2021.1海淀区高三上期末数学试题+答案

2021北京海淀高三（上）期末数 学2020.01本试卷共8页，150分。

考试时常120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10 小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）抛物线x =2y 的准线方程是（A ）21-=x （B ）41-=x （C ）21y -= （D ） 41y -= （2）在复平面内，复数ii+1对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）在()52-x 的展开式中，4x 的系数为（A ）5（B ）5-（C ）10（D ）10（4）已知直线02:=++ay x l ，点），（11A --和点）（2,2B ，若AB l //，则实数a 的值为 （A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-（5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）12（6）已知向量a ，b 满足1=a ，），（12-=b ，且2=-b a ，则=⋅b a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（7）已知α，β是两个不同的平面，“αβ∥”的一个充分条件是（A ）α内有无数直线平行于β （B ）存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ （C ）存在平面γ，m αγ=，n βγ=且m n ∥（D ）存在直线l ，l α⊥，l β⊥ （8）已知函数2()12sin ()4f x x π=-+ 则（A ）()f x 是偶函数（B ）函数()f x 的最小正周期为2π （C ）曲线()y f x =关于π4x =-对称 （D ）(1)(2)f f >（9）数列{}n a 的通项公式为23n a n n =-，n ∈N ，前n 项和为n S ，给出下列三个结论：①存在正整数,()m n m n ≠，使得m n S S =；②存在正整数,()m n m n ≠，使得m n a a += ③记，12(1,2,3,)n n T a a a =则数列{}n T 有最小项，其中所有正确结论的序号是（A ）① （B ）③ （C ）①③ （D ）①②③（10）如图所示，在圆锥内放入连个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为⊙C 1,⊙C 2. 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G·Dandelin ）利用这个模型证明了平面a 与圆锥侧面的交线为椭圆，1F ，2F 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球。

若圆锥的母线与它的轴的夹角为300，⊙C 1, ⊙C 2的半径分别为1,4，点M 为⊙C 2上的一个定点，点P 为椭圆上的一个动点，则从点P 沿圆锥表面到达M 的路线长与线段1PF 的长之和的最小值是（A ）6 （B ）8 （C ）（D ）第二部分（非选择题 共110分）（11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为 .（12）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若1S -、2S 、3a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为 .（13）已知双曲线2212y x -=的左右焦点分别为12,F F ，点(3,4)M -，则双曲线的渐近线方程为 ；12MF MF -= ;（14）已知函数()f x 是定义域R 的奇函数，且0x ≤时，()1xf x ae =-，则a = ，()f x 的值域是 ；（15）已知圆22:(5)(2)2P x y -+-=，直线:l y ax =，点(5,2M +，点(,)A s t .给出下列4个结论：①当0a =，直线l 与圆P 相离； ②若直线l 圆P 的一条对称轴，则25a =；③若直线l 上存在点A ，圆P 上存在点N ，使得90MAN ∠=︒，则a 的最大值为2021；④N 为圆P 上的一动点，若90MAN ∠=︒，则t .其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（16）（本小题共15分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，11AC BCC B ⊥平面,,D E 分别是棱1AA ，1BB 的中点. （Ⅰ）求证：11AE B C D ∥平面 （Ⅱ）求证: 1CC ABC ⊥平面(Ⅲ)若12AC BC AA ===,求直线AB 与11B C D 平面所成角的正弦值.（17）（本小题共14分）若存在ABC ∆同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题：（Ⅰ）求A ∠的大小； （Ⅱ）求cos B 和a 的值.条件①：sin C =条件②：73a c =； 条件③：1b a -=； 条件④：5cos 2b A =-（18）（本小题共14分）某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：注：=年返修率年生产台数.（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2020年中随机选出3年，记ζ表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求ζ的分布列和数学期望；（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为222123,,s s s .若222312max{,}s s s ≤，其中2212max{,}s s 表示2212,s s ，这两个数中最大的数.请写出a 的最大值和最小值.