高中数学知识点总结大全(文科)

高中数学知识点总结目录第一章——集合与简易逻辑 (1)第二章——函数 (4)第四章三角函数 (19)第六章不等式 (33)第七章直线和圆的方程 (38)第八章圆锥曲线 (48)第九章(B)直线、平面、简单几何体 (53)第十章排列、组台、二项式定理 (69)第三章导数 (78)第一章——集合与简易逻辑集合——知识点归纳定义：一组对象的全体形成一个集合特征：确定性、互异性、无序性表示法：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}韦恩图分类：有限集、无限集数集：自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N 、空集φ*关系：属于∈、不属于、包含于(或)、真包含于、集合相等＝∉⊆⊂运算：交运算A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}；并运算A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B};补运算＝{x|x A 且x ∈U}，U 为全集A C U ∉性质：A A ； φA ； 若AB ，BC ，则A C ；⊆⊆⊆⊆⊆A ∩A ＝A ∪A ＝A ； A ∩φ＝φ；A ∪φ＝A ；A ∩B ＝A A ∪B ＝B A B ；⇔⇔⊆A ∩C A ＝φ； A ∪C A ＝I ；C ( C A)＝A ；U U U U C (A B)＝(C A)∩(C B)U ⋃U U 方法：韦恩示意图, 数轴分析注意：① 区别∈与、与、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；⊆ ② A B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ⊆③若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为，所有真)(N n ∈n 2子集的个数是-1, 所有非空真子集的个数是n 222-n ④区分集合中元素的形式：如；；}12|{2++==x x y x A }12|{2++==x x y y B ；；；}12|),{(2++==x x y y x C }12|{2++==x x x x D },,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F },12|{2xy z x x y z G =++==⑤空集是指不含任何元素的集合、和的区别；0与三者间的关系空集是任何集}0{φ}{φ合的子集，是任何非空集合的真子集条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情B A ⊆φ=A况⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关∉∈,系 ；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 ,⊄Ø绝对值不等式——知识点归纳 1绝对值不等式 与型不等式与型不等式的解法与a x <)0(>>a a x c b ax <+)0(>>+c c b ax 解集：不等式的解集是;)0(><a a x {}a x a x <<-不等式的解集是)0(>>a a x {}a x a x x -<>或,不等式的解集为 ;)0(><+c c b ax {})0(|><+<-c c b ax c x 不等式的解集为)0(>>+c c b ax {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或2解一元一次不等式 )0(≠>a b ax ① ② ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,03韦达定理：方程（）的二实根为、， 02=++c bx ax 0≠a 1x 2x 则且 240b ac ∆=-≥⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a c x x a b x x 2121①两个正根，则需满足，⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ②两个负根，则需满足，1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩③一正根和一负根，则需满足⎩⎨⎧<>∆0021x x4．一元二次不等式的解法步骤对于一元二次不等式，设相应的一元二次方程()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或的两根为，，则不等式的解的各种()200ax bx c a ++=>2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆情况如下表：方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决0a <0a >注意：含参数的不等式ax ＋bx ＋c>0恒成立问题含参不等式ax ＋bx ＋c>0的解2⇔2集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况 简易逻辑——知识点归纳命题 可以判断真假的语句；逻辑联结词 或、且、非；简单命题 不含逻辑联结词的命题；复合命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题三种形式 p 或q 、p 且q 、非p真假判断 p 或q ，同假为假，否则为真；p 且q ，同真为真, 否则为假；非p ，真假相反原命题 若p 则q ；逆命题 若q 则p ；否命题 若p 则q ；逆否命题 若q 则p ；⌝⌝⌝⌝互为逆否的两个命题是等价的反证法步骤假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立⇒充要条件条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，⇒ 结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，⇔条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件，第二章——函数函数定义——知识点归纳1函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域2两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数3映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集4映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一函数解析式——知识点归纳1函数的三种表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系2求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；()f x [()]f g x [()]f g x ()f x （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组()f x ()f x 法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 题型讲解例1（1）已知，求； 3311(f x x x x+=+()f x （2）已知，求；2(1)lg f x x +=()f x （3）已知是一次函数，且满足，求；()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x （4）已知满足，求()f x 12()()3f x f x x +=()f x 解：（1）∵， 3331111()()3(f x x x x x x x x +=+=+-+∴（或）3()3f x x x =-2x ≥2x ≤-（2）令（）， 21t x+=1t >则，∴，∴ 21x t =-2()lg 1f t t =-2()lg (1)1f x x x =>-（3）设，()(0)f x ax b a =+≠则3(1)2(1)333222f x f x ax a b ax a b +--=++-+-，5217ax b a x =++=+∴，，∴2a =7b =()27f x x =+（4） ①，12()()3f x f x x +=把①中的换成，得 ②， x 1x 132()()f f x x x+=①②得，∴ 2⨯-33()6f x x x =-1()2f x x x =-注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法定义域和值域——知识点归纳由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x 的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练 1求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；()f x [()]f g x [()]f g x ()f x （3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程()f x ()f x 组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 2求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域： ()f x [()]f g x [()]f g x ()f x ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出 ()f x [],a b []()f g x ()a g x b ≤≤3求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域①直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R ，值域为R ；≠反比例函数的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； )0(≠=k xk y ≠≠二次函数的定义域为R ，)0()(2≠++=a c bx ax x f 当a>0时，值域为{}； ab ac y y 4)4(|2-≥当a<0时，值域为{} ab ac y y 4)4(|2-≤②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=③分式转化法（或改为“分离常数法”）④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域； )0(>+=k xk x y ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域⑨逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，y x x 得出的取值范围；常用来解，型如： y ),(,n m x dcx b ax y ∈++=单调性——知识点归纳 1函数单调性的定义： 2　证明函数单调性的一般方法:①定义法：设；作差（一般结果要分解为若干个因式2121,x x A x x <∈且)()(21x f x f -的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；判断正负号②用导数证明： 若在某个区间A 内有导数，则 )(x f ()0f x ≥’，)x A ∈（在A 内为增函数；在A 内为减函数⇔)(x f ⇔∈≤)0)(A x x f ，（’)(x f 3　求单调区间的方法：定义法、导数法、图象法4复合函数在公共定义域上的单调性：[])(x g f y =①若f 与g 的单调性相同，则为增函数；[])(x g f ②若f 与g 的单调性相反，则为减函数 [])(x g f 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集5一些有用的结论：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；+)(x f )(x g 减函数减函数是减函数；+)(x f )(x g 增函数减函数是增函数；-)(x f )(x g 减函数增函数是减函数-)(x f )(x g上是单调递减 奇偶性——知识点归纳 1函数的奇偶性的定义；2奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称； y 3为偶函数 ()f x ()(||)f x f x ⇔=4若奇函数的定义域包含，则()f x 0(0)0f =5判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；6牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；7判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：， ()()0f x f x ±-=()1()f x f x =±-8设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：()f x ()g x 12,D D 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇⨯⨯⨯1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x) f(-x) f(x)=0；+2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一点；3若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件； 4奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性 5若存在常数T ，使得f(x+T)=f(x)对f(x)定义域内任意x 恒成立，则称T 为函数f(x)的周期，（5）函数的周期性定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使恒成立 )()(x f T x f =+ 则f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期反函数——知识点归纳 1反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 2定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与互为反函数，函数的定义域为、值域为，则1()y f x -=()y f x =A B ，；1[()]()f f x x x B -=∈1[()]()f f x x x A -=∈3单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对y x =称 4求反函数的一般方法：（1）由解出，（2）将中的互换位置，得()y f x =1()x f y -=1()x f y -=,x y ，（3）求的值域得的定义域 1()y f x -=()y f x =1()y f x -=二次函数——知识点归纳二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，c bx ax y ++=2ab x 2-=顶点坐标是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（一般式）c bx ax x f ++=2)(（零点式）)()()(21x x x x a x f -⋅-=（顶点式）n m x a x f +-=2)()(3 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0)(1)x 1<α,x 2<α ,则;(2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b (3)α<x 1<β,α<x 2<β,则 (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f ⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f (5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f 4 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点ax 2+bx+c=0无实根ax 2+bx+c>0(<0)的0∆<⇔⇔⇔解集为或者是R;∅②f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切ax 2+bx+c=0有两个相等的实根0∆=⇔⇔⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;∅③f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点ax 2+bx+c=0有两个不等的实0∆>⇔⇔根ax 