考研数学-云南大学《数学分析》2009——2010学年第一学期试题
云南大学(已有09试题)
云南大学经济学院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005公共管理学院政治学原理2006——2009当代中国政府与政治2006——2009政治学概论2007——2009（2007、2008年试题名称为“国际政治学概论”）社会学人类学理论与方法2007——2009社会学基础2007——2009民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004行政管理2008——2009行政学概论2006——2009经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）西方经济学二2008——2009西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2007西方经济学（含微观经济学和宏观经济学）（产业经济学专业）2008图书馆、情报与档案管理实务2006——2009图书馆学、情报学与档案学基础2006——2009法学院经济法学、民法学、刑法学2006——2009法理学、宪法学2006——2009马克思主义研究院马克思主义哲学原理2006——2009马克思主义基本原理概论2009毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论2009民族学理论与方法2009发展研究院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005社会学人类学理论与方法2007——2008社会学基础2007——2008民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004人文学院马克思主义哲学原理2006——2009专业综合理论2007——2009中国语言文学基础2007——2009理论批评2007——2009传播理论2002——2005，2007——2009新闻传播实务2002——2005，2007——2009世界近现代史2005——2006中国通史2005——2006西方哲学史2006马克思主义政治经济学原理2006外国语学院二外日语2002，2004——2009二外德语2002，2004——2009二外法语2002，2004——2009二外英语2004，2006——2007，2009基础英语（含写作、翻译、阅读）2004——2009综合考试（英语语言文学专业）1999——2000，2004——2009综合考试（法语语言文学专业）2004，2006——2007，2009基础法语2004，2006——2007，2009翻译（法汉互译）2002法国文学2002英美文化与文学2002英美文学1999——2000英语写作1999——2000英汉互译1999——2000写作与翻译（英语专业）2002民族研究院马克思主义哲学原理2006——2009综合专业理论2007——2009社会学人类学理论与方法2007——2009社会学基础2007——2009人类学基础2009民族学基础2004——2006（注：2006年试卷为回忆版）民族学理论与方法2009社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004马克思主义政治经济学原理2006工商管理与旅游学院经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）管理学原理（管理科学与工程专业）2006——2009管理学（企业管理专业）2004——2009（2004、2005年名称为“管理学原理”）会计学原理2005——2006统计学原理2005旅游综合考试2005国际关系研究院政治学概论2006——2009近现代国际关系史2007——2009世界民族与民族问题2007——2009民族学概论2007——2009经济学（含政治经济学、西方经济学）2006——2009经济学（含政治经济学和西方经济学）2005（A），2005（B）（试卷内容不全）经济学二2007经济学三（国际贸易学专业）2005西方经济学2005西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009西方经济学二2008经济学（含产业经济学和西方经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和世界经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（含西方经济学和人口、资源与环境经济学）2004（A卷），2004（B卷），2005（A卷），2005（B卷）经济学（资本主义部分）2004（A卷），2004（B卷）艺术与设计学院中外艺术史2004，2005，2009（其中2005年的试卷内容不全）艺术理论2009文化人类学2009艺术概论2004（A卷），2005（A卷）（其中2005年的试卷内容不全）高等教育研究院院教育学专业基础综合（全国统考试卷）2007——2009（2007——2009有答案）教育学综合（含教育学原理、中外教育史）2006马列主义教学研究部马克思主义哲学原理2006——2009马克思主义基本原理概论2009毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想概论2009 马克思主义哲学基本原理2007马克思主义政治经济学原理2006邓小平理论和三个代表重要思想概论2006——2007民族学理论与方法2007数学与统计学院数学分析2004，2007——2009高等代数2004，2007——2009数学分析与高等代数2003，2005——2006概率论数数理统计2005——2009（2006年试题有两份）西方经济学（含宏观经济学、微观经济学）2006——2009生命科学学院普通生物学2006——2009遗传学2005——2009生物化学2000——2003微生物学2002信息学院离散数学2002——2009信号与系统2003，2005——2006，2008——2009自动控制原理2007——2009数据结构与操作系统2003，2005——2008数据结构与数据库技术2003数据结构与算法2003数据结构2003计算机程序设计2007——2008数据结构与程序设计2003，2005，2007——2008数字电路2005——2006化学科学与工程学院化学（一）2005——2009化学（二）2005——2009化学（三）2005——2009分析化学2004有机化学2004综合化学2004物理科学技术学院量子力学2003，2007——2009大学物理（物理科学技术学院使用）2007——2009高等数学2005——2009程序设计与数值算法基础2007电路理论2008——2009电磁场原理2008电路与电磁场理论2007普通化学2006——2008普通化学（一）2007——2009普通物理2006——2009量子物理基础2008——2009固体物理基础2008固体物理2003，2007——2008材料科学基础2007，2009资源环境与地球科学学院城市与区域规划（人文地理专业）2005土地利用规划与管理2009高等数学2005——2009高等数学（二）2009综合地理学2009天气学2009地震学与地质学基础2009结构力学2009软件学院计算机程序设计2007——2009高等数学一（自命题）2009数据结构与程序设计2003，2005，2007——2008 