湖北省高一下学期期中数学试卷

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2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题-附答案

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量，，则“”是“”的（）11(,)a x y =22(,)b x y =1212x x y y =//a b A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的定义判断作答.【详解】若，则，即，1212x x y y =12210x y x y -=//a b当，即时，满足，而无意义，0b =120y y ==//a b 1212x x y y =所以“”是“”的充分不必要条件.1212x x y y =//a b故选：A2．如图，是水平放置的△OAB 用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴O A B '''△x 'y '平行），则△OAB 的面积为（）A ．B ．C ．24D ．48【答案】D【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB ，求解面积即可.【详解】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB ，其面积为.1616482⨯⨯=故选：D.3．将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩()sin f x x=π3短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数的图象，则（）12()g x ()g x =A ．B ．()2πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．()πsin 23x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()πsin 26x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】按题意平移、伸缩变换求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，()sin f x x =π3πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12的图象.()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴.()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B.4．已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（）αβx 2450x x -+=αβαβ+=+A B ．C D ．【答案】A【分析】解得的虚根，代入求解即可.2450x x -+=αβαβ++【详解】由，，2450x x -+=()2441540∆=--⨯⨯=-<∴方程的两个虚根为，或，，2450x x -+=2i α==+2i β==-2i α=-2i β=+不妨取，2i α=+2i β=-==∴αβαβ+==+故选：A.5，则（）θ=sin cosθθ⋅=A ．B ．C ．D ．1313-2323-【答案】B【分析】先由二倍角公式和两角和的余弦公式化简已知条件，再求解即可.【详解】，，θ=cos θθ=，cos θθ=∴，cos sin cos θθθθ+=两边同时平方，得，()222cos 2sin cos sin 3sin cos θθθθθθ++=∴，∴，()23sin cos 2sin cos 10θθθθ--=()()0sin cos 13sin cos 1θθθθ+=-解得或，sin cos 1θθ=1sin cos 3θθ=-又，πcos cos sin 4θθθθθ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭∴，.sin cos 1θθ≠1sin cos 3θθ=-故选：B.6．如图，在正三棱柱中，M 为棱的中点，N 为棱上靠近点C 的一个三等分点，111ABC A B C -1AA 1CC若记正三棱柱的体积为V ，则四棱锥的体积为（）111ABC A B C -B AMNC -A ．B ．512518V C ．D ．524V 536【答案】B 【分析】设，取AC 的中点D ，可得BD ⊥平面，分别计算四棱锥1,AB a AA b==11ACC A 的体积与正三棱柱的体积，即可得解.B AMNC -111ABC A B C -【详解】正三棱柱中，设，111ABC A B C -1,AB a AA b ==取AC 的中点D ，连接BD ，则BD ⊥AC ，BD ，，212ABC S a =⨯=正三棱柱的体积111ABC A B C -1ABC V S AA =⨯= 平面ABC ，BD 平面ABC ，则BD ，1AA ⊥⊂1AA ⊥又BD ⊥AC ，，平面，则BD ⊥平面，1AA AC A= 1,AA AC ⊂11ACC A 11ACC A ，111523212AMNC abS b b a ⎛⎫=⨯+⨯=⎪⎝⎭则四棱锥的体积．B AMNC -1153312581B AMNCAMNC V ab V S BD -=⨯⨯=⨯==故选：B ．7．在ABC 中，Q 是边AB 上一定点，满足，且对于边AB 上任意一点P ，恒有14QB AB =，则（）PB PC QB QC ⋅≥⋅A ．B ．90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒C ．D ．AB AC =AC BC=【答案】D【分析】在ABC 中，取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DQ ．由可得PB PC QB QC ⋅≥⋅，即可判断各选项正误.QD AB ⊥【详解】在ABC 中，取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DQ ．故，()()()()22PB PC PD DB PD DC PD DB PD DB PD DB⋅=+⋅+=+⋅-=- ()()()()22QB QC QD DB QD DC QD DB QD DB QD DB⋅=+⋅+=+⋅-=- 由，得，因点到直线垂线段最短，可知.PB PC QB QC ⋅≥⋅22PD QD≥ QD AB ⊥A 选项，因，则，则，故A 错误；QD AB ⊥90o DQB ∠=o 90ABC ∠<B 选项，由题目条件，无法判断大小，故B 错误；BAC ∠CD 选项，因，E 为AB 中点，则Q 为EB 中点，结合D 为BC 中点，可知，14QB AB =DQ CE ，又E 为AB 中点，则，又由题目条件不能判断AB ,AC 关系，故C 错误，D 正CE AB ⊥AC BC =确.故选：D8．如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，若π3A =，则m =（）cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=A ．BCD ．112【答案】C【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，AB即可求的值.m 【详解】对于式子，两边同乘，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B += AB 可得，cos cos 2sin sin B C AB AB AC AB mAO AB mAB AB C B ⋅+⋅=⋅=⋅即，22cos cos cos sin sin B Cc bc A mc C B +⋅=由正弦定理化简可得，22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B CC B C A m CC B +⋅=由，两边同时除以得，sin 0C ≠sin C cos cos cos sin B A C m C+=∴()cos cos cos cos cos cos sin sin A C A CB AC m C C-+++==cos cos sin sin cos cos πsin sin sin 3A C A C A C A C -++====故选：C ．二、多选题9．在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项n 式在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若是的一个根，则()f x n ω3=1x =（）2++1ωωA ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AD 【分析】分解因式，求解的值，分别代入计算.()()321110x x x x -=-++=w 【详解】解：因为，所以，即，所以或.即31x =310x -=()()2110x x x -++=1x =x =或1w =w =当时，；1w =213w w ++=当.w =210w w ++=故选：AD10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（）A ．若，则sin sin A B >a b>B ．若，则△ABC 为等腰三角形sin2sin2A B =C ．若，，，则符合条件的三角形有2个30B =︒b =2c =D ．若△ABC 的面积，则)222S b c a =+-π3A =【答案】ACD【分析】对于A ：利用正弦定理直接判断；对于B ：由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断；对于C ：由即可判断；对于D ：由条件及余弦定理，π2A B +=A B =sin c B b c <<三角形面积公式可得即可判断．tan A =A 【详解】对于A ：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径），ABC 2sin sin a bRA B ==R ABC 因为，即，所以，故A 正确；sin sin A B >22a bR R >a b >对于B ：因为，即，sin 2sin 2A B =sin[()()]sin[()()]A B A B A B A B ++-=+--展开整理得，又，cos()sin()0A B A B +-=0π,ππA B A B <+<-<-<所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B 错误；π2A B +=A B =ABC对于C ：因为，，所以，所以，30B =︒b =2c =1sin 212c B =⨯=sin c B b c <<所以符合条件的三角形有两个，故C 正确；对于D ：三角形面积且，)222S b c a =+-222cos 2b c a A bc +-=12cos sin 2bc A bc A ⋅=因为，所以，故，故D 正确．0πA <<cos 0A ≠tan A =π3A =故选：ACD ．11．一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方a b a b ⨯ sin a b a b θ⨯=⋅ 向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结a bOACB O A C B '-'''论正确的是（）A ．12OABS OA OB =⨯△B ．当时，0,2AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭tan OA OB OA OB AOB ⨯=⋅∠C ．若，，则2OA OB ==2OA OB ⋅= OA ⨯ D ．平行六面体的体积OACB O A C B '-'''()V OO OA OB'=⋅⨯ 【答案】ABD【分析】根据的定义以及数量积的几何意义逐项分析.a b ⨯【详解】对于A ，，而，故1sin 2ABOS OA OB AOB =∠ △sin OA OB OA OB AOB ⨯=∠，正确；12ABO S OA OB=⨯△对于B ，，当，有意义cos OA OB OA OB AOB⋅=∠0,2AOB π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭tan AOB ∠则，正确；tan sin OA OB AOB OA OB AOB OA OB⋅∠=⨯∠=对于C ，，，，，，错误；2OA OB == 2OA OB ⋅= 1cos 2AOB ∠=sin AOB ∠=OA OB ⨯= 对于D ，的模长即为平行六面体底面OABC 的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何OA OB ⨯意义可知，就是在垂直于底面OABC 的方向上的投影向量的模长（即为高）乘()OO OA OB'⋅⨯OO ' 以底面的面积，即为体积，正确；故选：ABD ．12．已知平面向量，，满足，且，下列结论可能正确的是（）a b c 2,1a c == 1a b b c -=-=A ．向量，的夹角为B ．向量，共线a bπ6a cC ．D ．12b =54b c ⋅=【答案】ABD【分析】设，，，如图，不妨设，圆C 方程是，动点A OA a = OB b = OC c = ()1,0C 22(1)1x y -+=在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足．当1AB =A ；当A 的坐标为时，可判断B ；由，得，又由OB =()2,0AB OB OA +≥1OB ≥图易知，即，可判断C ；设，则，由及，可2OB ≤12b ≤≤ (,)B x y b c x ⋅= 12b ≤≤22(1)1x y -+=得，可判断D ．122x ≤≤【详解】由题意，，设，，，2,a = 1c = 1a b b c -=-= OA a = OB b = OC c = 如图，不妨设，圆C 方程是．()1,0C 22(1)1x y -+=动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足，1AB =对于A ，当时，△OAB 为直角三角形，此时，即向量，的夹角为，故A OB =30AOB ∠=︒a bπ6正确；对于B ，当A 的坐标为时，向量，共线，故B 正确；()2,0a c对于C ，当B 在圆C 上运动时，由，得，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取AB OB OA+≥1OB ≥等号，又由图易知，即，故C 错误；2OB ≤12b ≤≤ 对于D ，设，则，(,)B x y ()(),1,0b c x y x⋅=⋅=由得，又，则，即．12b ≤≤ 2212x y ≤≤+22(1)1x y -+=122x ≤≤122x ≤≤∴，故D 正确．1,22b c ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦ 故选：ABD.三、填空题13．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的360︒复数为______（用代数形式表示）．【答案】-【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可.【详解】复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为360︒.()()cos 33060isin 33060=︒-︒+︒-︒=-⎤⎦故答案为：.-14．如图，在三棱锥中，，，过点A作截-P ABC 8PA PBPC ===40APB APC BPC ∠=∠=∠=︒面，分别交侧棱PB ，PC 于E ，F 两点，则△AEF 周长的最小值为______．【答案】【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小PA -P ABC AA 'AEF △值，在中，由余弦定理能求出的值．PAA '△AA '【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：PA -P ABC则即为的周长的最小值，AA 'AEF △在中，，，PAA '△340120APA '∠=⨯︒=︒8PA A P '==由余弦定理得：．AA '=故答案为：15．在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，ABC ∆A B C a b c cos C =，则的外接圆面积为__________．cos cos 2b A a B +=ABC ∆【答案】9π【分析】根据正弦定理得到，再根据得到答案.()1sin sin A B C R +==cos C =1sin 3C =【详解】由正弦定理知：，cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=即，，，()1sin sin A B C R +==cos C 1sin 3C =即.故.3R =29S R ππ==故答案为9π【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.16．德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的ABC 顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．ABC 1P AB ()PA PB PC ⋅+【答案】52【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设C P 点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.P 【详解】由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，AB C 1以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由C BC x C BC y 已知，，，12A ⎛- ⎝()1,0B -()0,0C 由任意角的三角函数的定义，设，，()cos ,sin P θθ2π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，1cos sin 2PA θθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()1cos ,sin PB θθ=--- ()cos ,sin PC θθ=-- ∴，()12cos ,2sin PB PC θθ+=--- ∴()()()1cos 12cos sin 2sin 2PA PB PC θθθθ⎫⎛⎫=⋅+⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭-⋅+-⎭---2212cos 2cos 2sin 2θθθθ=+++52θθ⎫=⎪⎪⎭令，则， cos ϕ=sinϕ=()()52PA PB PC θϕ=+⋅++ 当时，，πθφ+=πθϕ=-，()2π1cos cos πcos cos 32θϕϕ=-=-=<=-()2πsin sin πsin sin 3θϕϕ=-==<=∴存在，使，即，2π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πθφ+=()cos 1θϕ+=-∴当时，的最小值为()cos 1θϕ+=-()PA PB PC ⋅+()52PA PB PC ⋅+= 故答案为：52四、解答题17．在复平面内，复数对应的点为，i 为虚数单位，且______．1z 1Z 从条件①；②为关于x 的方程的一个根，且点位于第一象限；220231(1i)3i 1i z +++=-1z 2250x x -+=1Z ③，其中．选择一个填在横线上，并完成下列问题．（注：若选择)1cos i sin 1z θθ=+⋅-π4θ=多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)求；1z (2)若点Z为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z 与之间距离的取值范围．121z z -=1z 1z 1Z 【答案】(2)1⎤-+⎦【分析】（1）条件①，利用复数的运算及模的定义求解即可；条件②，由实系数一元二次方程的解法及模的定义求解即可；条件③，利用复数的运算及模的定义求解即可；（2）解法1：设，可得，因此曲线是复平面内以圆心，半径i z a b =+22(2)(4)1a b -++=()02,4Z -为1的圆，结合圆的性质求解即可；解法2：由题意可得，因此曲线是复平面内以()24i 1z --=圆心，半径为1的圆，设，则，可求得()02,4Z -()cos 2,sin 4Z θθ+-()1cos 1,sin 6Z Z θθ=+- .【详解】（1）条件①：，()()()()2202313i 1i (1i)3i 2i 3i 24i 12i 1i 1i 1i 1i2z ++++++-+=====+---+所以．11z =+条件②：由得，，，所以，2250x x -+=2(1)4x -=-12ix -=±12i x =±又点位于第一象限，所以，所以1Z 112z i =+11z =+条件③：因为，所以，π4θ=)1cos i sin 1112i z θθ⎫=+⋅-=-=+⎪⎪⎭所以．11z =+（2）解法1：设，，i z a b =+,R a b ∈由（1）可得，，，112i z =-()11,2Z ()()1224i z z a b -=-++由可得，，121z z -=22(2)(4)1a b -++=因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，()02,4Z -故与0Z 1Z =所以Z 与，1Z 1-1+故Z 与之间距离的取值范围是．1Z 1⎤⎦解法2：由（1）可得，，112i z =-()11,2Z 曲线，即，121z z -=()24i 1z --=因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，()02,4Z -设，，则，()cos 2,sin 4Z θθ+-[)0,2θ∈π()1cos 1,sin 6Z Z θθ=+-，==tan 6ϕ=所以，11Z Z ⎤∈+⎦故Z 与之间距离的取值范围是．1Z 1⎤⎦18．已知函数的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭(1)求函数的解析式，并求函数在上的值域；()f x ()f x []1,0x ∈-(2)求方程在区间内的所有实数根之和．()12f x =-[]0,4【答案】(1)，；()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎡-⎣(2)263【分析】（1）由图得，并求解出周期为，从而得，由点在的图象上，2A =2T =πω=1,26⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 可得，从而求解得，即可得；由求得ππ2π62k ϕ+=+π3ϕ=()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]1,0x ∈-的值域；π1sin π3x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x （2）作出函数与的图象，可得两个函数在有4个交点，从而得有四()f x 12y =-[]0,4()12f x =-个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.【详解】（1）由图可知，，2A =212π436T ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭∴，∴，πω=()()2sin πf x x ϕ=+又点在的图象上，∴，1,26⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴，，即，，ππ2π62k ϕ+=+Z k ∈π2π3k ϕ=+Z k ∈∵，∴，∴．π2ϕ<π3ϕ=()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当时，，所以，所以．[]1,0x ∈-π2πππ,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦1sin π3πx ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈-⎣故函数在上的值域为：．()f x []1,0x ∈-⎡-⎣（2）如图，作出函数与的图象，()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12y =-由图得在上的图象与直线有4个交点，()f x []0,412y =-则方程在上有4个实数根，()12f x =-[]0,4设这4个实数根分别为，且，1234,,,x x x x 1234x x x x <<<由，，得，，π3ππ2π32x k +=+Z k ∈726x k =+Z k ∈所以可知关于直线对称，∴，12,x x 76x =1273x x +=关于直线对称，∴，34,x x 196x =34193x x +=∴．1234263x x x x =+++19．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点OABC OA CB OA OC ⊥222OA BC OC ===M AB 的一个三等分点，为线段上的一个动点．B P BC(1)用和表示；OA OC OM (2)设，求的取值范围．OB CA OP λμ=+ λμ⋅【答案】(1)2233OM OA OC =+ (2)30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可；23AM AB = O （2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，12OB OC OA =+ OB CA OP λμ=+ ,OC OA根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解.,λμ【详解】（1）依题意，，12CB OA = 23AM AB = ∴，()()2222122133333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA =-=+-=+-=- ∴21223333OM OA AM OA OC OA OA OC ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭ （2）由已知，12OB OC CB OC OA =+=+ 因是线段上动点，则令，P BC 102CP xOA x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ，()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++- 又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，OC OA 1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩⎩，1330111222x x μ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤在上递增，()2111()24λμμμμ⋅=-=--31,2μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，，，，1μ=min ()0λμ⋅=32μ= max 3()4λμ⋅=故的取值范围是．λμ⋅30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB 为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M 点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，6分钟后到达N 点．在M 点时测得A 点位于北偏西方向上，B 点位于北偏西方向上；在N 45︒15︒点时测得A 点位于北偏东方向上，B 点位于北偏东方向上，且在N 点时观测A 的仰角的正15︒45︒．设A 点在地表水平面上的正投影为，B 点在地表水平面上的正投影为，A 'B '，，M ，N 在地表水平面上的分布如图2所示．A 'B '(1)该山的高度为多少千米？(2)已知该山的下底面圆的半径为1.8km ，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？【答案】(1)0.4千米；(2)3.9π平方千米【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度；（2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可.【详解】（1）由题意可知，75B MN A NM ''∠=∠=︒45A MN B NM ''∠=∠=︒∴，在△A 'MN 中，由正弦定理60NA M ∠='︒sin sin MN A N NA M A MN'∠'='∠，660MN ==A N '=又∵N 点观测A ，，0.4AA '==所以，该山的高度为0.4千米．（2）设的外接圆为圆O ，'' A MB ∵，根据圆的性质，，，M ，N 四点共圆30A MB A NB ''''∠=∠=︒A 'B '在中，由正弦定理，圆O 直径为，A MN '△6sin MN NA M '=∠在中，由正弦定理，'' A MB 6sin 3A B A MB ''''=∠=延长与圆台交于C 点，A B ''由题意下底面圆半径为1.8km ，圆台的母线长BC 可在直角中由勾股定理得为0.5．BB C '△圆台的侧面积，()233ππ 1.5 1.80.5km 20⋅+⋅=圆台的上底面面积，229ππ1.5km 4⋅=所以，侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米．3.9π21．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．sin sin sin sin a A b B c C A +=+(1)求角C 的大小；(2)若，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．2c =【答案】(1)；π4(2)【分析】（1）由正弦定理化角为边得，再利用余弦定理可得结果；222a b c +-=（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得，21CD =a A =，所以2cos 2sin b B A A ==+π4sin 24ab A ⎛⎫=-+⎪⎝⎭求得的范围，即可得出答案.ab 【详解】（1）已知，sin sin sin sin aA bB cC A +=+由正弦定理可得，即，222a b c +=222a b c+-=所以222cos 2a b c C ab +-===因为，所以．()0,πC ∈π4C =（2）由余弦定理可得，222222cos 4c a b ab C a b =+-=+=又，()12CD CA CB =+ 则，()()222222111π22cos 4444CD CA CB CA CB CA CB a b ab ⎛⎫=+=++⋅=++ ⎪⎝⎭()1414=+=由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===所以，，a A=3π2cos 2sin 4b B A A A ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭所以，21cos2cos 2A ab A A A A -=+=+4sin 24πA ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由题意得，解得，则，π023ππ042A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ42A <<ππ3π2,444A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以，所以，sin 24πA ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(4ab∈+所以，所以中线CD 长的取值范围为．(25,3CD ∈+ 22．如图，已知△ABC 为等边三角形，点G 是△ABC 内一点．过点G 的直线l 与线段AB 交于点D ，与线段AC 交于点E ．设，，且，．AD AB λ= AE AC μ= 0λ≠0μ≠(1)若，求；2155AG AB AC =+ GAB ABC S S △△(2)若点G 是△ABC 的重心，设△ADE 的周长为，△ABC 的周长为．1c 2c （i ）求的值；11λμ+（ii ）设，记，求的值域．t λμ=()12c ft t c =-()f t 【答案】(1)；15(2)（i ）3；（ii ）．29⎡⎢⎣【分析】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，设，则，由AF mAG = 255m m AF AB AC =+B ，F ，C 三点共线可求得，则有，又，可求，，即可得53m =13BF BC = 53AF AG = FAB ABC S S △△GAB FAB S S △△出结果.（2）（i ）由题意得，，又D ，G ，E 三点共线，所()12AF AB AC =+ 211333AG AF AD AE λμ==+ 以，即可得解；（ii ）设△ABC 的边长为1，则，，在△ADE 中，由余弦11133λμ+=AD λ=AE μ=定理得化简DE =12c c =113λμ+=，所以的范围及二次函数的性质求解12c c =t λμ=()f t =t 即可得出的值域.()f t 【详解】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，设，则，AF mAG = 255m m AF AB AC =+ 又B ，F ，C 三点共线，所以，，2155m m +=53m =故，即，2133AF AB AC =+ 3311AF AB AC AB =-- 则有，所以，13BF BC = 13FAB ABCS BF S BC ==△△又，所以，所以.53AF AG =35GAB FAB S AG S AF ==△△15GAB ABC S S =△△（2）（i ）连接AG 并延长，交BC 于点F ，因为G 为重心，所以F 为BC 中点，所以，()12AF AB AC =+ 所以()22111111332333AG AF AB AC AD AE AD AE λμλμ⎛⎫==⨯+=+=+ ⎪⎝⎭ 又D ，G ，E 三点共线，所以，则．11133λμ+=113λμ+=（ii ）设△ABC 的边长为1，则，，（）AD λ=AE μ=(],0,1λμ∈在△ADE 中，，222222cos60DE AD AE AD AE λμλμ=+-⨯⨯︒=+-所以DE =123c AD AE DE c ++==因为，，1133λμλμλμ+=⇒+=2222()29()2λμλμλμλμλμ+=+-=-所以，12c c==因为，所以t λμ=()f t t ===因为，，所以，，又，则有，01λ<≤01μ<≤11λ≥11μ≥1132λμ=-≤112λ≤≤因为，所以，31λμλ=-22211313113924λλμλλλλ===-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭因为，，所以的最小值为，最大值为，112λ≤≤213992244λ⎛⎫≤--+≤ ⎪⎝⎭λμ4912所以，单调递增，则，41,92t λμ⎡⎤=∈⎢⎣⎦211636t ⎪⎝⎭-⎛⎫-241118163612t ⎛⎫-- ⎝≤⎪≤⎭所以，即的值域为．()29f t ⎡∈⎢⎣()f t 29⎡⎢⎣。

