第八章 采样控制系统
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采样控制系统
第八章采样控制系统§8-1 基本概念重点：采样系统的基本概念难点：离散信号与连续信号的区别连续系统：各变量均为时间t的连续函数。
离散系统：系统中某一处或几处的信号是脉冲序列或数字编码。
离散信号：仅在离散的瞬时上变化，是时间的离散函数，呈现的是脉冲信号或数码信号。
通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形成的离散系统，称为采样控制系统或计算机控制系统。
散控制系统分为：一、采样控制系统1．定义: 指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。
2．典型结构：根据采样装置在系统中所处的位置不同,可以构成各种采样系统。
例如：开环采样系统：采样器位于系统闭和回路之外，或系统本身不存在闭合回路。
闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。
常用误差采样控制的闭环采样系统。
如图，图中：r(t),e(t),y(t)为输入误差，输出的连续信号，S—采样开关或采样器，为实现采样的装置。
T—采样周期。
e﹡(t)—是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。
e*(t)作为脉冲控制器的输入,经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号。
即将脉冲信号e*(t)①采样过程：把连续信号转变为脉冲序列的过程称采样过程，简称采样。
②采样器：实现采样的装置，或采样开关。
③保持器：将采样信号转化为连续信号的装置（或元件）。
④信号复现过程：把脉冲序列--连续信号的过程。
4 .特点：采用系统中既有离散信号，又有连续信号。
采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。
而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。
二．数字控制系统1．定义：系统中含有数字计算机或数字编码元件的系统，是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。
2．组成系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分。
计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，故需要A/D,D/A实现两种信号的转换。
第八 采样控制系统分析基础一
10z1 30z2 70z3
1 3z1 2z2 10z1
10z1 30z2 20z3
30z2 20z3 30z2 90z3
得到
70 z 3 70z3
X (z) 10z1 30z2 70z3
作z反变换
60z4
60z4 210z4
140 z 5
x(nT) 0 (t) 10 (t T ) 30 (t 2T ) 70 (t 3T)
xn (t) x(nT )
T
(t nT ),
nT t (n 1)T
二、零阶保持器的数学模型
样点值的常值外推，其输入输出关系如图
时间函数 拉氏变换
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh (s)
1 s
1 eTs s
1 eTs s
频率特性
Gh
(
j
)பைடு நூலகம்
1
e jT
j
1 jT 1 jT
1 jT
e 2 (e2 e 2 )
j
T sin( T
2)
e
j
s
T 2
由于 T 2
可写为
s
Gh (
j )
2 s
sin( s ) s
e 2 s
零阶保持器的近似实现
由于
eTs 1 Ts 1 T 2s2
取泰勒级数的前两项
2!
1 eTs Gh (s) s
1 s
(1
1 eTs
)
eTs 1Ts
T 1 Ts
关于采样定理的说明
1、采样定理从理论上指明了从采样信号x*(t) 中恢复 原连续时间信号 x(t) 的条件。对于频谱丰富的时
第八章采样控制系统PPT课件
离散系统的分类：
采样器输出信号的幅值与输入信号的幅值之间满足线性关系，并且系
统中的连续部分为线性的，称为线性离散系统；
采样器在系统的闭合回路之外，或者系统中不存在闭合回路，称这样
的离散系统为开环离散系统；
采样器在系统的闭合回路之内，称为闭环离散系统。
采样器的工作方式：
周期采样（等速采样）：指一个采样器的采样时刻是等间隔的。 同步采样：指系统中两个或以上的采样器的采样周期相同，并且相位
设e(t ) 是具有有限带宽的非周期连续信号，其幅值谱为：
E ( j )
1
max 0 max
max 是该连续频谱的最大角频率
12
求采样信号e * (t的) 频谱 E *：( j )
由 E*(s)T1kE(sjks)
令 s j E*(j)T 1k E[j(ks)]
给出了离散信号的频 谱和连续信号频谱之
上同步。
多速采样：指系统中两个或以上的采样器分别按不同的采样周期工作。
本章仅讨论所有采样器均以同步采样、周期采样的方式工作的线性定常 离散系统。
7
8.2 信号的采样与恢复
