连续函数性质

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4-02-连续函数的性质

3 2
∴ 方程x − 4 x + 1 = 0在(0,1)内至少有一根ξ .
3 2
至于方程的根的计算,以后有“闭区间套定理” 至于方程的根的计算,以后有“闭区间套定理” 予以解释,并可用所谓的“二分法” 予以解释,并可用所谓的“二分法”进行近似计算得到. 算得到.
数学家的笑话----解是存在的数学家的笑话----解是存在的 ---工程师、工程师、化学家和数学家住在一家老客栈的三个相邻房间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火, 个相邻房间里。当晚先是工程师的咖啡机着了火他嗅到烟味醒来,拔出咖啡机的电插头拔出咖啡机的电插头,将之扔出窗他嗅到烟味醒来拔出咖啡机的电插头将之扔出窗然后接着睡觉。外,然后接着睡觉。过一会儿化学家也嗅到烟味醒然后接着睡觉他发现原来是烟头燃着了垃圾桶。来,他发现原来是烟头燃着了垃圾桶。他自言自语他发现原来是烟头燃着了垃圾桶怎样灭火呢?应该把燃料温度降低到燃点以下道:“怎样灭火呢应该把燃料温度降低到燃点以下怎样灭火呢应该把燃料温度降低到燃点以下, 把燃烧物与氧气隔离.浇水可以同时做到这两点浇水可以同时做到这两点。把燃烧物与氧气隔离浇水可以同时做到这两点。” 于是他把垃圾桶拖进浴室,打开水龙头浇灭了火打开水龙头浇灭了火,就于是他把垃圾桶拖进浴室打开水龙头浇灭了火就回去接着睡觉。回去接着睡觉。
ϕ( x0 ) = u0 , 而函数 y = f ( u) 在点 u = u0 连续 , 则复合函数 y = f [ϕ( x )]在点 x = x0也连续 .
证 Q f ( u ) 在点 u = u0 连续 ,
∴ ∀ ε > 0, ∃ η > 0, 使当 u − u0 < η 时 , 恒有 f ( u ) − f ( u0 ) < ε 成立 . 又 Q lim ϕ ( x ) = ϕ ( x 0 ) = u0 ,

第十一章第三节连续函数的性质

４、连通集的定义
设Ｓ为Ｒn中点集，如果连续函数r:[0,1] →Rn的值域全部落在Ｓ中，称r为Ｓ中的一条道路，r(0)和r(1)称为道路的起点和终点。
如果Ｓ中任意两点x,y都存在Ｓ中满足r(0)=x,r(1)=y的道路，称S是道路连通的或者称为连通集。
连通的开集称为开区域，开区域和它的边界一起构成闭区域。
n
若函数f 在紧集
合 K R 上连续，则 f 在 K上一致连续. 即（对任何 0，总存在只依赖于的正数，使得对一切点 P、 Q，只要 P， Q），就有（ |f(P )-f(Q )| .)
证明：
５、连通集上的连续函数的性质
定理4 设 K为连通的紧集 ,函数 f 在 K R 上连
n
续，那么 f(K)是连通集 .
推论：连续函数将连通的紧集映成闭区间。
定理 5(中间值定理）
n
设 K为连通的紧集 ,
函数 f 在 K R 上连续，那么 f(x)可取到它在 K 上的最小值与最大值之间的一切值 ,换言之 f(x)的值域是 [m,M].
第十一章: Euclid空间的极限和连续
第三节：连续函数的性质
１、连续函数概念推广：
定义：
设 K R , f : K R 为定义在点集 K上的向量
m n
值函数 ,x 0 K , 对于任给的正数，总存在相应的正数，只要 x U x 0；） K ，就有（ | f ( x ) f ( x 0 ) | 则称 f 点 x 0 连续 .若 f 在 K上任何点都连续，则称 f 为 K上的连续函数 .如 K是紧集 ,称 f是紧集上的连续函数.

连续函数的定义和性质

连续函数的定义和性质连续函数是数学中一个重要的概念，它在实际问题的建模和解决中起着关键的作用。

本文将讨论连续函数的定义和性质，以帮助读者更加深入地理解和应用连续函数。

一、连续函数的定义连续函数的定义是基于极限的概念的。

设函数$f(x)$在点$x=a$的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-f(a)|<\varepsilon$成立，那么称函数$f(x)$在点$x=a$连续。

二、连续函数的性质1. 连续函数的四则运算性质如果函数$y=f(x)$和$y=g(x)$在点$x=a$连续，则它们的和、差、积、商函数也在点$x=a$连续。

2. 连续函数的复合性质设函数$y=f(x)$在点$x=a$连续，函数$y=g(u)$在点$u=f(a)$连续，则复合函数$y=g[f(x)]$在点$x=a$连续。

3. 连续函数的介值性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$和$f(b)$异号，则方程$f(x)=0$在区间$(a,b)$内至少有一个根。

4. 连续函数的最大值和最小值定理设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，那么$f(x)$在该闭区间上必有最大值和最小值。

5. 连续函数在有界闭区间上的均匀连续性质设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则对于任意给定的正数$\varepsilon>0$，都存在一个正数$\delta>0$，当$|x-y|<\delta$时，有$|f(x)-f(y)|<\varepsilon$成立。

三、连续函数与间断点函数可分为连续函数和间断函数两类。

连续函数在定义域内无间断点，而间断函数则存在间断点。

1. 第一类间断点函数$f(x)$在$x=a$处有第一类间断点，当且仅当存在左右极限$\lim_{x \to a^-} f(x)$和$\lim_{x \to a^+} f(x)$，且两者不相等。

