21花边有多宽1
(巨睿)北师大版九年级数学(上)第二章第一节花边有多宽 教学设计——长武县昭仁中学 巨睿
0) 例题：1、课本 P43 随堂练习 2 2 2、把方程(3x+2) ＝4(x-3) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、 一次项系数和常数项. 3、4、5 幻灯片出示 本节教材选自北师大版九年级数学上册第二章第一节第一课时内容，本节课有 两课时。 这一课时主要是通过丰富的实例，如“花边有多宽”、“梯子下滑”等问题， 让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。在建 立了一元二次方程的模型思想之后，基于过的学习心理规律，学生自然会产生探求 解的欲望，从而顺利过渡到第二课时。 本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米 ，让学生观察、归 纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。学生在以前的学习中 已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。通过本节课的学习， 应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效模型。
∣m∣+1
2 2
2
学生独立完成 后，小组内交流
垫。 设计巩固 三是让学
学生做完 后老师指 导学生小 组展示。 出示幻灯 片 §
解错点。分 小组派代表展 示。其他小组纠 正或补充。 解一元二 次方的典 型特征。 拓展延伸 的设计是 为了达到 对学有余 力同学的 一个再提 高，让他 们能利用 方程的形 式和定义 解决数学 问题。 激发学生 的兴趣和 归纳本节 课 的 收 获，形成 知 识 体 系。
8分
点标注化 对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意 学生容易漏掉的二次项系数不为 0 的要点，给出 简 的 结 一元二次方程的要点和定义：只含有一个未知数 果。 x 的整式方程，并且都可以化为 ax bx c 0
2
让学生仔 细观察积 极讨论这 三个方程 有什么共 同点，然 后引导学 生交流归 纳并深层 次理解这 些方程的 特点，老 师板书。
贵州省六盘水市第十三中学九年级数学上册 2.1 花边有多宽导学案(无答案) 北师大版
花边有多宽3、观察下面等式：
————
六盘水市第十三中学数学导学案
主要设计者：夏榕九年级数学备课组组长：最终审核人：
集体备课人及执行人：徐燕尚强华陈丽夏榕邓伦君聂国华肖荷张元彦童英红———————————————————————————————————
六盘水市第十三中学数学导学案主要设计者：夏榕九年级数学备课组组长：最终审核人：
集体备课人及执行人：徐燕尚强华陈丽夏榕邓伦君聂国华肖荷张元彦童英红姓名——————————班级————————————家长签字—————————————
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%BC%9A2.1花边有多宽(共2课时)教案(北师...
2.1花边有多宽（一）教学目标：知识与技能目标：1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．过程与方法目标：1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念情感态度与价值观目标：从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．重点、难点、关键：1．重点：（1）掌握一元二次方程的解法，特别是公式法。
（2）培养学生的数学意识及解决简单的实际问题的能力。
2．难点：（1）用配方法解一元二次方程。
（2）一元二次方程教学过程：生活实例1观察：挂图显示出生活中丰富多彩的花边图案：有长方形，有圆形，有正方形，有椭圆形等（课前收集）；在课本图2一二的长方形花边上．问：这块四周建有宽度相等的底边的地毯，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？通过上述丰富的实例，为学生归纳出一元二次方程的概念提供帮助。
问：连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和？问：上述三个生活实例、数学问题得出下列三个方程：1．（8一2x）（5一2x）=182．x2+(x+1)2+(x+2)2=（x+3）2+(x+4)23．(x+6)2+72=102议一议：上述三个方程有什么共同特点？问：有大小两个圆形花坛，小四花坛面积比大花坛面积少10m，小圆花坛的周长比大花坛的周长短10m，设大花坛周长为x，借你列出关于x的方程。
随堂练习：随堂练习1、2课堂小结：本节课首先通过丰富的实例。
观察、归纳出一元二次方程的有关概念，体会方程的模型思想。
要掌握的概念（二）一元二次方程定义（2）一元二次方程一般式：（3）二次项、一次项、常数项的有关概念。
注意：任何一个关于x的一元二次方程都可以化为一般式。
作业：课本习题2．11、22.1花边有多宽（二）教学目标：知识与技能目标：1．经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
2.1花边有多宽之一元二次方程解的估算(2)
本节课，你都学习了哪些知识？ 你是通过怎样的途径或方法学习这些知识的
你还有什么问题没有解决吗？
（8-2x）（5-2x）=18 花边到底有多宽，以你目前的知识，能解决吗
让我们共同进步！
课堂练习 课本P46随堂练习 ．五个连续整数，前三个数的平 方和等于后两个数的平方和，你 能求出这五个整数分别是多少吗?
