第四章时间响应分析

1 G
s

a0 s2

lim
a0
s 2Gs

a0 s2k
?
s0
lim s v
s0
三种典型输入信号下的稳态误差与系统型别之间的规律
系统型别 v
0 Ⅰ Ⅱ
阶跃输入 r0 •1t
r0 1 k
0
0
斜坡输入
v0 t •1t
∞
v0 k
0
Ⅲ
0
0
抛物线函数输入
a0t 2 / 2
∞
∞
四．二阶系统响应的性能指标
图15 二阶欠阻尼系统响应的性能指标
1.上升时间 tr 2.峰值时间 t p
3.最大超调量 M p
4.调整时间 ts
5.振荡次数 N
四．二阶系统响应的性能指标
1.上升时间 tr ：响应曲线从原始工作状态出发，第一次达到输
出稳态值所需的时间
2.峰值时间 t p：响应曲线达到第一个峰值所需的时间
结论：
1.要使二阶系统具有满意的动态性能指标，必须选择合
适的阻尼比 和无阻尼固有频率 n，提高n可以提
高二阶系统的响应速度，减少上升时间、峰值时间、
和调整时间；增大 可以减弱系统的振荡性能，但
是会增大上升时间和峰值时间。
k 现2的.n， 另mk 外，由所于以
n

2的cm提k，高所，以一增般大是通，过当提然高希望k 减值小来实，
慢。
图6一阶系统的性能指标
例1：已知
G1 s

1 10s 1
，G2 s

s
1 1
，将此两环节串联在
一起，求系统的单位阶跃响应。
极点分布
单位阶跃响应
当两极点到虚轴的垂直距离的 比值超过5倍时，远离虚轴的 极点在瞬态响应中的作用可近 似的忽略不及。并且靠虚轴最 近的一个或一对极点周围没有 零点时，我们可以把多个极点 的高阶系统，近似简化成一阶 或二阶系统来讨论.
m, k, c
4.4稳态误差分析与计算
所谓准确性它指瞬态响应结束后，实际的输出与希望的 输出量之间的偏差——稳态误差， 一．稳态误差的定义
拉氏变换为 E1s X or s X o s
拉氏变换为 Es X i s Bs X i s H sX o s
系统的响应为持续的等幅振荡。系统的响应具有振荡特性。
3. 1 ，称为临界阻尼状态， 4. 1 ，称为过阻尼状态，
临界阻尼和过阻尼状态下，系统的响应均无振荡。
二阶系统的响应特性完全由 n和 这两个特征量来描述，
所以说 n 和 是二阶系统的重要结构参数。
二．二阶系统的单位阶跃响应
T RC
一旦 T 确定，系统传递函数的分母 Ts 1也就确定，所 以说 T 是一阶系统的特征参数，它表达了一阶系统本 身的与外界作用无关的固有特性。因此不论一阶系统的
输入如何，一阶系统传递函数的分母是不变的。
二．一阶系统的单位阶跃响应
X
ou
s

GsX
i
s

1 Ts
1
•
1 s
取拉氏反变换，就可得到单位阶跃输入的时间响
1
t2
Tt
T
2
e

t T
2
如果输入函数等于某一函数 的积分，则该输入函数的响 应函数等于这一函数的响应 函数的积分，但是如果为不 定积分，则还需确定积分常 数。 如果输入函数等于某一函数 的微分，则该输入函数的响 应函数等于这一函数的响应 函数的微分。
例1：已知系统的单位脉冲响应函数为
w t 10e0.2t 5e0.5t
二．稳态误差的计算
根据终值定理 ess lim et lim sEs
e
s0
Es

X or
s
X
o
s

1
H s
Xi
s
1
Gs GsH s
Xi
s

H s1
1
GsH s
X
i
s
ess

lim sEs
s0
lim
例1
如图1所示是一简单的振动系统
••
系统的动力学方程： m yt kyt F cost
yt
y•0
n
s
in

n
t

y0cosnt

F k
•1
1 2
cosnt

F k
•1
1 2
cost
系统的时间响应可以从两方面分类 1.按振动性质可分为自由响应与强迫响应 2.按振动来源可分为 零输入响应：没有输入时系统的初始状态引起的响应。 零状态响应：没有输入时系统的初始状态为零，而由
可见系统的响应速度与振荡性能之间是存在矛盾的。因
此即要减弱系统的振荡性能，又要系统具有一定的响应
速度，那就只有选择合适的 n 和 才能实现。
四．二阶系统响应的性能指标
1.上升时间
tr
d
n 1 2
当