数据结构与操作系统2003，2005——2006，2008 数据结构与数据库技术2003数据结构与算法2003数据结构2003离散数学2002——2009古生物重点实验室地质学基础2006普通生物学2006——2009古生物地史学2006城市建设与管理学院城市与区域规划（人文地理专业）2005土地利用规划与管理2009高等数学2005——2009高等数学（二）2009综合地理学2009天气学2009地震学与地质学基础2009结构力学2009文化产业研究院经济人类学2009民族文化与经济2009文化产业概论2009中外艺术史2004（A卷），2005（A卷）（其中2005年的试卷内容不全）社会文化人类学2005文化人类学理论与方法2004文化人类学2004工程技术研究院大学物理（工程技术研究院使用）2007——2009普通化学2006——2008普通化学（一）2007——2008普通化学（二）2009教育技术学基础2006——2009多媒体技术基础2006——2008计算机网络基础2009。
数学分析大一上学期考试试题 B
数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷）一、叙述题（每题5分，共10分）1.上确界；2.区间套的定义。
二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是.2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为.3.)1ln()(2x x f +=,已知56)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]12111[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim xx x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e limx x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导；（6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导；（7）求⎩⎨⎧==;cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。
四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0→是否存在，说明原因。
2.设000)()(=≠⎪⎩⎪⎨⎧-=-x x x e x g x f x,其中)(x g 具有二阶连续导数,且1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性.五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续.2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得)()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= .3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>⋅b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1ξξξf f b f a f b a b a '-=-.。
云南大学2004-2012 高等代数-数学分析-研究生入学试题
二、（15 分）设 是不为 1 的 5 次单位根，证明：行列式
4 4 4 4
3 3 3 4 3
D
125
2 2 4 2 2
4
三、（20 分）设 f (x1, x2,..., xn) X AX 是一实二次型，若有实 n 维向量 X1, X2 使
X1AX1 0, X2 AX2 0 ，
六、（20 分）设 f (x1, x2, x3, x4) 2x1x2 2x1x3 4x1x4 2x2x3 ，试分别在实数域上和复数
域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 , E A 为正定矩阵
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云南大学 2004 年硕士研究生入学考试试题 （答案必须写在答题纸上）
六、（15 分）将函数 f (x) ln(4x x2) 在 x 1 处展开为幂级数，并求出其收敛域。
七、（20
分）设
x3
f
( y,
y ) ，其中 x
f
具有连续的二阶偏导数，求
x
, y
,
2 y2
, 2 xy
八、（15 分）设 xi 0 (i 1, 2,..., n) ，且 x1 x2 ... xn a ，求函数 n x1x2...xn 的最
(II) :1,2,3,4;
(III
)
:
1
,2
,3
,
1 5
假设秩 (I ) =秩 (II ) =3，秩 (III ) =4。证明：向量组 (IV ) :1,2 ,3 ,5 4 的秩为 4。
七、（20 分）设 f (x1, x2,..., xn) 和 g(x1, x2,..., xn) 为两个实二次型，f (x1, x2,..., xn) 正定。
2010年考研数一试题及答案解答
2010（一）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x--''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-'' 所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。
2009-2010云南民族大学期末考试数学分析答案
∑ 的级数 x n (1 − x) 的部分和函数序列为{ x − x n+1 } ,因此在[0,1]上处处收敛. n=1
…………2 分
∞
∑ (2) (−1)n x n (1 − x) 在[0,1]上不绝对一致收敛: 从(1)可见取绝对值 n=1
∞
后的级数 ∑ x n (1 − x) 的和函数为 S( x) = x, x ∈ [0,1), S(1) = 0 ,它在点 x = 1 的左 n=1