在离散控制系统中，由于采样器和保持器的存在，信号传递过程需要不 断将连续信号变成离散信号，同时也要将离散信号变成连续信号。
e(t)
e*(t)e*(t) u*(t)u*(t)
将A/D看作理想开关， D/A等效为保持器。上面的计算机控制系统等效为
r (t )
e (t)
e * (t)
u ( t ) u *(t)
u h (t)
c (t)
Gc (s)
Gh (s)
G p (s)
—
A/D
数字控制器
D/A
采样器输出信号的幅值与输入信号的幅值之间满足线性关系，并且系
统中的连续部分为线性的，称为线性离散系统；
采样器在系统的闭合回路之外，或者系统中不存在闭合回路，称这样
的离散系统为开环离散系统；
采样器在系统的闭合回路之内，称为闭环离散系统。
采样器的工作方式：
周期采样（等速采样）：指一个采样器的采样时刻是等间隔的。 同步采样：指系统中两个或以上的采样器的采样周期相同，并且相位
设e(t ) 是具有有限带宽的非周期连续信号，其幅值谱为：
E ( j )
1
max 0 max
max 是该连续频谱的最大角频率
12
求采样信号e * (t的) 频谱 E *：( j )
由 E*(s)T1kE(sjks)
令 s j E*(j)T 1k E[j(ks)]
给出了离散信号的频 谱和连续信号频谱之
上同步。
多速采样：指系统中两个或以上的采样器分别按不同的采样周期工作。
本章仅讨论所有采样器均以同步采样、周期采样的方式工作的线性定常 离散系统。
7
8.2 信号的采样与恢复
在离散控制系统中，由于采样器和保持器的存在，信号传递过程需要不 断将连续信号变成离散信号，同时也要将离散信号变成连续信号。
e(t)
e*(t)e*(t) u*(t)u*(t)
将A/D看作理想开关， D/A等效为保持器。上面的计算机控制系统等效为
r (t )
e (t)
e * (t)
u ( t ) u *(t)
u h (t)
c (t)
Gc (s)
Gh (s)
G p (s)
—
A/D
数字控制器
D/A
(自动控制原理)采样控制系统
X(s )= M(s ) N(s ) 的多项式， 其中， 其中，M(s )及 N(s )分别为复变量s 的多项式，并
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
且有 deg M( s ) ≤ deg N( s )以及 deg N( s ) = n . 展开成部分分式和的形式， 将 X(s)展开成部分分式和的形式，即
n
Ai X(s)= ∑ i =1 s + si 式中： 的零点， 的极点， 式中： i 为 N(s)的零点，即 X(s) 的极点，且设为 s
①线性性质 若 Z[ x1(t )] = X 1( z ), Z[ x2(t )] = X 2( z ) , a1, a2为常数 则 Z[a1 x1(t )+ a2 x2(t )] = a1 X 1( z )+ a2 X 2( z ) ②平移定理 若 Z[ x(t )] = X( z )
Z[ x(t + kT )] = z k X( z )− z k − j x( j ) ∑ 则 j =0 Z[ x(t − kT )] = z − k X( z ) 若 k = 1时，有 Z[ x(t + T )] = z[ X( z )− x(0)] Z[ x(t − T )] = z −1 X( z )
若上述级数收敛，则称 E ( z ) 为采样信号的z变换。 为采样信号的z变换。 若上述级数收敛， 为了书写方便， 为了书写方便，通常写成 E ( z ) = Z [e(t )] ,但仍理 变换。 解为是对取 Z 变换。
（2）常用函数的 Z 变换和 Z 变换的性质 变换见表8 1）常用普通时间函数的 Z 变换见表8-1 表8-1 Z 变换表
* n=0
+∞
( n 式中 e nT ) = e t )t = nT ， (
自动控制原理 第8章_采样控制系统
离散控制系统、数字控制系统和采样控 制系统都是同类系统，但严格是有差别的。 一、离散控制系统：内涵最广，它涵盖了采 样和数字控制系统。离散控制处理的是 离散信号。 二、采样控制系统：包括了采样数据信号和 数字信号，如过程控制系统（PCS）。 采样控制处理的是采样信号。 三、数字控制系统：信号是一个数字序列， 如数字仿真系统（DSS）。数字控制处 理的是数字信号。
C ne
j n s t
…………………(8-13) 为采样角频率；
1 T
式中：T 为采样周期，
1 T
ωs
2 T
Cn
T /2 T / 2
T ( t )e
j n t t
dt
…………… (8-14)
理想单位脉冲序列 T ( t ) 的傅氏级数为：
T (t )
e * ( t ) e ( t ) T ( t ) ……………………(8-6)
其中理想的单位脉冲序列 T ( t ) 可以表示为：
T (t )
( t n T ) ………………………(8-7)
实际的控制系统中，当 t 0 时，e ( t ) 0 ，所以式(8-7) 求和下限变为零后代入式（8-6）中得到：
零阶保持器可以实现采样点的常值外推，它的输出是 一个高度为，宽度为的方波，如图8-11所示，零阶保 持器的输出相当于一个幅值为的阶跃函数和滞后时间 的反向阶跃函数之差，即：
e(t ) A(t )
eh (t ) Au(t ) Au(t T )
零阶保持器的传递函数为：
G0 ( s ) L [ eh ( t )] L [ e( t )] A 1 s A A 1 s e