湖北省部分学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)

湖北省部分学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|32}A x x =-<<，{|(1)(3)0}B x x x =+-，则(A B = )A ．{|12}x x -<B ．{|33}x x -<C ．{|32}x x -<D ．{|13}x x -〖解析〗集合{|32}A x x =-<<， {|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =+-=-， {|12}AB x x ∴=-<．〖答案〗A 2．若tan αtan()(3πα-= ) A． B ．0 CD〖解析〗tantan 3tan()31tantan 3παπαπα--===+⨯〖答案〗C3．已知复数()z m i m R =+∈，则“||z >”是“3m >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件〖解析〗由题意“||z >”可等价转化为：29m >，而由29m >不能推出3m >；反过来由3m >，可推出29m >．∴“||z >”是“3m >”的必要不充分条件．〖答案〗C4．一个实心小铜球的半径为2cm ，密度为39/g cm ， 3.14π≈，则该铜球的质量约( ) A ．297gB ．299gC ．301gD ．303g〖解析〗因为小铜球的体积33432233V cm ππ=⨯=，所以小铜球的质量329963013m V g πρπ==⨯=≈．〖答案〗C5．函数1()(cos 1)y x x x=++的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．〖解析〗设()y f x =，0x ≠，且()()f x f x -=-，()f x ∴为(-∞，0)(0⋃，)+∞上的一个奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项C ，又0x >，且0x →时，y →+∞，∴排除选项D ，又()0f π=，∴排除选项B ．〖答案〗A6．已知向量a ，b 的夹角为5π，且||||a b =，则b 与a b -的夹角为( ) A ．5π B ．310π C ．25πD ．35π〖解析〗因为向量a ，b 的夹角为5π，且||||a b =，所以2222||22||2||cos ||2(1cos )55a b a a b ba a a ππ-=-⋅+=-=-设b 与a b -的夹角为θ，则22||||coscos1()355cos sin cos()cos101025||||||||||||2(1cos a a a b a b a b b b a b b a b a a ππππππθ--⋅-⋅-===-=--=---．〖答案〗D7．设34log (log 6)a =，64log (log 3)b =，66log (log 3)c =，则( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<〖解析〗4log 61>，34log (log 6)0a ∴=>，640log 3log 31<<<，6664log (log 3)log (log 3)0c b ∴=<=<，故c b a <<．〖答案〗B8．现只有一把长为2m 的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A ，B 两点的距离(AB AB 大于2)m ，在草坪坛边缘找到点C 与D ，已知90ACD ∠=︒，且tan ADB ∠=-1.2AC m =，0.9CD m =，1BD m =，则(AB = )A B C D 〖解析〗90ACD ∠=︒， 1.2AC m =，0.9CD m =， 2221.20.9 2.25AD ∴=+=，则 1.5AD m =，在ADB ∆中，设cos ADB x ∠=，则sin ADB ∠，tan ADB ∠=-1(cos 0)3x ADB =-∠<，又2222221151cos 322 1.51AD BD AB AB ADB AD BD +-⋅+-∠=-==⋅⨯⨯，解得AB ===．〖答案〗C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．关于棱柱和棱锥有下面四个结论，其中正确的有( ) A ．四面体是四棱柱B ．五棱柱有十五条棱C ．七棱柱与八棱锥都有九个面D ．对于任意一个三棱锥，其每个顶点都可以在同一个球的球面上〖解析〗对于A ，四面体是三棱锥，故A 错误；对于B ，五棱柱有两个五边形共10条棱，加上5条侧棱共15条棱，故B 正确；对于C ，七棱柱有上下两个底面加上七个侧面，共九个面，八棱锥有一个底面和八个侧面，共九个面，故C 正确；对于D ，每个三棱锥都存在一个外接球，所以每个顶点都可以在同一个球的球面上，故D 正确．〖答案〗BCD10．为了得到函数1()sin()23f x x π=+的图象，只需把余弦曲线( )A ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将其向右平移3π个单位长度 B ．向左平移56π个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变〖解析〗对于A ，把余弦曲线cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到1cos 2y x =的图象，再将其向右平移3π个单位长度，得到1111cos[()]cos()sin()sin()232626223y x x x x πππππ=-=-=-+=+的图象，故A 正确；对于B ，把余弦曲线cos y x =的图象向左平移56π个单位长度，得到5cos()6y x π=+的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到151511cos()sin()sin()sin()262622323y x x x x ππππππ=+=++=++=-+的图象，故B 不正确；对于C ，把余弦曲线cos y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到cos2y x =的图象，再将其图象向右平移6π个单位长度，得到cos[2()]cos(2)sin(2)sin(2)63323y x x x x πππππ=-=-=-+=+的图象，故C 不正确；对于D ，把余弦曲线cos y x =的图象向右平移6π个单位长度，得到cos()6y x π=-的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到111cos()sin()sin()2626223y x x x ππππ=-=-+=+的图象，故D 正确．〖答案〗AD11．若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则( ) A ．2z 可能为实数B ．2z 在复平面内对应的点可能位于第一象限C ．2z 可能为纯虚数D ．2z 在复平面内对应的点可能位于第二象限〖解析〗复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，∴可设复数(0,0)z a bi a b =+>>，22222222z a abi b i a b abi =++=-+，20ab ∴>，2z ∴不可能为实数，可能为纯虚数，故A 错误，C 正确，22a b -的符号未知，2z ∴在复平面内对应的点可能位于第一象限，也可能位于第二象限．〖答案〗BCD12．在ABC ∆中，1AB =，2AC =，23B C π-=，则( )A ．sin 2sinBC = B ．tan C =C ．cos 2C =D ．ABC ∆ 〖解析〗设三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的三边为a ，b ，c ，所以1c AB ==，2b AC ==，在三角形ABC 中，由正弦定理，sin sin b c B C =可得，sin 2sin B b C c==，所以sin 2sin B C =，故A 正确；因为23B C π-=，所以23B C π=+，所以21sin sin()sin 32B C C C π=+=-，由A 选项可知，sin 2sin B C =，所以12sin sin 2C C C -，整理得5sin 2C C =，所以tan C =，故B 正确；又因为22sin cos 1C C +=，联立解得，cos C =，sin C =，所以sin 22sin cos 2C C C ===2211cos22cos 12114C C =-=⨯-=，故C 错误；因为23B C π-=，所以23B C π=+，所以222111sin sin[()]sin()sin(2)sin 2cos cos2sin333214A B C B C C C C ππππ=-+=+=+=+=-，所以11sin 2122ABC S bc A ∆==⨯⨯，故D 正确．〖答案〗ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡中的横线上．13．已知复数41iz i-=-，则z 的虚部为，12z +的共轭复数为．〖解析〗41i z i -=-，∴(4)(1)53(1)(1)22i i z i i i -+==+-+，z ∴的虚部为32， 531212()1536322z i i i ∴+=++=++=+，12z ∴+的共轭复数为63i -．〖答案〗32；63i - 14．已知向量(5,1)a =，(,2)b x =，(,5)c y =，且//a b ，b c ⊥，则x y -= ．〖解析〗向量(5,1)a =，(,2)b x =，(,5)c y =，且//a b ，b c ⊥， 5210x ∴⨯-⨯=，且250xy +⨯=，解得10x =，1y =-，则11x y -=．〖答案〗1115．在钝角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin A B C +>，且3a =，5c =，则b 的一个值可以为．〖解析〗因为222sin sin sin A B C +>，由正弦定理得222a b c +>，所以222cos 02a b c C ab+->，所以C 不是钝角，又3a =，5c =，所以a c <，所以A 也不是钝角，故B 为钝角，从而222cos 02a c b B ac+-=<，所以22234b a c >+=，则b >，又8b a c <+=8b <<．〖答案〗616．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示．已知6AB =分米，3FG =分米，点P 在正方形ABCD 的四条边上运动，当AE AP ⋅取得最大值时，AE 与AP 夹角的余弦值为．〖解析〗以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：则(0,0)A ，3(2E ，9)2，(6,6)C ，3(2AE =，9)2，9||4AE =，设(P x ，).(,)y AP x y =，3922AE AP x y ⋅=+，当0y =时，06x ，3933692222AE AP x y x ⋅=+=⨯=，当且仅当6x =时等号成立；当6x =时，06y ，399936222AE AP x y y ⋅=+=+，当且仅当6y =时等号成立，当6y =时，06x ，3932736222AE AP x y x ⋅=+=+，当且仅当6x =时等号成立，当0x =时，06y ，39927222AE AP x y y ⋅=+=，当且仅当6y =时等号成立，由以上可知，当6x =，6y =时，AE AP ⋅取得最大值36，此时(6,6)P ，(6,6)AP =，设AE 与AP 的夹角为θ，则cos ||||3AE AP AE AP θ⋅===．〖答四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若4b =，4A π=，12C π=，求sin aA；（2）若3A π=，a =3c =，求ABC ∆的周长．解：（1）因为4A π=，12C π=，4b =，所以24123B AC πππππ=--=--=，由正弦定理可知，42sin sin sin 3a b A B π===；（2）因为3A π=，a ，3c =，由余弦定理可知，2221cos cos 232b c a A bc π+-===，即2971232b b +-=⨯，整理得，2320b b -+=，解得1b =或2b =，所以三角形ABC的周长为4+5．18．（12分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且()(2)9a b a b -⋅-=．（1）求|3|a b +；（2）记向量b 与向量3a b +的夹角为θ，求cos θ．解：（1）22()(2)324329a b a b a a b b a b -⋅-=-⋅+=-⋅+=，∴1a b ⋅=-，∴222|3|694697a b a a b b +=+⋅+=-+=， ∴|3|7a b +=；（2）由（1）知1a b ⋅=-，∴2(3)3132b a b a b b ⋅+=⋅+=-+=，∴(3)2cos |||3|17b a b b a b θ⋅+===+⨯．19．（12分）已知0ω>，向量(3cos,1sin)22xxm ωω=-，(sin,1sin)22xxn ωω=+，函数()2f x m n =⋅，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的取值范围．解：（1）由题意可知2()cossin 1)cos 12sin()12226xxxf x x x x ωωωπωωω=-+=++=++．因为0ω>，且22||2T ππω==⨯，所以2ω=，()2sin(2)16f x x π=++．由3222262k x k πππππ+++，k Z ∈，解得263k xk ππππ++，k Z ∈，故()f x 的单调递减区间为2[,]63k k ππππ++，k Z ∈．（2）当[,]63x ππ∈-时，52[,]666x πππ+∈-．当262x ππ+=时，()f x 取得最大值，且()2sin132max f x π=+=；当266x ππ+=-时，()f x 取得最小值，且()2sin()106min f x π=-+=．故当[,]63x ππ∈-时，()f x 的取值范围是[0，3]． 20．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 与BD 交于点G ．（1）用AB ，AD 表示BG ．（2）若3BAD π∠=，四边形ABCD 的面积为2BF FC =，试问AE AF ⋅是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．解：（1）//AB CD ，DEG BAG ∴∆∆∽，∴12DE EG AB AG ==，∴23AG AE =， ∴BG BA AG =+23BA AE =+2()3BA AD DE =++221332AB AD AB =-++⋅ 2133AB AD AB =-++2233AD AB =-；（2）E 为DC 中点，∴12AE AD DE AD AB =+=+， 2233AF AB BF AB BC AB AD =+=+=+，由2BF FC =知23BF BC =， ∴12()()23AE AF AD AB AB AD ⋅=++ 21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅+⋅+⋅ 22211||||cos |||||||cos 323AD AB A AD AB AB AD A =+++，设,,3AD a AB b A π===已知，∴222212112212326332AE AF ab a b ab ab a b ⋅=+++=++，1222ABCDABD SS AD AB sinA ∆==⨯⨯==，12ab ∴=，∴22212882828323AE AF a b a ⋅=+++=+=+，当且仅当222132a b =，即b =时，等号成立，∴AE AF ⋅的最小值为8+21．（12分）在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点A 处，一艘货轮在点A 东偏北15︒方向的点B 处行驶着，通过雷达监测，发现在点A 北偏东30︒方向且距离点24A 海里处的点C处出现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距近．（1）求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离；（2）护卫舰为确保货轮的安全，护卫舰开始以海里/小时的速度追击海盗船，与此同时，海盗船开始以20海里/小时的速度沿着北偏西30︒方向逃窜，求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向．解：（1）由图知，ABC ∆中，90301545BAC ∠=︒-︒-︒=︒，24AC =，BC =，由余弦定理知，2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠，即22224224cos 45AB AB =+-⨯⨯⨯︒，整理得21920AB -+=，解得AB =AB =，又因为AC AB >，所以AB =，即发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为海里；（2）设护卫舰与海盗船在点D 处相遇，在ACD ∆中，(9030)(9030)120ACD ∠=︒-︒+︒-︒=︒，24AC =，设追击时间为x 小时，则20CD x =，AD =，由余弦定理得，2222cos AD AC CD AC CD CD =+-⋅⋅∠，即222)24(20)22420cos120x x =+-⨯⨯⨯︒，化简得22515180x x --=，解得65x =或35x =-（不合题意，舍去），所以护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为65小时，此时620245CD =⨯=，65AD == 所以ACD ∆是等腰三角形，此时1(180120)302CAD ∠=︒-︒=︒，即最佳追击方向是正北方．22．（12分）已知函数()log ()log (3)(0a a f x x a x a a =-+->，且1)a ≠．（1）已知(4)3f a =，若函数()1log ()a g x x λ=--在[1-，2]上有零点，求λ的最小值；（2）若函数()20f x -，对于[25x a ∈+，26]a +恒成立，求a 的取值范围．解：（1）()log ()log (3)(0a a f x x a x a a =-+->，且1)a ≠，可得2(4)log 3log log 33a a a f a a a a =+==，即323a a =，解得3a =，所以3()1log ()g x x λ=--在[1-，2]上有零点，等价为()0g x =，即3x λ=+在[1x ∈-，2]上有解，可得41λ--，则λ的最小值为4-；（2）函数()20f x -，对于[25x a ∈+，26]a +恒成立，等价为log ()(3)2a x a x a --，在[25x a ∈+，26]a +恒成立．当1a >时，可得222043x ax a a <-+在[25x a ∈+，26]a +恒成立．由于2243y x ax a =-+的对称轴为2x a =在区间[25a +，26]a +的左边，函数y 递增，可得222(26)4(26)336max y a a a a a =+-++=-+，由2236a a -，解得32a ；当01a <<时，2243y x ax a =-+的对称轴为2x a =在区间[25a +，26]a +的右边，函数y 递增，可得236max y a =-+，222(25)4(25)325min y a a a a a =+-++=-+， 22243x ax a a -+在[25x a ∈+，26]a +恒成立．