
6、利用函数单调性
? 求函数
练习
7、放缩法
8、平方
基本不等式基础题型总结
关塘中学 高二（4）班
知识要点
两个重要不等式
①a,b? R，那么a2 ? b2 ? 2ab（当且仅当a ? b时取等号“=”） ②基本不等式：如a,果b是正数，那么a ? b ? ab （当且仅当a ? b时取等号“=”）.
2
算术平均数和几何平均数
算术平均数：a ? b 称为a,b的算术平均数； 2
练习
小结
? （1）利用均值不等式求最值时，必须注意三点：一正， 二定，三相等。缺一不可。如果项是分数，可转化为整数 后解决，当和或积不是定值时，需要对项进行添加、分拆 或变系数，将和或积化为定值。
? （2）形如y=x+a/x(a ＞0)这类函数，当不能利用基本不等 式求最值时，可借助对勾函数图像来求解。
4x?5
凑项，
x?
5,? 4
5?4x?0，?
y?4x?2?
4x1?5?????5?4x?
5?14x????3?
?2?3?1
当且仅5当?4x? 5?14x，即x?1时，上式等号成立x?1，时故，y当max?1。
凑系数
3、变量分离法
求y?x2?7x?1(0x??1的) 值域。
x?1
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨x＋将1）分的子项配，方再凑将出 分离。
1、直接法
（1）y＝3x2＋21x2
? 总结：此类结构为倒数结构“基本不等式结构”。
2、配凑法
? 凑项与凑系数
已知x?54，求函y?4x数?2?4x1?5的最大值
当 时，y?x(求8?2x)的最大值
凑项
Hale Waihona Puke Baidu
因4x?5?0，所以首先要“调整”(4x?符2) 号1 ，不又是常数，所4x?以2要对进行拆、
几何平均数：ab 称为a,b的几何平均.数
因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们.的几何平均数 基本不等式的应用
x, y? (0,?? )，且xy? P（定值，）那么当x? y时，x? y有最小值2 P ；
x, y? (0,?? )，且x? y? S（定值，）那么当x? y时，xy有最大值1S2 . 4
? （3）利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不 等式及其变形，同时注意利用基本不等式成立的条件。，
t
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将
即化y?m为(xg)? A?B(A?0B,?0，) g(恒x)正或恒负的形式，然后运用均
g(x)
5、整体代换法
已x知?0y,?0，1且?9?1，x求?y的最小值。
xy
? 分析：
x?0y,?0，1x且?9y?1，?x?y????1x?9y????x?y??2x92yx?y12故?x?y?mi?n12。
当 ,即 时,y?2（x?1)? 4 ?5?9（当且仅x＝当1时取“＝”。号）
x?1
? 还可以怎样做？除法变量分离。
4、换元法
解析二：本题看似无法运t用=＋x1，均化值简不原等式式在，分可离先求换最元
y?(t?12)?7t(?1）+1=0t2?5t?4?t?4?5
t
tt
当 ,即t= 时,y?2t?4?5?9（t当=即2x＝1时取“＝”号）。