高中数学 2.2.2直线与平面平行的性质 新人教A版必修2

2．2.2 直线与平面平行的性质
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栏 目 链 接
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熟练掌握直线与平面平行的性质定理的应用，并在 应用中充分感知、体验转化的数学思想方法在立体 几何中的作用．
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典例精析
目 链
接
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题型一 证线线平行
例1 三个平面两两相交有三条交线，如果其中两条交 线平行，则第三条也和它们分别平行．
已知：如图，平面α∩平面β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3， l1∥l2.
栏 目 链
求证：l1∥l3，l2∥l3.
接
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分析：欲证线线平行，只需根据条件转化为线面平行， 再进一步应用线面平行的性质定理转化为线线平行．
证明：∵l1∥l2，l1⊄γ，l2⊂γ，
∴l1∥γ(根据直线和平面平行的判定定理)．
∵l1⊂β，β∩γ＝l3，
栏
∴l1∥l3(根据直线和平面平行的性质定理)．
目 链
又∵l1∥l2，∴l2∥l3，∴l1∥l3，l2∥l3.
接
点评：直线与平面平行的判定定理与直线与平面平行 的性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出 线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂 的题目还可继续推下去．
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►跟踪训练
1．如图所示，过正方体ABCDA1B1C1D1的棱
BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证： BB1∥EE1.
证明：∵BB1∥CC1，BB1⊄平面D1DCC1，
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CC1⊂平面D1DCC1，
目
链
∴BB1∥平面D1DCC1.
接
又∵BB1⊂平面BB1E1E，
平面BB1E1E∩平面DD1C1C＝EE1，
∴BB1∥EE1.
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题型二 线面平行性质的综合应用
例 2 已知 E，F，G，H 为空间四边形 ABCD 的边 AB，BC，
CD，DA 上的点，且 EH∥FG.求证：EH∥BD.
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证明：EH⊄平面BCD FG⊂平面BCD ⇒EH∥平面 BCD，
EH∥FG
平面 BCD∩平面 ABD＝BD⇒EH∥BD.
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点评：(1)应用线面平行的性质定理时，应着力寻找
过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到
交线还需作出辅助平面．证明与平行有关的问题时，
线面平行的判定定理、性质定理、公理4常结合起来
使用．
栏
(2)证明线线平行常用的方法有：
目
①定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平
链 接
行．
②平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行．
③直线与平面平行的性质定理．
④反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进 而证明两条直线应当是平行的．
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►跟踪训练 2．已知：α∩β＝l，a∥α，a∥β，求证：a∥l. 证明：如图，过a作平面γ交α于b，
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∵a∥α，∴a∥b，
目 链
过a作平面ε交平面β于c，
接
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c，
又b⊄β且c⊂β，∴b∥β.
又平面α过b交β于l，
∴b∥l，∵a∥b，∴a∥l.
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题型三 线面平行性质的有关计算
例 3 如图所示，在三棱锥 PABC 中，PA＝4，BC＝6，与 PA，BC
都平行的截面四边形 EFGH 的周长为 l，试确定 l 的取值范围．
解析：∵PA∥平面 EFGH，PA⊂平面 PAB，
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目
平面 PAB∩平面 EFGH＝EH，
链
接
∴PA∥EH，
同理，PA∥FG，BC∥EF，BC∥HG；
∴BECF＝AAEB，EF＝AEA·BBC；
FAGP＝CCAF＝BBAE，FG＝BEB·AAP. .
►跟踪训练
3．如图，a∥α，A是α另一侧的点，B，C，D∈a，线段 AB，AC，AD交α于E，F，G三点，若BD＝4，CF＝4， AF＝2，求EG.
解析：∵A∉a，∴A，a 可确定一个平面，设为 β.
∵B∈a，∴B∈β.又 A∈β，∴AB⊂β.
栏 目
同理 AC⊂β，AD⊂β.
链 接
∵点 A 与直线 a 在 α 的异侧，∴β与 α 相交．
∴平面 ABD 与平面 α 相交，设交线为 EG.
∵BD∥α，BD⊂平面 BAD，而平面 BAD∩α＝EG，
∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.
∴EBGD＝AACF .∴ EG＝AACF ·BD. ＝26×4＝43.