所以a 的取值范围是(0,1)[32，)+∞．湖北省部分学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|32}A x x =-<<，{|(1)(3)0}B x x x =+-，则(A B = )A ．{|12}x x -<B ．{|33}x x -<C ．{|32}x x -<D ．{|13}x x -〖解析〗集合{|32}A x x =-<<， {|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =+-=-， {|12}AB x x ∴=-<．〖答案〗A 2．若tan αtan()(3πα-= ) A． B ．0 CD〖解析〗tantan 3tan()31tantan 3παπαπα--===+⨯〖答案〗C3．已知复数()z m i m R =+∈，则“||z >”是“3m >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件〖解析〗由题意“||z >”可等价转化为：29m >，而由29m >不能推出3m >；反过来由3m >，可推出29m >．∴“||z >”是“3m >”的必要不充分条件．〖答案〗C4．一个实心小铜球的半径为2cm ，密度为39/g cm ， 3.14π≈，则该铜球的质量约( ) A ．297gB ．299gC ．301gD ．303g〖解析〗因为小铜球的体积33432233V cm ππ=⨯=，所以小铜球的质量329963013m V g πρπ==⨯=≈．〖答案〗C5．函数1()(cos 1)y x x x=++的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．〖解析〗设()y f x =，0x ≠，且()()f x f x -=-，()f x ∴为(-∞，0)(0⋃，)+∞上的一个奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项C ，又0x >，且0x →时，y →+∞，∴排除选项D ，又()0f π=，∴排除选项B ．〖答案〗A6．已知向量a ，b 的夹角为5π，且||||a b =，则b 与a b -的夹角为( ) A ．5π B ．310π C ．25πD ．35π〖解析〗因为向量a ，b 的夹角为5π，且||||a b =，所以2222||22||2||cos ||2(1cos )55a b a a b b aa a ππ-=-⋅+=-=-设b 与a b -的夹角为θ，则22||||coscos1()35cos sin cos()cos101025||||||||||||2(1cos a a a b a b a b b b a b b a b a a ππππππθ--⋅-⋅-===-=--=---．〖答案〗D7．设34log (log 6)a =，64log (log 3)b =，66log (log 3)c =，则( ) A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<〖解析〗4log 61>，34log (log 6)0a ∴=>， 640log 3log 31<<<，6664log (log 3)log (log 3)0c b ∴=<=<，故c b a <<．〖答案〗B8．现只有一把长为2m的尺子，为了求得某小区草坪坛边缘A，B两点的距离(AB AB大于2)m，在草坪坛边缘找到点C与D，已知90ACD∠=︒，且tan ADB∠=-1.2AC m=，0.9CD m=，1BD m=，则(AB=)A B C D．2〖解析〗90ACD∠=︒， 1.2AC m=，0.9CD m=，2221.20.92.25AD∴=+=，则 1.5AD m=，在ADB∆中，设cos ADB x∠=，则sin ADB∠，tan ADB∠=-1(cos0)3x ADB=-∠<，又2222221151cos322 1.51AD BD AB AB ADBAD BD+-⋅+-∠=-==⋅⨯⨯，解得AB===．〖答案〗C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于棱柱和棱锥有下面四个结论，其中正确的有()A．四面体是四棱柱B．五棱柱有十五条棱C．七棱柱与八棱锥都有九个面D．对于任意一个三棱锥，其每个顶点都可以在同一个球的球面上〖解析〗对于A，四面体是三棱锥，故A错误；对于B，五棱柱有两个五边形共10条棱，加上5条侧棱共15条棱，故B正确；对于C，七棱柱有上下两个底面加上七个侧面，共九个面，八棱锥有一个底面和八个侧面，共九个面，故C正确；对于D，每个三棱锥都存在一个外接球，所以每个顶点都可以在同一个球的球面上，故D正确．〖答案〗BCD10．为了得到函数1()sin()23f x x π=+的图象，只需把余弦曲线( )A ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将其向右平移3π个单位长度 B ．向左平移56π个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将其向右平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变〖解析〗对于A ，把余弦曲线cos y x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到1cos 2y x =的图象，再将其向右平移3π个单位长度，得到1111cos[()]cos()sin()sin()232626223y x x x x πππππ=-=-=-+=+的图象，故A 正确；对于B ，把余弦曲线cos y x =的图象向左平移56π个单位长度，得到5cos()6y x π=+的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到151511cos()sin()sin()sin()262622323y x x x x ππππππ=+=++=++=-+的图象，故B 不正确；对于C ，把余弦曲线cos y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到cos2y x =的图象，再将其图象向右平移6π个单位长度，得到cos[2()]cos(2)sin(2)sin(2)63323y x x x x πππππ=-=-=-+=+的图象，故C 不正确；对于D ，把余弦曲线cos y x =的图象向右平移6π个单位长度，得到cos()6y x π=-的图象，再将其图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到111cos()sin()sin()2626223y x x x ππππ=-=-+=+的图象，故D 正确．〖答案〗AD11．若复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，则( ) A ．2z 可能为实数B ．2z 在复平面内对应的点可能位于第一象限C ．2z 可能为纯虚数D ．2z 在复平面内对应的点可能位于第二象限〖解析〗复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，∴可设复数(0,0)z a bi a b =+>>，22222222z a abi b i a b abi =++=-+，20ab ∴>，2z ∴不可能为实数，可能为纯虚数，故A 错误，C 正确，22a b -的符号未知，2z ∴在复平面内对应的点可能位于第一象限，也可能位于第二象限．〖答案〗BCD12．在ABC ∆中，1AB =，2AC =，23B C π-=，则( )A ．sin 2sinBC = B ．tan C =C ．cos 2C =D ．ABC ∆ 〖解析〗设三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的三边为a ，b ，c ，所以1c AB ==，2b AC ==，在三角形ABC 中，由正弦定理，sin sin b c B C =可得，sin 2sin B b C c==，所以sin 2sin B C =，故A 正确；因为23B C π-=，所以23B C π=+，所以21sin sin()sin 32B C C C π=+=-，由A 选项可知，sin 2sin B C =，所以12sin sin 2C C C -，整理得5sin 2C C =，所以tan C =，故B 正确；又因为22sin cos 1C C +=，联立解得，cos C =，sin C =，所以sin 22sin cos 214C C C ==⨯=2211cos22cos 12114C C =-=⨯-=，故C 错误；因为23B C π-=，所以23B C π=+，所以222111sin sin[()]sin()sin(2)sin 2cos cos2sin333214A B C B C C C C ππππ=-+=+=+=+=-，所以11sin 2122ABC S bc A ∆==⨯⨯，故D 正确．〖答案〗ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把〖答案〗填在答题卡中的横线上．13．已知复数41iz i-=-，则z 的虚部为，12z +的共轭复数为．〖解析〗41i z i -=-，∴(4)(1)53(1)(1)22i i z i i i -+==+-+，z ∴的虚部为32， 531212()1536322z i i i ∴+=++=++=+，12z ∴+的共轭复数为63i -．〖答案〗32；63i - 14．已知向量(5,1)a =，(,2)b x =，(,5)c y =，且//a b ，b c ⊥，则x y -= ．〖解析〗向量(5,1)a =，(,2)b x =，(,5)c y =，且//a b ，b c ⊥， 5210x ∴⨯-⨯=，且250xy +⨯=，解得10x =，1y =-，则11x y -=．〖答案〗1115．在钝角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin A B C +>，且3a =，5c =，则b 的一个值可以为．〖解析〗因为222sin sin sin A B C +>，由正弦定理得222a b c +>，所以222cos 02a b c C ab+->，所以C 不是钝角，又3a =，5c =，所以a c <，所以A 也不是钝角，故B 为钝角，从而222cos 02a c b B ac+-=<，所以22234b a c >+=，则b >，又8b a c <+=8b <<．〖答案〗616．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示．已知6AB =分米，3FG =分米，点P 在正方形ABCD 的四条边上运动，当AE AP ⋅取得最大值时，AE 与AP 夹角的余弦值为．〖解析〗以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：则(0,0)A ，3(2E ，9)2，(6,6)C ，3(2AE =，9)2，9||4AE =，设(P x ，).(,)y AP x y =，3922AE AP x y ⋅=+，当0y =时，06x ，3933692222AE AP x y x ⋅=+=⨯=，当且仅当6x =时等号成立；当6x =时，06y ，399936222AE AP x y y ⋅=+=+，当且仅当6y =时等号成立，当6y =时，06x ，3932736222AE AP x y x ⋅=+=+，当且仅当6x =时等号成立，当0x =时，06y ，39927222AE AP x y y ⋅=+=，当且仅当6y =时等号成立，由以上可知，当6x =，6y =时，AE AP ⋅取得最大值36，此时(6,6)P ，(6,6)AP =，设AE 与AP 的夹角为θ，则cos ||||3AE AP AE AP θ⋅===．〖答四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若4b =，4A π=，12C π=，求sin aA；（2）若3A π=，a =3c =，求ABC ∆的周长．解：（1）因为4A π=，12C π=，4b =，所以24123B AC πππππ=--=--=，由正弦定理可知，42sin sin sin 3a b A B π===；（2）因为3A π=，a ，3c =，由余弦定理可知，2221cos cos 232b c a A bc π+-===，即2971232b b +-=⨯，整理得，2320b b -+=，解得1b =或2b =，所以三角形ABC的周长为4+5．18．（12分）已知向量a ，b 满足||2a =，||1b =，且()(2)9a b a b -⋅-=．（1）求|3|a b +；（2）记向量b 与向量3a b +的夹角为θ，求cos θ．解：（1）22()(2)324329a b a b a a b b a b -⋅-=-⋅+=-⋅+=，∴1a b ⋅=-，∴222|3|694697a b a a b b +=+⋅+=-+=， ∴|3|7a b +=；（2）由（1）知1a b ⋅=-，∴2(3)3132b a b a b b ⋅+=⋅+=-+=，∴(3)2cos |||3|17b a b b a b θ⋅+===+⨯．19．（12分）已知0ω>，向量(3cos,1sin)22xxm ωω=-，(sin,1sin)22xxn ωω=+，函数()2f x m n =⋅，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的取值范围．解：（1）由题意可知2()cos sin 1)cos 12sin()12226xxx f x x x x ωωωπωωω=-+=++=++．因为0ω>，且22||2T ππω==⨯，所以2ω=，()2sin(2)16f x x π=++．由3222262k x k πππππ+++，k Z ∈，解得263k x k ππππ++，k Z ∈，故()f x 的单调递减区间为2[,]63k k ππππ++，k Z ∈．（2）当[,]63x ππ∈-时，52[,]666x πππ+∈-．当262x ππ+=时，()f x 取得最大值，且()2sin 132max f x π=+=；当266x ππ+=-时，()f x 取得最小值，且()2sin()106min f x π=-+=．故当[,]63x ππ∈-时，()f x 的取值范围是[0，3]． 20．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AE 与BD 交于点G ．（1）用AB ，AD 表示BG ．（2）若3BAD π∠=，四边形ABCD 的面积为2BF FC =，试问AE AF ⋅是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．解：（1）//AB CD ，DEG BAG ∴∆∆∽，∴12DE EG AB AG ==，∴23AG AE =， ∴BG BA AG =+23BA AE =+2()3BA AD DE =++221332AB AD AB =-++⋅ 2133AB AD AB =-++2233AD AB =-；（2）E 为DC 中点，∴12AE AD DE AD AB =+=+， 2233AF AB BF AB BC AB AD =+=+=+，由2BF FC =知23BF BC =， ∴12()()23AE AF AD AB AB AD ⋅=++21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅+⋅+⋅ 22211||||cos |||||||cos 323AD AB A AD AB AB AD A =+++，设,,3AD a AB b A π===已知， ∴222212112212326332AE AF ab a b ab ab a b ⋅=+++=++，1222ABCD ABD S S AD AB sinA ∆==⨯⨯==， 12ab ∴=，∴22212882828323AE AF a b a ⋅=+++=+=+，当且仅当222132a b =，即b =时，等号成立，∴AE AF ⋅的最小值为8+21．（12分）在某片海域上，一艘海上护卫舰位于点A 处，一艘货轮在点A 东偏北15︒方向的点B 处行驶着，通过雷达监测，发现在点A 北偏东30︒方向且距离点24A 海里处的点C处出现一艘海盗船，此时海盗船与货轮相距近．（1）求发现海盗船时护卫舰与货轮的距离；（2）护卫舰为确保货轮的安全，护卫舰开始以海里/小时的速度追击海盗船，与此同时，海盗船开始以20海里/小时的速度沿着北偏西30︒方向逃窜，求护卫舰能追捕到海盗船的最短时长以及最佳追击方向．解：（1）由图知，ABC ∆中，90301545BAC ∠=︒-︒-︒=︒，24AC =，BC =，由余弦定理知，2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠，即22224224cos 45AB AB =+-⨯⨯⨯︒，整理得21920AB -+=，解得AB =AB =，又因为AC AB >，所以AB =，即发现海盗船时护卫舰与货轮的距离为海里；（2）设护卫舰与海盗船在点D 处相遇，在ACD ∆中，(9030)(9030)120ACD ∠=︒-︒+︒-︒=︒，24AC =，设追击时间为x 小时，则20CD x =，AD =，由余弦定理得，2222cos AD AC CD AC CD CD =+-⋅⋅∠，即222)24(20)22420cos120x x =+-⨯⨯⨯︒，化简得22515180x x --=，解得65x =或35x =-（不合题意，舍去），所以护卫舰能追捕到海盗船的最短时长为65小时，此时620245CD =⨯=，65AD == 所以ACD ∆是等腰三角形，此时1(180120)302CAD ∠=︒-︒=︒，即最佳追击方向是正北方．22．（12分）已知函数()log ()log (3)(0a a f x x a x a a =-+->，且1)a ≠．（1）已知(4)3f a =，若函数()1log ()a g x x λ=--在[1-，2]上有零点，求λ的最小值；（2）若函数()20f x -，对于[25x a ∈+，26]a +恒成立，求a 的取值范围．解：（1）()log ()log (3)(0a a f x x a x a a =-+->，且1)a ≠，可得2(4)log 3log log 33a a a f a a a a =+==，即323a a =，解得3a =，所以3()1log ()g x x λ=--在[1-，2]上有零点，等价为()0g x =，即3x λ=+在[1x ∈-，2]上有解，可得41λ--，则λ的最小值为4-；（2）函数()20f x -，对于[25x a ∈+，26]a +恒成立，等价为log ()(3)2a x a x a --，在[25x a ∈+，26]a +恒成立．当1a >时，可得222043x ax a a <-+在[25x a ∈+，26]a +恒成立．由于2243y x ax a =-+的对称轴为2x a =在区间[25a +，26]a +的左边，函数y 递增，可得222(26)4(26)336max y a a a a a =+-++=-+，由2236a a -，解得32a ；当01a <<时，2243y x ax a =-+的对称轴为2x a =在区间[25a +，26]a +的右边，函数y 递增，可得236max y a =-+，222(25)4(25)325min y a a a a a =+-++=-+， 22243x ax a a -+在[25x a ∈+，26]a +恒成立．所以a 的取值范围是(0,1)[32，)+∞．。

湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷含答案

高一数学试卷考试时间：2023年4月12日下午15：00－17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}0,A a =，{}2,aB b =，若{}0,1,2A B = ，则b =（）A ．0B ．1C ．0或1D ．22．若复数()1a iz a i-=∈+R 是纯虚数，则z 的共轭复数z =（）A ．－1B ．－iC ．iD ．13．“2πϕ=-”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要4．下列各式中，其值为12的是（）A ．22cossin 1212ππ-B ．21tan 22.521tan 22.5︒-︒C ．sin15cos15︒︒D5．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t （单位：h ）与储藏温度x （单位：℃）之间的关系为22719232x t ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭，若要使牛奶保鲜时长超过96h ，则应储藏在温度低于___℃的环境中．（附：lg 20.301≈，lg 70.845≈，答案采取四舍五入精确到0.1）（）A ．10.0B ．10.3C ．10.5D ．10.76．已知向量()1,2a = ，()4,b t =-，则下列说法错误的是（）A ．若a b ∥ ，则8t =-B ．min5a b -= C ．若a b a b +=-，则2t =D ．若a 与b 的夹角为钝角，则2t <7．将函数2cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0m m π<<个单位长度后得到()f x 的图象．若()f x 在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知△ABC 满足2AB AC =，4BC =，则△ABC 面积的最大值为（）A ．3B ．163C ．3D ．83二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数1z ，2z ，则下列结论中错误的是（）A ．若120z z +=，则12z z =B ．若22120z z +=，则120z z ==C ．若2212z z =，则12z z =±D ．若12z z =，则2212z z =10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R 的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当0t =，盛水筒M 位于点(03,P -，经过t 秒后运动到点(),P x y ，点P 的纵坐标满足()()sin y f t R t ωϕ==+（0t ≥，0ω>，2πϕ<，则下列叙述正确的是（）A ．筒车转动的角速度rad /s 30πω=B ．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 对应的点P 的纵坐标为-C ．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点0P 的水平距离为D ．盛水筒M 第一次到达最高点需要的时间是25秒11．已知函数()()22log 22f x ax ax =-+，下列说法正确的是（）A ．若()f x 定义域为R ，则()0,2a ∈B ．若()f x 值域为R ，则2a ≥C ．若()f x 最小值为0，则1a =D ．若()f x 最大值为2，则2a =-12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()25f x g x +-=，()()47g x f x --=．若()y g x =的图象关于直线2x =对称，()24g =，则下列结论正确的是（）A ．()36g =B ．()11f -=-C ．()11f =D ．()202312025k f k ==-∑三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()22log 1,011,03x x x f x x ⎧+⎪=⎨⎛⎫+<⎪ ⎪⎝⎭⎩≥，则()()1f f -的值为．14．已知向量()1,2a = ，()1,2b =-，则a 在b 方向上的投影向量坐标是．15．在△ABC 中，12sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =．16．在△OAB 中，3OA OC =，2OB OD =，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段OA ，OB 于E ，F 两点，若OE OA λ= ，OF OB μ=（λ，0μ>），则2λμ+的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）求值：（Ⅰ）(213103531732248---⎛⎫⎛⎫++-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）2ln 3427log 9log 8lg 4lg 25e-⋅++．18．（本小题满分12分）已知函数())sin sin f x x x x =+⋅．（Ⅰ）当22k x k πππ+≤≤，k Z ∈时，将函数解析式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式；（Ⅱ）若当22x ππ-≤≤时，()4log 0f x a +<成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，已知2AB =，4AC =，角A 的平分线AD 与BC 交于点D 且43AD =．（Ⅰ）求AB AC ⋅的值；（Ⅱ）若___，求cos APB ∠．①0PA PB PC ++= ，②PA PB PC == ，③PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，请从这三个条件任选一个，补充到上面问题的横线中解答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20．（本小题满分12分）设函数()32sin cos 32f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 外接圆的半径为R ，cos cos a B b A R -=．（Ⅰ）若()1f A =，求B ；（Ⅱ）求R cb-的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A ，B 之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D 测得另一座高塔底部B 和顶部C 的视角为45°（即45BDC ∠=︒），已知两座高塔的高AD 为30m ，BC 为75m ，塔底A ，B 在同一水平面上，且AD AB ⊥，BC AB ⊥．（Ⅰ）求两座高塔底部A ，B 之间的距离；（Ⅱ）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A ，B 之间的点P 处（点P 在线段AB 上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC 最大，问：在距离A 点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？22．（本小题满分12分）已知函数()1ln 1x f x x x +=--．（Ⅰ）求值：()()()111232023232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论：（Ⅲ）求证()f x 有且仅有两个零点1x ，2x ，并求12x x 的值．2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学参考答案一、单选题（每题5分，共40分）12345678CCADADDB二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，有错选的得零分）9101112BDABDBCDABD11．【详解】对于A ，若函数()f x 定义域为R ，则2220ax ax -+>恒成立，当0a =时，20>恒成立，满足题意；当0a ≠时，则有2480a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：02a <<，综上，实数a 的取值范围为：[)0,2，故选项A 错误；对于B ，若函数()f x 值域为R ，则222ax ax -+取尽大于零的所有实数，当0a =时，2222ax ax -+=，不满足题意；当0a ≠时，则有2480a a a >⎧⎨∆=-⎩≥，解得：a ≥2，所以若()f x 值域为R ，则a ≥2，故选项B 正确；对于C ，若函数()f x 最小值为0，则222y ax ax =-+有最小值1，由二次函数的图象和性质可得：0221a a a >⎧⎨-+=⎩，解得：a ＝1，故选项C 正确；对于D ，若函数()f x 最大值为2，则222y ax ax =-+有最大值4，由二次函数的图象和性质可得：0224a a a <⎧⎨-+=⎩，解得：2a =-，故选项D 正确；故选：BCD ．12．【详解】由题意知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，∵()y g x =的图象关于直线x ＝2对称，则()()22g x g x -=+，∵()()25f x g x +-=，∴()()25f x g x -++=，∴()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，由()()47g x f x --=，得()()227g x f x -=--+，代入()()25f x g x +-=，得()()22f x f x +--=-，令1x =-，则()()112f f -+-=-，∴()11f -=-，则()11f =-，故B 正确，C 错误；因为()()25f x g x +-=，令1x =-，则()()135f g -+=，即()36g =，A 正确；由()()f x f x -=，故()()22f x f x --=+，故由()()22f x f x +--=-得()()22f x f x ++=-，∴()()242f x f x +++=-，故()()4f x f x +=．所以()f x 是以4为周期的周期函数，由()24g =，()()25f x g x +-=，令0x =，则()()025f g +=，得()01f =，则()()401f f ==，又()()22f x f x ++=-，令0x =得()()022f f +=-，得()23f =-，又()()()33411f f f =-=-=-，故()()()()()()()()()2023150512341235051311131k f k f f f f f f f ==++++++=---+---=⎡⎤⎣⎦∑2025-，D 正确．故选：ABD ．三、填空题（每题5分，共20分）13．514．36,55⎛⎫- ⎪⎝⎭15．3365或636516．8516．【详解】如图：由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数t ，使得()()1112OM tOA t OD tOA t OB =+-=+- ，由B ，M ，C三点共线，可得存在实数m ，使得()()1113OM mOB m OC mOB m OA =+-=+- ，所以()()113112t m t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2515m t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2155OM OB OA =+ ，因为E ，M ，F 三点共线，所以存在实数x ，使得()()11OM xOE x OF x OA x OB λμ=+-=+-，所以()21515x x μλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以12155λμ+=，所以()1214182222455555μλλμλμλμλμ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥，当且仅当45μ=，25λ=时，取等号．故答案为：85四、解答题（共70分，第17题10分，其余各12分）17．解：（Ⅰ）(213103531732248--⎛⎫⎛⎫++-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()1132533353122224--=+-⨯+⨯123233122222=+-⨯+⨯12331882+=+-+12=+3=（Ⅱ）原式ln 923log 3log 2lg10091210e =-⋅+=-+=．18．解：（Ⅰ）当22k x k πππ+≤≤，k Z ∈时，sin 0x ≥．∴())2sin sin cos sin f x x x x x x x=+=+1cos 212sin 22262x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()()44log 0log f x a f x a +<⇔<-恒成立①当02x π≤≤时，由（Ⅰ）知()1sin 262f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭∵52666x πππ--≤≤，∴当262x ππ-=即3x π=时，()max 32f x =；②当02x π-<≤时，()113sin 216222f x x π⎛⎫=----< ⎪⎝⎭≤．综上可知，()max 32f x =．依题意得43log 2a ->，解得108a <<，即为所求．19．解：（Ⅰ）法一：由角平分线定理∵AD 平分角A ，∴2CD ACDB AB ==，∴2CD DB = ，∴2133AD AB AC =+ ，∴222414999AD AB AC AB AC =++⋅ ，∴164144169999AB AC =⋅+⋅+⋅，解得4AB AC ⋅=-；法二：由ABC ABD ACDS S S ∆∆∆=+即：111sin sin sin 22222BAC BAC AB AC BAC AB AD AC AD ∠∠⋅⋅∠=⋅⋅+⋅⋅∴1cos 12022BAC BAC ∠=⇒∠=︒∴cos 4AB AC AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠=-（Ⅱ）由1cos 2AB AC A AB AC⋅==-及0A π<<，得23A π=．如图，建立平面直角坐标系xAy，则()0,0A，(B -，()4,0C ．选①，则重心3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,3PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2,3PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭选②，由外心P 在直线2x =上，可设()2,P y，由PA PB ==，解得由PA PB ==，解得3y=，∴2,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2,3PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,3PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 所以46113cos 14PA PBAPB PA PB+⋅∠=== ．选③，由垂心P 在直线1x =-上，可设()1,P y -，则()1,PA y =-，(5,BC =，由PA BC ⊥，得50PA BC ⋅=+= ，∴3y =-，∴1,3P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3PA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,3PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭所以403cos 14PA PBAPB PA PB⋅∠===．20．解：（Ⅰ）由题意()()212sin cos sin cos 12sin 2222f x x x x x x x ⎛⎫=⋅+-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()51sin 21233212f A A A A ππππ⎛⎫=⇒-=⇒-=⇒= ⎪⎝⎭．又根据正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，有2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，由cos cos a B b A R -=，有2sin cos 2sin cos R A B R B A R -=，得()1sin 2A B -=，因为A ，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22A B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴64A B B ππ-=⇒=．（Ⅱ）由（1）知，6A B π=+，所以()526C A B B ππ=-+=-，因为020202A B C πππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即0620250262B B B πππππ⎧<+<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，所以,63B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则512sin 22sin 12sin 1cos 2262sin 2sin 2sin 2si n B R c R R C C B B b R B B B Bπ⎛⎫-- ⎪-----⎝⎭====22sin cos sin 2sin 2sin 3B B B B B B B π-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，,63B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有,036B ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()2sin 1,03B π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以R c b-的取值范围为()1,0-．21．解：（Ⅰ）由题知，AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，BC ＝60，AD ＝30，如图，作DE ⊥BC ，垂足为E，则四边形ABED 为矩形，所以BE ＝30，CE ＝45．设AB x =，CDE θ∠=，45BDE θ∠=︒-，则45tan x θ=，30tan 4xπθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭24530tan tan 4tan tan 11350411tan tan 4xx BDC x πθθπθθπθθ⎛⎫+-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭∠=+-=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦--⋅- ⎪⎝⎭，解得90x =，所以两座高塔底部A ，B 之间的距离为90m ．（Ⅱ）设AP ＝t （0≤t ≤60），则90BP t =-．所以30tan DPA t ∠=，75tan 90BPC t∠=-，所以()()tan tan tan DPC DPA BPC DPA BPC π∠=-∠-∠=-∠+∠23075tan tan 60904530751tan tan 902250190DPA BPC t t t DPA BPC t t t t+∠+∠+-=-=-=-∠⋅∠-+-⋅-设60t m +=（60≤m ≤150），则60t m =-，所以()()2tan 456090602250mDPC m m ∠=---+4521152112502210m m +===+-≤，当且仅当11250m m=即m =时，等号成立．又因为在锐角范围内，tan DPC ∠越大，∠DPC 越大，所以当m =时，∠DPC 取得最大值，此时60AP =-．所以在距离A处()60-米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．22．解：（Ⅰ）当0x >，且1x ≠时，()1111111ln ln ln ln 011111x x x x f x f x x x x x x x x x++++⎛⎫+=-+-=---= ⎪---⎝⎭-∴()()()1112320230232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （Ⅱ）函数()f x 的定义域为()()0,11,D =+∞ ，()2ln 11f x x x =---在()0,1和()1,+∞上单调递增，证明如下：设1x ∀，2x D ∈，则()()()()()121121212212222ln 1ln 1ln 1111x x x f x f x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫-=-----=+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭①当1201x x <<<时，112201ln 0x x x x <<⇒<，()()()12122011x x x x -<--∴()()120f x f x -<，于是()()12f x f x <，∴()f x 在()0,1上单调递增；②当121x x <<时，同理可得()()12f x f x <，∴()f x 在()1,+∞上单调递增；（Ⅲ）由于()f x 在()0,1上单调递增，且2221301e f e e -⎛⎫=< ⎪-⎝⎭，1201f e e ⎛⎫=> ⎪-⎝⎭，∴()f x 在()0,1上有且仅有一个零点1x ；由于()f x 在()1,+∞上单调递增，且()201f e e=<-，()222301e f e e -=>-，∴()f x 在()1,+∞上有且仅有一个零点2x ．因此()f x 有且仅有两个零点1x ，2x ．由（Ⅰ）知()1110f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又∵()10f x =，∴110f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，∴11x 是()f x 在()1,+∞上的零点，∴212111x x x x =⇒=．。