自动控制理论最新版精品课件第8章 采样控制系统的分析与设计
第8章 采样控制系统的分析与设计
8-1 引言 8-2 信号的采样与复现 8-3 Z变换与Z反变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的分析 8-6 最少拍采样系统的校正
8-1 引言
• 前面各章分析了连续控制系统，这些系 统中的变量是时间上连续的；
• 随着被控系统复杂性的提高，对控制器 的要求也越来越高，控制的成本随着数 学模型的复杂化而急剧上升—模拟实现；
为
E*(s)
(ekT e2kT )ekTs
k0
1 1 eT(s1)
1 1 eT(s2)
(eT e2T )eTs (eTs eT )(eTs e2T )
2、采样定理
采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！
• 由前面的分析可知，采样窄脉冲为周期性的，
采样后的信号
e*(t) 1
e t e jkst
• 采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和 系统的时间常数
• 可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可
得采样后的采样信号为 e*(t) e(t)T (t)
(t) = (t 是kT理) 想脉kT冲出现的时刻 k
因此采样信号只在脉冲
T t
出现的瞬间才有数值，
于是采样信号变为
e*(t) e(kT) (t kT) k
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
jks 2
02
A0 T
s2
1 02
s
1
js 2
02
s
1
js 2
02
s
2
1 js
2
02
由此可见，X*的极点有无穷多个。
3、零阶保持器
• 保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将 采样信号恢复成连续信号。
8-1 引言 8-2 信号的采样与复现 8-3 Z变换与Z反变换 8-4 脉冲传递函数 8-5 采样系统的分析 8-6 最少拍采样系统的校正
8-1 引言
• 前面各章分析了连续控制系统，这些系 统中的变量是时间上连续的；
• 随着被控系统复杂性的提高，对控制器 的要求也越来越高，控制的成本随着数 学模型的复杂化而急剧上升—模拟实现；
为
E*(s)
(ekT e2kT )ekTs
k0
1 1 eT(s1)
1 1 eT(s2)
(eT e2T )eTs (eTs eT )(eTs e2T )
2、采样定理
采样时间满足什么条件？ 才能复现原信号！
• 由前面的分析可知，采样窄脉冲为周期性的，
采样后的信号
e*(t) 1
e t e jkst
• 采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和 系统的时间常数
• 可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可
得采样后的采样信号为 e*(t) e(t)T (t)
(t) = (t 是kT理) 想脉kT冲出现的时刻 k
因此采样信号只在脉冲
T t
出现的瞬间才有数值，
于是采样信号变为
e*(t) e(kT) (t kT) k
由式（8-7）得
X s
A0 T
s
1
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02
A0 T
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1 02
s
1
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02
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1
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02
s
2
1 js
2
02
由此可见，X*的极点有无穷多个。
3、零阶保持器
• 保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将 采样信号恢复成连续信号。
第八 采样控制系统分析基础一-PPT精品文档
b c y
1
y 0
d 2
a 0 . 7 5
c 1 . 5
4
b 2 . 5
6
t
d
a x
2
3 t
§8.2 信号复现与零阶保持器
信号复现——从采样信号中恢复连续时间信号 保持器——恢复连续时间信号的工程器件
一、保持器
实现样点值外推功能的装置或者器件称为外推器或者 保持器。
1 2 x ( t ) x ( nT ) x ( nT )( t nT ) x ( nT )( t nT ) n t nT 2
1 x ( nT ) { x ( nT ) x [( n 1 ) T )]} T 1 x ( nT ) { x ( nT ) x [( n 1 ) T )]} T
零阶保持器
将样点幅值保持至下一时刻
x 0 * ( t)
x ( t ) x ( nT ), nT t ( n 1 ) T n
采样开关
采样器
x ( nT ) nT t nT x ( t ) t ( n 1 ) T 0 nT
*
x( t)