| f ( x) |≤ M , | g( x) |≤ M , M 为常数. 在[ xi−1 , xi ]上任取两点 x', x'' ,考虑
f ( x'')g( x'') − f ( x')g( x') = [ f ( x'') − f ( x')]g( x'') + [g( x'') − g( x')] f ( x')
=
− cos pb + cos pa
≤
2
…………2 分
a
p
p
现在把区间[a, b]分为小区间:
a = u0 < u1 < L < un = b , ∆ui = ui − ui−1 ,
M i , mi 分别为ψ ( x) 在[ui−1 , ui ] 的上、下确界，ωi = M i − mi ，有
∫ ∑ ∫ bψ (u)sin pudu = n ui ψ (u)sin pudu
Ωi ≤ ωiM + ωi'M
从而
∑ ∑ ∑ Ω i ∆xi ≤ M ωi ∆xi + M ωi '∆xi
2010年考研数一试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及参考答案一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。
（1）、极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎛⎫= ⎪-+⎝⎭（ C ） A 、1 B 、e C 、e a b- D 、eb a-【解析与点评】方法一222ln 1()()()()lim lime lime()()xx x xx x a x b x a x b x x x xx a x b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞⎛⎫== ⎪-+⎝⎭()()2()()()()limelime a b x ab a b x abxx x a x b x a x b x x -+⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭→∞→∞==e a b -=方法二22()()lim lim 1()()()()x xx x x x x a x b x a x b x a x b →∞→∞⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()lim 1lim 1()()()()x a x b a b x abxxa b x ab x a x b x x a b x ab a b x ab x a x b x a x b -+-+⋅-+-+→∞→∞⎛⎫⎛⎫-+-+=+=+ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭()lim()()()ee x a b x abxa b x a x b →∞-+--+==考点：第二个重要极限，初等函数运算，复合函数极限运算法则，极限运算，无穷小量替换 （2）、设函数(,)z z x y =，由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy u y∂∂+=∂∂（ B ） A 、x B 、z C 、x - D 、z -【解析与点评】 等式两边求全微分得：12d d 0y z F F x x ⎛⎫⎛⎫''⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 1222d d dz d 0x y y x x z xF F x x --''+=12(d d )(dz d )0F x y y x F x z x ''⇒⋅-+⋅-= 12122dz d d yF zF F x y xF F '''+∴=-''所以有，1212222yF zF F zF z z xy x y z u y xF F F ''''+∂∂+=-==∂∂'''（3）、设,m n是正整数，则反常积分x ⎰的收敛性( D )A 、仅与m 的取值有关B 、仅与n 的取值有关C 、与,m n 的取值都有关D 、与,m n 的取值都无关 【解析与点评】：显然0,1x x ==是两个瑕点，有=+⎰对于的瑕点0x =，当0x +→21ln (1)mnx x -=-等价于221(1)mm nx--，而21120m nxdx -⎰收敛（因,m n 是正整数211m n ⇒->-），故收敛；对于)的瑕点1x =，当1(1,1)(0)2x δδ∈-<<时12122ln (1)2(1)nmnmx x <-<-，而2112(1)mxd x-⎰显然收敛，故收敛。
数值分析09-10学期试卷
( k +1)
(3 分)
= Gx ( k ) + f ,其中 G=(D-L)-1U, f=(D-L)-1b
从而， H 2 ( x) = − x + 2 x +
2
1 1 3 x( x − 1) = − x 2 + x 2 2 2
1 3 2 ≈ H 2 (2) = − × 22 + × 2 =1 2 2
2. 求 f ( x) = 3 x + 2 x + x + 1 在区间 [− 1,1] 上的最佳二次一致逼近多项式.
经比较, 得 S = S1 .
(1 分)
(2 分)
（1 分）
4. 用尤拉（Euler）公式求解如下三阶常微分方程初值问题： （取步长 h = 0.2 计算）
y ' ' ' = y (0 ≤ x ≤ 0.6) y (0) = y ' (0) = y ' ' (0) = 1.
解：令 z = y′ , w = z ′ , 则 上述三阶方程即可化成如下方程组 (1 分)
B. 特征值的绝对值的最大者 D. 最大的特征值
三．计算题（每小题 8 分，共 48 分） ：
1. 在节点 x0 = 0, x1 = 1 上构造基函数求 f ( x) =
x 的 2 次 Hermite 插值多项式 H 2 ( x) ，使
H 2 (0) = f (0), H 2 (1) = f (1), H 2 ' (1) = f ' (1) ，并由此求 2 ≈ H 2 (2) .
3 2
1 * 3 1 1 * 则 Q( x) 的首项系数为 1, 并且当 Q( x) = [ f ( x) − P2 ( x)] = 2 T3 ( x) 时, 3 2
2010考研数一真题答案及详细解析
．一 b — =
则 EX 2= � 贮
k=O
e-1 = e- 1• 00
k
k!
k=l (k - 1)!
= e- 1 �(k — 1)+ 1 = 2 k=l (k - 1)!
三解 、 答题 (15)解 由题设知，齐次方程对应的特征方程为r 2 — 3 r+2 = 0,
(—1)n-1 2n—l X
2n-l)
I
=
oo
笘( — l)n— 1X2n-2
= l-x2 +x4 -x6 +…+ (_ 1)n-1X 2n-2 +…
所以
—
1 l+x2
,x
E
[—1,1].
J: I : S 1(x) = J: S'(1t)dt+S 1(0) = 1�t2 dt+0= arctant = arctanx.