湖北省2021-2022学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

高一下期中联考数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.++化简后等于A. B. 3 C. D. 【答案】A【解析】++=++，故选A．2.已知数列则是它的第（）项.A. 19B. 20C. 21D. 22 【答案】C【解析】试题分析：观察式子,其中根式里面的数字为以6为公差的等差数列.而，所以答案为C.考点：等差数列3.已知是等差数列的前项和，，则 =（）A. 20B. 28C. 36D. 4 【答案】B【解析】【分析】结合等差数列的性质和得出，利用等差数列前项和公式解出。

【详解】故选B【点睛】本题考查了等差数列的角标之和的性质，属于基础题。

4.已知中，满足，则这样的三角形有A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和三角形的边角关系，即可判断这样的三角形的个数，得到答案.【详解】由题意，在中，满足，..所以这样的三角形有2个，故选C.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理判定三角形的个数问题，其中解答中合理利用正弦定理和三角形的边角关系是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.在中，，，，，则（）A. 或B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三角形面积公式可得，进而可得解.【详解】在中，，，,，可得，所以，所以【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题.6.在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过解直角三角形得到，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值．【详解】中，又所以为AD 的中点故选：D ．【点睛】本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．7.已知等差数列的各项均为正数，，且成等比数列，若，则A. 12B. 13C. 14D. 15【答案】A 【解析】【分析】设等差数列公差为，由题意知，由，，成等比数列列式求得公差，再由等差数列的通项公式求得．【详解】设等差数列公差为，由题意知，，，成等比数列，，，即，解得或（舍去），，则．故答案为：A．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．8.已知向量、，满足，，且，则在上的投影为A. B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】根据可得，进而可求出，利用投影公式即可得结果.【详解】，；；；又；；在上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，向量投影的计算公式，属于基础题.9.已知非零向量和满足，且，则为（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 三边均不相等三角形【答案】A【解析】即方向上的单位向量，即方向上的单位向量，向量在的平分线上，由可知，由，所以三角形为等边三角形.点睛：本题主要考查向量的数量积运算，考查两个向量数量积为零的几何意义，考查三角形形状的判断.首先要知道即方向上的单位向量这一概念，由此得到向量在的平分线上，根据数量积为零可知角平分线和垂直也即三角形为等腰三角形，再根据向量数量积运算得到夹角为，由此推出三角形为等边三角形.10.在等差数列中，已知，且，则中最大的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可判断出a6＞0，a7＜0，从而可得和取最大值时的条件．【详解】∵等差数列{a n}中，a3+a10＜0，∴a6+a7＝a3+a10＜0，∵S110，∴a1+a11＞0，∴a1+a11＝2a6＞0，∴a6＞0，a7＜0，则当n＝6时，S n有最大值．故选：B．【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.等比数列的各项均为正数，已知向量，，且，则A. 12B. 10C. 5D.【答案】C【解析】【分析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量＝（，），＝（，），且•＝4，∴+＝4，由等比数列的性质可得：＝……＝＝＝2，则log2（•）＝．故选：C．【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．12.在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，且，则（）A. B. C. 2 D. 0【答案】D【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，由求得，由两角和的余弦公式可得，由两角差的余弦公式可得，可得，从而可得结果.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，即，因为，因为，所以，，所以，，，又因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，以及正弦定理的应用，属于难题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，，若向量与向量共线，则实数k的值为______．【答案】【解析】【分析】先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量共线，即可求出结果.【详解】因为向量，，所以；又，向量与向量共线，所以，解得.故答案为【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，熟记共线向量定理即可，属于基础题型.14.在锐角三角形ABC中，已知内角所对的边分别为，，则 ______．【答案】【解析】【分析】由得到,利用平方关系得到。

湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

西方向上的笔直公路自东向西以 30 3km/h 的速度前进，6 分钟后到达 N 点．在 M 点时
测得 A 点位于北偏西 45° 方向上，B 点位于北偏西15° 方向上；在 N 点时测得 A 点位于
北偏东15° 方向上，B 点位于北偏东 45° 方向上，且在 N 点时观测 A 的仰角的正切值为
2 ．设 A 点在地表水平面上的正投影为 A¢ ，B 点在地表水平面上的正投影为 B¢ ， A¢ ， 15
( ) D．若△ABC 的面积 S=
3 4
b2 + c2 - a2
，则
A
=
π 3
11．一对不共线的向量
ar
，
r b
的夹角为
θ，定义
ar
´
r b
为一个向量，其模长
ar
´
r b
=
ar
×
r b
sin q
，其方向同时与向量 ar
r ，b
垂直（如图
1
所示）．在平行六面体
OACB - O¢A¢C¢B¢ 中（如图 2 所示），下列结论正确的是（）
sinq
=2
3sinq cosq ，
∴
2 (cosq - sinq )(cosq + sinq ) = 2
2 2
(
cosq
-
sin
q
)
3sinq cosq ，
∴ cosq + sinq = 3sinq cosq ，
两边同时平方，得 cos2 q + 2sinq cosq + sin2 q = 3(sinq cosq )2 ，
和
uuur OC
表示
uuuur OM

湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、填空题19．已知函数2()2sin f x x =参考答案：故选：C.2．D【分析】首先由向量的减法运算及复数的运算得出【详解】AB OB OA=-【详解】如图，连接BD .ABD中，由余弦定理有：222cosAD BA AD A+-⨯⨯CBD中，由余弦定理有：8．C【分析】分类讨论0ω=，0ω>小ω的范围，再利用复合函数的单调性与零点存在定理，以及数形结合即可得解所以ππ()cos()2376g x xx-<⎛=+⎝即当722ω-<<-，函数()=cos(f x综上可知，ω的解有3个，13．1213-【分析】由平方关系以及商数关系得出【详解】由22sin tan cos sin cos ααααα⎧=⎪⎨⎪+⎩以及 3ππα<<当π2x≥或π2x≤-时，(f当ππ22x-<<时，由()f t最多有3个零点，不满足条件，故当0a>时，作出函数(f x(2)π5ππ,π(Z) 36k k k⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）先应用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再根据最值求出常数即可；（2）根据正弦函数的递减区间计算求解即得2()2sinf x x=-（2）由（1）可知(3QM =同理可得：3(34CQN S =⋅- 233[()2QB QC QB QC -+-⋅答案第17页，共17页。

湖北省部分重点中学2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

上的投影向量为
r 3e2
，
r b
在
r a
上的投影向量为
3 2
r e1
，则
r a
与
r b
的夹角
为__________________.
15．已知△
ABC
uuur 中， CD
3
uuur BC,
uuur EC
1
uuur uuur AC, AF
1
uuur AB
，若点
P
为四边形
AEDF
内一
5
2
3
点(不含边界)且
D．将表的分针拨快10 分钟，则分针转过的角的弧度数为 3
2．已知是第三象限的角，且 sin4 cos4 5 ，那么 sin 2 的值为 9
A． 2 2 3
B． 2 2 3
C． 2
3
D． 2 33．如图，已知AFra bibliotekC中，D
为
AB
uuuv 的中点，AE
1
uuuv AC
，若
uuuv DE
uuuv AB
x1,
y1
,
z1
r ，b
x2
,
y2
,
z2
，若
r a
r b
，
试卷第 5 页，共 6 页
则_______（请在空格处填上你认为正确的结论）
r
r
r
（2）若非零向量 a cos α, k cos β,2 k cos γ ，b sin α, k sin β,2 k sin γ ，c 1,1,1 ，
uuur DP
1
uuur DC
uuur xDE
，则实数

湖北省武汉市5G联合体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(原卷版)

2022－2023 学年度下学期武汉市重点中学5G 联合体期中考试高一数学试卷命题学校：华科附中命题教师：刘勇审题教师：曾伏虎考试时间：2023年4月13日试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出签案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，则与2023角终边相同的最小正角为（） A. 23°B. 137C. 223°D. 337°2. 已知向量()1,1a =，()8,6b =− ，则2a b −的值为（）A. 12B. 10C. 8D. 63. 已知4sin 5α，则7cos 2πα+=（） A.35 B. 35C.45D. －454. 已知G 是△ABC 的重心，若(),R AG xAB y AC x y =+∈）则2x y −=（）A. －1B. 1C.13D. －135. 函数3πcos tan 02yx x x=⋅≤<且π2x≠的图象是下列图象中的（）AB.C. D.6. 已知平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=，点P 在线段CD 上（不包含端点），则PA PB ⋅的取值范围是（）A. [)1,8−B. ()0,8C. [)1,10D. ()0,107. 已知函数()()tan (0,0)f x x ωϕωϕπ=−><<与x 轴交于A ，B 两点，且线段AB 长度的最小值为π3，若将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后恰好为奇函数，则ϕ的值为（）A. π4B. π2C. 3π4 D. π4或3π4 8. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边ABC，若2,sin EF ACF =∠=AC ＝（）A 8B. 7C. 6D. 5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知函数()f x 图象可由函数()1πsin 224g x x=+的图象向左平移π8个单位长度得到，则下列说法..的正确的是（） A. ()f x 的最小正周期为π B. ()f x 是偶函数C. ()f x 在π[0,]4上单调递增D. 当π0,4x ∈时，()f x 的取值范围为1[0,]210. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成，巢中被封盖的是自然成熟的蜂密，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF ，则下列说法正确的是（）A. FB FD AE −=B. 2AD AF AF ⋅=C. AD 在AB 上的投影向量为ABD. 32AC AE AD +=11. 已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列四个命题中正确的命题是（） A. 若cos cos cos a b c A B C==，则ABC 一定是等边三角形 B. 若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形 C. 若2220a b c +−>，则ABC 一定是锐角三角形 D. 若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 一定是锐角三角形12. 已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，O 为ABC 的外心，4,5b c ==，ABC的面积S 满足()22b c a +−．若AO AB AC λµ=+ ，则下列结论正确的是（）A. π3A =B. S =C. 92AO BC ⋅=− D. 1320λµ+=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量,a b满足1,2,22a b a b ==−= ，则a 与b 的夹角为___．14. 已知定义在R 上的函数()f x 不是常数函数，且同时具有下列两个性质：①()()=f x f x −；②()π4f x f x+=．请你写出符合上述条件的一个函数()f x ＝___．15. 已知ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，π3ABC ∠=，ABC ∠的角平分线交AC于点D ，且BD =，则a c +的最小值为___．16. 已知函数()πsin (0)6f x x ωω =+>），若方程()2[]1f x =在 ()0,3π上恰有5个实数解，则实数ω取值范围为___．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知平面向量()()1,2,3,2a b ==−−．（1）若()2c a b ⊥+，且c = c的坐标；（2）若a与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 18. 函数()()πsin (0,0)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图像如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求()f x 在[]π,0−上的单调递减区间及对称轴． 19. 已知π,02α ∈−，且函数()sin tan f ααα=−．（1）化简()f α；（2）若函数()()2π222g x fx f x=−−−+，试求其最大值． 20. 如图，在菱形ABCD 中，4,60AB BAD ∠== ，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且AE EB =，3BF FC =，连接ED 、AF ，交点为G ．的（1）设AG t AF =，求t 的值；（2）求EGF ∠的余弦值． 21 已知函数()21cos cos 2f x x x x =−+．（1）若123f α = ，且π02,α ∈，求sin α的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若122C f =，求a b 的取值范围．22. 某公园有一块矩形空地ABCD ，其中AB BC ⊥，AB =2BC =百米．为迎接“五一”观光游，欲从边界AD 上的中点P 处开始修建观赏小径PM ，PN ，MN ，其中M ，N 分别在边界AB ，CD 上，小径PM 与PN 相互垂直，区域PMA 和区域PND 内种植绣球花，区域PMN 内种植玫瑰花，区域BMNC 内种植杜鹃花．设APM α∠=．（1S ，试将S 表示为关于α的函数，并求其取值范围；（2）为了节省建造成本，公园负责人要求观赏小径的长度之和（即PMN 的周长l ）最小．试分析当α为何值时，PMN 的周长l 最小，并求出其最小值，.第6页/共6页。

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册期中联考数学试题(含解析)