（只需写出结论） （注：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋅⋅⋅-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）（19）（本小题共14分）已知椭圆）（01:2222>>=+b a b y a x W 的离心率为23，且经过点），（32C . （Ⅰ）求椭圆W 的方程及其长轴长；（Ⅱ）A ，B 分别为椭圆W 的左、右顶点，点D 在椭圆W 上，且位于x 轴下方，直线CD 交x 轴于点Q ，若ACQ △的面积比BDQ △的面积大32，求点D 的坐标.（20）（本小题共14分）已知函数ln ()x f x x=. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设x x f x g -=)()(，求证：1)(-≤x g ；（Ⅲ）设142)()(22+-+-=a ax x x f x h .若存在0x 使得0)(0≥x h ，求a 的最大值.（21）（本小题共14分）设A 是由)2(≥⨯n n n 个实数组成的n 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值是1，且所有数的和是非负数，则称数表A 是“n 阶非负数表”.（Ⅰ）判断如下数表1A ，2A 是否是“4阶非负数表”；（Ⅱ）对于任意“5阶非负数表”A ，记)(s R 为A 的第s 行各数之和）（51≤≤s ，证明：存在}{}{5,4,3,2,1,,⊆k j i ，使得3)()()(≥++k R j R i R ；（Ⅲ）当)N (2*∈=k k n 时，证明：对与任意“n 阶非负数表”A ，均存在k 行k 列，使得这k 行k 列交叉处的2k 个数之和不小于k .2021北京海淀高三（上）期末数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案BADBACDCCA题号 （11） （12） （13）（14）（15） 答案123或-1202-=±y x），（111- ①②④（16）（本小题共15分）解：（Ⅰ）在三棱柱111C B A ABC -中，11//BB AA ，且11BB AA =. 因为点D ，E 分别是棱1AA ，1BB 的中点， 所以E B AD 1//，且E B AD 1=. 所以四边形D AEB 1是平行四边形. 所以1//DB AE .又因为D C B AE 11平面⊄，D C B DB 111平面⊂， 所以D C B AE 11//平面.（Ⅱ）因为11B BCC AC 平面⊥，111B BCC CC 平面⊂， 所以1CC AC ⊥， 因为侧面11B BCC 为矩形， 所以BC CC ⊥1，又因为C BC AC =⋂，ABC AC 平面⊂，ABC BC 平面⊂， 所以ABC CC 平面⊥1.（Ⅲ）分别以CA ，CB ，1CC 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，由题意得)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,2,0(1B ，)2,0,0(1C ，)1,0,2(D . 所以)0,2,2(-=AB ，)0,2,0(11=B C ，)1,0,2(1-=D C . 设平面D C B 11的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0111D C n B C n 即⎩⎨⎧=-=.02,02z x y 令1=x ，则0=y ，.2=z 于是).2,0,1(=n所以.10102252||||,cos -=⨯-=>=<AB n AB n所以直线AB 与平面D C B 11所成角的正弦值为1010. （17）（本小题共14分）选择①②③ 解：（Ⅰ）因为733,sin 3a c C ==， 由正弦定理可得：3sin sin 2a A C c ==. 因为1b a -=， 所以a b <. 所以02A π<∠<. 所以3A π∠=. （Ⅱ）在ABC ∆中，73a c =， 所以a c >. 所以02C π<∠<.所以13cos 14C ==. 所以cos cos(())cos()B A C A C π=-+=-+sin sin cos cos A C A C =-11312142147=⨯-⨯=-所以sin B ==由正弦定理可得72b a=，即78b a =.因为1b a -=， 所以7a =. 选择①②④解：（Ⅰ）因为7,sin 314a c C ==由正弦定理得sin sin a A C c == 在,ABC ∆5cos 2b A =-所以02C π<∠<.所以23A π∠=（Ⅱ）在,ABC ∆73a c = 所以a c > 所以02C π<∠<.所以13cos 14C ==所以cos cos(())cos()B A C A C π=-+=-+sin sin cos cos A C A C =-1131121421414=⨯+⨯=所以sin B ==因为5cos 2b A =-所以52512b -==-.由正弦定理得sin 57sin 14Aa b B =⋅==. （18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由图表知，2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年. 所以从2013~2020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于 100元/台的概率为75.086=（Ⅱ）由图表知，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，所以ξ的所有可能取值为1,2,3．P （ξ=1）=283382216=C C C ,P （ξ=2）=2815381226=C C C ,P （ξ=3）=145380236=C C C , 所以ξ的分布列为（Ⅲ）a 的最大值为13，最小值为7 （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为椭圆W经过点(C ，所以22431a b+=因为椭圆W所以c a =，其中222a b c =+ 所以{4a =2b =所以椭圆W 的方程为221164yx +=，长轴长28a =（Ⅱ）当直线CD的斜率不存在时，由题意可知(2,,D ()2,0,Q由（Ⅰ）可知()()4,0,4,0.A B -所以ACQ △的面积为12×6×=BDQ △的面积为12×2=显然ACQ △的面积比BDQ △的面积为大. 