专题14+统计易错大全-决胜高考数学之破解高考命题陷阱+Word版含解析

一．知识列表本讲模块高考考点高考要求了解理解掌握 古典概型频率估计概率A 互斥事件与对立事件C 古典概型 C 几何概型长度型几何概型B 面积型几何概型C 体积型几何概型B 统计回归直线 B 独立性检验C离散型随机变量的分布列及期望方差C二．基础知识： 古典概型 1．频率和概率(1)在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则n 次试验中事件A 出现的次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例()n mf A n=为事件A 出现的频率； (2)如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，把这个常数记为()P A ，称为事件A 的概率.简称为A 的概率；(3)频率和概率有本质区别，频率随试验次数的改变而变化，概率却是一个常数；对于给定的事件A ，由于事件A 发生的频率()n f A 随着试验次数的增加稳定于概率()P A ，因此可以用频率()n f A 来估计概率()P A .概率的取值范围：0()1P A ≤≤ 2.互斥事件：如果AB 为不可能事件A B φ=，则称事件A 与事件B 互斥，即事件A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生. 互斥事件的概率加法公式：()()()()P A B P A B P A P B =+=+1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++3.对立事件：若A B 为不可能事件，而A B 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件，其含义是事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生. 对立事件的概率：()1()P A P A =- 4.古典概型(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件. 基本事件的特点：① 任何两个基本事件是互斥.②任何事件都可以表示成基本事件的和. (2)古典概型的两大特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ； ②每个基本事件出现的可能性相等． 5.古典概型的概率计算公式：() A mP A n==包含的基本事件个总的基本事件个数数 (n 为总的基本事件个数，m 为事件A 的结果数)．6. 几何概型 (1)几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． (2)几何概型的概率公式() A P A =试验的全部结果所构构成事件的区域长度成的的区域的长度（（面积或面积体积）或体积）7.统计1．抽样方法(1)抽样要具有随机性、等可能性，这样才能通过对样本的分析和研究更准确的反映总体的情况，常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．(2)简单随机抽样是指一个总体的个数为(较小的有限数)，通过逐个抽取一个样本，且每次抽取时每个个体被抽取的概率相等．简单随机抽样的两种常用方法为抽签法和随机数表法．(3)分层抽样是总体由差异明显的几部分组成，常将总体按差异分成几个部分，然后按各部分所占比例抽样，其中所分成的各部分叫做层．(4)系统抽样是当总体中的个数较多时，将总体均分成几部分，按事先按确定的在各部分抽取． 2．总体分布的估计(1)作频率分布直方图的步骤：①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差) ②决定组距与组数 ③将数据分组 ④列频率分布表(下图)⑤画频率分布直方图，将区间[)a b ，标在横轴上，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画矩形，共得k 个矩形，这样得到的图形叫频率分布直方图．频率分布直方图的性质：①第i 个矩形的面积等于样本值落入区间1[)i i t t －，的频率；②由于121k f f f ＋＋＋＝，所以所有小矩形的面积的和为1.(2)连接频率分布直方图中各小长方形上边的中点，就得到频率分布折线图，随着样本容量的增加，折线图会越来越近似于一条光滑曲线，称之为总体密度曲线．(3)统计中还有一种被用来表示数据的图叫茎叶图，茎是中格中间的一列数，叶是从茎旁边长出来的一列数. 用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是从统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示． 3．平均数和方差的计算(1)如果有n 个数据12n x x x ⋯，，，，则121()n x x x x n=+++ 叫做这组数据的平均数，2222121[())()]n s x x x x x x n=+-+(-+-叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差． (2)公式22222121[()]n s x x x nx n=+-++(3)当一组数据12n x x x ⋯，，，中各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到11x x a '＝－，22x x a '＝－，…，n n x x a '＝－，则'22'2'2'2121[()]n s x x x nx n=+-++4．利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数值. (2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和. (3)众数：最高的矩形的中点的横坐标. (4)极差＝最大数－最小的数. 5.两个变量的相关关系(1)如果两个变量之间没有函数关系所具有的确定性，它们的关系带有随机性，则称这两个变量具有相关关系.(2)有相关关系的两个变量，若一个变量的值由小到大时，另一个变量的值也是由小到大，这种相关称为正相关；反之，一个变量的值由小到大，另一个变量的值由大到小，这种相关称为负相关.(3)如果散点图中，具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，则称这两个变量具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，方程为其中 1221()ˆni ii nii x y nx ybxn x ==-⋅=-∑∑ ˆˆay bx =- (4)样本的相关系数12211()()ni i i n niii i x y nx yr x x y y ===-⋅=-⋅-∑∑∑当0r >时，表示两个变量正相关，当0r <时，表示两个变量负相关，||r 越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；||r 越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常当||0.75r >时，认为两个变量有很强的线性相关关系. 