连续函数的性质

99定理 1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即∃M >0,∈∀x [a,b],有|)(x f |≤M .()f x 在区间能取到最小值m 与最大值M ，即：[]12,,x x a b ∃∈使：()1f x m =与()2f x M =[](),x a b m f x M ∀∈⇒≤≤证明：根据定理3，数集()[]{}|,f x x a b ∈有界。

设：sup ()[]{}|,f x x a b M ∈=用反证法：假使[],x a b ∀∈有()f x <M,显然，()0M f x -> ([],x a b ∀∈)，且()M f x -在[],a b 连续，于是函数()1M f x -在[],a b 连续，根据定理3，函数()1M f x -在[],a b 有界，即：0c ∃>，[],x a b ∀∈⇒()1c M f x <-，或，()1f x M c<-由上确界的定义知：M 不是数集()[]{}|,f x x a b ∈的上确界，矛盾，于是[]2,x a b ∃∈，使()2f x M =。

定理3.(零点定理) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 连续，且)()(b f a f <0(即)(a f 与)(b f 异号)，则在开区间（a,b ）内至少存在一点c ,使)(c f =0证明：不妨设)(a f <0，)(b f >0.用反证法，假设∈∀x [a,b]，有)(x f ≠0，将闭区间],[b a 二等分，分点为2b a +.已知)2(b a f +≠0，如果)2(ba f +>0,则函数)(x f 在闭区间]2,[b a a +的两个端点的函数值的符号相反；如果)2(ba f +<0,则函数)(x f 在闭区间[2ba +,b] 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间]2,[b a a +与[2ba +,b]必有一个使函数)(x f 在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为[11,b a ]，有)()(11b f a f <0，再将[11,b a ]二等分，必有一个闭区间，函数)(x f 在其两个端点的函数值的100符号相反.将此闭区间表为[22,b a ]，有)()(22b f a f <0，用二分法无限进行下去，得到闭区间{[n n b a ,]}（b b a a ==00,），且1）[a,b]⊃ [11,b a ]⊃…⊃[n n b a ,]⊃……; 2))(lim n n n a b -∞→= nn ab 2lim-∞→=0对每个闭区间[n n b a ,]，有)()(n n b f a f <0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数c 属于所有的闭区间，且n n a ∞→lim =n n b ∞→lim =c （1）而c ∈[a,b]，且)(c f ≠0，设)(c f >0.一方面，已知函数)(x f 在c 连续，根据连续函数的保号性，δ∃>0,x ∀:|c x -|<δ,即x ∀),(δδ+-∈c c ，有)(x f >0;另一方面，由（1）式，当n 充分大时，有[n n b a ,]⊂),(δδ+-c c ，已知)()(n n b f a f <0，即函数)(x f 在),(δδ+-c c 中某点的函数值小于0，矛盾.于是，)(c f ≯0.同法可证)(c f ≮0.所以闭区间[n n b a ,]内至少存在一点c ,使)(c f =0.二、一致连续性已知：()f x =1x在()0,1连续，即：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,(限定00||||2x x x -<⇒0||||2x x > 011||x x -=00||||||x x x x -≤0202||||x x x -<ε 0||x x -<20||*2x ε，取200||||min *,22x x δε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭于是：∀0x ∈()0,1，∀ε>0,∃0x δ=20||*2x ε。

连续函数的性质

y
Oa
bx
定理（介值性定理）设函数 f ( x)在闭区间 [a ,b]
上连续,且 f (a) f (b) . 若是介于 f (a) 与 f (b) 之间的任一数( f (a) f (b) 或 f (b) f (a)),
则(至少)存在一点 x0 (a ,b) ,使得
f ( x0 ) .
证由于 g(u) 在点 u0 连续 , 因此对于任意的 0 ,
存在1 0 , 当 | u u0 | 1 时, 有 | g(u) g(u0 ) | ,
又因为 f ( x) 在点 x0 连续, 故对上述 1 0 , 存在 0, 当 | x x0 | 时, 有
于是
| f ( x) f ( x0 ) || u u0 | 1,
x0 x0 x0
bx
②对应
③任给
对于任意的正数 , a x0 x0 b, 设
y1 f ( x0 ) , y2 f ( x0 ) , 令 min{ y2 y0 , y0 y1} 0, 当 ( y1 ) y0 y y0 ( y2 ) 时，
f 1( y1 ) f 1( y) f 1( y2 ),
二、闭区间上连续函数的性质
一、最大(小)值的定义定义设 f ( x)为定义在数集 D上的一个函数 . 若存在 x0 D ,使得对一切 x D, 均有
f ( x) f ( x0 ) ( f ( x) f ( x0 ) ), 则称 f ( x) 在D上有最大(小)值, x0 称为最大(小)值点, f ( x0 ) 称为 f ( x)在D上的最大(小)值.
解因为 x 0 是 f ( x) 的定义区间上的点, 而
lim f ( x) 1 0 f (0),
x0
所以 f ( x) 在 x 0 处不连续. 因此函数 f ( x)不是初

数学分析4.2连续函数的性质(讲义)