方法一当直线CD 的斜率存在时，由题意可设直线CD的方程为(2)y k x -=-，且0k ≠令0y =，得2x =-，所以(2Q -由22(2)1164y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，得222143(4)(120y y k k k +++--=.依题意可得点D的纵坐标222441414D k k y k k ---+=-=++因为点D 在x 轴下方，所以0Dy <，即424k-<-<.所以ACQ ∆的面积为11(24)(6222c AQ y k k⋅=-+=- BDQ ∆的面积为111422222D D D BQ y y y ⋅=-+=+2214(2)214k k k --+=+-+1(22=+ 因为ACQ △的面积比BDQ △的面积大所以2214(6(2)()2214k k k k+---+=+此方程无解综上所述，点D的坐标为(2,.方法二因为点D 在x 轴下方，所以Q 在线段AB （不包括端点）上. 由（Ⅰ）可知(4,0),(4,0)A B -. 所以AOC △的面积为142⨯=所以点Q 在线段OB （不包括端点）上，且OCQ △的面积等于BDQ △时的面积. 所以OCB △的面积等于BCD △的面积.所以//OD BC . 设(,)D m n ，0n <,则0422n m -==--. 因为点D 在椭圆W 上， 所以221164m n +=.所以2m n =⎧⎪⎨=⎪⎩所以点D的坐标为(2, （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为xx x f ln )(=，所以2ln 1)('x x x f -=.令0)('=x f ，得e x =.)(x f 与)('x f 在区间），（∞+0上的情况如下：所以f （Ⅱ）因为x x x f ln )(=，所以x xx x g -=ln )(. 所以222ln 11ln 1)('x x x x x x g --=--=. ①当)1,0(∈x 时，0ln ,012>->-x x ，所以0)('>x g ； ②当),1(+∞∈x 时，0ln ,012<-<-x x ，所以0)('<x g .所以)(x g 在），（10内单调递增，在），（∞+1内单调递减.所以1)1()(-=≤g x g . （Ⅲ）因为x x x f ln )(=，所以142ln )(22+-+-=a ax x xxx h . ①当210≤≤a 时，0)21(242)1(2≥-=-=a a a a h ，即存在1，使得0)1(≥h ； ②当21>a 时，由（Ⅱ）可知，1ln -≤-x x x ，即1ln -≤x xx . 所以4)16)(12(41344)12()21242)(222222<+--=++-≤-+++--=-+-≤a a a a a a a x a ax x x x h （ 所以对任意0>x ，0)(<x h ，即不存在0x 使得0)(0≥x h . 综上所述，a 的最大值为21. （21）（本小题14分）解：记(,)a i j 为数表A 中第i 行第j 列的数，11(,)nni j a i j ==∑∑为数表A 中所有数的和，11(,)kki j a i j ==∑∑为数表A 中前k行k 列交叉处各数之和．（Ⅰ）1A 是“4阶非负数表”；2A 不是“4阶非负数表”．（Ⅱ）由题意知{}(,)1,1a i j ∈-，1,2,3,4,5i =，1,2,3,4,5j =且数表A 是“5阶非负数表”， 所以()(1,2,3,4,5)R s s =为奇数，且(1)(2)(3)(4)(5)0R R R R R ++++≥． 不妨设(1)(2)(3)(4)(5)R R R R R ≥≥≥≥．①当(3)0R ≥时，因为(3)R 为奇数，所以(3)1R ≥． 所以(1)+(2)+(3)3(3)3R R R R ≥≥．②当(3)0R <时，因为(3)R 为奇数，所以(3)1R ≤-． 所以(4)(5)2(3)2R R R +≤≤-．所以(1)+(2)+(3)(4)(5)2R R R R R ≥--≥．有因为(1)R ，(2)R ，(3)R 均为奇数， 所以(1)+(2)+(3)3R R R ≥．（Ⅲ）（1）先证明数表A 中存在1n -行n 列(2)n k =，其所有数的和大于等于0． 设1()(,)nj R t a i j ==∑(1,2,,)i n =，由题意知1()0ni R i =≥∑．不妨设(1)(2)()R R R n ≥≥≥．由于[]11-11111()(1)()()(1)()()()0n nn n i i i i n R i n R i R i n R n R i R n --====--=--=-≥∑∑∑∑，所以1111()()0n n i i n R i R i n -==-≥≥∑∑（2）由（1）及题意不妨设数表A 前1n -行n 列(2)n k =，其所有数的和大于等于0． 下面考虑前21k -行，证明存在21k -行k 列，其所有数的和大于等于k ． 设211()(,)k i T j a i j -==∑(1,2,,2)j k =，则22111()()0k k j i T j R i -===≥∑∑．不妨设(1)(2)(2)T T T k ≥≥≥．因为()T j 为21k -个奇数的和，所以()T j 为奇数(1,2,,2)j k =．① ①当()0T k ≥时，因为()T k 为奇数，所以()1T k ≥． 所以1()()kj T j kT k k =≥≥∑．② ②当()0T k <时，因为()T k 为奇数，所以()1T k ≤-． 所以21()()kj k T j kT k k =+≤≤-∑．所以211()()kkj j k T j T j k ==+≥-≥∑∑．（3）在（2）所设数表下A ，证明前21k -行前k 列中存在k 行k 列，其所有数的和k ≥． 设1()(,)kj R i a i j ='=∑(1,2,,21)i k =-，则2111()()k ki j R i T j k -=='=≥∑∑．① ①当()1R k '≥时，1()()ki R i kR k k ='≥'≥∑；② ②当()0R k '≤时，(21)(22)()0R k R k R k '-≤'-≤≤'≤．所以2111()()k k i i k R i k R i k -==+'≥-'≥∑∑，所以111(,)()k k ki j i a i j R i k ===='≥∑∑∑．综上所述，对于任何“n 阶非负数表”A ，均存在k 行k 列，使得这k 行k 列交叉处的所有数之和不小于k。