x *( t ) t=nT 开关闭合 t=nT + 开 关 打 开
采样信号 1 * x ( t ) x ( nT ) [ 1 ( t nT ) 1 ( t nT )] 矩形近似 n 0 理想采样信号 单位脉冲函数 (t nT)dt1
0
t
xn xn +1 xn +2
一阶保持器
不仅可以保持样点的幅值，而且可以保持采样点的斜 率至下一时刻。
1
y 0
d 2
a 0 . 7 5
c 1 . 5
4
b 2 . 5
6
t
d
a x
2
3 t
§8.2 信号复现与零阶保持器
信号复现——从采样信号中恢复连续时间信号 保持器——恢复连续时间信号的工程器件
一、保持器
实现样点值外推功能的装置或者器件称为外推器或者 保持器。
1 2 x ( t ) x ( nT ) x ( nT )( t nT ) x ( nT )( t nT ) n t nT 2
1 x ( nT ) { x ( nT ) x [( n 1 ) T )]} T 1 x ( nT ) { x ( nT ) x [( n 1 ) T )]} T
零阶保持器
将样点幅值保持至下一时刻
x 0 * ( t)
x ( t ) x ( nT ), nT t ( n 1 ) T n
采样开关
采样器
x ( nT ) nT t nT x ( t ) t ( n 1 ) T 0 nT
*
x( t)
x *( t ) t=nT 开关闭合 t=nT + 开 关 打 开
采样信号 1 * x ( t ) x ( nT ) [ 1 ( t nT ) 1 ( t nT )] 矩形近似 n 0 理想采样信号 单位脉冲函数 (t nT)dt1
0
t
xn xn +1 xn +2
一阶保持器
不仅可以保持样点的幅值，而且可以保持采样点的斜 率至下一时刻。
采样控制系统分析方法
(t ) 0
t 0 t0
且
(t )dt 1
以及单位理想脉冲序列
T (t ) (t kT )
k 0
那么，从数学上讲采样信号e*(t)可以看作是连 续信号e(t)和脉冲信号 T (t )的乘积
e (t ) e(t ) (t kT ) e(kT ) (t kT )
图8-6理想滤波器的频率特性
图8-7 保持器
过程控制中常见的低通滤波器一般为零阶 保持器 零阶保持器在采样间隔中把前一个采样点 的数值一直保持到下一个采样点为止。其 基本关系为
u (t ) u (kT ), kT t (k 1)T
其传递函数为
1 e G0 ( s) s
sT
连续系统和离散系统分析方法的比较 连续系统分析
（L变换）
微分方程 传递函数，频域分析（经典） 状态方程：求运动解，通过系统矩阵分析（现代） 离散系统分析类似
（z变换）
差分方程 脉冲传数，频域分析（经典） 差分状态方程：状态空间方法（现代）
第二节采样与保持
图6.1 图8-1计算机控制系统原理图
连续系统的时间离散化就是在一定的采样和 保持方式下，由系统的连续描述来导出对应 的离散描述，并建立二者之间的关系。
为了使离散化后的描述具有简单的形式，并 且可以复原为原来的连续系统，对采样和保 持方式提出以下要求： 采样：采样周期满足申农采样定理 保持：通常采用零阶保持器
一。采样
把连续信号变为脉冲序列或数字序列的装臵称为采样器。 T T为采样周期，r为采样时间， e(t) e*(t) 2 采样频率 s rad / s
第八章 采样系统
系统输出的时间解。必要时也可由脉冲传递函
数求得采样系统的差分方程。
xoBox
下面先介绍Z变换及Z反变换。
二、Z变换的定义 Z变换是拉氏变换的一种变形，是由采样 信号的拉氏变换演变而来的。§8—2中式（8-4）给出的采样 信号的拉氏变换为 引入新的变量z，并令z＝eTS代入上式就得到采样信号e*(t) 的Z变换E(z)为 式中 z是用复数z平面来定义的一个复变量，T为采样周期。 上式就是Z变换的定义。 三、Z变换的求取 Z变换的求取方法有：级数求和法、部分 分式法及留数计算法等，其中以部分分式法最常用。
即系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应g (t)，经过
采样后的离散信号g*(t)的z变换。又由于单位脉冲响应g (t)等
xoBox
例8-1 求单位阶跃函数的Z变换。 解 设e(t)=1(t)，则Z变换E(z)为 这是一个等比级数， 闭合形式 时，级数收敛，因此上式可以写成
用这样的级数求和的方法可以求出典型函数的Z变换，如表 8-1所示。 表8-1典型函数的Z变换
f（t）
F(s) 1
F(z) 1
xoBox
xoBox
前节已经提到过，连续信号e经采样后的离散信号e*为一脉 冲序列。如果采样所得的脉冲序列的脉冲持续时间ε 极短，以 至远小于采样周期及系统连续部分的时间常数，那么就可以 认为ε 趋近于零。在这种情况下，采样过程可看成一个理想单 位脉冲序列发生器对模拟信号的脉冲调制过程。设单位脉冲 序列发生器产生的单位脉冲序列δ T（t）如图8—3所示，则δ T （t）的数学表达式为
xoBox
为了以后分析的需要，现推导出零阶保持器的传递函数和频 率特性。零阶保持器的单位脉冲响应函数为 由于单位脉冲响应的拉氏变换就是传递函数，故对上式取拉 氏变换可得零阶保持器的传递函数为
自动控制理论第八章 采样控制..