2 + y z 气-yz =l
y = 2z
(x +岛) IY — 2z I
✓ ＠根据题设条件知 ， 曲面积分『
dS中积分曲面2是椭球面S位于平面
2 4 + y2 + z 2 -- 4yz
2010年 （数一） 真题答案解析
一、选择题
Cl) C
丑
法
用求幕指数型极限的一般方法。求I = lim exln(x-a)(叶b)'
x-=
归结为求
— + W =limx ln x-c。
2
Cx
X
-a)(x
+b)
= lim x
户=
ln((x
2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A卷
2009年云南昆明理工大学高等数学考研真题A 卷一、填空题(1~12小题，每题4分,共48分)(1) 已知函数xx a x a x y ++=,则='y ______________________.(2) 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(22x b ax x x x x f 在, ),(+∞-∞连续、可导,则=a ______, =b ______.(3) 定积分=-⎰dx x x π03sin sin ______________________. (4)=--⎰))()((0x dt t x f t x dx d ______________________.(5) 函数)1)(1)(1(142x x x +++展开成麦克劳林级数,则该级数的9x 的系数为______________.(6) 函数x x y ln =的拐点坐标是______________________.(7) 改变积分次序=⎰⎰104),(x x dy y x f dx ______________________.(8) 已知两点)0,2,0(),0,0,1(连成一条直线l ,求点)0,0,0(A 到直线l 的距离=d ______________.(9) 已知微分方程x y y 2sin =-''的三个特解为,2cos 10121*1x e e y x x +-+=- ,2cos 10121,2cos 10121*3*2x e y x e y x x +-=+-=-则该方程的通解为______________________.(10) 幂级数∑∞=++-112)12()1(n n nn x 的收敛域______________________.(11) 已知f 具有二阶连续偏导数,),,(xy y x f z =,则=∂∂xz _________.=∂∂∂y x z 2_____________.(12) 已知曲面∑为上半球面2222a z y x =++与xoy 平面上的圆面222a y x ≤+所围,方向为外侧,则dxdy z zdx d y dydz x 333++⎰⎰∑=______________________.二、解答题：13~21小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（13）（本题满分10分）求极限x xx x 10)242(lim +→.（14）（本题满分10分）求积分dxdy y x b D ⎰⎰--222,其中}|),{(:2222b y x a y x D ≤+≤.(15) （本题满分10分）求微分方程yyxe e dx dy +=1的通解.(16) （本题满分12分）已知幂级数n n n x n n 211)12()1(∑∞=---,求其和函数，并求∑∞=---11)12()1(n n n n 的和值.(17)（本题满分13分） 在第一象限求曲线214x y =-上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围面积最小，并求此最小面积.(18) （本题满分13分）抛物面22y x z +=被平面0=++z y x 截成一椭圆,求)0,0,0(到椭圆的最长与最短距离.(19) （本题满分12分）求曲线积分⎰+--Ldy y x dx xy x )sin 2()(cos 2,其中L 是曲线x y 2sin π=上由点)0,0(到点)1,1(的一段弧.(20) （本题满分12分）设)(x f 在],[b a 上连续,证明下面不等式：222)())(11())(1(a b dx x f dx x f ba b a -≥++⎰⎰（21）（本题满分10分）设()f x 在[]0,1上三阶连续可导，且'11(0)0,(1),()022f f f ===，证明在()0,1内至少存在一点ξ，使12|)(|≥'''ξf .。
2010考研数一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( ) (A) 1. (B) e . (C) a be -. (D) b ae-.(2) 设函数(,)z z x y =,由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(3) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B)仅与n 的取值有关. (C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (4) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (5) 设A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,E 为m 阶单位矩阵,若AB E =,则 ( )(A) 秩()r A m =,秩()r B m =. (B) 秩()r A m =,秩()r B n =. (C) 秩()r A n =,秩()r B m =. (D) 秩()r A n =,秩()r B n =. (6) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.(C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 设随机变量X 的分布函数0,1(),0121,1x x F x x e x -<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎩,则{}1P X == ( ) (A) 0. (B)12. (C) 112e --. (D) 11e --. (8) 设1()f x 为标准正态分布的概率密度,2()f x 为[]1,3-上均匀分布的概率密度,若12(),0()(),0af x x f x bf x x ≤⎧=⎨>⎩,(0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 ( ) (A) 234a b +=. (B) 324a b +=. (C) 1a b +=. (D) 2a b +=.二、填空题(9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 设()20,ln 1,t tx e y u du -⎧=⎪⎨=+⎪⎩⎰ 求220t d y dx == .(10)2π=⎰.(11) 已知曲线L 的方程为[]{}11,1y x x =- ∈-,起点是()1.0-,终点是()1,0,则曲线积分2Lxydx x dy +=⎰.(12) 设(){}22,,1x y z xy z Ω=+≤≤,则Ω的形心的竖坐标z = .(13) 设()()()1231,2,1,0,1,1,0,2,2,1,1,TTTa ααα=-==,若由123,,ααα生成的向量空间的维数是2,则a = .(14) 设随机变量X 的概率分布为{}!C P X k k ==,0,1,2,k = ,则()2E X = .三、解答题(15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)求微分方程322x y y y xe '''-+=的通解． (16)(本题满分10分)求函数()()2221x t f x xt e dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(I)比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n = 的大小,说明理由；(II)记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n = ,求极限lim n n u →∞. (18)(本题满分10分)求幂级数()121121n n n x n -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的动点,若S 在点P 处的切平面与xOy 面垂直,求点P 的轨迹C ,并计算曲面积分2x y zI ∑-=,其中∑是椭球面S 位于曲线C 上方的部分.