451分组分解法-四川省成都南开为明学校八年级数学下册课件(共21张PPT)
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
初中八年级数学 12.5.4因式分解分组法和十字相乘法
12.5.4因式分解（分组分解法，十字相乘法分解因式）知识要点：1、分组分解法：适用于四项以上的多项式。
如多项式a2-b2+a-b中没有公因式，又不能直接利用公式分解。
但是如果前两项和后两项分别结合，把多项式分成两组，再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例1分解因式：a2-b2+a-b =（a2-b2）+ （a-b）=（a+b）（a-b）+（a-b）=（a-b）(a+b+1)⑴这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。
⑵原则：分组后可直接提取公因式或直接利用公式，但必须各组之间能继续分解。
⑶有些多项式在用分组分解法时，分组方法不唯一。
无论怎样分组，只要能将多项式正确分解即可。
练习：把下列多项式分解因式⑴a2-ab+ac-bc ⑵2ax-10ay+5by-bx ⑶m2-5m-mn+5n⑷3ax+4by+4ay+3bx ⑸1-4a2-4ab-b2 ⑹a2-b2-c2+2bc⑺x2-2x+1-y2 ⑻x2-y2-z2-2yz ⑼a2+2ab+b2-ac-bc2、十字相乘法二次项系数为1的二次三项式x2+px+q中若能把常数项q分解成两个因式a,b 的积，且a+b等于一次项系数中的p，则就可以分解成x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)㈠x2+(a+b)x+ab型式的因式分解注意：此公式的三个条件要理解·二次项系数是1·常数项是两个数之积。
·一次项系数是常数项的两个因数之和。
㈡对于x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）例如 x2+3x+2因式分解解：∵2=1×2且3=1+2∴x2+3x+2=(X+1)(X+2)此方法称为十字相乘法十字相乘法分解因式时常数项因数分解的一般规律:★常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数符号相同。
★常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
【北师大版】初二八年级数学下册《4.3.3 分组分解法及分解因式的方法》课件PPT
知1－练
7 把下列各式分解因式：
(1)1＋x＋x2＋x；
(2)xy2－2xy＋2y－4；
(3)a2－b2＋2a＋1.
解： (1)原式＝(1＋x)＋(x2＋x) ＝(1＋x)＋x(x＋1) ＝(1＋x)(1＋x) ＝(1＋x)2.
(2)原式＝(xy2－2xy)＋(2y－4) ＝xy(y－2)＋2(y－2) ＝(y－2)(xy＋2)．
x
骣 ççç桫x－
4 x
÷÷÷
2 【中考·宜宾】把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( D )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2)
D．3x(x－2)2
知2－练
3 【2016·潍坊】将下列多项式因式分解，结果中 不含有因式a＋1的是( C ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1
解：(1) m3－2m2－4m＋8 ＝m2(m－2)－4(m－2) ＝(m－2)(m2－4) ＝(m－2)(m＋2)(m－2) ＝(m＋2)(m－2)2.
(2) x2－2xy＋y2－9 ＝(x－y)2－32 ＝(x－y＋3)(x－y－3)．
知2－练
1 知识小结
分解因式时通常采用一“提”、二“公”、三 “分”、四“变”的步骤，即首先看有无公因式可 提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分 组后有公因式可提或可利用公式法继续分解，若上 述方法都行不通，则可以尝试用配方法、换元法、 待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法．
知2－练
4 观察“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式 分解： 甲：x2－xy＋4x－4y＝(x2－xy)＋(4x－4y)(分成两组) ＝x(x－y)＋4(x－y)(分别提公因式) ＝(x－y)(x＋4)． 乙：a2－b2－c2＋2bc＝a2－(b2＋c2－2bc)(分成两组) ＝a2－(b－c)2(直接运用公式) ＝(a＋b－c)(a－b＋c)． 请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式： (1)m3－2m2－4m＋8； (2)x2－2xy＋y2－9.