2+bx+c>0(<0)的解集为或者是 ⇔(,)αβ()αβ<(,)(,)αβ-∞+∞ 指数对数函数——知识点归纳1根式的运算性质：①当n 为任意正整数时，(n a )=an②当n 为奇数时，=a ；当n 为偶数时，=|a|=nna nna ⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ⑶根式的基本性质：，（a 0）n m np mp a a =≥2分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(Q n b a ab Q n m a a Q n m a a a n n n mn n m n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+3 的图象和性质)10(≠>=a a a y x且4指数式与对数式的互化： log ba a N Nb =⇔=5重要公式： ，　对数恒等式01log =a 1log =a a N a Na =log 6对数的运算法则如果有0,1,0,0a a N M >≠>>log ()log log a a a MN M N =+ log log log aa a MM N N=-log log n m a a mM M n=7对数换底公式：( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0)aNN m m a log log log =8两个常用的推论:①， 1log log =⋅a b b a 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② （ a, b > 0且均不为1） b mnb a na m log log =9对数函数的性质：∞）上是增函数10同底的指数函数与对数函数互为反函数 xy a =log a y x =11指数方程和对数方程主要有以下几种类型： (1) a f(x)=b ⇔f(x)=log a b, log a f(x)=b ⇔f(x)=a b ; （定义法）(2) a f(x)=a g(x)⇔f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)⇔f(x)=g(x)>0（转化法） (3) a f(x)=b g(x)⇔f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法) (4) l og a f(x)=log b g(x)⇔log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法)函数图象变换——知识点归纳1作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象2三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等； 3识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面4平移变换：（1）水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴()y f x a =+()y f x =x 方向向左或向右平移个单位即可得到；(0)a >(0)a <||a（2）竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上()y f x a =+()y f x =x 或向下平移个单位即可得到(0)a >(0)a <||a ① y=f(x)y=f(x+h); ② y=f(x) y=f(x -h); h 左移→h右移→③y=f(x) y=f(x)+h; ④y=f(x) y=f(x)-hh 上移→h下移→5对称变换：（1）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得()y f x =-()y f x =y 到；（2）函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到； ()y f x =-()y f x =x （3）函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到； ()y f x =--()y f x =（4）函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到1()y fx -=()y f x =y x =①y=f(x)y= -f(x);②y=f(x)y=f(-x);轴x →轴y →③y=f(x)y=f(2a -x); ④y=f(x)y=f -1(x);ax =→直线xy =→直线⑤y=f(x)y= -f(-x)原点→6翻折变换：（1）函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿|()|y f x =()y f x =x x 轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到； x x ()y f x =x （2）函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代(||)y f x =()y f x =y y 原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到y ()y f x =y7伸缩变换：（1）函数的图像可以将函数的图像中的每一点横()y af x =(0)a >()y f x =坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；(1)a >01a <<a （2）函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横()y f ax =(0)a >()y f x =坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到 (1)a >01a <<1a①y=f(x)y=f();② y=f(x)y=ωf(x)ω⨯→x ωxω⨯→y 第三章数列数列数列定义——知识点归纳 （1）一般形式： n a a a ,,,21⋯(2)通项公式：)(n f a n =(3)前n 项和：及数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：12n n S a a a =++⋯ 1121(1)(2)n n n nn S n S a a a a S S n -=⎧=++⋯⇔=⎨-≥⎩等差数列——知识点归纳 1等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2等差数列的判定方法:②定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列 {}n a d a a n n =-+1{}n a ③等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列 {}n a 212+++=n n n a a a {}n a 3等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为{}n a 1a d d n a a n )1(1-+=该公式整理后是关于n 的一次函数 4等差数列的前n 项和:⑤ ⑥ 2)(1n n a a n S +=d n n na S n 2)1(1-+=对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 5等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或a A b A a b 2ba A +=b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 5等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，n a n m a m 且，公差为，则有n m ≤d d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列，若，则 {}n a q p m n +=+q p m n a a a a +=+也就是：=+=+=+--23121n n n a a a a a a ⑨若数列是等差数列，是其前n 项的和，，那么，，{}n a n S *N k ∈k S k k S S -2成等差数列如下图所示：k k S S 23-k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++6奇数项和与偶数项和的关系：⑩设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前{}n