一定时，
n增大，t
r
减小；当


n
一定时，
增大，t r
s0
s
H
s
1

1
Gs
H
s

X
i
s

k0.5s 1
例5：已知单位反馈系统的开环传递函数为 ss 12s 1 ，当输入信
号 xi t t时，求系统的稳态误差。
三．输入信号作用下的稳态误差与系统结构的关系
GsH s

k1s 1 2s 1 sv T1S 1T2 S 1

m 1 Tnv s 1
V为开环传递函数中包含积分环节的数目
v 0 的系统称为0型系统
v 1 的系统称为Ⅰ型系统 v 2 的系统称为Ⅱ型系统
稳态误差与系统的型别有关，下面分析三种不同输入信号输 入时系统的稳态误差。
为了便于说明，我们以单位反馈系统 H s 1的情况进行讨论
第四章时间响应分析
本章主要内容 ☆ 典型时间信号 ☆ 一阶系统的时间响应 ☆ 二阶系统的时间响应 ☆ 系统的误差分析与计算 本章重点与难点 ☆ 一阶系统的单位阶跃响应 ☆ 二阶系统的单位阶跃响应 ☆ 二阶系统的性能指标 ☆ 稳态误差分析与计算
本章首先建立时域分析的基本概念，时域分 析问题的提法和描述，明确任务；其次，以一 阶系统和二阶系统为例对其进行基于时域的分 析，一方面学习时域分析的基本方法，另一方 面一阶、二阶系统也有其典型性，对它们的分 析有利于对一般线性系统性能分析的掌握；其 次介绍瞬态响应的性能指标，最后介绍稳态误
3.最大超调量M p ：响应曲线上超出稳态值的最大偏离量 4.调整时间 ts ：在响应曲线的稳态值附近取稳态值的 5％或 2％ 作为误差带，响应曲线达到并不再超出误差带范围，所需要的最 小时间。
5.振荡次数 N ：在过渡过程时间 0 t ts内，xo t 穿越其稳态
值的次数的一半。


例2：已知 ＝0.6，n ＝5，求系统的性能指标。
例3:如后图，所m 示的时a间的响机应械x系o t统如，图在b质量所示m 上，施求加系阶统跃的力m,xki
t
,c

8.9
N
a
例4：如图 a 所示的机械系统，在质量 m 上施加的阶跃 力3N 后，m 的时间响应 xt 如图b 所示，求系统的
1.单位阶跃信号 2.单位脉冲信号
5.正弦信号
3.单位斜坡信号（单位速度信号） 4.单位抛物线信号（单位加速度信号）
4.3一阶系统的时间响应
一．一阶系统的数学模型
由一阶微分方程 T
dx0 t
dt
x0 t
xi t
描述的系统
称为一阶系统。
传递函数
Gs 1
Ts 1
T