6.独立性检验 (1)分类变量用变量的不同“值”，表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量.例如：是否吸烟，宗教信仰，国籍等.(2)列联表：即列出两个分类变量的频数表：一般地，假设有两个分类变量x 和y ，它们的值域分别为12{,}x x 和12{y ,}y ，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：其中n a b c d =+++为样本容量.(3)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度，具体做法是：根据观测数据计算由公式22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++所给出的检验随机变量的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，同时可以利用以下数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.这种利用随机变量2K 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 3.典例分析例1.经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：(2)至少3人排队等候的概率是多少. 【答案】C【解析】记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件,,,,,A B C D E F 互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G A B C =++，所以()()()()0.10.160.30.56P G P A P B P C =++=++=.(2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H D E F =++，所以()()()()0.30.10.040.44P H P D P E P F =++=++=.方法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以()1()10.560.44P H P G =-=-=.练习1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件. (1)“3件都是二级品”是什么事件？ （2）“3件都是一级品”是什么事件？ （3）“至少有一件是一级品”是什么事件？【答案】（1）不可能事件（2）随机事件（3）必然事件【解析】 （1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件.（2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品. 练习2.盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？ （2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？ （3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 【答案】（1）0，（2）49（3）1例2. 已知,,a b c 为集合{1,2,3,4,5,6}A =中三个不同的数，通过右边框图给出的一个算法输出一个整数a ，则输出的数5a =的概率是（ ）A.25 B. 110 C. 25 D. 15【答案】A【解析】根据框图判断，本框图输出的a为输入的三个数,,a b c中的最大值最大值是3的情况，输入的三个数为1，2，3 ， 1种情况最大值是4的情况，输入的三个数为1，2，3里两个以及4 ，3种情况最大值是5的情况，输入的三个数为1，2，3，4里两个数以及5 ，6种情况最大值是6的情况，输入的三个数为1，2，3，4，5里两个数及6，10种情况5a 的概率= 25.故答案为25.练习1.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为A. 12B.1532C.1132D.516【答案】C故答案选C练习2. 一鲜花店一个月（30天）某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下：日销售量（枝）0～49 50～99 100～149 150～199 200～250 销售天数（天）3天3天15天6天3天将日销售量落入各组区间的频率视为概率．（1）试求这30天中日销售量低于100枝的概率；（2）若此花店在日销售量低于100枝的6天中选择2天作促销活动，求这2天的日销售量都低于50枝的概率（不需要枚举基本事件）． 【答案】（1）15;（2）15【解析】（1）设日销售量为x ，则()310493010P x ≤≤==， ()31501003010P x ≤<==． 由互斥事件的概率加法公式，()()0100049P x P x ≤<=≤≤ ()1115010010105P x +≤<=+=． 注：直接按照古典概型的计算公式，得()3310100305P x +≤<==．同样给分．（2）日销售量低于100枝共有6天，从中任选两天促销共有15n =种情况；日销售量低于50枝共有3天，从中任选两天促销共有3m =种情况． 由古典概型的概率计算公式，所求概率31155P ==． 【防陷阱措施】求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.例3.在区间[]0,4上随机地选择一个数p ，则方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为（ ） A.13 B. 23 C. 12 D. 14【答案】【解析】方程2380x px p -+-=有两个正根，则有12120 0x x x x ⎧⎪⎨∆≥>>⎪⎩+，即解得8p ≥或843p <≤，又[]0,4p ∈，由几何概型概率公式可得方程2380x px p -+-=有两个正根的概率为8413403p -==-，故选. 练习1. 在棱长为a 的正方体中随机地取一点P ，则点P 与正方体各表面的距离都大于3a的概率为 ( )A. 127B. 116C. 19D. 13【答案】A【解析】符合条件的点P 落在棱长为3a的正方体内， 根据几何概型的概率计算公式得331327a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭==练习2. 