a 奇S 偶S n S n 项的和，则有如下性质： 前n 项的和偶奇S S S n +=当n 为偶数时，，其中d 为公差； d 2nS =-奇偶S 当n 为奇数时，则，，，中偶奇a S =-S 中奇a 21n S +=中偶a 21n S -=，（其中是等差数列的中间一项）11S S -+=n n 偶奇n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n中a 7前n 项和与通项的关系：⑾若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，{}n a 12-n 12-n S {}n b 12-n '12-n S 则'1212--=n n n n S S b a 等比数列——知识点归纳1等比数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（）0≠q 2等比中项：如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做a b G a G b G a 与的等比中项b 也就是，如果是的等比中项，那么，即 Gb a G =ab G =23等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列 {}n a )0(1≠=+q q a a nn {}n a ②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列{}n a 212++=n n n a a a {}n a 4等比数列的通项公式：如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为{}n a 1a q 或着11-=n n q a a n m n m a a q -=5等比数列的前n 项和：○1)1(1)1(1≠--=q qq a S n n ○2)1(11≠--=q qqa a S n n 当时， ○31=q 1na S n =当时，前n 项和必须具备形式1q ≠(1),(0)n n S A q A =-≠6等比数列的性质：①等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且n a n m a m ，公比为，则有n m ≤q m n m n q a a -=② 对于等比数列，若，则{}n a v u m n +=+v u m n a a a a ⋅=⋅也就是：=⋅=⋅=⋅--23121n n n a a a a a a 如图所示：nn a a na a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,12321③若数列是等比数列，是其前n 项的和，，那么，，成{}n a n S *N k ∈k S k k S S -2k k S S 23-等比数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++数列的求和——知识点归纳1等差数列的前n 项和公式： S n = S n =S n = d n n na 2)1(1-+2)(1n a a n +d n n na n 2)1(--当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 2等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；当q≠1时，S n =S n =qq a n --1)1(1qqa a n --113拆项法求数列的和，如a n =2n+3n 4错位相减法求和，如a n =(2n-1)2n（非常数列的等差数列与等比数列的积的形式） 5分裂项法求和，如a n =1/n(n+1) 111n n =-+（分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式） 6反序相加法求和，如a n = nnC 1007求数列{a n }的最大、最小项的方法：①a n+1-a n =…… 如a n = -2n 2+29n-3⎪⎩⎪⎨⎧<=>000②(a n >0) 如a n = ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 nn a a nn n 10)1(9+③ a n =f(n) 研究函数f(n)的增减性 如a n =1562+n n数列的综合应用——知识点归纳 1通项与前n 项和的关系：⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 2迭加累加法：，1(),(2)n n a a f n n --=≥若 ， ，………，)2(12f a a =-则)3(23f a a =-)(1n f a a n n =--1(2)(3)()n a a f f f n ⇒-=++⋯3迭乘累乘法：，，，………， )(1n g a a n n =-若)2(12g a a=则)3(23g a a =)(1n g a a n n =- 1(2)()na g g n a ⇒=⋯4裂项相消法：11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=5错位相减法：, 是公差d ≠0等差数列，是公比q ≠1等比数列n n n c b a ⋅={}n b {}n c n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--1122111121+-++⋯⋯+=n n n n n c b c b c b qS 则所以有 13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q 6通项分解法： n n n c b a ±=7等差与等比的互变关系：{}{}na n ab ⇔≠成等差数列(b>0,b 1)成等比数列 {}{}n n a ca d ⇔+≠成等差数列(c 0)成等差数列 {}{}0log n a n b n a a >⇔成等比数列成等差数列{}{}k n n a a ⇒成等比数列成等比数列 8等比、等差数列和的形式：{}Bn An S B An a a n nn +=⇔+=⇔2成等差数列{}(1)(0)n n n a S A q A ≠⇔=-≠(q 1)成等比数列9无穷递缩等比数列的所有项和：{}1lim 1n n n a a S S q→∞⇔==-(|q|<1)成等比数列第四章三角函数角的概念的推广和弧度制——知识点归纳 1角和终边相同：αβZ k k ∈︒⨯+=360αβ2几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置 角的集合X 轴正半轴{}Z k k ∈︒⨯=,360|ααY 轴正半轴 {}Z k k ∈︒+︒⨯=,90360|ααX 轴负半轴 {}Z k k ∈︒+︒⨯=,180360|ααY 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,270360|ααX 轴{}Z k k ∈︒⨯=,180|ααY 轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90180|αα坐标轴{}Z k k ∈︒⨯=,90|αα3弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 角度制与弧度制的互化：π=︒180 1弧度1801π=︒︒≈︒=3.57180π4弧长公式： （是圆心角的弧度数） r l ||α=α5 扇形面积公式： 2||2121r r l S α==任意角的三角函数、诱导公式——知识点归纳1 三角函数的定义:以角的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角αα的终边上任取一个异于原点的点，点P 到原点的距离记为),(y x P，那么(0)r r ==>； ； ； sin y r α=cos x r α=tan yx α=（； ； ）cot x y α=sec r x α=csc ryα=2 三角函数的符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值对于第yr一、二象限为正（），对于第三、四0,0y r >>象限为负（）；②余弦值对于0,0y r <>xr第一、四象限为正（），对于第0,0x r >>二、三象限为负（）；③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第0,0x r <>yx,x y 二、四象限为负（异号）,x y 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。