分组分解法ppt课件
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
练习5: ab - 1 + a - b
解原式 = a(b + 1) - (b + 1) = (b + 1)(a - 1)
解原式 = b(a - 1) + (a - 1) = (a - 1)(b + 1)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
因式分解
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
因式分解时，应首先考虑能否提取
公因式，能提取公因式的，要先提取公
因式而后考虑继续分解，公因式的符号
一般应与多项式的首项的符号相同。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
因式分解
分析
在用分组分解法因式分解时，要注意分 组不能使一个多项式变为乘积形式，分 组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多 项式又是各组的公因式，可以再提取， 从而使问题得到解决，上述规律可以通
八年级下册分解因式分组分解法
分组分解法学习目标：掌握分组分解法分解因式，能用分组分解法使分组后可以直接运用提取公因式法把多项式因式分解。
学习重点：熟练掌握把四项式二二分组，使整理后的两组之间可提取公因式进行因式分解 学习难点：掌握分组法的原则，并能合理地选择分组方法。
学习过程：1. 引入：先把下列各式分解因式，然后指出各式的公因式：⑴an am +与bn bm +⑵ab a -2与bc ac -解：⑴ ∵ )(n m a an am +=+；)(n m b bn bm +=+∴ an am +与bn bm +的公因式是)(n m +⑵ ∵ )(2b a a ab a -=-；)(b a c bc ac -=-∴ ab a -2与bc ac -的公因式是)(b a -2. 通过以上的练习，我们可以发现，如果要将由an am +与bn bm +组成的四项式bn bm an am +++进行因式分解，可将这个四项式分成an am +和bn bm +两组分别进行因式分解，让两组之间有公因式)(n m +，再通过提取两组间的公因式达到因式分解的目的。
即： bn bm an am +++)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++=))((b a n m ++=这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
如果对四项式或四项以上的多项式因式分解，一般就是运用分组分解法来因式分解。
例1：把bc ac ab a -+-2分解因式。
分析：通过引例，我们可知道，把这个四项式按前两项与后两项分成两组，分别提取公因式a 与c 后，另一个因式)(b a -正好是两组的公因式，这样就可继续提公因式来进行因式分解。
因此，我们在利用分组分解时，在分组时要预先观察和想到分组后两组各有的公因式，而且两组之间还能继续提取公因式。
分组不是最后的目的，而是通过分组后把问题转化到可以通过提取两组间的公因式分解因式，这样选择分组方法是分组分解法的关键。
课件：8.4.5 分组分解法及分解因式的方法
总结
本题考查了利用分组分解法分解因式，首先把前 两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提取公 因式，然后再利用提公因式法分解即可．
例3 分解因式：a2－2ab＋b2－c2.
导引： 当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解 法进行分解．将a2－2ab＋b2分为一组，先用完全 平方公式，再用平方差公式解答．
) D．x－2
3 把多项式4x2－2x－y2－y用分组分解法分解因式，
正确的分组方法应该是( )
A．(4x2－y)－(2x＋y2) B．(4x2－y2)－(2x＋y)
C．4x2－(2x＋y2＋y)
D．(4x2－2x)－(y2＋y)
知识点 2 因式分解的方法
例4 把下列各式分解因式：
(1)a3－4a2＋4a；
2.分组的目的是组与组之间有公因式可提或可以运用 公式进行分解．
例1 把下列各式分解因式： (1)x2－y2＋ax＋ay；(2)a2＋2ab＋b2－c2.
分析：在(1)式中，把第一、二项作为一组，可以用平方 差公式分解因式，其中一个因式是(x＋y)；第三、 四项作为另一组，在提取公因式a后，另一个因式 也是(x＋y)；在(2)式中，把前三项作为一组，它是 一个完全平方式(a＋b)2；把第四项－c2作为另一组， 那么(a＋b)2－c2是平方差形式的多项式，可再次利 用公式分解因式.
