高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线导学案新人教A版选修44

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高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线课前导引素材新人教A版选修4-4

四渐开线与摆线
课前导引
问题导入
给出某渐开线的参数方程⎩
⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos 3sin 3,sin 3cos 3y x (φ为参数),根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是_________,且当参数φ取2π时
,对应的曲线上的点的坐标是_______.
解析:与渐开线的参数方程对照,可知r=3,即基圆半径是3,然后把φ=2
π代入y,可得⎪⎩⎪⎨⎧==.
3,23y x π
故基圆半径是3,坐标为(2
3π,3). 上述问题即是生产实践和生活中一类常见曲线的方程.本节讨论圆的渐开线与摆线的参数方程.
知识预览
1.圆的摆线的参数方程是⎩
⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (t a y t t a x (φ是参数). 2.圆的渐开线的参数方程是
⎩⎨⎧-=+=)
cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x (t 是参数). 3.圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.
4.我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如图).。

高中数学第二讲《参数方程》全部教案新人教A版选修4-4

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动：为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念（见教科书第22页）说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

2022学年人教A版选修4-4第二讲摆线的参数方程教案

章节：
课时：备课人杜强；二次备课人吴非
课题名称
第二讲摆线的参数方程
三维目标
学习目标：
1、了解摆线的生成过程及它的参数方程，学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
2、会用归纳、类比的方法对七种曲线的参教方程进行总结
3、通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
重点目标
会用归纳、类比的方法对七种曲线的参教方程进行总结
问题2、为了求出M的参数方程，同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件是：
取定直线为X轴，定点M滚动开始时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。当圆滚动角后切点为A，此时点M的坐标表示为：
所以摆线的参数方程为：
学做思三
技能提炼
例、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。
达标检测
变式反馈
1、有一个半径是的轮子沿着直线轨道滚动，在轮子上有一点M，与轮子中心距离为（），求M的轨迹方程.
2、若摆线的参数方程是当时，对应点的坐标是
3、若摆线的参数方程是，求一个拱的宽度和高度.并求出它的对称轴.
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
同步练习金考卷
难点目标
会用归纳、类比的方法对七种曲线的参教方程进行总结
导入示标
目标三导
学做思一：
自学探究
问题1、如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直
的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A选修4_401085