温 州
课时小结 本节课我们通过解决实际问题，探 索了一元二次方程的解或近似解， 并了解了近似计算的重要思想—— “夹逼”思想．
温 州
课后作业 (一)课本P51习题2．2 ： l、2 (二)1．预习内容：P:53—P55
0 0.5 1 1.5 2 2.5
11
（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？ 还有其他求解方法吗？与同伴交流。
(8—2x)(5—2x)＝18， 即2x2一13x十11＝0． （ 注:x>o ） 8—2x＞o， 5—2x＞0． 从左至右分别11，4.75，0，―4，―7，―9 因此，地毯花边宽x=1米. 或，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3， 则8―2x=6，x=1
我们定义一元二次方程：
只含有一个未知数x，并且都可以化为 ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）形式的整 式方程，这样的方程叫做一元二次方程。 其中，我们把ax2+bx+c=0称为一元二次方程的一 般形式，其中 ax2 叫二次项，a是二次项系数 ； bx叫一次项， b是一次项系数；c叫常数项。
一元二次方程的解的估算
创设现实情境，引入新课 前面我们通过实例建立了一元二次方 程，并通过观察归纳出一元二次方程 的有关概念，大家回忆一下。
什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？ 一般形式：ax2+bx+c=0(a，b，c是常数，a≠0 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数 及常数项。 （1）2x2―x+1=0 (2)―x2+1=0 (3)x2―x=0 (4)―3x2=0
北师大版数学九上2-1花边有多宽教学设计
如图，一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的 学 的 过 程 中 总 顶端距地面的垂直距离为 8m．如果梯子的顶端下滑 结 出 一 元 二 次 1m.那么梯子的底端滑动多少米？ 方程的概念。 二 是通过不同的
8
由勾股定理可得，滑动前梯子底端
情境， 让学生先 独立思考， 然后
m
距墙________m, 如果设梯子底端滑动 x m, 那么滑动 合作学习， 最后 后梯子底端距墙_________________________m_.根据 是 师 生 共 同 分 题意，可得方程________________. 议一议： 上述三个方程有什么共同特点？ 一元二次方程定义： 三、随堂练习，巩固所学 1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理 由。 （1）x2-y=1 (2) 1/x2-3=2 (3)2x+x2=3 (4)(x-1)(x2+x+1)=(x2-2x+1)(x-1) (5)(a-1)x2+x=1 (6)3x-1=0 (7) (5x+2)(3x-7)=15x
如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那 过 设 置 生 活 中 么 后 面 四 个 数 一 次 可 表 示 为 的情境， 提高学
________,________,________,_________. 根 据 题 生的兴趣， 从而 意，可得方程_________________________. 情境问题三： 使学生愿意学， 乐于学， 并且在
2
析得出一元二 次方程的概念
本环节严抠方 程的概念， 通过 学生的判断， 加 深对一元二次 方程概念的理 解，其次，通过 动手， 加强学生
2、 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
《2.1花边有多宽(1)》学案doc
13《2.1花边有多宽(1)》课前预习1.如果代数式7x -3与 互为倒数，则x= .2.用两根长为12cm 的铁丝分别围成一个正方形和一个长和宽之比为2:1的长方形,则正方形面积为 , 长方形面积为 .3.当m= 时,方程3(x+1)=5m -2的解为x=-5.4.如果12y+(n -1) y 2=3是关于y 的一元一次方程,则n= .5.一个矩形的花园,面积为50 m 2，宽比长少5 m,若设矩形花园的宽为x m,则长为 m,根据题意,可得方程 .典例分析例1：下列方程哪个是关于x 的一元二次方程 ( ) A. ax 2+bx+c ＝0 B.k 2+5k+6＝0C. 3x 3+2x －1＝0D. (m 2 +3)x 2+4x －2＝0例2：指出下列方程中,是一元二次方程的是 .(填入序号即可) ①5x 2+1=0 ②3x 2+x1+1=0 ③4x 2=ax (其中a 为常数) ④2x 3+3x =0 ⑤2315x + =2x ⑥22()x x +=2x ⑦｜x 2+2x ｜=4. ⑧ x 2+3x+1= x 2[点拨]一元二次方程是只含有一个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程例3：按要求填写下表:已知方程 一般形式二次项 二次项系数 一次项一次项系数常数项(1) x 2+5x=50 (2) ３y 2=18 (3) (2y －1) (3y +2)=2－y 2 (4) (x －1) (x －５)＝９ (5) (2x +3)2=4(3x －1)2(6)－ax 2+ax+bx 2－mx ＝７ （其中a 、m 、b 为常数，且a ≠b ）[点拨]将一元二次方程化成一般形式是做好本题的关键,寻求各项及其系数时, ①是注意项与系数的区别;②是系数前面的符号.基础训练一、选择题1．(兰州)下列方程中是一元二次方程的是（ ）Ａ．210x +=Ｂ．21y x +=Ｃ．210x +=Ｄ．211x x+= 2. 一元二次方程7x 2－2x =0的二次项、一次项、常数项依次是 ( )A. 7x 2,2x ,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x ,0. 3. 若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是( ) A. 2 B. －2 C. 0 D. 不等于2 二、填空题4. 将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为 .5. 方程5x 2=2(x +2)的二次项是__________，一次项是__________，常数项是 .6.（三明）若关于x 的方程x 2＋mx －6=0有一个根是2，则m 的值为 . 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7. 判定下列方程是否一元二次方程,并说明理由.①x 2+2xy －y 2=0 ②3x +x1=0 ③x 2=1 ④ (3+ x )2=4 ⑤5132+x =－9x ⑥(x 2－3)x +1= x 3+3x ⑦ x 2－x +1= x 28. 把方程(4－x )2=6x －5化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数及常数项.拓展延伸一、选择题1． 已知x 2+3x+5的值为9，则代数式3x 2+9x-2 的值为( )A.4B.6C.8D.102. (连云港)为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）Ａ．225003600x =Ｂ．22500(1)3600x +=Ｃ．22500(1%)3600x +=Ｄ．22500(1)2500(1)3600x x +++=3.若a x 2-5x+3＝０是一元二次方程,则不等式3a+6>0的解是（ ） A ．a >-2 B ．a ≤-2 C ．a >-2 且a ≠0 D ．a >2 二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）4. 方程x m -1-3mx +m -2=0是关于x 的一元二次方程，则此一元二次方程是 .5. （大连课改）大连某小区准备在每两幢楼房之间，开辟面积为300平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，设长方形绿地的宽为x 米，则可列方程为 ．6. 一元二次方程2 x 2+(a +8)x-(2a -3)＝０的二次项系数，一次项系数及常数项之和为5，则a= . 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7.一个面积为60m 2的矩形花园，它的长比宽多11m ，花园的长和宽各是多少？设宽为x 米，请列出方程并化为一般式。