C．3(x＋3)(x－3)
D．3 x
x
9 x
2 (中考·宜宾)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，
结果正确的是( )
A．3x(x2－4x＋4)
B．3x(x－4)2
八年级数学教学设计：分组分解法
八年级数学教学设计：分组分解法教学目的1.使先生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式;2.经过因式分解的综合题的教学，提高先生综合运用知识的才干.教学重点和难点重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用. 难点：灵敏运用已学过的因式分解的各种方法.教学进程设计一、温习把以下各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法.(1)a2-ab+3b-3a;(2)x2-6xy+9y2-1;(3)am-an-m2+n2;(4)2ab-a2-b2+c2.解 (1) a2-ab+3b-3a=(a2-ab)-(3a-3b)=a(a-b)-3(a-b)=(a-b)(a-3);(2)x2-6xy+9y2-1=(x-3y) 2-1=(x-3y+1)(x-3y-1);(3)am-an-m2+n2=(am-an)-(m2-n2)=a(m-n)-(m+n)(m-n)=(m-n)(a-m-n);(4)2ab-a2-b2+c2=c2-(a2+b2-2ab)=c2-(a-b) 2=(c+a-b)(c-a+b).第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式.第(2)题把前三项分为一组，应用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式.第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式.第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个〝-〞号，应用完全平方公式分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式.把含有四项的多项式停止因式分解时，先依据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法停止因式分解.在添括号时，要留意符号的变化.这节课我们就来讨论运用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式.二、新课例1 把分解因式.问：依据这个多项式的特点怎样分组才干到达因式分解的目的?答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法.解方法一方法二例2 把分解因式.问：观察这个多项式有什么特点?能否可以直接运用分组法停止因式分解?答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式.解：例3 把45m2-20ax2+20axy-5ay2分解因式.剖析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三〞分组原那么停止分组，然后运用公式法分解因式.解45m2-20ax2+20axy-5ay2=5a(9m2-4x2+4xy-y2)=5a[9m2-(4x2-4xy+y2)]=5a[(3m2)-(2x-y) 2]=5a(3m+2x-y)(3m-2x+y).例4 把2(a2-3mn)+a(4m-3n)分解因式.剖析：假设去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了.解 2(a2-3mn)+a(4m-3n)=2a2-6mn+4am-3an=(2a2-3an)+(4am-6mn)=a(2a-3n)+2m(2a-3n)=(2a-3n)(a+2m).指出：假设给出的多项式中有因式乘积，这时可先停止乘法运算，把变形后的多项式依照分组原那么，用分组分解法分解因式.三、课堂练习把以下各式分解因式：(1)a2+2ab+b2-ac-bc;(2)a2-2ab+b2-m2-2mn-n2;(3)4a2+4a-4a2b+b+1;(4)ax2+16ay2-a-8axy;(5)a(a2-a-1)+1; (6)ab(m2+n2)+mn(a2+b2);答案：(1)(a+b)(a+b-c);(2)(a-b+m+m)(a-b-m-n);(3)(2a+1)(2a+1-2ab+b); (4)a(x-4y+1)(x-4y-1);(5)(a-1) 2 (a+1); (6)(bm+an)(am+bn).四、小结1.把一个多项式因式分解时，假设多项式的各项有公因式，就先提出公因式，把原多项式变为这个公因式与另一个因式积的方式.假设另一个因式是四项(或四项以上)的多项式，再思索用分组分解法因式分解.2.假设多项式中含有因式乘积的项与其他项之和(或差)时(如例3)，先去掉括号，把多项式变形后，再重新分组.五、作业1.