极坐标与参数方程(优质课)PPT课件
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高考专题复习--极坐标与参数方程(极品课件系列)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
其中参数旳几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
旳参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程 旳互化
1. 求 直 线
x
1
4 5
t
y
1
3 5
t
（
t为参数
）被曲线
2 cos( ) 所截的弦长.
4
考点二：了解参数方程和参数旳意义．
例 12．（淮安、徐州、宿迁、连云港四市 2008—2009） 已知在直角坐标系 x0y 内，直线 l 的参数方程为
x 2 2t,
y
1
4t,
(t 为参数)．以 Ox 为极轴建立极坐标系，
圆 C 的极坐标方程为 2 2 sin( ) .
4
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.
L
的参数方程为
x＝t＋3 y＝3－t
，（参数
t
R
），
圆
Ｃ
的
参
数
方
程
为
x＝2cos y＝2sin＋2
（
参
数
0，2 ），则圆Ｃ的圆心坐标为
，圆心
到直线 L 的距离为
。
例 9．（2008 江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y) 是 椭 圆 x2 y2 1 上 的 一 个 动 点 ， 求
x y
t t
1, t 1 t
(t为参数)
相交于
A、B
两点．求线段
AB
的
极坐标和参数方程市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
y
直线 ρ（cosθ+ 3 sinθ）= 2 化为
普通方程 x 3 y 2 .圆上任一
O
x x 点 P( x，y) 到得距离为
d | x 3y2| ． 2
思绪分析
例 6 在极坐标系中，设圆 C：ρ= 3 上的点到直线 l：ρ（cosθ+ 3 sinθ）= 2 的距离为 d，求 d 的最大值.
的点的坐标. 思 路：直线上每个点对应一个参数，求出
这个参数即可．
过程解析
解 （ 1） 因 P 为 椭 圆 x2 y2 1 上 任 意 点 ， 故 可 设 4
P(2cosq ,sinq ) ,其中q R ． 依题意，直线 l 的普通
方程为 x 2y 0 ．因此点 P 到直线 l 的距离是
C
O
x
思绪分析
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2，
π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. P
3
C
思路 1：运用直接法，寻求点 P 的极径r与 O
x
极角q的关系，即是圆的极坐标方程.
思路 2：化为直角坐标研究.
求解过程
解 设 P( ρ，θ )是圆 C 上的任意一点，则
基础知识
极坐标与直角坐标旳互化
x r cosq，
y
r
sin q ．
r 2 x2 y2，
tan
q
y (x x
0)．
一般，将直角坐标化为极坐标时，r 0，0 ≤q 2π．
经典例题
例 1 在极坐标系中，已知圆 C 的圆心坐标为 C (2， π )，半径 R= 5 ，求圆 C 的极坐标方程. 3
2.
过程解析
（2）设 P（x，y）为曲线 x2 y2 9 (0≤ x ≤3，0 ≤ y ≤3)
高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)精选教学PPT课件
所以，经过伸缩变换后，直线 2x＋4y＝1 变成直线 x′＋y′＝1. (2)将 ①代入 x ＋ y ＝ 4，得到经过伸缩变换后的图形的方程为 x′2 y′2 ＋ ＝4. 4 16
2 2 x ′ y ′ 所以，圆 x2＋y2＝4 经过伸缩变换后变成椭圆 ＋ ＝1. 16 64 2 2
x ′ y′ 答案：(1)x′＋y′＝1 (2) ＋ ＝4 4 16
2
2
5x＇＝x 例 3 在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 曲线 C 变 4y＇＝y，
为曲线 x′2＋y′2＝1，求曲线 C 的方程． 解析：设曲线 C 上任意一点为(x，y)，经过伸缩变换后对应点的 坐标为(x′，y′)，
5x′＝x， 由 得 4y′＝y
x y 1 代入 x′ ＋y′ ＝1，得25＋16＝1. y′＝4y.
题型二 伸缩变换
例 2 在平面直角坐标系中， 求下列方程所对应的图形经过伸缩
x＇＝2x， 变换 后的图形． y′＝4y
(1)2x＋4y＝1；(2)x2＋y2＝4.
x′＝2x， 解析：由伸缩变换式 得 y′＝4y
1 y＝4y′.