第四章函数的连续性2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质定理4.2（局部有界性）：若函数f在x0连续，则f在某U(x0)内有界.定理4.3（局部保号性）：若函数f在x0连续，且f(x0)>0(或<0)，则任何正数r<f(x0)(或r<-f(x0))，存在某U(x0)，使得对一切x∈U(x0)，有f(x)>r(或f(x)<-r).注：在应用保号性时，常取r=f(x0).定理4.4（四则运算）：若函数f和g在x0连续，则f±g，f·g，f/g(g(x0)≠0)也在点x0连续.定理4.5：若函数f在x0连续，g在u0连续，u0=f(x0)，则复合函数g(f(x))在点x0连续.证1：∵g在u0连续，∴对∀ε>0，有δ1>0，使当|u-u0|<δ1时有|g(u)-g(u0)|<ε；又u0=f(x0)，及u=f(x)在点x0连续，∴对δ1，有δ>0，使当|x-x0|<δ时有|u-u0|=|f(x)-f(x0)|<δ1；∴对∀ε>0，有δ>0，当|x-x0|<δ时有|g(f(x))-g(f(x0))| <ε；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.证2：∵u=f(x)在点x0连续，∴=x0；又u0=f(x0)，∴u→u0 (x→x0)；又g在u0连续，∴===g(f(x0))；∴复合函数g(f(x))在点x0连续.复合函数极限公式：==g(f(x0)).例1：求sin(1-).解：sin(1-)=sin ((1-))=sin 0=0.注：若内函数f当x→x0时极限为a，而a≠f(x0)或f在x0无定义(即x0为f的可去间断点)，又外函数g在u=a连续，则仍可应用上述复合函数的极限公式。

.例2：求极限：(1)；(2).解：(1)==1.(2)==.二、闭区间上连续函数的基本性质定义1：设f为定义在数集D上的函数。

函数的连续性

函数的连续性函数的连续性是数学中重要的一个概念，它描述了函数在某个点附近的表现。

连续性可以用来刻画函数的光滑程度和连贯性，对于分析和解决实际问题具有重要的意义。

本文将详细介绍函数的连续性以及相关的性质和定理。

1. 连续函数的定义与性质连续函数是指在定义域上的每一个点都具有连续性的函数。

具体而言，若函数f(x)在某一点x=a处的极限存在且与f(a)的函数值相等，那么函数f(x)在点x=a处连续。

连续函数具有以下重要性质：- 连续函数的和、差、积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数；- 有界闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值。

2. 初等函数的连续性初等函数是由常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等通过有限次的代数运算与函数复合得到的函数。

初等函数在其定义域上都是连续函数。

初等函数的连续性可以通过初等函数的定义和性质来证明。

以指数函数为例，指数函数f(x) = exp(x)在整个实数域上都是连续函数，因为它是由幂函数与以基数e为底的指数函数复合得到的。

3. 间断点与连续点函数可以在某些点上具有间断现象，这些点称为间断点。

间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

相应地，函数在某些点上具有连续性，这些点称为连续点。

可去间断点是指在该点处存在左极限和右极限，但极限值不相等。

通过修正函数在该点处的定义可以使其连续。

跳跃间断点是指在该点处左右极限存在且不相等，函数在该点处无法修正。

4. 连续函数的中值定理中值定理是连续函数的重要定理之一，它刻画了连续函数在某个区间上的平均增长率等于其两个端点处斜率之间某个值的关系。

根据中值定理，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且可导于开区间(a,b)内，则存在一个点c∈(a,b)，满足f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)。

这个定理在微积分和实际问题的分析中有广泛的应用。

5. 连续函数的一致连续性一致连续性是连续函数的另一个重要性质，它描述了函数在整个定义域上的连续性。

连续函数的性质

x
n
在[ 0
, )
上亦为连续且
y x 在 R内续取连，
2
x x 0 1, x x 0 1
x0
( 2 x 0 1), 0 , 取 min(
2

2 x0 1
,1)，
得当
x x0 , 有 x
x0
2
.
指函的续数数连性
且严格增. 关于其它的反三角函数
sin( x tanx

2
) cos x 复函连性合数续 , cot x . cos x sin x , sec x
R上续 . 连 1 cosx , csc x 1 sin x
sinx cosx
在义内续定域连
由函的续知反数连性所域连内续 .
到, 具体过程请读者自行给出.
我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上的连续函数, 故由四则运算性质, 易知多项式函数
P ( x ) a 0 a1 x a n x
n
也是连续函数.
同理,有理函数
P(x) Q(x) a 0 a1 x a n x b 0 b1 x b m x
x 0的离于距小
.
y 1 f ( x1 ) , y 2 f ( x 2 ) ,
令
min{ y 2 y 0 , y 0 y 1 } 0 ,
x f
1
1
当 y U ( y0 ; ) 时对，应
( y )的都在值落
x1与 x 2 之，间

连续函数的基本性质

第八节连续函数的基本性质一．初等函数的连续性（一）连续函数的运算性质定理１：如果函数)(x f 、)(x g 均在点0x 处连续，则（1）)()(x g x f βα+在点0x 处连续（βα,为常数）；（2）)()(x g x f 在点0x 处连续；（3）)()(x g x f 在点0x 处连续（0)(0≠x g ）； x y sin =、x y cos =在区间),(+∞-∞内连续，x x y cos sin +=、x x y cos sin ⋅=在区间),(+∞-∞内连续，x x x y cos sin tan ==在2ππ+≠k x 处连续（二）反函数和复合函数的连续性 1．定理2：如果函数y ＝)(x f 在区间x I 上单值、单调增加（或单调减少）且连续，那末它的反函数)(y x ϕ=也在对应的区间{}x y I x x f y y I ∈==),(|上单值、单调增加（或单调减少）且连续。

2．定理3：设函数)(x u ϕ=当0x x →时的极限存在且等于a ，即a x x x =→)(lim 0ϕ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=当0x x →时的极限存在且等于)(a f ，即()[]()a f x f x x =→ϕ0lim 。