e nsT z n 1 1 1 z s2 1(t ) s z 1 二重极点s=0的留数为 1 Tz t 21 2 1 d z 2 (z 1 ) R lim [( s 0) s 2 ] (2 1)! S 0 ds s z e ST 1 z at e sT zTe Tz aT lim s a z e S 0 ( z e sT ) 2 ( z 1) 2 aT 1 Tze at f (t ) te t的z变换为 2 aT 2 ( s a) (z e )
首先要通过双线性变换
w 1 z w 1
将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用 劳斯判据。 例：求使系统稳定的K值范围。
R( S ) ＋
－ T 0.25s
K S ( S 4)
C (s)
解：1、求系统的开环脉冲传递函数
K K 1 1 G( s) s ( s 4) 4 s s4
二、采样系统的开环脉冲传递函数
1、两个串联环节之间有采样开关隔开
G(Z )
G1 ( Z )
G2 ( Z )
r (t )
r * (t )
G1 ( S )
x(t )
T
x * (t )
T
G2 ( S )
C (t )
C * (t )
T
C ( z) G1 ( z )G 2 ( z ) R( z )
将采样开关分隔的二个线性环节串联，脉冲传递函数是两个串 联环节脉冲传递函数之积。结论可推广到n个环节串联，各相邻 环节之间都有采样开关隔开的情况。
（t） (t nT ) 单位脉冲序列 T
n 0
采样信号为
e（t） e(t ) T (t ) e(t ) (t nT ) ＝ e(nT ) (t nT )
第八章采样控制系统
离散)控制理论来分析与研究其控制性能。
目
§ 8.1 概述
录
§ 8.2 采样过程与采样定理
§ 8.3 采样信号保持器 § 8.4 Z变换 § 8.5 离散系统的数学模型 § 8.6 采样控制系统的稳定性分析
§ 8.7
采样系统的稳态误差
§ 8.8 采样系统的暂态响应与脉冲传递 函数零、极点分布的关系 § 8.9 采样系统的校正
条件，所以成为设计采样系统的一条重要依据。
返回
§8.3 采样信号保持器
实现采样控制遇到的另一个重要问题，是如何
把采样信号恢复为连续信号。 根据采样定理，在满足ω s ≥2 ω max的条件下， 离散信号的频谱彼此互不重叠。这时，就可以用具 有图8-9特性的理想滤波器滤去高频频谱分量，保留
主频谱，从而无失真地恢复原有的连续信号。
图8-2：离散反馈信号
在采样系统中，采样开关重复闭合的时 间间隔T称为采样周期
1 fs T
2 s T
分别称为采样频率及采样角频率。其中T代表采 样周期。连续性时间函数经采样开关采样后变 成重复周期等于采样周期的时间序列。该时间 序列通道在连续型时间函数上打*号来表示，如 图8-2所示。这种时间序列属于离散型时间函数。
象，这时，即使用理想滤波器也不能将主频谱分离出 来，因而就难以准确复现原有的连续信号。
综上所述，可以得到一条重要结论，即只有在
ω s ≥2 ω max的条件下，采样后的离散信号e*(t)才有
可能无失真地恢复到原来的连续信号。这里2 ω max
为连续信号的有限频率。这就是香农(Shannon)采样
定理。由于它给出了无失真地恢复原有连续信号的
图8-9：理想滤波器频率特性
第八章采样控制系统
1
e
1
bT
z
1
,
z
ebT
(3) f
(t)
e j0tu(t); Z[ f
1 (t)] 1 e j0t z1
,
z
1
4、脉冲传递函数H(z)
H(z)定义:初始状态为零的 条件下，系统输出脉冲序 列的z变换与输入脉冲序 列的z变换之比
H(z) Y(z) F(z)
H(z)与单位冲激响应序列
之间的关系
y *(t) y(kT) f (nT )h(kT nT ) n0
1. 输入端仅有单个采样器 2. 开环系统缓解间有采样器分割 3. 串联环节中没有采样器 4. 带零阶保持器的开环系统
闭环采样系统
1. 在比较点后设置采样开关 2. 数字校正的采样系统
4、脉冲传递函数
开环采样系统
1. 输入端仅有单个采样器
x(t)
h(t)
y(t)
1.由连续部分传递函数H(s)求系统H(z)
闭环采样系统
在比较点后设置采样开关
y*(t)
e(t) e*(t)
f(t)
G(s)
y(t)
b(t) H(s)
T(z) Y(z) G(z) F (z) 1 GH (z)
4、脉冲传递函数
闭环采样系统
数字校正的采样系统
y*(t)
e1(t) e1*(t)
e2(t) e2*(t)
f(t)
D(s)
G(s)
时刻的采样值进行外推，恢复原信号。
1 eTs s
z eTs 3、Z变换
离散系统：时域的差分方程通过Z变换变成线性代数
方程
f (t) f (kT); Z[ f (t)] f (kT)zk
采样控制系统
t的微商，这时系统的运动规律要用个离散时刻变量之间的关系 来表示，这个关系就是描述离散系统运动特性的差分方程。
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§8-2 采样定理
实际采样系统，当连续信号为非周期形式时，其频谱在理 论 上带宽是无限的，如图8-15(a)所示，但是当频率很高时，频谱 幅度很小，所以可用滤波器将其高频部分的“长尾”割掉，如 图 8-15(b)所示，在进行采样。这样处理，便于合理的确定采样频 率。
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§8-5 采样系统分析