把以下各式分解因式：(1)x3y-xy3; (2)a4b-ab4;(3)4x2-y2+2x-y; (4)a4+a3+a+1;(5)x4y+2x3y2-x2y-2xy2; (6)x3-8y3-x2-2xy-4y2;(7)x2+x-(y2+y); (8)ab(x2-y2)+xy(a2-b2).2.x-2y=-2b=-4098，求2bx2-8bxy+8by2-8b的值.答案：1.(1)xy(x+y)(x-y); (2)ab(a-b)(a2+ab+b2);(3)(2x-y)(2x+y+1);(4)(a+1) 2 (a2-a+1);(5)xy(x+2y)(x+1)(x-1); (6)(x2+2xy+4y2)(x-2y-1); (7)(x-y)(x+y+1); (8)(ax-by)(bx+ay).2.原式=2b(x-2y+2)(x-2y-2)当x-2y=-2，b=-4098时，原式的值=0.课堂教学设计说明1.突出〝通法〞的作用.关于含四项的多项式，可以依据所给的多项式的特点，常采取〝二、二〞分组或〝一、三〞分组的方法停止因式分解，这是运用分组法把多项式分解因式的通法，是带有规律性和顺序性的解题思绪，先生应实在掌握.布置例1的目的是：引导先生运用分组的通法把一个含有六项的多项式分解因式，促使先生能举一反三，举一反三.2.增强各种方法的纵横联络.把分组分解法与提公因式法和公式法之间结合为一体，停止纵横联络，综合运用，调查先生掌握因式分解的方法和技艺的状况是这节课教学设计的目的.经过讨论例3，引导先生综合运用三种方法把多项式分解因式，以开发先生解题思绪的变通性和灵性活，关于启迪先生的思想和开阔先生的视野起到重要作用.3.打通相反的思想进程.因式分解与整式乘法是相反的变形，也是相反的思想进程，先生在学习多项式的因式分解时，也应当适当联络整式的乘法.布置例4，目的是引导先生看法到，在把多项式因式分解时，假设给出的多项式出现了有因式乘积的项，但又不能提取公因式，这时就需求停止乘法运算，把变形后的多项式重新分组，再分解因式，从而启示先生在学习数学时，应擅长对数学知识和方法融汇贯串习气于正向和逆向思想.探求活动系数为1的型的二次三项式同窗们曾经会分解因式了，那么二次项系数不是1的二次三项式怎样分解呢?如：1. ;2. .有兴味的同窗可以模拟型式子的因式分解试着把下面两式分解因式,你能总结出规律吗?答案:1. ;2. .规律：二次项系数不是1的二次三项式分解因式时，假定满足以下条件，那么可将其分解为：可分解为，即可分解为，即，，，满足，即按斜线十字交叉相乘的积之和假定与一次项系数相等，那么可分解因式，第一个因式由第一行的两个数组成第二个因式由第二行的两个数组成分解结果为：。
423提公因式-四川省成都南开为明学校八年级数学下册课件(共19张PPT)
5.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326 =326(32－3－1) =326×5 =325×45 ∴817－279－913能被45整除.
某大学有三块草坪，第一块草坪面积为 a b 2 m2
第二块草坪面积为 aa bm2 ，第三块草坪面积为
a bbm2 ，求这三块草坪的总面积。
6、分解因式： ①4xmynb－6xm＋1yn＋2＋2xm＋2yn＋1
解：原式＝2xmyn (2b－3xy2＋x2y) ②a(x＋y－z) －b(z－x－y) －c(x－z＋y)
解：原式＝(x＋y－z) (a＋b－c) ③(5x－2y)2 ＋(2x＋5y)2 解：原式＝25x2－20xy＋4y2＋4x2＋20xy＋25y2
＝29x2＋29y2
＝29(x2＋y2)
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
(4) -x3y3-x2y2-xy
因式分解：
①6xm n 7 ym n ②4ab10a 4bc 6ac5a 2bc ③2xx y 2yy x ④3 p q4 9q p3
解：2n+4-2n=2n(2４-1)=2n(16-1)=15×2n =15×2×2n-1=30×2n-1.
∵n为自然数时，2n-1为整数， ∴2n+4-2n能被30整除.
拓展运用：
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3)
八年级数学分组分解法优秀课件
分解因式：ax＋ay＋ab＋ac=
.
二、探索尝试
把上面的式子改为 am an bm bn ，还能用我们学过的方法分解因式吗？
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
你还有其它方法吗？
例 1 分解因式： am an bm bn
有公式可用
有公因式可提
例 4 分解因式： xy xz y 2 yz z
2
2
（三）先计算，后分组，再分解
例 5 分解因式： − − ( − )
练习 3 分解因式： ab( x 1) x(a b )
2
2
2
解：原式= + + +
2
(
a
3a ) (3b ab)
A．
2
(
a
ab) (3a 3b)
B．
C． (3b ab) (a 3a )
D． (a 3b) (ab 3a )
2
）
2
2．多项式 a ab ac bc 与 a 2ac c 的公因式是（
2
A． a c
2
B． a c
x 3x 6 xy 9 y 9 y
2
2
练习 5 分解因式： a a b b
4
2
2
4
练习 6 求证：无论 x,y 为何值， 4 x 12 xy 13 y 20 y 35 的值恒为正.