四渐开线与摆线学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一渐开线思考把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．若要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )．显然，点M 由角φ惟一确定．梳理圆的渐开线及其参数方程 (1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆． (2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．知识点二摆线思考当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？答案摆线．梳理摆线及其参数方程 (1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线． (2)参数方程设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．类型一圆的渐开线例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．解以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝0AM ＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知，∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM →＝(x ，y )，因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).反思与感悟圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．跟踪训练1 已知圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin30°＋φsin φsin30°，y ＝sin φcos60°－φcos φcos60°(φ为参数)，则该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A 的直角坐标为________．答案 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin 30°＋φsin φsin 30°，y ＝sin φcos 60°－φcos φcos 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(cos φ＋φsin φ)，y ＝12(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．∴基圆半径r ＝12.当φ＝π时，x ＝－12，y ＝π2，∴A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2. 类型二平摆线例2 已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为________．答案10解析由圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ知，圆的方程为x 2＋y 2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3， ∴圆上定点M 的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝3π2－3，y ＝3×(1－0)＝3，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝(－3)2＋12＝10.反思与感悟 (1)摆线的参数方程摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，其中r ：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM .(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．跟踪训练2 已知一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，则该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________．答案 6 6π解析当φ＝π时，y ＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x ＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π答案 C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)答案 C3.如图所示，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π答案 C解析根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 4．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．一、选择题1．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π答案 B2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)答案 A3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④答案 C 4．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )，y ＝2(sin t －t cos t )(t 为参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案 A5．已知圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ) (φ为参数)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0是此渐开线上的一点，则渐开线对应的基圆的周长是( ) A.32π B ．3π C ．4π D ．6π答案 B解析由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0在渐开线上，得⎩⎪⎨⎪⎧32＝r (cos φ＋φsin φ)，0＝r (sin φ－φcos φ)，易知φ＝0，则r ＝32，故基圆的周长为3π.6．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( ) A ．(－2,2π) B ．(－2，π) C ．(4,2π) D ．(－4,2π)答案 A解析将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2×(－1＋π×0)，y ＝2×[0－π×(－1)]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2π.二、填空题7．基圆直径为10，则其渐开线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(cos φ＋φsin φ)，y ＝5(sin φ－φcos φ)(φ为参数)8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm ，则齿廓所在的摆线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)解析因为基圆直径为22 mm ，所以基圆半径为11 mm ，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)．9．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos t ＋t sin t )，y ＝6(sin t －t cos t )(t 为参数)，则该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是_______________________________________．答案 6 (－3＋23π，33＋2π)解析由参数方程，得基圆的半径r ＝6.把t ＝2π3代入参数方程，得⎩⎨⎧x ＝－3＋23π，y ＝33＋2π，即参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是(－3＋23π，33＋2π)．10．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________．答案 (π，2)解析由题意知，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)．三、解答题11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程．解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．12．已知圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离．解由圆的参数方程，得圆的半径r ＝3，则其摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．把φ＝π2代入摆线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，故点A 与点B 之间的距离 |AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋3－3π22＋(2－3)2＝10.13．已知一个圆的平摆线方程是x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标．解由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4，平摆线具有周期性，周期为4π.∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4k π，4)(k ∈Z )．四、探究与拓展14.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD ，弧DE ，弧EF …的圆心依次按A ，B ，C 循环，它们依次相连接，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π答案 C解析 ∵∠CAD ，∠DBE ，∠ECF 是等边三角形的外角， ∴∠CAD ＝∠DBE ＝∠ECF ＝120°. 又AC ＝1，∴BD ＝2，CE ＝3， ∴弧CD 的长＝13×2π×1，弧DE 的长＝13×2π×2，弧EF 的长＝13×2π×3，∴曲线CDEF 的长＝13×2π×1＋13×2π×2＋13×2π×3＝4π.15．渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标．解由渐开线方程可知，基圆的半径为6，则圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1，对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学教案选修4-4教案第二讲参数方程四渐开线与摆线

教
学
内
容
分
析
教学
重点
圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学
难点
圆和摆线的渐开线参数1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为（为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
课题
渐开线与摆线
三
维
教
学
目
标
知识与
能力
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程（BC层）
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤（A层）
过程与
方法
能培养学生的逻辑推理能力和思维能力
情感、
态度、
价值观
通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
三、分层练习
1、当，时，求圆渐开线上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线与直线的交点的直角坐标(A层)
四、课堂小结
课
后
学
习

高中数学 2.4渐开线与摆线新人教A版选修4-4

A．只有圆才有渐开线
B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所
栏目
链
以才能得到不同的图形
接
C．正方形也可以有渐开线
D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，那么画
出的渐开线形状就不同
编辑课件
分析：本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的．其他图形，例如
椭圆、正方形也有．渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处，
题二渐开线、摆线参数方程的应用
例 3 设摆线xy＝＝1t－－scionst，t (t 为参数，0≤t≤2π)与直线 y＝1
相交与 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离．
栏
目
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos
∴t1＝π2 ，t2＝3π2 .当
π t1＝ 2 时，
编辑课件
►变式训练
1．已知圆的渐开线的参数方程是
x＝cos φ＋φsin
y＝sin
φ－φcos
φ， φ (φ 为参数)，则此渐开线对应的基圆的直
栏目
径
是
________
，
当
参
数
φ
＝
π 4
时
对
应
的
曲
线
上
的
点
的
坐
标
为
链接
__________________．
1
22＋
28π， 22－
2π 8
编辑课件
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ 为参数)可求
π r 的值，然后把 φ＝ 2 代入方编辑程课，件即得对应的点的坐标．
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为