一、稳定性分析 1.系统稳定的充分必要条件 对于连续系统而言，系统稳定的
充分必要条件是气喘急函数的基点全部位于左半S平面。S平面 的虚轴是系统稳定与不稳定的分界线。对于采样系统，使用了 脉冲传递函数，其自变量为复数Z，因此只要根据Z平面与S平面 的对应关系，就可以得到采样系统稳定的充分必要条件。
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§8-6 采样系统校正
2)梯形积分法 上述两种近似的离散化方法都是在采样时间T相当小的情况
下才成立的。 三、连续系统校正装置离散化 四、离散的PID调节算法
1.矩形积分近似法 1)非递推算法 2)递推算法 2.梯形积分近似法 1)非递推算法 2)递推算法
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图8-1
返回
图8-3
应用z变换解差分方程与应用拉式变换解微分方程相似，具 体步骤是 1)对差分方程进行z变换； 2)解出方程中输出量的z变换Y(z)； 3)求Y(z)的z反变换，得差分方程的解y(k)。
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§8-4 脉冲传递函数
一、卷积和 二、脉冲传递函数
采样系统的脉冲传递函数等于其连续系统脉冲响应函数采样 序列的z变换。采样系统脉冲传递函数定义：在初始条件为零 时，系统输出离散信号的z变换与输入离散信号z变换的比值。 三、脉冲传递函数的求法 四、串联环节的脉冲传递函数
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§8-2 采样定理
实际采样系统，当连续信号为非周期形式时，其频谱在理 论 上带宽是无限的，如图8-15(a)所示，但是当频率很高时，频谱 幅度很小，所以可用滤波器将其高频部分的“长尾”割掉，如 图 8-15(b)所示，在进行采样。这样处理，便于合理的确定采样频 率。
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§8-5 采样系统分析
一、稳定性分析 1.系统稳定的充分必要条件 对于连续系统而言，系统稳定的
充分必要条件是气喘急函数的基点全部位于左半S平面。S平面 的虚轴是系统稳定与不稳定的分界线。对于采样系统，使用了 脉冲传递函数，其自变量为复数Z，因此只要根据Z平面与S平面 的对应关系，就可以得到采样系统稳定的充分必要条件。
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§8-6 采样系统校正
2)梯形积分法 上述两种近似的离散化方法都是在采样时间T相当小的情况
下才成立的。 三、连续系统校正装置离散化 四、离散的PID调节算法
1.矩形积分近似法 1)非递推算法 2)递推算法 2.梯形积分近似法 1)非递推算法 2)递推算法
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图8-1
返回
图8-3
应用z变换解差分方程与应用拉式变换解微分方程相似，具 体步骤是 1)对差分方程进行z变换； 2)解出方程中输出量的z变换Y(z)； 3)求Y(z)的z反变换，得差分方程的解y(k)。
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§8-4 脉冲传递函数
一、卷积和 二、脉冲传递函数
采样系统的脉冲传递函数等于其连续系统脉冲响应函数采样 序列的z变换。采样系统脉冲传递函数定义：在初始条件为零 时，系统输出离散信号的z变换与输入离散信号z变换的比值。 三、脉冲传递函数的求法 四、串联环节的脉冲传递函数
采样控制系统
五.Z反变换
添加标题
01
长除法
添加标题
02
分子除以分母，将商按z－1的升幂排列：
添加标题
03
将F(z)的分子，分母多项式按z的降幂形式排列。
添加标题
04
实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。
例
2.部分分式法
步 骤 ① ② 对 进行部分分式展开 ③ 将 同乘以 z 后变为F(z) ④ 由典型信号的z变换可求出 f *(t) 或 f (kT)
相角滞后可达－180°，使闭环系统的稳定性变差。
添加标题
理想低通滤波器
时间延迟
零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t) ，其平均响应为 e[t－(T/2)] ，表明输出在时间上要滞后输入T/2，相当于 给系统增加了一个延迟环节，不利于系统的稳定性。
§8－2 Z变换
一. Z变换的定义 f(t) —— 连续信号 —— 采样(离散)信号 —— 采样点上的信号值 习惯上称为f(t)的Z变换。
T
采样控制系统
e(t)*：离散信号
采样周期。 采样开关每隔时间T闭合一次，每次闭合时间为τ
r(t) e(t) e(nT) u(nT) u(t) c(t) A/D 数字计算机 D/A 被控对象 b (t) 检测环节
02
e *(t) eh (t)
03
T 2T …….. t 0 T 2T ……….. t
关于函数F(z)zk-1在极点处的留数计算方法如下：
若pi为单极点，则
若F(z)zk-1有ri 阶重极点，则
例 8-11：设z变换函数 ，试用留数法求其z反变换。