注：（1）将定理５中的条件：0x x →换为∞→x 时相应的结论也成立。

（2）如果函数)(x u ϕ=、)(u f y =满足定理５的条件，则有下式成立： ()[]()())lim (lim 00x f a f x f x x x x ϕϕ→→==。

即在满足定理５的条件下，求复合函数()[]x f y ϕ=的极限时，函数符号和极限符号可以交换次序。

例1：求下列极限（1）)arcsin(lim 2x x x x -++∞→ （2）xx x )1ln(lim 0+→ （3）xx x μμ1)1(lim 0-+→ 定理4：设函数)(x u ϕ=在点0x x =连续，且()00u x =ϕ，而函数)(u f y =在点0u u =连续，那末复合函数()[]x f y ϕ=在点0x x =也是连续。

3.2 连续函数的性质-1 简

均在点x0连续, 则函数
(1) f ( x ) g( x ),
(2)
f ( x ) g( x ),
(3)
f ( x ) g( x ),
(4) f ( x )/ g( x ), g( x0 ) 0
在点x0也是连续的 .
此定理的证明可以直接x ) 在点 x0 连续，g(u) 在点 u0
3.2 连续函数的性质
一、连续函数的局部性质二、闭区间上连续函数的整体性质
一、连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点x0
连续则可推知 f 在点 x0 的某个局部邻域内具有有界性、保号性、四则运算的保连续性等性质.
定理1（连续函数的四则运算）若函数 f ( x ), g( x )
有 m f ( x ) M , 取 K max{ m , M },
则有 f ( x ) K . 函数f ( x )在[a, b]上有界.
2. 介值性
定义
如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数
设函数 f ( x )在闭区间 a , b
f ( x )的零点.
定理 (零点定理) 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ), 则在开区间 a , b 内至少有函数 f ( x ) 的一个零点, 即至少有一点 (a b ) ，使 f ( ) 0 .
连续, u0 f ( x0 ). 则复合函数 g( f ( x ))在点 x0 连续.
定理3（局部有界性）若函数 f 在点 x0 连续，则
M 0, 0, 当 | x x0 | 时, 有
| f ( x) | M .

高等数学第4章第2节连续函数的性质

§２连续函数的性质引言函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来．一、连续函数的局部性质性质１（局部有界性）若f 在0x 连续．则f 在某0()U x 有界．性质２（局部保号性）若f 在0x 连续，且0()0(0)f x or ><则对任何正数0(0,())r f x ∈0(((),0))r f x ∈，存在某0()U x 有()0(()0)f x r f x r >><<．注 ①在具体应用局部保号性时，r 取一些特殊值，如当0()0f x >时，可取0()2f x r =，则存在0()U x ，使得当0()x U x ∈有0()()2f x f x >；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连续”，把0()U x 改为00()U x 其余一致．性质３．（四则运算）若f 和g 在0x 点连续，则0,,(()0)ff g f g g x g±⋅≠也都在点0x 连续．问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？性质４（复合函数的连续性）若f 在点0x 连续，记00()f x u =，函数g 在0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续．注 1) 据连续性定义，上述定理可表为：00lim [()][()][lim ()]x x x x g f x g f x g f x →→==.（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限．）例１．求21limsin(1)x x →-.2) 若复合函数g f 的内函数f 当0x x →时极限为a ，又外函数g 在u a =连续，上面的等式仍成立．（因此时若00lim ()()x x f x a f x →==的话是显然的；若00lim ()()x x f x a f x →=≠，或()f x 在0x x =无定义，即0x 是f的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“0||x x δ-<”为“00||x x δ<-<”即可）．故可用来求一些函数的极限．例２求极限（１）0x →（２）x 性质５（反函数的连续性）若函数f 在[,]a b 上严格单调并连续，则反函数1f -在其定义域[(),()]f a f b 或[(),()]f b f a 上连续．二、初等函数的连续性１．复习（关于初等函数）（１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数．（２）基本初等函数：常量函数y C =；幂函数y x α=；指数函数(0,1)x y a a a =>≠；对数函数log (0,1)a y x a a =>≠；三角函数sin ,cos ,,y x x tgx ctgx =；反三角函数arcsin ,arccos ,,y x x arctgx arcctgx =．２．初等函数的连续定理１任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数．定理２一切基本初等函数都是其定义域上连续函数．３．利用初等函数的连续性可计算极限例３．设0lim ()0x x u x a →=>，0lim ()x x v x b →=，证明：0()lim ()v x b x x u x a →=．例４．求0ln(1)limx x x→+．例５求20ln(1)lim cos x x x→+．三区间上连续函数的基本性质引言闭区间上的连续函数具有一些重要的性质．现将将基本的列举如下．从几何上看，这些性质都是十分明显的．但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出．先给出下面的关于“最大大值”的定义：定义１设f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在0x D ∈，使得对一切x D ∈都有0()()f x f x ≥（0()()f x f x ≤），则称f 在Ｄ上有最大（小）值，并称0()f x 为f 在Ｄ上的最大（小）值．例如，sin ,[0,]y x π=．max 1y =、min 0y =．一般而言， f 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使()f x 在Ｄ上有界．例如：(),(0,1)f x x x =∈无最大（小）值；1,(0,1)()2,0,1x f x xx ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩在［０，１］上也无最大（小）值．１．性质性质１（最大、最小值定理）若f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有最大值与最小值．性质２（有界性定理）若f 在[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上有界．思考 ①考虑函数(),(0,1)f x x x =∈，1,(0,1)()2,0,1x g x x x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩上述结论成立否？说明理由；②f 要存在最大（小）值或有界是否一定要f 连续？是否一定要闭区间呢？结论上述性质成立的条件是充分的，而非必要的．性质３（介值定理）设f 在[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠．若μ是介于()f a 和()f b 之间的任何实数，则至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x μ=．注表明若f 在[,]a b 上连续，又()()f a f b <的话，则f 在[,]a b 上可以取得()f a 和()f b 之间的一切值．（如左图）．性质４（根存在定理）若f 在[,]a b 上连续，且()f a 和()f b 异号（()()0f a f b ⋅<），则至少存在一点0[,]x a b ∈，使得0()0f x =．几何意义若点(,())A a f a 和(,())B b f b 分别在x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线()y f x =与x 轴至少有一个交点．２．闭区间上连续函数性质应用举例关健构造适当的f ；构造适当的闭区间．例６．证明：若0r >，n 为正整数，则存在唯一正数0x ，使得0n x r =．例７．设f 在[,]a b 上连续，满足([,])[,]f a b a b ⊂．证明：存在0[,]x a b ∈，使得00()f x x =．四一致连续性引言在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续．我们先叙述何谓一致连续．设()f x 在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是()f x 在区间Ｉ内每一点都连续．即对00,0,(;)x I x U x εδ∀∈∀>∀∈时，就有0|()()|f x f x ε-<．一般说来，对同一个ε，当0x 不同时，δ一般是不同的．例如图左．中1y x=的曲线，对接近于原点的0x ，δ就应取小一些．而当0x 离原点较远时，δ取大一些．（对后者的δ值就不一定可用于前者．但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的η，这就需要引进一个新概念——一致连续．１．一致连续的定义定义（一致连续）设f 为定义在区间Ｉ上的函数．若对任给的0ε>，存在一个()0δδε=>，使得对任何,x x I '''∈，只要||x x δ'''-<，就有()()||f x f x ε'''-<，则称函数f 在区间Ｉ上一致连续．２．函数在区间上连续与一致连续的比较若f 在Ｉ上一致连续，则f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若f 在Ｉ上连续，f 不一定在Ｉ上一致连续．３．问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：定理（康托Cantor 定理）若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，则f 在[,]a b 上一致连续．４．一致连续的例子例１．证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续．例２．（１）证明函数1y x=在(0,1)内不一致连续．（２）0c ∀>，证明 1y x=在(,1)c 内是一致连续的．例３．证明 1sinx在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续．例４．设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为有限或无限区间）．试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在12I I I =⋃上也一致连续．作业：P81,1， 2， 3， 8， 9, 14。