1 x＝ x′， 2
①
(1)将①代入 2x＋4y＝1，得到经过伸缩变换后的图形方程为 x′ ＋y′＝1.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归纳为坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换. (2)设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ������' = ������������(������ > 0), φ: 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P'(x',y'),称 φ 为平面直 ������' = ������������(������ > 0) 角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
高中数学选修4-4极坐标与参数方程(人教版共5份)(2)精选教学PPT课件
∴直角坐标方程为 x2＋y2＝4ay. (2)把方程变形为 ρ2＝9(ρcos θ＋ρsin θ )， ∵ρ 2＝x2＋y2，ρ cos θ ＝x，ρ sin θ ＝y， ∴直角坐标方程为 x2＋y2＝9(x＋y)． 答案：(1)x2＋y2＝4ay (2)x2＋y2＝9(x＋y)
4．(1)直角坐标方程x＋y－2＝0化为极坐标方程是________；
2
（3）直线 l 过点 P a, 且与极轴平行，则直线 l 的极坐标方程为 sin 2
a
0
题型一 求简单的极坐标方程
解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ )，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， 解析：在圆上任取一点 P(ρ，θ)，那么，在△AOP 中，|OA|＝8， π π |AP|＝5，∠AOP＝ － θ 或 . θ － π π 3 p A － 3 . |AP|＝5，∠AOP＝ －θ 或θ 3 3 π 82＋ρ2－52 82＋ρ2－52 π 由余弦定理，得 cos －θ＝ . 由余弦定理，得 cos － . θ＝ 3 2 × 8 ρ 2×8ρ 3 π π ＋ 39 ＝ 为所求的极坐标方程． ＋ 即 ρ －16ρcosθ 39 ＝ 00为所求的极坐标方程． － － θ 33
2 2 即 ρ －16ρcos
＋ 39 ＝ 0 ＋ 答案：ρ －16ρcosθ－ 39 ＝ 0 3 3
π ，半径为 5 的圆的方程． 例 1 在极坐标平面上，求圆心A8， π 3 ，半径为 例 1 在极坐标平面上，求圆心 A8， 5 的圆的方程． 3
3π sin －θ 4
＝
. 7π sin 12
ρ
极坐标与参数方程(优质课ppt课件
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:
x
y
r r
cos sin
( 为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为 sin
，(t
为参数)
说明： 一、 参数 t 的有关性质 对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
4
N,求△C2MN 的面积
你都掌握 了吗？
本节课你都学习的什么？
1. 极坐标、参数方程的解 题思路
2.极坐标、参数方程的规 范书写步骤
作业
请打开资料
好好学习 天天向上
再见！
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y
ρ2 = x2 + y2，tanθ= x(x≠0)
高考真题演练
例 1：(2013 全国 1 文科)23.选修 4—4：坐标系与参数
方程
已
知
曲
线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t, sin t
（
t
为参数
），以坐标
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin 。
4.椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的参数方程为: a2 b2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:
x
y
r r
cos sin
( 为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为 sin
，(t
为参数)
说明： 一、 参数 t 的有关性质 对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
4
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1. 极坐标、参数方程的解 题思路
2.极坐标、参数方程的规 范书写步骤
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极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y
ρ2 = x2 + y2，tanθ= x(x≠0)
高考真题演练
例 1：(2013 全国 1 文科)23.选修 4—4：坐标系与参数
方程
已
知
曲
线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t, sin t
（
t
为参数
），以坐标
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin 。
4.椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的参数方程为: a2 b2
高考专题复习极坐标与参数方程极品课件系列.ppt
到直线距离为 2，|PQ|的最小值为 2－1＝1
1．直接求解
例 1．在极坐标系中，过圆 =6cos 的圆心，且垂
直于极轴的直线的极坐标方程
分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线， 再得到极坐标方程。
例 2．（08 广东卷理 13）已知曲线 C1，C2 的极坐标
方 程 分 别 为 cos 3 ，
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的参数方程为: a2 b2
x
y
a b
cos sin
(为参数)
考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程 的互化
1. 求 直 线
x
1
4 5
t
y
1
3 5
t
（
t为参数
）被曲线
2 cos( ) 所截的弦长.
4
3．极坐标方程研究两曲线的位置关系
例
5．（江苏省南通市
2008-2009）求直线
x y
1 1
2t,（t 2t
为参数）被圆
x
y
3cos 3 sin
,
（α为参数）截得的弦长．
分析：把参数方程转化为普通方程来判断位 置关系，利用圆心距与半径求出弦长。
4．两曲线的位置关系
例
6．（08
海南、宁夏理）已知曲线
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:
x
y
r r
cos sin
(为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
1．直接求解
例 1．在极坐标系中，过圆 =6cos 的圆心，且垂
直于极轴的直线的极坐标方程
分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线， 再得到极坐标方程。
例 2．（08 广东卷理 13）已知曲线 C1，C2 的极坐标
方 程 分 别 为 cos 3 ，
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的参数方程为: a2 b2
x
y
a b
cos sin
(为参数)
考点一：参数方程,极坐标方程和直角坐标方程 的互化
1. 求 直 线
x
1
4 5
t
y
1
3 5
t
（
t为参数
）被曲线
2 cos( ) 所截的弦长.
