平行线专题讲义(提高)

平行线专题讲义(提高)
个性化授课讲义
学员姓名授课教师
学校科
目
数学
年级类型
/课
时
3课时
授课
主题
日期
时段
讲义
审核
>> 教学内容 <<
一、【复习引入】
二、【知识梳理】
1．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，我们过点P作AB、CD的平行线PE，则有AB∥CD∥PE，故∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，故∠BPE=∠BPD+∠DPE，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，利用（1）中的结论（可以直接套用）求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？
（3）设BF交AC于点P，AE交DF于点Q．已知∠APB=130°，∠AQF=110°，利用（2）的结
论直接写出∠B+∠E+∠F的度数为度，∠A比∠F大度．
2．如图1，已知直线l1∥l2，直线l和直线l1、l2交于点C和D，在直线l有一点P，
（1）若P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和3），试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，不必写理由．
3．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．
4．一副三角板的三个内角分别是90°，45°，45°和90°，60°，30°，按如图所示叠放在一起，若固定三角形AOB，改变三角形ACD的位置（其中点A位置始终不变），可以摆成不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行．设∠BAD=α（0°＜α＜180°）
（1）如图1中，请你探索当α为多少时，CD∥OB，并说明理由；
（2）如图2中，当α=时，AD∥OB；
（3）你还能摆成怎样不同的位置，使两块三角板至少有一组的边平行，请在下列备用图中画一画并直接写出α的度数及平行的直线．
5．（1）如图1，若AB∥CD，将点P在AB、CD内部，∠B，∠D，∠P满足的数量关系是，并说明理由．
（2）在图1中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图2，利用（1）
中的结论（可以直接套用），求∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？
（3）科技活动课上，雨轩同学制作了一个图（3）的“飞旋镖”，经测量发现∠PAC=30°，∠PBC=35°，他很想知道∠APB与∠ACB的数量关系，你能告诉他吗？说明理由．
6．如图，D，E，F，G，H，I是三角形ABC三边上的点，连结EI，EF∥BC，GH∥AC，DI∥AB．（1）写出与∠IEC是同旁内角的角．
（2）判断∠GHC与∠FEC是否相等，并说明理由．
（3）若EI平分∠FEC，∠C=56°，∠B=50°，求∠EID的度数．
7．如图，射线OA∥射线CB，∠C=∠OAB=100°．点D、E在线段CB上，且∠DOB=∠BOA，OE平分∠DOC．
（1）试说明AB∥OC的理由；
（2）试求∠BOE的度数；
（3）平移线段AB；
①试问∠OBC：∠ODC的值是否会发生变化？若不会，请求出这个比值；若会，请找出相应变化
规律．
②若在平移过程中存在某种情况使得∠OEC=∠OBA，试求此时∠OEC的度数．
8．如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P 点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D 两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？
9．如图，已知BC∥GE，AF∥DE，∠1=50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q=15°，求∠ACB的度数．
10．如图所示，已知AB∥CD，BD平分∠ABC交AC于O，CE平分∠DCG．若∠ACE=90°，请判断BD与AC的位置关系，并说明理由．
11．如图，已知∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B，试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．12．如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，求证：∠E=∠F．
13．如图所示，已知射线CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之变化？若变化，请找出规律；若不变，求出这个比值；
（3）在平行移动AB的过程中，若∠OEC=∠OBA，则∠OBA=度．
14．已知：如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，OE平分∠COF 交BC于点E，F在BC 上，且满足OB平分∠AOF．
（1）求：∠EOB的度数．
（2）探究∠OBC与∠OFC的数量关系，并证明；若向右平移AB，则∠OBC与∠OFC的数量关系是否会发生变化？若发生变化，请直接写出变化的结论．
（3）在向右平移AB的过程中，能否使∠OEC=∠OBA？若存在，求出此时两角相等的度数；若不存在，请说明理由．
15．如图（1）所示，是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么你可深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知AB∥CD，请问∠B，∠D，∠E有何关系并说明理由；
（2）如图（3）所示，已知AB∥CD，请问∠B，∠E，∠D又有何关系并说明理由；
（3）如图（4）所示，已知AB∥CD．请问∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系并说明理由．
16．已知：如图，AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F
（1）如图1，已知∠A=30°，∠APC=80°，求∠C的度数；
（2）如图2，当动点P在线段EF上运动时（不包括E，F两点），∠A，∠APC与∠C之间有何数量关系？并证明你的结论；
（3）当动点P在直线EF（线段EF除外）上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请直接写出∠A，∠APC与∠C之间的数量关系．
17．已知：如图（1）所示，D是∠ABC的角平分线和∠ACB的角平分线的交点，过点D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．
（1）请你确定EF、BE、CF三者之间的关系，并加以证明．
（2）如图（2）所示，当点D为∠ABC的外角的角平分线和∠ACB的外角的角平分线的交点时，EF、BE、CF三条线段还满足上面的关系吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明．
（3）如图（3）所示，当点D为∠ABC的角平分线和∠ACB外角平分线的交点时，EF、BE、CF三条线段还满足上面的关系吗？若满足，直接写出关系式；若不满足，请写出新的关系式并加以证明．
18．如图①所示，已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）试说明：OB∥AC；
（2）如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；（3）在（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发
生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；
（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，试求∠OCA的度数．
19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得△EDC．将△EDC演这个C方向平移得到△E1D1C1．
（1）当点D1刚好落在斜边AB上如图1，求平移距离；
（2）设E1D1与边BC交于点N，C1D1与边AB交于点M，当MN∥AC时，求平移的距离．
20．如图，在三角形ABC中，BE平分∠ABC，∠1=∠2．问：
（1）直线DE与BC平行吗？请说明理由．
（2）若∠C=65°，求∠AED的度数．
21．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如图2，如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？（不需证明）
22．已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点E，F，且∠AEF=66°，∠BEF的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P．
（1）求∠PEF的度数；
（2）若已知直线AB∥CD，求∠BEP+∠DFP的值．。