解：因为函数 有p1=－1 ，p2=－2两个极点，极点处的留数
c*(t)
添加标题
01
长除法
添加标题
02
分子除以分母，将商按z－1的升幂排列：
添加标题
03
将F(z)的分子，分母多项式按z的降幂形式排列。
添加标题
04
实际应用中，常常只需计算有限的几项就够了。
例
2.部分分式法
步 骤 ① ② 对 进行部分分式展开 ③ 将 同乘以 z 后变为F(z) ④ 由典型信号的z变换可求出 f *(t) 或 f (kT)
相角滞后可达－180°，使闭环系统的稳定性变差。
添加标题
理想低通滤波器
时间延迟
零阶保持器的输出为阶梯信号eh(t) ，其平均响应为 e[t－(T/2)] ，表明输出在时间上要滞后输入T/2，相当于 给系统增加了一个延迟环节，不利于系统的稳定性。
§8－2 Z变换
一. Z变换的定义 f(t) —— 连续信号 —— 采样(离散)信号 —— 采样点上的信号值 习惯上称为f(t)的Z变换。
T
采样控制系统
e(t)*：离散信号
采样周期。 采样开关每隔时间T闭合一次，每次闭合时间为τ
r(t) e(t) e(nT) u(nT) u(t) c(t) A/D 数字计算机 D/A 被控对象 b (t) 检测环节
02
e *(t) eh (t)
03
T 2T …….. t 0 T 2T ……….. t
关于函数F(z)zk-1在极点处的留数计算方法如下：
若pi为单极点，则
若F(z)zk-1有ri 阶重极点，则
例 8-11：设z变换函数 ，试用留数法求其z反变换。
解：因为函数 有p1=－1 ，p2=－2两个极点，极点处的留数
c*(t)
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第八章 采样控制系统
2020年4月22日星期三
§ 8-3 脉冲传递函数
• 线性定常连续时间系统的特性， 可以用系统的传递函数H(s)描述，类 似线性定常离散时间系统的特性，可 以用系统的脉冲传递函数H(z)来描述 。
（一）脉冲传递函数的定义
• 1 脉冲传递函数的定义 在采样控制系统中，初始状态为零的条
线性连续部分的输出
虚设的采样开关后面的输出脉冲序列
离散时间系统(如采样系统)的输出y(kT) 等于输入脉冲序列f(kT)与系统的单位冲 激响应序列h(kT)的卷积和。
根据Z变换的时域卷积定理： 比较式(8-34)和式(8-39)可见：
h(kT)和H(z)是一对Z变换
3 求系统脉冲传递函数的步骤
即
，z平面上以原点为圆心、1为
半径的单位圆周
②
③
当 s 从 s 平面虚轴上的原点变化到
时，z的幅角从0°变化到360°，即在单 位圆周上反时针方向绕原点一周，而当 虚轴上某点从－∞～＋∞，z平面上相应 点就在单位圆上绕原点无穷多圈。
(二) 线性离散系统稳定的充要条件
系统脉冲传递函数的极点均位于z平 面以原点为圆心的单位圆内部。
§ 8-5 稳态误差分析
(一) 稳态误差
图 8-23 单位反馈采样系统
采样误差信号 e(t) 的 z 变换为E(z) ，
应用z变换终值定理，可以求得是采样时刻上
的稳态误差，它取决于系统本身结构
以及外加的输入信号形式。
(二) 稳态误差的计算
s平面上位于原点的极点s=0，与z平 面上极点z=1相对应。在采样系统中，按 开环脉冲传递函数中z=1的极点数目分成 0型、1型、2型、……系统。
双线性变换后系统的特征方程式将是
的有理函数，可以应用劳斯稳定性判据，判 别采样系统的稳定性了。
例8-9，P247
说明：
一般说来，任何阶次的采样系统的 稳定性，都不如同类连续系统的稳定性 好。而适当提高采样频率，将使离散系 统的稳定性得到改善，这是因为此时的 离散系统的工作状态更接近于相应的连 续系统了。
2 当开环系统的环节之间有采样器分隔时
可分别求出各环节的脉冲传递函数， 然后将它们相乘，得到总的脉冲传递函数 。
图8-14
总的脉冲传递函数为
3 当两个环节相串联，中间没有 采样器分隔时
先求出连续部分总的传递函数， 再求它的Z变换。
图8-15
系统连续部分总的传递函数为
特别注意 ：P241页 例8-7
件下，系统输出量脉冲序列的Z变换与输入 脉冲序列的Z变换之比。
图8-12
说明：⑴物理系统的输出量通常是时间的 连续函数，如图中 ,但求系统的脉冲传 递函数时，是取系统输出的脉冲序列 作为输出量。为此在输出端加一个虚设的 同步采样开关。
若令
,
，
则
，
2.脉冲传递函数与单位冲激响 应序列之间的关系
理想采样器的输出
4 带零阶保持器的开环系统
图8-16 G0(s): 与零阶保持器相串联的连续系统
(三) 闭环采样系统的脉冲传递函数
1、在比较元件后设置一采样开关
由于在闭环系统中采样器的位置并不固定 ，所以闭环采样系统的脉冲传递函数没有一定 的形式，有时甚至求不出闭环系统的脉冲传递 函数。
图 8-17
对上式进行Z变换得
例8-8，见书P246。
(三) W平面的劳斯稳定性判据
线性离散系统在z平面的稳定条件， 也可以转换成类似的代数稳定判据。从 而不需要求解特征方程的所有根，而能 方便地判定系统的稳定性。
采用下列双线性变换(又称 变换)
能将z平面的单位圆、其内部和其外
部，分别变换成 平面的虚轴、左半 平
面和右半 平面。
下面讨论典型输入信号作用下采样 系统稳态误差的计算方法。
单位阶跃输 单位斜坡输 单位抛物线输
系统 入(n=0)
入(n=1)
入(n=2)
2 带数字校正的采样控制系统