正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（ ） A. ,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D当1x = 时， cos α 取最小值1,23πα=. 因为11//BC AD . 故选D.例4. 太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.136 B. 118 C. 112 D. 19【答案】B【解析】设大圆的半径为R，则：126226TRππ==⨯=，则大圆面积为：2136S Rππ==，小圆面积为：22122Sππ=⨯⨯=，则满足题意的概率值为：213618pππ==.本题选择B选项.练习1. 北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：“我亦无他，唯手熟尔.”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半径为1.2cm的圆，中间有边长为0.4cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油滴（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）A.49πB.19πC.56πD.16π【答案】B【解析】概率为几何概型，测度为面积,概率220.411.29ππ==，选B.练习2. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是（）A.916B.12C.716D.38【答案】由几何概型概率公式得()1818=12424SP ASΩ⨯=-⨯阴影7=16，即这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为716，选. 【防陷阱措施】求解几何概型的概率问题，一定要正确确定试验的全部结果构成的区域，从而正确选择合理的测度，进而利用概率公式求解. 几何概型应注意：(1)求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解； (2)依据几何概型的特点判断基本事件应从“等可能”的角度入手，选择恰当合理的观察角度； (3)求与角度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化成角度，然后求解.例5. 双十一网购狂欢，快递业务量猛增．甲、乙两位快递员11月12日到18日每天送件数量的茎叶图如图所示．（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个快递员的平均送件数量较多（写出结论即可）； （Ⅱ）求甲送件数量的平均数；（Ⅲ）从乙送件数量中随机抽取2个，求至少有一个送件数量超过甲的平均送件数量的概率．【答案】（Ⅰ）乙快递员的平均送件数量较多（Ⅱ）254x =（Ⅲ）2021【解析】（Ⅰ）由茎叶图知甲快递员11月12日到18日每天送件数量相对乙来说位于茎叶图的左上方偏多， ∴乙快递员的平均送件数量较多． （Ⅱ）甲送件数量的平均数：()12442462512532542622682547x =++++++=（1）根据直方图计算需求量的中位数； （2）估计利润T 不少于100元的概率； 【答案】(1)85个;(2) 0.75;(3)142.设利润T 不少于100元为事件A ，利润T 不少于100元时，即4180100X -≥， ∴70X ≥，即70110X ≤≤，由直方图可知，当70110X ≤≤时， 所求概率： ()()()110.02570600.75P A P A =-=-⨯-=练习2. 2017年“十一”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（/km t ）分成六段： [)60,65， [)65,70， [)70,75， [)75,80， [)80,85， [)85,90，后得到如图的频率分布直方图．（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[)60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率． 【答案】（1）77.5， 77.5．（2）815P =．（2）从图中可知，车速在[)60,65的车辆数为： 10.015402m =⨯⨯=（辆）， 车速在[)65,70的车辆数为： 20.025404m =⨯⨯=（辆），设车速在[)60,65的车辆设为a ， b ，车速在[)65,70的车辆设为c ， d ， e ， f ，则所有基本事件有：(),a b ， (),a c ， (),a d ， (),a e ， (),a f ， (),b c ， (),b d ， (),b e ， (),b f ， (),c d ， (),c e ，(),c f ， (),d e ， (),d f ， (),e f 共15种，其中车速在[)65,70的车辆恰有一辆的事件有： (),a c ， (),a d ， (),a e ， (),a f ， (),b c ， (),b d ，(),b e ， (),b f 共8种．所以，车速在[)65,70的车辆恰有一辆的概率为815P =． 例6. 某媒体为调查喜爱娱乐节目A 是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：（1）根据该等高条形图，完成下列22⨯列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关？（2）从性观众中按喜欢节目A 与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的概率． 附：()2P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关；（2）25． 【解析】（1）由题意得22⨯列联表如表：喜欢节目A不喜欢节目A总计 男性观众 24 6 30 女性观众 15 15 30 总计392160假设0H ：喜欢娱乐节目A 与观众性别无关，则2K 的观测值()26024151565405.934 3.8413921303091k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关． （2）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A 的人数为524430⨯=，不喜欢节目A 的人数为56130⨯=．被抽取的喜欢娱乐节目A 的4名分别记为a ， b ， c ， d ；不喜欢节目A 的1名记为B ．