2023-2024学年湖北省武汉市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 1i z +=-，i 为虚数单位，则z =（）A ．iB ．22-C ．11i22+D 【正确答案】B【分析】根据模长公式结合复数的四则运算求解.【详解】由题意可知：1i -，由()1i 1i z +=-)()()1i 1i 1i z -===+-.故选：B.2．已知向量(1,2)a = ，(1,1)b =-r ，(4,5)c = ．若a 与b c λ+ 垂直，则实数λ的值为（）A ．114B ．47-C ．3D ．411【正确答案】A【分析】首先求出b c λ+的坐标，依题意()0a b c λ⋅+= ，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可.【详解】因为(1,1)b =-r ，(4,5)c = ，所以()()()1,14,541,51b c λλλλ+=-+=+-，又(1,2)a = 且a 与b c λ+垂直，所以()()()1412510a b c λλλ⋅+=⨯++⨯-= ，解得114λ=.故选：A3．下列说法正确的是（）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【正确答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．如图所示，点E 为ABC 的边AC 的中点，F 为线段BE 上靠近点B 的三等分点，则AF =（）A ．1233BA BC + B ．4233BA BC +C ．5166BA BC -+D ．2133BA BC -+【正确答案】C【分析】根据平面向量的线性运算结合图像将AF 用BA 、BC表示，即可得出答案.【详解】解：112()22323AF AE EF AC EB AC AB AE =+=+=+-1211223336AC AB AC AC BA =+-=-1251()6366BC BA BA BA BC =--=-+.故选：C.5．如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A B C D ''''，已知4,2A B C D ''''==，则下列说法正确的是（）A ．2AB =B ．A D''=C ．四边形ABCD 的周长为4+D ．四边形ABCD 的面积为【正确答案】D【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过D ¢作DE O B ''⊥，由等腰梯形A B C D ''''可得：A D E ''△是等腰直角三角形，即()1422A D E '''==-⨯,即B 错误；还原平面图为下图，即42,AB CD AD ===A 错误；过C 作CF ⊥AB ，由勾股定理得CB =，故四边形ABCD 的周长为：426++=+C 错误；四边形ABCD 的面积为：()1422⨯+⨯=，即D 正确.故选：D6．已知角α满足π2sin (2cos 3αα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则2sin 23cos +αα的值为（）A ．25B ．45C ．75D ．85【正确答案】C【分析】根据三角恒等变换结合齐次式问题运算求解.【详解】由题意可得：π2sin sin (23αααα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，整理得sin 2cos αα=，即tan 2α=，则2222222sin cos 3cos 2tan 32237sin 23cos sin cos tan 1215ααααααααα++⨯++====+++.故选：C.7．如图，一个矩形边长为1和4，绕它的长为4的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），P 是BC 中点，现有一只妈蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点P 处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（）AB C D 【正确答案】A【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ PQ +的最小值就是AE 的长，求解即可．【详解】解：依题意可得圆柱的底面半径1r =，高4h =将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形ABCD ，其中πAB =，4=AD ，问题转化为在CD 上找一点Q ，使AQ PQ +最短，作P 关于CD 的对称点E ，连接AE ，令AE 与CD 交于点Q ，则得AQ PQ +的最小值就是为AE =．故选：A8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，3()f x x =，则关于x 的方程()cos πf x x =在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（）A ．10B ．11C ．12D ．13【正确答案】D【分析】根据题意，判断函数()f x 的最小正周期为2；再由其奇偶性，得到()f x 关于直线1x =对称，画出函数()f x 和cos πy x =在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像，结合图像，即可得出结果.【详解】因为()()11f x f x =+-，所以()()2f x f x +=，因此函数()f x 的最小正周期为2；又因为函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，所以()()()111f x f x f x +=-=-，即函数()f x 关于直线1x =对称，函数cos πy x =的最小正周期π1πT ==，且函数图象关于x k =，Z k ∈对称，画出函数()y f x =和cos πy x =在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像如下，由图像可得，函数()y f x =和cos πy x =在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有13个交点，除1x =，其余两两关于直线1x =对称，因此关于x 的方程()cos π=f x x 在37,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为26113⨯+=.故选：D.二、多选题9．将函数()sin f x x =的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的13，再将所得图象向右平移π12是个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的一个对称中心是π,02⎛⎫⎪⎝⎭C ．若12π2x x +=，则()()12g x g x =D ．函数()g x 的一个对称中心是π,06⎛⎫⎪⎝⎭【正确答案】AC【分析】对于A 、B 选项，根据正弦函数的性质即可判定；对于C 、D 选项，利用三角函数图像变换求解析式，再利用其性质判定选项即可.【详解】因为()()()sin sin 00x x f x f x +-=⇒+-=，故A 正确；正弦函数的对称中心为()()π,0Z k k ∈，故B 错误；根据三角函数的图象变换可得：()πsin 34g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππππ3π4243k x k x -=+⇒=+，故其对称轴为()ππZ 43k x k =+∈，若12π2x x +=，由对称性可得，显然()()12g x g x =成立，故C 正确；令()πππ3πZ 4123k x k x k -=⇒=+∈，故其对称中心为()ππ,0Z 123k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，显然无论k 取何值πππ1236k +≠，故D 错误.故选：AC10．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）A ．若2220a b c +->，则ABC 一定是锐角三角形B ．若cos cos cos a b cA B C==，则ABC 一定是等边三角形C ．若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形D ．若cos cos b C c B b +=，则ABC 一定是等腰三角形【正确答案】BD【分析】利用余弦定理即可判断A ；利用正弦定理化边为角即可判断B ；利用正弦定理化边为角结合二倍角的正弦公式即可判断C ；利用正弦定理化边为角结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理即可判断D.【详解】对于A ，若2220a b c +->，则222cos 02a b c C ab+-=>，则C 为锐角，但是A 、B 两角无法判断其是否为锐角，如当4a =，2b =，3c =时，2220a b c +->，22230b c a +-=-<，ABC 为钝角三角形，故A 错误；对于B ，因为cos cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin cos cos cos A B CA B C ==，所以tan tan tan A B C ==，且,,(0,π)A B C ∈，所以A B C ==，所以ABC 为等边三角形，故B 正确；对于C ，因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C 错误；对于D ，因为cos cos b C c B b +=，所以sin cos sin cos sin B C C B B +=，即sin()sin C B B +=，则sin sin A B =，又因为,(0,π)A B ∈，所以A B =或πA B +=（舍去），所以ABC 为等腰三角形，故D 正确.故选：BD.11．欧拉公式i e cos i sin x x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式，下列说法中正确的是（）A ．2i e 对应的点位于第二象限B ．πi e 为纯虚数C ix 12D ．πi 3e 的共轭复数为122-【正确答案】ACD【分析】根据题意结合复数的相关概念与运算逐项分析判断.【详解】对于A ：由题意可得：2i e cos 2isin 2=+，则其对应的点为()cos 2,sin 2，∵π2,π2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos20,sin 20<>，∴2i e 对应的点位于第二象限，故A 正确；对于B ：由题意可得：πi e cosπisin π1=+=-为实数，故B 错误；对于C ：由题意可得：())()i cos isin icos sin cos sin i1π1πsin i cos42323x x x x x x x x x +-+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，12==，故C 正确；对于D ：由题意可得：πi 3cosis ππ1e i 33n i 2==+，则πi 3e 的共轭复数为12-，故D 正确；故选：ACD.12．假设(0,π)α∈，且π2α≠．当xoy α∠=时，定义平面坐标系xoy 为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：21,e e分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若12OP xe ye =+ ，则记为(,)OP x y =，那么下列说法中正确的是（）A ．设(,)a m n = ，则||a =B ．设(,),(,)a m n b s t ==，若a //b ，则0mt ns -=C ．设(,),(,)a m n b s t == ，若a b ⊥，则()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设(1,2),(2,1)a b =-=-，若a 与b 的夹角为π3，则π3α=【正确答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=u r ru u u r r ，对于A ：若(,)a m n = ，则12a me ne =+，可得()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++u r u r u r u r u r u r r ，所以||aA 正确；对于B ：∵(,),(,)a m n b s t ==，则1212,a me ne b se te =+=+u r u r r u r u r r ，若a //b，则有：当0a = 或0b =时，则0m n ==或0s t ==，可得0mt ns -=成立；当0a ≠ 且0b ≠时，则存在唯一实数λ，使得a b λ= ，则()121212me ne se te se te λλλ+=+=+u r u r u r u r u r u r ，可得m s n t λλ=⎧⎨=⎩，整理得0mt ns -=；综上所述：若a //b，则0mt ns -=，故B 正确；对于C ：∵(,),(,)a m n b s t ==，则1212,a me ne b se te =+=+u r u r r u r u r r ，可得()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅=u r u r u r u r u r u r u r r u r r ，若a b ⊥，则()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅r r ，故C 错误；对于D ：∵(1,2),(2,1)a b =-=-，由选项A 可得：|||a b==r r，由选项C可得：()()()()12211122cos45cosa bαα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=r r，若a与b的夹角为π3，则πcos3a ba b⋅=⋅r rr r，即145cos254cosαα-=-，解得1cos2α=，∵(0,π)α∈，则π3α=，故D正确；故选：ABD.三、填空题13．已知向量()1,2a=r，()2,4b=-r，则向量a在向量b上的投影向量为__________（用坐标表示）．【正确答案】36,55⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得向量a在向量b上的投影向量.【详解】向量a在向量b上的投影向量为2cos,b a b b a ba ab a bb a b b b⋅⋅⋅=⋅=⋅⋅()63362,4201055b⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.故答案为.36,55⎛⎫-⎪⎝⎭14．在ABC中，4,5,6AB AC BC===，O为三角形ABC的外心，则AB AO⋅为______．【正确答案】8【分析】作出图形，利用余弦定理求出角A的余弦值，利用同角三角函数的关系求出sin A，再利用正弦定理得到外接圆的半径，再次利用余弦定理求出AB与AO的夹角即可求解.【详解】如图，连接,OA OB，在ABC 中，由余弦定理可得，2221625361cos 22458AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，则237sin 1cos 8A A =-=，在ABC 中，由正弦定理可得，2sin 378BCR A==，则877R =所以877OA OB ==，在ABO 中，由余弦定理可得，2227cos 24OA AB OB OAB OA AB +-∠==⋅，所以877cos 4874AB AO AB AO OAB ⋅=∠=⨯⨯= ，故答案为.815．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱116AA =．若侧面11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC A C B C 的中点．当底面ABC 水平放置时，液面高为__________．【正确答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设ABC 的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，侧面11AA B B 水平放置时，水的体积为133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅= 当底面ABC 水平放置时，水的体积为ABC V S h ah == ，于是12ah a =，解得12h =，所以当底面ABC 水平放置时，液面高为12.故12四、双空题16．若,,,(),(),()a b c A f a f b f c ∀∈为一个三角形的三边长，则称函数()f x 在区间A 上为“三角形函数”．已知函数25()sin cos 4f x x x m =--++在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上是“三角形函数”，请解决以下问题：（1）()f x 在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的值域为________；（2）实数m 的取值范围为_____________．【正确答案】[,1]m m +1m >【分析】根据三角函数的性质求出函数()f x 在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的值域；再根据三角函数的定义列式可求出结果.【详解】因为函数222511()sin cos cos cos (cos )442f x x x m x x m x m =--++=-++=-+，令cos x t =，由π2π,33x -∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦可得1[,1]2t ∈-，则函数25()sin cos 4f x x x m =--++可化为21(2y t m =-+，且1[,1]2t ∈-，当12t =时，即π3x =±时，函数取最小值m ，当12t =-时，即2π3x =时，函数取最大值1m +，所以函数()f x 在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的值域为[,1]m m +；因为函数25()sin cos 4f x x x m =--++在区间π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上是“三角形函数”，所以1m m m +>+，解得1m >，故[,1]m m +；1m >.五、解答题17．已知sin(π)2cos αα-=．(1)若α为锐角，求πcos 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求πtan 24α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【正确答案】(2)7【分析】（1）根据题意先求sin ,cos αα，再利用两角和的余弦公式运算求解；（2）根据倍角公式结合两角差的正切公式运算求解.【详解】（1）∵()sin πsin 2cos ααα-==，且22sin cos 1αα+=，α为锐角，解得cos αα==，所以πππ1cos cos cos sin sin 3332ααα⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭（2）由（1）可知：sin 2cos αα=，可得tan 2α=，所以222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---，所以41πtan 213tan 27441tan 213ααα---⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭-．18．某同学用“五点法”画函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ37π12()f x 0202-0(1)请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数()y f x =在一个周期内的图象；(2)将()y f x =的图象向左平移(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象，若()y g x =的图象关于y 轴对称，求θ的最小值．【正确答案】(1)表格见解析，图象见解析(2)π3【分析】（1）根据表格，分别求得,,A ωϕ，即可得到函数()f x 的解析式，从而得到其函数图像；（2）根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得θ的最小值.【详解】（1）由表中数据可得，7πππ2,41234T A ==-=，所以πT =，则2ππω=，且0ω>，解得2ω=，当3x π=时，π2x ωϕ+=，即π2π23ϕ⨯+=，解得π6ϕ=-，所以π()2sin(2)6f x x =-.分别令π3π20,,2π62x -=，解得π5π13π,,12612x =，据此可得表格为：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12()f x 0202-0由表格作出图象，如下图所示.（2）由题意可得：()ππ()2sin 2()2sin 2266g x f x x x θθθ⎡⎤⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，因为()y g x =的图象关于y 对称，则ππ2π,62k k θ-=+∈Z ，解得ππ,32k k θ=+∈Z ，且0θ>，所以当0k =时，θ取到最小值min π3θ=．19．如图，在ABC 中，点D 为边AB 的中点，14BE BC =．(1)若3,1,60AC BC ACB ==∠=︒，求||CD；(2)若CO CD λ=，求λ的值．【正确答案】(1)2；(2)67.【分析】（1）将CD 用CA CB,表示，再利用平面向量数量积的运算律以及定义求解作答.（2）取平面向量的基底{,}CA CB，再利用平面向量基本定理求解作答.【详解】（1）在ABC 中，点D 为边AB 的中点，则1()2CD CA CB =+，因此222221113||(2(31231cos 60444))CD CA CB CA CB =++⋅=++⨯⨯⨯︒=所以||CD =（2）在ABC 中，CA CB,不共线，因为14BE BC = ，则34CE CB = ，而O 在AE 上，即有,R EO EA μμ=∈，()CO CE CA CE μ-=- ，于是3(1)(1)4CO CA CE CA CB μμμμ-=+-=+，而22CO CD CA CB λλλ==+ ，因此()23124λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得6737λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以λ的值为67.20．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：cm ，π取3）【正确答案】(1)21085120cm (2)31344cm 【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（12216835cm 2-⎛⎫+= ⎪⎝⎭和222412335cm 2-⎛⎫+= ⎪⎝⎭．故()2(1224)35(816)5225120cm22侧S +⨯+⨯=⨯+⨯=+．（2）V V V V =++球直四棱柱四棱台3441π842081624(128)(1624)]3323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭3326406721344cm ≈++=.21．已知ABC 的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B--=+．(1)求cos A ；(2)若ABC的面积为AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D ，求线段AD 长的最大值．【正确答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得6bc =，再根据等面积得11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由正弦定理，得3()32a b c b a bc --=+，即22223c b a bc +-=，故2221cos 23232bcc b a A bc bc +-===.（2）由（1）知sin 3A =，因为ABC的面积为，所以1sin 2bc A =6bc =，又因为1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==，所以221cos 1sin sin ,sin sin 233A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=．于是11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么13132323AD b c ⎛⎫⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎝⎭所以2AD b c =≤=+（当且仅当b c ==故AD 的最大值为2．22．如图，已知||1,||2,OA OB OA == 与OB 的夹角为2π3，点C 是ABO 的外接圆优孤 AB 上的一个动点（含端点A ，B ），记OA 与OC的夹角为θ．(1)求ABO 外接圆的直径2R ；(2)试将||OC表示为θ的函数；(3)设点M 满足13AM AB = ，若OC xOA yOB =+ ，其中,x y ∈R ，求OC OM ⋅的最大值．【正确答案】(2)2πcos sin ,033OC θθθ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦uuu r(3)1【分析】（1）在AOB 中，利用正、余弦定理运算求解；（2）在AOC 中，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；（3）根据数量积用,OC θuuu r表示,x y ，根据（2）中的关系，利用三角恒等变换结合正弦函数运算求解.【详解】（1）在AOB 中，由余弦定理22212cos 1421272AB OA OB OA OB AOB ∠⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即AB =，由正弦定理可得2sin 3ABR AOB===∠（2）连接AC ，由题意可知2π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，在AOC 中，由正弦定理2sin OAR OCA=∠，则sin 214OA OCA R ∠=，且OCA OBA ∠=∠为锐角，则cos OCA ∠=，可得()sin sin sin cos cos sin 14OAC OCA OCA OCA θθθθθ∠=∠+=∠+∠=，由正弦定理||2sin OC R OAC=∠uuu r，可得||2sin cos cos sin 314143OC R OAC θθθθ⎛⎫=∠=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭uuu r ，所以||OC 表示为θ的函数为2π||cos sin ,0,33OC θθθ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦uuu r.（3）由题意可得1cos 1212OA OB OA OB AOB ⎛⎫∠=⨯⨯-=-⋅=⎪⎝⎭⋅ uu r uu u r uu r uu u r ，则2co co s s OA OC xOA yOA OB x y OA O A C OC OC θ⋅=+⋅=-=⋅∠=⋅uu r uuu r uu r uu r uu u r uu r uuu r uuu r，2c 2π42c os os 3OB OC yOB xOA OB x y OB OC O B C OC θ⎛⎫⋅=∠=+⋅=-+=⋅⋅- ⎪⎝⎭uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uuur )12cos cos 22OC OC θθθθ⎛⎫⋅-+=⋅- ⎪ ⎪⎝=⎭uuu r uuu r ，即)cos 4sin cos x y OC x y OC θθθ⎧-=⋅⎪⎨-+=⋅-⎪⎩，解得cos x OC y OC θθθ⎧⎫=+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，可得()2133OC OM OB xOA yOB⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r2221213333x OA x y OA OB y OB ⎛⎫=++⋅+ ⎪⎝⎭uu r uu r uu ur uu u r ()123x y =+)1cos sin sin cos 33OC OC OCθθθθθ⎡⎤⎫=+=+⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦uuur uuu r uuur)1cos co 3s 3θθθθ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭)()1cos 3cos 9θθθθ=++，其中2π03θ≤≤构建())()22cos 3cos 15sin cos 3cos f θθθθθθθθθ=++=++2312sin cos θθθ=++1cos 231222θθ-=+⨯96cos2θθ=+-92277θθ⎫=+-⎪⎪⎭()92θϕ=+-，其中πsin ,cos ,0,772ϕϕϕ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，当π22θϕ-=，即42πϕθ=+时，()f θ取到最大值为9+所以()121339x y f θ+=的最大值为(19199+=+.。

