D8.2偏导数与全微分

在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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20
由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
解： z 2x 3y ; z 3x 2y .
x
y
z x
x1 y2
21 3 2 8 ,
z y
x 1 y2
31 2 2 7 .
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6
例2 . 设 f (x, y) x2 cos(1 y) ( y 1) sin x 1 y
求函数在点(1 , 1) 处的偏导数.
第二节
第八章
偏导数与全微分
一、 偏导数概念及其计算 二 、偏导数的几何意义 三 、偏导数与连续的关系 四 、高阶偏导数 五 、全微分
一、 偏导数定义及其计算法
一元函数 : y f (x)
在x0点导数 :
f
(x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
问题 : 对z f (x, y)怎样定义导数?
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29
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法
先代后求
先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 d u u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u d z
z
记作
dz u
d x u , d y u , d z u称为偏微分. 故有下述叠加原理
du dx udy udz u
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y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
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z , y
f , y
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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4
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
证：z f (x x, y y) f (x, y)
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
(
1 2
cos
y 2
ze yz )d
y
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例9. 设函数
求其偏导数。
解: dz d(x2 y) d(xy2 ) (2xydx x2dy) ( y2dx 2xydy)
(2xy y2 )dx (x2 2xy)dy
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z 2xy y2 x z x2 2xy y
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在点x, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微 (2) 偏导数连续
偏导数存在 函数可微
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定理 (必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
注意: f x f (x0 )
(x0, y0 ) lim f
x 0
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
x
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 x x0
)
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3
同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
[ f (x, y y) f (x, y)]
fx (x 1x, y y)x f y (x, y 2y)y ( 0 1 , 2 1 )
[ fx (x, y) ]x [ f y (x, y) ]y
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lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
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解: f (x,1) x2 f x (1,1)
f (1, y) cos(1 y) f
x (1, 1)
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7
例3. 设
求 z , x , y x y z
解: z x y , z y
x
x z, y
x y
z y2
说明: 此例表明, 偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
2z x2
ex2y
2z 2ex2y yx
z 2ex2y y
2z 2ex2y x y
2 z y2
4ex2y
注意:此处 2 z 2 z , xy yx
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13
例5.设
f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
11
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
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例4. 求函数 z ex2y 的二阶偏导数.
解 : z ex2y x
分子与分母的商 !
？ z
x
xy y z
y (
z y2
)
1 x
z 1 xy
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8
二、二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
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例7. 计算函数
在点 (2,1) 处的全微分.
解: z yexy , x
z xexy y
z x
(2,1)
e2 ,
z y
(2,1) 2e2
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例8. 计算函数
的全微分.
解: u 1 x
u 1 cos y ze yz y 2 2
u ye yz z
du
求 fxy (0,0) , f yx (0,0) .
解：
fx (x, y)
f y (x, y)
y
x4
4x2 (x2
y2 y2 )2
y4
,
0,
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0
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例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
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例1 . 求 z x2 3xy y2 在点 (1,2) 处的偏导数.
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
的偏导数，记为
f x
(x0 ,
y0
)
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
lim
y 0
y y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
x0
x x
1
不 等
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定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则
f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
,求
fx (x,
y),
f y (x,
y)
解: 当 x2 y2 0 时，
f
x
(
x,
y)
x
x2 y x2 y2
f
y
(
x,
y)
y
x2 y x2 y2
x 2( x2 (x2
o
x0
y0
y
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
x
是曲线
斜率.
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在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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三、偏导数与连续的关系
一元函数中在某点可导
连续，
多元函数中在某点偏导数存在
例如,
z
f
(x, y)
xy
x2
y2
,
0 ,
显然
连续，
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
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令y 0, Ax o ( x )
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注意: 定理1 的逆命题不成立 . 即:
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例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u
2u x2
2u y2
2u z2
0
证：
r2
2u x2
1 r3
3 r
x
4
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r x
1 r3
3x2 r5
利用对称性
,
有
2u y2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z2
1 r3
3z2 r5
2u x2
2u y2
2u z2
3 r3
3(
x2
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(z y
)
2z y2
f y y (x, y)
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24
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
注意到
x y
, 故有
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
所以函数
在点 可微.
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25
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
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30
3. 微分定义:
z
o()
(x)2 (y)2
d z fx (x, y)dx f y (x, y)dy
4. 重要关系: 函数连续
函数可导
函数可微
偏导数连续
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31
思考与练习
1.设 f
(x,
y)
x2 y x2 y2
x2 y2 0 x2 y2 0
0
0
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在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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10
四、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
y2 r5
z2
)
0
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五、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，Ax B y 称为函数 f (x, y)
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
14
fx (x, y) f y (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x
x4 4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)