图 8-18
§ 8-4 稳定性分析
有了脉冲传递函数，就能够分析采样系 统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。本节先 分析采样系统的稳定性，首先从 s 平面在 z 平面的映像说起。
(一) s 平面在 z 平面的映像 由拉氏变换导出 z 变换时，曾令
①
时，( s 平面虚轴)
根据连续部分的传递函数H(s)或单位 冲激响应h(t)求系统的脉冲传递函数。
① 由H(s)求出h(t)， ② 确定单位冲激响应序列h(kT),
③ 求h(kT)的Z变换得H(z)
(二) 开环采样系统的脉冲传递函数
分四种情况： 1.当开环采样系统在输入端仅有单个采样器时。(图8-12)
按照上面介绍的方法，通过连续部分的传递函数H(s)， 求得系统的脉冲传递函数H(z)。 P240 例8-6 注意，有时写H(z)=Z[H(s)]，应当理解为
2020年4月22日星期三
§ 8-3 脉冲传递函数
• 线性定常连续时间系统的特性， 可以用系统的传递函数H(s)描述，类 似线性定常离散时间系统的特性，可 以用系统的脉冲传递函数H(z)来描述 。
（一）脉冲传递函数的定义
• 1 脉冲传递函数的定义 在采样控制系统中，初始状态为零的条
线性连续部分的输出
虚设的采样开关后面的输出脉冲序列
离散时间系统(如采样系统)的输出y(kT) 等于输入脉冲序列f(kT)与系统的单位冲 激响应序列h(kT)的卷积和。
根据Z变换的时域卷积定理： 比较式(8-34)和式(8-39)可见：
h(kT)和H(z)是一对Z变换
3 求系统脉冲传递函数的步骤
即
，z平面上以原点为圆心、1为
半径的单位圆周
②
③
当 s 从 s 平面虚轴上的原点变化到
时，z的幅角从0°变化到360°，即在单 位圆周上反时针方向绕原点一周，而当 虚轴上某点从－∞～＋∞，z平面上相应 点就在单位圆上绕原点无穷多圈。
(二) 线性离散系统稳定的充要条件
系统脉冲传递函数的极点均位于z平 面以原点为圆心的单位圆内部。
§ 8-5 稳态误差分析
(一) 稳态误差
图 8-23 单位反馈采样系统
采样误差信号 e(t) 的 z 变换为E(z) ，
应用z变换终值定理，可以求得是采样时刻上
的稳态误差，它取决于系统本身结构
以及外加的输入信号形式。
(二) 稳态误差的计算
s平面上位于原点的极点s=0，与z平 面上极点z=1相对应。在采样系统中，按 开环脉冲传递函数中z=1的极点数目分成 0型、1型、2型、……系统。
双线性变换后系统的特征方程式将是
的有理函数，可以应用劳斯稳定性判据，判 别采样系统的稳定性了。
例8-9，P247
说明：
一般说来，任何阶次的采样系统的 稳定性，都不如同类连续系统的稳定性 好。而适当提高采样频率，将使离散系 统的稳定性得到改善，这是因为此时的 离散系统的工作状态更接近于相应的连 续系统了。
2 当开环系统的环节之间有采样器分隔时
可分别求出各环节的脉冲传递函数， 然后将它们相乘，得到总的脉冲传递函数 。
图8-14
总的脉冲传递函数为
3 当两个环节相串联，中间没有 采样器分隔时
先求出连续部分总的传递函数， 再求它的Z变换。
图8-15
系统连续部分总的传递函数为
特别注意 ：P241页 例8-7
件下，系统输出量脉冲序列的Z变换与输入 脉冲序列的Z变换之比。
图8-12
说明：⑴物理系统的输出量通常是时间的 连续函数，如图中 ,但求系统的脉冲传 递函数时，是取系统输出的脉冲序列 作为输出量。为此在输出端加一个虚设的 同步采样开关。
若令
,
，
则
，
2.脉冲传递函数与单位冲激响 应序列之间的关系
理想采样器的输出
4 带零阶保持器的开环系统
图8-16 G0(s): 与零阶保持器相串联的连续系统
(三) 闭环采样系统的脉冲传递函数
1、在比较元件后设置一采样开关
由于在闭环系统中采样器的位置并不固定 ，所以闭环采样系统的脉冲传递函数没有一定 的形式，有时甚至求不出闭环系统的脉冲传递 函数。
图 8-17
对上式进行Z变换得
例8-8，见书P246。
(三) W平面的劳斯稳定性判据
线性离散系统在z平面的稳定条件， 也可以转换成类似的代数稳定判据。从 而不需要求解特征方程的所有根，而能 方便地判定系统的稳定性。
采用下列双线性变换(又称 变换)
能将z平面的单位圆、其内部和其外
部，分别变换成 平面的虚轴、左半 平
面和右半 平面。
下面讨论典型输入信号作用下采样 系统稳态误差的计算方法。
单位阶跃输 单位斜坡输 单位抛物线输
系统 入(n=0)
入(n=1)
入(n=2)
2 带数字校正的采样控制系统
图 8-18
§ 8-4 稳定性分析
有了脉冲传递函数，就能够分析采样系 统的稳定性、瞬态性能和稳态性能。本节先 分析采样系统的稳定性，首先从 s 平面在 z 平面的映像说起。
(一) s 平面在 z 平面的映像 由拉氏变换导出 z 变换时，曾令
①
时，( s 平面虚轴)
根据连续部分的传递函数H(s)或单位 冲激响应h(t)求系统的脉冲传递函数。
① 由H(s)求出h(t)， ② 确定单位冲激响应序列h(kT),
③ 求h(kT)的Z变换得H(z)
(二) 开环采样系统的脉冲传递函数
分四种情况： 1.当开环采样系统在输入端仅有单个采样器时。(图8-12)
按照上面介绍的方法，通过连续部分的传递函数H(s)， 求得系统的脉冲传递函数H(z)。 P240 例8-6 注意，有时写H(z)=Z[H(s)]，应当理解为