(20)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解.( I ) 求λ,a ；( II ) 求方程组Ax b =的通解. (21)(本题满分11 分)已知二次型123(,,)T f x x x x Ax =在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,且Q 的第三列为T. ( I ) 求矩阵A ；( II ) 证明A E +为正定矩阵,其中E 为3阶单位矩阵. (22)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2222(,)x xy y f x y Ae -+-=,x -∞<<+∞,y -∞<<+∞,求常数A 及条件概率密度|(|)Y X f y x ．设总体X其中参数()0,1θ∈未知,以i N 表示来自总体X 的简单随机样本(样本容量为n )中等于i 的个数(1,2,3i =).试求常数123,,a a a ,使31iii T a N ==∑为θ的无偏估计量,并求T 的方差.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (C).【解析】本题属于未定式求极限,极限为1∞型,故可以用“e 的抬起法”求解．()()2lim xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦()()2ln lim x x x a x b x e ⋅-+→∞=()()2lim ln x x x x a x b e →∞⋅-+=, 其中又因为()()2222()()lim ln lim ln 1()()()()lim()()()lim()()x x x x x x x a x b x x x a x b x a x b x x x a x b x a x b a b x abxx a x b a b→∞→∞→∞→∞--+⋅=+-+-+⎡⎤--+⎣⎦=-+-+=-+=-⎡⎤⎣⎦故原式极限为a be-,所以应该选择(C).(2)【答案】 (B).【解析】12221212222x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (3) 【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(4)【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (5)【答案】 (A).【解析】由于AB E =,故()()r AB r E m ==.又由于()(),()()r AB r A r AB r B ≤≤,故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵,B 为n m ⨯矩阵,故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==,故选A. (6)【答案】 (D).【解析】设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. (7) 【答案】 (C).【解析】离散型随机变量的分布函数是跳跃的阶梯形分段函数,连续型随机变量的分布函数是连续函数.观察本题中()F x 的形式,得到随机变量X 既不是离散型随机变量,也不是连续型随机变量,所以求随机变量在一点处的概率,只能利用分布函数的定义.根据分布函数的定义,函数在某一点的概率可以写成两个区间内概率的差,即{}{}{}()()1111111110122P X P X P X F F e e --==≤-<=--=--=-,故本题选(C).(8)【答案】 (A).【解析】根据题意知,()221x f x -=(x -∞<<+∞),()21,1340,x f x ⎧ -≤≤⎪=⎨⎪ ⎩其它利用概率密度的性质:()1f x dx +∞-∞=⎰,故()()()()03121001312424a a f x dx af x dx bf x dx f x dxb dx b +∞+∞+∞-∞-∞-∞=+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰所以整理得到234a b +=,故本题应选(A).二、填空题 (9) 【答案】0.【解析】因为 ()()22ln 1ln 1ttt dy t e dx e-+==-+-, ()()()()22222ln 12ln 11tt t td te d y dt t e t e e dx dt dx t -+⎡⎤=⋅=-⋅-+⋅-⎢⎥+⎣⎦,所以220t d y dx ==. (10)【答案】 4π-.t =,2x t =,2dx tdt =,利用分部积分法, 原式220cos 22cos 2sin t t tdt t tdt t d t πππ=⋅==⎰⎰⎰20002sin 2sin 4cos t t t tdt td t πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰0004cos cos 4cos 4sin 4t t tdt t ππππππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰.(11) 【答案】0.【解析】12222LL L xydx x dy xydx x dy xydx x dy +=+++⎰⎰⎰()()()0122111x x dx x dx x x dx x dx -=+++-+-⎰⎰()()0122122xx dx x x dx -=++-⎰⎰1322310223223x x x x -⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211203223⎛⎫⎛⎫=--++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(12) 【答案】23. 【解析】 ()2221221211000211212021r rrz d rdr zdxdydz d rdr zdz dxdydz d rdr dz d r rdrππππθθθθΩΩ⎛⎫⎪⋅ ⎪⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4211222r d r dr πθπ⎛⎫-⎪⎝⎭=⎰⎰126204122r r d πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎰20112266322d πθπππ⋅===⎰. (13)【答案】6a =.【解析】因为由123,,ααα生成的向量空间维数为2,所以123(,,)2r ααα=. 对123(,,)ααα进行初等行变换：123112112112211013013(,,)1010130060202000a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以6a =.(14) 【答案】2.【解析】利用离散型随机变量概率分布的性质,知{}001!k k CP X k Ce k ∞∞======∑∑,整理得到1C e -=,即 {}111!!k e P X k e k k --===.故X 服从参数为1的泊松分布,则()()1,1E X D X ==,根据方差的计算公式有()()()222112E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦. 三、解答题(15)【解析】对应齐次方程的特征方程为2320λλ-+=,解得特征根121,2λλ==,所以对应齐次方程的通解为212x x c y C e C e =+．设原方程的一个特解为*()x y x ax b e =+,则()()*22x y axax bx b e '=+++,()()*2422x y axax bx a b e ''=++++,代入原方程,解得1,2a b =-=-,故特解为*(2)xy x x e =--． 