(完整版)导数与函数的极值、最值(共30张PPT)

——[通·一类]—— 2．函数 y＝2x3－2x2 在区间[－1,2]上的最大值是________．
解析：y′＝6x2－4x，令 y′＝0，得 x＝0 或 x＝23. ∵f(－1)＝－4，f(0)＝0， f(23)＝－287，f(2)＝8. ∴最大值为 8. 答案：8
考向三 函数极值与最值的综合问题
f(x)在(0，e
1 n
)上是增函数；
当
x>e
1 n
时，有
f′(x)<0，得
f(x)在(e
1 n
，＋∞)上是减函数．
故
f(x)在
x＝e
1 n
处取得最大值
f(e
1 n
)＝n1e.
——[悟·技法]——
求函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a，b)内的极值； (2)求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)； (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为 最大值，最小的一个为最小值．
[互动讲练型] [例 3] (2016·全国甲，理 21)(1)讨论函数 f(x)＝xx－＋22ex 的单 调性，并证明：当 x>0 时，(x－2)ex＋x＋2>0； (2)证明：当 a∈[0,1)时，函数 g(x)＝ex－xa2x－a(x>0)有最小 值．设 g(x)的最小值为 h(a)，求函数 h(a)的值域．
x .
∴f′(1)＝a，又切线斜率为 1，故 a＝1.
由曲线 y＝f(x)过点(1,0)，有 f(1)＝b＝0.故 a＝1，，f′(x)＝1－xnn＋l1n
x .
令
f′(x)＝0，即
1－nln
x＝0，解得
x＝e
1 n
.
当
0<x<e
1 n
时，有
f′(x)>0，得
考向一 利用导数研究函数的极值[自主练透型] [例 1] 已知函数 f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程； (2)求函数 f(x)的极值．
[解析] 函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax. (1)当 a＝2 时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2x(x>0)， 因而 f(1)＝1，f′(1)＝－1， 所以曲线 y＝f(x)在点 A(1，f(1))处的切线方程为 y－1＝－(x －1)，即 x＋y－2＝0.
(2)由 f′(x)＝1－ax＝x－x a，x>0 知： ①当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)为(0，＋∞)上的增函数， 函数 f(x)无极值； ②当 a>0 时，由 f′(x)＝0，解得 x＝a. 又当 x∈(0，a)时，f′(x)<0；当 x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为 f(a)＝a－ aln a，无极大值． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)无极值； 当 a>0 时，函数 f(x)在 x＝a 处取得极小值 a－aln a，无极大 值．
——[悟·技法]——
求函数 f(x)极值的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求导数 f′(x)； (3)解方程 f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)＝0 的根 x0 左右两侧值的符号， 如果左正右负，那么 f(x)在 x0 处取极大值，如果左负右正，那么 f(x)在 x0 处取极小值．
即 y＝f′(x)关于直线 x＝－a6对称．
从而由题设条件知－a6＝－12，即 a＝3. 又由于 f′(1)＝0，即 6＋2a＋b＝0， 得 b＝－12.
(2)由(1)知 f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1， 所以 f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)， 令 f′(x)＝0，即 6(x－1)(x＋2)＝0，解得 x＝－2 或 x＝1. 当 x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0， 即 f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 当 x∈(－2,1)时，f′(x)<0， 即 f(x)在(－2,1)上单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 即 f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 从而函数 f(x)在 x＝－2 处取得极大值 f(－2)＝21， 在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－6.
(2)g′(x)＝x－2exx＋3 ax＋2＝x＋x32(f(x)＋a)． 由(1)知，f(x)＋a 单调递增．
对任意 a∈[0,1)，f(0)＋a＝a－1<0，f(2)＋a＝a≥0.
因此，存在唯一 xa∈(0,2]， 使得 f(xa)＋a＝0，即 g′(xa)＝0. 当 0<x<xa 时，f(x)＋a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当 x>xa 时，f(x)＋a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增． 因此 g(x)在 x＝xa 处取得最小值，最小值为 g(xa)＝exa－ax2axa＋1＝exa＋fxxaa2xa＋1＝xae＋xa2.
考向二 利用导数研究函数的最值 [例 2] (2017·湖北省七市(州)联考)设 n∈N*，a，b∈R，函
数 f(x)＝alxnn x＋b，已知曲线 y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程为 y＝ x－1.
(1)求 a，b； (2)求 f(x)的最大值．
[解析]
(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a1－xn＋n1ln
[解析] (1)f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f′(x)＝x－1x＋x2＋e2x－2 x－2ex＝xx＋2e2x2≥0， 当且仅当 x＝0 时，f′(x)＝0， 所以 f(x)在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当 x∈(0，＋∞)时，f(x)>f(0)＝－1. 所以(x－2)ex>－(x＋2)，(x－2)ex＋x＋2>0.
——[通·一类]—— 1．设 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1 的导数为 f′(x)，若函数 y＝f′(x)
的图象关于直线 x＝－12对称，且 f′(1)＝0. (1)求实数 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
解析：(1)因为 f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1， 故 f′(x)＝6x2＋2ax＋b， 从而 f′(x)＝6（x＋a6）2＋b－a62，