2
2
= +#43; )( − )
（二）分组后能运用公式
例 3 分解因式： + − −
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2a(x 5y) b(x 5y)
(x 5y)(2a b)
用分组分解法分解因式,一定要想想 分组后能否继续进行分解因式.
分组分解法分解因式：
1.超过三项，分成几组； 2.每一组先进行分解； 3.两组之间再分解。
练习1
因式分解：⑴ 5m(a b) a b 5m(a b) (a b)
(a b)(5m 1)
(2).2m 2n 4x(n m) 2(m n) 4x(m n) 2(m n)(1 2x)
(2).4xy 3yz 8x 6z y(4x 3z) 2(4x 3z) (4x 3z)(y 2)
(3).x3 3x2 3x 9 x2 (x 3) 3(x 3) (x 3)(x2 3)
实践与探索
因式分解：⑴ a(a 2) a 2
解:原式=a(a 2) (a 2)
(a 2)(a 1)
实践与探索
因式分解：⑵ m n p(n m)
解:原式= (m n) p(m n)
(m n)(1 p)
典例讲析
例1：因式分解：⑴ a2 ab ac bc
解:原式= a(a b) c(a b)
(x y)(x y 2)
(2).2a 6b a2 9b2 2(a 3b) (3b a)(3b a) (a 3b)(2 3b a)
(3).1 6ab a2 9b2 1 (a2 6ab 9b2 ) 1 (a 3b)2
(1 a 3b)(1 a 3b)
(a b)(a c)
这个多项式各项既没有公因式,又不能 直接运用公式,所以设法把原多项式的前 两项与后两项分成两组,在前两项提出a, 后两项提出c,发现两组都含有因式(a-b), 再继续用提取公因式法分解因式分组. 这种分解因式的方法叫做分组分解法.
典例讲析
例1：因式分解：⑵ 2ax 10ay 5by bx
解:原式= (a b)2 c2
(a b c)(a b c)
如果把一个多项式分组后各组都 能分解因式,且在各组分解后,各组之 间又能继续分解因式,那么,这个多项 式就可以用分组分解法分解因式.
练习2 分解因式:
(1).x2 y2 2x 2 y
(x y)(x y) 2(x y)
用分组分解法分解因式,一定要想想 分组后能否继续进行分解因式.
分解因式：
(1)ac+bc+2a+2b (2)3a-ax-3b+bx (3)4a2-b2+6a-3b (4)9m2-6m+2n-n2
.2已知 x2 y2 4x 8y 20 已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b 的值.
解:∵ a2+b2-6a+2b+10=0
∴a2-6a+9+b1.若 2+2b+1=0 ,则 ∴(a-3)2+(b+1)2=0
∴a=3,b=-1
练习3：因式分解
1、a2b2a2 b21
a2b2 1 b2 1 b2 1a2 1
b 1b 1a 1a 1
典例讲析
例2：因式分解：⑴ x2 y2 ax ay
解:原式= (x y)(x y) a(x y)
(x y)(x y a)
这个多项式的前两项用平方差公 式分解后与后两项有公因式(x+y)可 继续分解,这也是分组分解法中常见 的情形.
典例讲析
例2：因式分解：⑵ a2 2ab b2 c2
分解因式要分解到不能继续分解因 式为止.
练习：因式分解
2、x2 6xy 9y 9y2 3x
x2 6xy 9y2 3x 9y
1.若
x 3y2 3x ,则 3y x 3yx 3y 3
小结:
如果一个多项式各项既没有公因式, 又不能直接运用公式,但把一个多项 式分组后各组都能分解因式,且在各 组分解后,各组之间又能继续分解因 式,那么这个多项式就可以用分组分 解法分解因式.