故方程的通解为*212(2)x x x c y y y C e C e x x e =+=+-+． (16)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞- ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞ .(17)【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n = .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(18)【解析】(I) (1)1222(1)1122(1)(1)2(1)121lim lim (1)(1)2121n n n n n n n n n nx x n n xx n n +-++--→∞→∞--⋅+-+=--⋅--222(21)21lim lim 2121n n n x n x x n n →∞→∞--==⋅=++, 所以,当21x <,即11x -<<时,原级数绝对收敛.当21x >时,原级数发散,因此幂级数的收敛半径1R =.当1x =±时,11211(1)(1)2121n n n n n x n n --∞∞==--⋅=--∑∑,由莱布尼兹判别法知,此级数收敛,故原级数的收敛域为[]1,1-.(II) 设1122111(1)(1)()2121n n nn n n S x x x x n n --∞∞-==⎛⎫--=⋅=⋅⋅ ⎪--⎝⎭∑∑,其中令12111(1)()21n n n S x x n -∞-=-=⋅-∑()1,1x ∈-,所以有 12221111()(1)()n n n n n S x xx ∞∞---=='=-⋅=-∑∑ ()1,1x ∈-,从而有 12211()1()1S x x x '==--+ ()1,1x ∈-, 故 11201()(0)arctan 1xS x dx S x x =+=+⎰,()1,1x ∈-.1()S x 在1,1x =-上是连续的,所以()S x 在收敛域[]1,1-上是连续的.所以()arctan S x x x =⋅,[]1,1x ∈-.(19)【解析】 ( I )令()222,,1F x y z x y z yz =++--,故动点(),,P x y z 的切平面的法向量为()2,2,2x y z zy --,由切平面垂直xOy ,故所求曲线C 的方程为222120x y z yz z y ⎧++-=⎨-=⎩. ( II ) 由⎩⎨⎧=-=-++,02,1222y z yz z y x 消去z ,可得曲线C 在xOy 平面上的投影曲线所围成的xOy 上的区域223:{(,)|1}4D x y x y +≤,由()()x x yz z y x '='-++1222,由dxdy zy yzz y dxdy y z x z dS 24412222--++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=,故(2DDDx y zI x dxdy xdxdy ∑-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Dπ==⋅=. (20)【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(21)【解析】 ( I )由于二次型在正交变换x Qy =下的标准形为2212y y +,所以A 的特征值为1231,0λλλ===.由于Q 的第3列为,0,22T ⎛ ⎝⎭,所以A 对应于30λ=的特征向量为22T⎛ ⎝⎭,记为3α. 由于A 是实对称矩阵,所以对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,设属于121λλ==的特征向量为()123,,Tx x x α=,则30T αα=,130x =. 求得该方程组的基础解系为()()120,1,0,1,0,1TTαα==-,因此12,αα为属于特征值1λ=的两个线性无关的特征向量.由于12,αα是相互正交的,所以只需单位化：())1212120,1,0,1,0,1T Tααββαα====-. 取()1230,,10002Q ββα⎛⎪⎪==⎝⎭,则110T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭,且1T Q Q -=, 故 1102201011022TA Q Q ⎛⎫- ⎪ ⎪=Λ= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. ( II )A E +也是实对称矩阵,A 的特征值为1,1,0,所以A E +的特征值为2,2,1,由于A E +的特征值全大于零,故A E +是正定矩阵.(22)【解析】当给出二维正态随机变量的的概率密度(),f x y 后,要求条件概率密度|(|)Y X f y x ,可以根据条件概率公式|(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =来进行计算.本题中还有待定参数,A 要根据概率密度的性质求解,具体方法如下.()()22222222()(),xxy y y x x xy x X f x f x y dy A e dy A e dy Ae e dy +∞+∞+∞+∞-+--------∞-∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰2,x x -=-∞<<+∞.根据概率密度性质有()21x X f x dx e dx A π+∞+∞--∞-∞===⎰,即1A π-=,故()2x X f x -=,x -∞<<+∞.当x -∞<<+∞时,有条件概率密度()()()22222222(),,,x xy y x xy y x y Y X X f x y f y x x y f x -+--+---==-∞<<+∞-∞<<+∞.(23)【解析】()()()22123~,1,~,,~,N B n N B n N B n θθθθ--()()()()31122331i i i E T E a N a E N a E N a E N =⎛⎫==++ ⎪⎝⎭∑()()221231a n a n a n θθθθ=-+-+()()212132na n a a n a a θθ=+-+-.因为T 是θ的无偏估计量,所以()E T θ=,即得()()12132010na n a a n a a =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩,整理得到10a =,21,a n = 31a n=.所以统计量()()12323111110T N N N N N n N n n n n=⨯+⨯+⨯=⨯+=⨯-.注意到1(,1)N B n θ- ,故()()()11211D T D n N D N n n⎡⎤=⨯-=⨯⎢⎥⎣⎦()11n θθ=-.。
2010年考研数学一真题及解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)极限2lim ( )()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 (B)e(C)a be-(D)b ae-答案：C 详解：2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=2233221ln ()()()()lim lim lim xxx x bx abxx x x a x b a bx a x b x ax bx abx x x e e ee⎛⎫-+-- ⎪⋅ ⎪-+--+⎝⎭-+-→∞→∞→∞===(2)设函数(),z z x y =，由方程(,)0y zF x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '=，则x z x y u y ∂∂+∂∂=( ) (A)x (B)z (C)x - (D)z -答案：B详解：12221222,1x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''-+-''⋅+⋅⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=''∂'⋅112211y x F F F z x xF F F x'⋅''∂=-=-=-''∂'⋅1212222yF zF yF F z z z xyz xxF F F ''''+⋅∂∂+=-=='''∂∂(3)设,m