初三(九年级)数学一元二次方程应用题专项练习(带答案)
一元二次方程应用题专项练习题（带答案）一、面积问题m的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 苗圃的长和宽各是多少01、一个面积为120 2m的矩形若能，则矩形的02、有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为15 2长、宽各是多少{03、如图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两m，条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 2道路的宽应为多少：04、如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m2，道路应为多宽]05、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8 m，宽为5 m. 如果地毯中m，那么花边有多宽央长方形图案的面积为18 2{~06、在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少【m的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个07、有一面积为54 2正方形，这个正方形的边长是多少{08、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.（1）要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.】09、如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半￥二、体积问题,dm，求这个木箱的长和宽.10、长方体木箱的高是8 dm，长比宽多5 dm，体积是528 311、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.cm，求原铁皮的边长.已知盒子的容积是400 3`三、数的问题12、两个数的差等于4，积等于45，求这两个数.13、三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少)14、有五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数.15、若两个连续整数的积是56,则它们的和是( )]A. 11B. 15C. -15 D .±1516、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.…四、变化率问题（增长或减少）17、某公司前年缴税40万元，今年缴税万元，该公司缴税的年平均增长率为多少18、某种型号的电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______.—19、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( )A. 200(1+x)2=1000B. 200+200×2x=1000C. 200+200×3x=1000D. 200[1+(1+x)+(1+x)2]=100020、某商场今年1月份销售额为100万元，2月份销售额下降了10%，该商场马上采取措施，改进经营管理，使月销售额大幅上升，4月份的销售额达到万元，求3、4月份月销售额的平均增长率.]五、利润问题21、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元22、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
九年级数学花边有多宽、配方法、公式法北师大版知识精讲
初三数学花边有多宽、配方法、公式法北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 1. 花边有多宽 2. 配方法 3. 公式法二. 教学目标1、了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法解简单的一元二次方程。
2、能够利用一元二次方程解简单的实际问题，初步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型，并从中体会方程的模型思想。
三、重点及难点重点：1、一元二次方程的概念及其一般形式。
2、掌握配方法、公式法解一元二次方程的步骤。
难点：1、如何利用未知数取值法确定未知数的取值X 围。
2、解一元二次方程的过程。
四、课堂教学 ［知识要点］1、整式方程：方程两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫整式方程。
2、一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
3、一元二次方程的一般形式：把20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程。
4、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接 开平方法 。
例如：()264x += 解： 62x +=± ∴124,8x x =-=-5、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
例如：2240x x --= 解：移项得：224x x -=两边都加上一次项系数一半的平方：22141x x -+=+即：()215x -=∴1x -=∴1211x x ==6、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
7、求根公式：对于一元二次方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠），当240b ac -≥时，它的根是2b x a-±=，即12b x a -+=，22b x a-=注意：当240b ac -=时，应把方程的根写成122bx x a==-的形式，说明一元二次方程有两个相等的根，而不是一个根。
2.1花边有多宽(2)
独立 作业
知识的升华
1、P47习题2.2 1,2题;
祝你成功！
独立 作业
知识的升华
根据题意,列出方程,并估算方程的解： 1.一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和 x+2 宽各是多少？ 解：设矩形的宽为xm，则长为(x ＋2) m, 根据题意得： x (x＋2) ＝120. 即 x2 ＋ 2x－120 ＝0. x
第二章 一元二次方程
花边有多宽(2)
做一做度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
做一做
☞
估算一元二次方程的解
解：如果设花边的宽为xm , 根据题意得
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18. 即2x2-13x+11 = 0. 你能求出x吗?怎么去估计x呢？ 8 你能猜得出x取值的大 x 致范围吗? x （8－2x） X可能小于等于0吗?说 5 说你的理由. 2
解：根据题意得 5＝10+2.5t-5t2. 即 2t2 –t－2＝0.