高中数学第2讲参数方程4渐开线与摆线学案新人教A版选修44

高中数学第2讲参数方程4渐开线与摆线学案新人教A 版选修44四渐开线与摆线学习目标：1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P 40～P 41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)．教材整理2 摆线及其参数方程阅读教材P 41～P 42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．2．设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5(φ－sin φ)，y ＝5(1－cos φ)(φ为参数)表示的是( )A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程B ．半径为5的圆的摆线的参数方程C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程D ．直径为5的圆的摆线的参数方程[解析] 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确． [答案] B圆的渐开线的参数方程【例1】 B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离．[思路探究] 先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A ，B 之间的距离．[自主解答] 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16(13－63)π2－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为 16(13－63)π2－6π－363＋72.根据渐开线的定义和求解参数方程的过程可知其中的字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．1．当φ＝3π2，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．[解] 将φ＝3π2代入参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3π2，y ＝－1.把φ＝π2代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，－1，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.因此|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋32π2＋(1＋1)2＝2π2＋1，故点A ，B 间的距离为2π2＋1.圆的摆线的参数方程【例2】程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路探究] 根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．[自主解答] 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1π(cos φ＋φsin φ)，y ＝1π(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．2．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φy ＝4－4cos φ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．[解] 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．故选C.[答案] C2．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上与φ＝π4对应点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4[答案] A3．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π[解析] 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．[答案] C4．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 由圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φsin φ)(φ为参数)．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos φ＋φsin φ)，y ＝4(sin φ－φcos φ)(φ为参数)5．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程． [解] 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以给定定直线所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，∴摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．。

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线目标导引素材新人教A版选修44

四渐开线与摆线一览众山小三维目标1.通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成的原理,加深对渐开线概念和含义的理解,感受其中的变化规律,培养科学探究精神.2.体会研究渐开线问题也是数学的一个重要的任务,感受数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础.3.通过实例体会摆线在生产和实际中有着广泛的应用,感受这些曲线的美,体验用数学知识解释生活问题的乐趣.学法指导由于渐开线和摆线的图形比较复杂,其参数方程也不易理解,即使给出参数方程也很难根据方程画出相应的图形;反之,根据图形也不容易得到其相应的参数方程.因此,学习本节内容时要注重理论与实际的联系.1.成立兴趣小组,合作研究摆线的性质,收集摆线应用的实例.由于渐开线和摆线在物理和机械制造中有着广泛的应用,因此可以通过走访物理专家和相关的机械制造专家来了解其在实际生产中的应用,结合有关的问题和图纸来研究.此外,摆线还在美术设计中被广泛应用,因此可以找有关美术老师或者通过欣赏一些美术作品来观察渐开线和摆线.2.可以在网上搜索相关资料,学习渐开线和摆线问题的发展过程及其相关的性质.此外,可以通过手工绘图和电脑绘图相对比,通过对比来观察渐开线和摆线的形成过程,还可以使用一些几何画板等软件,观察渐开线和摆线图形的形成过程.同时也可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线等.诱学导入材料：1599年,著名的物理学家伽利略(1564年～1642年,意大利人)曾经试图用天平来量摆线与直线AB之间所围成弓形的面积.他用同样的材料做了摆线弓形及圆盘.他发现一个摆线弓形和三个圆盘在天平上大约能够平衡.所以弓形面积大约是圆盘的三倍大.虽然这个答案是正确的,Galileo总以为两者之比应该是无理数,因此猜测是π倍.正确的答案直到1634年才由法国数学家Roberval(1602年-1675年)用理论性的计算求得.Roberval于1628年来到巴黎,成为Mersenne(1588年-1648年)讨论会的一员.那时候没有学术性的刊物,也没有国际学术会议.Mersenne却一个人挑起了穿针引线的工作.他和欧洲主要的科学家都有信件来往,把一个人的想法与进展转知给另一个人,又一星期两次邀请当地科学家聚在家里谈论共有的兴趣.Roberval就是在这种集会中从Mersenne得知了摆线这样的曲线.摆线一拱的面积,是Roberval在1634年最先求得的.他在1638年还找到摆线之切线的作法.约在同一时期,笛卡儿(1596年-1650年,法国人)与费玛(P.deFermat,1601年-1655年,法国人)也找到切线的作法.另外,Roberval也讨论过摆线的一拱,绕其底线旋转所得旋转体的体积.摆线在力学方面的性质,等时性系Huygens所发现的,而最速降性质则是贝努力(J.Bernoulli,1654年-1705年,瑞士人)在1690年发现的.问题：根据材料分析,现代摆线的定义是怎么演变过来的?根据文中提到的数学家对待科学发现的态度,讨论我们该在学习中具有什么样的探索精神?导入：通过阅读材料,借助模型或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线）,了解平摆线和渐开线的生成过程.体会渐开线和摆线在生产和实际中有广泛的应用,正确理解它们的性质就非常重要,建立曲线的方程也是把几何问题转化为代数问题的前提.所以建立渐开线和摆线的方程就非常重要和关键.。