n是正整数，则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 的取值有关 (B)仅与n 取值有关 (C)与,m n 取值都有关 (D)与,m n 取值都无关 答案：C 详解：11222111111111ln 1(ln (1))1111mmn mm np p p nnx p p m dx p x p np -∞∞∞⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪-⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-= ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰2121121n mm np n m m nn m p m n -∞--⎧>⎪⎛⎫⎪=⎨⎪-⎝⎭⎪≤⎪⎩∑收敛，发散， (4)()()2211limnnx i j nn i n j→∞--=++∑∑(A)()()12111x dx dy x y++⎰⎰(B)()()10111x dx dy x y ++⎰⎰(C)()()1100111dx dy x y ++⎰⎰(D)()()112111dx dy x y++⎰⎰答案：D详解：()()22211112limlim11nnnnx x i j i j nnn i nji j n n n n →∞→∞----=⎛⎫++⎛⎫⎛⎫+⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑2211111lim11n nx i j inj n n →∞--=⋅⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑∑()()112111dx dy x y=++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵，B 为n m ⨯型矩阵，E 为m 阶单位矩阵，若AB =E ，则( ) (A)秩(),r A m =秩()r B m =(B)秩(),r A m =秩()r B n = (C)秩(),r A n =秩()r B m = (D)秩(),r A n =秩()r B n =答案：A解析：由于A B E =，故()()r A B r E m ==，又由于()(),()()r A B r A r A B r B ≤≤，故(),()m r A m r B ≤≤ ①由于A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，故(),()r A m r B m ≤≤ ②由①、②可得(),()r A m r B m ==，故选A 。
云南大学2003--2019年数学分析、高等代数考研真题
学 七、（20
分）设
u
=
x
3f
(xy,
y x
),
其中
f
具有连续的二阶偏导数，求
∂u ∂x
,
∂u ∂y
,
∂2u ∂y 2
,
∂2u ∂x∂y
八、（15 分）设 x i > 0(i = 1,2,Λ , n), 且 x1 + x 2 + Λ + x n = a, 求函数 u = n x1x 2 Λ x n
的最大值，并证明不等式 n
复数域上把它化为规范型，并写出相应的可逆线性变换.
七、（10 分）设 A 为半正定矩阵，证明：对任意正实数 ,E A 为正定矩阵.
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2004 年云南大学硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：《数学分析》
其中 s 是上半球面 z R 2 x 2 y2 的下侧。
六、（20
分）设
A
-
5 4
56
（1）求 A 的特征值，特征向量。
（2）试求使 C1AC为对角矩阵的C，求A 2（n n为正整数）。
七、（20 分）设 A，B，C，D Pnn，若A：X AXB CX XD，X Pnn ,
证明：（1）A为Pnn的线性变换,。（2）当C D 0时，A，B可逆 A可逆 。
x tan x
2
x = 3t 2 + 2t + 3
四、（15
分）设
y=y(x)是由方程组
2010考研数学答案解析
2010考研数学答案解析【篇一：2010考研数学一(真题解析分开版)】ss=txt>数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) 222y?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)1. 曲线拐点a（1，0）b（2，0） c（3，0）d（4，0） 2. 设数列?an?单调递减，liman??n无界，则幂级数?0,sn??ak(n?1,2,?）k?1n?a(x?1)kk?1nn的收敛域a(-1,1] b[-1,1) c[0,2) d(0,2]3.设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件af(0)?1,f??(0)?0 bf(0)?1,f??(0)?0cf(0)?1,f??(0)?0df(0)?1,f??(0)?04.设i??0lnsinxdx,j??0lncotxdx,k??0lncosxdx则i、j、k的大小关系是???a ijkb ikjc jikd kji5.设a为3阶矩阵，将a的第二列加到第一列得矩阵b，再交换b ?100??100?????p1??111?,p2??001?,???000???010??的第二行与第一行得单位矩阵。
记a=?1?1ap1p2bp2p1 dp1p2 cp2p1则6.设a?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，a*是a的伴随矩阵，若(1,0,1,0)t 是方程组ax?0的一个基础解系，则a*x?0的基础解系可为a?1,?3 b?1,?2 c?1,?2,?3 d?2,?3,?47.设f1(x),f2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x),f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是af1(x)f2(x) b2f2(x)f2(x) cf1(x)f2(x) df1(x)f2(x)?f2(x)f1(x)8.设随机变量x与y相互独立，且ex与ey存在，记u=max{x,y},v={x,y},则e(uv)=a euevb exeyc eueyd exev二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)9.曲线y??0tantdt(0?x?)的弧长s=____________4x?10.微分方程y??y?e?xcosx满足条件y(0)=0的解为y=____________ 11.设函数f(x,y)??0xy?2fsintdt，则221?t?xx?0?__________12.设l是柱面方程为x2?y2?1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往zy2_ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分xzdx?xdy?dz?__________213.若二次曲面的方程为x2?3y2?z2?2axy?2xz?2yz?4，经正交变换化为y12?4z12?4，则a?_______________三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)ln(1?x)ex?115求极限lim( )x?0x116设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，?2z且在x=1处取得极值g(1)=1,求?x?yx?1,y?117求方程karctanx?x?0不同实根的个数，其中k为参数。
云南大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇编(2009-2017年汇总)
ห้องสมุดไป่ตู้28
3
1. 2009年 HŒÆ《高等代数》ïÄ)\Æ•ÁÁK
˜! W˜K( 6 K, zK 5 ©, 30 ©)
1. A ´ s • , |A| = m, B • t • , |B| = n, C = 0 A , K |C| =
.