根据题意,t的取值范围大致是0<t<3. 完成下表(在0<t<3这个范围内取值计算,逐步逼近):
t 2t2-t-2 … 0 … -2 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 …
-1 -0.68 -0.32 0.08
0.52 4 13 …
做一做
☞
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的 垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑 动多少米？ 解：如果设梯子底端 滑动x m，根据题意得 数学化 8m 1m
花边有多宽(1)
2 x( x − 1) + 6 x = 2 x 2 + 7
例2.将下列关于x的一元二次方程化为一般形式, 并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项: ⑴2x(x-1)=3(x+5)-4 ⑵(3x+2)2=4(x-3)2 ⑶(ax-b)2-(a-bx)2=a2+b2(a≠b,ab≠0) ax b a bx a b a≠b,ab≠0)
上述方程有什么共同特点?
⑴方程都是整式方程 ⑵它只含有一个未知数 ⑶未知数的最高次数是2 未知数的最高次数是
定义: 定义
只含有一个未知数x,并且都可以化为 只含有一个未知数 并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数 ≠0)的形式的整式方程 为常数,a 的形式的整式方程 为常数 ,叫作一元二次方程 叫作一元二次方程 叫作一元二次方程. 为常数,a≠0)称为一元 为常数 称为一元 把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数 二次方程的一般形式，其中ax ,c分别 二次方程的一般形式，其中ax２,bx ,c分别 分别称 称为二次项、一次项和常数项，a, b分别称 称为二次项、一次项和常数项， 二次项 二次项系数和一次项系数． 为二次项系数和一次项系数．
如图，一个长为 的梯子斜靠在墙上， 如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶 的梯子斜靠在墙上 端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m， 端距地面的垂直距离为 ．如果梯子的顶端下滑 ，那 么梯子的底端滑动多少米？ 么梯子的底端滑动多少米？ 由勾股定理可知， 由勾股定理可知，滑动前 6 m. 梯子底端距墙 如果设梯子底端滑动X ， 如果设梯子底端滑动 m， 那么滑动后梯子底端距墙 ＋ m; x＋6 根据题意，可得方程： 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2＝102 ＋ _________________
2.1.1 花边有多宽
第二章 一元二次方程§2.1 花边有多宽学习目标1、 经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型2、 了解和掌握一元二次方程的一般形式教学重点和难点重点：引导学生列出方程并抽象出一元二次方程的概念 难点：引导学生列出方程并抽象出一元二次方程的概念教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题在七年级的时候，我们学习了一元一次方程；八年级的时候，我们学习了分式方程；这一章，我们将会学习另一种方程。
二、师生共同研究形成概念1、 整式方程和分式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。
如：532=+x 分母中含有未知数的方程叫分式方程。
如：322=+x一元一次方程：元：所含的未知数的个数；次：未知数的最高次数2、 引导出二元一次方程的定义 ✧ 根据题意，列出方程：1） 一个数的平方与1的和等于50，求这个数: 5012=+x2） 两个连续整数的积是240，求这两个数: 240)1(=+x x ， 即2402=+x x3） 一个长比宽多4的矩形的面积为60，求这个矩形的宽: 60)4(=+x x ， 即6042=+x x☆ 想一想 书本P 42 具体实例 通过“花边有多宽”、“梯子下滑”等丰富的实例，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
梯子下滑可借助教具讲解。
书本所列举的例子较难，讲解时，可通过其它实例让学生抽象出方程模型。
✧ 花边有多宽实例得出方程：18)25)(28(=--x x ，即：0111322=+-x x ✧ 五个连续整数实例得出方程：22222)4()3()2()1(+++=++++x x x x x ，即： ✧ 梯子下滑得出方程：222107)6(=++x ，即：015122=-+x x☆ 议一议 书本P 44 议一议通过对所列三个方程共性的分析，抽象出一元二次方程的概念。
可先让学生进行观察与思考，并用自己的语言进行描述。
初中九年级数学 第二章一元二次方程学案设计及测试题
1、花边有多宽（1）设计人：温现国教师寄语：没有自信，成功远在天涯。
拥有自信，你已成功了一半。
【学习目标】1、知识与技能：理解一元二次方程的定义，会判断满足一元二次方程的条件。
2、能力培养：能根据具体情景应用知识。
3、情感与态度：体验与他人合作的重要性及数学活动中的探索和创造性。
【学习重点】1、一元二次方程的定义；2、一元二次方程的一般形式。
【学习过程】（教师寄语：自信是成功的前提！）一、前置准备：1、什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？2、多项式2x2-3x+1是几次几项式？每项的系数和次数分别是几？二、自学探究：理解一元二次方程的概念并会把一元二次方程化为一般形式。
自学教材42-43页，回答：（1）如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为m，宽为m 根据题意，可得方程（2）试再找出其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和：；如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为、、、，根据题意可得方程：（3）根据图2-2，由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m，如果设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙 m，梯子顶端距地面的垂直距离为 m，根据题意，可得方程：三、合作交流：观察上述三个方程，它们的共同点为：①；②；象这样的方程叫做。
其中我们把称为一元二次方程的一般形式，ax2，bx，c分别称为、、，a、b分别称为、。
1、分别把上述三个方程化为ax2+bx+c=0的形式并说明每个方程的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）（2）（3）（与同学交流你的想法）四、归纳总结：通过本节课的学习你学到了哪些知识？与同学交流一下。