湖北省襄阳市鄂北六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学含答案

2023—2024学年下学期高一期中考试数学试题（答案在最后）试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号﹑座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量()1,2a = ，(),4b x = ，若2b a =，则x =（）A ．5B ．2C ．3D ．42．已知点()1,2落在角α的终边上，则cos 2α=（）A ．1B ．1-C ．35-D ．353．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图示，则图象解析式为（）A ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．cos 2y x =C ．sin 2y x=D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．若两个单位向量a，b的夹角为3π，则2a b += （）A ．2B ．C ．1D5．化简(sin 40tan10︒︒-得（）A ．B ．2-C ．1-D ．12-6．我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且劣弧 AB 的长等于半径OA 长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（）A ．99sin 22-B ．9sin 22C ．12sin 22-D ．97．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，当8BC =时，则BA BC ⋅=（）A ．64B ．32C ．24D ．88．如图，在钝角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，2A π>，过点A 作与AC 垂直的单位向量j ，将j 与向量表达式AC CB AB +=两边进行数量积的运算，即()j AC CB j AB ⋅+=⋅ ，化简后得到的结论是（）A ．sin sin a c A C =B ．sin sin b c B C =C ．sin sin a b A B =D ．cos cos a cA C=二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．已知a ，b为平面内两个不共线的向量，则{},3a b a b +-+ 可作为平面的一组基底B ．已知两个非零向量a ，b ，若a b a b +=+ ，则a 与b同向C ．在△ABC 中，若12AB AC AB AC ⋅= ，()()0AB AC AB AC -⋅+=，则△ABC 为等边三角形D ．若向量a ，b 满足a b ∥ ，则存在唯一实数λ，使得a bλ=10．把函数()4sincos 226x x f x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ωπ<<）的图象向左平移6π个单位长度，得到的函数图象恰好关于y 轴对称，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 在区间,126ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增C ．当0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()f x 的值域为[]0,1D ．若()f x 在区间[],a π-上至少存在六个零点，则实数a 的取值范围为4,3π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．在△ABC 中，7AB =，5AC =，3BC =，点D 在线段AB 上，下列结论正确的是（）A ．若CD 是中线，则192CD =B ．若CD 是高，则1514CD =C ．若CD 是角平分线，则158CD =D ．若4CD =，则D 是线段AB 的三等分点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量()1,1a = ，()1,2b =- ，则向量a b - 在向量a上的投影向量为（用坐标表示）．13．已知1tan 3tan θθ+=，则44sin cos θθ+=．14．定义：a b ad bc cd =-．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若2cos 12cos 1cos C C C-+0=，且5a b +=，则边c 的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知()1,3a = ，()2,4b =-．（1）求a b + 与a b -的夹角的余弦值；（2）若()a ab λ⊥-，求λ值．16．（本小题满分15分）已知cos 5α=，()sin 10αβ-=，且α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin ,cos a αα= ，()()()cos ,sin b αβαβ=--，求：（1）a b ⋅的值；（2）β的值．17．（本小题满分15分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin A B a b c C B +-=-．（1）求角A 的大小；（2）若1cos 3ABC ∠=-，D 是线段AC 上的一点，ABD CBD ∠=∠，BD =c ．18．（本小题满分17分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ．（1）令AB a = ，AC b = ，用a ，b表示AP ；（2）证明：AM = （3）若4AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，求MPN 的余弦值．19．（本小题满分17分）已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b = 为函数()f x 的相伴特征向量，同时称函数()f x 为向量OM的相伴函数．（1）记向量(ON = 的相伴函数为()f x ，若()45f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin x 的值；（2）设()cos 3cos 44g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（x R ∈），试求函数()g x 的相伴特征向量OM ，并求出与OM方向相反的单位向量﹔（3）已知()2,3A -，()2,6B ，()OT = ，为函数()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m R ∈）的相伴特征向量，()23x x h πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2023—2024学年下学期高一期中考试数学试题参考答案及评分标准题号1234567891011答案BCDBCABAABCBCDAC12．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭13．7914．215．解：（1）()1,7a b+=- ，()3,1a b -=-∴ab +=a b -=22cos ,5a b a b <+->=-（2）()12,34a b λλλ-=+-∴()a ab λ-= ∴1λ=16．解：（1）∵α，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,22ππαβ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭sin 5α==，()cos 10αβ-==∴()()()()sin 2sin sin coscos sin a b αβααβααβααβ⋅=-=+-=⋅-+⋅-51051010=⋅+⋅=（2）由（1）可得∴()()()cos cos cos cos sin sin 2βααβααβααβ=--=-+-=⎡⎤⎣⎦又∵0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴4πβ=17．解：（1）因为()()()sin sin sin A B a b c C B +-=-，所以由正弦定理可得()()()a b a b c c +-=-，即222b c a +-=，所以222cos 22b c a A bc +-==，因为0A π<<，所以6A π=（2）设ABD θ∠=（02πθ<<），则2ABC θ∠=，所以21cos 22cos 13θθ=-=-，解得cos 3θ=，sin 3θ=所以sin sin 66BDA πθ+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，由正弦定理，sin sin c BDBDA A=∠，所以c =18．解：（1）连接MN ，则MN 平行于AB 且MN 为中位线，12MP PA =所以()21113333AP AM AB AC a b==+=+ （2）△ABC 中，由余弦定理得222cos 2a c b ABC ac+-∠=△ABM 中，由余弦定理得AM ===（3）∵,AM BN MPN<>=∠1122AM a b =+ ，12BN a b=-+ 22111852512244AM BN a ab b ⋅=--+=--+=AM ====cos ,91AM BN AM BN AM BN ⋅<>==⋅19．解：（1）由题意知，向量(ON =的相伴函数为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题意()42sin 35f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且0,32x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，21cos 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故212sin sin sin cos cos sin 333333525210x x x x ππππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）因为()cos 3cos 44g x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故函数()g x的相伴特征向量OM =，则与OM反向的单位向量为,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭（3）因为()1sin sin cos 622h x m x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其相伴特征向量()OT =，故2112m m =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2m =-，则()2sin 6h x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，()2sin 2sin 2cos23236222x x x x x h ππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦设点,2cos2x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()2,3A -，()2,6B ，所以2,2cos 32x AP x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，2,2cos 62x BP x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若AP BP ⊥，则()()222cos 32cos 6022x x AP BP x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，即2244cos18cos 18022x x x -+-+=，229252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为22cos22x -≤≤，13952cos 2222x ---≤≤，故22591692cos 4224x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤≤，又2252544x -≤，故当且仅当0x =时，22925252cos 2244x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭成立故在()y x ϕ=的图象上存在一点()0,2P ，使得AP BP⊥。

湖北武汉华中师第一附中2024年高一下学期4月期中检测数学试卷

华中师大一附中2023-2024学年度下学期期中检测高一数学试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足2(1i)|1i |z −=+，则z =（）A ．1i −B ．1i +C ．1i −−D ．1i −+ 2．下列说法正确的是（）A ．空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面B ．若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面C ．和两条异面直线都相交的两直线是异面直线D ．若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面3．已知,,a b c 均为单位向量，且234a b c =+ ，则a 与b 的夹角的余弦值为（） A ．13 B ．13− C ．14 D ．14− 4．毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（A ．15)π+B ．6)π+C ．15)πD ．6)π+5．设复数12,z z 对应的向量分别为12,,OZ OZ O 为坐标原点，且1z ，若把1OZ 绕原点顺时针旋转34π，把2OZ 绕原点逆时针旋转43π，所得两向量的终点重合，则2z =（）A ．1B ．1−C i −D ．i +6．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,,66a b cB c π==，若ABC △有两解，则b 的取值范围是（）A ．(3,6)B ．C ．D ．7．如图，在四边形ABCD 中，,,8,163AD CD BAD BCD AB AD π⊥∠=∠===，点E 在边AD 上，且BE AD ⊥，点F 为边BC （含端点）上一动点，则DF EF ⋅ 的最小值为（）A ．36B ．39C ．45D ．488．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23cos c b A b c +=，112tan tan tan A C B +=，则sin B =（）ABCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设12,,z z z 是复数，则（）A ．若||2z =，则24z =B ．若12z z =，则21z z =C ．若20z ≠，则1122z z z z = D ．若0z z +=，则z 为纯虚数 10．对非零向量,a b ，定义运算“（*）”：(*)||cos ||sin a b a b θθ=+ ，其中θ为a 与b 的夹角，则（）A ．若a b ∥ ，则|(*)|||a b a =B ．若(1,2),(3,1)a b =−=−，则()(*)a b a −C ．若Rt ABC △中，,2,12C AC BC π===，则(*)AB AC = D ．若ABC △中，(*)(*)0AB BC BC AB == ，则ABC △是等腰三角形11．已知正四棱锥O ABCD −，高为3，则（）A ．若点P 为正四棱锥O ABCD −外接球的球心，则四棱锥P ABCD −的体积为4B ．直径为1的球能够整体放入正四棱锥O ABCD −内C ．若点M 在底面内（包含边界）运动，N 为OD 中点，则当MN ∥平面OBC 时，点MD ．若以点O O 的球面与正四棱锥O ABCD −的棱,,,OA OB OC OD 分别交于点,,,EFGH ，则四边形EFGH 的面积为1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．如图，已知A B C ′′′△是水平放置的ABC △用斜二测画法画出的直观图，A B ′′在x ′轴上，B C ′′与x ′轴垂直，且4B C ′′=，则ABC △的边AB 上的高为______．13．如图，为测量武汉防汛纪念碑AB 的高度及取景点C 与F 之间的距离（,,,B C D F 在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B ，且,,B C D 三点共线），华中师大一附中研究性学习小组同学在,,C D F 三点处测得顶点A 的仰角分别为60,30,45°°°，若45,50FCB CD ∠=°=米，则纪念碑的高度为______米，取景点C 与F 之间的距离为______米．14．已知平面非零向量,a b 和单位向量e ，若a 与e 的夹角为,33b e π− 与5b e − 的夹角为4π，则||a b − 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。