B0
2. g. f (x1, x2, x3) = x21 + 2x22 + 3x23 − 4x1x2 − 4x2x3 IO/´
22
13 HŒÆ 2012 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
23
14 HŒÆ 2013 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
24
15 HŒÆ 2014 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
25
16 HŒÆ 2015 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
26
17 HŒÆ 2016 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
27
18 HŒÆ 2017 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
考试复习重点资料（最新版）
资料见第三页
封
面
第1页
温馨提示
提示：本套资料经过精心编排，前 2 页是封面和提示部分，后面是资 料试题部分。资料涵盖了考试的重点知识和题型，可以很好的帮助你 复习备考。资料不在多而在精，一套系统的涵盖考试重点的资料，能 够帮助你很好的提高成绩，减轻学习负担，再加上自己勤奋练习，肯 定能取得理想的成绩。 寄语：无论你是考研、期末考试还是准备其他考试，既然决定了，就 要坚持到底，花几个月的时间，精心准备，在加上资料的帮助，必然 会得到回报。 1. 一份合理科学的学习计划是你备考的领航灯。要有总体的时间规划， 也要有精细到每天的计划，不打无准备的仗。 2. 资料需要反复练习，任何一件看似轻而易举的事情，都是经过反复 刻意练习的结果。公众号:第七代师兄,学习也是一样的，手里的资料， 一定要反复练习几遍，才能孰能生巧，融汇贯通，考场上才能轻松应 对。 3. 态度决定一切，不要手稿眼底，从最基础的知识学起，基础扎实了， 才能平底起高楼，才能将各类知识点运用自如。 4. 坚持到底，无论是考试还是做事情，很多人打败自己的永远是自己。 切记心浮气躁，半途而废。 5. 希望这套资料能够很好的帮助你复习备考，祝学习进步，加油。
云大数学考研真题答案解析
云大数学考研真题答案解析近几年来，云大数学考研成为越来越多考生报考的热门专业。
数学考研对考生的基础知识和解题能力要求较高，其中真题的复习是考生备战的关键。
本文将对云大数学考研的真题答案进行解析，帮助广大考生更好地备考。
第一部分：分析云大数学考研的特点云大数学考研的特点之一是题目考察的广度较大，包含了数学的各个方面，包括数学分析、高等代数、概率统计等。
因此，备考时需要对各个领域都做好充分的准备，并进行综合性的复习。
此外，云大数学考研还喜欢设置一些思考题，要求考生具备较强的理解和推理能力。
第二部分：解析云大数学考研真题下面将选取一道云大数学考研真题，并解析其答案。
【题目】已知B为n级幂等矩阵，n为任意的正整数，即B^2 = B。
若r(B)表示B的秩（即向量空间的维数），则有下列结论：（）A. 如果B = B^T，则r(B) = nB. 如果B = -B^T，则r(B) = nC. 如果B = B^T，则r(B) ≤ nD. 如果B = -B^T，则r(B) ≤ n【解析】首先，我们了解到幂等矩阵是指矩阵自乘后仍然等于自己的矩阵。
B^2 = B，所以B是幂等矩阵。
根据幂等矩阵的性质，可知零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。
对于结论A，如果B = B^T，则B是对称矩阵。
对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数，而特征值的个数最多为n。
所以结论A成立。
对于结论B，如果B = -B^T，则B是反对称矩阵。
反对称矩阵的特征值一定是纯虚数，而且特征值只能为零或成对出现。
所以结论B 成立。
对于结论C，如果B = B^T，则B是对称矩阵。
对称矩阵的秩等于其非零特征值的个数，而特征值的个数最多为n。
所以结论C成立。
对于结论D，如果B = -B^T，则B是反对称矩阵。
反对称矩阵的特征值一定是纯虚数，而且特征值只能为零或成对出现。
所以结论D 成立。
综上所述，结论A、B、C、D都成立。
第三部分：总结与建议云大数学考研真题的解析告诉我们，备考过程中要全面复习数学的各个领域，并注重对基础知识的理解和运用。
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云南大学2009——2010第1学期数学分析期末考试试卷
一、叙述题：（每小题6分，共18分）
1、 牛顿-莱不尼兹公式
2、 ∑∞=1n n a
收敛的cauchy 收敛原理
3、 全微分
二、计算题：（每小题8分，共32分）
1、40202sin lim x dt t x x ⎰→
2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞
=+1)1(n n
n n x 的收敛半径和收敛域，并求和
4、已知z y x u = ，求y
x u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
∑∞
=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞
--01dx e x x p 的敛散性
3、讨论函数列),(1
)(22+∞-∞∈+=
x n x x S n 的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分）
1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1
n n x 发散 2、证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=000),(22222
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。
，。