五、当堂训练：1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项：（1）2x 2+3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x 2+3x+1 （3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
数学：2.1花边有多宽(第1课时)教案(北师大版九年级上)
2.1花边有多宽方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，随着数学应用的日趋广泛，方程的工具作用显得愈发重要.一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中数学中占有重要的地位．本节“花边有多宽”是一元二次方程的基础，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念，进而通过夹逼思想估算方程的解．本节的重、难点是一元二次方程的概念及其近似解．2.1花边有多宽(一)教学目标(一)教学知识点1．一元二次方程的概念2．一元二次方程的有关概念．(二)能力训练要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．2．理解一元二次方程的概念(三)情感与价值观要求从生活实际中抽象出数学问题，让学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．教学重点一元二次方程的概念a≠0教学难点一元二次方程的概念:a≠0教学方法启发诱导式教具准备投影片四张第一张：花边有多宽(记作投影片§2．1．1 A)第二张：数学问题(记作投影片§2．1．1 B)第三张：实际问题(记作投影片§2．1．1 C)第四张：想一想(记作投影片§2．1．1 D)教学过程Ⅰ．创设现实情景、引入新课[师]前面我们学过黄金分割，知道黄金比是多少吗?[生]黄金比是0.618．[师]很好，你知道黄金比为什么是0．618吗?……[师]好，经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……从今天开始，我们来学习能解决这些问题的知识：第二章：一元二次方程．与一次方程和分式方程一样，一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型．下面我们来学习第一节：花边有多宽．Ⅱ．讲授新课[师]我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 A)；大家来讨论讨论．一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?[生]我们可以利用列方程来求解．[师]很好，那如何列方程来求解实际问题呢?想一想，前面我们学习的列一元一次方程的思路和方法．[生]要从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．这个题已知：这块地毯的长为8 m，宽为5 m，它中央长方形图案的面积为18m2．这个题所要求的是；地毯的花边有多宽．本题是以面积为等量关系．[师]这位同学分析得很好，下面我们共同来利用这些数量关系列出方程．[师生共析]如果设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，根据题意，可得方程(8-2x)(5-2x)＝18注意：1．利用列方程解实际问题时，关键是要找到等量关系，如本题中的面积等于长乘以宽．2．用一个含有未知数的代数式表示一个量，并且这个量有单位时，需要把这个代数式用括号括起来，如本题中的地毯中央长方形图案的长、宽等．[师]好，下面我们来看一个数学问题(出示投影片§ 2．1．1 B)：观察下面等式102+112+122＝132+142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?[生]这个题我们也可以利用数量关系列方程．[师]很好，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面的四个数该如何表示呢?[生甲]因为任何两个连续整数的差为1.所以，如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4．[生乙]根据题意，则可得到方程x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2．[生丙]老师，我觉得这个题也可以设中间的那个数为x，那么其余四个数依次为x-2，x-1，x+1，x+2，由此也可得方程(x-2)2+(x-1)2+x2＝(x+1)2+(x+2)2．这样行吗?[师]丙同学的思路很好，这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．下面我们来看一个实际问题(出示投影片§2．1．1 C)：如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米?[师]同学们分组讨论，列出方程．[生甲]墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10 m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6 m．[生乙]设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6+x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程． (x+6)2+(8-1)2＝102，即(x+6)2+72＝102．[师]同学们讨论得很完整，接下来想一想，议一议(出示投影片§ 2．1．1 D)：由上面三个问题，我们可以得到三个方程：(8-2x)(5-2x)＝18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2，(x+6)2+72＝102．这三个方程有什么共同特点?[生甲]这三个方程的每个方程的左、右两边都是整式．[生乙]我把这三个方程进行了化简，即(1)(8-2x)(5-2x)＝18，40-26x+4x2＝18，4x2-26x+22＝0．(2)x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2，x2+x2+2x+1+x2+4x+4=x2+6x+9+x2+8x+16，x2-8x-20＝0．(3)(x+6)2+72=102，x2+12x+36+49=100，x2+12x-15=0．由此可以知道：这三个方程可以化简为三项的和．[生丙]把这三个方程经过化简后，最高次数是二次．[生丁]这三个方程的每一个方程中只含有一个未知数．[师]同学们总结得很好．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程,等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2+bx+c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadratic equatton with one unknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．注意：1．一元二次方程必须同时满足以下三点；(1)方程是整式方程．(2)它只含有一个未知数．(3)未知数的最高次数是2，即化简为ax2+bx+c=0时，a≠0．