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案(含解析)新人教A版选修4-4

四渐开线与摆线1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ＋φsin φ ，y ＝r sin φ－φcos φ (φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ(φ为参数)．关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系．设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM .按渐开线定义，弧AM 0的长和线段AM 的长相等，记OA ―→和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA ―→＝(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，AM ―→＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM ―→＝OA ―→＋AM ―→＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．又OM ―→＝(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4 cos θ＋θsin θ ，y ＝4 sin θ－θcos θ(θ是参数)．这就是所求圆的渐开线的参数方程．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤 (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定点运动中产生的某一角度为参数． (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到OM ―→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2 cos t ＋t sin t ，y ＝2 sin t －t cos t(t 是参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案：A2．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5 cos φ＋φsin φ ，y ＝5 sin φ－φcos φ .这就是所求的圆的渐开线的参数方程.利用向量知识和三角函数的有关知识求解．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如上图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM 的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，向量OB ―→＝(2α，2)，向量MB ―→＝(2sin α，2cos α)， BM ―→＝(－2sin α，－2cos α)，因此OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点M 的坐标为(x ，y )，向量OM ―→＝(x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 α－sin α ，y ＝2 1－cos α .这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 t －sin t ，y ＝2 1－cos t(t 是参数，0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)或(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：由题意设M (x M ，y M )，则x M ＝r ·φ－r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)．课时跟踪检测(十三)一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π解析：选C 根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z)，此时x ＝6k π(k ∈Z)． 2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )A ．①③B ．②④C ．②③D ．①③④解析：选C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10 D.3π2－1 解析：选 C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3 φ－sin φ ，y ＝3 1－cos φ (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3，∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋ 3－2 2＝10.4.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH 的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：选C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r 1－cos φ ，y ＝r φ－sin φ (φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________ .解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ ，y ＝r 1－cos φ (φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，得φ＝2k π(k ∈Z)，代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)，又∵过(1,0)，∴r (2k π－sin 2k π)＝1(k ∈Z)，∴r ＝12k π(k ∈Z)．又∵r ＞0，∴k ∈N *.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ ，y ＝12k π 1－cos φ(φ为参数，k ∈N *)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线．由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a φ－sin φ ，y ＝a 1－cos φ(φ为参数)．9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z)．代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin 2k π)(k ∈Z)．又因为x ＝2，所以a (2k π－sin 2k π)＝2(k ∈Z)，即得a ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ ，y ＝1π 1－cos φ (φ为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πcos φ＋φsin φ ，y ＝1π sin φ－φcos φ(φ为参数)．。

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线课堂探究学

四渐开线与摆线课堂探究探究一圆的渐开线的参数方程解答此类题目，不仅要记住圆的渐开线的参数方程的基本形式，还要知道每个字母所表示的意义．【例题1】已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的A ，B 两点所对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点间的距离．思路分析：先写出圆的渐开线的参数方程，再把A ，B 对应的参数分别代入参数方程可得对应的A ，B 两点的坐标，然后使用两点间的距离公式可得A ，B 间的距离．解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线的参数方程是cos sin ,sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ=+⎧⎨=-⎩(φ为参数)．分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B两点的坐标分别为⎝⎭π,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 根据两点间的距离公式可得A ，B 两点间的距离为|AB |＝3＋3π6－π22＋33－π6－12 ＝16(13－63)π2－6π－363＋72. 故A ，B 两点间的距离为16(13－63)π2－6π－363＋72. 探究二圆的摆线的参数方程根据圆的摆线的参数方程的表达式x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，可知只需求出其中的r ，就能写出相应圆的摆线方程．摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式即可．【例题2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时对应的摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．思路分析：根据圆的摆线的参数方程(sin ),(1cos )x r y r ϕϕϕ=-⎧⎨=-⎩(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z )．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得所求圆的摆线的参数方程为1(sin ),π1(1cos )πx y ϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ为参数)；所求圆的渐开线的参数方程为1(cos sin ),π1(sin cos )πx y ϕϕϕϕϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ 为参数)．探究三易错辨析易错点：考虑φ不全面【例题3】已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．错解：令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝0，代入可得x ＝0.故此题无解．错因分析：在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面．正解：令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1.所以r ＝12k π(k ∈Z )．又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r ＞0.所以应有k ＞0，且k ∈Z ，即k ∈N *.所以所求摆线的参数方程是 1(sin ),2π1(1cos )2πx k y k ϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(φ为参数，k ∈N *)．。