连续函数的性质

f ( b ) b，证明 ( a, b ), 使得 f ( )
证：令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续，
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b) f (b) b 0
由零点定理, ( a, b) 使
ymax 2
ymin 0
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。
若 f ( x ) C[a, b], 则 1 , 2 [a, b], 使得 x [a, b], 有 f ( 1 ) f ( x ),
Байду номын сангаас
y
y f ( x)
f ( 2 ) f ( x )
(均在其定义域内连续 ) 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的。定理6 一切初等函数在其定义区间内都是
连续的。
定义区间是指包含在定义域内的区间。
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在其定义域内不一定连续。
例如,
y cos x 1,
D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义。
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在( 0,1)内至少有一根
例7 设函数 f ( x )在区间[a, b]上连续 , 且f ( a ) a,
f ( x1 ) f ( x2 ) f ( xn ) f ( ) n
分界点为 x 1
lim f ( x ) lim x 1

数学分析理论基础13连续函数的性质

数学分析理论基础13连续函数的性质连续函数的局部性质局部有界性定理：若函数f在点x_0连续,则f在U(x_0)上有界局部保号性定理：若函数f在点x_0连续,且f(x_0)\gt 0(或\lt 0),则\forall 正数r\lt f(x_0)(或\lt -f(x_0)),\exists U(x_0)使得\forall x\in U(x_0)有f(x)\gt r(或f(x)\lt -r)注：应用局部保号性时,常取r={1\over 2}f(x_0),则f(x_0)\gt 0时\exists U(x_0)使得\forall x\in U(x_0)有f(x)\gt {1\over 2}f(x_0)四则运算若函数f和g在点x_0连续,则f\pm g,f\cdot g,f/g(g(x_0)\neq 0)也都在点x_0连续注：对常量函数y=c和函数y=x反复四则运算可推出多项式函数P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n和有理函数R(x)={P(x)\over Q(x)}在其定义域的每一点都连续,同样,由sinx和cosx在R上的连续性,可推出tanx与cotx在其定义域的每一点都连续复合函数定理：若函数f在点x_0连续,g在点u_0连续,u_0=f(x_0),则复合函数g\circ f在点x_0连续证明：\because g在u_0连续\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta_1\gt 0使得u-u_0，\lt \delta_1时有，g(u)-g(u_0)，\lt \varepsilon又u_0=f(x_0)且u=f(x)在点x_0连续\therefore 对上述\delta_1\gt 0,\exists \delta\gt 0使得x-x_0，\lt \delta时有，u-u_0，=，f(x)-f(x_0)，\lt \delta_1\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists\delta\gt 0使得x-x_0，\lt \delta时有，g(f(x))-g(f(x_0))，\lt \varepsilon注：\lim\limits_{x\to x_0}g(f(x))=g(\lim\limits_{x\to x_0}f(x))=g(f(x_0))例：y=x^n(n\in Z_+)在[0,+\infty)上严格单调且连续,故x^{1\over n}在[0,+\infty)上连续,又把y=x^{-{1\over n}}看作由y=u^{1\over n},u={1\over x}复合而成的函数,则又复合函数的连续性,y=x^{-{1\over n}}在(0,+\infty)上连续注：若q\neq 0,q\in Z,则x^{1\over q}是其定义区间上的连续函数例：证明：有理幂函数y=x^\alpha在其定义区间上连续证：设有理数\alpha={p\over q},p,q\neq 0,p,q\in Z\because y=u^{1\over q}与u=x^p均在其定义区间上连续\therefore 复合函数y=(x^p)^{1\over q}=x^\alpha在其定义区间上连续闭区间上连续函数的基本性质最值定义：设f为定义在数集D上的函数,若\exists x_0\in D使得\forall x\in D有f(x_0)\ge f(x)(f(x_0)\le f(x)),则称f在D上有最大(最小)值,并称f(x_0)为f在D上的最大(最小)值注：函数f在其定义域D上不一定有最大值或最小值(即使f在D上有界)有界性定理引理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有界证明：若不然,不妨假设f(x)在[a,b]上无上界则\exists x_n\in [a,b]使得f(x_n)\gt n,n=1,2,\cdots\therefore \lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=+\infty\because \{x_n\}\subset [a,b]为有界数列\therefore 由致密性定理\{x_n\}有收敛子列\{x_{n_k}\}设\lim\limits_{n\to \infty}x_{n_k}=x_0\because a\le x_{n_k}\le b\therefore a\le x_0\le b\therefore f(x)在点x_0连续由归结原则最大、最小值定理定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在闭区间[a,b]上有最大值与最小值证明：由有界性定理及确界原理,\exists \underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=M下证\exists \xi\in [a,b]使f(\xi)=M若不然,\forall x\in [a,b]都有f(x)\lt M令g(x)={1\over M-f(x)},x\in [a,b]显然g(x)在[a,b]上连续,且g(x)\gt 0\therefore g(x)在[a,b]上由上界,记为G\therefore 0\lt g(x)={1\over M-f(x)}\le G,x\in [a,b]\therefore f(x)\le M-{1\over G},x\in [a,b]与\underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)=M矛盾\therefore \exists\xi\in [a,b]使f(\xi)=M即f在[a,b]上有最大值根的存在定理定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号(f(a)f(b)\lt 0),则\existx_0\in (a,b)使得f(x_0)=0,即方程f(x)=0在(a,b)上有一个根介值定理定理：设函数f在闭区间[a,b]上连续,且f(a)\neq f(b),若\mu\in R介于f(a)与f(b),则\exists x_0\in (a,b)使得f(x_0)=\mu注：若f在[a,b]上连续,又不妨设f(a)\lt f(b),则f在[a,b]上必能取得区间[f(a),f(b)]上的一切值,即[f(a),f(b)]\subset f([a,b])证明：不妨设f(a)\lt \mu\lt f(b)令g(x)=f(x)-\mu则g也是[a,b]上的连续函数且g(a)\lt 0,g(b)\gt 0要证结论只需证\exists x_0\in (a,b)使g(x_0)=0设集合E=\{x，g(x)\lt 0,x\in [a,b]\}显然,E\subset [a,b]且a\in E,E\neq \varnothing\therefore 由确界原理\exists x_0=supE\because g(a)\lt 0,g(b)\gt 0\therefore 由连续函数的局部保号性\exists \delta\gt 0,x\in [a,a+\delta)时有g(x)\lt 0x\in (b-\delta,b]时有g(x)\gt 0显然x_0\neq a,x_0\neq b即x_0\in (a,b)下证g(x_0)=0若不然,即g(x_0)\neq 0不妨设g(x_0)\lt 0由局部保号性\exists U(x_0;\eta)\subset [a,b],\forall x\in U(x_0;\eta)有g(x)\lt 0 显然x_0+{\eta\over 2}\in U(x_0;\eta)g(x_0+{\eta\over 2})\lt 0\Rightarrow x_0+{\eta\over 2}\in E与x_0=supE矛盾例：证明：若r\gt 0,n\in Z_+则\exists !x_0\gt 0使得x_0^n=r 证：存在性x\to +\infty时有x^n\to +\infty\therefore \exists a\gt 0使a^n\gt r\because f(x)在[0,a]上连续,且f(0)\lt r\lt f(a)\therefore 由介值定理\exists x_0\in (0,a)使f(x_0)=x_0^n=r唯一性设\exists x_1\gt 0使x_1^n=r,则x_0^n-x_1^n=(x_0-x_1)(x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_1+\cdots+x_1^{n-1})=\because x_0^{n-1}+x_0^{n-2}x_1+\cdots+x_1^{n-1}\gt 0\therefore x_0-x_1=0\therefore x_0=x_1例：设f在[a,b]上连续,满足f([a,b])\subset[a,b],证明：\exists x_0\in [a,b]使得f(x_0)=x_0证：\forall x\in [a,b]有a\le f(x)\le b若a=f(a)或b=f(b)则取x_0=a或b,结论成立设a\lt f(a),b\gt f(b)令F(x)=f(x)-x则F(a)=f(a)-a\gt 0,F(b)=f(b)-b\lt 0由根的存在性定理\exists x_0\in (a,b)使f(x_0)=0即f(x_0)=x_0连续函数性质：若f在区间I上连续且不是常量函数,则值域f(I)也是一个区间,若I为闭区间[a,b],f 在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则f([a,b])=[m,M],若f为[a,b]上的增(减)函数且不为常数,则f([a,b])=[f(a),f(b)](f(b),f(a))反函数的连续性定理：若函数f在[a,b]上严格单调并连续,则反函数f^{-1}在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续证明：不妨设f在[a,b]上严格增此时f的值域,即f^{-1}的定义域为[f(a),f(b)]\forall y_0\in (f(a),f(b))设x_0=f^{-1}(y_0)\forall \varepsilon\gt 0,取x_1,x_2\in (a,b),x_1\lt x_0\lt x_2且，x_1-x_0，\lt \varepsilon,，x_2-x_0，\lt \varepsilon设f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2由f的严格增性y_1\lt y_0\lt y_2令\delta=min\{y_2-y_0,y_0-y_1\}则y\in U(y_0;\delta)时,对应的x=f^{-1}(y)\in (x_1,x_2)\therefore ，f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)，=，x-x_0，\lt \varepsilon\therefore f^{-1}在点y_0连续\therefore f^{-1}在(f(a),f(b))内连续类似可证f^{-1}在定义区间的端点f(a)与f(b)分别为右连续与左连续一致连续性定义：设f为定义在区间I上的函数,若\forall \varepsilon\gt 0,\exists\delta=\delta(\varepsilon)\gt 0使\forall x',x''\in I,，x'-x''，\lt \delta时有，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon,则称f在区间I上一致连续例：证明函数y={1\over x}在(0,1)上不一致连续证：要证y={1\over x}在(0,1)上不一致连续只需证\exists \varepsilon_0\gt 0,\forall \delta\gt 0,\exists x',x''\in (0,1)x'-x''，\lt \delta时有，f(x')-f(x'')，\ge \varepsilon_0取\varepsilon_0=1,不妨设\delta\lt {1\over 2}取x'=\delta,x''={\delta\over 2}x'-x''，={\delta\over 2}\lt \delta{1\over x'}-{1\over x''}，={1\over \delta}\gt 1\therefore y={1\over x}在(0,1)上不一致连续例：函数f定义在区间I上,证明f在I上一致连续的充要条件为\forall\{x'_n\},\{x''_n\}\subset