2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx++c=0(a≠0)的形式,其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．因为任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0《a≠0》的形式，所以我们把ax2+bx+c ＝O(a、b、c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2、bx、c分别称为二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．注意：(1)当a＝0，b≠0时，方程就是一元一次方程，当一个方程是一元二次方程时，则隐含了条件：a≠0.(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式．Ⅲ．应用、深化课本P43随堂练习1．从前有一天，二个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗?请根据这一问题列出方程．解：设竹竿长为x尺，则门框宽为(x-4)尺，门框高为(x-2)尺，根据题意，得x2＝(x-4)2+(x-2)2，即x2-12x+20=02．把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.解：方程(3x+2)2＝4(x-3)2的一般形式是5x2+36x-32＝0．方程的二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是-32．Ⅳ．课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝O(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．Ⅴ.课后作业(一)课本P44习题2．1 1、2(二)1．预习内容：P44-P462．预习提纲探索一元二次方程的解或近似解，Ⅵ．活动与探究1．当d、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元一次方程?[过程]让学生通过讨论、总结，知道：对于方程ax2+bx+c＝0，当a≠0时．是一元二次方程；当a＝0且b≠0时，方程为bx+c=0，是一元一次方程．[结果]当a≠1时，方程(a-1)x2-bx+c＝0是一元二次方程，这时，方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b．当a=1且b≠0时，方程是一元一次方程．板书设计2.1花边有多宽(一)一、1．设花边的宽为x m，那么地毯中央长方形图案的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m．根据题意，可得(8-2x)(5-2x)＝18．2．设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1、x+2、x+3、x+4．根据题意，可得x2+(x+1)2+(x+2)2＝(x+3)2+(x+4)2．3．设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m．根据题意，可得(x+6)2+72＝102．二、议一议三个方程的共同特点：(1)只含有一个未知数．(2)整式方程．(3)可化为ax2+bx+c＝0．三、1．一元二次方程的定义．2．一元二次方程的一般形式；ax2+bx+c＝0(a≠0)ax2是二次项，a是系数bx是一次项，b是系数c是常数项四、练习五、小结六、课后作业。
花边有多宽(二)教学案例
第二章一元二次方程1．花边有多宽（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程。
因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。
同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。
在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。
同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于学生已有的估算意识和能力以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课《花边有多宽》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
3、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
花边有多宽说课稿
《花边有多宽》说课稿杜燕平各位评委、老师们：大家好！我是唐山第四十九中学的数学教师杜燕平，很高兴参加这次说课活动，这对我来说是一次难得的机会，深切盼望专家和评委对我的说课内容提出宝贵意见。
今天我说课的内容是北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程的第一节《花边有多宽》。
下面，我从教材分析、教法与学法分析、教学过程分析、设计说明四个方面来谈谈我对这节课的教学设想。
一、教材分析1、教材的地位和作用。
“花边有多宽”是第二章一元二次方程的第一节。
在前面学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题，但生活中有关方程的模型并不都是线性的，另一种方程——一元二次方程在现实生活中有同样广泛的作用。
2、教学重点与难点。
正确识别一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
3、教学目标：根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下教学目标(1)知识目标：1）经历抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型。
2）理解和掌握一元二次方程及其一般形式。
3）会判断一个方程是一元二次方程。
2.情感态度与价值观：通过用一元二次方程解决实际问题，体会数学是解决现实生活中不可缺少的一种方法。
下面，为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、教法与学法分析叶圣陶先生说：“教是为了不教”。
鉴于教材内容是在一元一次方程的基础上学习的，故选用类比方法，类比一元一次方程的有关知识来学习，以及自主探索、合作交流的重要学习方式。
通过实际问题所列出的方程，首先引导学生进行观察与思考，并用自己的语言进行描述，然后再组织学生进行交流。
抽象出一元二次方程的概念，而不是让学生单纯记忆前人的研究成果，重要的是激发学生创造思维，引导学生去探究、发现结论的方法。
最新一元二次方程定义课件
8cm
40-16x-10x+4x2=18
最新一元二次方程定义
5
引例2：数字问题（42页） 观察等式 10²+ 11² +12² =13²+14²
五个连续整数，前三个数的平方和等于后 两个数的平方和，你还能找到其他的五个 连续整数，怎么找？
寻找五个连续整数的方法？
最新一元二次方程定义
6
引例2：数字问题
x2 ＋12 x －15 ＝0.