高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4

为参数)，则该基圆半径为_2__，当圆心角φ＝π时，曲线上点A的直角
坐标为－_12_，__π2____.
解析答案
类型二平摆线
例2
已知一个圆的参数方程为xy＝＝33csions
φ， φ
(φ 为参数)，那么圆的摆线
方程中与参数 φ＝π2对应的点 A 与点 B32π，2之间的距离为___1_0__.
B.4π
√C.5π
D.6π
1234
解析答案
4.已知一个圆的摆线方程是 xy＝＝44φ－－4c4osisnφφ，(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.
解首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4，
所以面积为16π，
该圆对应的渐开线的参数方程是xy＝＝44csions
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y). 显然，点M由角φ惟一确定.
梳理圆的渐开线及其参数方程
(1)定义
把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆
相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.
(2)参数方程设基圆的
半
径
为
r
，
圆
的
x＝rcos φ＋φsin φ，渐y＝开rsi线n φ－的φco参s φ数
φ＋4φsin φ－4φcos
φ， φ
(φ 为参数).
1234
解答
规律与方法
1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角. 2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程. 3.由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示.

新人教A版数学选修4-4渐开线与摆线

故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ），
(φ φ）
为参数，其中
k∈N*)．
[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过
一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数
方程．
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
为：xy＝＝22（（1φ－－csoins
故 A，B 两点间的距离为
|AB|＝
32π＋1－π2－12＋（1－1）2＝
（π＋2）2＝π＋2.(10 分)
归纳升华因为摆线的参数方程不宜化为普通方程，所以求交点坐标问题一般先求出参数 t，然后代入参数方程求出 x，y，注意参数 t 的取值范围．
[变式训练] 已知一个圆的摆线方程是 xy＝＝44－ φ－4c4ossinφφ，(φ 为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．
(4)圆的渐开线和 x 轴一定有交点而且是唯一的交点．( )
解析：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
[变式训练] 已知圆的渐开线的参数方程 x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：对照渐开线参数方程可知半径 r＝3. 答案：3
类型 2 摆线的参数方程(互动探究) [典例 2] 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程．解：由 y＝0 知，r(1－cos φ)＝0，因为 r≠0，所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．代入 x＝r(φ－sin φ)＝1，得 2kπr＝1(k∈Z)．由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，

2017_2018学年高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线教学案新人教A版选修4_4

答：3
2．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A，B对应的参数别离是和，求A，B两点的距离．
解：依照条件可知圆的半径是1，因此对应的渐开线参数方程是 (φ为参数)，
别离把φ＝和φ＝代入，可得A，B两点的坐标别离为A ，B .
那么，依照两点之间的距离公式可得A，B两点的距离为
因此
这确实是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地转动时圆周上一个定点的轨迹．
(2)依照圆的摆线的概念和成立参数方程的进程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相关于某必然点运动所张开的角度大小．
3．摆线 (0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是________．
因此有
这确实是所求圆的渐开线的参数方程．
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳索外端运动时绳索上的定点M相关于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为一般方程．
1．已知圆的渐开线的参数方程 (φ为参数)，那么此渐开线对应基圆的半径是________．
解析：圆的渐开线的参数方程可化为 (φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确信，从方程不难看出基圆的半径r＝3.
解析：关于直线y＝x对称的函数互为反函数，而求反函数的进程要紧表现了x与y的互换，因此要写出摆线方程关于y＝x对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换．
答案： (φ为参数)
6．已知圆的渐开线的参数方程是 (φ为参数)，那么此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．
由于圆在转动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，

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