湖北省高一下学期期中联考数学试题

高一期中联考数学试题考试用时：120分钟试卷满分：150分★祝考试顺利★一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆心角为（）A.1B.2C.D.3π6π2.已知在复平面内,是原点,向量对应的复数分别为,那么向量对应的O ,OA OB 3524i i --+，AB复数的虚部是（）A ．B ．C ．D ．9i 1-i -93. 已知,则（） ()3sin 35απ+=-23cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．45-53-35454. 已知，为单位向量,当向量的夹角为,则向量在向量上的投影向量为||4a = e ,a e α23πa e （）A ．B ．C ．D ．a e2e -e -5.设是定义在上的奇函数,对任意的满足且()f x (,0)(0,)-∞+∞ 12,(0,)x x ∈+∞()()2112120x f x x f x x x -<-,则不等式的解集为（）(2)4f =()2f x x > A ． B ． (2,0)(2,)-+∞ (2,0)(0,2)- C ．D ．()(2),2,-∞-+∞ (,2)(0,2)-∞- 6.宜昌奥林匹克体育中心为了迎接4月12日湖北省第十六届运动会开幕式,将中心内一块平面四边形区域设计灯带.已知灯带米,米, 米,且ABCD =CD 10AB =20BC =AD =,则（） 34A C π∠+∠=cos BCD ∠=A.B. 350C.457.在中,已知,,点分别是的三等分ABC ∆4AB =23ABC π∠=,M N ,AC AB 点（）,与相交于点,则的余弦值为（）1,3CM CA =13AN AB =BM CN P MPN ∠A. B.8. 已知在上的最小值为,则的解有（）个()=cos(6f x x πω+π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4ωωA.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知平面内四点可构成平行四边形,其中,则点的坐标可能,,,A B C D (1,3),(2,1),(3,2)A B C ---D 为（）A.B.C.D. (0,4)-(6,1)-(6,0)-(4,6)10. 下列函数中,以为最小正周期,且在区间上单调递增的是（）π(,)2ππA.B.C. D.tan y x =|sin |y x =2cos y x =sin cos y x x =-11. 在所在的平面上存在一点,,则下列说法错误的是（）ABC ∆P (),AP AB AC λμλμ=+∈R A ．若，则点的轨迹不可能经过的外心 1λμ+=P ABC ∆ B ．若，则点的轨迹不可能经过的垂心 2λμ+=-P ABC ∆ C ．若，则点的轨迹可能经过的重心 12λμ+=P ABC ∆D ．若，则点的轨迹可能经过的内心λμ=P ABC ∆12. 已知是边长为的等边三角形,平面内有两动点满足ABC ∆2ABC ,M N .若,则的值可能为MN xMA yMB zMC =++ (1,,,0)x y z x y z ++=≥2MN = MA MB ⋅（）A.B.C.D.1-26-0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知,,则______． tan 5α=32παπ<<cos 2α=14. 若平面内不共线的三个向量两两的夹角相等,且,则,,a b c ||2,||2,||5a b c === |2|a b c +-=______．15. 在中,已知是的一元二次方程的两个实根,则ABC ∆tan ,tan B C x 20mx x m -++=A ∠=______．16. 已知函数,若函数有5个零点,则实数的取值(),222tan ,22a x x x f x x x πππππ⎧+≤-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩或()32y f f x π=-⎡⎤⎣⎦a 范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知.(1,0),(2,1)a b ==-(1)若,且三点共线,求的值.,AB a b BC a mb =+=-,,A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k a kb - 32a b -+18.（本题满分12分）要得到函数的图象,可以从正弦函数或余弦函数图象出发,通过图象变换得2π()2s 3in 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭到,也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．(1)由图象变换得到函数的图象,写出变换的步骤和函数；sin y x =()f x (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图．()f x π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦19.（本题满分12分）已知函数在区间上的最大值为5 2()2sin 2()4f x x x m π=-+-[0,]2π(1)求常数的值;m (2)求函数的单调递减区间. ()f x20.（本题满分12分）已知函数为奇函数，,. 3()log ()1x mf x x +=-1()42(0)x xg x λλλ+=⋅-->(1)求实数;m (2)求函数在区间上的最小值; ()g x [1,2]21.（本题满分12分）宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田园湿地画卷,它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合,设计的十分精致优美.为了迎接2023年的春天,公园里开辟了一块等腰直角三角形农田种植七彩油菜,其斜边米.为了方便游客观光,欲在上选择一点ABC 300BC =BC ,修建两条观赏小径,点分别在边上,且小径与边的夹角都Q ,QM QN ,M N ,AB AC ,QM QN BC 是.区域和区域种植粉色油菜,区域种植黄色油菜.3πQMB QNC AMQN (1)随着春天到来,油菜均已开花,为了游客深度体验观赏,准备在种植黄色油菜区域内修建小径,当点在何处时，三条小径()的长度之和最小?MN Q ,,QM QN MN (2)种植粉色油菜的成本是100元/平方米，求种植粉色油菜的最少费用.22.（本题满分12分）定义非零向量的“伴随函数”为,非零向量(),OM a b =()()cos sin f x a x b x x =+∈R 为函数的“伴随向量”（其中为坐标原点）．(),OM a b =()()cos sin f x a x b x x =+∈R O(1)设,求出与的“伴随向量”共线的单位向量; ())25π2cos 26x f x x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭R ()f x (2)已知点满足,向量的“伴随函数”在处取得(),M a b 22560(0)a ab b ab -+<≠OM()g x 0x x =最小值,求的取值范围;0tan(2)4x π-(3)向量,其“伴随函数”为,已知,求的取值范围. ()1,0OA =()h x ()()()h h h αβαβ+=+()h α2023年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高一期中联考数学参考答案一、单项选择题1.C2.D3.B4.C5.D6.A7.C8.C 二、多项选择题s9.ACD 10.AC 11.ABC 12.BCD 三、填空题13. 15. 16. 3121-6π(0,1]四、解答题17.解：（1）（2分）(1,1)(12,)AB BC m m =-=+-因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数λ，使得(),BC AB R λλ=∈整理得所以，解得.故的值为.（5分）(12,)(,),m m λλ+-=-12m m λλ+=-⎧⎨-=⎩1m =-m 1-（2）（7分） (12,),a kb k k -=+- 32(7,2).a b -+=-因为与垂直，a kb - 32a b -+所以解得.（10分） 7(12)2()0,k k -⨯++⨯-=716k =-18.解：（1）步骤1：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的sin y x =2π32πsin(3y x =+图象；步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数2πsin()3y x =+12的图象； 2πsin(23y x =+步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数2πsin(2)3y x =+的图象．（6分） 2π2sin(2)3y x =+或者步骤1：步骤1：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函sin y x =12数的图象；sin 2y x =步骤2：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图sin 2y x =π3π2πsin 2()sin(2)33y x x =+=+象；步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数2πsin(2)3y x =+的图象．（6分） 2π2sin(2)3y x =+（2）因为列表： 2π2[,3],3x ππ+∈2π23x +π 3π2 2π 5π2 3πxπ65π122π311π127π6y0 2-20（12分）19.解：（1）化简可得：，因为，所以，()2sin(2)16f x x m π=-+-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π2,666x π⎡⎤-∈-⎢⎣⎦则当时，取得最大值，故，即.（6分）262x ππ-=()f x 3m -35m -=2m =-（2）的单调递减区间需要满足：， ()f x ππ3π2π22π(Z)622k x k k +≤-≤+∈解得， π5πππ(Z)36k x k k +≤≤+∈所以的单调递减区间为：.（12分） ()f x π5π,π(Z)36k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20.解：（1）解：因为为奇函数，所以， ()f x ()()0f x f x -+=所以在定义域内恒成立，23332log log log 0111x m x m x mx x x +-+-+==----整理，得在定义域内恒成立，所以，解得， 2221x m x -=-21m =1m =±当时，的定义域为，定义域不关于原点对称，此时没有奇偶1m =-()31log 1x f x x -=-{}|1x x ≠()f x 性，当时，的定义域为，关于原点对称， 1m =()31log 1x f x x -=+()(),11,-∞-⋃+∞且，符合题意， ()()()133331111log log log log 1111x x x x f x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-=====-=- ⎪-+-++⎝⎭综上可得：；（5分） 1m =（2），，令，()()2142222x x xx g x λλλλ+-=⋅-=-⋅-[]1,2x ∈2x t =则上述函数化为，.因为，则对称轴()22y t t t λλ=+-[]2,4λ∈0λ>10t λ=>1）当，即时，函数在上单调递增，故； 12λ≤12λ≥()y t []2,4()min (2)4434y t y λλλ==--=-2）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，故124λ<<1142λ<<()y t 12,λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,4λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；min 11()y t y λλλ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭3）当，即时，函数在上单调递减，故. 14λ≥104λ<≤()y t []2,4()min ()4158y t y λ==-综上所述：①当时，的最小值为；②当时，的最小值为；12λ≥()g x 34λ-1142λ<<()g x 1λλ--③当时，的最小值为.（12分） 104λ<≤()g x 158λ-21．解：（1）在中,,由正弦定理可得：,BMQ △53412BMQ ππππ∠=--=sin sin QM BQ B BMQ =∠∠即＝，同理可得， sin 45sin 75QBQM ︒⋅=︒1)QB1)QN QC =-所以＝；（3分） 1)()QM QN QC QB +=+1)1)BC =在中，由余弦定理可得：，QMN A 2222cos 60MN QM QN QM QN =+-⋅︒即，2222()()3()34QM QN MN QM QN QM QN QM QN +=+-⋅≥+-⨯所以，，又因为＝，22()4QM QN MN +≥2QM QN MN +≥QM QN +1)故，当且仅当时等号成立.1)MN ≥-1)QM QN ==故当点是的中点时，三条小径（QM ，QN，MN ）的长度之和最小，最小为；Q BC 1)（7分）（2）由（1）可知，故，1)QM QB =1sin 602BQM S QBQM =⋅⋅⋅︒A 21)QB -同理可得：，所以＝21)CQN S QC =ABQM CQN S S +A A 221)()QB QC +＝2)2]QB QC QB QC+-⋅22())24QBQC QB QC +≥+-⨯2)QB QC +＝（当且仅当时取得最小值）， 211250(3150QB QC ==11250(3故最少费用为.（12分） 11250(31001125000(3⨯=22.解：（1）因为 ()1cos 12(sin )sin 22x f x x x x x -=--=故的“伴随向量”，所以，与共线的单位向量为（3分） ()fx OM ⎫=⎪⎪⎭OM±（2）的“伴随函数”，OM ()()cos sin ,tan g bx a x b x a x ϕϕ=+=+=因为在处取得最小值，所以，当，即时，()f x 0x x =03π2π,Z 2x k k ϕ+=+∈03π2π,Z 2x k k -ϕ=+∈有最小值，()f x 03πsin sin 2πcos 2x k -ϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，03πcos cos 2πsin 2x k -ϕϕ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭所以，因为，所以，即 0cos 1tan sin tan b x a ϕϕϕ===22560(0)a ab b ab -+<≠2156()0b b a a -+<1132b a <<所以，则，令，则011(,)t 32an x ∈0020002tan 2tan 211tan tan tan x x x x x ==--011(,an )t 32t x =∈， 0011tan tan x t x t-=-因为均为上的单调递减函数，所以在上单调递减，故1,y y t t ==-11(,)321y t t =-11(,)32，所以，， 001138tan (,)tan 23x t x t -=-∈0022tan 234tan 2(,11tan 43tan tan x x x x x ==∈--又因为，令，在上单调递0000tan 212tan(2141tan 21tan 2x x x x π--==-++034(,an 2t 43k x =∈211y k =-+34(,43增，故，故的取值范围为.（8分）2111(,177y k =-∈-+0tan(2)4x π-11(,)77-（3）由题意可知，，则，化简可得()cos h x x =cos cos cos()αβαβ+=+，即sin sin (1cos )cos cos αβαβα+-=-)cos βϕα+=-，当时，不符合题意，舍去；当时，)cos βϕα+=-cos 1α=cos 1α≠，故（12分）sin()[1,1]βϕ+=-cos [1]α∈--。

湖北省高一下学期期中联考数学试题 Word版含解析

高一年级期中教学质量抽测
数学
本试卷共 4 页，22 题．全卷满分 150 分．考试用时 120 分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写
4
28
令 kπ π π ，解得 k 1 Z ，不合题意；
பைடு நூலகம்2 84
4
令 kπ π π ，解得 k 0 Z ，符合题意； 2 88
故 C 正确，D 错误；
故选：C.
5. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一
个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为，大正方形的面积为 S1 ，小正方形的
0
，则 cos
A
0 ，由
A0, π
，则 A
为锐角，
但△ABC 不一定为锐角三角形，故 D 错误；故选：C
2. 已知 A3, 2 ， B 1, 5 ， C 1, 2 ，则 cos BAC （）
A. 2 5 25
B. － 2 5 25
C. 5 25
D. － 5 25
【答案】B
【解析】
【分析】确定
AB
B. 4 3 5
C. 4 3 3 5
D. 4 3 3 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得 3 sin C sin A sin Asin C ，得到 2
cos A 2
3 ，求得 A π ，再由 tan B 3 ，求得 sin B, cos B 的值，由 sin C sin( A B) 求得 sin C 的

湖北省宜昌市部分省级示范高中20232024学年高一下学期期中考试数学试题答案

宜昌市部分省级示范高中2024年春季学期高一年级期中考试数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5BDABC 6-8BCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9AD ．10ABD 11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分14．3四、解答题：本题共5小题，共77分．解笞应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15【详解】（1）()()()()()22cos sin tan cos sin tan tan πsin sin cos sin π2f αααααααααααα--===-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (6)（2）由（1）易得tan 2α=，...................................7所以22222sin 3sin cos tan 3tan 462sin cos tan 1415αααααααα---===-+++.......................................1316．【详解】（1）由题意得2243483a a b b =-⋅+ ，即64843cos 2743θ-⨯⨯+=，∴1cos 2θ=，∵[]0,πθ∈，∴π3θ=................................................5（2）2a b -== （3）∵()()a b a b λ+⊥+，∴()()()2210a b a b a a b b λλλ+⋅+=++⋅+= ，即()166190λλ+++=.∴2215λ=- (15)17.【详解】（1）解：因为(2)cos cos 0a c B b C ++=，所以，由正弦定理边角互化得2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，因为()sin cos sin cos sin sin C B B C C B A +=+=，所以2sin cos sin 0A B A +=，因为()0,,sin 0A A π∈≠，所以1cos 2B =-，因为()0,B π∈，所以，23B π=.................................................7（2）解：因为M 是AC 的中点，所以，()12BM BC BA =+ ，所以，()()222221122cos 44BM BC BA BC BA a c a c B =++⋅=++⋅ ，因为2BM a ==所以，()271824c =+-，即260c --=，解得c =c =，所以，1sin 2ABC S ac B =⨯⨯= (15)。

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湖北省高一下学期期中数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2020·厦门模拟) 闰月年指农历里有闰月的年份，比如2020年是闰月年，4月23日至5月22日为农历四月，5月23日至6月20日为农历闰四月.农历置闰月是为了农历年的平均长度接近回归年：农历年中的朔望月的平均长度为29.5306日，日，回归年的总长度为365.2422日，两者相差10.875日.因此，每19年相差206.625日，约等于7个朔望月.这样每19年就有7个闰月年.以下是1640年至1694年间所有的闰月年：
1640164216451648165116531656
1659166116641667167016721675
16781680 1 6831686168916911694
则从2020年至2049年，这30年间闰月年的个数为（）
A . 10
B . 11
C . 12
D . 13
2. （2分）把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（）
A . 对立事件
B . 互斥但不对立事件
C . 不可能事件
D . 必然事件
3. （2分） (2020高二上·贵港期中) 如图，大正方形的面积是13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短边长为2.向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） (2019高二上·钦州期末) 某学校在数学联赛的成绩中抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的分布直方图，这100名学生成绩的中位数估值为（）
A . 80
B . 82
C . 82.5
D . 84
5. （2分）已知函数f（x）=x6+1，当x=x0时，用秦九韶算法求f（x0）的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为（）
A . 21，6，2
B . 7，1，2
C . 0，1，2
D . 0，6，6
6. （2分） (2019高一上·安达期中) 今有一组实验数据如下：
分别用下列函数模型来拟合变量与之间的关系，其中拟合效果最好的是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）为了解某校身高在1.60m～1.78m的高一学生的情况，随机地抽查了该校200名高一学生，得到如图1所示频率直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m，身高在1.66m～1.74m的学生数为n，则m，n的值分别为（）
A . 0.27，78
B . 0.27，156
C . 0.81，78
D . 0.09，83
8. （2分） (2015高三上·和平期末) 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出n的值为（）
A . 5
B . 7
C . 9
D . 11
9. （2分）执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）下列各式中，正确的是（）
A . sin（﹣）＞sin（﹣）
B . cos（﹣）＞cos（﹣）
C . cos250°＞cos260°
D . tan144°＜tan148°
11. （2分）(2020·新课标Ⅲ·文) 设一组样本数据x1 ， x2 ，…，xn的方差为0.01，则数据10x1 ，10x2 ，…，10xn的方差为（）
A . 0.01
B . 0.1
C . 1
D . 10
12. （2分） (2017高二下·宜昌期末) 在区间[﹣1，2]上随机取一个数x，则|x|≤1的概率为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共6分)
13. （2分） (2016高二上·孝感期中) 二进制数101101110（2）化为十进制数是________（10），再化为八进制数是________（8）．
14. （1分） (2016高一下·兰州期中) “丁香”和“小花”是好朋友，她们相约本周末去爬歌乐山，并约定周日早上8：00至8：30之间（假定她们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在歌乐山健身步道起点处会合，若“丁香”先到，则她最多等待“小花”15分钟．若“小花”先到，则她最多等待“丁香”10分钟，若在等待时
间内对方到达，则她俩就一起快乐地爬山，否则超过等待时间后她们均不再等候对方而孤独爬山，则“丁香”和“小花”快乐地一起爬歌乐山的概率是________（用数字作答）
15. （2分）(2019·浙江模拟) 一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为________ ，这两个数字和的数学期望为 ________．
16. （1分） (2016高一下·汉台期中) 采用系统抽样方法，从121人中抽取一个容量为12的样本，则每人被抽取到的概率为________．
三、解答题： (共6题；共50分)
17. （5分） (2019高一上·南宁月考) 计算： .
18. （5分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：
分组频数频率
（3.9，4.2]30.06
（4.2，4.5]60.12
（4.5，4.8]25x
（4.8，5.1]y z
（5.1，5.4]20.04
合计n 1.00
（Ⅰ）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；
（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．
19. （10分） (2018高二下·双鸭山月考) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
(注：，，， )
（1）求出关于的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线；
（2）试预测加工个零件需要多少小时？
20. （10分） (2020高二上·丰城期中) 已知函数 f（x）=x2+4x++2 ，正数p在集合M上的随机取值.
（1）设，求方程有实数根的概率；
（2）设，求恒成立的概率.
21. （15分）(2019·福建模拟) 为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为，，， .
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）在所抽取的名学生中，用分层抽样的方法在成绩为的学生中抽取了一个容量为的样本，再从该样本中任意抽取人，求人的成绩均在区间内的概率；
（3）若该市有名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间内的人数.
22. （5分）(2017·诸城模拟) 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；
（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、
考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共6分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题： (共6题；共50分)答案：17-1、
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答案：18-1、
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答案：19-1、答案：19-2、考点：
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答案：20-1、
答案：20-2、考点：
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答案：21-1、
答案：21-2、
答案：21-3、考点：
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答案：22-1、
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