I,若\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0,则\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0证：必要性若f(x)在I上一致连续,则\forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta(\varepsilon)\gt 0,\forall x',x''\in Ix'-x''，\lt \delta时有，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon设I上两个数列\{x'_n\},\{x''_n\}满足\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0\therefore 对上述\delta\gt 0,\exists N\gt 0,\forall n\gt Nx'_n-x''_n，\lt \delta由一致连续性条件f(x'_n)-f(x''_n)，\lt \varepsilon即\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0充分性\forall \{x'_n\},\{x''_n\}\subset I若\lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0则\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0下证f(x)在I上一致连续若不然,即f(x)在I上不一致连续则\exists \varepsilon_0\gt 0,\forall \delta\gt 0,\exists x',x''满足x'-x''，\lt \delta时有，f(x')-f(x'')，\ge \varepsilon_0取\delta_1=1,\exists x'_1,x''_1\in I,，x'_1-x''_1，\lt 1,有，f(x'_1)-f(x''_1)，\ge\varepsilon_0取\delta_2={1\over 2},\exists x'_2,x''_2\in I,，x'_2-x''_2，\lt {1\over 2},有，f(x'_2)-f(x''_2)，\ge \varepsilon_0\cdots$取\delta_n={1\over n},\exists x'_n,x''_n\in I,，x'_n-x''_n，\lt {1\over n},有，f(x'_n)-f(x''_n)，\ge \varepsilon_0\cdots\therefore \lim\limits_{n\to \infty}(x'_n-x''_n)=0但\lim\limits_{n\to \infty}(f(x'_n)-f(x''_n))\neq 0,矛盾\therefore f(x)在I上一致连续例：证明f(x)=sin{1\over x}在区间(0,1)上不一致连续证：取x_n={1\over 2n\pi},y_n={1\over 2n\pi+{\pi\over 2}},n=1,2,\cdots\lim\limits_{n\to \infty}(x_n-y_n)=0但，sin{1\over x_n}-sin{1\over y_n}，=1\nrightarrow 0 \therefore f(x)在(0,1)上不一致连续一致连续与连续f在区间I上连续：\forall \varepsilon\gt 0,\forall x\in I,\exists\delta=\delta(\varepsilon,x)\gt 0,\forall x'\in I,，x-x'，\lt \delta时有，f(x)-f(x')，\lt \varepsilon注：\delta的取值依赖于\varepsilon,xf的一个局部性质f在区间I上一致连续注：\delta只依赖于\varepsilonf的一个整体性质一致连续性定理定理：若函数f在闭区间[a,b]上连续,则f在[a,b]上一致连续证明：若不然,\exists \varepsilon_0\gt 0及[a,b]上的点列\{x_n\},\{y_n\}\lim\limits_{n\to \infty}(x_n-y_n)=0f(x_n)-f(y_n)，\ge \varepsilon_0,n=1,2,\cdots\because \{x_n\}有界由致密性定理\{x_n\}有一个收敛子列\{x_{n_k}\}设\lim\limits_{k\to \infty}x_{n_k}=x_0\therefore \lim\limits_{k\to \infty}y_{n_k}=\lim\limits_{k\to \infty}[(y_{n_k}-x_{n_k})+x_{n_k}]=x_0又a\le x_{n_k}\le b由极限的不等式性质a\le x_0\le b\therefore f(x)在点x_0连续由归结原则\varepsilon_0\le \lim\limits_{k\to \infty}，f(x_{n_k})-f(y_{n_k})，=，f(x_0)-f(x_0)，=0矛盾例：设区间I_1的右端点为c\in I_1,区间I_2的左端点也为c\in I_2(I_1,I_2可分别为有限或无限区间),证明：若f分别在I_1与I_2上一致连续,则f在I=I_1\cup I_2上也一致连续证：f在I_1和I_2上一致连续\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\exists \delta_1,\delta_2\gt 0使得\forall x',x''\in I_1,，x'-x''，\lt \delta_1时有，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon\forall x',x''\in I_2,，x'-x''，\lt \delta_2时有，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon点x=c为I_1的右端点,I_2的左端点\therefore f在点c左连续且右连续即f在点c连续\therefore 对上述\varepsilon\gt 0,\exists \delta_3\gt 0,，x-c，\lt \delta_3时有，f(x)-f(c)，\lt {\varepsilon\over 2}令\delta=min(\delta_1,\delta_2,\delta_3)\forall x',x''\in I,，x'-x''，\lt \delta1.x',x''\in I_1,或x',x''\in I_2则，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon 显然成立x',x''分属I_1与I_2,不妨设x'\in I_1,x_2\in I_2则，x'-c，=c-x'\lt x''-x'\lt \delta\le \delta_3\therefore ，f(x')-f(c)，\lt {\varepsilon\over 2}同理可得，f(x'')-f(c)，\lt {\varepsilon\over 2}\therefore ，f(x')-f(x'')，\lt \varepsilon\therefore f在I上一致连续。