4
3．极坐标方程研究两曲线的位置关系
例
5．（江苏省南通市
2008-2009）求直线
x y
1 1
2t,（t 2t
为参数）被圆
x
y
3cos 3 sin
,
（α为参数）截得的弦长．
分析：把参数方程转化为普通方程来判断位 置关系，利用圆心距与半径求出弦长。
4．两曲线的位置关系
例
6．（08
海南、宁夏理）已知曲线
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:
x
y
r r
cos sin
(为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
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极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y
ρ2 = x2 + y2，tanθ= x(x≠0)
高考真题演练
例 1：(2013 全国 1 文科)23.选修 4—4：坐标系与参数
方程
已
知
曲
线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t, sin t
（
t
为参数
），以坐标
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin 。
高考题型突破
极坐标与参数方程
郑 州扶 轮 外 语
坐标系与参数方程在高考中是选考内容，是10 分的解 答题之一，与不等式选讲和几何证明选讲等三个选修模块进 行三选一解答，知识相对比较独立，与其他章节联系不大， 容易拿分。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参 数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化， 并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题 和位置关系的判定。
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
说明： 一、 参数 t 的有关性质 对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
学习目标：
1、掌握高考考纲对极坐标参数方程的要求 2、会解常见高考题型的极坐标与参数方程 3、记住高考解答题书写的一般步骤
学习重点：极坐标参数方程的常见
解题步骤
学习难点：极坐标、参数方程的解题
思路
一、基础知识梳理
1、 过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0, 0 2 ）。
例 2：(2015 全国 1 文科)23. 选修 4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 :x= 2,圆C2 ： (x 1)2 (y 2)2 1，以 坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求C1 ，C2 的极坐标方程。 （2）若直线 C3 的极坐标为 = （ρR）,设 C2 与 C3 的交点为 M，
4
N,求△C2MN 的面积
你都掌握 了吗？
本节课你都学习的什么？
1. 极坐标、参数方程的解 题思路
2.极坐标、参数方程的规 范书写步骤
作业
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好好学习 天天向上
再见！
by22
1(ab0)
的参数方程为:
xyabcsions(为参数)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向（通常取逆时针方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程: xyrrcsions(为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程: xyabrrcsions(为参数)
4.椭圆
x2 a2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y
ρ2 = x2 + y2，tanθ= x(x≠0)
高考真题演练
例 1：(2013 全国 1 文科)23.选修 4—4：坐标系与参数
方程
已
知
曲
线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t, sin t
（
t
为参数
），以坐标
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin 。
高考题型突破
极坐标与参数方程
郑 州扶 轮 外 语
坐标系与参数方程在高考中是选考内容，是10 分的解 答题之一，与不等式选讲和几何证明选讲等三个选修模块进 行三选一解答，知识相对比较独立，与其他章节联系不大， 容易拿分。高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参 数方程以及极坐标方程、参数方程与普通方程间的相互转化， 并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题，交点问题 和位置关系的判定。
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
说明： 一、 参数 t 的有关性质 对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
学习目标：
1、掌握高考考纲对极坐标参数方程的要求 2、会解常见高考题型的极坐标与参数方程 3、记住高考解答题书写的一般步骤
学习重点：极坐标参数方程的常见
解题步骤
学习难点：极坐标、参数方程的解题
思路
一、基础知识梳理
1、 过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
（Ⅰ）把 C1 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求 C1 与 C2 交点的极坐标（ 0, 0 2 ）。
例 2：(2015 全国 1 文科)23. 选修 4-4；坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 :x= 2,圆C2 ： (x 1)2 (y 2)2 1，以 坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求C1 ，C2 的极坐标方程。 （2）若直线 C3 的极坐标为 = （ρR）,设 C2 与 C3 的交点为 M，
4
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2.极坐标、参数方程的规 范书写步骤
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1(ab0)
的参数方程为:
xyabcsions(为参数)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、极坐标系的建立： 在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及 它的正方向（通常取逆时针方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
2．A、B 两点的中点所对应的参数为 t A tB ， 2
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程: xyrrcsions(为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程: xyabrrcsions(为参数)
4.椭圆
x2 a2