1 k
线中，以 1时的过渡时间最短，
在欠阻尼系统中，当 0.4～0.8时，
不仅其过渡时间比 1 时更短，
而且振荡不太严重。
图13不同 下二阶系统的单位阶跃响应曲线
由图可知二阶系统的单位阶跃函数的过渡过程随着阻尼比
的减小，其振荡特性表现的愈加强烈，
三．二阶系统的单位脉冲响应
图14不同 下二阶系统的单位脉冲响应曲线
输入引起的响应。
4.2典型输入信号
确定性信号是其变量和自变量之间的关系能够用 某一确定性函数描述的信号。
非确定性信号是其变量和自变量之间的关系不能 用某一确定性函数描述的信号，也就是说它的 变量与自变量之间的关系是随机的，不能用确 定的函数关系来表示。
研究系统的动态特性就是研究系统在输入信号作 用下，输出量怎样按输入量的作用而变化的， 也就是系统对输入如何产生响应。
差分析与计算。
4.1时间响应及其组成
时间响应：系统在输入信号的作用下，其输出随时间 的变化过程。 输入引起的时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组 成。
瞬态响应是指系统在某一输入信号作用下，系统输出 从初始状态到稳定状态的响应过程。
t 稳态响应是指时间 趋于无穷大时，系统的输出稳
定状态
分析系统瞬态响应方法： 1.直接求解法 2.间接求解法 3.计算机仿真法
☆ 稳态误差与系统型次有关。型次越高，稳态误差越 小； ☆ 稳态误差与系统开环增益有关。开环增益越大，稳 态误差越小； ☆ 当系统存在几个输入作用时，可按叠加原理进行计 算。系统存在干扰作用时，总的误差等于给定输入和 干扰分别作用引起的误差之和； ☆ 单位反馈系统稳态误差和稳态偏差相同。
主要讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应
令 arctan
1 2
，
角是系统的极点向量与负实轴的夹角，
图9 欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
图10零阻尼状态二阶系统单位阶跃响应曲线
当 0 时是等幅振荡；在 1和 1 时，二阶系统的过渡过程具
有单调上升的特性。从过渡过程的持 续时间来看，在无振荡单调上升的曲
s1

1
GsH
s
X
i
s

lim
s0
1

1
Gs
v0 s

lim
v0
sGs

s0
v0 sk
lim sv
?
3.输入抛物线信号
xi
t

1 2
a0t 2
X
i
s

a0 s3
s0
ess
lim s s0
H
s
1

1 G
s
H
s

X
i
s


lim
s0
1
a0 k
0
例：单位反馈系统开环传递函数Gs

10
s 2 s
4
，当输入信号
为xi t 4 6t 3t 2 时，系统的稳态误差
例：单位反馈系统开环传递函数Gs

10
ss
4
，当输入信号
为xi t 4 6t 3t 2 时，系统的稳态误差
结论： ☆ 稳态误差与输入信号有关；
三．一阶系统的单位脉冲响应
当系统的输入信号为理想的单位脉冲信号时，系
统的输出称为单位脉冲响应函数
wt

1
t
eT
T
t 0
图7 一阶系统单位脉冲响应 图8 不同时间常数下的响应情况
四．响应之间的关系
xi t
t
1
t
1 t2 2
xo t
1
t
eT
T
t
1e T
t
t T Te T
求（1）系统的传递函数 （2）确定系统的单位阶跃响应达到稳态值 的 95％所需要的时间
4.3二阶系统的时间响应
一．典型二阶系统的数学模型
n ——无阻尼固有频率
——阻尼比
随着阻尼比 取值的不同，二阶系统的特征根也不同。
1. 0 ，零阻尼状态
2. 0 1，称为欠阻尼状态
1.时间常数T T的大小反映一阶系统惯性的大小 T小惯性小，T大惯性大。
2.调整时间
一阶系统在阶跃输入作用下，达
到稳态值的 1 所需要的时间 （ 为允许误差）
图5 不同时间常数下的响应情况 2％时，ts 4T；
5％时，ts 3T；
调整时间反映系统响应的快速性， T 越大系统的惯性越大，调整时间越长，响应越
应为


xo u
t


L1
1 Ts
1
•
1 s

L1
1

s


s
1 1
T


1
t
eT
t 0
一个是A点，其对应的时间t T
系统的响应达到了稳态值的63.2％；
另外一个是零点，其对应的t 0 指数曲线在那一点的切线斜率等于
1
图4一阶系统单位阶跃响应 T
增大
2.峰值时间
3.最大超调量
tp

d

n
1 2
Mp

x0
t
p
x0
x0


100％=
4

e
1 2
100％
3
4.调整时间
0.02
ts

n
0.05
ts

n
5. 振荡次数
0.02
2 N
1 2
0.05 N 1.5 1 2
1．输入阶跃信号
X
i
s

r0 s
稳态误差
ess

lim
s0
s
H
s
1

1
Gs
H
s

X
i
s


lim
s0
s
1

1
Gs

r0 s
2．输入斜坡信号
Xi
s

v0 s2

1

r0 lim
Gs

s0
1

r0 lim

k sv
s0
＝？

ess
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lim
s0
s
H