连续函数的性质

§2.2 连续函数的性质♦ 连续函数的局部性质若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。

从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。

定理1（局部有界性）若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。

定理2（局部保号性）若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x <（或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。

注：在具体应用局部保号性时，常取01()2r f x =，则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01()()2f x f x >。

定理3（四则运算）若函数f 和g 在点0x 连续，则,,f fg f g g±⋅（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。

关于复合函数的连续性，有如下定理:定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合函数gf在点0x 连续。

证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ∀>∃>，使得当01||u u δ-<时有0|()()|g u g u ε-<。

（1）又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε-<。

这就证明了gf在点0x 连续。

注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→==定理 5 ()x f xx 0lim →存在的充要条件是()()0lim 000+=+→x f x f x x 与()()0lim 000-=-→x f x f x x 存在并且相等．证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→00lim ()x f x x 00lim -→=，从而对任给的0>ε，存在01>δ和02>δ，当 100δ<-<x x 时，()ε<-A x f ①当－002<-<x x δ时， ()ε<-A x f ②取{}0,m in 21>=δδδ时，当δ<-<00x x 时，则δ<-<00x x 和00<-<-x x δ二者必居其一，从而满足①或②，所以()ε<-A x f ．定理6 函数()x f 在0x 点连续的充要条件是()x f 左连续且右连续．证明：()x f 在x 点连续即为()()00lim x f x f xx =→．注意左连续即为()()000x f x f =-，右连续即为()()000x f x f =+，用定理5即可证．此外，在讨论函数的极限时往往必须把连续变量离散化，下面我们来讨论这方面的问题．定理7 海涅（Heine ）定理：()x f xx 0lim →存在的充分必要条件是对任给的序列{}n x ，若满足0lim x x n n =∞→（0x x n≠），则有()n n x f ∞→lim 存在．分析：必要性的证明是显然．充分性的证明我们用反证法．证明：必要性。

连续函数的性质

间的任一数 ( f (a ) < µ < f (b ) 或 f (b ) < µ < f (a )),
则(至少)存在一点 x0 ∈ (a , b ) , 使得至少)
f ( x0 ) = µ .
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从几何上看, 从几何上看,当连续曲线 y = f ( x ) 从水平直线 y = µ 的一侧穿到另一侧时, 两者至少有一个交点. 的一侧穿到另一侧时两者至少有一个交点
§3.2 连续函数的性质
在本节中,我们将介绍连续函数的局部性质与整体性质. 一、连续函数的局部性质二、闭区间连续函数的整体性质三、反函数的连续性四、初等函数的连续性
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一、连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 x 0 连续(左连续或右连续),则可推知 f 在点 x0 的某连续(左连续或右连续),则可推知 ), 个局部邻域(左邻域或右邻域内具有有界性、保个局部邻域左邻域或右邻域)内具有有界性左邻域或右邻域内具有有界性、号性、四则运算的保连续性等性质号性、四则运算的保连续性等性质.
在点 x 0也是连续的 .
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此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得到. 我们知道, 我们知道,常函数 y = c 与线性函数 y = x 都是 R 上的连续函数, 故由四则运算性质, 的连续函数故由四则运算性质易知多项式函数
P ( x ) = a0 + a1 x + ⋯ + an x n
这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的
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内涵,在今后的学习中有很广泛的应用. 内涵,在今后的学习中有很广泛的应用. 推论若函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续 , 则 f ( x )

连续函数的性质

连续函数的性质有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

最值性：闭区间上的连续函数在该区间上一定能获得最大值和最小值。

介值性：假设f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。

那么对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。

最值性：闭区间上的连续函数在该区间上一定能获得最大值和最小值。

介值性：假设f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。

那么对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。

连续函数有何性质有界性所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

最值性所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。

最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

介值性这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：〔1〕零点定理。

也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时〔此时有0在A和B之间〕，在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。

〔2〕闭区间上的连续函数在该区间上必定获得最大值和最小值之间的一切数值。

一致连续性闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。

所谓一致连续是指，对任意ε0〔无论其多么小〕，总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|lt;δ时，有|f(x1)-f(x2)|lt;ε，就称f(x)在I上是一致连续的。

函数的连续性对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。

这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

简单地说，假如一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。