则从5名中任选2人的所有可能的结果为： {},a b ， {},a c ， {},a d ， {},a B ， {},b c ， {},b d ， {},b B ， {},c d ， {},b c ， {},d B 共有10种，其中恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的有{},a B ， {},b B ，{},b c ， {},d B 共4种，所以所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的观众的概率是42105=．使用年限x 2 3 45 6 维修费用y24567（1）求,x y ；（2）线性回归方程y bx a =+；（3）估计使用10年时，维修费用是多少？ 附：利用“最小二乘法”计算,a b 的值时,可根据以下公式：1221()ˆni ii nii x y nx ybxn x ==-⋅=-∑∑ ˆˆay bx =- 【答案】（1）4, 4.8x y == (2) 1.2y x = （3）维修费用为12万元【解析】试题分析：（1）利用x y ，的计算公式即可得出；（2）利用b Λ的计算公式得出结果，再求a Λ； （3）利用第（2）问得出的回归方程，计算x=10时的结果.（3）当x=10时，y=12，所以该设备使用10年，维修费用为12万元.练习2. ．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下联表：参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++参照附表，在犯错误的概率最多不超过__________（填百分比）的前提下，可认为“该种疫苗由预防埃博拉病毒感染的效果”． 【答案】5%【解析】由题意可得， ()2210010302040 4.762 3.84150503070k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过050的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”，故答案为050.【方法点睛】本题主要考查独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）【防陷阱措施】1.频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和等知识．把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视． 2.求解回归方程问题的三个易误点：① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(,)x y 点，可能所有的样本数据点都不在直线上．③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)． 类型7.两点分布例7. 抛掷一枚硬币，记1,{1,X =-正面向上反面向上，则()E x =（ ）12【答案】【解析】()()1111022E X =⨯+-⨯= ,选 练习1.设某项试验的成功率是失败率的倍，用随机变量描述1次试验的成功次数，则的值可以是________． 【答案】【解析】 这里“成功率是失败率的倍”是干扰条件，对1次试验的成功次数没有影响，故可能取值有两种，即.练习2.篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中的0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，求他一次罚球得分的分布列及均值. 【答案】p【解析】0 10.3 0.7()00.310.70.7E X =⨯+⨯=类型8超几何分布一般地，若离散型随机变量X 的分布列为X1x 2x … i x… n x P1p 2p…i p…n p则称1122()i i n n E X x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. 若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，因为()(),1,2,,i i P Y ax b P X x i n =+===所以，Y 的分布列为于是1122112212()()()()()()()()i i n n i i n n i n E Y ax b p ax b p a x b p a x b p a x p x p x p x p b p p p p aE X b=+++++++++=+++++++++++=+方差()∑=-=ni i ip EX xDX 12.方差刻画了离散型随机变量与均值的平均偏离程度.离散型随机变量分布列的性质：（1）),......3,2,1(0n i P i =≥；（2）11=∑=ni iP.一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则0,1,2,,m其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N N M n N *<≤∈，如果随机变量具有：则称随机变量X 服从超几何分布.例8. —个摊主在一旅游景点设摊，在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则为：游客从口袋中随机摸出2个小球，若摸出的小球同色，则游客获得3元奖励；若异色则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润(单位:元)的期望值是( )【答案】【解析】游客摸出的2个小球同色的概率为22232525C C C += ，所以摊主从每次游戏中获得的利润分布列为，X 1- 1P2535因此23110.255EX =-⨯+⨯= 所以选练习1. 某人喜欢玩有三个关卡的通关游戏，根据他的游戏经验，每次开启一个新的游戏，这三个关卡他能够通关的概率分别为111,,234（这个游戏的游戏规则是：如果玩者没有通过上一个关卡，他照样可以玩下一个关卡，但玩该游戏的得分会有影响），则此人在开启一个这种新的游戏时，他能够通过两个关卡的概率为__________，设X 表示他能够通过此游戏的关卡的个数，则随机变量X 的数学期望为__________． 【答案】14 1312. 【解析】随机变量X 的所有可能取值为.又()111111111121112342342344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()111101112344P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()11111111111111111123423423424P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以，随机变量X 的分布列为X0 1 2 3P14 1124 14 124随机变量X 的数学期望()1111113012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.