把一个整式方程经过变形后，只含有一个未
知数x，且可以化为ax2+bx+c=0（a，b，c为
常数，a≠0）形式的整式方程。
最新一元二次方程定义
14
一元二次方程定义：
把ax2+bx+c=0 （a≠0）称为一元二次方程一 般形式，
其中ax2是二次项，a是二次项的系数。 其中bx是一次项， b是一次项的系数。
二次项 一次项 常数 系 数系 数 项
3 －5 1
(x+2)(x -1)=6 1x2 ＋ x－－88＝0
1 1 －8
－1 7x2 ＋4＝0
4-7x2=0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7 0
4
或7x2 － 4＝0
7 0 －4
最新一元二次方程定义
19
巩固提高1：（开放题）
请写出一个一元二次方程，要求二次项
最新一元二次方程定义
7
引例3、一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子 的顶端距离地面的垂直距离为8m, 如果梯子的顶 端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少m?
数学化 1m
8m
7m
6m ?m
方法一：两次勾股定理。
最新一元二次方程定义
《2.1花边有多宽(2)》学案
《2.1花边有多宽(2)》学案 姓名课前预习(该部分要求同学们首先预习本课知识的基础上完成下面的填空)1.方程3x 2+8＝0的一次项系数是 .2. 方程300=3x 2,则 x 为 .3. 方程（x-1）2＝100，则x 为 .4. a 2+2ab + b 2 = .5. 某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x ，根据题意列方程_________.典型例题分析例1：一个矩形的花园,面积为50 m 2，宽比长少5 m,求这个花园的长和宽各是多少米？[点拨] 列方程解应用题的关键是找到题目中的等量关系，本题中的等量关系是：矩形的面积=长×宽.在学习一元二次方程的解法以前,可以用估算的方法得到该一元二次方程的解,要使得到的解符合实际意义,所以可直接考虑x 为正即可,实际上x =－10时, x 2+5x －50＝0也成立,但因－10不合题意,应舍去.解：设矩形花园的宽为x m,则长为(x +5)m,根据题意,得：整理得 估算一元二次方程的解:x4 5 6∴ 答:例2：观察长方体盒子的制作过程:把一块长方形的纸片的四个角上剪去四个相同的小正方形,然后把四边折起来,就可以做成一个没有盖子的长方体盒子.如图(1),,一块长为40cm,宽为30cm 的纸片,在四个角上剪去四个相同的小正方形,然后做成图(2)所示的底面积为的750cm 2的没有盖子的长方体盒子.若设小正方形的边长为,那么这个盒子底部的长与宽分别为 和 ,根据题意,可列方程 ,整理成一般形式得 .解:(40-2x ); (30-2x ) ; (40-2x )(30-2x )=750;2 x 2-70x +225＝0.[点拨]:看此题，阅读量很大，平面图形与立体图形全面展现，但实际只要抓住矩形面积即可求解.故在审题过程中应抓住题目的本质，不要被题意所迷惑，认真分析图中各量之间的关系.例3：已知关于x 的方程(m +3)21mx +2(m －1) x －1＝0.(1) m 为何值时,它是一元二次方程. (2) (1) 40cm 30cm x cm(2)m为何值时,它是一元一次方程.[点拨]此题要根据一元二次方程和一元一次方程的定义来确定m的值.此方程为一元二次方程的条件是m2－1=2且m +3≠0; 此方程为一元一次方程的条件应按以下几个方面讨论:①m +3=0且m－1≠0；②m2－1=1且(m +3) +2(m－1) ≠0；③m2－1=0且2(m－1)≠0.解：⑴由21230mm⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，得出m =3∴当m =3时, 原方程为一元二次方程.(2) 若使原方程为一元一次方程,则m的情况应分为以下三种情况讨论:①由1030mm-≠⎧⎪⎨+=⎪⎩，得出m = －3；②由21132(1)0mm m⎧-=⎪⎨++-≠⎪⎩，得出m = ±2；③由2102(1)0mm⎧-=⎨-≠⎩，得出m = －1.∴当m = －3或±2或－1时,原方程为一元一次方程..《2.1花边有多宽(2)》基础训练一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1．下列叙述正确的是 （ ）A.形如ax 2+bx +c =0的方程叫一元二次方程B.方程4x 2+3x =6不含有常数项C.(2－x )2=0是一元二次方程D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为02. 两数的和比m 少5，这两数的积比m 多3，这两数若为相等的实数，则m 等于 ( )A.13或1B.－13C.1D.不能确定3. 关于x 2=－2的说法，正确的是 ( )A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上）4. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m _________时，是一元一次方程.5. 如图，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x 的矩形，剩余部分的面积为9， 可列出方程为_____________，解得x =_________.6. 方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是 .三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7. (m -2)21m x + (m +2) x +4＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值,并求此时方程的根.8. 已知关于x 的方程(m +1)x 2+( n 2－2)x +3=0.（1）当m ，n 为何值时，此方程是一元二次方程？（2）当m ，n 为何值时，此方程是一元一次方程？拓展延伸一、选择题（本大题共3小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请将此项的标号填在括号内）1．某公司利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x ，可以列方程得（ ）A.5(1+x )=9B.5(1+x )2=9C.5(1+x )+5(1+x )2=9D.5+5(1+x )+5(1+x )2=92. (常德)根据下列表格中所列出的当x 取不同数值时代数式2ax bx c ++值的变化情况，判断方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是( ) x6.17 6.18 6.19 6.20 代数式的值 －0.03 －0.01 0.02 0.04Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.1x << Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.2x << 3. 