统计学方差分析

? ? X j～N
? j,?
2 j
2.对每个总体，响应变量的方差相同 :
?
2 1
?
?
2 2
?
?
2 3
?
?
2 4
?
?
2
3.观察值是独立的
方差分析的理论假设
?
2 1
?
?
2 2
?
?
2 3
?
?
2 4
?
?
2
?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?
总体1
总体2
总体3
?
2 1
?
?
2 2
?
?
2 3
?
?
2 4
?
?
2
? 由
2
__
?
?
2
得
x
n
?
2
?
n?
2
__
x
?2 __
?
?
2
xn
所以 ? 2组间估计量
? ? ? n ? 2的估计量 __ x
___
x1
? ___
x2
___
x3
___
x4
? ns 2 __ x
? ? ? 2的组间估计量 样本容量相等
?
ns
2
__
x
? 5 ? ?26.44 ? 28.695?2 ? ?27.32 ? 28.695?2 ? ?29.56 ? 28.695?2 ? ?31.46 ? 28.695?2
超市
四总种体颜1色饮料销售总量体样2 本数据 总体3
处水黄理平色1
处水无理平自色2变量或称因处水粉素理平色3
总体4 处水绿理平色4
1
27.9
26.5
31.2
30.8
2
25.1
28.7
28.3
29.6
3
28.5 因变25量.1或称响3应0.变8 量 32.4
4
24.2
29.1
27.9
31.7
5 样本均值 样本方差
r ? 水平的个数
? ? 第 j 个总体的均值 j
总体1 总体2 总体3
水平 1
水平2 水平3
H :? ? ? ? ?
0
1
2
3
H : ? ,? ，?
1
1
2
3
不尽相等
观察值 1 2
3
4
5
6
工厂 1 85 75 82 76 71 85
___
x1
? ___
x2
___
x3
___
x4
H0为假时，σ2 的组间估计 必然偏大。
H0为真，则σ2的两个估计量必然很接近， 其比值将接近于1；H0 为假，组间估计将大 于组内估计，其比值也将偏大。本例中：组 间估计/组内估计=25.6152/2.4428=10.486。
___
? x 1 1
___
? x2 2
? 2.4428
式中: r 表示水平的个数。
x___ ? 1 1
?2
___
x2
___
x3
?3
x___ ? 4 4
H0为真时，组间估计是σ2的无偏估计。
方差分析的基方本差思分路方析差和的分基理析本的论基步假本骤设原理
由于σ2 的组内估计不受总体均值是否 相等的影响，所以无论H0为真或为假，组 内估计总是σ2的无偏估计。
___
? x 3
3
___
? x 4 4
方差分析的基本思路方差和分基析本的基步本骤原理
F ? ? 2的组间估计量 ? 2的组内估计量
服从分子自由度为
r ? 1 ，分母自由度为
n ?r T
的
F
分布。
(25.25)自由度 (5.5)自由度 (2.1)自由度
0
不同自由度下的F分布曲线
方差分析的基本思路方差和分基析本的基步本骤原理
第五步：计算总体方差的组间估计
第六步：计算总体方差的组内估计
第七步：计算F统计量
Байду номын сангаас
第八步：编制方差分析表
第九步：做出统计决策
方差分析的基本思单路因素和方基差本分析步的骤步骤
H :? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0
1
2
j
r
H : ? , ? ,? , ? ,? , ? 不尽相等
1
1
2
j
r
式中：
三个工厂18名员工的测试分数
观察值 1 2 3 4 5 6
工厂1 85 75 82 76 71 85
工厂2 71 75 73 74 69 82
工厂3 59 64 62 69 75 67
第一步：建立假设
方差分析的基本思单路因素和方基差本分析步的骤步骤
第二步：计算样本均值
第三步：计算总样本均值
第四步：计算样本方差
总均值
26.5
sx样121 本==236.12.4948
27.2 x2
s样22 本==227.26.3722
29.6
xs样332 本==229.31.5463
x
=28.695
32.8 x4
s样42 本==311.46.4568
方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。
方差分析的理论假设
1.对每个总体，响应变量服从正态分布 :
F
?
? ?
2的组间估计量 2的组内估计量
? 25 .615 ? 10 .486 2 .4428
? ? 0.05
0
3.24
（3，16）自由度下的F分布曲线。
10.486
结论：有理由拒绝原假设，接受备择假设，即：饮料的颜色对饮料的销售量 有显著影响。
方差分析的基本思单路因素和方基差本分析步的骤步骤
某计算机产品公司拥有三个工厂，为确定工厂中有多少员工了解全 面质量管理，分别从每个工厂选取一个由6名员工组成的随机样本，并 对他们进行质量意识测试。得到数据资料如下表所示。管理者想用这些 数据来检验假设：三个工厂的平均测试分数相同。
原假设为真时，样本均值来自同一个抽样分布。
?
2
__
?
?
2
xn
___
x1 ? 1
___
?2
x2
___
? x 3 3
___
? x 4 4
? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 不尽相等
原假设为假时，样本均值来自不同的抽样分布。
方差分析的基方本差思分路方析差和的分基理析本的论基步假本骤设原理
可由样本均值间的差异导出σ2一个估计量， 此估计量称为σ2 的组间估计量：
总体4
?1
?2
?3
?4
? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 不尽相等
方差分析的基本思路方差和分基析本的基步本骤原理
H H
0 1
: :
? ?
1
1,
?
?
?
2,
2?
? 3,
? ?
3 4
? ?4
不尽相等
?
2
__
?
?
2
xn
___
___
x1 x2
___
___
x3
x4
?1 ? ?2 ? ?3 ? ?4 ? ?
4?1
? 25.6152
方差分析的基方本差思分路方析差和的分基理析本的论基步假本骤设原理
每个样本方差都给出σ2的无偏 估计。将其进行平均可得出σ2的又 一个估计量，此估计量称为σ2 的组 内估计量。
? 2组内估计量 ?样本容量相等 ?
? 样本方差的平均数
?
?
s2 j
r
? 3.298 ? 2.672 ? 2.143 ? 1.658 4
方差分析
方差分析的理论假设 方差分析的基本思路和基本步骤
方差分析的检验
方差分方析差的分理析的论基假本设原理
某饮料企业生产一种新型饮料。饮料的颜色分为黄色、无色、粉 色和绿色四种。为确定饮料的颜色是否对饮料的销售量有显著影响， 从5个超市中搜集了该种饮料的样本数据如下表所示。管理者想用这 些样本数据来检验假设：颜色对销售量没有显著影响。