练习2. 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________. 【答案】2710【解析】根据题意用户抽检次数的可能取值为，那么可知()()()19119881,22101091010910P P P ξξξ====⨯=∴==⨯=,故根据期望公式可知为1182712310101010⨯+⨯+⨯=， 故答案为2710类型9.期望方差例9.设非零常数d 是等差数列1239,,,,x x x x 的公差,随机变量ξ等可能地取值1239,,,,x x x x ,则方差D ξ=（ ）2103d 2203d 210d 26d【答案】【解析】因为等差数列1239,,,,x x x x 的公差是，所以111989492x x d x d ⨯⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ()()()()()()()()2222222222120D()432023493d d d d d d d d d ξ⎡⎤=-+-+-+-+++++=⎣⎦故选．【答案】83【解析】的分布列为1 3 513 13 13∵，∴83. 练习2. 已知随机变量ξ的分布列如下：ξ-1 0 1P13a b若14Eξ=，则Dξ= ( )564148C.23【答案】【解析】由数学期望计算公式有：1117101,33412a b b b-⨯+⨯+⨯=-+=∴=，由113a b++=可得：111312a b=--=，则Dξ=22211111141101434124448⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.本题选择选项.例10. 已知随机变量X的分布列为()13P X k==，1,2,3k=，则()35D X+等于( )【答案】【解析】由题意，()()112323E X=++⨯=，()()()()2221212223233D X⎡⎤∴=-+-+-⨯=⎣⎦，()()2359963D X D X∴+==⨯=，故选A.练习1. 设412341010x x x x≤<<<≤，5510x=. 随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x的概率均为0.2，随机变量2ξ取值1223344551,,,,22222x x x x x x x x x x+++++的概率也为0.2.若记()()12,D Dξξ分别为1ξ,2ξ的方差，则（）()()12D Dξξ>()()12D Dξξ=()()12D Dξξ<()1Dξ与()2Dξ的大小关系与1234,,,,x x x x的取值有关【答案】【解析】由题意可知()()1123451,5E x x x x xξ=++++()()2233445511212345115222225x x x x x x x x x xE x x x x x ξ+++++⎛⎫=++++=++++ ⎪⎝⎭，期望相等，设都为m ()()()()22225112115211,5522x x x x D x m x m D m m ξξ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=-+-=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦412341010x x x x ≤<<<≤，5510x =.∴()()12D D ξξ>练习2. 若样本数据10321,......,,x x x x 的平均数是10，方差是2，则数据12,12,12,1210321++++x x x x 的平均数与方差分别是（）【答案】所以答案为．例11. 来自某校一班和二班的共计9名学生志愿服务者被随机平均分配到运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名一班志愿者的概率是2021． （Ⅰ）求清扫卫生岗位恰好一班1人、二班2人的概率；（Ⅱ）设随机变量X 为在维持秩序岗位服务的一班的志愿者的人数，求X 分布列及期望． 【答案】（Ⅰ）514; （Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）记“至少一名一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A ，则A 的对立事件为“没有一班志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有一班志愿者x 个， 19x ≤<，那么()393920121xC P A C -=-=，解得5x =，即来自一班的志愿者有5人，来自二班志愿者4人；记“清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人”为事件C ，那么()125439514C C P C C ==， 所有清扫卫生岗位恰好一班1人，二班2人的概率是514． （Ⅱ）X 的所有可能值为0,1，2,3．()1254395114C C P X C ===， ()21543910221C C P X C ===， ()3054395342C C P X C ===， 所以X 的分布列为X1 2 3P121514 1021 542()15105012321142142E X =⨯+⨯+⨯+⨯ 53=．528 171556 27【答案】练习2.为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示：班级宏志班珍珠班英才班精英班参赛人数20 15 15 10（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；（Ⅱ）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（Ⅰ）89354P=（Ⅱ）()118177E X=（Ⅱ）由题意的X的所有可能的取值为0,1,2．则()2402602659CP XC===，()112040260801177C CP XC⋅===，()220260192177CP XC===，所以X的分布列为：X0 1 2P26598017719177()26801911801259177177177E X=⨯+⨯+⨯=．【防陷阱措施】求离散型随机变量均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差，可直接用的均值、方差的性质求解．(3)如果所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，利用它们的均值、方差公式求解．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．类型10.二项分布的期望与方差独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验。