方程x 2－2(3x －2)+(x +1)=0的一般形式是（ ）A.x 2－5x +5=0B.x 2+5x +5=0C.x 2+5x －5=0D.x 2+5=0二、填空题（本大题共3小题，请把正确答案填在题中的横线上） 4. (常德)已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可）．5. (河北) 在分式方程2221x x x x++=+中，如果设2y x x =+，那么原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是 .6.(潍坊)已知01a a b x ≠≠=，，若是方程2100ax bx +-=的一个解，则2222a b a b--的值是 ． 三、解答题（本大题共2小题，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）7. 现有长40米，宽30米的一块场地，欲在其中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来．8.关于x 的方程（2m 2+m -3）x m +1+5x =13可能是一元二次方程吗？为什么？（2m 2+m -3）x m -1+5x =13呢?。
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课题 2.1、花边有多宽（一）课型新授课
教学目标1．要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。
通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2．通过教师的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。
教学重点一元二次方程的概念
教学难点如何把实际问题转化为数学方程
学情分析本课通过丰富的实例：花边有多宽、梯子的底端滑动多少米，让学生观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程的模型思想。
学生在以前的学习中已经了解了方程的概念，但对于一元二次方程没有深入的理解。
通过本节课的学习，应该让学生进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界的一个有效模型。
教学后记
教学内容及过程
教师活动学生活动引入新课
1、艺术设计
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为8m，宽为5m。
如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽？
2、趣味数学：
先观察下面等式：
102＋112＋122＝132＋142
你还能找到其它的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
3、梯子移动对“花边有多宽”的问题产生了很强的探究的欲望，但大部分学生不知道如何找到解决问题的方法，新的任务与原来的认知结构发生冲突。
对照图形(示意图)认真思考，找到各个元素的数量关系，比较顺利地把填空题补充完整。
长为8—2x。
宽为5—2x，根据题意可得方程(8—2x)(5—2x)＝18。
如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m 。
如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米？ 问题①如果设花边的宽为x 米，那么地毯中央长方形图案的长为 米，宽为 米。
根据题意，可得方程 。
问题②如果设五个连续整数中的第一个数为x ，那么后面四个数依次可表示为 ， ， ， 。
根据题意，可得方程 。
问题③由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m,如果设梯子底端滑动xm ，那么滑动后梯子底端距墙 m 。
根据题意，可得方程 。
探索新知 三个方程化简后，教师可引导学生类比一元一次方程观察这三个的特点，然后进行汇总，归纳，学生容易漏掉二次项系数不为0的要点，教师可给予必要的引导。
具体处理方法如下： 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： （8－2x ）(5－2x)=18 即2x 2
－ 13x ＋ 11 = 0 x 2＋(x ＋1) 2＋(x ＋2) 2=(x ＋3) 2＋(x ＋4) 2 即x 2
－ 8x － 20＝0 (x ＋6) 2＋72=10 2 即x 2
＋12 x －15 ＝0 引导学生观察上述三个方程有什么共同特点？（提示：我们曾经学习了—元一次方程，同学们可以类比着它的要点，看看这些方程有什么特点。
） 对学生所说的各个情况进行总结，尤其注意学生容易漏掉的二次项系数不为0的要点，给出一元二次方程的要点和定义：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为0
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=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）强调三个特征：整式方程；只含一个未知数；未知数的最高次数是2且其系数不为0。
（2）几种不同的表示形式：①ax 2
+bx+c=0 (a ≠0,b ≠0,c ≠0) ②ax 2
+bx=0 (a ≠0,b ≠0,c=0) ③ax 2
+c=0 (a ≠0,b=0,c ≠0) ④ax 2
=0 (a ≠0,b=0,c=0) 正整数是学生最熟悉的内容，五个连续整数的性质引发了学生的
兴趣和探究的欲望，受到前面题目的启发，可能会想到可以通过设未知数列方程来求解。
对于这个问题也很感兴趣，有的猜测可能梯
子底端滑动的距离和
梯子顶端滑动的距离一样，都是1米，但不能充分说明。
观察三个方程的特点，但因为问题的指向性不是很明确，因此有些茫然。
得到启发，从未知数的个数、未知数的最高次数出发观察它
们的共性，容易看出它们都只有一个未知数，最高次数是2。
回答：都只含有一个未
知数，未知数的最高次数是2 继续观察三个方程的
特点，容易看出它们都是整式方程，把式子展开，经过移项、合并同类项等化成相似形式
的式子，经过交流学生认识得更加清楚。
回答：都是整式方程，并且都可以化成一个
二次加一个一次再加
一个常数的形式。
记下一元二次方程的
要点和定义。
掌握一般的一元二次
方程的形式和二次项。